Diferentes testes para verificar normalidade de uma amostra aleatória

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1 Diferetes testes para verificar ormalidade de uma amostra aleatória Ferado Lucambio Departameto de Estatística Uiversidade Federal do Paraá Curitiba/PR Brasil Maio de 008 Mostraremos os testes para ormalidade mais utilizados: teste Jarque-Beta teste D Agostio teste χ de Pearso de bodade de ajuste teste Shapiro-Wilk teste Lilliefors teste Aderso- Darlig e teste de Cramer-vo Mises. Este tema é extremamete importate e por isso existem muitas outras propostas de testes para verificar ormalidade de amostras em diferetes cotextos uma excelete referêcia é Stephes 1986). 1 Teste Jarque-Beta Proposto por Bera & Jarque 1980) baseia-se a difereça etre os coeficietes de skewess e kurtosis dos dados y 1 y... y e àqueles da distribuição assumida ormal. As hipóteses ula e alterativa o teste Jarque-Bera são: ode H 0 : y 1 y... y Nµ σ ) vs H 1 : ão H 0 α JB = α ) 4 3) 4 α 3 = y i y) 3 s 3 α 4 = y i y) 4 s 4 s = y i y) Aqui y é a média amostral e s α 3 e α 4 o segudo terceiro e quarto mometos cetrais respectivamete. A estatística JB têm distribuição assitótica χ ) sob a hipóteses ula. O teste de Jarque-Beta é cohecido por ter boas propriedades para verificar ormalidade é claro e simples de calcular e é muito utilizado o cotexto de regressão em ecoometria. Uma limitação é que somete pode ser utlizado a verificação de ormalidade. No R R Developmet Core Team 006) a fução rjb.test o pacote lawstat forece a estatística de teste JB acima assim como o p-valor e também NormalityTests o pacote fbasics. 1

2 Teste D Agostio-Pearso Também cohecido como teste D foi proposto por D Agostio 1970) e têm sido muito utilizado para verificar ormalidade. Supoha que y 1 y... y é a amostra aleatória e que y 1) y )... y ) é a amostra ordeada isto é y 1) y )... y ). A estatística D de teste é D = T s ode s é o desvio padrão amostral o quel é calculado como a raíz quadrado positiva de s segudo defiido o cotexto do teste Jarque-Bera e T = i + 1 Se a amostra é da distribuição ormal temos que ) y i) E{D} = 1)Γ 1 ) πγ ) 1 π o desvio padrão assitótico da estatística D é π s{d} = 4π Utiliza-se a estatística D padroizada como D = D E{D} s{d} a qual têm distribuiçãoormal aproximada sob hipótese ula. No R a fução NormalityTests o pacote fbasics forece a estatística de teste D acima assim como o p-valor. 3 Teste χ de Pearso de bodade de ajuste A estatística do teste Pearso é P = C i E i ) E i ode C i é o úmero de observações e E i é o úmero de observações esperadas sob a hipóteses ula) a i-ésima classe. Estas classes são escolhidas de maeira sejam equiprováveis sob a hipóteses de ormalidade. O p-valor é calculado da distribuição χ com graus de liberdade iguais ao úmero de classes meos 3 ou ao úmero de classes meos 1 se decide-se pela correção ou ão a correção recomedase somete em pequeos tamahos de amostras). Em ambos os casos este ão é o correto valor do p-valor ficado a maioria das vezes etre estes dois valores Moore 1986). Este teste ão é recomedado para testar ormalidade devido às iferiores propriedades comparado aos otros testes dispoíveis. Em siatuções práticas calcula-se o p-valor da distribuição χ com graus de liberdade iguais ao úmero de classes meos 3 devido à estimação dos dois parâmetros da desidade ormal. As fuções R pchitest o pacote fbasics e pearso.test o pacote ortest calculam este teste. Devido a que como mecioado o verdadeiro valor do p-valor a maioria das vezes fica etre dois valores recomeda-se utilizar primeiro a fução pearso.testyadjust=true) e depois pearso.testyadjust=false) também sugere-se alterar o úmero de classes e observar o efeito disso o p-valor.

3 4 Teste Shapiro-Wilk Proposto por Shapiro & Wilk 1965) utiliza a estatística W = a iy i) ) y i y) ode as costates a 1 a... a são calculadas como a solução de a 1 a... a ) = m V 1 m V 1 V 1 m) 1/ sedo m = m 1 m... m ) o vetor dos valores esperados das estatísticas de órdem da amostra e V a matriz de covariacias dessas estatísticas. O p-valor deste teste é calculado exatamete para = 3 em outras situações utilizam-se aproximações diferetes para 4 11 e para 1 Shapiro & Fracia 197). No R as fuções shapiro.test o pacote stats forece a estatística de teste acima assim como o p-valor e a fução sftest o pacote fbasics. 5 Teste Lilliefors O teste Lilliefors uma modificação do teste Kolmogorov-Smirov utiliza a estatística D de Kolmogorov-Smirov que mede a difereça máxima absoluta etre a fução de distribuição acumulada empírica e teórica. D = max{d + D } ode D + = max... { i p i)} D = max... {p i) i 1} e p i) = Φ[x i) x]/s). Nesta expressão Φ é a fução de distribuição acumulada ormal padrão e x ad s são a média e desvio padrão amostrais. O p-valor é calculado pela fórmula em Dallal & Wilkiso 1986) a qual é cofia vel quado o p-valor é meor do que 0.1. Se o p-valor Dallal-Wilkiso forece um valor maior do que 0.1 o verdadeiro p-valor deve ser calculado da distribuição da estatística de teste modificada ) 0.85 Z = D Stephes 1986) o p-valor é obtido etão via simulações e aproximações. As fuções R ksormtest o pacote fbasics e ks.test o pacote ortest calculam o teste Kolmogorov-Smirov e as fuções lillietest o pacote fbasics e lillie.test o pacote ortest calculam o test Lilliefors. O teste Lilliefors Kolomorov-Smirov) é o mais famoso teste para verificar ormalidade. Comparado aos teste Aderso-Darlig e Cramer-vo Mises é cohecido que sua performa-se é pior. Embora as estatísticas obtidas das fuções R lillie.testy) e ks.testy porm meay) sdy)) sejam iguais isto ão acotece com o p-valor devido a que a distribuição das estatísticas de teste diferem quado estimados os parâmetros. 3

4 6 Teste Aderso-Darlig Proposto por Aderso & Darlig 195) é mais utilizado quado o tamaho da amostra ão é superior a 5. Este teste é baseado a fução de distribuição empíica a idéia é que dada a fução de distribuição sob hipóteses ula os dados podem ser trasformados à distribuição uiforme. Os dados trasformados podem etão serem testados para uiformidade. A = 1 [i 1][lp i) ) + l1 p i+1) )] ode p i) = Φ[y i) y]/s) são os percetis ordeados da distribuição ormal padrão e Φ represeta a fução de distribuição acumulada ormal padrão. O p-valor é calculado da estatística modificada Z = ) A como 1 e Z 3.73Z se Z < 0. 1 e Z Z se 0. Z < 0.34 e Z 1.38Z se 0.34 Z < 0.6 e e Z Z se Z 0.6. No R as fuções ad.test o pacote ortest forece a estatística de teste acima assim como o p-valor e a fução adtest o pacote fbasics. 7 Teste Cramer-vo Mises Este teste é também baseado a distribuição acumulada foi proposto por Darlig 1957). W = p i) i 1 ) ode p i) = Φ[x i) x]/s) são os percetis ordeados da distribuição ormal padrão e Φ represeta a fução de distribuição acumulada ormal padrão. O p-valor é calculado da estatística modificada Z = ) W como 1 e Z Z se Z < e Z Z se Z < e Z Z se Z < 0.09 e e Z+1.83Z se Z No R as fuções cvm.test o pacote ortest forece a estatística de teste acima assim como o p-valor e a fução cvmtest o pacote fbasics. Referêcias Aderso T.W. & Darlig D.A. 195). Asymptotic theory of certai goodess-of-fit criteria based o stochastic processes. Aals of Mathematical Statistics Bera A. & Jarque C. 1980). Efficiet test for ormality heterocedasticity ad serial idepedece of regressio residuals. Ecoometrics Letters

5 D Agostio R.B. 1970). Trasformatio to ormality of the ull distributio of g 1. Biometrika 573) Dallal G.E. & Wilkiso L. 1986). A aalytic approximatio to the distributio of Lilliefors s test for ormality. The America Statisticia Darlig D.A. 1957). The Kolmogorov-Smirov Cramer-vo Mises Tests. Aals of Mathematical Statistics 84 Dec.)) Moore D.S. 1986). Tests of the chi-squared type. D Agostio R.B. ad Steves M.A. eds.: Goodess-of-Fit Techiques. New York: Marcel Dekker. R Developmet Core Team 006). R: A Laguage ad Eviromet for Statistical Computig. R Foudatio for Statistical Computig Viea Austria. ISBN Shapiro S.S. & Fracia R.S. 197). A Approximate Aalysis of Variace Test for Normality. Joural of the America Statistical Associatio Shapiro S.S. & Wilk M. 1965). A aalysis of variace test for ormality complete samples). Biometrika Stephes M.A. 1986). Tests based o EDF statistics. I Goodess-of-Fit Techiques. D Agostio R.B. ad Steves M.A. eds.: Goodess-of-Fit Techiques. New York: Marcel Dekker. 5