Problema de cobertura de arcos um estudo de caso

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1 Problema de cobertura de arcos um estudo de caso Adréia Smiderle (Fac. Mater Dei) Maria Teresiha Ars Steier (UFPR) Celso Carieri (UFPR) Resumo Neste trabalho é proposta uma solução para o serviço de leitura dos medidores das cotas de água dos clietes, efetuado por uma empresa de saeameto básico do muicípio de Pato Braco (PR), utilizado algumas técicas da Pesquisa Operacioal. A metodologia aqui apresetada divide o trabalho em duas fases distitas: a primeira fase são formados os grupos de atedimeto para cada leiturista e, a seguda fase, são formadas as rotas para cada um deles. Para a primeira fase, utilizou-se um algoritmo geético cuja resposta é melhorada com a heurística clássica de Teitz e Bart, defiido-se assim, as 12-mediaas ecessárias para o problema. Estas mediaas servem como semetes para a formação dos 12 grupos de atedimeto dos leituristas, obtidos através do algoritmo de desigação de Gillett e Johso. O problema do roteameto de cada um destes grupos é um problema de cobertura de arcos, que é resolvido a seguda fase, utilizado a formulação matemática do Problema Carteiro Chiês. O objetivo pricipal do trabalho é obter, de forma rápida e eficiete, o camiho otimizado de percorrida para cada leiturista de forma a miimizar o tempo despedido com o seu deslocameto, oferecedo um atedimeto com maior qualidade aos usuários desses serviços. Palavras chave: Algoritmos Geéticos, Problema de Cobertura de Arcos, Problema do Carteiro Chiês. 1. Itrodução Serviços do setor público, como por exemplo, varredura de ruas, coleta de lixo, roteameto de carteiros, ispeção de lihas de água, eletricidade ou gás, são realizados a partir da utilização de recursos humaos em grade escala, visto que, para a execução dessas tarefas é ecessário haver a percorrida ao logo dos trechos trabalhados. A proposta deste trabalho relacioa-se à leitura das ligações de água, o que se refere à melhoria do ível de atedimeto prestado pela Compahia de Saeameto do Paraá (Saepar). Os objetivos do presete trabalho são: a) estabelecer a área de atedimeto para leitura das ligações de água para cada leiturista, levado em cosideração que a quatidade de faturas emitidas seja, aproximadamete, a mesma para todos eles; b) determiar, para cada leiturista, o percurso a ser feito detro de sua área de atedimeto, adequado-o as características do trabalho do leiturista. Os serviços de saeameto básico oferecidos pela Saepar, são operacioalizados pelos agetes ou leituristas, que fazem a leitura, digitam os dados em um microcomputador, emitem a fatura e a etregam ao cliete; além disso, é fução do leiturista, coferir dados do logradouro, prestar iformações diversas, veder serviços como cosertos dos mais diversos e verificar as codições de istalação da ligação predial de água (cojuto formado pelo ramal predial e o cavalete) e hidrômetro dos locais visitados. Por isso a ecessidade de otimizar, ao máximo, o camiho de percorrida do leiturista para que o tempo com o seu deslocameto, seja o meor possível, oferecedo, desta forma, um atedimeto com maior qualidade aos usuários desses serviços. ENEGEP 2003 ABEPRO 1

2 2. Descrição do Problema Real A Saepar, empresa estadual de ecoomia mista, é resposável pelas ações de saeameto básico em quase todo o Estado do Paraá. O saeameto básico do Paraá, o iício da década de 60, possuía um ídice de atedimeto muito baixo. Apeas 8,3% da população era servida por rede de abastecimeto de água, e apeas 4,1% com rede de esgoto. Das 221 sedes muicipais da época, 19 possuíam todos os serviços e 37 somete o de água. Das 20 cidades mais populosas do Estado, segudo o ceso de 1950, apeas 11 tiham serviço de água. Hoje 98% da população urbaa é abastecida com água tratada; são mais de 7 milhões de habitates, distribuídos etre as 619 localidades atedidas pela Saepar. A Saepar, uidade de Pato Braco, cetraliza o atedimeto das cidades: Chopiziho, Clevelâdia, Coroel Vivida, Itapejara do Oeste, Magueiriha, Mariópolis, Palmas, Pato Braco, São João e Vitorio. Nestas cidades o úmero total de ligações de água é de Após a distribuição da água, existe o trabalho de faturar os cosumos. A empresa Mercado é uma empresa terceirizada que realiza esta atividade em Pato Braco, usado um sistema de processameto e emissão de fatura o próprio local do cosumo. A utilização de microcomputadores portáteis reduz, em muito, os custos operacioais se comparada aos sistemas covecioais de faturameto (coleta das iformações, deslocameto até a empresa para a digitação, cosistêcia, processameto e a impressão da fatura, e retoro para o edereço para etregar a fatura ao cliete). Em Pato Braco existem ligações de água. Para a realização da leitura das cotas de água, a cidade está dividida, atualmete, em 07 grupos. Para fis de estudo deste trabalho, foi cosiderado o grupo 11 que é formado pelos bairros: Cetro (parte), Parziaelo, Cadori, Bacários, Piheiros, Brasília, Vila Isabel, São Luiz, Bortot, Trevo da Guarai (Parte). Este grupo foi escolhido por apresetar características de cetro e bairros. Apreseta trechos com vários clietes e também logos trechos com poucos clietes. Esse grupo possui ligações e está dividido, atualmete, em 12 rotas para os leituristas. De acordo com as iformações da empresa, são percorridos metros para efetuar a leitura destas ligações. Doze leituristas realizam esse trabalho ao logo de um dia. 3. Implemetação Computacioal e Obteção dos Resultados Prelimiarmete à implemetação computacioal dos algoritmos, defiiu-se a área de atuação dos leituristas a cidade de Pato Braco. Para fazer a leitura dos medidores de cosumo de água, os leituristas devem percorrer, mesalmete, uma rede viária, composta de ruas. Cada rua é dividida em trechos (quadras), ode cada trecho é um pedaço de rua compreedido etre duas ruas trasversais, os quais podem ou ão possuir medidores de água; os que possuem são os trechos produtivos, os outros são chamados improdutivos. O problema é, etão, determiar qual leiturista deverá ateder a quais potos de leitura, de maeira a percorrer seu trajeto de forma otimizada, atravessado o míimo possível trechos improdutivos. Portato, o problema a ser tratado divide-se em duas fases: divisão da parte da rede viária a ser estudada em subgrupos, sedo que cada subgrupo deverá ser percorrido por um leiturista e o roteameto do percurso os diferetes subgrupos. 3.1 Etapas da Implemetação Computacioal A implemetação computacioal dos algoritmos para solução do problema foi dividida em 4 ENEGEP 2003 ABEPRO 2

3 etapas distitas. Na primeira etapa, efetuou-se o cadastrameto de vários potos o mapa digitalizado da cidade de Pato Braco. Esses potos foram dispostos de maeira a mapear a parte da rede viária a ser estudada. Foram itroduzidos potos as iterseções das ruas e o meio das quadras, buscado a melhor caracterização dos trechos produtivos. No mapa, pequeos símbolos idicam a preseça destes potos. Assim, um baco de dados é formado pelas coordeadas geográficas de cada um destes potos. Na seguda etapa, foi utilizado o Algoritmo Geético aplicado ao Problema das P-Mediaas (AGPMed) para a determiação de 12 mediaas. Na aplicação do referido algoritmo, fixou-se o úmero máximo de iterações K máx = 1000 e uma população variado de 75 a 200 idivíduos (cromossomos). O algoritmo pára, quado se atige o úmero máximo de iterações, ou quado a difereça dos valores de trasmissão etre o melhor e o pior é cromossomo é meor que metros. Cosiderado-se o aspecto probabilístico dos algoritmos geéticos, foram efetuadas 5 simulações. Em cada uma dessas simulações, a partir da solução obtida pelo AGPMed, iiciou-se o algoritmo de Teitz e Bart, buscado melhorar a solução através da substituição de vértices. Os resultados são apresetados o Quadro 1. Algoritmo Geético (AGPMed) Algoritmo de Teitz e Bart Simulação Iterações População Valor Tras. (metros) Iterações Valor Tras. (metros) , , , , , , , , , ,3975 Quadro 1 Resultados uméricos das simulações para o problema das 12-mediaas Ficaram assim defiidos 12 potos que represetam uma boa aproximação para o problema de localização de 12 facilidades (12-mediaas que represetarão depósitos fictícios ou semetes) do grafo cujos vértices são os 774 potos que demarcam a área de atedimeto em estudo. A terceira etapa costa em associar a cada uma destas semetes, um leiturista diferete, fazedo com que cada um atedesse, aproximadamete, a mesma quatidade de clietes. Para tato, utilizou-se o algoritmo de desigação proposto por Gillet e Johso (BODIN, 1983). Através da desigação dos potos a cada uma das 12 semetes será obtida a formação dos 12 clusters de atedimeto, que podem ser visualizados a Figura 1, ode os símbolos maiores idicam as p-mediaas que são as semetes de cada cluster. ENEGEP 2003 ABEPRO 3

4 Figura 1. Determiação dos 12 clusters defiidos pelo algoritmo de G&J Na quarta e última etapa, para cada um dos clusters, foram costruidos roteiros através do Modelo Matemático do Problema do Carteiro Chiês (PCC), sedo que a formulação do mesmo foi desevolvida para cada subgrupo separadamete, e está descrita a seguir: Miimizar z= c ij x ij Sujeito a: i= 1 j= 1 (1) j= 1 x ji xij = 0 i =1,..., (2) j= 1 x x 1 (i,j) A (3) ij + ji x 0 e iteiros (4) ij ode, a fução objetivo (1) miimiza o custo total, ou seja, a distâcia total a ser percorrida. A restrição (2) garate a cotiuidade do passeio e a restrição (3) que ehuma aresta deixará de ser cosiderada, e em (4) tem-se que as variáveis do problema são iteiras. Nesta formulação, a restrição x ij + x ji 1 foi substituída por x ij + x ji 2 tedo-se em vista que a leitura deve ser feita em ambos os lados da rua, ou seja, cosiderou-se arcos duplos em todos os trechos produtivos. A formulação do PCC foi aplicada a cada um dos clusters e, utilizado o software LINGO (Laguage for Iteractive Geeral Optimizer), obteve-se a solução exata para todos os subgrupos, que totalizou metros. ENEGEP 2003 ABEPRO 4

5 3.2 Aálise dos Resultados A primeira fase da implemetação foi dividida em três etapas. Na primeira etapa, utilizadose o software AutoCad, foram obtidas as coordeadas geográficas dos 774 potos que demarcavam os trechos produtivos do grupo a ser trabalhado, formado-se assim, o grafo iicial. Na seguda etapa foram obtidas as 12 semetes para a subseqüete formação dos grupos de atedimeto para cada um dos leituristas. Nessa etapa, trabalhou-se com duas propostas de solução: a primeira com o AGPMed e a outra com o Algoritmo de Teitz e Bart aplicados ao problema das P-mediaas. O AGPMed parte de uma solução iicial aleatória, faz 1000 iterações, em todas as 5 simulações, e apreseta uma solução aproximada da ótima, que foi utilizada como solução iicial pelo Algoritmo de Teitz e Bart, com o objetivo de melhorála, sedo que o úmero de iterações ecessárias variou de 12 a 18 a procura das 12 mediaas do grafo de 774 potos, coforme apresetado o quadro 1. Aalisado-se as respostas cotidas o Quadro 1, a solução escolhida para a cotiuidade do trabalho, foi a da Simulação 2 em que o algoritmo de Teitz e Bart melhorou em 8,72% a solução forecida pelo AGPMed. Esse resultado reflete a boa combiação desses dois algoritmos. Esta simulação foi escolhida por apresetar o meor valor de trasmissão etre os potos, defiido assim, as 12 semetes melhor localizadas. No Algoritmo Geético, o úmero de idivíduos para formar a população variou de 75 a 200 e apresetou a melhor solução com 150 idivíduos, o que mostra ão ser ecessário uma população umerosa, haja vista que esse algoritmo é probabilístico e busca os idivíduos mais aptos para o crossover. Na terceira etapa, utilizou-se o algoritmo de Gillet e Johso para a clusterização dos potos (formação dos agrupametos em toro das mediaas ecotradas a etapa aterior). Esse algoritmo foi implemetado icorporado-se a restrição de capacidade para cada um dos depósitos (leituristas), o que garatiu aproximadamete a mesma quatidade de clietes para cada um. Na seguda fase foi proposta a formulação do PCC que foi resolvido pelo software LINGO. O tempo de execução foi de, aproximadamete, 1 segudo para cada cluster, com uma média de 110 iterações para cada um destes clusters. Esta formulação cosiderou apeas os arcos válidos, ou seja, os vértices que podem ser realmete ligados. 4. Coclusões A utilização do Algoritmo Geético melhorado com a utilização do Algoritmo de Teitz e Bart forece uma boa solução para o problema das p-mediaas. O algoritmo de Gillet e Johso é fácil de ser implemetado e apreseta resultados satisfatórios para a desigação dos potos aos respectivos depósitos (leituristas). Para o roteameto dos subgrupos, o PCC mostrou-se ser eficiete e comparado-se a solução da implemetação com a solução atual do problema, percebe-se o total uma melhoria de 6,15%. Isso represeta uma redução média de metros o circuito total deste grupo de 774 potos e, cosiderado-se que existem outros 6 grupos semelhates o muicípio de Pato Braco, tora-se viável e importate a sua implemetação. Outro aspecto a ser cosiderado é a automatização a obteção das rotas, de maeira rápida e eficaz. ENEGEP 2003 ABEPRO 5

6 Referêcias BARBOSA, H. (1997). Itrodução aos Algoritmos Geéticos. CNMAC, Gramado, RS. BODIN, L.D.; ASSAD, B.L. & BALL, A. (1983). Routig ad Schedulig of Vehicles ad Crew, The State of the Art. Computers & Ops. Res.10, CHRISTOFIDES, N. (1975). Graph theory A algorithmic approach. New York: Academic Press Ic, Lodo. EDMONDS; J. & JOHNSON, E.L. (1973). Matchig, Euler tour ad the chiese postma. Mathematical Programmig, 5, EULER, L. (1976). Solutio problematics ad geometria situs pertietis. Cometarii Academae Scietarum, Petropoliae, 8, GOLDBARG, M.C. (2000). Otimização Combiatória e programação liear: modelos e algoritmos. Campus, Rio de Jaeiro. GOLDBERG, D. (1986). Geetic Algorithms i Search, Optimizatio, ad Machie Learig. Addiso-Wesley, Melo Park, CA. MAYERLE, S.F. (1994). Um Algoritmo Geético para Solução do Problema do Caixeiro Viajate. Trabalho Itero: UFSC, Floriaópolis. SMIDERLE, A. (2001). Técicas da Pesquisa Operacioal Aplicadas a um Problema de Cobertura de Arcos. Dissertação de Mestrado, UFPR. TEITZ, M.B. & BART, P. (1968). Heuristics methods for estimatig the geeralized vertex media of a weighted graph. Operatios Research, 16, ENEGEP 2003 ABEPRO 6