Método de Monte Carlo. Técnica de redução da variância. Monte Carlo Method. Variance reduction technique

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1 Método de Mote Carlo ARTIGO ORIGIAL / ORIGIAL ARTICLE Método de Mote Carlo. Técica de redução da variâcia Mote Carlo Method. Variace reductio techique Aa Vergíia Libos Messetti* Simoe de Castro Queiroz** * Mestre em Agroomia (Eergia a Agricultura, UESP/Botucatu) Docete do Departameto de Matemática Aplicada do Cetro de Ciêcias Exatas da Uiversidade Estadual de Lodria (UEL) ** Doutora em Agroomia (Eergia a Agricultura, UESP/Botucatu) Docete do Departameto de Matemática Aplicada do Cetro de Ciêcias Exatas da Uiversidade Estadual de Lodria (UEL) <siqueiroz@uol.com.br> Resumo O presete trabalho tem como objetivo mostrar que o método Mote Carlo ou Simulação é um método umérico auxiliar, para resolver problemas de cálculo de itegração o qual ão é possível obter solução de forma aalítica, ou mesmo usado solução umérica, se tora iviável. a itrodução apreseta-se a codição ecessária para aplicação do método de Mote Carlo que para estimar área aproximada com certa precisão deve-se trabalhar com úmeros aleatórios e uiformemete distribuídos. Por ser processo de geração de úmeros aleatórios, uma parte fudametal a aplicação do método de Mote Carlo, foi realizado em materiais e métodos um exemplo do cálculo de uma itegral, o qual possui solução aalítica para que se possa comparar o resultado do método com o verdadeiro valor da área, utilizado duas técicas de redução de variâcia. Fialmete cocluiu-se que o Método Mote Carlo é eficiete, de fácil aplicação e deve ser utilizado sempre que ão for possível estimar uma área aaliticamete. Observase que com os coceitos da estatística básica, é possível fazer a comparação etre as duas técicas utilizadas a aplicação, e o resultado apresetou que o erro, ocorrido o Método gem Estratificada para atigir a verdadeira área, foi muito meor em relação ao erro do Método Primitivo. Palavras-chave: Mote Carlo, simulação, itegração, úmeros aleatórios, redução de variâcia. Abstract The aim of the preset work was to demostrate that Mote Carlo Method or Simulatio is a auxiliary umerical method to solve problems of itegratio whe it is ot possible to obtai a solutio i aalytical way or through umerical solutio. I the itroductio, was established a ecessary coditio for its applicatio i estimatig a area with certai precisio. This coditio was to deal with aleatory umbers evely distributed. Beig a process of radom umber geeratio, a importat part of the experimet was to calculate the itegral, o which the aalytical solutio could be compared to the result obtaied by the method with the true value of the area, usig two techiques of variace reductio. Thus, it was demostrated that Mote Carlo Method is efficiet, of easy applicatio ad it ca be used wheever it is ot possible to estimate some area aalytically. It might be oticed that, with a few basic statistics cocepts, it was possible to compare the two techiques, ad the result demostrated that the error, detected by usig the Samplig Stratified Method to obtai the true area, was much smaller tha the oe resultig from the primitive method. Key words: Mote Carlo, simulatio, itegratio, aleatory umbers, variace reductio. MESSETTI, A.V.L.; QUEIROZ, S.C. / UOPAR Ciet., Ciêc. Exatas Tecol., Lodria, v.,., p , ov. 39

2 Método de Mote Carlo Itrodução O ome e o desevolvimeto sistemático do método de Mote Carlo datam de aproximadamete 944, embora, de modo assistemático e ão omiado, a referida teoria já tivesse sido empregada em casos isolados de resolução de problemas de ordem determiística e probabilística. O ome de MOTE CARLO se deve a cidade o pricipado de Môaco, por causa de uma roleta, um gerador de úmeros aleatórios. Em 899, Lorde Rayleigh mostrou que uma variável aleatória satisfaz sem problema uma solução aproximada para uma equação diferecial parabólica. Em 93, Kolmogorov mostrou a relação etre o processo estocástico de Markov e certas equações diferecial itegral. O uso real dos métodos de Mote Carlo, como uma ferrameta de pesquisa, origiam de trabalho a bomba atômica durate a seguda Guerra Mudial. Este trabalho evolveu uma simulação direta dos problemas de probabilidade, tedo a ver com a difusão de êutro aleatório em material fudível; mas até mesmo em estágios ateriores a essas ivestigações, Vo euma e Ulam refiaram essa particular roleta russa e itesos métodos. Em aproximadamete 97, a recete teoria em desevolvimeto de complexidade computacioal começou a prover uma razão mais precisa e persuasiva para empregar o método de Mote Carlo. Podemos dizer que o método Mote Carlo é um método umérico auxiliar, para resolver problemas matemáticos mediate simulação de variáveis aleatórias, a qual ão é possível obter solução de forma aalítica, ou mesmo usado solução umérica se tora iviável. Porém, em todos os problemas são solucioados por Mote Carlo, pois em sempre forece valores que se ecaixam detro de limites razoáveis. Para termos uma idéia mais clara, cosideremos o exemplo: seja a Figura compreedida detro de um quadrado de lado. Figura Figura Para obtermos a área da Figura, tomemos potos aleatórios detro do quadrado. Seja o úmero de potos detro da figura S. Geometricamete, a área de S é aproximadamete /. Quado for muito grade, mais próximos estaremos da área verda-deira, isto é, meos erro estaremos cometedo. Pelo exemplo da figura aterior, = 6 potos e = 8 potos, assim obtemos uma área aproximada de / = 8/6 = 3, ode a área exata é,36, obtedo um bom resultado. Seja o experimeto da Figura. Tomemos um bom atirador situado a uma certa distâcia dispara vezes detro do quadrado. Pela Figura, se ele atira 6 vezes e acerta em S 4 vezes, etão /= 4/6=,7, ocorredo um grade erro a área de S. Assim, para obtermos uma boa estimativa da área S, devemos trabalhar somete com potos aleatórios, que por serem aleatórios, estarão distribuídos uiformemete detro do quadrado. Aplicação. Aplicação do método de Mote Carlo para cálculo de itegrais O problema estatístico mais comum que requer itegração é de ecotrar algum parâmetro que descreva uma distribuição de probabilidade. Geral-mete ão é simples descrever a fução desidade de probabilidade. Assim, simulação, ou Método de Mote Carlo, pode solucioar tal problema, com certa precisão. Sempre devemos levar em cota que essa precisão seja míima, ou que a variâcia seja míima. Cosideremos a fução g(x),defiida o itervalo (a, b). Queremos calcular o valor aproximado da itegral b θ = gxdx ( ) a Seja uma fução f ξ (x) de desidade de probabilidade em (a, b), ode ξ é uma variável aleatória, defiida por η = g(ξ) / f ξ (ξ) 4 MESSETTI, A.V.L.; QUEIROZ, S.C. / UOPAR Ciet., Ciêc. Exatas Tecol., Lodria, v.,., p , ov.

3 Método de Mote Carlo Assim temos, b E(η) = gx ( )/ f( x) f( xdx ) = θ a [ ξ ] Cosideremos agora variáveis aleatórias η, η,..., η idepedetes e uiformemete distribuídas em (a, b), e aplicamos a soma dessas variáveis. O teorema do limite cetral afirma que qualquer que seja o itervalo (a, b) se tem para valores grades de P j = V ( η) η j θ < 3, 997 ξ,, ξ..., ξ Escolhedo valores (ode cada um deles é igual aos úmeros x, x,...x ). Para suficietemete grade, temos j = Temos que essa aproximação possui uma elevada probabilidade de erro que ão passa de Para escolher o esquema de cálculo, tomemos uma variável aleatória qualquer ξ defiida, o itervalo (a, b). Assim em todos os casos temos Pela variâcia V(η) e estimativa de θ o erro depede de como tomemos a variável ξ. Com efeito ode essa expressão será míima quado f ξ (x) seja proporcioal a gx (). Para reduzir a variâcia usamos algumas técicas de redução da variâcia, que, como já vimos podem depeder do modelo matemático e das técicas de geração de variável aleatória. As pricipais técicas de redução de variâcia são as seguites: Mote Carlo primitivo (grude Mote Carlo) Mote Carlo Certo-ou-Errado gem Estratificada gem de Importâcia Variáveis de Cotrole Variáveis Atitéticas Roleta Russa e fracioameto. Iremos exemplificar apeas duas técicas a seguir. Cosideremos o problema de calcular umericamete uma itegral da forma ode, ou seja, a área hachurada da Figura 3. Assim aaliticamete ξ g( ξ j ) f ( ξ ) ξ 3 V( η)/ j θ [ ξ ] E( η) = E g( ξ)/ f ( ξ) = θ [ ξ ] V( η) = E( η ) θ = g ( x)/ f ( x) dx θ θ = gxdx ( ) b a gx ( ) = x π θ = x = + = xdx x arcse x 4 Figura 3 Mote Carlo Primitivo (Grude Mote Carlo) Cosideremos os úmeros aleatórios x, x,..., x idepedetes e uiformemete distribuídos etre e. Etão, os valores g(x j ), j=,,...,, são variáveis aleatórias idepedetes com esperaça ode ou seja f(x) é uiforme em (, ). Assim temos um estimador ão-viesado de θ e sua variâcia é e aaliticamete E( g( x)) = g( x) f ( x) dx = g( x) dx = θ f ( x) = σ g = j= g( E tomado-se úmeros aleatórios (x i ), idepedetes e uiformemete distribuídos etre (,), coforme a Tabela. x j = ( ) ) [ gx θ] σ π π = ( g x ) g x + ( ) ( ) 4 3 x π π π x x dx = 498 =, / MESSETTI, A.V.L.; QUEIROZ, S.C. / UOPAR Ciet., Ciêc. Exatas Tecol., Lodria, v.,., p , ov. 4

4 Método de Mote Carlo Tabela úmeros aleatórios x i, com as respectivas variáveis aleatórias g(x). Ordem i Xi g(x),3,,99,4 3,,994 4,4,999 5,6,79 6,93,368 7,7,74 8,6,79 9,68,733,94,34,98,99,95,3 3,37,99 4,3,947 5,3,95 6,39,9 7,5,854 8,87,493 9,4,97,84,543,8,57,47,883 3,4,98 4,55,835 5,93,368 6,4,97 7,,993 8,6,966 9,65,76 3,9,45 3,7,963 3,69,74 33,9,436 34,64,768 35,94,34 36,3, 37,5,989 38,,978 39,9,45 4,,978 4,34,94 4,4,9 43,48,877 44,,978 45,57,8 46,86,5 47,88,475 48,75,66 49,5,866 5,87,493 5,88,475 5,6,79 53,8,586 54,9,45 55,6,79 56,4,9 57,9,957 58,6,998 59,73,683 6,,993 59,73,683 6,,993 6,74,673 6,85,57 63,7,74 64,59,87 65,57,8 66,48,877 67,54,84 7,47,883 7,8,984 7,6,79 73,9,45 74,36,933 75,74,673 76,9,436 77,89,456 78,97,43 79,57,8 8,54,84 8,6,8 8,83,558 83,3,947 84,59,87 85,83,558 86,, 87,9,957 88,4,99 89,3,99 9,49,87 9,9,98 9,5,989 93,,98 94,, 95,3,973 96,,993 97,3,954 98,8,96 99,7,998,83,557 Tabela Resultados da aálise estatística Método Mote Carlo Primitivo. g(x) - θ Variâcia Erro padrão,83,5, 3 Mote Carlo por gem Estratificada Uma forma de melhorar o resultado do método de Mote Carlo Primitivo é subdividido o itervalo (, ) em vários subitervalos (α j-, α j ), ode = α < α <...< α k =, e a cada subitervalo aplicar o método. Tomamos ovamete úmeros aleatórios, mas subdivididos em 4 itervalos α =, α =,5, α 3 =,5, α 4 =,75 e α 5 =,. Assim, 5 úmeros aleatórios em cada subitervalo e aplicamos o Método de Mote Carlo Primitivo, como mostra a Tabela 3. Tabela 4 Resultados da Aálise Estatística. Método Mote Carlo gem Estratificada. 4 Resultados e Discussão g(x) - θ Variâcia Erro padrão,3,56,4 Os problemas de Mote Carlo e das estimativas estatísticas diferem a complexidade do modelo. Seria acoselhável trabalharmos com um modelo que ão pode ser resolvido aaliticamete, pois Mote Carlo é um método para obter respostas quado quase todos os meios aalíticos são complexos e de difíceis soluções. Mas para cofirmarmos realmete a redução da variâcia, cosideramos uma fução de área cohecida e, através de algumas aálises estatísticas, verificamos os resultados dos parâmetros para comprovar se o método é realmete eficiete. Como a difereça dos valores das áreas ecotradas pelos dois métodos foi um erro muito pequeo, cocluímos que o Método Mote Carlo é eficiete e deve ser utilizado sempre que ão for possível estimar a área de uma fução complexa. Para comparar os dois métodos utilizados a aplicação, o primeiro mometo tomamos uma amostra de úmeros aleatórios para cada método. O erro ocorrido o Método gem Estratificada para atigir a verdadeira área foi muito meor em relação ao erro do Método Primitivo. um segudo mometo, e para eriquecer a afirmação, aplicamos o teste para difereça das duas médias amostrais e houve difereça sigificativa o ível de sigificâcia de,5. Logicamete, o Método gem Estratificada foi mais 4 MESSETTI, A.V.L.; QUEIROZ, S.C. / UOPAR Ciet., Ciêc. Exatas Tecol., Lodria, v.,., p , ov.

5 Método de Mote Carlo eficiete, o que já era esperado, porque, reduzido o espaço amostral em cada itervalo, se reduz também o erro. 4. Mote Carlo primitivo Utilizado a técica de redução de variâcia Mote Carlo Primitivo o valor da esperaça da variável aleatória foi igual a, O estimador ão viesado da esperaça é a média amostral g(x) com valor igual,7667. A difereça etre os dois valores é cosiderado o erro das médias,87. Como foi demostrado a metodologia, o valor da variâcia da variável aleatória foi igual a,498 /. Extraido a raiz quadrada obtemos o erro padrão teórico e igual à,. Comparado o resultado do item com resultado do item, cocluímos que o Método Mote Carlo é eficiete quato a aproximação do valor fial da área. Pode-se escrever o resultado de uma estimativa de g(x), um itervalo de cofiaça para a média da variável aleatória com o ível de sigificâcia de 5%: P [,798 < θ <,839 ] = 95% 4. Mote Carlo gem estratificada Utilizado a técica de redução de variâcia, Mote Carlo - gem Estratificada, dividimos o itervalo (, ) em 4 partes iguais, e a média amostral da variável aleatória foi igual a,777. Como foi também demostrado a metodologia, o valor da variâcia da variável aleatória esse método foi igual a,498. O erro padrão teórico foi igual a,43. Comparado os ites e, cocluímos que o valor fial da área está bem próximo do valor real, com o erro muito pequeo e melhorado muito o resultado fial. Pode-se escrever o resultado de uma estimativa de g(x), um itervalo de cofiaça para a média da variável aleatória com ível de sigificâcia de 5%: P [,789 < θ <,8567 ] = 95% 4.3 Teste de sigificâcia para a igualdade das médias Hipóteses H: µ = µ H: µ ¹ µ ível de sigificâcia =,5 Estatística Cálculo t = (,7667 -,777) /,33*,44 = -,3 Região Crítica T tabelado ( 98 ; 5% ) = ±,96 Tabela 3 úmeros aleatórios xi, e as respectivas variáveis aleatórias g(x). Ordem i xi g(x),,,, 3,3, 4,3, 5,3, 6,4,999 7,5,999 8,6,998 9,,995,,995,,995,,994 3,4,99 4,4,99 5,5,989 6,5,989 7,5,989 8,7,985 9,8,984,8,984,9,98,9,98 3,9,98 4,,98 5,,975 6,6,966 7,6,966 8,7,963 9,7,963 3,9,957 3,3,954 3,3,954 33,3,947 34,3,947 35,3,947 36,33,944 37,33,944 38,34,94 39,34,94 4,34,94 4,38,95 4,4,9 43,4,9 44,4,98 45,44,898 46,45,893 47,45,893 48,48,877 49,48,877 5,48,877 5,53,848 5,54,84 53,54,84 54,54,84 55,54,84 56,55,835 57,55,835 58,59,87 59,6,8 6,6,79 6,6,79 6,6,79 63,6,79 64,6,785 65,63,777 66,64,768 67,65,76 68,67,74 69,67,74 7,7,74 7,7,694 7,7,694 73,7,694 74,74,673 75,74,673 76,75,66 77,77,638 78,78,66 79,78,66 8,8,6 8,8,586 8,8,57 83,84,543 84,84,543 85,86,5 86,87,493 87,89,456 88,9,39 89,93,368 9,93,368 9,93,368 9,95,3 93,95,3 94,96,8 95,97,43 96,98,99 97,98,99 98,99,4 99,99,4,99,4 MESSETTI, A.V.L.; QUEIROZ, S.C. / UOPAR Ciet., Ciêc. Exatas Tecol., Lodria, v.,., p , ov. 43

6 Coclusão Como t calculado < t tabelado, rejeita-se H e cofirmamos que há difereça sigificativa etre os dois métodos. - MOTE CARLO PRIMITIVO - CRUDE - MOTE CARLO - AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA g(x) - Variâcia Erro padrão,3,56,43,,5,6 3,3,54,36 g(x) - θ Variâcia Erro padrão 4,9,56,4 5,5,55,4,83,5,,66,49,5 3,73,46, 4,3,46, 5,,46,9 - MOTE CARLO - AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA Referêcias HAMMERSLEY, J.M.; HADSCOMB, D.C. Les Méthodes de mote Carlo. Paris: Duod, 967. SHIMIZU, T. Método Mote Carlo. São José dos Campos, 996. Publicação Itera do laboratório de Processameto de Dados do ITA. SÓBOL, I. M. Método de Motecarlo. Moscou -URSS: Ed. Mir, 976. g(x) - θ Variâcia Erro padrão THISTESTED, R. A. Elemets of statistical computig. ew York: Chapma ad Hall, 988.,3,56,4,,5,6 3,3,54,3 4,9,56, 5,5,55, - MOTE CARLO PRIMITIVO - CRUDE g(x) - Variâcia Erro padrão,83,5,,66,49,5 3,73,46, 4,3,46, 5,,46,9