INTEGRAÇÃO DE MODELOS DE LOCALIZAÇÃO A SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS

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1 INTEGRAÇÃO DE MODELOS DE LOCALIZAÇÃO A SISTEMAS DE INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS Luiz Atoio Nogueira Lorea Lab. Associado de Computação e Matemática Aplicada LAC Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE Edso Luiz Fraça See Departameto de Matemática Faculdade de Egeharia de Guaratiguetá FEG Uiversidade Estadual Paulista UNESP João Argemiro de Carvalho Paiva Divisão de Processameto de Images DPI Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE v.8,.2, p.80-95, ago. 200 Marcos Atoio Pereira Lab. Associado de Computação e Matemática Aplicada LAC Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais INPE Resumo O problema de p-mediaas cosiste em decidir ode localizar p cetros em uma rede composta por vértices e arestas, de forma a miimizar a soma de todas as distâcias de cada vértice ao cetro mais próximo. Em algus casos, quado uma demada estiver associada a cada vértice, pode haver restrições a capacidade de atedimeto dos cetros (problema de p-mediaas com restrições de capacidade). Modelos de localização de facilidades têm sido propostos como ferrametas de auxílio à decisão, pricipalmete quado é possível usar Sistemas de Iformações Geográficas (SIGs) a coleta e aálise dos dados dos problemas. Apresetamos este trabalho um relato da itegração de modelos de p-mediaas aos SIGs ArcView, da ESRI, e SPRING, um sistema desevolvido o INPE. O código que foi itegrado a estes SIGs implemeta uma abordagem recete da heurística Lagragiaa/ surrogate, ode a viabilização da solução dual é feita através de uma heurística de localizaçãoalocação alterada. O trabalho apreseta algus testes computacioais usado dados do muicípio de São José dos Campos, com tamahos variado até o máximo de 3280 vértices e 4 cetros, para o caso sem restrições de capacidade. Palavras-chave: Problemas de Localização, Sistemas de Iformações Geográficas, Heurísticas Lagragiaas.

2 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago Itrodução P roblemas de localização tratam de decisões sobre ode istalar facilidades, cosiderado clietes que devem ser servidos de forma a otimizar algum critério (DREZNER, 995; DASKIN, 995). O termo facilidades é utilizado para desigar fábricas, depósitos, escolas etc., equato clietes refere-se a depósitos, uidades de vedas, estudates etc. Em geral, as facilidades podem ser selecioadas como ovos cetros a serem abertos ou escolhidas o cojuto de vértices existetes. Por isso, tais problemas também são cohecidos como problemas de localização-alocação, devido ao processo de alocação dos clietes aos cetros abertos. As aplicações de problemas de localização de facilidades ocorrem os setores público e privado. No caso de setores públicos, procura-se maximizar a satisfação dos clietes em detrimeto dos custos ecessários para o alcace de tal objetivo. Localização de escolas, postos de saúde, corpo de bombeiros, ambulâcias, viaturas de polícia, potos de ôibus, podem ser citados como exemplos de aplicações em setores públicos. No caso do setor privado, ode custos fixos estão evolvidos, as aplicações evolvem, em geral, fábricas, depósitos, torres de trasmissão, lojas de fraquias etc. Em certos casos podem existir restrições sobre a capacidade de atedimeto de tais cetros. Neste tipo de problema, cosidera-se que cada cliete possui associada uma demada a ser satisfeita pelo cetro escolhido para atedêlo. A soma das demadas de todos os clietes atedidos por um cetro ão deve superar a capacidade de atedimeto do mesmo. Quado esse tipo de codicioate estiver presete, dizemos tratar-se de um problema de localização com restrições de capacidade. O problema de p-mediaas é um problema clássico de localização de facilidades e cosiste em localizar p cetros (mediaas) em uma rede, de modo a miimizar a soma das distâcias de cada vértice ao cetro mais próximo. As primeiras formulações deste problema foram apresetadas em HAKIMI (964, 965). O problema é bem cohecido como sedo NP-hard (GAREY & JOHNSON, 979). Vários métodos heurísticos e métodos que exploram busca em árvore têm sido desevolvidos para o problema de p-mediaas (TEITZ & BART 968; JARVINEN & RAJALA, 972; NEEBE, 978; CHRISTOFIDES & BEASLEY, 982). Técicas heurísticas de relaxação lagragiaa, combiadas a procedimetos de otimização por subgradietes, de um poto de vista primal-dual, têm se mostrado eficietes a solução do problema (GALVÃO & RAGGI, 989; BEASLEY, 993; LORENA & SENNE, 999). Modelos de localização de facilidades têm sido propostos, há algum tempo, como ferrametas de auxílio à decisão, pricipalmete quado uma base de dados geograficamete refereciada estiver dispoível. Nestes casos, os Sistemas de Iformações Geográficas (SIGs) são muito importates a coleta e aálise desses dados (BURROUGH, 986). Sistemas de Iformações Geográficas (FISCHBECK, 994) itegram uma sofisticada iterface gráfica a uma base de dados georrefereciados, costituido-se em poderosas ferrametas de aálise e plaejameto espacial. Problemas complexos de localização de facilidades podem ser tratados com SIGs, cosiderado iformações espaciais e socioecoômicas. O uso combiado de SIGs e técicas de Pesquisa Operacioal para resolver problemas de localização aida ão está totalmete difudido a comuidade cietífica iteracioal. Mas, levado-se em cota sua capacidade de armazear, exibir e maipular dados espacialmete distribuídos, a itegração de algoritmos de localização aos SIGs foi iiciada há algus aos. Este trabalho relata a itegração de modelos de localização de p-mediaas, sem e com restrições de capacidade, aos SIGs ArcView da ESRI (Evirometal Systems Research Istitute, Ic.) e SPRING, um sistema desevolvido pela Divisão de Processameto de Images (DPI) do INPE. O código itegrado aos SIGs implemeta uma abordagem recete da heurística lagragiaa/ surrogate, ode a viabilização da solução dual é

3 82 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs feita através de uma heurística de localizaçãoalocação alterada. A itegração ao ArcView foi feita através de scripts escritas em Aveue e a itegração ao SPRING foi realizada criado-se um método que atua a represetação vetorial dos modelos de rede, temático e cadastral. O trabalho apreseta algus testes computacioais usado dados do muicípio de São José dos Campos, com tamahos variado até o máximo de 3282 vértices e 4 cetros, para o caso sem restrições de capacidade. 2. O Problema de p-mediaas O s problemas de p-mediaas cosiderados este trabalho podem ser modelados como problemas de programação iteira 0-. Sem perda de geeralidade, vamos cosiderar que as mediaas serão escolhidas do cojuto de vértices cosiderado o problema. Assim, para o caso sem restrições de capacidade, o modelo matemático será: v(p) = Mi d ij x ij P sujeito a: x ij j= j= x i= j= () =, i N (2) jj = p (3) xij x jj, i, j N, i j (4) x ij {0, }, i, j N (5) ode N = {,..., }, sedo o úmero de vértices a rede; p é o úmero de cetros (mediaas) a serem localizados; [d ij ] é uma matriz de custo (distâcia), com d jj = 0, j N e [x ij ] é a matriz de alocação, com: e x ij, = 0, se o vérticei é atedido pelo cetro j, i j; caso cotrário. x jj, se o vértice j é um cetro; = 0, caso cotrário. As restrições (2) e (4) garatem que cada vértice i é alocado a somete um cetro j, que deve ser uma mediaa. A restrição (3) determia o úmero exato de mediaas a serem localizadas (p), e (5) correspode às codições de itegralidade. Para o caso com restrições de capacidade de atedimeto (PMC), as restrições (4) são substituídas por: ai xij i= b x j jj, j N (4 ) sedo a i a demada do vértice i e b j a capacidade de atedimeto do cetro j, se este for escolhido como mediaa. A técica heurística usada para resolver P de forma aproximada é cohecida como relaxação lagragiaa/surrogate e já foi aplicada com sucesso a outros problemas de otimização combiatória (LORENA & LOPES, 994; LORENA & NARCISO, 996; LORENA & SENNE, 996, 999; SENNE & LORENA, 997; NARCISO & LORENA, 999). Uma discussão sobre as relaxações lagragiaa e surrogate pode ser ecotrada em PARKER & RARDIN (988). A relaxação lagragiaa/ surrogate utilizada este trabalho para o problema de p-mediaas sem restrições de capacidade está descrita em SENNE & LORENA (2000). 3. A Heurística Lagragiaa/Surrogate A relaxação lagragiaa/surrogate desevolvida para resolver de forma aproximada o problema de p-mediaas com restrições de capacidade PMC apreseta melhores resultados que a relaxação lagragiaa usual, obtedo limitates de igual qualidade com meor esforço computacioal (NARCISO & LORENA, 999; LORENA & SENNE, 999). Cosiderado R +, a restrição surrogate relativa às restrições (2) será:

4 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago =, i x ij i= j= i= e a relaxação lagragiaa/surrogate de PMC, cosiderado a variável dual t 0, será: v(l t PMC ) = Mi ( d ij t i ) xij + t i i i= j= i= L t PMC sujeito a: (3), (4 ) e (5). Para t 0 e R + dados, tem-se v(l t PMC ) v(pmc ) v(pmc), ode PMC represeta a relaxação surrogate de PMC (LORENA & NARCISO, 996). O problema L t PMC pode ser resolvido cosiderado-se a restrição (3) implicitamete e decompodo-se o problema para o ídice j, obtedo-se os seguites subproblemas da mochila: Mi ( dij t i ) x i= sujeito às restrições (4 ) e (5). Cada subproblema é facilmete resolvido calculado-se: β j = [mi{ 0, d ij t i}] i= e defiido-se C como o cojuto de ídices dos p meores β j. Assim, uma solução x ij para o problema L t PMC é dada por: x jj e, para todo i j: x ij, se j C = 0, caso cotrário, se j C e dij ti < 0 = 0, caso cotrário Neste caso, o valor da solução lagragiaa/ surrogate é dado por: j= ij v( L PMC ) = β x + t t j jj i= i A solução x ão é ecessariamete viável, mas o cojuto C idetifica os vértices escolhidos como cetros que podem ser usados para produzir soluções viáveis para ambos os problemas. Para o caso sem restrições de capacidade, os vértices são alocados aos cetros mais próximos, produzido uma solução viável x f para P dada por:, se j C f ( x jj ) = 0, caso cotrário e para todo i j: ( xik ) f com v f [ mi{ d }]. = i=, se k tal que dik = mi{ dij} j C 0, caso cotrário = j C ij Fazedo-se t = a relaxação L t PMC tem-se a relaxação lagragiaa usual, cosiderado o multiplicador. Para um multiplicador fixo, o melhor valor para t pode ser ecotrado resolvedo-se o problema dual lagragiao: v( D t ) = max v(l t PMC ). t 0 O melhor valor da relaxação lagragiaa/ surrogate forece um limitate melhor do que o obtido pela relaxação lagragiaa usual. Uma solução exata para D pode ser obtida por uma t busca sobre diferetes valores de t (MINOUX, 975; HANDLER & ZANG, 980). Etretato, em geral, existe um itervalo t 0 t t (com t 0 = ou t = ) que também produz limitates melhores, como pode-se ver pela Figura. Assim, para obter um bom limitate, ão é ecessário ecotrar o melhor valor de t (t*), sedo suficiete ecotrar um valor T tal que t 0 T t, através de um procedimeto de busca heurística (SENNE & LORENA, 2000). Etretato, se o valor de T se mativer costate por um úmero de iterações fixado a priori, etão esse valor será matido para todas as relaxações seguites e o procedimeto de busca ão será mais executado. O seguite algoritmo de subgradietes é utilizado para resolver o problema de p-mediaas:

5 84 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs v(l tpmc ) v(d t ) v(l PMC ) t 0 t* t Figura Limitates lagragiao/surrogate. Algoritmo de Subgradietes: Dados 0, 0; Fazer lb =, ub = +, C = ; Repetir Resolver a relaxação L t PMC obtedo x e v(l t PMC ); Obter uma solução viável x f e seu valor v f ; Atualizar lb = max {lb, v(l t PMC )} e ub = mi {ub, v f }; Fixar x jj = se v(l t PMC xjj = 0 ) ub, j N C; Atualizar o cojuto C; Fazer j= g i = x ij, i N; Atualizar o tamaho do passo θ; Fazer i = max {0, i + θ g }, i N; Até que (algum teste de parada seja satisfeito). O valor iicial de usado é dado por i = mi {d ij }, i N. O tamaho do passo é j N calculado como: π ( ub lb) θ =. 2 g O cotrole do parâmetro π é o proposto por HELD & KARP (97). Iicialmete seu valor é i fixado em 2, sedo reduzido à metade em cada iteração sempre que lb mativer seu valor costate por 30 iterações sucessivas. Foram utilizados os seguites testes de parada: a) π 0.005; b) ub lb < ; 2 c) g = 0; d) todas as mediaas foram fixadas. 3. Algoritmo de Busca Local No caso com restrições de capacidade, o processo de obteção de uma solução factível x f para o PMC utiliza o algoritmo MTGH de MARTELLO & TOTH (990), para resolver de forma aproximada o seguite problema geeralizado de alocação (PGA): Max z = PGA sujeito a: i N C j C f ai xij i N C j C b f p ij x ij j, j C x =, i N C f ij f x ij {0, }, i N C, j C sedo p ij = d ij o gaho se o vértice i for atribuído ao cetro j, i N C e j C; a i a demada associada ao vértice i, i N C; b j a capacidade

6 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago do cetro j, j C e alocado ao cetro j C e x ij f =, se o vértice i é f x ij = 0, caso cotrário. A heurística de localização-alocação, ispirada os trabalhos de COOPER (963) e TAILLARD (996), baseia-se a observação que, após a defiição de x f, obtém-se exatamete p aglomerados (clusters) C m = {j m, I m }, ode j m J é o ídice do cetro relativo ao cluster C m, f m {, 2,..., p}, e I m = {i N C x ij m = } é o cojuto dos vértices alocados ao cetro j m. A solução x f pode ser melhorada procurado-se por um ovo cetro detro de cada cluster, trocadose a mediaa atual por outro vértice e recalculado-se as alocações. Este processo se repete até que ão seja mais possível obter melhorias o custo total da alocação. O algoritmo de localização-alocação utilizado este trabalho, para o caso capacitado, está dado a seguir. Heurística de Localização-Alocação (HLA) Sejam: I m o cojuto de ídices dos potos de demada alocados ao cetro m; Z m = d kj o custo do cluster C m m = {j m, I m }; D m = k I m k k I m { j m } a a demada total do cluster C m ; Repetir (A) Para cada cluster C m, m =,..., p, fazer: trocas = 0; Se (trocas < MAX_TROCAS) etão: Se existe um vértice i I m tal que: b i D m e Z m(i) < Z m, ode I m(i) = I m {j m } {i} Etão Itercambiar i com j m, atualizado o cluster C m ; trocas = trocas + ; (B) Seja J = {j,..., j p } o cojuto atual de ídices dos cetros. Resolver o PGA cosiderado o cojuto J, obtedo um ovo cojuto de clusters C,..., C p. Equato (for possível melhorar a solução viável). O algoritmo de localização-alocação acima cosidera aida, os potos assialados por (A) e (B), a possibilidade de alterações as alocações dos vértices aos cetros de cada cluster, verificado a possibilidade de um vértice r pertecete a um cluster C r ser removido deste cluster e alocado a outro cluster C s (r s), ou etão verificado a possibilidade de dois vértices u e v (pertecetes aos clusters C u e C v, respectivamete) serem itercambiados, levado-se em cota as demadas dos vértices, as capacidades dos respectivos cetros e o custo da solução resultate. Nos testes computacioais foi utilizado MAX_TROCAS = Itegração a Sistemas de Iformações Geográficas O algoritmo de p-mediaas descrito a seção aterior foi itegrado a dois Sistemas de Iformações Geográficas: ArcView (ESRI, 996) e SPRING (SPRING, 998). Os estudos simularam a istalação de facilidades cosiderado uma base de dados reais de algumas regiões da cidade de São José dos Campos, SP. As subseções a seguir cotêm algus detalhes das etapas das duas itegrações desevolvidas este trabalho. 4. Itegração ao ArcView Os algoritmos para a solução dos problemas de p-mediaas com e sem restrições de capacidade foram implemetados utilizado a liguagem C e compilados com MS Visual C++. Os dados ecessários aos programas foram

7 86 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs obtidos a partir da base de dados dos temas (represetação gráfica de um objeto geográfico, p. ex., ruas, quadras, imóveis etc.) dispoíveis. Através de scripts desevolvidas em Aveue, dispoível o ArcView, esses dados foram orgaizados em arquivos texto para serem passados como etrada aos respectivos programas. Em ambos os casos, a distâcia etre os vértices foi calculada a partir da escala do mapa o qual estão iseridos. Os valores resultates represetam a distâcia direta liear etre os vértices ou a distâcia sobre os arcos (ruas e aveidas) que compõem o mapa. Neste modelo de solução do problema de p-mediaas, a distâcia etre os vértices foi o úico parâmetro de custo cosiderado. Para a visualização da solução, utilizou-se a fução Spider, dispoível o ArcView, que foi modificada para se adequar às ecessidades da itegração. Esta fução verifica as distâcias etre os vértices de demada, cotidos em um tema, e os vértices relativos aos cetros ofertates, cotidos em outro tema, e represeta a alocação dos vértices aos cetros selecioados para atedimeto. 4.. Caso : p-mediaas sem restrições de capacidade Foram desevolvidos dois módulos para resolver o problema de p-mediaas sem restrições de capacidade. O primeiro módulo utiliza como etrada os dados um arquivo texto gerado por uma script. Este arquivo cotém o seu primeiro registro o úmero de vértices e o úmero de mediaas a serem cosiderados. Os registros seguites formam uma lista de coordeadas X-Y de todos os vértices do tema de potos escolhido para estudo. Como resultado, o programa gera um arquivo tipo texto cotedo a matriz simétrica de distâcias etre cada par de vértices. O segudo módulo cotém a implemetação da heurística lagragiaa/surrogate. O arquivo de distâcias gerado pelo módulo aterior cotém os dados ecessários ao programa que, após o processameto, forece a solução para o problema o formato de um arquivo tipo texto, cotedo uma lista tripla formada por: vértice de demada, seu cetro correspodete e a distâcia etre eles. O último registro deste arquivo idica o status da solução ecotrada: Ótima (gap fechado por limites) ou Não- Ótima. As Figuras 2 e 3 mostram algus resultados obtidos utilizado dados do cetro da cidade de São José dos Campos. Os polígoos de fudo correspodem ao tema escolhido para represetar as quadras do cetro da cidade. Os potos sobrepostos são os vértices de demada cosiderados. A script desevolvida para esta itegração utiliza a iformação do arquivo cotedo a solução do problema e cria dois ovos temas. Um tema de potos represeta as mediaas ecotradas pelo algoritmo, e um tema de lihas represeta a alocação cetro-vértice Caso 2: p-mediaas com restrições de capacidade Para resolução do problema de p-mediaas com restrições de capacidade, apeas um módulo foi desevolvido, cotedo todas as rotias do procedimeto heurístico. Parâmetros específicos a liha de comado permitem selecioar etre distâcias lieares ou calculadas sobre o tema de rede. Os valores de demada cosiderados este trabalho foram extraídos dos temas dispoíveis, baseados o úmero de imóveis existetes em cada quadra, ode quadras com úmero ulo de imóveis recebiam um valor de demada igual a. A partir dessa iformação, a script calcula a demada total como sedo a soma da demada de todos os vértices do tema de potos selecioados. Este valor é etão dividido pelo úmero de mediaas a serem localizadas, defiido assim a capacidade de cada cetro de atedimeto. Para efeitos de estudo, este valor foi multiplicado por um fator t >, permitido modelar ceários com escassez ou excesso a capacidade de atedimeto dos cetros. Por questões de viabilidade, a

8 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago Figura 2 Potos de demada o ArcView. Figura 3 Visualização da solução de problema de p-mediaas.

9 88 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs capacidade idividual de atedimeto de cada cetro (cosiderada idêtica este estudo) ão deve ser iferior ao maior valor de demada idividual observado o tema escolhido. O programa desevolvido para resolver o problema de p-mediaas capacitado utiliza como etrada de dados um arquivo tipo texto gerado pela script, que cotém o seu primeiro registro o úmero de vértices e o úmero de cetros a serem cosiderados. Depededo do tipo de distâcia cosiderada (liear ou a rede), os registros seguites formam uma lista ordeada de iformações que possibilitam ao programa ecotrar a solução, apresetada como um arquivo texto, cotedo a alocação cetro-vértice e a respectiva distâcia. Um úmero ao fial do arquivo idica o tipo da solução obtida: Ótima ou Não-ótima. Nas Figuras 4 e 5 tem-se a visualização da solução de um problema cotedo 3 vértices, dos quais foram selecioados 3 para a istalação de facilidades. No primeiro estudo foram cosideradas distâcias lieares e o segudo foram utilizadas distâcias calculadas sobre a rede que represeta um subcojuto das ruas que compõem o cetro da cidade de São José dos Campos. Como se pode observar, existem difereças etre as soluções dos dois estudos. Observa-se que a formação de agrupametos permite cosiderar a possibilidade de roteameto dos vértices associados a cada cetro. Neste exemplo, cosiderou-se que o cetro (em destaque) seria o poto de origem e de destio da rota. Para o cálculo das rotas foi utilizado o módulo Network Aalyst, que itegra o pacote de módulos opcioais do ArcView. 4.2 Itegração ao SPRING O Sistema de Processameto de Iformações Georrefereciadas (SPRING, 998) é um sistema computacioal desevolvido pela equipe da Divisão de Processameto de Images (DPI) do Istituto Nacioal de Pesquisas Espaciais. Este sistema tem por objetivo a itegração e aálise de diferetes tipos de dados espaciais. O modelo de dados do SPRING está baseado o paradigma de orietação a objetos (CÂMARA, 995). Um baco de dados geográfico é composto de plaos de iformação, de objetos geográficos, e de iformações ão espaciais. Os plaos de iformação podem represetar iformações cotíuas o espaço (campos), ou os objetos geográficos idividuais. Cada plao de iformação pode coter represetações espaciais do tipo vetorial ou varredura. A represetação vetorial correspode a lihas, potos, e polígoos que defiem as formas de represetação dos objetos espaciais, equato a represetação de varredura correspode a uma matriz de potos com valores em cada célula. Os tipos de dados tratados o SPRING são: Mapas temáticos: cada iformação represeta um tema ou classe de iformação. Por exemplo, as classes de uso do solo de uma região. Mapas cadastrais ou mapa de objetos: ao cotrário de um mapa temático, cada elemeto é um objeto geográfico que possui atributos e pode estar associado a várias represetações gráficas. Por exemplo, os lotes de uma cidade são elemetos do espaço geográfico que possuem atributos (doo, localização, valor veal, IPTU devido, etc.) e que podem ter represetações gráficas diferetes (poligoais, lieares ou potuais) em mapas de escalas distitas. Mapas de redes: correspodem a mapas cadastrais, com a difereça de que geralmete os objetos são represetados por elemetos lieares ou potuais. As represetações potuais devem estar localizadas em potos de itersecção de lihas a rede. Modelo umérico de terreo: deota a represetação de uma gradeza que varia cotiuamete o espaço. Comumete associados à altimetria, podem ser utilizados para modelar outros feômeos de variação cotíua (como variáveis geofísicas, geoquímicas e batimetria). Images: represetam dados de sesoriameto remoto ou fotografias aéreas.

10 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago Figura 4 Solução do problema de p-mediaas com restrições de capacidade, distâcias lieares. Figura 5 Solução do problema de p-mediaas com restrições de capacidade, com roteameto, cosiderado distâcias a rede.

11 90 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs Figura 6 Iterface de diálogo para localização de mediaas o SPRING. O algoritmo para localização das mediaas pode ser aplicado o SPRING em dados dos modelos temático, cadastral e de redes, da forma descrita a seguir: Para uso em um dado temático é ecessário que a represetação vetorial coteha potos. As localizações espaciais dos potos e a distâcia liear etre os mesmos são utilizados o processo de localização das mediaas. Para o dado cadastral o procedimeto de localização das mediaas atua sobre uma determiada categoria de objetos selecioada. Todos os objetos desta categoria que estejam associados a uma represetação potual são utilizados a aálise de localização, que usa a distâcia liear etre os potos. Para o modelo de redes o modo de utilização é similar ao do modelo cadastral, com a difereça de que a distâcia etre os potos pode ser escolhida etre liear, ou ser computada a partir da própria rede. A Figura 6 mostra a iterface para execução da fução de localização de mediaas o SPRING. O cálculo das mediaas usa a área da iformação que está visível o moitor. A partir de um plao de iformação ativo, o usuário defie o úmero de mediaas a serem calculadas. Se o plao ativo correspoder a um dado temático esta é a úica iformação ecessária a ser forecida, sedo cosiderada a distâcia liear etre os potos. Para o caso de dados cadastrais ou de redes, a lista de categorias de objeto fica ativa para que seja selecioado um tipo de objeto. Em pricípio apeas objetos do mesmo tipo etram a aálise de localização, podedo esta restrição ão existir em versões futuras. O cálculo da distâcia etre os potos correspode à distâcia liear para os modelos temático e cadastral, equato que para o modelo de redes também está dispoível selecioar que a distâcia seja calculada baseada a própria rede. Para o caso com restrições de capacidade, a iterface apreseta a opção de se associar algum valor de demada ou peso para os potos em aálise. Este valor pode ser obtido a partir de um atributo do objeto o baco de dados. As Figuras 7 e 8 mostram os resultados da aálise de localização em uma pequea região da cidade de São José dos Campos. Algus objetos localizados em vértices da rede correspodem às possíveis localizações para istalação de algum tipo de atividade. Dado o úmero de mediaas a se ecotrar, o programa apreseta a tela os potos correspodetes às mediaas (represetados por círculos) e associa os outros potos à mediaa mais próxima. Pode-se observar que os resultados cosiderado distâcias lieares e da rede ão são ecessariamete iguais.

12 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago Figura 7 Cálculo de mediaas o SPRING usado distâcia liear. Figura 8 Cálculo de mediaas o SPRING usado distâcias da rede.

13 92 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs 5. Testes Computacioais e Resultados F oram realizados algus testes computacioais para testar a eficiêcia do algoritmo de p-mediaas apresetado a seção 3. Neste trabalho foi utilizado um microcomputador Petium MMX 233MHz com 28MB de RAM e os dados correspodem às quadras e ruas da região cetral da cidade de São José dos Campos. Os resultados estão apresetados as Tabelas e 2. Nestas tabelas, todos os tempos computacioais excluem o tempo ecessário para estabelecer a matriz de distâcias. As tabelas cotêm: : úmero de vértices da rede; p: úmero de mediaas; LIf: valor da melhor solução dual obtida (limite iferior da solução ótima); LSup: valor da melhor solução viável obtida (limite superior da solução ótima); Gap: gap percetual de dualidade, ou seja, 00 (LSup LIf)/LSup; Tempo: tempo computacioal (em segudos). Os resultados da Tabela mostram que os valores para os gaps de dualidade são pequeos, demostrado a efetividade do algoritmo de p-mediaas para dados reais distribuídos geograficamete. Os resultados com dados reais para o caso com restrições de capacidade compõem a Tabela 2. Como se pode observar, a complexidade do problema reflete-se os tempos computacioais, sesivelmete mais elevados que os problemas sem restrições de capacidade de mesma dimesão. Os gaps de dualidade também se mativeram baixos, cofirmado a robustez da heurística também para este tipo de problema. Os dados utilizados e os resultados obtidos estão dispoíveis em ~lorea/arsigidex.html. 6. Coclusão N este trabalho discutiu-se a itegração de modelos de p-mediaas aos Sistemas de Iformações Geográficas ArcView, da ESRI, e SPRING, em desevolvimeto o INPE. O código itegrado a estes SIGs cosidera uma implemetação recete da heurística lagragiaa/ surrogate, aplicada a resolução de problemas de localização e de atribuição. A complexidade ierete ao problema de p-mediaas com restrições de capacidade refletese os tempos computacioais, mais elevados que o caso ão capacitado com mesmo úmero de vértices. Apesar disso, os gaps de dualidade mativeram-se baixos, comprovado a eficiêcia da heurística apresetada. Os testes computacioais realizados usado dados do muicípio de São José dos Campos demostraram a efetividade do algoritmo proposto para utilização em Sistemas de Apoio à Decisão usado Sistemas de Iformações Geográficas. Agradecimetos Os autores agradecem o apoio fiaceiro da FAPESP Fudação para o Amparo à Pesquisa o Estado de São Paulo (proc. 96/ ). O primeiro, segudo e quarto autores agradecem também o apoio recebido do CNPq Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico (proc /9-5, /88-6 e /99-4, respectivamete).

14 GESTÃO & PRODUÇÃO v.8,.2, p.80-95, ago Tabela Resultados dos Testes Computacioais: Caso sem Restrições de Capacidade. p LIf LSup Gap Tempo , ,02 0,000 4, , ,35 0,007 7, , , 0,2 7, ,3 320,52 0,023 7, , ,6 4,897 7, , ,8 0,60 02, , ,44 0,766 97, , ,77 0,070 60, , ,3,975 43, , ,3,24 57, , ,57 2,550 66, , ,6 5,20 85, , ,00 0,00 699, , ,75 0, , , ,50 0, , , ,25,556 06, , ,8 0,40 954, , ,84 3,70 530, , ,50 4,25 606, , ,27 6, ,76 Tabela 2 Resultados dos Testes Computacioais: Caso com Restrições de Capacidade. p LIf LSup Gap Tempo , ,99 0,246 87, , ,04 0, , , ,30 0, , , ,9 0, , , ,23 0, , , ,30, ,38

15 94 Lorea; See; Paiva & Pereira Itegração de Modelos de Localização a SIGs Referêcias Bibliográficas BEASLEY, J.E.: Lagragea Heuristics for Locatio Problems. Europea Joural of Operatioal Research, 65, p , 993. BURROUGH, P.A.: Priciples of Geographical Iformatio Systems for Lad Resources Assessmet. Claredo Press, Oxford, 986. CÂMARA, G.: Modelos, Liguages e Arquiteturas para Bacos de Dados Geográficos. Tese de Doutorado (INPE), São José dos Campos, SP, 995. CHRISTOFIDES, N. & BEASLEY, J.E.: A tree search algorithm for the p-media problem. Europea Joural of Operatioal Research, 0, p , 982. COOPER, L.: Locatio-allocatio problems. Operatios Research,, p , 963. DASKIN, M.: Network ad Discrete Locatio: Models, Algorithms, ad Applicatios. Wiley Itersciece, New York, 995. DREZNER, Z. (ed.): Facility Locatio: A Survey of Applicatios ad Methods. Spriger-Verlag, New York, 995. DYER, M.E.: Calculatig surrogate costraits. Mathematical Programmig, 9, p , 980. ESRI: Aveue Customizatio ad Applicatio Developmet for ArcView. Evirometal Systems Research Istitute, Ic., Redlads, CA, 996. FISCHBECK, P.: GIS: More tha a Map. OR/MS Today, p , Agosto 994. GALVÃO, R.D. & RAGGI, L.A.: A method for solvig to optimality ucapacitated locatio problems. Aals of Operatios Research, 8, p , 989. GAREY, M.R. & JOHNSON, D.S.: Computers ad itractability: a guide to the theory of NP-completeess. W.H. Freema ad Co., Sa Fracisco, CA, 979. GLOVER, F.: Surrogate costraits. Operatios Research, 6, p , 968. HAKIMI, S.L.: Optimum locatio of switchig ceters ad the absolute ceters ad the medias of a graph. Operatios Research, 2, p , 964. HAKIMI, S.L.: Optimum distributio of switchig ceters i a commuicatio etwork ad some related graph theoretic problems. Operatios Research, 3, p , 965. HANDLER, G. & ZANG, I.: A dual algorithm for the costraied shortest path problem. Networks, 0, p , 980. HELD, M. & KARP, R.M.: The travelig-salesma problem ad miimum spaig trees: part II. Mathematical Programmig,, p. 6-25, 97. JARVINEN, P.J. & RAJALA, J.: A brach ad boud algorithm for seekig the p-media. Operatios Research, 20, p , 972. KARWAN, M.L. & RARDIN, R.L.: Some relatioships betwee Lagragea ad surrogate duality i iteger programmig. Mathematical Programmig, 7, p , 979. LORENA, L.A.N. & LOPES, F.B.: A surrogate heuristic for set coverig problems. Europea Joural of Operatioal Research, 79, p , 994. LORENA, L.A.N. & NARCISO, M.G.: Relaxatio Heuristics for Geeralized Assigmet Problems. Europea Joural of Operatioal Research, 9, p , 996. LORENA, L.A.N. & SENNE, E.L.F.: A Lagragea/ Surrogate Heuristic for Ucapacitated Facility Locatio Problems. Em: Aals of the 8 th Lati- Iberia-America Cogress o Operatios Research ad System Egieerig, Aais do 28 o Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacioal, p , Rio de Jaeiro, Agosto 996. LORENA, L.A.N. & SENNE, E.L.F.: Improvig traditioal subgradiet scheme for Lagragea relaxatio: a applicatio to locatio problems. Iteratioal Joural of Mathematical Algorithms,, p. 33-5, 999. MARTELLO, S. & TOTH, P.: Kapsack problem: Algorithms ad computer implemetatios. Joh Wiley & Sos, New York, 990. MINOUX, M.: Plus courts chemis avec costraits: Algorithmes et applicatios. Aals of Telecommuicatios, 30, p , 975.

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