CÍCERO CARLOS RAMOS DE BRITO MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS TESE DE DOUTORADO

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1 CÍCERO CARLOS RAMOS DE BRITO MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS TESE DE DOUTORADO RECIFE - PE AGOSTO

2 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA E ESTATÍSTICA APLICADA MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS Tese apresetada à Uiversidade Federal Rural de Perambuco, para obteção do título de Doutor em Biometria e Estatística Aplicada, Área de Cocetração: Modelagem e estatística aplicada. Estudate: Cícero Carlos Ramos de Brito Orietador: Prof. Dr. Wilso Rosa de Oliveira Co-orietador: Prof. Dr. Leadro Chaves Rêgo Recife, agosto de 2014

3 Ficha catalográfica B862m Brito, Cícero Carlos Ramos de Método gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas / Cícero Carlos Ramos de Brito. Recife, f. : il. Orietador: Wilso Rosa de Oliveira. Tese (Doutorado em Biometria e Estatística Aplicada) Uiversidade Federal Rural de Perambuco, Departameto de Estatística e Iformática, Recife, Referêcias e apêdice(s). 1. Distribuições probabilísticas 2. Fuções geradoras de classes de distribuições 3. Método gerador de distribuições de probabilidade 4. Método gerador de classes de distribuições de probabilidade I. Oliveira, Wilso Rosa de, orietador II. Rêgo, Leadro Chaves, co-orietador. CDD 310

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5 As duas mulheres da miha vida, miha mãe D. Severia Ramos de Brito (i memoria) e, miha esposa Bárbara Christia Silva de Brito. Dedico.

6 AGRADECIMENTOS Ao meu bom Deus, por estar sempre presete os mometos de alegrias e dificuldades. À miha família, pois, sem ela ão teria coseguido vecer mais esta batalha. À Uiversidade Federal Rural de Perambuco, em especial ao Departameto de Estatística e Iformática, por ter dado todas as codições ecessárias para a realização do presete trabalho. Aos Professores Doutores Wilso Rosa de Oliveira e Leadro Chaves Rêgo, pela dedicação, esiametos, cofiaça, amizade e paciêcia sempre cocedida. À Coordeação do Programa de Pós Graduação em Biometria e Estatística Aplicada, por ter dado todas as codições ecessárias para o desevolvimeto do curso. A todos os Professores do Programa de Pós Graduação em Biometria e Estatística Aplicada que, diretamete ou idiretamete, cotribuíram para o meu sucesso. Aos doutores, professores e amigos Paulo José Duarte Neto, Kleber Napoleão Nues de Oliveira Barros, Gabriel Rivas de Melo, José de Arimatéa Rocha, Ricardo Normado e João Silva Rocha pelo apoio e icetivo a este trabalho. Aos professores José Atôio Aleixo da Silva e Gauss Moutiho Cordeiro, que sempre me icetivaram e me estimularam a academia, pricipalmete a pesquisa cietífica, tedo servido de exemplos para meu crescimeto o estudo da Biometria e especificamete a Estatística.

7 RESUMO Este trabalho divide-se em cico capítulos. No primeiro trazemos a itrodução que cotém os objetivos e a relevâcia deste estudo. No segudo, temos a revisão da literatura em que apresetamos o estado da arte deste campo do cohecimeto e fazemos um apahado das distribuições mais utilizadas que são base para as que geeralizamos em capítulos posteriores. No terceiro capítulo, apreseta-se o método gerador, que é um teorema proposto com 7 corolários, que estede o processo de costruções de distribuições de probabilidades, a fim de que as classes de distribuições sejam costruídas a partir de fuções mootôicas uivariadas pré-defiidas e distribuições cohecidas. No quarto capítulo foi trabalhado semelhatemete ao terceiro, etretato, a costrução se deu a partir das fuções mootôicas multivariadas prédefiidas e distribuições multivariadas cohecidas. Também foi realizado o desevolvimeto das ovas distribuições probabilísticas e ovas fuções geradoras de classes de distribuições probabilísticas. Ilustramos a potecialidade da ova distribuição de probabilidade uivariada aqui proposta através de uma aplicação ao cojuto de dados reais de excessos de picos de echetes apresetado em Choulakia e Stephes (2001). Para uma aplicação da ova distribuição multivariada proposta, utilizou-se a base de dados de medidas da Flor de Iris apresetada o trabalho de Fisher (1936). São comparados seis modelos e para a seleção desses modelos, foram utilizados o Critério de Iformação de Akaike (AIC), o Critério de Iformação de Akaike corrigido (AICc), o Critério de Iformação Bayesiao (BIC), o Critério de Iformação Haa Qui (HQIC) e as estatísticas de Cramer Vo-Mises e de Aderso-Darlig para avaliar o ajuste dos modelos. Por fim, apresetamos as coclusões a partir das aálises e comparações dos resultados obtidos e direções a trabalhos futuros. Palavras-chave: distribuições probabilísticas, fuções geradoras de classes de distribuições de probabilidades, método gerador de distribuições de probabilidades, método gerador de classes de distribuições probabilísticas.

8 ABSTRACT This work is divided ito five chapters. The first oe cotais the objectives ad the relevace of this study. I the secod oe, we review the literature presetig the state of the art i the field ad we give a overview of the most used distributios which are the basis for the oes we geeralize i later chapters. I the third chapter, the method for geeratig distributios is preseted by meas of a theorem ad 7 corollaries. This method exteds the probability distributio buildig process, so that the classes of distributios are costructed from pre-defied uivariate mootoic fuctios ad kow distributios. I the fourth chapter, similarly to the third oe, however, the costructio was made from pre-defied multivariate mootoic fuctios ad kow multivariate distributios. We also coducted the developmet of ew probability distributios ad ew geeratig fuctios of probability distributio classes. We illustrate the potetiality of this ew uivariate probability distributio we propose here by meas of a applicatio to a actual data set of excesses of flood peaks preseted by Choulakia e Stephes (2001). For the applicatio of the ew multivariate distributio proposed, we used the database of measuremets of Iris Flower exposed i Fisher s work (1936). Six models were compared ad, for their choice, we based o the Akaike Iformatio Criterio (AIC), the Akaike Iformatio Criterio corrected (AICc), Bayesia Iformatio Criterio (BIC), the Haa Qui Iformatio Criterio (HQIC) ad the statistics of Cramér-vo Mises ad Aderso- Darlig to assess the model fittig. Fially, we preset the coclusios from de aalyses, the comparisos from the results foud i this thesis, the possibilities for research ad ways to future works. Keywords: probability distributios, geeratig fuctios for classes of probability distributios, geeratig method of probability distributios, method of geeratig classes of probability distributios.

9 LISTA DE FIGURAS Figura Represetação do suporte da fda do Teorema 3.1 para lim x Ʋ(x) lim Ѵ(x) e lim Ʋ(x) 0... x x Represetação do suporte da fda do Teorema 3.1 para lim x Ʋ(x) = lim x Ѵ(x) Represetação do suporte da fda do Corolário para lim W(x) lim (x) e lim (x) = x + x + x Represetação do suporte da fda do Corolário para lim W(x) = lim (x) x + x Fdp da distribuição complemetar gama 1 Exp Fdp da distribuição complemetar gama 1 Exp Fdp da distribuição complemetar gama 1 Exp Fda da distribuição complemetar gama 1 Exp Fda da distribuição complemetar gama 1 Exp Fda da distribuição complemetar gama 1 Exp R(x) da distribuição complemetar gama 1 Exp R(x) da distribuição complemetar gama 1 Exp R(x) da distribuição complemetar gama 1 Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Exp Pág. com α variado com β variado com λ variado com α variado com β variado com λ variado com α variado com β variado com λ variado Fdp s ajustados a massa de dados dos picos de echetes o rio Wheato Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) / 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) / 179

10 Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com a1 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com a1 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com a2 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com a2 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com b1 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com b1 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com b2 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com b2 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com λ1 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com λ1 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com λ2 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com λ2 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) variado

11 Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) / Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada 182 ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) / 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com a1 variado Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com a1 variado Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com a2 variado Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com a2 variado Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com b1 variado Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com b1 variado Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com b2 variado Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com b2 variado Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) com λ1 variado Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com λ1 variado

12 Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com λ2 variado Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) com λ2 variado (a) Histograma dos dados das pétalas da Flor Iris em perspectiva (a) (b) Histograma dos dados das pétalas da Flor Iris em perspectiva (b) Gráfico do cotoro ajustado ao modelo M Gráfico de superfície ajustado ao modelo M Gráfico do cotoro ajustado ao modelo M Gráfico de superfície ajustado ao modelo M Gráfico do cotoro ajustado ao modelo M Gráfico de superfície ajustado ao modelo M Gráfico do cotoro ajustado ao modelo M Gráfico de superfície ajustado ao modelo M Gráfico do cotoro ajustado ao modelo M Gráfico de superfície ajustado ao modelo M Gráfico do cotoro ajustado ao modelo M Gráfico de superfície ajustado ao modelo M

13 LISTA DE TABELAS Tabela Págia Algumas classes de distribuições existetes a literatura Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Geeralizações de modelos de classes já existetes excessos de picos de cheias em m 3 /s do Rio Wheato estimativa de máxima verossimilhaça dos parâmetros, dos erros (erros padrões em parêteses) e cálculos das estatísticas AIC, AICc, BIC, HQIC, testes A e W para as distribuições M3.1 a M Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Geeralizações de modelos de classes já existetes Estimativa dos parâmetros, dos erros para as distribuições M4.1 a M Cálculos das estatísticas AIC, AICc, BIC e HQIC para as distribuições M4.1 a M

14 LISTA DE APÊNDICE Págia Apêdice Apêdice A: Lista de fuções mootôicas crescetes e decrescetes Apêdice B: Lista de fuções mootôicas evolvedo distribuições. 185 Apêdice C: Listas de fuções mootôicas crescetes e decrescetes Apêdice D: Listas de classes de distribuições Apêdice E: Algoritmos para o caso uivariado Apêdice F: Algoritmos para o caso multivariado

15 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO REVISÃO DE LITERATURA Modelages Distribuições de Probabilidade Método de Máxima Verossimilhaça Critérios de seleção de modelos Critério de Akaike - AIC Critério de Akaike Corrigido - AICc Critério de iformação bayesiao - BIC Critério de iformação de Haa-Qui - HQIC Teste de Cramér Vo Mises e Aderso-Darlig Teste de Aderso-Darlig Teste de Cramér Vo Mises Teste de Wald Wolfowitz MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS, CASO UNIVARIADO Itrodução Método proposto Teorema 3.1 (T3.1): Método gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas Corolário (C3.1.1): Método complemetar gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas Corolário (C3.1.2): Normalização de fuções mootôicas ão costates. 40 Corolário (C3.1.3): Normalização de difereças de fuções mootôicas Corolário (C3.1.4): Normalização complemetar de difereças de fuções mootôicas Fuções mootôicas evolvedo distribuições de probabilidades Corolário (C3.1.5): Método gerador de classes de distribuições probabilísticas Corolário (C3.1.6): Método complemetar gerador de classes de distribuições probabilísticas Corolário (C3.1.7): Método ormalizado gerador de classes de distribuições probabilísticas Teorema 3.2 (T3.2): Equivalêcia etre o Teorema 3.1 e os seus corolários

16 3.4. Suportes para as Classes de Distribuições Probabilísticas Teorema 3.3 (T3.3): Teorema geral dos suportes Corolário (C3.3.1): Baselies discretas geram distribuições discretas Teorema 3.4 (T3.4): Suporte da distribuição é a uião dos suportes das baselies Teorema 3.5 (T3.5): Distribuições de fuções cotíuas geram distribuições de fuções cotíuas Teorema 3.6 (T3.6): Distribuições de variáveis aleatórias cotíuas geram distribuições de variáveis aleatórias cotíuas Teorema 3.7 (T3.7): Itegrais de difereciais de distribuições discretas geram distribuições discretas Nomeclatura para as Classes de Distribuições Probabilísticas e para as distribuições de probabilidades, caso uivariado Obteções de geeralizações de modelos de classes já existetes Modelo proposto Obteção de uma classe de distribuições a partir do Teorema Modelo fucioal classe gama (1-G1)/G Fução Risco usado a classe gama (1-G1)/G Expasões da Fução de Distribuição e da Desidade da Classe gama (1- G1)/G Expasão para os mometos de ordem m para a classe gama (1-G1)/G Expasão para a fução geradora de mometos para a classe gama (1- G1)/G Expasão para a fução característica para a classe gama (1-G1)/G Expasão para os mometos cetrais de ordem m para a Classe Gama (1- G1)/G Expasão para o coeficiete geral para a Classe gama (1-G1)/G Expasão para o Desvio Médio e Desvio Quatílico para a Classe gama (1- G1)/G Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros para a Classe gama (1-G1)/G Etropia de Réyi usado a Classe gama (1-G1)/G Costrução de uma distribuição da Classe gama (1-G1)/G Distribuição Gama (1-Exp)/Exp Fução Risco usado a distribuição gama (1-Exp)/Exp Expasões da Fução de Distribuição e da Desidade da distribuição Gama (1-Exp)/Exp... 90

17 Expasão para os mometos de ordem m da distribuição Gama (1- Exp)/Exp Expasão para a fução geradora de mometos da distribuição Gama (1- Exp)/Exp Expasão para a fução característica da distribuição Gama (1-Exp)/Exp Expasão para os mometos cetrais de ordem m da distribuição Gama (1- Exp)/Exp Expasão para o coeficiete geral da distribuição Gama (1-Exp)/Exp Fução Quatílica da distribuição gama (1-Exp)/Exp Expasão para o Desvio Médio e Desvio Quatílico da distribuição gama (1-Exp)/Exp Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros da distribuição Gama (1-Exp)/Exp Etropia Réyi usado a distribuição gama (1-Exp)/Exp Aplicação Etapas para idetificação de modelos uivariados para modelages Coclusão MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS, CASO MULTIVARIADO Itrodução Operadores-difereça Lema 4.1: As composições de operadores-difereça são lieares Método proposto Teorema 4.1 (T4.1): Método gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas multivariadas Corolário (C4.1.1): Método complemetar gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas multivariadas Corolário (C4.1.2): Normalização de fuções multivariadas mootôicas ão costates Corolário (C4.1.3): Normalização de difereças de fuções multivariadas mootôicas Corolário (C4.1.4): Normalização complemetares de difereças de fuções mootôicas multivariadas Fuções mootôicas evolvedo distribuições de probabilidades multivariadas Corolário (C4.1.5): Método gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas

18 Corolário (C4.1.6): Método Complemetar gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas Corolário (C4.1.7): Método ormalizado gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas Teorema 4.2 (T4.2): Equivalêcia etre o Teorema 4.1 e os seus corolários Suportes para as Classes de Distribuições Probabilísticas para o caso multivariado Teorema 4.3 (T4.3): Teorema geral dos suportes para o caso multivariado Corolário (C4.3.1): Baselie discreta multivariada gera distribuição discreta multivariada Teorema 4.4 (T4.4): Suporte de distribuição multivariada é a uião dos suportes da baselie multivariadas Teorema 4.5 (T4.5): Distribuições de fuções cotíuas multivariadas geram distribuições de fuções cotíuas multivariadas Teorema 4.6 (T4.6): Distribuições de variáveis aleatórias cotíuas multivariadas geram distribuições de variáveis aleatórias cotíuas multivariadas Teorema 4.7 (T4.7): Itegrais de difereciais de distribuições discretas multivariadas geram distribuições discretas multivariadas Nomeclatura para as Classes de Distribuições Probabilísticas e para as distribuições de probabilidades, caso multivariado Obteções de geeralizações de modelos de classes já existetes Modelo proposto Obteção de uma classe de distribuições a partir do Teorema Modelo Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Fução Risco usado a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1- G1(x))) Expasões da Fução de Distribuição e da Desidade da Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Expasão para os mometos bivariados de ordes m1 e m2 para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Expasão para a fução geradora de mometos bivariados para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Expasão para a fução característica bivariada para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Expasão para os mometos cetrais bivariados de ordes m1 e m2 para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Expasão para o coeficiete geral bivariado para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x)))

19 Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros para a classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Etropia bivariada de Réyi usado a classe Weibull bivariada (G2(y)/(1- G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Costrução de uma distribuição da classe Weibull bivariada (G2(y)/(1- G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Fução de Risco bivariado usado a distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Expasões das Fuções de Distribuição e da Desidade da Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Expasão para os mometos bivariados de ordes m1 e m2 da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Expasão para a fução geradora de mometos da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Expasão para a fução característica da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Expasão para os mometos cetrais bivariados de ordes m1 e m2 para a distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Expasão para o coeficiete geral bivariado da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Etropia bivariada de Réyi usado a classe Weibull bivariada (G2(y)/(1- G 2(y)), G 1(x)/(1- G 1(x))) Aplicação Etapas para idetificação de modelos multivariados para modelages Coclusão CONCLUSÕES, CONTRIBUIÇÕES E TRABALHOS FUTUROS Coclusões Cotribuições Trabalhos futuros REFERÊNCIAS APÊNDICE Apêcide A: Gráficos das fuções desidade e fuções de risco para Weibull expoecial bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Apêdice B: Listas de fuções mootôicas evolvedo distibuições

20 Relação de fuções mootôicas com cojutos images limitadas: Relação de fuções mootôicas ão decrescetes uj com cojutos images que vai de 0 a 1: Relação de fuções mootôicas ão decrescetes vj com cojutos images que vai de 1 a 0: Relação de fuções mootôicas ão costates h s com cojutos images limitadas: Relação de fuções mootôicas h s com cojutos images ilimitadas à direita: Relação de fuções mootôicas ão decrescetes hj s com cojutos images ilimitadas à direita: Relação de fuções mootôicas ão decrescetes zj s com cojutos images ilimitadas à direita: Apêdice C: Listas de fuções mootôicas crescetes e decrescetes Relação de fuções crescetes com images limitadas Relação de fuções decrescetes com images limitadas Relação de fuções crescetes com images ilimitadas à direita Relação de fuções decrescetes com images ilimitadas à direita Relação de fuções crescetes com images ilimitadas à esquerda Relação de fuções decrescetes com images ilimitadas à esquerda Relação de fuções crescetes com images ilimitadas Relação de fuções decrescetes com images ilimitadas Apêdice D: Compêdio de classes de distribuições Lista de classes de distribuições oriudas da 2S1C3.1.5 da Tabela 3.3.1: Lista de classes de distribuições oriudas da 8S1C3.1.5 da Tabela 3.3.1: Lista de classes de distribuições oriudas da 21S1C3.1.5 da Tabela 3.3.1: Lista de classes de distribuições oriudas da 21S1C3.1.6 da Tabela 3.3.2: Apêdice E: Algoritmos para o caso uivariado Algoritmo do esboço do gráfico da fução desidade da distribuição gama (1- Exp)/Exp (M3.2) Algoritmo do esboço do gráfico da fução de distribuição acumulada da gama (1- Exp)/Exp (M3.2) Algoritmo de estimação o sas da distribuição gama (1-Exp)/Exp Algoritmo de ajuste das distribuições uivariadas gama l(1-exp), gama (1- Exp)/Exp, weibull expoeciada, weibull modificada, beta pareto e weibull Algoritmo para o cálculo das estatísticas de Cramér vo Mises e Aderso- Darlig

21 Apêdice F: Algoritmos para o caso multivariado Algoritmo implemetado o software SAS 9.1 para estimação dos parâmetros dos modelos multivariados para o cojuto de dados íris Comados implemetados o software R para costrução da tabela com medidas de adequação: AIC, AICc, BIC e HQIC para o caso multivariado Comados implemetados o software R para costrução dos gráficos de cotoro bivariados da desidade do modelo proposto Comados implemetados o software R para costrução dos gráficos de cotoro bivariados da fução de risco do modelo proposto Comados implemetados o software R para costrução dos gráficos de superfície bivariados da desidade do modelo proposto Comados implemetados o software R para costrução dos gráficos de superfície bivariados da fução de risco do modelo proposto Comados implemetados o software R para costrução dos gráficos de cotoro estimado do modelo proposto Comados implemetados o software R para costrução dos gráficos de superfície-desidade estimados do modelo proposto

22 20 1. INTRODUÇÃO A quatidade de iformação e/ou dados dispoíveis para aálise cresce cada vez mais rápido, fazedo com que ovas distribuições probabilísticas sejam ecessárias para melhor descrever as especificidades de cada feômeo/experimeto estudado. Com o adveto de ferrametas computacioais cada vez mais poderosas, tem sido possível utilizar distribuições com mais parâmetros para o ajuste de massas de dados. Costam a literatura várias geeralizações e extesões de distribuições simétricas e assimétricas, discretas e cotíuas, algumas apotadas em Cyseiros et al. (2005), Cordeiro e Castro (2011), Barros (2010), Adamski, Huma e Bekker (2012), Arsla (2004), Kudu, Balakrisha e Jamalizadeh (2011), Li e Li (2012), Rootzé e Tajvidi (2006) e Adamski et al (2013). Nota-se que a importâcia desses ovos modelos é que, depededo da situação, existe a ecessidade de modelos mais sesíveis ou meos sesíveis à massa de dados. Desta forma, o objetivo geral pricipal deste trabalho cosiste em propor um método gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas que uifique os métodos de gerar classes de distribuições existetes a literatura. A ideia deste método é gerar classes a partir de distribuições já cohecidas, fazedo uso de fuções mootôicas e de uma fução de distribuição acumulada. O método gerador proposto é apresetado a forma de um teorema e 7 corolários, estededo processos de costruções de distribuições de probabilidades. Em particular, as classes de distribuições são derivadas a partir de fuções mootôicas uivariadas pré-defiida e distribuições uivariadas cohecidas. É proposto, de forma aáloga, outro teorema com 7 corolários para fuções mootôicas multivariadas pré-defiida e, também, para distribuições multivariadas cohecidas. Este trabalho propõe métodos geradores de classes e distribuições probabilísticas tato para o caso uivariado como para o caso multivariado. Para ilustrar a potecialidade do método gerador proposto, são aqui propostas duas ovas classes de distribuições, a classe de distribuições uivariada gama (1-G1)/G1 e a classe de distribuições multivariada Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1- G1(x))). As propriedades estatísticas de tais classes são derivadas, tais como: média,

23 21 variâcia, desvio-padrão, desvio-médio, curtose, assimetria, fução geradora de mometos, fução característica e aálise gráfica. A título de verificar a aplicabilidade das classes propostas, foram propostas e aalisadas a distribuição uivariada gama (1-Exp)/Exp e a distribuição multivariada Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))). As propriedades estatísticas de tais distribuições foram também estudadas, sedo as mesmas aplicadas a modelagem de dados reais, testado-as e comparado-as com os modelos comumete usados e cohecidos a literatura. A distribuição uivariada gama (1-Exp)/Exp foi utilizada para modelar os excessos de picos de echetes, coforme a base de dados utilizada o trabalho de Choulakia e Stephes (2001). Já para o caso da distribuição multivariada Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))), foi utilizada a base de dados de medidas da Flor de Iris, exposta o trabalho de Fisher (1936). Nas próximas lihas apresetaremos a orgaização da tese, idicado o que mostra cada capítulo. A presete tese, dedica o segudo capítulo à revisão de literatura que está baseada os estudos de Mudholkar et al (1995), Marshall e Olki (1997), Gupta e Kudu (1999), Eugee et al (2002), Cyseiros et al (2005), Nadarajah e Kotz (2006), Zografos (2008), Brito (2009), Zografos e Balakrisha (2009), Silva et al (2010), Nadarajah (2011), Cordeiro e Castro (2011), Pescim et al (2012), Adamski, Huma e Bekker (2012), Jayakumar, Solairaju e Sultha (2012), Cardeño, Nagar e Sáchez (2005), Sarabia e Gòmez-Déiz (2008), Fug e Seeta (2010), Arsla (2004), Kudu, Balakrisha e Jamalizadeh (2011), Ademola e Ahamefula (2012), Schmidt, Hrycej e Stützle (2006), Li e Li (2012), Rootzé e Tajvidi (2006), Adamski et al (2013), etre outros. Também fazemos uma revisão sobre o método de estimação utilizado este trabalho, bem como dos critérios estatísticos utilizados para comparar o ajuste dos modelos as aplicações a dados reais. No terceiro capítulo, mostraremos o método para geeralizar e esteder o processo de costruções de distribuições de probabilidades, em que as classes de distribuições são costruídas a partir de fuções mootôicas uivariadas de distribuições pré-defiidas. Mostramos que com o método proposto podemos obter as classes de distribuições de probabilidade que compõem a literatura atual. No quarto capítulo, mostraremos o método para geeralizar e esteder o processo de costruções de distribuições de probabilidades multivariadas, em que as classes de distribuições são costruídas a partir de fuções mootôicas

24 22 multivariadas de distribuições multivariadas pré-defiidas. Também mostramos como gerar as classes de distribuições multivariadas de probabilidades que compõem a literatura atual utilizado o método proposto. No quito capítulo, exibimos as coclusões a partir das aálises e comparações dos resultados obtidos, apotado assim, outras possibilidades de pesquisas, bem como as cotribuições e os trabalhos futuros.

25 23 2. REVISÃO DE LITERATURA 2.1 Modelages Um modelo é uma formulação que descreve feômeos do mudo real, de modo a ser possível represetar, iterpretar e fazer previsões, podedo ser utilizado os mais diversos campos do cohecimeto. Não se pretede que um modelo, idepedete do campo em estudo, seja uma cópia exata do mudo real, mas uma simplificação que revele os processos chave do feômeo estudado, sedo possível perceber e prever ovas situações detro do uiverso em estudo (Box e Draper, 1987). Um modelo pode aida ser defiido como uma formulação matemática baseada em hipóteses que busca represetar feômeos físicos ou sistemas biológicos, com o ituito de gerar uma equação matemática que possa descrever, explicar e represetar o(s) feômeo(s) com certo ível de cofiabilidade. A criação de modelos mais flexíveis, ou seja, que coseguem modelar melhor feômeos atípicos, captado mais iformações, faz-se ecessária para melhor compreesão dos mesmos. Sedo assim, ota-se a importâcia da área de geeralização de distribuições de probabilidade para costrução de modelos mais flexíveis e, portato, que mais se adéquam a modelagem de dados reais. 2.2 Distribuições de Probabilidade Há a literatura diversas classes de distribuições de probabilidades. Segudo Lee et al. (2013), as distribuições uivariadas são origiadas de três maeiras que são: os métodos de equação diferecial, o método de trasformação e método quatílico. Aida para estes autores, estes três modos são os propostos ates de 1980, após 1980 temos o método gerador de distribuição assimétrica, método de adição de parâmetros para uma distribuição existete, método gerador-beta (classe beta-g), método trasformado-trasformador (família TX) e o método de composição. Desta maeira, pode-se perceber o quato é atigo e importate o estudo do

26 24 desevolvimeto de distribuições de probabilidade, pois faz-se ecessário ecotrar um modelo que espelhe bem a realidade (LEE et al., 2013). As distribuições multivariadas são origiadas geralmete por métodos baseados em estatísticas de ordem, mistura, margiais especificadas, variáveis em comum e outros que icluem poderação (SARABIA e GÒMEZ-DÉNIZ, 2008). A distribuição multivariada geeralizada de Marshall-Olki, que iclui como caso especial a distribuição multivariada expoecial tem grade importâcia em estudos de aálise de sobrevivêcia (LIN e LI, 2012). Outras distribuições multivariadas como a geeralizada de Pareto que discute o método de blocos de máxima (ROOTZÉN e TAJVIDI, 2006) e a distribuição assimétrica multivariada geeralizada Beta Tipo II origia-se de distribuições quiquadradas (ADAMSKI et al., 2013), represetam geeralizações importates de utilidade em aálise de formas. Existem a literatura várias geeralizações e extesões das distribuições simétricas e assimétricas, discretas e cotíuas, algumas apotadas em Cyseiros et al (2005), Cordeiro e Castro (2011) e Barros (2010), Arsla (2004), Kudu, Balakrisha e Jamalizadeh (2011), Ademola e Ahamefula (2012), Schmidt, Hrycej e Stützle (2006), Li e Li (2012), Rootzé e Tajvidi (2006), Adamski et al (2013). A importâcia desses ovos modelos é que depededo da situação, precisamos de modelos mais sesíveis a massa de dados ou de modelos meos sesíveis a potos extremos, etretato, osso foco, este trabalho ão é as aplicações desse tipo de geeralização. Também existem distribuições a forma matriciais como apotado em Muirhead (2005), etretato, ão abordaremos tais distribuições este trabalho. A Tabela a seguir apreseta classes de distribuições uivariadas e multivariadas existetes a literatura, suas omeclaturas e o trabalho em que as mesmas foram apresetadas.

27 25 Tabela Algumas classes de distribuições existetes a literatura. F(x) = G a (x), com a > 0 F(x) = 1 B(a,b) 0 e 0 < t < 1. F(x) = 1 B(a,b) G(x) 0 b > 0 e t > 0 F(x) = 1 B(a,b) b > 0, c> 0 e 0 < t < 1 F(x) = 1 B(a,b) G c (x) 0 b > 0, c> 0 e t > 0 F(x) = 1 (1 G a (x)) b Classe de Distribuição G(x) ta 1 (1 t) b 1 dt, com a > 0, b > 0 ta 1 (1 + t) (a+b) dt, com a > 0, G c (x) ta 1 (1 t) b 1 dt, com a > 0, 0 ta 1 (1 + t) (a+b) dt, com a > 0, F(x) = 1 (1 (1 G(x)) a ) b, com a > 0 e b > 0 F(x) = F(x) = 1 ( F(x) = ( G(x) G(x)+b(1 G(x)), com b > 0 Marshall θ b(1 G(x)) ) G(x)+b(1 G(x)) θ G(x) ) G(x)+b(1 G(x)), com b > 0 e θ > 0, com b > 0 e θ > 0 Nomeclatura G 1 expoeciada defiida por Mudholkar et al (1995) beta1 G 1 defiida por Eugee et al (2002) beta3 G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) Mc1 G 1 defiida por McDoald (1984) Mc3 G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) Kumaraswamy G 1 defiida por defiida por Cordeiro e Castro (2011) Kumaraswamy tipo 2 defiida por Thair e Nadarajah (2013) e Olki defiida por Marshall e Olki (1997) Marshall e Olki G 1 defiida por Jayakumar e Mathew (2008) Marshall e Olki G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) βα F(x) = Γ(α) F(x) = 1 Γ(α) 0 βα l(1 G(x)) 0 l(g(x)) tα 1 e βt dt tα 1 e βt dt F(x) = 1 C(θe αh(x) ), com x > 0, θ > 0 e C(θ) = C(θ) =1 a θ Gama G defiida por Zografos e Balakrisha (2009) Gama G defiida Cordeiro (2013) Distribuição Weibull estedida defiida por Silva et al (2013) e Silva (2013)

28 26 F(x) = 1 exp( λg(x)) 1 e λ Kumaraswamy-G Poisso defiida por Ramos (2014) F(x) = (1 (1 G a (x)) b ) c, com a > 0, b > 0 e c > 0 G(x) F(x) = eλe βxα e λ 1 e λ, x > 0 F(x) = Kt a 1 (1 t) b 1 exp( ct)dt, com a > 0 0, b > 0 e c R F(x) = e α W( αe α ) e α W( (x)), em que W(x) = e α W( αe α ) 1 ( 1) 1 2 =1 x e (x) = αe α bxa ( 1)! F(x) = (1 β) s {1 β[1 G(x)]} s (1 β) s 1 Kumaraswamy-G expoecializada defiida por Ramos (2014) Beta Weibull Poisso defiida por Paixão (2014) Beta Kummer geeralizada defiida por Pescim et al (2012) Weibull Geeralizada Poisso defiida por Paixão (2014) Biomial Negativa Geeralizada defiida por Paixão (2014) F(x) = (s) Li s[1 G(x)], em que Li (s) s (z) = k=1 e k s (s) = 1 k=1 k s x F(x) = C(k) (a) (λ a)k k! C(λ) k=0 x F(x) = 1 k! [(C(0))k ] (k 1) x k=1 F(x) = (k )! k [(C(0))k ] (k ) k= F(x) = ( x k=0 P(X = k) ) δ, w(0), k = 0 P(X = k) = { [(C(0)) k w (1) (0)] (k 1), k = 1,2,3, F(x) = x 0+a1t+ +asts a e b0+b1t+ +brt rdt dt z k Zeta-G defiida por Paixão (2014) Série de Potêcias defiida por Cosul e Famoye (2006) Lagragiaa básica defiida por Cosul e Famoye (2006) Lagragiaa delta defiida por Cosul e Famoye (2006) Lagragiaa geeralizada defiida por Cosul e Famoye (2006) Pearso geeralizada a forma de EDO defiida por Shakil et al (2010)

29 27 F(x) = x 0+a1t+ +asts a e b0+b1t+ +brt r(f(t))β dt x y 2 dt, β 0 F(x) = ( α i (t)f β i (t) ) dt dy x i=1 F(x) = c (e a+t F(x) = x x y b0+b1t+b2t 2dt ) dy F(t) (1 F(t)) g(t)dt F(x) = c (e y a0+a1t+ +amtm a+t b0+b1t+ +bt F(x) = α x dt ) dy (F β (t) F θ (t)) dt, α > 0, θ > β com Q(y) = Q(y; ) = x e f(x) = g(y; ) F(x) = α x F β (t) (1 F θ (t)) dt, α > 0, θ > 0 e β > 0 com Q(y) = Q(y; ) = x e f(x) = g(y; ) x F(x) = α F β (t) (1 F θ (t)) γ dt, α > 0, θ > 0, β > 0 e γ > 0 com Q(y) = Q(y; ) = x e f(x) = g(y; ) F(x, y) = α > 1. F(x, y) = α > 1. G 2 (y) 1 G 2 (y) 0 G 1 (x) 1 G 1 (x) 0 Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y) 0 Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) 0 α(1 α) dt (1+t 1 +t 2 ) α+2 1 dt 2, com α(1 α) (1+t 1 +t 2 ) α+2 dt 1 dt 2, com Geeralizada da Pearso geeralizada a forma de EDO defiida por Shakil et al (2010) Famílias geeralizadas a forma de EDO defiida por Voda (2009). Método da Equação Diferecial por Pearso (1895) Método da Equação Diferecial por Burr (1942) Método da Equação Diferecial por Duig e Haso (1977) Método de fução quatílica proposto por Voit (1992) Método de fução quatílica proposto por Gupta e Kudu (1999) Método de fução quatílica proposto por Muio et al. (2006) Debasis Kudu Rameshwar D. Gupta bivariada -G defiida por Kudu e Gupta (2011) Distribuição expoecial bivariada geeralizada defiida por Kudu e Gupta (2011) Para ilustrar a potecialidade das distribuições propostas este trabalho, as mesmas serão ajustadas a dados reais, em que os mesmos serão estimados pelo método da máxima verossimilhaça, que é exposto a seguir. 2.3 Método de Máxima Verossimilhaça

30 28 O método de máxima verossimilhaça é usado para estimar os parâmetros que melhor expliquem a amostra observada, sedo apresetado as lihas seguir. Seja Y = (Y 1,, Y ) T, o vetor de variáveis idepedetes e ideticamete distribuídas (iid) de uma variável aleatória Y = (Y 1,, Y ) gerada de uma fução desidade de probabilidade (fdp) cohecida f (y, θ) de alguma família de distribuições F, deomiada fução do modelo estatístico, depedete de um vetor de parâmetros descohecidos θ = (θ 1,, θ p ) T. Defie-se também, Θ R p o espaço paramétrico represetado o cojuto de valores possíveis do vetor θ. A fução de verossimilhaça para θ baseada a observação Y = y é expressa por L(θ) = L (θ, y) = f (y, θ), θεθ. Frequetemete, as compoetes de Y são mutuamete idepedetes para todas as distribuições em F e a fução de verossimilhaça de θ pode ser escrita como L(θ) = i=1 f i (y i ; θ), em que f i represeta a fdp idividual da i-ésima observação. Segudo Cordeiro (1999), a iferêcia com base a verossimilhaça pode ser cosiderada como um processo de obteção de iformação sobre o vetor θ, a partir do poto y e do espaço amostral, pela da fução L(θ). Não há, em geral, uma correspodêcia biuívoca etre os vetores y e L(θ), equivaletemete, certa verossimilhaça pode correspoder a um cotoro R (y). Este processo reduz a iformação sobre θ dispoível em y. Usualmete, trabalha-se o logaritmo da fução de verossimilhaça log (L(θ)), deomiado fução de log-verossimilhaça. Como a fução logaritmo é mootôica crescete, maximizar L(θ) e l(θ) em Θ são processos equivaletes. A fução de log-verossimilhaça, também chamada fução suporte, pode ser escrita como: l(θ) = log (L(θ)) = log {f i (y i ; θ)}. O estimador de máxima verossimilhaça (EMV) θ de θ é o valor que maximiza L(θ) em Θ, isto é, L(θ ) L(θ) para todo θεθ. Etão, o EMV é defiido de modo que, para todo θεθ, l(θ ) l(θ), ou seja: i=1 θ = arg max θεθ l(θ).

31 Critérios de seleção de modelos Muitos procedimetos têm sido propostos com o ituito de comparar modelos. A propriedade iteressate de que, sob codições de regularidade, o estimador de máxima verossimilhaça seja assitoticamete eficiete, mostra que a fução de verossimilhaça tede a ser um critério mais sesível a pequeos desvios dos parâmetros do modelo de seus valores verdadeiros Critério de Akaike - AIC Seguido esta ideia, Akaike (1972) apresetou seu método de idetificação de modelos. Aida Akaike (1974) descreveu como o problema de seleção de modelos pode sistematicamete ser mauseado pelo uso do critério de iformação itroduzido em Esse critério de iformação de Akaike (AIC) é uma estatística bem cohecida e de fácil iterpretação para seleção de modelos de regressão. Desta forma, para comparar todos os modelos ão trasformados e trasformados ajustados aos dados, pode-se usar o critério de iformação de Akaike defiido por: AIC = 2 l(θ ) + 2 p em que l(θ ) é a log-verossimilhaça maximizada de θ e p é o úmero de parâmetros do preditor liear ou ão liear η i para os modelos. A equação com o meor valor do AIC, etre todos os modelos ajustados, pode ser cosiderada como a que melhor explica os dados Critério de Akaike Corrigido - AICc Este critério é uma correção para populações fiitas do AIC:

32 30 AICc = 2log (L(θ )) + 2p p 1 Burham e Aderso (2002) defedem que quado é pequeo deve-se utilizar uma correção do AIC, uma vez que AICc coverge para AIC quado tede para o ifiito, ão havedo difereça em utilizar AICc o lugar do AIC Critério de iformação bayesiao - BIC por: O Critério de iformação bayesiao foi proposto por Schwarz (1978) e é dado BIC = 2log (L(θ )) + plog(), em que L(θ ) é a verossimilhaça do modelo escolhido, p é o úmero de parâmetros a serem estimados e é o úmero de observações da amostra. Tal como o AIC, este critério selecioa etre todos os modelos testados aquele que tem o meor BIC Critério de iformação de Haa-Qui - HQIC O critério de iformação de Haa-Qui (HQIC) é um critério de classificação de modelos alterativo ao AIC e BIC. Proposto do Haa e Qui (1979) e é defiido por HQIC = 2plog(log()) 2log (L(θ )). Este critério tem pouco uso prático (BURNHAM e ANDERSON, 2002) visto que, a maior parte dos cojutos de dados tem poucas observações. O HQIC deve ser míimo. 2.4 Teste de Cramér Vo Mises e Aderso-Darlig Os testes de Cramer-Vo Mises e Aderso-Darlig são baseados a fução de distribuição empírica (FDE) dos dados, e apresetam vatages sobre o teste de aderêcia qui-quadrado, icluido maior poder e ivariâcia em relação aos potos

33 31 médios dos itervalos escolhidos. Os testes Aderso-Darlig e Cramer-vo Mises pertecem à classe quadrática de estatísticas baseadas a FDE, pois trabalham com as difereças quadráticas etre a distribuição empírica e a hipotética Teste de Aderso-Darlig O teste de Aderso-Darlig foi proposto por Aderso-Darlig (1952) e é mais utilizado quado o tamaho da amostra ão é maior que 25. Este teste baseia-se a fução de distribuição empírica. Cosidere δ i = F(x (i) ; θ) uma f. d. a., com x (i) em ordem ascedete. Faça y (i) = 1 (δ i ), em que represeta a distribuição ormal padrão. Seja p (i) = Φ([y (i) y ]/s y ), ode y é a média e s y o desvio=padrão dos y (i), respectivamete. Assim, a expressão da estatística de teste de Aderso-Darlig é calculada da seguite forma. Seja A 2 = 1 [(2i 1)log(p (i)) + ( i)log(1 p (i) )] i=1 em que p (i) = Φ([y (i) y ]/s y ) são percetis ordeados da distribuição ormal padrão e Φ represeta a fução de distribuição acumulada ormal padrão. A estatística de Aderso-Darlig é dada por A = A 2 ((1 + 0,75/ + 2,25/ 2 ) Teste de Cramér Vo Mises Este teste também se baseia a distribuição acumulada e foi proposto por Darlig (1957). A expressão da estatística de teste de Cramér Vo Mises é calculada da seguite forma. Seja W 2 = (p (i) 2i ), i=1 em que p (i) é defiido como a seção aterior. A estatística de Cramér Vo Misses é dada por W = W 2 ( /).

34 32 Ambos os testes de hipotese Aderso-Darlig e Cramér Vo Mises são discutidos em detalhes por Che ad Balakrisha (1995) e vale-se a seguite regra de comparação tedo suas estatísticas como figuras de mérito: quato meores os valores das estatísticas, melhor o modelo associado a ela Teste de Wald Wolfowitz Este é um teste ão paramétrico que foi recomedado pela Orgaização Meteorológica Mudial - WMO utilizado para a avaliação de autocorrelação em séries temporais (SERRANO et al., 1999; MITCHELL et al. 1966, SNEYERS, 1963). Equação: Ele é executado da seguite forma: Primeiro, obtém-se uma série padroizada da variável aleatória Z pela Z i = X i X S X em que X i deota o valor da variável aleatória o ao i, X é a média amostral, S X é o desvio padrão da série. A estatística de teste u é estimada pela Equação: 1 + ( 1)( i=1 u = z i z i+1 / 2 i=1 z i ), 1 em que z +1 = z 1, u deota a estatística de teste, é o tamaho da série, z i e z i+1 represetam as variáveis padroizadas os aos i e i + 1, respectivamete. Esse teste estabelece que a variável de teste u segue uma distribuição ormal padrão com média zero e desvio padrão um a hipótese ula de autocorrelação ula (ρ = 0). Para um dado ível de cofiaça α a hipótese ula será rejeitada se P(z < u) > α.

35 33 3. MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS, CASO UNIVARIADO. 3.1 Itrodução Nosso objetivo é obter um método para geeralizar e esteder o processo de costruções de distribuições de probabilidades de forma mais abragete, permitido que classes de distribuições sejam costruídas utilizado fuções mootôicas de distribuições pré-defiidas. Através deste método proposto pode-se obter diversas classes de distribuições de probabilidades que tem sido recetemete propostas a literatura. Este capítulo está orgaizado da seguite maeira. Na Seção 3.1, temos uma breve itrodução, trazedo o objetivo; a Seção 3.2, temos o método proposto (Teorema 3.1) que se baseia o uso de fuções mootôicas para gerar distribuições de probabilidades e apresetamos algus corolários deste método; a Seção 3.3, particularizamos para o caso de fuções mootôicas que são composições de distribuições de probabilidade já cohecidas, obtedo assim classes de distribuições probabilísticas e apresetamos também outros corolários do método proposto e o Teorema 3.2 que demostra a equivalêcia do Teorema 3.1 e seus Corolários; a Seção 3.4, aalisam-se os suportes dos fucioais geradores de classes de distribuições probabilísticas; a Seção 3.5, sistematizamos o que se diz respeito à omeclatura das expressões ecotradas; a Seção 3.6, mostramos como obter os modelos já existetes a literatura a partir dos corolários apresetados as seções ateriores; a Seção 3.7 utilizado o Corolário geramos uma ova classe de distribuições, em que desevolvemos suas propriedades de caracterização e apresetamos os resultados de aplicações, tabelas e gráficos; e a Seção 3.8, trazemos a coclusão deste capítulo.

36 Método proposto O método proposto para gerar classes de distribuições este trabalho faz uso de fuções mootôicas Ʋ: R R, Ѵ: R R, U j : R R {±}, L j : R R {±}, M j : R R {±} e V j : R R {±} e de uma fução de distribuição acumulada F (fda). A ideia do método é gerar uma distribuição de probabilidade itegrado com respeito a distribuição F as regiões de L j (x) a U j (x) e M j (x) a V j (x) para qualquer x R e j = 1, 2, 3,,. O Teorema 3.1, a seguir, demostra codições suficietes que as fuções Ʋ(x), Ѵ(x), L j (x), U j (x), M j (x) e V j (x) devem satisfazer de modo a garatir que o método proposto gera uma fução de distribuição de probabilidade. Teorema 3.1 (T3.1): Método gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas Sejam F: R R, Ʋ: R R, Ѵ: R R, U j : R R {±}, L j : R R {±}, M j : R R {±} e V j : R R {±}, para j = 1, 2, 3,,, fuções mootôicas e cotíuas à direita, tais que: [c3.1] F é uma fda e Ʋ e Ѵ são ão egativas; [c3.2] Ʋ(x), U j (x) e M j (x) são ão decrescetes e Ѵ(x), V j (x) e L j (x) são ão crescetes, j = 1, 2, 3,, ; [c3.3] Se lim x Ʋ(x) lim Ѵ(x), etão lim Ʋ(x) = 0 ou lim U j (x) = x x x lim L j (x) x j = 1,2,3,,, e lim Ѵ(x) = 0 ou lim M j (x) = lim V j (x), j = 1, 2, 3,, ; x x x [c3.4] Se lim x Ʋ(x) = lim L j(x), j = 1,2,3,, ; x [c3.5] lim x L j (x) j = 1,2,3,, ; lim Ѵ(x) 0, etão lim U j (x) = x x lim V j (x) e lim M j (x) = x x lim U j (x) e se lim Ѵ(x) 0, etão lim M j (x) x x x + [c3.6] lim U (x) sup{x R: F(x) < 1} e lim L 1 (x) if{x R F(x) > 0}; x + x + [c3.7] lim Ʋ(x) = 1; x + [c3.8] lim Ѵ(x) = 0 ou lim M j (x) = lim V j (x), j = 1,2,3,, e 1; x + x + x + [c3.9] lim U j(x) = lim L j+1(x), j = 1, 2, 3,, 1 e 2; x + x + lim V j (x), x +

37 35 [c3.10] F é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções L j (x) e V j (x) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de F, sedo também cotíuas em tais potos e F ão possui potos de descotiuidade o cojuto { lim x ± L j (x), lim V j (x), para algum j = 1,2,, }. x ± U j (x) L j (x) lim U j (x), x ± V j (x) M j (x) lim M j (x), x ± Etão H(x) = Ʋ(x) df(t) Ѵ(x) df(t) é uma fda. Demostração: (i) lim H(x) = 0. x lim H(x) = x lim (Ʋ(x) x U j (x) df(t) L j (x) = ( lim Ʋ(x)) x lim x U j (x) lim x L j (x) ) lim (Ѵ(x) x V j (x) df(t) M j (x) df(t) ( lim Ѵ(x)) x ode a última igualdade decorre do fato que F é cotíua em { lim U j (x), lim L j (x), lim V j (x), lim M j (x)}. x x x x ) lim x V j (x) lim x M j (x) df(t), Codições [c3.3] e [c3.4] garatem que: lim H(x) = ( lim Ʋ(x)) x x (ii) lim H(x) = 1. x + lim H(x) = x + lim x U j (x) lim x L j (x) lim (Ʋ(x) x + = ( lim Ʋ(x)) x + df(t) ( lim Ѵ(x)) x U j (x) df(t) L j (x) lim x + U j (x) lim x + L j (x) ) lim (Ѵ(x) x + df(t) ( lim Ѵ(x)) x + lim x V j (x) lim x M j (x) V j (x) df(t) M j (x) lim x + V j (x) lim x + M j (x) df(t) = 0. ) df(t), ode a última igualdade decorre do fato que F é cotíua em { lim U j (x), lim L j (x), lim V j (x), lim M j (x)}. x + x + x + x + Deste modo as codições [c3.1], [c3.6], [c3.7], [c3.8] e [c3.9] garatem que:

38 36 (iii) Se x 1 x 2, etão H(x 1 ) H(x 2 ). lim H(x) = 1. x + Seja x 1 x 2, [c3.2] implica que: U j (x 1 ) U j (x 2 ), L j (x 1 ) L j (x 2 ), M j (x 1 ) M j (x 2 ), V j (x 1 ) V j (x 2 ), Ʋ(x 1 ) Ʋ(x 2 ) e Ѵ(x 1 ) Ѵ(x 2 ). Além disso, [c3.2] e [c3.5] U j (x 1 ) L j (x 1 ) V j (x 1 ) M j (x 1 ) U j (x 2 ) L j (x 2 ) implicam que df(t) 0, df(t) 0, df(t) 0 e V j (x 2 ) M j (x 2 ) df(t) 0. Assim, como [c3.1] Ʋ e Ѵ são ão egativas, temos que: U j (x 1 ) V j (x 1 ) H(x 1 ) = Ʋ(x 1 ) df(t) Ѵ(x 1 ) df(t) L j (x 1 ) Ʋ(x 2 ) U j (x 2 ) df(t) L j (x 2 ) M j (x 1 ) Ѵ(x 2 ) V j (x 2 ) df(t) M j (x 2 ) = H(x 2 ). (iv) lim x x 0 + H(x) = H(x 0 ). lim H(x) = lim x x+ 0 x x 0 + Ʋ(x) = ( lim Ʋ(x)) x x+ 0 L j (x) lim x x + U j (x) 0 lim x x + L j (x) 0 U j (x) df(t) V j (x) lim Ѵ(x) df(t) x x+ 0 df(t) ( lim Ѵ(x)) x x+ 0 M j (x) lim x x + V j (x) 0 lim x x + M j (x) 0 U j (x 0 ) V j (x 0 ) = Ʋ(x 0 ) df(t) Ѵ(x 0 ) df(t) = H(x 0 ). L j (x 0 ) M j (x 0 ) df(t) As igualdades decorrem pelo fato de que Ʋ(x), U j (x), M j (x), Ѵ(x), V j (x) e L j (x) são cotíuas a direita e por [c3.10]. U j (x) L j (x) De (i), (ii), (iii) e (iv), cocluímos que H(x) = Ʋ(x) df(t) V j (x) M j (x) Ѵ(x) df(t) é uma fda. A seguir temos as Figuras e que represetam o suporte da fda Teorema 3.1.

39 37 Figura Represetação do suporte da fda do Teorema 3.1 para lim Ѵ(x) e lim Ʋ(x) 0 x x lim Ʋ(x) x Figura Represetação do suporte da fda do Teorema 3.1 para lim x Ʋ(x) = lim Ѵ(x) 0 x O Corolário apreseta um método alterativo de gerar distribuições e classes de distribuições probabilísticas. Corolário (C3.1.1): Método complemetar gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas Sejam φ: R R, : R R, W: R R, U j : R R {±}, L j : R R {±}, M j : R R {±} e V j : R R {±}, j = 1, 2, 3,, η, fuções mootôicas e cotíuas à direita, tais que: [cc3.1] F é uma fda e e W são ão egativas; [cc3.2] (x), U j (x) e M j (x) são ão decrescetes e W(x), V j (x) e L j (x) são ão crescetes, j = 1, 2, 3,, η;

40 38 [cc3.3] Se lim x + W(x) lim (x), etão lim (x) = 0 ou lim L j (x) = x + x + x + lim U j (x), x + j = 1,2,3,, η, e lim W(x) = 0 ou lim M j (x) = lim V j (x), j = 1,2,3,, η; x + x + x + [cc3.4] Se lim x + W(x) = lim (x) 0, etão lim U j (x) = x + x + lim M j (x) = lim L j (x), j = 1,2,3,, η; x + x + [cc3.5] lim x + M j (x), j = 1,2,3,, η; lim V j (x) e x + lim V j (x) e se lim (x) 0, etão lim L j (x) x + x + x [cc3.6] lim V η (x) sup{x R: φ(x) < 1} e lim L 1 (x) if{x R φ(x) > 0}; x x [cc3.7] lim W(x) = 1; x [cc3.8] lim (x) = 0 ou lim L j (x) = lim U j (x), j = 1,2,3,, η e η 1; x x x [cc3.9] lim V j (x) = lim M j+1 (x), j = 1, 2, 3,, η 1 e η 2; x x lim U j (x) x [cc3.10] φ é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções L j (x) e V j são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de φ, sedo também cotíuas em tais potos e φ ão possui potos de descotiuidade o cojuto { lim L j (x) (x), lim x ± lim V j (x), para algum j = 1,2,, η}. x ± η V j (x) M j (x) U j (x), x ± U j (x) L j (x) lim M j (x), x ± Etão H(x) = 1 W(x) dφ(t) + (x) dφ(t) é uma fda. η Demostração: No Teorema 3.1, cosidere, = 1, Ʋ(x) = 1, Ѵ(x) = 0, U 1 (x) = 1 e L 1 (x) = η V j (x) M j (x) η U j (x) L j (x) W(x) dφ(t) (x) dφ(t), x R, e F a fda da uiforme [0,1]. Note que U 1 (x) e L 1 (x) satisfazem as hipóteses do Teorema 3.1, pois: [cc3.1], V j (x) M j (x) [cc3.2] e [cc3.5] garatem que L 1 (x) = W(x) dφ(t) (x) dφ(t) η η U j (x) é L j (x) ão crescete e U 1 (x) = 1 é ão decrescete satisfazedo as codições [c3.2] e [c3.5], Codições [cc3.3] e [cc3.4] garatem que: lim U 1 (x) = lim L 1 (x) = 1, lim U 1 (x) = sup{x R: F(x) < 1} = 1, lim L 1 (x) = x x x + x + if{x R F(x) > 0} = 0 e ambas são cotíuas à direita e F é uma fda sem potos de descotiuidade. Logo, como todas as codições do Teorema 3.1 são satisfeitas, temos que:

41 39 U 1 (x) H(x) = df(s) L 1 (x) 1 = ds η η V W(x) j (x) η U dφ(t) (x) j (x) dφ(t) M j (x) L j (x) V j (x) U j (x) H(x) = 1 W(x) dφ(t) + (x) dφ(t) M j (x) é uma fução de distribuição de probabilidade. η L j (x) A seguir temos as Figuras e que represetam o suporte da fda do Corolário Figura Represetação do suporte da fda do Corolário para lim x + W(x) lim (x) e lim (x) = 0 x + x + Figura Represetação do suporte da fda do Corolário para lim x + W(x) = lim (x) 0 x + O próximo corolário mostra que a ormalização de qualquer fução mootôica ão costate gera uma distribuição de probabilidade

42 40 Corolário (C3.1.2): Normalização de fuções mootôicas ão costates Seja h: R R uma fução mootôica ão costate, cotíua à direita e com cojuto imagem limitado. Etão H(x) = lim x + h(x) lim é uma fução de distribuição de probabilidade. Demostração: No Teorema 3.1, cosidere = 1, U 1 (x) = x h(x) h(x) lim x h(x) h(x) lim x h(x) lim h(x) lim h(x), L 1 x + x (x) = 0, Ʋ(x) = 1 e Ѵ(x) = 0, x R, e F a fda da uiforme [0,1]. Note que Ʋ(x) = 1 e Ѵ(x) = 0, U 1 (x) e L 1 (x) satisfazem as hipóteses do Teorema 3.1, pois: Ʋ(x) = 1 e U 1 (x) = h(x) lim x h(x) lim x + h(x) lim x h(x) são ão decrescetes e L 1 (x) = 0 e Ѵ(x) = 0 são ão crescete, com lim U 1 (x) = lim L 1 (x) = 0, lim U 1 (x) = sup{x R: F(x) < 1} = 1 x x x + e lim L 1 (x) = if{x R F(x) > 0} = 0, sedo todas fuções cotíuas à direita e x + F é uma fda sem potos de descotiuidade. Logo, como todas as codições do Teorema 3.1 são satisfeitas, temos que: U 1 (x) lim x + H(x) = df(t) = h(x) x lim h(x) dt L 1 (x) 0 h(x) lim x h(x) H(x) = lim x + h(x) lim é uma fução de distribuição de probabilidade. x h(x) h(x) lim x h(x) O próximo corolário mostra outra alterativa para obter distribuições de probabilidade ormalizado difereça de fuções mootôicas.

43 41 Corolário (C3.1.3): Normalização de difereças de fuções mootôicas Sejam h 1 : R R e h 2 : R R fuções cotíuas à direita e limitadas, mootôicas ão decrescete e ão crescete, respectivamete. Se lim x h 1 (x) = lim h 2 (x) e lim h 1 (x) lim h 2 (x), etão x x + x + H(x) = h 1 (x) h 2 (x) lim x + (h 1 (x) h 2 (x)) é uma fução de distribuição de probabilidade. Demostração: Faça h(x) = h 1 (x) h 2 (x) o Corolário O próximo corolário mostra outra alterativa para obter distribuições de probabilidade ormalizado difereça de fuções mootôicas. Corolário (C3.1.4): Normalização complemetar de difereças de fuções mootôicas Sejam h 1 : R R e h 2 : R R fuções cotíuas à direita e limitadas, mootôicas ão decrescete e ão crescete, respectivamete. Se lim x + h 1 (x) = lim h 2 (x) e lim h 1 (x) lim h 2 (x), etão x + x x H(x) = 1 Demostração: h 2 (x) h 1 (x) lim x (h 2 (x) h 1 (x)) é uma fução de distribuição de probabilidade. Faça h(x) = h 1 (x) h 2 (x) + lim (h 2 (x) h 1 (x)) o Corolário x Na próxima Seção, vamos ver algus corolários do Teorema 3.1, em que as fuções mootôicas Ʋ(x), Ѵ(x), U j (x), L j (x), M j (x) e V j (x) serão composições de fuções de distribuições cohecidas, para obter fucioais geradores de classes de distribuições.

44 Fuções mootôicas evolvedo distribuições de probabilidades. Nesta seção, apresetamos as costruções, proposta esta tese, de fuções mootôicas evolvedo distribuições. A criação e costrução de fuções mootôicas evolvedo distribuições cosistem em ecotrar fuções mootôicas usado as operações básicas e as propriedades mootôicas de fuções. O Apêdice B apreseta uma lista que pode ser usada para gerar classes de distribuições probabilísticas. Formalmete, cosidere U: [0,1] m R, ϑ: [0,1] m R, μ j : [0,1] m R {±}, l j : [0,1] m R {±}, v j : [0,1] m R {±} e m j : [0,1] m R {±} fuções mootôicas e cotíuas à direita. A ideia desta técica é fazer com que Ʋ(x) = U(G 1,, G m )(x), Ѵ(x) = ϑ(g 1,, G m )(x), U j (x) = μ j (G 1,, G m )(x), L j (x) = l j (G 1,, G m )(x), M j (x) = m j (G 1,, G m )(x) e V j (x) = v j (G 1,, G m )(x). Utilizaremos a abreviação (. )(x) = (G 1,, G m )(x) = (G 1 (x),, G m (x)) para represetar o vetor formado por m fda s calculadas o mesmo poto x do domíio. O Corolário mostra que hipóteses U, ϑ, μ j, l j, v j e m j devem satisfazer para que Ʋ(x), Ѵ(x), U j (x), L j (x), M j (x) e V j (x) satisfaçam as codições do Teorema 3.1 e possamos obter classes de distribuições probabilísticas. Corolário (C3.1.5): Método gerador de classes de distribuições probabilísticas Sejam F: R R, μ j : [0,1] m R {±}, l j : [0,1] m R {±} e U: [0,1] m R, v j : [0,1] m R {±}, m j : [0,1] m R {±} e ϑ: [0,1] m R, j = 1,2,3,,, fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que: [d3.1] F é uma fda e U e ϑ são ão egativas; [d3.2] μ j, m j e U são ão decrescetes e l j, v j e ϑ são ão crescetes, j = 1,2,3,,, em cada uma das suas variáveis; [d3.3] Se U(0,,0) ϑ(0,,0), etão U(0,,0) = 0 ou μ j (0,,0) = l j (0,,0), j = 1,2,3,,, e ϑ(0,,0) = 0 ou m j (0,,0) = v j (0,,0), j = 1,2,3,, ; [d3.4] Se U(0,,0) = ϑ(0,,0) 0, etão μ j (0,,0) = v j (0,,0) e m j (0,,0) = l j (0,,0), j = 1,2,3,, ;

45 43 [d3.5] l j (0,,0) μ j (0,,0) e se ϑ(0,,0) 0, etão m j (1,,1) v j (1,,1), j = 1,2,3,, ; [d3.6] μ (1,,1) sup{x R: F(x) < 1} e l 1 (1,,1) if{x R F(x) > 0}; [d3.7] U(1,,1) = 1; [d3.8] ϑ(1,,1) = 0 ou v j (1,,1) = m j (1,,1), j = 1,2,3,, e 1; [d3.9] μ j (1,,1) = l j+1 (1,,1), j = 1, 2, 3,, 1 e 2; [d3.10] F é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções l j (. )(x) e v j (. )(x) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidade de F, sedo também cotíuas em tais potos e F ão possui potos de descotiuidade o cojuto {l j (0,,0), μ j (0,,0), m j (0,,0), v j (0,,0), l j (1,,1), μ j (1,,1), m j (1,,1), v j (1,,1), para algum j = 1, 2,, }. μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x) é m j (.)(x) Etão H G1,,G m (x) = U(. )(x) df(t) ϑ(. )(x) df(t) um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades, ode (. )(x) = (G 1,, G m )(x). Demostração: No Teorema 3.1, faça Ʋ(x) = U(. )(x), Ѵ(x) = ϑ(. )(x), U j (x) = μ j (. )(x), L j (x) = l j (. )(x), M j (x) = m j (. )(x) e V j (x) = v j (. )(x), e ote que a codição [d3. i] implica a codição [c3. i] do Teorema 3.1 para i = 1, 2,, 10. Vejamos um caso especial do Corolário 3.1.5, que de fato é um fucioal costrutor de classes de distribuições probabilísticas que podem ser mais facilmete utilizados: 1º Caso especial do Corolário (1C3.1.5): Método costrutor de classes de distribuições probabilísticas que podem ser mais facilmete utilizados. Sejam u i : [0,1] m [0,1] e v i : [0,1] m [0,1] fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que u i são ão decrescetes v i são ão crescetes em cada uma das suas variáveis, com u i (0,,0) = 0, u i (1,,1) = 1, v i (0,,0) = 1 e v i (1,,1) = 0 para todo i = 1,, k. Se o Corolário 3.1.5, U(. )(x) = k k ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 e ϑ(. )(x) = (θ i v i (. )(x)) α i i=1, com α i 0 e 0 θ i 1, etão H G1,,G m (x) =

46 44 μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x) m j (.)(x) k ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 df(t) k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 df(t) é um fucioal gerador costrutor de classes de distribuições de probabilidades, ode (. )(x) = (G 1,, G m )(x). A seguir, a Tabela mostra a obteção de algus fucioais especiais costrutores de classes de distribuições probabilísticas do fucioal μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x) m j, (.)(x) H G1,,G m (x) = k ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 df(t) k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 df(t) que podem ser mais facilmete utilizados as gerações de classes de distribuições. Cosidere as expressões de 15S1C3.1.5 a 20S1C3.1.5, as seguites fuções μ: [0,1] R {±}, l: [0,1] R {±}, v: [0,1] R {±}, m: [0,1] R {±}, tais que μ e m são ão decrescetes e cotíuas à direita, e v e l são ão crescetes e cotíuas à direita.

47 45 Tabela Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Algus subcasos do 1C S1C3.1.5 Codições especiais sobre fuções mootôicas e parâmetros Fucioais costrutores obtidos k = 1, α 1 = 0 e μ j (.)(x) v j (1,,1) = m j (1,,1) H G1,,G m (x) = df(t) l j (.)(x) 2S1C3.1.5 = 1, θ i = 0 e v j (1,,1) = m j (1,,1) α H G1,,G m (x) = u i i (. )(x) k i=1 μ 1 (.)(x) df(t) l 1 (.)(x) 3S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0 e v 1 (1,,1) = m 1 (1,,1) 4S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, v j (1,,1) = m j (1,,1) e 1 f(t) = em μ 1 (1,,1) l 1 (1,,1) [l 1 (1,,1), μ 1 (1,,1)] 5S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, l 1 (. )(x) = μ 1 (0,,0), v 1 (1,,1) = m 1 (1,,1) e 1 f(t) = em μ 1 (1,,1) μ 1 (0,,0) [μ 1 (0,,0), μ 1 (1,,1)] H G1,,G m (x) = H G1,,G m (x) = μ 1 (.)(x) df(t) l 1 (.)(x) μ 1 (. )(x) l 1 (. )(x) μ 1 (1,,1) l 1 (1,,1) H G1,,G m (x) = μ 1 (. )(x) μ 1 (0,,0) μ 1 (1,,1) μ 1 (0,,0)

48 46 6S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, μ 1 (. )(x) = l 1 (0,,0), v 1 (1,,1) = m 1 (1,,1) e 7S1C3.1.5 f(t) = 1 l 1 (0,,0) l 1 (1,,1) em [l 1 (1,,1), l 1 (0,,0)] k = 1, α 1 = 0 e μ j (.)(x) l j (.)(x) df(t) = 1 8S1C3.1.5 = 1, θ i = 1, μ 1 (. )(x) = + e l 1 (. )(x) = 9S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, H G1,,G m (x) = l 1 (. )(x) l 1 (0,,0) l 1 (1,,1) l 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = 1 v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 (v i (. )(x)) α i μ 1 (. )(x) = + e l 1 (. )(x) = H G1,,G m (x) = 1 df(t) 10S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) =, f(t) = 1 v 1 (0,,0) m 1 (0,,0) em [m 1 (0,,0), v 1 (0,,0)] 11S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, m 1 (. )(x) = v 1 (1,,1), μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) =, f(t) = 1 v 1 (0,,0) v 1 (1,,1) em [v 1 (1,,1), v 1 (0,,0)] 12S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, v 1 (. )(x) = m 1 (1,,1), μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) =, 1 f(t) = em m 1 (1,,1) m 1 (0,,0) [m 1 (0,,0), m 1 (1,,1)] k i=1 v 1 (.)(x) m 1 (.)(x) v 1 (.)(x) df(t) m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 v 1 (. )(x) m 1 (. )(x) v 1 (0,,0) m 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = v 1 (. )(x) v 1 (0,,0) v 1 (1,,1) v 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = m 1 (. )(x) m 1 (0,,0) m 1 (1,,1) m 1 (0,,0)

49 47 13S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, 14S1C3.1.5 = 1, k = 1, α 1 = 0, f(t) = 1 μ 1 (1,,1) l 1 (1,,1) v 1 (1,,1)+m 1 (1,,1), H G1,,G m (x) = μ 1 (.)(x) df(t) l 1 (.)(x) v 1 (.)(x) df(t) m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) μ 1 (. )(x) l 1 (. )(x) v 1 (. )(x) + m 1 (. )(x) = μ 1 (1,,1) l 1 (1,,1) v 1 (1,,1) + m 1 (1,,1) em [l 1 (1,,1) + v 1 (1,,1), m 1 (1,,1) + μ 1 (1,,1)]. 15S1C S1C S1C3.1.5 μ 1 (. )(x) = μ((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), l 1 (. )(x) = l((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), v 1 (. )(x) = μ(γv k+1 (. )(x)), m 1 (. )(x) = l(γv k+1 (. )(x)), = 1, α i > 0 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = μ((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), l 1 (. )(x) =, v 1 (. )(x) = μ(γv 1 (. )(x)), m 1 (. )(x) =, = 1 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) = l((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = l(γv k+1 (. )(x)), = 1 e 0 γ 1. k H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 +k (θ i v i (. )(x)) α i i=+1 k v 1 (.)(x) df(t) m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 k v 1 (.)(x) df(t) H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 + m 1 (.)(x) μ 1 (.)(x) df(t) l 1 (.)(x) μ 1 (.)(x) df(t) + l 1 (.)(x) df(t) df(t)

50 48 18S1C S1C S1C3.1.5 μ 1 (. )(x) = v(γv k+1 (. )(x)), l 1 (. )(x) = m(γv k+1 (. )(x)), v 1 (. )(x) = v((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), m 1 (. )(x) = m((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), = 1, α i > 0 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = v(γv k+1 (. )(x)), l 1 (. )(x) =, v 1 (. )(x) = v((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), m 1 (. )(x) =, = 1 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) = m(γv k+1 (. )(x)), v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = m((1 γ)u k+1 (. )(x) + γ), = 1 e 0 γ 1. 21S1C3.1.5 = 1. 22S1C3.1.5 μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) =, v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) =, = 1 e α i > 0. k H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 +k (θ i v i (. )(x)) α i i=+1 k v 1 (.)(x) df(t) m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 k v 1 (.)(x) df(t) H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 k + m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i k i=1 k (θ i v i (. )(x)) α i i=1 μ 1 (.)(x) df(t) l 1 (.)(x) μ 1 (.)(x) df(t) + l 1 (.)(x) df(t) v 1 (.)(x) df(t) m 1 (.)(x) df(t) μ 1 (.)(x) df(t) l 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = ((1 θ i )u i (. )(x) + θ i ) α i (θ i v i (. )(x)) α i i=1 k i=1

51 49 O Corolário mostra um método alterativo para obteção de classes de distribuições probabilísticas a partir do Corolário Ele mostra que hipóteses sobre U, ϑ, μ j, l j, v j e m j devem satisfazer para que as fuções (x), W(x), U j (x), L j (x), M j (x) e V j (x), satisfaçam as codições apresetadas o Corolário e possamos obter classes de distribuições probabilísticas. Corolário (C3.1.6): Método complemetar gerador de classes de distribuições probabilísticas Sejam φ: R R, μ j : [0,1] m R {±}, l j : [0,1] m R {±} e U: [0,1] m R, v j : [0,1] m R {±}, m j : [0,1] m R {±} e ϑ: [0,1] m R, j = 1,2,3,, η, fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que: [cd3.1] φ é uma fda e U e ϑ são ão egativas; [cd3.2] μ j, m j e U são ão decrescetes e l j, v j e ϑ são ão crescetes, j = 1,2,3,, η, em cada uma das suas variáveis; [cd3.3] Se U(1,,1) ϑ(1,,1), etão ϑ(1,,1) = 0 ou m j (1,,1) = v j (1,,1), j = 1, 2, 3,, η, e U(1,,1) = 0 ou l j (1,,1) = μ j (1,,1), j = 1, 2, 3,, η; [cd3.4] Se U(1,,1) = ϑ(1,,1) 0, etão μ j (1,,1) = v j (1,,1), j = 1,2,3,, η, e m j (1,,1) = l j (1,,1), j = 1,2,3,, η; [cd3.5] l j (0,,0) μ j (0,,0) e se ϑ(1,,1) 0, etão m j (1,,1) v j (1,,1), j = 1,2,3,, η; [cd3.6] v η (0,,0) sup{x R: F(x) < 1} e m 1 (0,,0) if{x R F(x) > 0}; [cd3.7] ϑ(0,,0) = 1; [cd3.8] U(0,,0) = 0 ou l j (0,,0) = μ j (0,,0), j = 1, 2, 3,, η 1 e η 1; [cd3.9] v j (0,,0) = m j+1 (0,,0), j = 1, 2, 3,, η 1 e η 2; [cd3.10] φ é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções l j (. )(x) e v j (. )(x) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de φ, sedo também cotíuas em tais potos e φ ão possui potos de descotiuidade o cojuto {l j (0,,0), μ j (0,,0), m j (0,,0), v j (0,,0), l j (1,,1), μ j (1,,1), m j (1,,1), v j (1,,1), para algum j = 1, 2,, η}. η v j (.)(x) m j (.)(x) μ j (.)(x) l j (.)(x) Etão H G1,,G m (x) = 1 ϑ(. )(x) dφ(t) + U(. )(x) dφ(t) η

52 50 é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades, ode (. )(x) = (G 1,, G m )(x). Demostração: No Corolário 3.1.1, faça (x) = U(. )(x), W(x) = ϑ(. )(x), U j (x) = μ j (. )(x), L j (x) = l j (. )(x), M j (x) = m j (. )(x) e V j (x) = v j (. )(x), e ote que a codição [cd3. i] implica a codição [cc3. i] do Corolário para i = 1, 2,, 10. Vejamos um caso especial do Corolário 3.1.6, que de fato é um fucioal costrutor de classes de distribuições que pode ser mais facilmete utilizado: 1º Caso especial do Corolário (1C3.1.6): Método complemetar costrutor de classes de distribuições probabilísticas podem ser mais facilmete utilizado. Sejam u i : [0,1] m [0,1] e v i : [0,1] m [0,1] fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que u i são ão decrescetes v i são ão crescetes em cada uma das suas variáveis, com u i (0,,0) = 0, u i (1,,1) = 1, v i (0,,0) = 1 e v i (1,,1) = 0 para todo i = 1,, k. Se o Corolário 3.1.6, ϑ(. )(x) = U(. )(x) = k k i=1 k ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 e (θ i u i (. )(x)) α i, com α i 0 e 0 θ i 1, etão H G1,,G m (x) = 1 η v j (.)(x) m j (.)(x) ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 dφ(t) + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 dφ(t) k η μ j (.)(x) l j (.)(x), é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades, ode (. )(x) = (G 1,, G m )(x). A seguir, a Tabela mostra a obteção de algus fucioais especiais costrutores de classes de distribuições probabilísticas do fucioal k η v j (.)(x) m j (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 dφ(t) + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 dφ(t) k μ j (.)(x) l j (.)(x) η, que podem ser mais facilmete utilizados as gerações de classes de distribuições. Cosidere as expressões de 15S1C3.1.5 a 20S1C3.1.5, as seguites fuções μ: [0,1] R {±}, l: [0,1] R {±}, v: [0,1] R {±}, m: [0,1] R {±}, tais que μ e m são ão decrescetes e cotíuas à direita, e v e l são ão crescetes e cotíuas à direita.

53 51 Tabela Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Algus subcasos do 1C S1C3.1.6 Codições especiais sobre fuções mootôicas e parâmetros k = 1, α 1 = 0 e η v j (.)(x) dφ(t) m j (.)(x) = 1. 2S1C3.1.6 η = 1, θ i = 1, v 1 (. )(x) = + e m 1 (. )(x) = 3S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, v 1 (. )(x) = + e m 1 (. )(x) = 4S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = e φ (t) = 1 μ 1 (1,,1) l 1 (1,,1) em [l 1 (1,,1), μ 1 (1,,1)] 5S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, l 1 (. )(x) = μ 1 (0,,0), v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = e φ (t) = 1 μ 1 (1,,1) μ 1 (0,,0) em [μ 1 (0,,0), μ 1 (1,,1)] 6S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, μ 1 (. )(x) = l 1 (0,,0), v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = e 1 l 1 (0,,0) l 1 (1,,1) em [l 1 (1,,1), l 1 (0,,0)] φ (t) = Fucioais costrutores obtidos η H G1,,G m (x) = α H G1,,G m (x) = u i i (. )(x) k i=1 H G1,,G m (x) = H G1,,G m (x) = μ j (.)(x) dφ(t) l j (.)(x) μ 1 (.)(x) dφ(t) l 1 (.)(x) μ 1 (.)(x) dφ(t) l 1 (.)(x) μ 1 (. )(x) l 1 (. )(x) μ 1 (1,,1) l 1 (1,,1) H G1,,G m (x) = μ 1 (. )(x) μ 1 (0,,0) μ 1 (1,,1) μ 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = l 1 (. )(x) l 1 (0,,0) l 1 (1,,1) l 1 (0,,0)

54 52 7S1C S1C3.1.6 k = 1, α 1 = 0 e μ j (1,,1) = l j (1,,1) η = 1, θ i = 0 e μ 1 (1,,1) = l 1 (1,,1) H G1,,G m (x) = 1 η v j (.)(x) dφ(t) m j (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 (v i (. )(x)) α i k i=1 v 1 (.)(x) dφ(t) m 1 (.)(x) 9S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0 e v 1 (.)(x) μ 1 (1,,1) = l 1 (1,,1) H G1,,G m (x) = 1 dφ(t) 10S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, μ 1 (1,,1) = l 1 (1,,1) e φ (t) = 1 v 1 (0,,0) m 1 (0,,0) em [m 1 (0,,0), v 1 (0,,0)] 11S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, m 1 (. )(x) = v 1 (1,,1), μ 1 (1,,1) = l 1 (1,,1) e 1 φ (t) = em v 1 (0,,0) v 1 (1,,1) [v 1 (1,,1), v 1 (0,,0)] m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 v 1 (. )(x) m 1 (. )(x) v 1 (0,,0) m 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = v 1 (. )(x) v 1 (0,,0) v 1 (0,,0) v 1 (1,,1) 12S1C3.1.6 η = 1, k = 1, α 1 = 0, v 1 (. )(x) = m 1 (0,,0), μ 1 (1,,1) = l 1 (1,,1) e φ (t) = 1 m 1 (1,,1) m 1 (0,,0) em [m 1 (0,,0), m 1 (1,,1)] 13S1C3.1.5 η = 1, k = 1, α 1 = 0, H G1,,G m (x) = m 1 (. )(x) m 1 (0,,0) m 1 (1,,1) m 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = 1 v 1 (.)(x) df(t) m 1 (.)(x) + df(t) μ 1 (.)(x) l 1 (.)(x)

55 53 14S1C3.1.5 η = 1, k = 1, α 1 = 0 e 1 f(t) = v 1 (0,,0) m 1 (0,,0) μ 1 (0,,0) + l 1 (0,,0) H G1,,G m (x) = 1 v 1 (. )(x) m 1 (. )(x) μ 1 (. )(x) + l 1 (. )(x) v 1 (0,,0) m 1 (0,,0) μ 1 (0,,0) + l 1 (0,,0) 15S1C S1C S1C S1C3.1.6 em [m 1 (0,,0) + μ 1 (0,,0), l 1 (0,,0) + v 1 (0,,0)] μ 1 (. )(x) = μ(γu k+1 (. )(x)), l 1 (. )(x) = l(γu k+1 (. )(x)), v 1 (. )(x) = μ((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), m 1 (. )(x) = l((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), η = 1 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = μ(γu k+1 (. )(x)), l 1 (. )(x) =, v 1 (. )(x) = μ((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), m 1 (. )(x) =, η = 1 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) = l(γu k+1 (. )(x)), v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = l((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), η = 1 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = m(γu k+1 (. )(x)), l 1 (. )(x) = v(γu k+1 (. )(x)), v 1 (. )(x) = m((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), m 1 (. )(x) = v((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), η = 1 e 0 γ 1. k H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k μ 1 (.)(x) dφ(t) l 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k μ 1 (.)(x) dφ(t) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k + l 1 (.)(x) dφ(t) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 μ 1 (.)(x) dφ(t) l 1 (.)(x) v 1 (.)(x) dφ(t) m 1 (.)(x) v 1 (.)(x) dφ(t) + m 1 (.)(x) dφ(t) v 1 (.)(x) dφ(t) m 1 (.)(x)

56 54 19S1C S1C3.1.6 μ 1 (. )(x) = m(γu k+1 (. )(x)), l 1 (. )(x) =, v 1 (. )(x) = m((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), m 1 (. )(x) =, η = 1 e 0 γ 1. μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) = v(γu k+1 (. )(x)), v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) = v((1 γ)v k+1 (. )(x) + γ), η = 1 e 0 γ 1. 21S1C3.1.6 η = 1. 22S1C3.1.6 μ 1 (. )(x) = +, l 1 (. )(x) =, v 1 (. )(x) = +, m 1 (. )(x) =, η = 1 e α i > 0. k H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k μ 1 (.)(x) dφ(t) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k + l 1 (.)(x) dφ(t) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i i=1 k + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k μ 1 (.)(x) dφ(t) l 1 (.)(x) v 1 (.)(x) dφ(t) + m 1 (.)(x) dφ(t) v 1 (.)(x) dφ(t) m 1 (.)(x) H G1,,G m (x) = 1 ((1 θ i )v i (. )(x) + θ i ) α i + (θ i u i (. )(x)) α i i=1 k i=1

57 55 O Corolário mostra outra alterativa para obtermos classes de distribuições probabilísticas a partir do Teorema 3.1. Corolário (C3.1.7): Método ormalizado gerador de classes de distribuições probabilísticas Sejam F: R R, w: [0,1] m R {±} e z: [0,1] m R {±} fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que: [e3.1] F é uma fda; [e3.2] w é ão decrescete e z é ão crescete; [e3.3] F é uma fda sem potos de descotiuidade ou a fução z(. )(x) é costate à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de F, sedo também cotíuas em tais potos e F ão possui potos de descotiuidade o cojuto {z(0,,0), z(1,,1), w(0,,0), w(1,,1) }. Etão, temos que H G1,,m (x) = classes de distribuições de probabilísticas. w(.)(x) w(0,,0) df(t) z(.)(x) df(t) z(0,,0) w(1,,1) z(1,,1) df(t) w(0,,0) df(t) z(0,,0) é um fucioal gerador de Demostração: No Teorema 3.1, cosidere = 1, Ʋ(x) = 1, Ѵ(x) = 0, U 1 (x) = w(.)(x) w(0,,0) df(t) z(.)(x) df(t) z(0,,0) w(1,,1) z(1,,1) df(t) w(0,,0) df(t) z(0,,0) L 1 (x) = 0, x R, e F uma fda da uiforme [0,1]. Note que U 1 (x) e L 1 (x) satisfazem as hipóteses do Teorema 3.1, pois: U 1 (x) é ão decrescete e L 1 (x) é ão crescete, com lim U 1(x) = lim L 1(x) = 0, lim U 1(x) = 1, lim L 1(x) = 0, x x x + x + ambas são cotíuas à direita e F é uma fda sem potos de descotiuidade. Logo, como todas as codições do Teorema 3.1 são satisfeitas, temos que: w(.)(x) z(.)(x) H G1,,m (x) = w(0,,0) df(t) df(t) z(0,,0) w(1,,1) z(1,,1) df(t) w(0,,0) df(t) z(0,,0) é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades. e

58 56 1º Caso especial do Corolário (1C3.1.7): μ j (.)(x) l j (.)(x) Se, o Corolário 3.1.7, w(. )(x) = U(. )(x) df(t) e z(. )(x) = v j (.)(x) m j (.)(x) ϑ(. )(x) df(t) satisfazedo as codições [d3.1] a [d3.10] do Corolário e F for uma fda da uiforme [0,1], etão temos que H G1,,G m (x) = μ j (.)(x) l j (.)(x) U(. )(x) df(t) ϑ(. )(x) df(t) que é o mesmo fucioal v j (.)(x) m j (.)(x) gerador de classes de distribuições de probabilidades do Corolário º Caso especial do Corolário (2C3.1.7): μ j (.)(x) l j (.)(x) Se, o Corolário 3.1.7, w(. )(x) = U(. )(x) dφ(t) e z(. )(x) = v j (.)(x) m j (.)(x) ϑ(. )(x) dφ(t) satisfazedo as codições [cd3.1] a [cd3.10] do Corolário e F for uma fda da uiforme [0,1], etão temos que H G1,,G m (x) = 1 v j (.)(x) m j (.)(x) ϑ(. )(x) dφ(t) + U(. )(x) dφ(t) que é o mesmo fucioal μ j (.)(x) l j (.)(x) gerador de classes de distribuições de probabilidades do Corolário O teorema a seguir, mostra que o Teorema 3.1 e os seus corolários são todos equivaletes etre si, ou seja, o Teorema 3.1 e todos os seus corolários geram exatamete as mesmas distribuições probabilísticas. Teorema 3.2 (T3.2): Equivalêcia etre o Teorema 3.1 e os seus corolários. O Teorema 3.1 e todos os seus corolários geram exatamete as mesmas distribuições probabilísticas. Demostração: Para demostrarmos o Teorema 3.5, iremos mostrar que o C3.1.1 é corolário de T3.1, que o C3.1.2 é corolário de C3.1.1, e assim sucessivamete até que o T3.1 é corolário de C Etão vejamos:

59 57 (1) C3.1.1 é corolário de T3.1: Óbvio, pois já foi demostrado. (2) C3.1.2 é corolário de C3.1.1: No Corolário 3.1.1, faça η = 1, W(x) = 1, V 1 (x) = 1, M 1 (x) = 0, (x) = 1, U 1 (x) = h(x) lim x h(x) lim h(x) lim h(x), L 1 x + x (x) = 0, x R, e φ a fda da uiforme [0,1]. Logo teremos a expressão do C3.1.2, coforme desevolvimeto abaixo: η V j (x) U j (x) H(x) = 1 W(x) dφ(t) + (x) dφ(t) H(x) = M j (x) lim x + h(x) lim Portato, o C3.1.2 é corolário de C x h(x) η h(x) lim x h(x) L j (x) (3) C3.1.3 é corolário de C3.1.2: No Corolário 3.1.2, faça h(x) = h 1 (x) h 2 (x). (4) C3.1.4 é corolário de C3.1.3: Cosidere a expressão H(x) = o Corolário 3.1.3, faça w 1 (x) = 1, w 2 (x) = h 2 (x) h 1 (x) lim x (h 2 (x) h 1 expressão do C3.1.4, coforme desevolvimeto abaixo: H(x) = H(x) = 1 Portato, o C3.1.4 é corolário de C w 1 (x) w 2 (x) lim (w 1 (x) w 2 (x)) x + h 2 (x) h 1 (x) lim (h 2(x) h 1 (x)) x w 1 (x) w 2 (x) lim (w x + 1 (x) w 2 (x)), para (x)), x R. Logo teremos a (5) C3.1.5 é corolário de C3.1.4: No Corolário 3.1.4, faça h 2 (x) = 1, h 1 (x) = μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x) m j (.)(x) U(. )(x) df(t) ϑ(. )(x) df(t), x R. Logo teremos a expressão do C3.1.5, coforme desevolvimeto abaixo: H(x) = 1 h 2 (x) h 1 (x) lim (h 2(x) h 1 (x)) x

60 58 H G1,,G m (x) = U(. )(x) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) ϑ(. )(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) Portato, o C3.1.5 é corolário de C (6) C3.1.6 é corolário de C3.1.5: No Corolário 3.1.5, faça = 1, Ʋ(. )(x) = 1, η v j (.)(x) m j (.)(x) μ j (.)(x) l j (.)(x) L 1 (. )(x) = ϑ(. )(x) dφ(t) U(. )(x) dφ(t), U 1 (. )(x) = 1, Ѵ(. )(x) = 0, x R e F a fda da uiforme [0,1]. Logo teremos a expressão do C3.1.6, coforme desevolvimeto abaixo: H G1,,G m (x) = Ʋ(. )(x) H G1,,G m (x) = 1 ϑ(. )(x) η U j (.)(x) df(t) L j (.)(x) v j (.)(x) m j (.)(x) Portato, o C3.1.6 é corolário de C η Ѵ(. )(x) V j (.)(x) df(t) M j (.)(x) μ j (.)(x) dφ(t) + U(. )(x) dφ(t) η l j (.)(x) (7) C3.1.7 é corolário do C3.1.6: No Corolário 3.1.6, faça η = 1, U(. )(x) = 1, ϑ(. )(x) = 1, v 1 (. )(x) = 1, m j (. )(x) = 0, μ 1 (. )(x) = w(.)(x) w(0,,0) df(t) z(.)(x) df(t) z(0,,0) w(1,,1) z(1,,1) df(t) w(0,,0) df(t) z(0,,0) l j (. )(x) = 0, x R, e φ a fda da uiforme [0,1]. Logo teremos a expressão do C3.1.7, coforme desevolvimeto abaixo: H G1,,G m (x) = 1 ϑ(. )(x) η v j (.)(x) dφ(t) m j (.)(x) w(.)(x) η μ j (.)(x) + U(. )(x) dφ(t) z(.)(x) H G1,,m (x) = w(0,,0) df(t) df(t) z(0,,0) w(1,,1) z(1,,1) df(t) w(0,,0) df(t) z(0,,0) l j (.)(x), Portato, o C3.1.7 é corolário de C U j (x), L j (x) (8) T3.1 é corolário de C3.1.7: No Corolário 3.1.7, faça w(. )(x) = Ʋ(x) df(t) V j (x) M j (x) z(. )(x) = Ѵ(x) df(t), x R, e F a fda da uiforme [0,1]. Logo teremos a expressão do T3.1, coforme desevolvimeto abaixo:

61 59 w(.)(x) z(.)(x) H G1,,m (x) = w(0,,0) df(t) df(t) z(0,,0) w(1,,1) z(1,,1) df(t) w(0,,0) df(t) z(0,,0) U j (x) V j (x) H(x) = Ʋ(x) df(t) Ѵ(x) df(t) L j (x) Portato, o T3.1 é corolário do C M j (x) De (1) a (8), cocluímos que o Teorema 3.1 e todos os seus Corolários geram exatamete as mesmas distribuições probabilísticas Suportes para as Classes de Distribuições Probabilísticas. Com base a proposta do método gerador de distribuições de probabilidades, um estudo mais detalhado sobre os suportes das classes e das distribuições geradas por elas se faz ecessário, em virtude de pouca abragêcia a literatura. A seguir apresetamos um estudo detalhado dos cojutos suportes das classes e das distribuições geradas pelos fucioais dos Corolários e do Teorema 3.1. Primeiro observemos que por defiição de suporte de distribuição de probabilidade, teremos que para qualquer distribuição F, o seu suporte, S F é dado por S F = {x R: F(x) F(x ε) > 0, ε > 0}. O Teorema 3.3 mostra que o suporte da distribuição gerada está cotido a uião dos suportes das distribuições G i s. Teorema 3.3 (T3.3): Teorema geral dos suportes. Seja H G1,,G m (x) a fução de distribuição gerada a partir do Corolário (respectivamete, 3.1.6). Etão S HG 1,,Gm m S G j. Demostração: Sem perda de geeralidade, cosidere o fucioal do Corolário (respectivamete, 3.1.6) do Teorema 3.1, ou seja, H G1,,G m (x) = U(. )(x) μ j (.)(x) df(t) v j (.)(x) m j. (.)(x) ϑ(. )(x) df(t) l j (.)(x)

62 60 Logo, temos que: H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = U(. )(x) U(. )(x ε) μ j (.)(x ε) df(t) l j (.)(x ε) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) v j (.)(x ε) + ϑ(. )(x ε) df(t) m j (.)(x ε) ϑ(. )(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) m Vamos supor que x S Gj, etão existe ε > 0 tal que G j (x) G j (x ε) = 0, para todo j = 1, 2,..., m. Portato, temos H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = U(. )(x) U(. )(x ε) +U(. )(x ε) U(. )(x ε) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) μ j (.)(x ε) df(t) l j (.)(x ε) Aida podemos escrever: μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) v j (.)(x) + ϑ(. )(x ε) df(t) ϑ(. )(x ε) m j (.)(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) v j (.)(x ε) + ϑ(. )(x ε) df(t) m j (.)(x ε) ϑ(. )(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = (U(. )(x) U(. )(x ε)) (ϑ(. )(x) ϑ(. )(x ε)) +U(. )(x ε) ( ϑ(. )(x ε) ( μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) μ j (.)(x ε) df(t) l j (.)(x ε) v j (.)(x ε) df(t) m j (.)(x ε) ) ) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) Logo,

63 61 H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = (U(. )(x) U(. )(x ε)) (ϑ(. )(x) ϑ(. )(x ε)) +U(. )(x ε) ( ( ϑ(. )(x ε) ( ( μ j (.)(x) μ j (.)(x ε) v j (.)(x) v j (.)(x ε) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) df(t) df(t) l j (.)(x) l j (.)(x ε) m j (.)(x) m j (.)(x ε) df(t) )) df(t) )). μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) Assim, como U(. )(x) = U(. )(x ε), ϑ(. )(x) = ϑ(. )(x ε), μ j (. )(x) = μ j (. )(x ε), l j (. )(x) = l j (. )(x ε), m j (. )(x) = m j (. )(x ε) e v j (. )(x) = v j (. )(x ε), temos que H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = 0. Logo teremos x S. Etão, se x S HG 1,,Gm H G, temos que x S 1,,Gm portato, S HG 1,,Gm m S G j. m G j e, O Corolário do Teorema 3.3 mostra um caso especial em que a distribuição H G1,,G m (x) é discreta. Corolário (C3.3.1): Baselies discretas geram distribuições discretas. Se todas as G j s são discretas, etão H G1,,G m (x) é discreta. Demostração: Sedo todas as G j s discretas, etão S Gj tem uma quatidade eumerável de valores. Como S S HG 1,,Gm G j pelo Teorema 3.3, logo S HG 1,,Gm tem uma quatidade eumerável de valores e, portato, também H G1,,G m (x) é uma fda de v. a. discreta. m m

64 62 O Teorema 3.4 mostra codições em que S HG 1,,Gm = m S G j. Teorema 3.4 (T3.4): Suporte da distribuição é a uião dos suportes das baselies. Se o corolário (respectivamete, 3.1.6) [f3.1] S F for um cojuto covexo; [f3.2] μ (1,,1) = sup{x R F(x) < 1}, l 1 (1,,1) = if{x R F(x) > 0}, U(. )(x) > 0, x R, e μ j (. )(x) ou l j (. )(x), para algum j = 1,2,,, forem estritamete mootôicas ou v (0,,0) = sup{x R φ(x) < 1}, m 1 (0,,0) = if{x R φ(x) > 0}, ϑ(. )(x) > 0, x R, e v j (. )(x) ou m j (. )(x), para algum j = 1,2,,, forem estritamete mootôicas. Etão S HG 1,,Gm = m S G j. Demostração: (1) S m S HG 1,,Gm G j. Óbvio, pois é o resultado do Teorema 3.3. (2) S m S HG 1,,Gm G j. Sem perda de geeralidade, cosidere o fucioal do Corolário (respectivamete 3.1.6) e mais todas as codições do corolário, ou seja, H G1,,G m (x) = μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x). m j (.)(x) U(. )(x) df(t) ϑ(. )(x) df(t) Logo, temos que: H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = U(. )(x) U(. )(x ε) μ j (.)(x ε) df(t) l j (.)(x ε) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) v j (.)(x ε) ϑ(. )(x) + ϑ(. )(x ε) df(t). m j (.)(x ε) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) m Vamos supor que x S Gj, etão existe ε > 0 tal que G j (x) G j (x ε) > 0, para algum j = 1, 2,..., m. De maeira iteiramete aáloga, obteremos a expressão desevolvida a dedução do Teorema 3.2, portato temos:

65 63 H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) = (U(. )(x) U(. )(x ε)) (ϑ(. )(x) ϑ(. )(x ε)) +U(. )(x ε) ( ( ϑ(. )(x ε) ( ( μ j (.)(x) μ j (.)(x ε) v j (.)(x) v j (.)(x ε) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) df(t) df(t) l j (.)(x) l j (.)(x ε) m j (.)(x) m j (.)(x ε) df(t) )) df(t) )). μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) As codições [f3.1] e [f3.2] implicam que pelo meos uma das itegrais da h(.)(x) forma df(t) é diferete de zero para h = μ h(.)(x ε) j, h = l j, h = v j ou h = m j, para algum j = 1, 2,,. implica que: Isto por sua vez, juto com o fato que U ou ϑ são estritamete mootôicas, H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ε) > 0 Assim, Portato, x S HG 1,,Gm. S m S HG 1,,Gm G j. De (1) e (2), cocluímos que S HG 1,,Gm = m S G j. O Teorema 3.5 mostra codições em que a fda H G1,,G m (x) é cotíua. Teorema 3.5 (T3.5): Distribuições de fuções cotíuas geram distribuições de fuções cotíuas. Se F(x), G 1,...,G m são fda s cotíuas o Corolário (respectivamete 3.1.6), μ j, l j, U, v j, m j e ϑ são fuções cotíuas, etão H G1,,G m (x) é uma fda cotíua.

66 64 Demostração: Sem perda de geeralidade, cosidere o fucioal do Corolário 3.1.5, ou seja, μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x). m j (.)(x) H G1,,G m (x) = U(. )(x) df(t) ϑ(. )(x) df(t) Logo, temos que: H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ) = U(. )(x) μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) μ j (.)(x ) v j (.)(x ) U(. )(x ) df(t) + ϑ(. )(x ) df(t). l j (.)(x ) m j (.)(x ) ϑ(. )(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) obtemos Logo, utilizado o desevolvimeto similar ao da prova do Teorema 3.3, H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ) = (U(. )(x) U(. )(x )) (ϑ(. )(x) ϑ(. )(x )) +U(. )(x ) ( ( ϑ(. )(x ) ( v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) μ j (.)(x) df(t) μ j (.)(x ) v j (.)(x) df(t) v j (.)(x ) l j (.)(x) df(t) l j (.)(x ) )) m j (.)(x) df(t) m j (.)(x ) ). μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) que: Como todas as fuções cotidas a expressão aterior são cotíuas, temos H G1,,G m (x) H G1,,G m (x ) = 0. Portato, cocluímos que H G1,,G m (x) é uma fução cotíua. O Teorema 3.6 mostra codições em que a distribuição H G1,,G m (x) será uma fda de v. a. cotíua.

67 65 Teorema 3.6 (T3.6): Distribuições de variáveis aleatórias cotíuas geram distribuições de variáveis aleatórias cotíuas. Se F(x), G 1,..., G m forem fda s de v. a. s cotíuas o Corolário (respectivamete, 3.1.6), μ j, l j, U, v j, m j e ϑ forem fuções cotíuas e difereciáveis, etão H G1,,G m (x) será uma fda de v. a. cotíua. Demostração: Sem perda de geeralidade, cosidere o fucioal do Corolário 3.1.5, ou seja, μ j (.)(x) l j (.)(x) v j (.)(x). m j (.)(x) H G1,,G m (x) = U(. )(x) df(t) ϑ(. )(x) df(t) Como F(x), G 1,..., G m são fda s de v. a. s cotíuas e μ j, l j, U, v j, m j e ϑ são fuções cotíuas e difereciáveis, etão H G1,,G m (x) será uma fda de v. a. cotíua com desidade dada por: m h G1,,G m (x) = ( z=1 U(. )(x) G z g z (x)) ( m μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) +U(. )(x) ( (F (μ j (. )(x)) μ j(. )(x) g G z (x) F (l j (. )(x)) l j(. )(x) g z G z (x))) z m ϑ(. )(x) ( g G z (x)) ( z z=1 m z=1 v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) ϑ(. )(x) ( (F (v j (. )(x)) v j (. )(x) g G z (x) F (m j (. )(x)) m j (. )(x) g z G z (x))) z z=1 ode (. )(x) = (G 1,, G m )(x). ) ) O Teorema 3.7 mostra codições em que a distribuição H G1,,G m (x) é discreta. m z=1 m z=1 Teorema 3.7 (T3.7): Itegrais de difereciais de distribuições discretas geram distribuições discretas. Seja H G1,,G m (x) a fução de distribuição gerada a partir do Corolário (respectivamete, 3.1.6). Se a distribuição de probabilidade F(x) for discreta e U(. )(x) = ϑ(. )(x) = 1, etão a distribuição H G1,,G m (x) será discreta idepedete das fuções mootôicas usadas como limites de itegração.

68 66 Demostração: H G1,,G m (x) = μ j (.)(x) df(t) l j (.)(x) v j (.)(x) df(t) m j (.)(x) H G1,,G m (x) = (F (μ j (. )(x)) F (l j (. )(x))) (F (v j (. )(x)) F (m j (. )(x))) Como F(t) é uma fda de uma v. a. discreta, F(t) assume uma quatidade eumerável de valores distitos. Portato, como H G1,,G m (x) é dado por uma soma de difereças de F(t) avaliada em 4 potos distitos, H G1,,G m (x) também só assume uma quatidade eumerável de valores e, portato, também é uma fda de uma v. a. discreta Nomeclatura para as Classes de Distribuições Probabilísticas e para as distribuições de probabilidades, caso uivariado. Com base a proposta do método gerador de distribuições de probabilidades, as classes de distribuições probabilísticas e as distribuições geradas por elas, setimos a ecessidade de uma sistematização o que diz respeito à omeclatura das expressões ecotradas, ou seja, um cojuto de regras para omear as mesmas, coeretemete com o que já existe a literatura. Aida para ajudar a justificativa dessa sistematização, ote que há ecessidade de uma padroização e difereciação para classes diferetes geradas pela mesma distribuição. Como exemplo, citamos a classe gama G defiida por Zografos (2008) e a gama-g defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) que são duas expressões diferetes com o mesmo ome (gama-g). Desta forma, ós propomos uma forma geral de omeação. Para as distribuições geradas pelo Teorema 3.1, dividimos em duas categorias: a primeira omeia as classes de distribuições probabilísticas e a seguda às distribuições de probabilidades geradas pelas classes. A seguir temos as regras de omeação das classes e das distribuições geradas pelo fucioal do Corolário 3.1.5:

69 67 a) Quado da classe de distribuições probabilísticas será: Classe + ome da expressão (U)(ϑ)F(t)(l 1,, l )(μ 1,, μ )(m 1,, m )(v 1,, v ), ou seja, classe + ome do vetor U(. )(x) + ome do vetor ϑ(. )(x) + ome da distribuição de F(t) + ome do vetor (l 1 (. ),, l (. ))(x) + ome do vetor (μ 1 (. ),, μ (. ))(x) + ome do vetor (m 1 (. ),, m (. ))(x) + ome do vetor (v 1 (. ),, v (. ))(x). b) Quado da distribuição probabilística gerada pela classe será: ome da classe + a substituição do vetor (G 1,, G m )(x) pelo vetor de omes das distribuições represetadas. Regras de omeação das classes e das distribuições geradas pelo fucioal do Corolário 3.1.6: a) Quado da classe de distribuições probabilísticas será: Classe complemetar + ome da expressão (ϑ)(u)φ(t)(m 1,, m )(v 1,, v )(l 1,, l )(μ 1,, μ ), ou seja, classe complemetar + ome do vetor de ϑ(. )(x) + ome do vetor U(. )(x) + ome da distribuição de φ(t) + ome do vetor (m 1 (. ),, m (. ))(x) + ome do vetor (v 1 (. ),, v (. ))(x) + ome do vetor (l 1 (. ),, l (. ))(x) + ome do vetor (μ 1 (. ),, μ (. ))(x). b) Quado da distribuição probabilística gerada pela classe será: ome da classe + a substituição do vetor (G 1,, G m )(x) pelo vetor de omes das distribuições represetadas. Regras de omeação das classes e das distribuições geradas pelo fucioal do Corolário 3.1.7: a) Quado da classe de distribuições probabilísticas será: Classe ormalizada + ome da expressão (w)φ(t)(z), ou seja, classe ormalizada + ome do vetor de w(. )(x) + ome da distribuição de φ(t) + ome do vetor de z(. )(x). b) Quado da distribuição probabilística gerada pela classe será: ome da classe + a substituição do vetor (G 1,, G m )(x) pelo vetor de omes das distribuições represetadas.

70 Obteções de geeralizações de modelos de classes já existetes Neste tópico faremos algumas aplicações para obteção de casos bem especiais de fucioal gerador de classes de distribuições probabilísticas, obtedo as classes de distribuições de probabilidade já existetes a literatura. A seguir, teremos a Tabela que mostra a obteção de classes de distribuições probabilísticas de modelos já existetes com o uso de algus corolários do Teorema 3.1.

71 Tabela Geeralizações de modelos de classes já existetes Sub-casos Distribuições Utilizadas do 1C3.1.5 Fuções Mootôicas f(t) Utilizado m α l 1 (. )(x) = θ (1 G i i (x)) δ i 3S1C B(a, b) ta 1 (1 t) b 1 i=1 β μ 1 (. )(x) = (1 θ) G j j (x) + θ m Algus valores especiais para os parâmetros θ = 0, m = 1 e β 1 = 1 θ = 0 e m = 1 69 Classe Obtida beta1 G 1 defiida por Eugee et al (2002) Mc1 G 1 defiida por McDoald (1984) 9S1C B(a, b) ta 1 (1 t) b 1 m m 1 (. )(x) = θ G j β j (x) m α v 1 (. )(x) = (1 θ) (1 G i i (x)) δ i + θ i=1 θ = 1, m = 1 e β 1 = 1 θ = 1 e m = 1 beta1 G 1 defiida por Eugee et al (2002) Mc1 G 1 defiida por McDoald (1984) 3S1C3.1.5 bt b 1 m α l 1 (. )(x) = θ (1 G i i (x)) δ i i=1 β μ 1 (. )(x) = (1 θ) G j j (x) + θ m θ = 0, m = 1 e β 1 = 1 expoeciada G 1 defiida por Mudholkar et al (1995) m 9S1C3.1.5 bt b 1 m 1 (. )(x) = θ G j β j (x) m α v 1 (. )(x) = (1 θ) (1 G i i (x)) δ i + θ i=1 θ = 1, m = 1 e β 1 = 1 expoeciada G 1 defiida por Mudholkar et al (1995)

72 70 3S1C3.1.5 bt b 1 m α l 1 (. )(x) = θ (1 G i i (x)) δ i i=1 β μ 1 (. )(x) = (1 θ) G j j (x) + θ m θ = 0 e m = 1 expoeciada G 1 defiida por Mudholkar et al (1995) 5S1C μ 1 (. )(x) = (b i + G i α i (x)) β i 3S1C3.1.5 abt a 1 (1 t a ) b 1 m i=1 m α l 1 (. )(x) = θ (1 G i i (x)) δ i i=1 β μ 1 (. )(x) = (1 θ) j G j (x) + θ m θ = 0 e β = 1 θ = 0, m = 1 e β 1 = 1 expoeciada G 1 defiida por Mudholkar et al (1995) Kumaraswamy G 1 defiida por defiida por Cordeiro e Castro (2011) m 9S1C3.1.5 abt a 1 (1 t a ) b 1 m 1 (. )(x) = θ G j β j (x) m α v 1 (. )(x) = (1 θ) (1 G i i (x)) δ i + θ θ = 1, m = 1 e β 1 = 1 Kumaraswamy G 1 defiida por defiida por Cordeiro e Castro (2011) i=1 6S1C l 1 (. )(x) = (b i G i α i (x)) β i m i=1 m = 1, b 1 = 1, β 1 = β e α 1 = α Kumaraswamy G 1 defiida por defiida por Cordeiro e Castro (2011)

73 71 3S1C S1C3.1.5 t a 1 (1 t) b 1 B(a, b)(1 + t) a+b t a 1 (1 t) b 1 B(a, b)(1 + t) a+b m α l 1 (. )(x) = θ (1 G i i (x)) δ i i=1 β μ 1 (. )(x) = (1 θ) G j j (x) + θ m m m 1 (. )(x) = θ G j β j (x) m α v 1 (. )(x) = (1 θ) (1 G i i (x)) δ i + θ i=1 θ = 0, m = 1 e β 1 = 1 θ = 0 e m = 1 θ = 1, m = 1 e β 1 = 1 θ = 1 e m = 1 beta3 G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) Mc3 G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) beta1 G 1 defiida por Eugee et al (2002) Mc3 G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) 3S1C3.1.5 t a 1 (1 t) b 1 exp( ct) B(a, b) m α l 1 (. )(x) = θ (1 G i i (x)) δ i i=1 β μ 1 (. )(x) = (1 θ) G j j (x) + θ m θ = 0, m = 1 e β 1 = 1 beta Kummer G 1 defiida por Pescim et al (2012) 9S1C3.1.5 t a 1 (1 t) b 1 exp( ct) B(a, b) m m 1 (. )(x) = θ G j β j (x) m α v 1 (. )(x) = (1 θ) (1 G i i (x)) δ i + θ θ = 1, m = 1 e β 1 = 1 beta Kummer G 1 defiida por Pescim et al (2012) 3S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt i=1 m γ β j l 1 (. )(x) = θ (1 G j j (x)) α μ 1 (. )(x) = i θ + ( l ( (1 G i (x)) δ i ) ) m λ r θ = 0, m = 1, α 1 = 1, λ = 1, r = 1 e δ 1 = 1 Gama l(1 G 1 ) defiida por Zografos (2008) i=1

74 72 3S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m γ β j l 1 (. )(x) = θ j (1 G j (x)) α μ 1 (. )(x) = θ + ( l (1 G i i (x)) ) m λ r θ = 0, m = 1, α 1 = 1, λ = 1 e r = 1 Gama l(1 G 1 ) defiida por Zografos (2008) i=1 3S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m ω l 1 (. )(x) = ρ (1 G i i (x)) s i i=1 λ μ 1 (. )(x) = ρ l (1 G l l (x)) m l=1 ρ = 0, m = 1, α = 0 e λ 1 = 1 Gama l(1 G 1 ) defiida por Zografos (2008) 3S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m s i λ l 1 (. )(x) = ρ (1 G i i (x)) i=1 α μ 1 (. )(x) = ρ + ( l ( (1 G i i (x)) ω i ) ) m λ r m = 1, α 1 = 1, ρ = 0, ω 1 = 1, λ = 1 e r = 1 gama l(1 G 1 ) defiida por Zografos (2008) 9S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m i=1 m 1 (. )(x) = ρ (1 G i ω i (x)) s i i=1 λ v 1 (. )(x) = ρ l (1 G l l (x)) m ρ = 0, m = 1 e λ 1 = 1 gama l(1 G 1 ) defiida por Zografos (2008) 9S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m l=1 s i λ m 1 (. )(x) = ρ (1 G i i (x)) i=1 m α v 1 (. )(x) = ρ + ( l ( (1 G i i (x)) β i ) ) λ r m = 1, α 1 = 0, ρ = 0 e β 1 = 1 gama l(1 G 1 ) defiida por Zografos (2008) i=1

75 73 9S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m γ β j m 1 (. )(x) = θ (1 G j j (x)) α v 1 (. )(x) = θ + ( l ( G i i (x))) m δ θ = 0, m = 1, α 1 = 1 e δ = 1 Complemetar gama l(g 1 ) defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) i=1 9S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt α m 1 (. )(x) = θ (1 G j j (x)) v 1 (. )(x) = θ + ( l (1 m m λ (1 G i β i (x)) γ i r s ) ) θ = 0, m = 1, β 1 = 1, γ 1 = 1, r = 1 e s = 1 Complemetar gama l(g 1 ) defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013 i=1 m 3S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt l 1 (. )(x) = ρ G i ω i (x) i=1 m λ μ 1 (. )(x) = ρ l ( G l l (x)) ρ = 0, m = 1 e λ 1 = 1 Complemetar gama l(g 1 ) defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) l=1

76 74 3S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt m l 1 (. )(x) = ρ G i λ i (x) i=1 α μ 1 (. )(x) = i ρ + ( l (1 (1 G i (x)) ω i ) ) m λ r m = 1, ρ = 0, α 1 = 1, δ 1 = 1, λ = 1 e r = 1 Complemetar gama l(g 1 ) defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) i=1 9S1C S1C3.1.5 b a Γ(a) ta 1 e bt b a Γ(a) ta 1 e bt m m 1 (. )(x) = ρ G i ω i (x) i=1 m λ v 1 (. )(x) = ρ l ( G l l (x)) l=1 m m 1 (. )(x) = ρ G i λ i (x) i=1 α v 1 (. )(x) = i ρ + ( l (1 (1 G i (x)) ω i ) ) m λ r ρ = 0, m = 1, α = 0 e λ 1 = 1 m = 1, ρ = 0, α 1 = 1, ω 1 = 1, λ = 1 e r = 1 Complemetar gama l(g 1 ) defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) Complemetar gama l(g 1 ) defiida por Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) i=1 b (1 G β 12S1C (x)) γ m 1 (. )(x) = ( G α 1 (x) + b (1 G β 2 (x)) γ ) θ G 1 (x) = G 2 (x), α = 1, β = 1 e θ = 1 G 1 (x) = G 2 (x), α = 1 e β = 1 Marshall e Olki defiida por Marshall e Olki (1997) Marshall e Olki G 1 defiida por Jayakumar e Mathew (2008)

77 75 G α 5S1C μ 1 (. )(x) 1 (x) = ( G α 1 (x) + b (1 G β 2 (x)) γ ) θ G 1 (x) = G 2 (x), α = 1, β = 1 e θ = 1 G 1 (x) = G 2 (x), α = 1 e β = 1 Marshall e Olki defiida por Marshall e Olki (1997) Marshall e Olki G 1 defiida por Thair e Nadarajah (2013) α 12S1C m 1 (. )(x) = exp ( λ G l l (x)) m = 1 e α 1 = 1 m l=1 Kumaraswamy G 1 Poisso defiida por Ramos (2014) α 12S1C m 1 (. )(x) = exp ( λ λ (1 G l l (x)) β l ) m l=1 m = 1, α 1 = 1 e β 1 = 1 Kumaraswamy G 1 Poisso defiida por Ramos (2014) m β α 12S1C m 1 (. )(x) = exp ( λ λ (1 G l l (x)) ) l=1 m = 1, α 1 = 1 e β = 1 Kumaraswamy G 1 Poisso defiida por Ramos (2014)

78 76 2S1C3.1.5 γt γ 1 u 1 (. )(x) = eλe βxα e λ 1 e λ u 2 (. )(x) = e α W( αe α ) e α W( (x)), e α W( αe α ) 1 W(x) = ( 1) 1 2 =1 x ( 1)! (x) = αe α bxa l 1 (. )(x) = θ (1 (1 β) s {1 β[1 G(x)]} s (1 β) s ) 1 μ 1 (. )(x) = (1 θ) ( (s) Li s [1 G(x)] ) δ + θ, Li s (z) = (s) = (s) z j j s 1 j s k = 2, α 1 = 1, α 2 = 0, θ = 0 e δ = 0 k = 2, α 1 = 0, α 2 = 1, θ = 0 e δ = 0 k = 2, α 1 = 0, α 2 = 0 e θ = 1 k = 2, α 1 = 0, α 2 = 0 e θ = 0 Família Beta Weibull Poiso defiida por Paixão (2014) Classe Weibull Geeralizada Poisso defiida por Paixão (2014) Classe Biomial Negativa Geeralizada defiida por Paixão (2014) Classe Zeta-G defiida por Paixão (2014) 2S1C3.1.5 bt b 1 x u 1 (. )(x) = C(j) (a) (λ a)j j! C(λ) j=0 x u 2 (. )(x) = 1 j! [(C(0))j ] (j 1) x l 1 (. )(x) = θ (1 (j )! j [(C(0))j ] (j ) ) j= μ 1 (. )(x) = (1 θ) ( P(X = j) ) x δ + θ j=0 w(0), j = 0 P(X = j) = { [(C(0)) j w (1) (0)] (j 1), j = 1,2,3, k = 2, α 1 = 1, α 2 = 0, θ = 0 e δ = 0 k = 2, α 1 = 0, α 2 = 1, θ = 0 e δ = 0 k = 2, α 1 = 0, α 2 = 0 e θ = 1 k = 2, α 1 = 0, α 2 = 0 e θ = 0 Família série de potêcias (CONSUL e FAMOYE, 2006) Família Lagragiaa básica (CONSUL e FAMOYE, 2006) Família Lagragiaa delta (CONSUL e FAMOYE, 2006) Família Lagragiaa geeralizada (CONSUL e FAMOYE, 2006)

79 77 2S1C3.1.5 bt b 1 u 1 (. )(x) = x l 1 (. )(x) = θ (1 0+a1t+ +asts a e b0+b1t+ +brt rf(t)dt x y dt 0+a1t+ +asts a e b0+b1t+ +brt rdt dt) μ 1 (. )(x) = (1 θ) ( ( α i (t)f β i (t) ) dt dy) + θ x 2 i=1 δ k = 1, α 1 = 1, θ = 0 e δ = 0 k = 1, α 1 = 0 e θ = 1 k = 1, α 1 = 0, θ = 0 e δ = 1 Família geeralizada da geeralizada de Pearso a forma de E.D.O. (SHAKIL et al (2010)) Família geeralizada de Pearso a forma de E.D.O. (SHAKIL et al (2010)) Família geeralizada a forma de E.D.O. (VODA, 2009)

80 Modelo proposto Obteção de uma classe de distribuições a partir do Teorema Modelo fucioal classe gama (1-G1)/G1 Cosiderado e as fuções mootôicas l 1 (G 1,, G m )(x) = 1 G 1 (x) G 1 (x), μ 1 (G 1,, G m )(x) = + e a fdp da gama e fazedo uso do 3S1C3.1.5, teremos a classe gama 1 G 1 G 1 coforme desevolvimeto abaixo: H G1 (x) = + 1 G1 (x) G1 (x) β α Γ(α) tα 1 e βt dt 1 G1 (x) G1 β α H G1 (x) = 1 (x) Γ(α) tα 1 e βt dt h G1 (x) = g (x) 1 β α G 12 (x) Γ(α) (1 G (x) 1 0 α 1 G 1 (x) ) exp ( β ( 1 G 1 (x) G 1 (x) )) Fução Risco usado a classe gama (1-G1)/G1 Podemos obter a fução risco usado a classe gama 1 G 1 G 1 R G1 (x) = h G 1 (x) 1 H G1 (x) da seguite forma: R G1 (x) = g 1 (x) β α G 2 1 (x) Γ(α) (1 G 1 (x) )α 1 exp ( β ( 1 G 1 (x) )) G 1 (x) G 1 (x) 1 G1 (x) G1 β (x) α Γ(α) tα 1 e βt dt Expasões da Fução de Distribuição e da Desidade da Classe gama (1-G1)/G1 A seguir, veremos os cálculos do desevolvimeto da expasão da fução geradora de desidade de probabilidade da classe gama 1 G 1 G 1 : Como

81 79 Logo Como Logo temos exp ( β 1 G 1 (x) G 1 (x) ) = ( 1)k β k G k k! 1 (1 G 1 (x)) k k=0 k=0 h G1 (x) = (g 1 (x)) βα Γ(α) ( 1)k β k G α k 1 k! 1 (1 G 1 (x)) α+k 1 (1 G 1 (x)) k+α 1 k + α 1 = ( ) ( 1) j G j j 1 (x) j=0 h G1 (x) = ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) g k! Γ(α) j 1 (x)g j α k 1 1 (x) k=0 j=0 Como H G1 (x) = Portato, x H G1 (x) = h G1 (t)dt, logo teremos que: x ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) g k! Γ(α) j 1 (t)g j α k 1 1 (t)dt k=0 j=0 H G1 (x) = ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) k! Γ(α) j k=0 j=0 H G1 (x) = ( 1)k+j β α+k k! (j α k)γ(α) k=0 j=0 x (k + α 1 j g 1 (t)g j α k 1 1 (t)dt. ) G j α k 1 (x). Caso a distribuição G 1 (x) seja discreta, teremos P(X = x l ) = F(x l ) F(x l 1 ). Portato, P(X = x l ) = k=0 ( 1) k+j β α+k j=0 k!(j α k)γ(α) (k+α 1 ) j (G 1 j α k (x l ) G 1 j α k (x l 1 )) Expasão para os mometos de ordem m para a classe gama (1- G1)/G1 A seguir itroduzimos a expressão dos mometos probabilisticamete poderados e em seguida veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para os mometos de ordem m para a classe gama 1 G 1 G 1 :

82 80 Portato, ode Como gama 1 G 1 G 1 : Logo, teremos: μ m = + + μ m = E(X m ) = x m df(x) x m ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) g k! Γ(α) j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx k=0 j=0 μ m = ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) k! Γ(α) j k=0 j=0 τ m,0,j α k 1 + τ m,η,r = E(X m f(x) η F(X) r ) = x m f(x) η F(x) r df(x) Em particular, temos a seguite expasão para a média para a classe Como μ = μ 1, etão teremos: μ = k=0 ( 1) k+j β α+k j=0 ( k+α 1 ) τ k!γ(α) j 1,0,j α k Expasão para a fução geradora de mometos para a classe gama (1-G1)/G1 A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para a fução geradora de mometos para a para a classe gama 1 G 1 G 1 : Como Temos M X (t) = + + M X (t) = E (e tx ) = e tx df(x) e tx ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) g k! Γ(α) j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx k=0 j=0

83 81 M X (t) = ( 1)k+j β α+k + k + α 1 ( ) e k! Γ(α) tx g j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx Como k=0 j=0 Logo, termos que: e tx = tm x m m=0 M X (t) = ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) k! Γ(α) j k=0 j=0 m! + tm x m g m! 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx M X (t) = ( 1)k+j β α+k t m + k + α 1 ( ) x k! m! Γ(α) m g j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx k=0 j=0 m=0 m=0 Portato, M X (t) = ( 1)k+j β α+k t m k + α 1 ( ) k! m! Γ(α) j k=0 j=0 m=0 τ m,0,j α k Expasão para a fução característica para a classe gama (1-G1)/G1 A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para a fução característica para a classe gama 1 G 1 G 1 : Como Logo teremos que: φ X (t) = + + φ X (t) = E (e itx ) = e itx df(x) e itx ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) g k! Γ(α) j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx k=0 j=0 φ X (t) = ( 1)k+j β α+k + k + α 1 ( ) e k! Γ(α) itx g j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx k=0 j=0 Como

84 82 Logo, teremos que: e itx = im t m x m m=0 m! φ X (t) = ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) k! Γ(α) j k=0 j=0 + im t m x m g m! 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx φ X (t) = ( 1)k+j β α+k i m t m + k + α 1 ( ) x k! m! Γ(α) m g j 1 (x)g j α k 1 1 (x)dx k=0 j=0 m=0 m=0 Portato, j=0 φ X (t) = k=0 ( 1) k+j β α+k i m t m m=0 ( k+α 1 ) k!m!γ(α) j τ m,0,j α k Expasão para os mometos cetrais de ordem m para a Classe Gama (1-G1)/G1 A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para os mometos cetrais de ordem m para a classe gama 1 G 1 G 1 : Como Temos Como temos + μ m = E[(X μ) m ] = (x μ) m df(x) m μ m = ( m r ) ( 1) r μ r μ m r r=0 μ m r = ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) τ k! Γ(α) j m r,0,j α k 1, m k=0 j=0 μ m = ( m r ) ( 1) r μ r ( 1)k+j β α+k k + α 1 ( ) k! Γ(α) j r=0 k=0 j=0 τ m r,0,j α k 1 Portato,

85 83 μ m m = ( 1)k+j+r β α+k μ r ( m k! Γ(α) r r=0 k=0 j=0 ) (k + α 1 j ) τ m r,0,j α k 1 dada por: Em particular, temos que a expasão da variâcia para a classe gama 1 G 1 G 1 é 2 σ 2 = μ 2 = ( 1)k+j+r β α+k μ r ( 2 + α 1 ) (k ) k! Γ(α) r j r=0 k=0 j=0 τ 2 r,0,j α k Expasão para o coeficiete geral para a Classe gama (1-G1)/G1 A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para o coeficiete geral para a classe gama 1 G 1 G 1 : Portato, Como C g (m) = E[(X μ)m ] = E[(X μ)m ] {E[(X μ) 2 ]} m σ m C g (m) = μ m, etão teremos: σ m C g (m) = m ( 1)k+j+rβα+kμr r=0 k=0 j=0 k!γ(α) ( m r )(k+α 1 j ) τ m r,0,j α k 1 m ( 2 ( 1) k+j+r β α+k μ r k=0 j=0 ( 2 k!γ(α) r )(k+α 1 2 r=0 j ) τ 2 r,0,j α k 1 ) Em particular, como C a = C g (3) teremos que a expasão para o coeficiete geral para a classe gama 1 G 1 G 1 é dada por:. C a = 3 r=0 k=0 ( 1) k+j+r β α+k μ r j=0 k!γ(α) ( 1) k+j+r β α+k μ r j=0 k!γ(α) ( 3 r ) (k+α 1 ) τ j 3 r,0,j α k 1 2 ( ( 2 r=0 r ) (k+α 1 τ 2 r,0,j α k 1 ) k=0 j ) 3 2 Similarmete, como C c = C g (4) teremos que a expasão para o coeficiete de curtose para a classe gama 1 G 1 G 1 :

86 84 ( 1) k+j+r β α+k μ r 4 r=0 k=0 j=0 ( 4 k!γ(α) r ) (k+α 1 ) τ j 4 r,0,j α k 1 C c = 2 ( 1) ( k+j+r β α+k μ r ( 2 r=0 k=0 j=0 k!γ(α) r ) (k+α 1 ) τ j 2 r,0,j α k 1 ) Expasão para o Desvio Médio e Desvio Quatílico para a Classe gama (1-G1)/G1 Duas estatísticas que medem a dispersão da variável aleatória X são o desvio em relação à média (μ) e o desvio em relação ao quatil (q) defiidos por d 1 (X) = + x μ dg(x) e d 2 (X) = + x q dg(x). As medidas d 1 (X) e d 2 (X) são expressas em (CORDEIRO; LEMONTE, 2012) por d 1 (X) = 2μG(μ) 2J(μ) e d 2 (X) = 2qJ(q) q + μ 2J(q) em que J(α) = mediaa, teremos d 2 (X) = μ 2J(m). Como F G1 (x) = k=0 expressões dos desvios acima teremos: d 1 (X) = 2 ( 1)k+j β α+k k! (j α k)γ(α) k=0 j=0 α ( 1) k+j β α+k j=0 k!(j α k)γ(α) (k+α 1 ) j (k + α 1 j xdg(x). Quado q = m for a G 1 j α k (x), logo aplicado as ) (μ (j α k) G(μ (j α k) ) J(μ (j α k) )) d 2 (X) = ( 1)k+j β α+k k! (j α k)γ(α) k=0 j=0 (k + α 1 j + μ (j α k) 2J(q (j α k) )) + ) (q (j α k) J(q (j α k) ) q (j α k) q (j α k) Ode μ (j α k) = xdg j α k 1 (x) e J(q (j α k) ) = xdg j α k 1 (x). Quado q (j α k) = m (j α k) for a mediaa, teremos d 2 (X) = k=0 ( 1) k+j β α+k j=0 k!(j α k)γ(α) (k+α 1 ) j (μ (j α k) 2J(m (j α k) )).

87 Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros para a Classe gama (1-G1)/G1 A seguir, veremos os cálculos do desevolvimeto das derivadas fução logverossimilhaça em relação aos parâmetros para a classe gama 1 G 1 G 1 : Como Logh G1 (x i ; α, β, θ) i=1 = Log ( λβα Γ(α) ) + Log (g 1(x i ; θ) G 2 1 (x i ; θ) ) i=1 +(α 1) Log ( 1 G 1(x i ; θ) G 1 (x i ; θ) ) β ( 1 G 1(x i ; θ) G 1 (x i ; θ) ) Logo teremos que: i=1 i=1 + Logh G 1 (x i ; α, β, θ) α i=1 = Logβ Γ (α) Γ(α) + Log (1 G 1(x i ; θ) G 1 (x i ; θ) ) i=1 Logh G 1 (x i ; α, β, θ) = α β β (1 G 1(x i ; θ) G 1 (x i ; θ) ) i=1 i=1 Logh G 1 (x i ; α, β, θ) Log ( g 1(x i ;θ) = θ j θ j i=1 i=1 G 1 2 (x i ;θ) ) Log ( 1 G 1(x i ;θ) + (α 1) θ j i=1 G 1 (x i ;θ) ) ( 1 G 1(x i ;θ) ) G 1 (x β i ;θ). θ j i= Etropia de Réyi usado a Classe gama (1-G1)/G1 A etropia é uma medida de icerteza, o setido que se maior o valor da etropia meor a iformação e maior a icerteza, ou seja, maior a aleatoriedade ou desordem. A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão da etropia para a classe gama 1 G 1, usado a etropia de Réyi: G 1 L R (η) = 1 1 η + log ( fη 1 (x)df(x)) α 1 G 1 (x) ) L R (η) = η log ( (x) (g 1 β α G 12 (x) Γ(α) (1 G (x) 1 η exp ( β ( 1 G (x) 1 G 1 (x) ))) dx)

88 86 Como Logo h G1 exp ( ηβ 1 G 1 (x) G 1 (x) ) = ( 1)k η k β k G k k! 1 (1 G 1 (x)) k k=0 η (x) = g η 1 (x) βηα Γ η (α) ( 1)k η k β k G η(α+1) k k! 1 (x)(1 G 1 (x)) η(α 1)+k Como Logo temos k=0 (1 G 1 (x)) η(α 1)+k η(α 1) + k = ( ) ( 1) j G j j 1 (x) j=0 Assim, h η G1 (x) = ( 1)k+j η k β ηα+k η(α 1) + k k! Γ η ( ) g η η(α+1) k+j (α) j 1 (x)g 1 k=0 j=0 + L R (η) = 1 1 η log ( ( 1)k+j η k β k! Γ η (α) k=0 j=0 L R (η) = 1 1 η log ( ( 1)k+j η k β k! Γ η (α) Portato, k=0 j=0 ηα+k L R (η) = 1 1 η log ( ( 1)k+j η k β k! Γ η (α) k=0 j=0 ηα+k η(α 1) + k ( ) g η η(α+1) k+j j 1 (x)g 1 dx) + η(α 1) + k ( ) g η η(α+1) k+j j 1 (x)g 1 dx) ηα+k η(α 1) + k ( ) τ 0,η 1, η(α+1) k+j ). j Costrução de uma distribuição da Classe gama (1-G1)/G1 Como já vimos ateriormete, Zografos (2008) propôs a classe da gama l(1 G 1 ) e Cordeiro, Alizadeh e Silva (2013) propuseram a classe complemetar gama l(g 1 ), e o corpo deste trabalho propomos um método gerador de distribuições e classes de distribuições, ode geramos uma classe da distribuição gama, em que iremos aplicá-las cosiderado G 1 (x) = 1 e λx.

89 Distribuição Gama (1-Exp)/Exp Cosiderado G 1 (x) a fda da distribuição expoecial de parâmetro λ o fucioal gerador da classe gama 1 G 1, teremos a distribuição gama 1 Exp : G 1 Exp H(x) = 1 0 e λx 1 e λx + β α Γ(α) tα 1 e βt dt, λ, x > 0 β α H(x) = Γ(α) tα 1 e βt dt, λ, x > 0 e λx 1 e λx Derivado H(x), teremos a fução desidade da distribuição gama 1 Exp Exp : h(x) = λβα e λx α 1 ( e λx Γ(α) (1 e λx ) 2 1 e λx) e λx β( 1 e e λx). As Figuras a mostram os gráficos das fuções desidade de probabilidade e da distribuição acumulada do modelo proposto da distribuição gama 1 Exp gerado pela classe gama 1 G 1, para algus valores dos parâmetros, Exp visualizado a variação de um deles em fução dos outros dois fixos. G 1 Figura fdp da distribuição com α variado gama 1 Exp Exp Figura fda da distribuição com α variado gama 1 Exp Exp

90 88 Figura fdp da distribuição com β variado gama 1 Exp Exp Figura fda da distribuição com β variado gama 1 Exp Exp Figura fdp da distribuição com λ variado gama 1 Exp Exp Figura fda da distribuição com λ variado gama 1 Exp Exp O comportameto dos gráficos obtidos ateriormete os mostram que o modelo proposto são fdp e Fda da distribuição gama 1 Exp, obtidos em que foram colocados algus valores aleatórios para os parâmetros deste modelo. Exp Fução Risco usado a distribuição gama (1-Exp)/Exp Podemos aida obter a fução risco usado a distribuição gama 1 Exp Exp seguite forma: R(x) = h(x) 1 H(x) da

91 89 Portato, R(x) = λβ α e λx ( e λx α 1 Γ(α) (1 e λx ) 2 1 e λx) 1 + e λx 1 e λx β α e λx β( 1 e e λx) Γ(α) tα 1 e βt dt R(x) = λβ α e λx α 1 ( e λx Γ(α) (1 e λx ) 2 1 e λx) e λx 1 e λx 0 β α Γ(α) tα 1 e βt dt e λx β( 1 e e λx) As Figuras a mostram os gráficos da fução de risco usado a distribuição gama 1 Exp Exp parâmetros. gerados a partir de algus valores atribuídos aos. Figura R(x) da distribuição com α variado gama 1 Exp Exp Figura R(x) da distribuição com β variado gama 1 Exp Exp Figura R(x) da distribuição com λ variado gama 1 Exp Exp

92 Expasões da Fução de Distribuição e da Desidade da distribuição Gama (1-Exp)/Exp Podemos obter a expasão da fução desidade de probabilidade da distribuição gama 1 Exp, da seguite maeira. Exp Como Logo exp ( β ( e λx 1 e λx)) = ( 1)k β k e kλx (1 e λx ) k k! k=0 h(x) = λβα e λx Γ(α) (1 e λx ) ( e λx α e λx) ( 1)k β k k! Como Temos, k=0 h(x) = ( 1)k λβ k+α e k! Γ(α) λ(k+α)x (1 e λx ) k α 1 k=0 (1 e λx ) k α 1 k α 1 = ( ) ( 1) j j j=0 e kλx (1 e λx ) k e jλx Portato, h(x) = ( 1)k λβ k+α e k! Γ(α) λ(k+α)x k α 1 ( ) ( 1) j j k=0 j=0 k α 1 ( 1) k+j λβ k+α h(x) = ( ) j k! Γ(α) k=0 j=0 Utilizado a relação x H(x) = h(t)dt 0 e λ(k+α+j)x e jλx Podemos obter a expasão para fda da distribuição gama 1 Exp Exp. Portato, k α 1 ( 1) k+j λβ k+α H(x) = ( ) j k! Γ(α) k=0 j=0 x e λ(k+α+j)t dt 0

93 91 k α 1 ( 1) k+j+1 β k+α H(x) = ( ) (e j k! (k + α + j)γ(α) λ(k+α+j)x 1). k=0 j= Expasão para os mometos de ordem m da distribuição Gama (1- Exp)/Exp Utilizado a expasão da fda, podemos obter a expasão para os mometos de ordem m da distribuição gama 1 Exp Exp : + μ m = x m k α 1 ( 1) k+j λβ k+α ( ) j k! Γ(α) Portato, 0 k=0 j=0 e λ(k+α+j)x k α 1 ( 1) k+j λβ k+α + μ m = ( ) x j k! Γ(α) m e λ(k+α+j)x dx k=0 j=0 k α 1 ( 1) k+j λβ k+α Γ(m + 1) μ m = ( ) j k! Γ(α) (λ(k + α + j)) m+1 k=0 j=0 0 dx Em particular temos que a média da distribuição complemetar gama 1 Exp Exp : k α 1 ( 1) k+j λβ k+α 1 μ 1 = μ = ( ) j k! Γ(α) (λ(k + α + j)) 2 k=0 j= Expasão para a fução geradora de mometos da distribuição Gama (1-Exp)/Exp A expasão para a fução geradora de mometos da distribuição gama 1 Exp pode ser obtida da seguite maeira: Exp

94 92 + M X (t) = e tx k α 1 ( 1) k+j λβ k+α ( ) j k! Γ(α) 0 k=0 j=0 e λ(k+α+j)x k α 1 ( 1) k+j λβ k+α + M X (t) = ( ) e j k! Γ(α) tx λ(k+α+j)x dx Portato, k=0 j=0 M X (t) = ( k α 1 k=0 j=0 ( 1) ) k+j λβ k+α 1 j k!γ(α) λ(k+α+j) t 0 dx, se t < λ(k + α + j) Expasão para a fução característica da distribuição Gama (1- Exp)/Exp 1 Exp Exp Similarmete a expasão para a fução característica da distribuição gama pode ser obtida como a seguir: Como teremos + φ X (t) = E (e itx ) = e itx f ge3 (x)dx 0 + φ X (t) = e itx k α 1 ( 1) k+j λβ k+α ( ) j k! Γ(α) 0 k=0 j=0 e λ(k+α+j)x k α 1 ( 1) k+j λβ k+α + φ X (t) = ( ) e j k! Γ(α) itx λ(k+α+j)x dx. Portato, k=0 j=0 k α 1 ( 1) k+j λβ k+α φ X (t) = ( ) j k! Γ(α) k=0 j=0 0 1 λ(k + α + j) it. dx

95 Expasão para os mometos cetrais de ordem m da distribuição Gama (1-Exp)/Exp Podemos aida obter a expasão para os mometos cetrais de ordem m da distribuição gama 1 Exp Exp da seguite forma: Como μ m = E[(X μ) m + ] = (x μ) m f ge3 (x)dx, teremos 0 m μ m = ( m r ) ( 1) r μ r μ m r. r=0 Logo, utilizado a expasão do ( r)-ésimo mometo, teremos: m μ m = ( m r ) ( 1) r μ r k α 1 ( 1) k+j λβ k+α ( ) j k! Γ(α) r=0 k=0 j=0 Γ(m r + 1) (λ(k + α + j)) m r+1. Portato, m k α 1 μ m = ( ) j r=0 k=0 j=0 ( m r ) ( 1)k+j+r λβ k+α k! Γ(α) μ r Γ(m r + 1) (λ(k + α + j)) m r+1. por: Em particular a expasão para a variâcia da distribuição gama 1 Exp Exp 2 σ 2 = μ k α 1 2 = ( ) j r=0 k=0 j=0 ( 2 r ) ( 1)k+j+r λβ k+α k! Γ(α) μ r Γ(3 r) (λ(k + α + j)) 3 r. é dado Expasão para o coeficiete geral da distribuição Gama (1- Exp)/Exp gama 1 Exp Exp Pode-se aida calcular a expasão para o coeficiete geral da distribuição da seguite maeira:

96 94 Portato, Como C g (m) = E[(X μ)m ] C g (m) = = E[(X μ)m ] {E[(X μ) 2 ]} m σ m m C g (m) = ( m r ) r=0 m ( k α 1 r=0 k=0 j=0 j ) ( 2 ( k α 1, logo teremos: μr ( 1) r σ m. ( m r ) ( 1)k+j+r λβ k+α k!γ(α) μ r Γ(m r+1) (λ(k+α+j)) m r+1 μ j=0 ) r Γ(3 r) r=0 k=0 j k!γ(α) (λ(k+α+j)) 3 r ) ( 2 r ) ( 1)k+j+r λβ k+α m 2. 1 Exp Exp Em particular a expasão para o coeficiete de assimetria da distribuição gama, C a = C g (3), é dado por: C a = 3 ( k α 1 r=0 k=0 j=0 j ) ( 2 ( k α 1 ( 3 r ) ( 1)k+j+r λβ k+α k!γ(α) μ r Γ(4 r) (λ(k+α+j)) 4 r μ j=0 ) r Γ(3 r) r=0 k=0 j k!γ(α) (λ(k+α+j)) 3 r ) ( 2 r ) ( 1)k+j+r λβ k+α 3. 2 Equato a expasão para o coeficiete de curtose da distribuição gama 1 Exp Exp, C c = C g (4), é dado por: μ ) r Γ(5 r) j (λ(k+α+j)) 5 r j=0 ) ( 2 j r ) ( 1)k+j+r λβ k+α μ r 2. Γ(3 r) r=0 k=0 k!γ(α) (λ(k+α+j)) 3 r ) 4 r=0 k=0 j=0 ( k α 1 C c = ( 2 ( k α 1 ( 4 r ) ( 1)k+j+r λβ k+α k!γ(α) Fução Quatílica da distribuição gama (1-Exp)/Exp Podemos aida obter a fução quatílica da distribuição gama 1 Exp Exp seguite forma: Ivertedo a fução distribuição gama 1 Exp, teremos a fução quatílica para Exp a distribuição gama 1 Exp, coforme expressão abaixo: Exp da

97 95 Ode q = Q(p) = H 1 (q) p = H(q) = 0 q λβα Γ(α) e λx (1 e λx ) 2 ( e λx 1 e λx) α 1 e λx β( e 1 e λx) dx Em particular para p = 0,5, teremos a mediaa (m) da distribuição gama 1 Exp Exp Expasão para o Desvio Médio e Desvio Quatílico da distribuição gama (1-Exp)/Exp Podemos aida obter a expasão para os desvios médios e quatílicos da distribuição gama 1 Exp Exp da seguite forma: Como h(x) = ( k α 1 médio teremos: k=0 j=0 ( 1) ) k+j λβ k+α e λ(k+α+j)x j k!γ(α), logo para o desvio d 1 (X) = ( 1)k+j β α+k + + α 1 (k ) x μ e k! (j α k)γ(α) λ(k+α+j)x dx j + k=0 j=0 Como x μ e λ(k+α+j)x dx = 2e λ(k+α+j)μ +μ 1, teremos: 0 λ 2 (k+α+j) 2 d 1 (X) = ( 1)k+j β α+k + α 1 (k k! (j α k)γ(α) j k=0 j=0 0 ) 2e λ(k+α+j)μ + μ 1 λ 2 (k + α + j) 2 Similarmete, para o desvio quatílico teremos: d 2 (X) = ( 1)k+j β α+k k! (j α k)γ(α) k=0 j=0 (k + α 1 j ) 0 + x q e λ(k+α+j)x dx + Como x q e λ(k+α+j)x dx = 2e λ(k+α+j)q +q 1, teremos: 0 λ 2 (k+α+j) 2 d 2 (X) = ( 1)k+j β α+k + α 1 (k k! (j α k)γ(α) j k=0 j=0 ) 2e λ(k+α+j)q + q 1 λ 2 (k + α + j) 2.

98 Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros da distribuição Gama (1-Exp)/Exp A seguir, veremos as derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros da distribuição gama 1 Exp Exp : Como Logh(x i ; α, β, λ) = Log ( λβα Γ(α) ) αλ (α + 1) Log(1 e λx i) β ( 1 e λx ) i i=1 Logo temos que: i=1 i=1 e λx i Logh(x i; α, β, λ) = Logβ Γ (α) α Γ(α) λ Log(1 e λx i) i=1 i=1 Logh(x i; α, β, λ) = α β β ( e λx i 1 e ) λx i i=1 i=1 Logh(x i; α, β, λ) = λ λ α (α + 1) ( x ie λx i 1 e λx ) + β ( x ie λx i i (1 e λx i) 2). i=1 i=1 i= Etropia Réyi usado a distribuição gama (1-Exp)/Exp A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão da etropia para a distribuição gama 1 Exp, usado a etropia de Réyi: L R (η) = 1 1 η Exp L R (η) = 1 1 η λβα log ( ( Γ(α) log ( fη 1 (x)df(x)) e λx (1 e λx ) 2 ( e λx 1 e λx) α 1 e λx β( 1 e e λx) ) η dx) Como exp ( ηβ e λx 1 e λx) = ( 1)k η k β k e kλx (1 e λx ) k k! k=0

99 97 Assim, Logo Como h η G1 (x) = λη β ηα Γ η (α) ( 1)k η k β k k! Logo temos k=0 e λ(α+k)x (x)(1 e λx ) η(α 1)+k (1 e λx ) η(α 1)+k η(α 1) + k = ( ) ( 1) j j j=0 h η G1 (x) = ( 1)k+j λ η η k β ηα+k η(α 1) + k k! Γ η ( ) (α) j k=0 L R (η) = 1 1 η log ( ( 1)k+j λ η η k β k! Γ η (α) 0 j=0 + k=0 j=0 L R (η) = 1 1 η log ( ( 1)k+j λ η η k β k! Γ η (α) Portato, k=0 j=0 ηα+k L R (η) = 1 1 η log ( ( 1)k+j λ η η k β k! Γ η (α) k=0 j=0 ηα+k e λjx η(α 1) + k ( ) j η(α 1) + k ( ) j ηα+k e λ(α+k+j)x 0 e λ(α+k+j)x + e λ(α+k+j)x η(α 1) + k 1 ( ) j λ(α + k + j) ) dx) dx) Aplicação Nesta seção apresetaremos os resultados obtidos, a forma de gráficos para melhor aálise e discussão dos resultados a serem obtidos pelo mesmo, podedo assim, compará-lo com outros existetes a literatura. Os dados utilizados esta pesquisa são proveietes dos excessos de picos de cheias (em m 3 /s) do Rio Wheato perto Carcross o território de Yuko, o Caadá, os mesmos são importates para o estudo de cotrole de fluxo de echetes. Foram registrados 72 excedêcias dos aos de 1958 a 1984, com arredodameto para uma casa decimal. Estes dados foram aalisados por Choulakia e Stephes (2001) sedo apresetados a Tabela

100 98 Tabela : excessos de picos de cheias em m 3 /s do Rio Wheato Excesso de picos de cheias do Rio Wheato (m 3 /s) 1,7 2,2 14,4 1,1 0,4 20,6 5,3 0,7 1,9 13,0 12,0 9,3 1,4 18,7 8,5 25,5 11,6 14,1 22,1 1,1 2,5 14,4 1,7 37,6 0,6 2,2 39,0 0,3 15,0 11,0 7,3 22,9 1,7 0,1 1,1 0,6 9,0 1,7 7,0 20,1 0,4 2,8 14,1 9,9 10,4 10,7 30,0 3,6 5,6 30,8 13,3 4,2 25,5 3,4 11,9 21,5 27,6 36,4 2,7 64,0 1,5 2,5 27,4 1,0 27,1 20,2 16,8 5,3 9,7 27,5 2,5 27,0 Vale salietar que esse cojuto de dados foi aalisado por meio das distribuições de Pareto, de Weibull de três parâmetros, da geeralizada de Pareto e da beta-pareto (AKINSETE, FAMOYE e LEE, 2008). Teste de Wald Wolfowitz para avaliação de autocorrelação em séries temporais Cosiderado X i os valores da Tabela , ou seja, (X 1 = 1,7; X 2 = 2,2; ; X 72 = 27,0), e calculado a média (X ), o desvio-padrão (S X ), ormalizado a série temporal pela expressão Z i = X i X e em seguida estimado a estatística de teste u pela Equação u = 1+( 1)( S X i=1 z i z i+1 / 2 i=1 z i ) 1, teremos: X = 12, , S X = 12, e u = 1, Assim, aplicado o teste que estabelece a codição de que a hipótese ula de autocorrelação ula (ρ = 0) a variável de teste u segue uma distribuição ormal padrão com média zero e desvio padrão um, e que para um dado ível de cofiaça α a hipótese ula será rejeitada se P(z < u) > α. Etão temos que P(z < 1, ) = 0, < 0,05 = α. Logo, ão rejeita-se a hipótese ula de que a autocorrelação da série temporal seja ula. Na Tabela podemos ver as estimativas de máxima verossimilhaça, obtidas pelo método de Newto-Raphso implemetados o software estatísticos SAS 9.1, dos parâmetros, erros padrões, critérios de iformação de Akaike (AIC), Akaike corrigido (AICc), Bayesiao (BIC), Haa-Qui (HQIC) e as estatísticas de Aderso-Darlig (A) e Cramér vo Mises (W) para as distribuições gama

101 99 l(1 Exp) (M3.1), gama 1 Exp Exp (modelo proposto, M3.2), Weibull expoeciada (M3.3), Weibull modificada (M3.4) (LAI et al., 2003), beta Pareto (M3.5) e Weibull (M3.6). Tabela estimativa de máxima verossimilhaça dos parâmetros, dos erros (erros padrões em parêteses) e cálculos das estatísticas AIC, AICc, BIC, HQIC, testes A e W para as distribuições M3.1 a M3.6. Modelos Estatísticas Estatísticas α β λ θ AIC AICc BIC HQIC A W M3.1 M3.2 M3.3 M3.4 M3.5 M3.6 0,838 (0,121) 0,131 (0,053) 1,387 (0,59) 0,776 (0,124) 84,682 (<E-3) 0,901 (0,086) 0,035 (0,007) 0,179 (0,07) 0,519 (0,312) 0,124 (0,035) 65,574 (<E-3) 0,086 (0,012) 1,96 (<E-3) 0,539 (0,251) 0,05 (0,021) 0,01 (0,008) 0,063 (0,005) ,01 (<E-3) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Para as seis distribuições mostradas a Tabela , aplicada aos dados de echetes do Rio Wheato, foi observado que o modelo beta-pareto (M5) descrito em 2008 por Akisete, Famoye e Lee, como sedo o melhor modelo ajustado aos mesmos, teve em ossos estudos um desempeho iferior com AIC = 524,398, AICc = 524,995, BIC = 533,504, HQIC = 528,023, A=2,0412 e W=0,3516 ao modelo proposto gama 1 Exp Exp (M3.2) com AIC = 505,030, AICc = 505,383, BIC = 511,860, HQIC = 507,749, A = 0,4516 e W = 0,0757. Aida de acordo com a Tabela , a distribuição proposta M3.2 é o melhor modelo testado uma vez que os meores valores de AIC, AICc, HQIC, A e W são desta distribuição, sedo superada apeas o critério BIC pelo modelo M3.6. A seguir tem-se os gráficos das fuções desidades dos modelos M3.1 a M3.6 ajustados aos dados, bem como o histograma do mesmo.

102 Fdp s ajustados a massa de dados dos picos de echetes o rio Wheato O gráfico mostra que a distribuição gama 1 Exp Exp possui o mesmo comportameto das demais distribuições, exceto da beta Pareto que distacia-se das outras Etapas para idetificação de modelos uivariados para modelages A seguir apresetaremos as etapas para idetificação de modelos uivariados para modelages. Primeiro passo: Idetificar o cojuto suporte para a situação. Segudo passo: Caracterizar o comportameto dos dados coletados baseado o histograma, cosiderado os seguites ites. 2.1 Média; 2.2 Variâcia; 2.3 Assimetria; 2.4 Curtose;

103 Números de modas mais o teste multimodalidade. Terceiro passo: Com os passos ateriores, devem-se idetificar as classes de distribuições e as distribuições de probabilidades, cosiderado os ites 3.1 ou 3.2 ou ambas: 3.1 idetificar as classes de distribuições e as distribuições de probabilidades cohecidas a literatura que possam se ajustar aos dados; 3.2 propor uma ova classe de distribuições ou uma ova distribuição de probabilidade que melhor se ajuste aos dados. Quarto passo: Escolher algumas distribuições e avaliar comparativamete, usado os idicadores e os testes estatísticos.

104 Coclusão Como observações fiais para este capítulo, podemos otar que o método gerador de distribuições de probabilidades desevolvido este trabalho, os permite criar além de distribuições de probabilidades, classes de distribuições podedo trabalhar com qualquer domíio, ampliado assim as possibilidades de trabalhar com qualquer distribuição e geeralizado-as. Nota-se aida a importâcia da equivalêcia etre o Teorema 3.1 com seus corolários que geram exatamete as mesmas distribuições probabilísticas, que cosequetemete proporcioa várias possibilidades de gerar uma mesma distribuição ou classe de distribuição probabilística. De igual modo apresetamos o Teorema Geral do Suporte que os permite obter os suportes das distribuições a partir do suporte das distribuições que alimetam o fucioal gerador de classes de distribuições probabilísticas, mostrado quado a distribuição gerada será discreta ou cotíua. É apresetado aida uma proposta de omeclatura que omeia as distribuições de forma mais precisa difereciado-as etre si, além de ser uma forma sistemática. Podemos aida observar que o método gerador de distribuições de probabilidades apresetado este trabalho gera uma grade quatidade, de fucioais geradoras de classes de distribuições, para cada distribuição dada e cosequetemete, o mesmo para modelos probabilísticos, que poderão ser aplicados em trabalhos futuros em diversas áreas. Para este trabalho utilizamos algus casos particulares que covieram ao mesmo. Acrescete-se que ão esgotamos as possibilidades dos resultados que podem ser obtidos, ficado como cotiuação, ão só a obteção de tais ovas distribuições, bem como suas aplicações as diversas áreas de cohecimeto.

105 MÉTODO GERADOR DE DISTRIBUIÇÕES E CLASSES DE DISTRIBUIÇÕES PROBABILISTICAS, CASO MULTIVARIADO. 4.1 Itrodução O objetivo deste capítulo é esteder os resultados do capítulo aterior para o caso multivariado, isto é, o método ateriormete estudado será geeralizado para fuções de várias variáveis ou multivariadas. Este capítulo está orgaizado da seguite maeira. Na Seção 4.1, temos uma breve itrodução, trazedo o objetivo; a Seção 4.2, apresetamos a defiição dos operadores-difereça e mostramos que as composições de operadores-difereça são lieares; a Seção 4.3, temos o método proposto que se baseia o uso de fuções mootôicas multivariadas para gerar distribuições probabilísticas e algus corolários; a Seção 4.4 particularizamos para o caso de fuções mootôicas multivariadas que são composições de distribuições de probabilidade já cohecidas, obtedo assim classes de distribuições probabilísticas e apresetamos também outros corolários do método proposto; a Seção 4.5, estudam-se os suportes dos fucioais geradores de classes de distribuições probabilísticas; a Seção 4.6 sistematizamos o que se diz respeito à omeclatura das expressões ecotradas; a Seção 4.7 mostramos como obter os modelos já existetes a literatura a partir dos corolários apresetados as seções ateriores; a Seção 4.8 utilizado o Corolário ecotramos o modelo proposto a classe Weibull bivariada e suas propriedades de caracterização bem como os resultados de aplicações, tabelas e gráficos; a Seção 4.9 trazemos a coclusão deste capítulo Operadores-difereça Nesta seção, euciaremos os operadores-difereça e provaremos um resultado que será utilizado a demostração do Teorema 4.1. Vejamos a seguir, a defiição dos operadores-difereça:

106 104 Operadores-difereça: Seja o itervalo I k = (a k, b k ], com a k < b k e F o cojuto de todas as fuções de R R. Etão, Δ k,ik : F F tal que Δ k,ik F(x 1,, x ) = F(x 1,, x k 1, b k, x k+1,, x ) F(x 1,, x k 1, a k, x k+1,, x ), para todo k = 1, 2,,. A otação que defiiremos a seguir será utilizada tato para euciarmos, como para demostrarmos o Lema 4.1. Defiição: (αf + βg)(x 1,, x ) = αf(x 1,, x ) + βg(x 1,, x ). lieares. O Lema 4.1 a seguir mostra que as composições de operadores-difereça são Lema 4.1: As composições de operadores-difereça são lieares. Se k j, etão Δ k,ik Δ j,ij [(αf + βg)(x 1,, x )] = (αδ k,ik Δ j,ij F + βδ k,ik Δ j,ij G) (x 1,, x ), ode α e β são úmeros reais. Demostração: Vamos primeiro provar a liearidade de um úico operador de difereça. Δ k,ik [(αf + βg)(x 1,, x )] = (αf + βg)(x 1,, b k,, x ) (αf + βg)(x 1,, a k,, x ) = αf(x 1,, b k,, x ) + βg(x 1,, b k,, x ) αf(x 1,, a k,, x ) βg(x 1,, a k,, x ). Portato, Δ k,ik [(αf + βg)(x 1,, x )] = (αδ k,ik F + βδ k,ik G)(x 1,, x ). Agora cosidere a composição de operadores-difereça. Δ k,ik Δ j,ij [(αf + βg)(x 1,, x )] = Δ k,ik [Δ j,ij (αf + βg)(x 1,, x )] = Δ k,ik [(αδ j,ij F + βδ j,ij G) (x 1,, x )] = (αδ k,ik Δ j,ij F + βδ k,ik Δ j,ij G) (x 1,, x )

107 105 = αδ k,ik Δ j,ij F(x 1,, x ) + βδ k,ik Δ j,ij G(x 1,, x ). Portato, Δ k,ik Δ j,ij [(αf + βg)(x 1,, x )] = (αδ k,ik Δ j,ij F + βδ k,ik Δ j,ij G) (x 1,, x ). Salietamos que pode-se facilmete mostrar que a composição de qualquer quatidade m de operadores difereça é liear usado a idução matemática e comutativa Método proposto Nesta seção, apresetaremos o método gerador de distribuições multivariado, também fazedo uso de fuções mootôicas e cotíuas a direita Ʋ: R R, Ѵ: R R, U i,l : R R {±}, L i,l : R R {±}, M i,l : R R {±} e V i,l : R R {±} e de uma distribuição de probabilidade multivariada F, com i {1,, k} e l {1,, η i }. A ideia do método é gerar uma distribuição de probabilidade itegrado F as regiões de L i,l (x 1,, x ) a U i,l (x 1,, x ) e M i,l (x 1,, x ) a V i,l (x 1,, x ) para qualquer (x 1,, x ) R. O Teorema 4.1, a seguir, demostra codições suficietes que as fuções Ʋ(x 1,, x ), Ѵ(x 1,, x ), L i,l (x 1,, x ), U i,l (x 1,, x ), M i,l (x 1,, x ) e V i,l (x 1,, x ) devem satisfazer de modo a garatir que o método proposto gera uma fução de distribuição de probabilidade multivariada. Teorema 4.1 (T4.1): Método gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Sejam F: R k R, Ʋ: R R, Ѵ: R R, U i,l : R R {±}, L i,l : R R {±}, M i,l : R R {±} e V i,l : R R {±}, para i {1,, k} e l {1,, η i }, fuções multivariadas mootôicas e cotíuas à direita em cada uma de sua variáveis tais que: [c4.1] F uma fda multivariada e Ʋ e Ѵ são ão egativas; [c4.2] Ʋ(x 1,, x ), U i,l (x 1,, x ) e M i,l (x 1,, x ) são ão decrescetes e Ѵ(x 1,, x ), L i,l (x 1,, x ) e V i,l (x 1,, x ) são ão crescetes, i {1,, k} e l {1,, η i };

108 106 [c4.3] Para todo s {1,, }, se lim x s Ʋ(x 1,, x ) lim x s Ѵ(x 1,, x ), etão lim Ʋ(x 1,, x ) = 0 ou lim U i,l (x 1,, x ) = lim L i,l (x 1,, x ), i {1,, k} e x s x s x s l {1,, η i }, e i {1,, k} e l {1,, η i }; lim Ѵ(x 1,, x ) = 0 ou lim M i,l (x 1,, x ) = lim V i,l (x 1,, x ), x s x s x s [c4.4] Para todo s {1,, }, se lim Ʋ(x 1,, x ) = lim Ѵ(x 1,, x ) 0, etão x s x s lim U i,l (x 1,, x ) = lim V i,l (x 1,, x ) e lim M i,l (x 1,, x ) = x s x s x s lim L i,l (x 1,, x ), i {1,, k} e l {1,, η i }; x s [c4.5] lim L i,l (x 1,, x ) lim U i,l (x 1,, x ) e se (x 1,,x ) (,, ) (x 1,,x ) (,, ) lim Ѵ(x 1,, x ) 0, etão (x 1,,x ) (,, ) lim M i,l (x 1,, x ) (x 1,,x ) (+,,+) lim V i,l (x 1,, x ), i {1,, k} e l {1,, η i }; (x 1,,x ) (+,,+) [c4.6] lim U i,η (x 1,,x ) (+,,+) i (x 1,, x ) sup{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t ) S F } e lim L i,1 (x 1,, x ) if{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t ) S F }, i (x 1,,x ) (+,,+) {1,, k}; [c4.7] [c4.8] lim Ʋ(x 1,, x ) = 1; (x 1,,x ) (+,,+) lim Ѵ(x 1,, x ) = 0 ou lim M i,l (x 1,, x ) = (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) lim V i,l (x 1,, x ), i {1,, k} e l {1,, η i } para η i 1; (x 1,,x ) (+,,+) [c4.9] lim U i,l (x 1,, x ) = lim L i,l+1 (x 1,, x ),, i (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) {1,, k} e l = 1,2,3,, η i 1 para η i 2; [c4.10] F é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções L i,l (x 1,, x ) e V i,l (x 1,, x ) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de F, sedo também cotíuas em tais potos e F ão possui potos de descotiuidade o cojuto { lim (x 1,,x ) (±,,±) U j,i j (x 1,, x ), lim M j,i (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim L j,i (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim V j,i (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), para algum i j = 1,2,, η j, com j = 1,2,, k} { lim x s ± U j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }} { lim x s ± L j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }} { lim x s ± M j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }} { lim x s ± V j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }};

109 107 η k i k =1 η 1 i 1 =1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) [c4.11] Δ 1,I1 Δ,I Ʋ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) L k,ik (x 1,,x ) η V k,ik (x 1,,x ) V 1,i 1 (x k η 1 1,,x ) i k =1 i 1 =1 M k,ik (x 1,,x ) M 1,i 1 (x. 1,,x ) Δ 1,I1 Δ,I Ѵ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) η k i k =1 η 1 i 1 =1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) Etão H(x 1,, x ) = Ʋ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) η k η 1 V k,ik (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) L k,ik (x 1,,x ) Ѵ(x 1,, x ) i i df(t 1,, t k ) k =1 1 =1 é uma fda multivariada. M k,ik (x 1,,x ) Demostração: (i) lim x s H(x 1,, x s,, x ) = 0, s {1,, }. lim H(x 1,, x ) = ( lim Ʋ(x 1,, x )) x s x s η k η 1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) ( lim df(t 1,, t k )) x s i k =1 i 1 =1 ( lim x s Ѵ(x 1,, x )) η k η 1 L k,ik (x 1,,x ) V k,ik (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) ( lim df(t 1,, t k )) x s i k =1 i 1 =1 = lim x s Ʋ(x 1,, x ) η k M k,ik (x 1,,x ) η 1 M 1,i 1 (x 1,,x ) lim xs U k,i k (x 1,,x ) lim xs U 1,i1 (x 1,,x ) df(t 1,, t k ) i k =1 lim Ѵ(x 1,, x ) x s η k η 1 i 1 =1 lim xs V k,i k (x 1,,x ) lim xs L k,i k (x 1,,x ) lim xs V 1,i1 (x 1,,x ) lim xs L 1,i1 (x 1,,x ) df(t 1,, t k ), i k =1 i 1 =1 lim xs M k,i k (x 1,,x ) lim xs M 1,i1 (x 1,,x ) ode a última igualdade decorre do fato que F é cotíua em { lim (x 1,,x ) (±,,±) U j,i j (x 1,, x ), lim M j,i (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim L j,i (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim V j,i (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), para algum i j = 1,2,, η j, com j = 1,2,, k} { lim x s ± U j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }}

110 108 { lim x s ± L j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }} { lim x s ± M j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }} { lim x s ± V j,i j (x 1,, x s,, x ) : s {1,, }}. (ii) Codições [c4.3] e [c4.4] garatem que lim F(x 1,, x ) = 1. (x 1,,x ) (+,,+) lim H(x 1,, x ) = 0. x s lim F(x 1,, x ) = ( lim Ʋ(x 1,, x )) (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) η k η 1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) ( lim df(t 1,, t k )) (x 1,,x ) (+,,+) i k =1 i 1 =1 ( lim Ѵ(x 1,, x )) (x 1,,x ) (+,,+) η k η 1 L k,ik (x 1,,x ) V k,ik (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) ( lim df(t 1,, t k )) (x 1,,x ) (+,,+) i k =1 i 1 =1 = lim (x 1,,x ) (+,,+) Ʋ(x 1,, x ) η k η 1 M k,ik (x 1,,x ) lim U k,i (x1,,x) (+,,+) k (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) lim U (x1,,x) (+,,+) k,i1 (x 1,,x ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 lim L k,i (x1,,x) (+,,+) k (x 1,,x ) lim Ѵ(x 1,, x ) (x 1,,x ) (+,,+) η k η 1 lim V k,i (x1,,x) (+,,+) k (x 1,,x ) lim L (x1,,x) (+,,+) k,i1 (x 1,,x ) lim V (x1,,x) (+,,+) 1,i1 (x 1,,x ) df(t 1,, t k ), i k =1 i 1 =1 lim M k,i (x1,,x) (+,,+) k (x 1,,x ) lim M (x1,,x) (+,,+) 1,i1 (x 1,,x ) em que a última igualdade decorre do fato que F é cotíua em { lim (x 1,,x ) (+,,+) U j,i j (x 1,, x ), lim M j,i (x 1,,x ) (+,,+) j (x 1,, x ), lim L j,i (x 1,,x ) (+,,+) j (x 1,, x ), lim V j,i (x 1,,x ) (+,,+) j (x 1,, x )} Deste modo, as codições [c4.1], [c4.6], [c4.7] [c4.8] e [c4.9] garatem que lim H(x 1,, x ) = 1. (x 1,,x ) (+,,+) (iii) Se x j,1 x j,2, etão F(x 1,1,, x,1 ) F(x 1,2,, x,2 ).

111 109 Seja x j,1 x j,2, [c4.2] implica que: U i,l (x 1,1,, x,1 ) U i,l (x 1,2,, x,2 ), L i,l (x 1,1,, x,1 ) L i,l (x 1,2,, x,2 ), V i,l (x 1,1,, x,1 ) V i,l (x 1,2,, x,2 ), M i,l (x 1,1,, x,1 ) M i,l (x 1,2,, x,2 ), Ʋ(x 1,1,, x,1 ) Ʋ(x 1,2,, x,2 ) e Ѵ(x 1,1,, x,1 ) Ѵ(x 1,2,, x,2 ). Além disso, [c4.2] e [c4.5] implica que η k η 1 U k,ik (x 1,1,,x,1 ) U 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 0, η k η 1 L k,ik (x 1,1,,x,1 ) V k,ik (x 1,1,,x,1 ) L 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) V 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 0, η k i k =1 η 1 i 1 =1 M k,ik (x 1,1,,x,1 ) U k,ik (x 1,2,,x,2 ) M 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) U 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) df(t 1,, t k ) 0 e η k η 1 L k,ik (x 1,2,,x,2 ) V k,ik (x 1,2,,x,2 ) L 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) V 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 0. M k,ik (x 1,2,,x,2 ) M 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) Como por [c4.1], Ʋ e Ѵ são ão egativas, temos que η k η 1 U k,ik (x 1,1,,x,1 ) U 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) H(x 1,1,, x,1 ) = Ʋ(x 1,1,, x,1 ) df(t 1,, t k ) η k η 1 i i L k,ik (x 1,1,,x,1 ) L 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) k =1 1 =1 V k,ik (x 1,1,,x,1 ) V 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) Ѵ(x 1,1,, x,1 ) df(t 1,, t k ) i i M k,ik (x 1,1,,x,1 ) M 1,i 1 (x 1,1,,x,1 ) k =1 1 =1 η k η 1 U k,ik (x 1,2,,x,2 ) U 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) Ʋ(x 1,2,, x,2 ) df(t 1,, t k ) i i L k,ik (x 1,2,,x,2 ) L 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) k =1 1 =1 η k η 1 V k,ik (x 1,2,,x,2 ) V 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) Ѵ(x 1,2,, x,2 ) df(t 1,, t k ) = H(x 1,2,, x,2 ). i k =1 i 1 =1 M k,ik (x 1,2,,x,2 ) M 1,i 1 (x 1,2,,x,2 ) (iv) lim H(x 1,, x (x 1,,x ) (x + 1,0,,x + ) = H(x 1,0,, x,0 ).,0 ) lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 + ) H(x 1,, x ) = lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 + ) Ʋ(x 1,, x ) lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 η k η 1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) + ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 + ) Ѵ(x 1,, x ) η k L k,ik (x 1,,x ) V k,ik (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) + ) df(t 1,, t k ) i k =1 η 1 i 1 =1 M k,ik (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x )

112 110 = lim Ʋ(x 1,, x (x 1,,x ) (x + 1,0,,x + ),0 ) η k η 1 lim U k,ik (x 1,,x ) +,,x,0 + ) lim U 1,i +,,x,0 + 1 (x 1,,x ) ) (x1,,x) (x 1,0 (x1,,x) (x 1,0 df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 lim L k,ik (x 1,,x ) (x1,,x) (x + 1,0,,x,0 + ) lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 η k η 1 + ) Ѵ(x 1,, x ) lim V k,ik (x 1,,x ) +,,x,0 + ) lim L 1,i (x1,,x) (x + 1,0,,x,0 + 1 (x 1,,x ) ) lim V 1,i +,,x,0 + 1 (x 1,,x ) ) (x1,,x) (x 1,0 (x1,,x) (x 1,0 df(t 1,, t k ) i k =1 Como i 1 =1 lim M k,ik (x 1,,x ) (x1,,x) (x + 1,0,,x,0 + ) lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 lim M 1,i (x1,,x) (x + 1,0,,x,0 + 1 (x 1,,x ) ) + ) Ʋ(x 1,, x ) = Ʋ(x 1,0,, x,0 ), lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 + ) Ѵ(x 1,, x ) = Ѵ(x 1,0,, x,0 ), lim U (x 1,,x ) (x + 1,0,,x + i,l (x 1,, x ) = U i,l (x 1,0,, x,0 ),,0 ) lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 V i,l (x 1,0,, x,0 ) e + ) L i,l(x 1,, x ) = L i,l (x 1,0,, x,0 ), lim (x 1,,x ) (x + 1,0,,x,0 + ) V i,l(x 1,, x ) = lim M (x 1,,x ) (x + 1,0,,x + i,l (x 1,, x ) = M i,l (x 1,0,, x,0 ) temos que:,0 ) lim H(x 1,, x (x 1,,x ) (x + 1,0,,x + ) = Ʋ(x 1,0,, x,0 ),0 ) η k η 1 U k,ik (x 1,0,,x,0 ) U 1,i 1 (x 1,0,,x,0 ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 L k,ik (x 1,0,,x,0 ) η k η 1 L 1,i 1 (x 1,0,,x,0 ) V k,ik (x 1,0,,x,0 ) V 1,i 1 (x 1,0,,x,0 ) Ѵ(x 1,0,, x,0 ) df(t 1,, t k ). i k =1 i 1 =1 M k,ik (x 1,0,,x,0 ) M 1,i 1 (x 1,0,,x,0 ) As igualdades decorrem pelo fato de que Ʋ(x 1,, x ), Ѵ(x 1,, x ), U i,l (x 1,, x ), M i,l (x 1,, x ), L i,l (x 1,, x ) e V i,l (x 1,, x ) são cotíuas à direita e por [c4.10]. Portato, lim H(x 1,, x (x 1,,x ) (x + 1,0,,x + ) = H(x 1,0,, x,0 ).,0 ) (v) Δ 1,I1 Δ,I H(x 1,, x ) 0. Como a composição dos operadores-difereça é liear pelo Lema 4.1, logo temos: η k η 1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) Δ 1,I1 Δ,I H(x 1,, x ) = Δ 1,I1 Δ,I Ʋ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) η k η 1 V k,ik (x 1,,x ) i i L k,ik (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) k =1 1 =1 V 1,i 1 (x 1,,x ) Δ 1,I1 Δ,I Ѵ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ). i i M k,ik (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) k =1 1 =1

113 111 η k i k =1 η 1 i 1 =1 U k,ik (x 1,,x ) L k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) V k,ik (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M k,ik (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) Como por [c4.11] Δ 1,I1 Δ,I Ʋ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) η k i k =1 η 1 i 1 =1 Δ 1,I1 Δ,I Ѵ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ), temos que Δ 1,I1 Δ,I H(x 1,, x ) 0. De (i), (ii), (iii), (iv) e (v), cocluímos que H(x 1,, x ) = η k i k =1 η 1 i 1 =1 U k,ik (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) Ʋ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) η k η 1 L k,ik (x 1,,x ) V k,ik (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) Ѵ(x 1,, x ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 é uma distribuição M k,ik (x 1,,x ) de probabilidade multivariada. O Corolário apreseta um método alterativo de gerar distribuições e classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Corolário (C4.1.1): Método complemetar gerador de distribuições e classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Sejam φ: R r R, : R R, W: R R, U j,s : R R {±}, L j,s : R R {±}, M j,s : R R {±} e V j,s : R R {±}, para j {1,, r} e s {1,, i }, fuções multivariada mootôicas e cotíuas à direita em cada uma de sua variáveis tais que: [cc4.1] φ é uma fda e e W são ão egativas; [cc4.2] (x 1,, x ), U j,s (x 1,, x ) e M j,s (x 1,, x ) são ão decrescetes e W(x 1,, x ), V j,s (x 1,, x ) e L j,s (x 1,, x ) são ão crescetes, j {1,, r} e s {1,, j }; [cc4.3] Para todo z {1,, }, se lim W(x 1,, x ) lim (x 1,, x ), etão x z + x z + lim (x 1,, x ) = 0 ou lim L x z + j,s (x 1,, x ) = lim U j,s (x 1,, x ), j {1,, r} e x z + x z + s {1,, j }, e lim x z + W(x 1,, x ) = 0 ou lim x z + M j,s (x 1,, x ) = lim x z + V j,s (x 1,, x ), j {1,, r} e s {1,, j };

114 112 [cc4.4] Para todo z {1,, }, se lim W(x 1,, x ) = lim (x 1,, x ) 0, etão x z + x z + lim U j,s (x 1,, x ) = lim V j,s (x 1,, x ) e x z + x z + lim L j,s (x 1,, x ), j {1,, r} e s {1,, j }; x z + [cc4.5] lim M j,s (x 1,, x ) = x z + lim M j,s (x 1,, x ) lim V j,s (x 1,, x ) e se (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) lim (x 1,, x ) 0, etão (x 1,,x ) (+,,+) lim L j,s (x 1,, x ) (x 1,,x ) (,, ) lim U j,s (x 1,, x ), j {1,, r} e s {1,, j }; (x 1,,x ) (,, ) [cc4.6] lim V j, (x 1,,x ) (,, ) j (x 1,, x ) sup{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t r ) S φ } e lim L j,1(x 1,, x ) if{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t r ) S φ }, j (x 1,,x ) (,, ) {1,, r} para j 1; [cc4.7] [cc4.8] lim W(x 1,, x ) = 1; (x 1,,x ) (,, ) lim (x 1,, x ) = 0 ou (x 1,,x ) (,, ) lim U j,s(x 1,, x ) = (x 1,,x ) (,, ) lim L j,s (x 1,, x ), j {1,, r} e s {1,, j } para j 1; (x 1,,x ) (,, ) [cc4.9] lim V j,s (x 1,, x ) = lim M j,s+1 (x 1,, x ), j (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) {1,, r} e s = 1,2,3,, j 1 para j 2; [cc4.10] φ é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções V j,sj (x 1,, x ) e L j,sj (x 1,, x ) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de φ, sedo também cotíuas em tais potos e φ ão possui potos de descotiuidade o cojuto { lim U j,s (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim L j,s (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim M j,s (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), lim V j,s (x 1,,x ) (±,,±) j (x 1,, x ), para algum, i j = 1,2,, j, com j = 1,2,, r} { lim x z ± U j,s j (x 1,, x z,, x ) : z {1,, }} { lim x z ± L j,s j (x 1,, x z,, x ) : z {1,, }} { lim x z ± M j,s j (x 1,, x z,, x ) : z {1,, }} { lim x z ± V j,s j (x 1,, x z,, x ) : z {1,, }}; r i r =1 1 i 1 =1 U r,i r (x 1,,x ) L r,i r (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) [cc4.11] Δ 1,I1 Δ,I (x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) r 1 V r,i r (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) i r =1 i 1 =1. M r,i r (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) Δ 1,I1 Δ,I W(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r )

115 113 V r,i r (x 1,,x ) i 1 =1 M r,i r (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) Etão H(x 1,, x ) = 1 W(x 1,, x ) r 1 dφ(t 1,, t r ) r 1 U r,i r (x 1,,x ) L r,i r (x 1,,x ) i r =1 U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) + (x 1,, x ) i i dφ(t 1,, t r ) r =1 1 =1 é uma fda multivariada. Demostração: No Teorema 4.1, cosidere η 1 = 1, k = 1, U 1,1 (x 1,, x ) = 1, Ʋ(x 1,, x ) = 1, r i r =1 1 i 1 =1 V r,i r (x 1,,x ) M r,i r (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,1 (x 1,, x ) = W(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) r 1 U r,i r (x 1,,x ) L r,i r (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) (x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) i r =1 i 1 =1 e Ѵ(x 1,, x ) = 0, (x 1,, x ) R e F a fda da uiforme [0,1]. Note que U 1,1 (x 1,, x ) e L 1,1 (x 1,, x ) satisfazem as hipóteses do Teorema 4.1, pois: L 1,1 (x 1,, x ) = r i r =1 1 i 1 =1 V r,i r (x 1,,x ) M r,i r (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) W(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) r 1 U r,i r (x 1,,x ) L r,i r (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) (x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) i r =1 i 1 =1 devido às codições [cc4.1], [cc4.2] e [cc4.5] é ão crescete, U 1,1 (x 1,, x ) = 1 e Ʋ(x 1,, x ) = 1 são ão decrescetes satisfazedo as codições [c4.2] e [c4.5]. Codições [cc4.3] e [cc4.4] garatem que: sup{t R: t S F } = 1 = lim U 1,1 (x 1,, x ) = (x 1,,x ) (,, ) lim L 1,1 (x 1,, x ), lim L 1,1 (x 1,, x ) = 0 = if{t R: t (x 1,,x ) (,, ) (x 1,,x ) (+,,+) S F }, e ambas são cotíuas à direita e F é uma fda sem potos de descotiuidade. Além disso, por [cc4.11], Δ 1,I1 Δ,I H(x 1,, x ) = r 1 V r,i r (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) Δ 1,I1 Δ,I W(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) i r =1 r i 1 =1 1 M r,i r (x 1,,x ) U r,i r (x 1,,x ) L r,i r (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) +Δ 1,I1 Δ,I (x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) i r =1 i 1 =1 0. Logo, todas as codições do Teorema 4.1 estão satisfeitos e temos que: U 1,1 (x 1,,x ) H(x 1,, x ) = 1dy L 1,1 (x 1,,x ) r i r =1 1 i 1 =1 V r,i r (x 1,,x ) M r,i r (x 1,,x ) V 1,i 1 (x 1,,x ) M 1,i 1 (x 1,,x ) H(x 1,, x ) = 1 W(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) r i r =1 1 i 1 =1 U r,i r (x 1,,x ) L r,i r (x 1,,x ) U 1,i 1 (x 1,,x ) L 1,i 1 (x 1,,x ) + (x 1,, x ) dφ(t 1,, t r )

116 114 é uma distribuição de probabilidade multivariada. O próximo corolário mostra que a ormalização de qualquer fução multivariada mootôica ão costate gera uma distribuição de probabilidade multivariada. Corolário (C4.1.2): Normalização de fuções multivariadas mootôicas ão costates Seja h: R R uma fução multivariada mootôica ão costate, cotíua à direita em cada uma de suas variáveis e com cojuto imagem limitado. Se Δ 1,I1 Δ,I h(x 1,, x ) 0 para h(x 1,, x ) ão decrescete e Δ 1,I1 Δ,I h(x 1,, x ) 0 para h(x 1,, x ) ão crescete, etão H(x 1,, x ) = é uma fda multivariada. Demostração: h(x 1,, x ) lim h(x 1,, x ) (x 1,,x ) (,, ) lim h(x 1,, x ) lim h(x 1,, x ) (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (,, ) No Teorema 4.1, cosidere η 1 = 1, r = 1, L 1,1 (x 1,, x ) = 0, Ʋ(x 1,, x ) = 1, U 1,1 (x 1,, x ) = h(x 1,,x ) lim h(x 1,,x ) (x1,,x) (,, ) e Ѵ(x lim h(x 1,,x ) lim h(x 1,,x ) 1,, x ) = 0, (x1,,x) (+,,+) (x1,,x) (,, ) (x 1,, x ) R, e F a fda da uiforme [0,1]. Note que Ʋ(x 1,, x ) = 1, Ѵ(x 1,, x ) = 0, U 1,1 (x 1,, x ) e L 1,1 (x 1,, x ) = 0 satisfazem as hipóteses do Teorema 4.1, pois: U 1,1 (x 1,, x ) e Ʋ(x 1,, x ) = 1 são ão decrescetes e L 1,1 (x 1,, x ) = 0 e Ѵ(x 1,, x ) = 0 são ão crescetes, com lim U 1,1 (x 1,, x ) = lim L 1,1 (x 1,, x ), (x 1,,x ) (,, ) (x 1,,x ) (,, ) lim U 1,1 (x 1,, x ) sup{t R: t S F } = 1, (x 1,,x ) (+,,+) lim L 1,1 (x 1,, x ) if{t R: t S F } = 0, sedo todas fuções (x 1,,x ) (+,,+) cotíuas à direita e F uma fda sem potos de descotiuidades. Além disso, Δ 1,I1 Δ,I h(x 1,, x ) Δ 1,I1 Δ,I H(x 1,, x ) = lim h(x 1,, x ) lim h(x 1,, x ) 0. (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (,, ) Logo, todas as codições do Teorema 4.1 estão satisfeitos e temos que:

117 115 U 1,1 (x 1,,x ) H(x 1,, x ) = dt L 1,1 (x 1,,x ) H(x 1,, x ) = h(x 1,, x ) lim h(x 1,, x ) (x 1,,x ) (,, ) lim h(x 1,, x ) lim h(x 1,, x ). (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (,, ) O próximo corolário mostra outra alterativa para obter distribuições de probabilidade multivariadas ormalizado difereça de fuções multivariadas mootôicas. Corolário (C4.1.3): Normalização de difereças de fuções multivariadas mootôicas Sejam h 1 : R R e h 2 : R R fuções multivariadas cotíuas à direita e limitadas, mootôicas ão decrescete e ão crescete, respectivamete. Se lim h 1 (x 1,, x ) = lim h 2 (x 1,, x ), (x 1,,x ) (,, ) (x 1,,x ) (,, ) lim h 1 (x 1,, x ) lim h 2 (x 1,, x ) e (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) Δ 1,I1 Δ,I h 1 (x 1,, x ) Δ 1,I1 Δ,I h 2 (x 1,, x ), etão H(x) = h 1 (x 1,,x ) h 2 (x 1,,x ) lim (h 1 (x 1,,x ) h 2 (x 1,,x )) (x1,,x) (+,,+) probabilidade multivariada. é uma fução distribuição de Demostração: Faça h(x 1,, x ) = h 1 (x 1,, x ) h 2 (x 1,, x ), o Corolário O próximo corolário traz outra alterativa para obter distribuições de probabilidades multivariadas ormalizado difereça de fuções multivariadas mootôicas.

118 116 Corolário (C4.1.4): Normalização complemetares de difereças de fuções mootôicas multivariadas Sejam h 1 : R R e h 2 : R R fuções multivariadas cotíuas à direita e limitadas, mootôicas ão decrescete e ão crescete respectivamete, com cojutos images limitadas. Se Δ 1,I1 Δ,I h 1 (x 1,, x ) Δ 1,I1 Δ,I h 2 (x 1,, x ), lim h 1 (x 1,, x ) = lim h 2 (x 1,, x ) e (x 1,,x ) (+,,+) (x 1,,x ) (+,,+) lim h 1 (x 1,, x ) lim h 2 (x 1,, x ), etão (x 1,,x ) (,, ) (x 1,,x ) (,, ) H(x 1,, x ) = 1 probabilidade. Demostração: h 2 (x 1,,x ) h 1 (x 1,,x ) lim (h 2 (x 1,,x ) h 1 (x 1,,x )) (x1,,x) (,, ) Faça h(x 1,, x ) = h 1 (x 1,, x ) h 2 (x 1,, x ) + h 1 (x 1,, x )), o Corolário é uma fução distribuição de lim (h 2(x 1,, x ) (x 1,,x ) (,, ) Na próxima Seção, vamos ver algus corolários do Teorema 4.1, em que as fuções mootôicas multivariadas Ʋ(x 1,, x ), Ѵ(x 1,, x ), U i,l (x 1,, x ), L i,l (x 1,, x ), M i,l (x 1,, x ) e V i,l (x 1,, x ) serão composições de fuções de distribuições multivariadas cohecidas. 4.4 Fuções mootôicas evolvedo distribuições de probabilidades multivariadas. Nesta seção, apresetamos métodos geradores de classes de distribuições probabilísticas multivariados a partir de fuções mootôicas. Formalmete, cosidere U: [0,1] m R, ϑ: [0,1] m R, μ i,l : [0,1] m R {±}, l i,l : [0,1] m R {±}, v i,l : [0,1] m R {±} e m i,l : [0,1] m R {±} fuções multivariadas mootôicas e cotíuas à direita em cada uma de suas vaiáveis. A ideia desta técica é fazer com que Ʋ(x 1,, x ) = U(. )(x 1,, x ), Ѵ(x 1,, x ) = ϑ(. )(x 1,, x ), U i,l (x 1,, x ) = μ i,l (. )(x 1,, x ), L i,l (x 1,, x ) = l i,l (. )(x 1,, x ), M i,l (x 1,, x ) = m i,l (. )(x 1,, x ) e V i,l (x 1,, x ) = v i,l (. )(x 1,, x ).

119 117 Utilizaremos a abreviação (. )(x ) = (. )(x 1,, x ) = (G 1,, G m )(x 1,, x ) = (G 1 (x 1,, x ),, G m (x 1,, x )) para represeta o vetor formado por m distribuições multivariadas, calculadas o mesmo poto (x 1,, x ) do domíio. O Corolário mostra que codições U, ϑ, μ i,l, l i,l, v i,l e m i,l devem satisfazer para que Ʋ(x), Ѵ(x), U i,l, L i,l, V i,l e M i,l satisfaçam as hipóteses do Teorema 4.1 e possamos obter classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Corolário (C4.1.5): Método gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Sejam F: R k R, U: [0,1] m R, ϑ: [0,1] m R, μ i,l : [0,1] m R {±}, l i,l : [0,1] m R {±}, m i,l : [0,1] m R {±} e v i,l : [0,1] m R {±}, i {1,, k} e l {1,, η i }, fuções mootôicas e cotíuas a direita tais que: [d4.1] F é uma fda e U e ϑ são ão egativas; [d4.2] U(. )(x 1,, x ), μ i,l (. )(x 1,, x ) e m i,l (. )(x 1,, x ) são ão decrescetes e ϑ(. )(x 1,, x ), l i,l (. )(x 1,, x ) e v i,l (. )(x 1,, x ) são ão crescetes, i {1,, k} e l {1,, η i }, em cada uma das suas variáveis; [d4.3] Para todo s {1,, }, se lim x s U(. )(x 1,, x ) lim x s ϑ(. )(x 1,, x ), etão lim U(. )(x 1,, x ) = 0 ou lim μ i,l (. )(x 1,, x ) = lim l i,l (. )(x 1,, x ), i x s x s x s {1,, k} e l {1,, η i }, e lim x s ϑ(. )(x 1,, x ) = 0 ou lim x s m i,l (. )(x 1,, x ) = lim v i,l (. )(x 1,, x ), i {1,, k} e l {1,, η i }; x s [d4.4] Para todo s {1,, }, se lim x s U(. )(x 1,, x ) = lim x s ϑ(. )(x 1,, x ) 0, etão lim μ i,l (. )(x 1,, x ) = lim v i,l (. )(x 1,, x ), i {1,, k} e l x s x s {1,, η i }, e lim x s m i,l (. )(x 1,, x ) = {1,, η i }; lim l i,l (. )(x 1,, x ), i {1,, k} e l x s [d4.5] l i,l (0,,0) μ i,l (0,,0) e se ϑ(0,,0) 0, etão m i,l (1,,1) v i,l (1,,1), i {1,, k} e l {1,, η i }; [d4.6] μ i,ηi (1,,1) sup{t R: t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t k ) S F } e l i,1 (1,,1) if{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t k ) S F }, i {1,, k} para η i 1;

120 118 [d4.7] U(1,,1) = 1; [d4.8] ϑ(1,,1) = 0 ou m i,l (1,,1) = v i,l (1,,1), i {1,, k} e l {1,, η i }, para η i 1; [d4.9] μ i,l (1,,1) = l i,l+1 (1,,1), i {1,, k} e l = 1,2,3,, η i 1, para η i 2; [d4.10] F é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções l i,l (. )(x 1,, x ) e v i,l (. )(x 1,, x ) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de F, sedo também cotíuas em tais potos e F ão possuir potos de descotiuidade o cojuto {μ i,l (0,,0), μ i,l (1,,1) l i,l (0,,0), l i,l (1,,1), m i,l (0,,0), m i,l (1,,1), v i,l (0,,0), v i,l (1,,1), para algum l = 1,2,, η i, com i = 1,2,, k} { lim x s μ i,l (. )(x 1,, x ) : s {1,, }} { lim x s l i,l (. )(x 1,, x ) : s {1,, }} { lim x s m i,l (. )(x 1,, x ) : s {1,, }} { lim x s v i,l (. )(x 1,, x ) : s {1,, }}; η k i k =1 η 1 i 1 =1 μ k,ik (.)(x ) μ 1,i 1 (.)(x ) l 1,i 1 (.)(x ) [d4.11] Δ 1,I1 Δ,I U(. )(x ) df(t 1,, t k ) l k,ik (.)(x ) η v k,ik (.)(x ) v 1,i 1 (.)(x ) k η 1 i k =1 i 1 =1 m k,ik (.)(x ) m 1,i 1 (.)(x ). Δ 1,I1 Δ,I ϑ(. )(x ) df(t 1,, t k ) η k i k =1 η 1 i 1 =1 μ k,ik (.)(x ) μ 1,i 1 (.)(x ) l 1,i 1 (.)(x ) Etão H G1,,G m (x 1,, x ) = U(. )(x ) df(t 1,, t k ) η k η 1 v k,ik (.)(x ) v 1,i 1 (.)(x ) m 1,i 1 (.)(x ) l k,ik (.)(x ) ϑ(. )(x ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 é um fucioal gerador de m k,ik (.)(x ) classes de distribuições probabilísticas multivariadas, ode (. )(x ) = (. )(x 1,, x ). Demostração: No Teorema 4.1, faça Ʋ(x 1,, x ) = U(. )(x 1,, x ), Ѵ(x 1,, x ) = ϑ(. )(x 1,, x ), U i,l (x 1,, x ) = μ i,l (. )(x 1,, x ),L i,l (x 1,, x ) = l i,l (. )(x 1,, x ), M i,l (x 1,, x ) = m i,l (. )(x 1,, x ) e V(x 1,, x ) = v i,l (. )(x 1,, x ), e ote que a codição [d4. j] implica a codição [c4. j] do Teorema 4.1 para j = 1,2,, 11. Vejamos um caso especial do Corolário 4.1.5, que de fato é um fucioal costrutor de classes de distribuições probabilísticas que podem ser mais facilmete utilizado.

121 119 1º Caso especial do Corolário (1C4.1.5): Método costrutor de classes de distribuições probabilísticas multivariadas que podem ser mais facilmete utilizados. Sejam u z : [0,1] m [0,1] e v z : [0,1] m [0,1] fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que u i são ão decrescetes v i são ão crescetes em cada uma das suas variáveis, com u z (0,,0) = 0, u z (1,,1) = 1, v z (0,,0) = 1 e v z (1,,1) = 0 para todo z = 1,,. Se o Corolário 4.1.5, U(. )(x ) = z=1 ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z e ϑ(. )(x ) = (θ z v z (. )(x )) α z z=1, com α z 0 e 0 θ z 1, etão H G1,,G m (x ) = η r i r =1 η 1 i 1 =1 μ r,i r (.)(x ) l r,i r (.)(x ) μ 1,i 1 (.)(x ) l 1,i 1 (.)(x ) ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z z=1 df(t 1,, t k ) η r η 1 v r,i r (.)(x ) m r,i r (.)(x ) v 1,i 1 (.)(x ) m 1,i 1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z z=1 df(t 1,, t k ) i r =1 i 1 =1 é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades, ode (. )(x ) = (. )(x 1,, x ) = (G 1,, G m )(x 1,, x ) = (G 1 (x 1,, x ),, G m (x 1,, x )). A seguir, a Tabela mostra a obteção de algus fucioais especiais costrutores de classes de distribuições probabilísticas multivariada do fucioal H G1,,G m (x 1,, x ) = η k η 1 z=1 μ k,ik (.)(x 1,,x ) ((1 θ z )u z (. )(x 1,, x ) + θ z ) α z μ 1,i 1 (.)(x 1,,x ) l 1,i 1 (.)(x 1,,x ) df(t 1,, t k ) i k =1 i 1 =1 (θ z v z (. )(x 1,, x )) α z z=1 η k i k =1 η 1 i 1 =1 l k,ik (.)(x 1,,x ) v k,ik (.)(x 1,,x ) v 1,i 1 (.)(x 1,,x ) m 1,i 1 (.)(x 1,,x ) df(t 1,, t k ), que podem ser mais m k,ik (.)(x 1,,x ) facilmete utilizados as gerações de classes de distribuições, ode (. )(x ) = (. )(x 1,, x ) = (G 1,, G m )(x 1,, x ) = (G 1 (x 1,, x ),, G m (x 1,, x )). Cosidere as expressões de 13S1C4.1.5 a 18S1C4.1.5, as seguites fuções mootôicas μ i : [0,1] R {±}, l i : [0,1] R {±}, v i : [0,1] R {±} e m i : [0,1] R {±}, tais que μ i e m i são ão decrescetes e cotíuas à direita para i = 1, 2,, k, e v i e l i são ão crescetes e cotíuas à direita para i = 1, 2,, k.

122 Tabela Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Sub-casos do 1C S1C4.1.5 Codições especiais sobre as Fucioais costrutores obtidos fuções mootôicas η = 1, α 1 = 0 e k η 1 μ k,ik (.)(x ) μ 1,i 1 (.)(x ) v i,l (1,,1) = m i,l (1,,1) H G1,,G m (x ) = df(t 1,, t K ) i i l k,ik (.)(x ) l 1,i 1 (.)(x ) k =1 1 =1 2S1C4.1.5 η i = 1, θ z = 0 e v i,l (1,,1) = m i,l (1,,1) μ k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) α H G1,,G m (x ) = u z z (. )(x ) df(t 1,, t K ) l l z=1 k,1 (.)(x ) 1,1 (.)(x ) 3S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0 e μ k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) v i,1 (1,,1) = m i,1 (1,,1) H G1,,G m (x ) = df(t 1,, t K ) l k,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) 4S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, v i,1 (1,,1) = m i,1 (1,,1) e f(t 1,, t k ) = k i=1 p/t i [l i,1 (1,,1), μ i,1 (1,,1)], i {1,, k} 1 (μ i,1 (1,,1) l i,1 (1,,1)) H G1,,G m (x ) = k i=1 (μ i,1 (. )(x ) l i,1 (. )(x )) k i=1 (μ i,1 (1,,1) l i,1 (1,,1)) 5S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, l i,1 (. )(x ) = μ i,1 (0,,0), v i,1 (1,,1) = m i,1 (1,,1) e 1 f(t 1,, t k ) = k i=1 (μ i,1 (1,,1) μ i,1 (0,,0)) p/t i [μ i,1 (0,,0), μ i,1 (1,,1)], i {1,, k} H G1,,G m (x ) = k i=1 (μ i,1 (. )(x ) μ i,1 (0,,0)) (μ i,1 (1,,1) μ i,1 (0,,0)) k i=1

123 121 6S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, μ i,1 (. )(x ) = l i,1 (0,,0), v i,1 (1,,1) = m i,1 (1,,1) e 1 f(t 1,, t k ) = k i=1 (l i,1 (0,,0) l i,1 (1,,1)) p/t i [l i,1 (1,,1), l i,1 (0,,0)], i {1,, k} H G1,,G m (x ) = k i=1 (l i,1 (. )(x ) l i,1 (0,,0)) k i=1 (l i,1 (1,,1) l i,1 (0,,0)) 7S1C4.1.5 η k η 1 = 1, α 1 = 0 e μ k,ik (.)(x ) μ 1,i 1 (.)(x ) df(t 1,, t k ) = 1 i i l k,ik (.)(x ) l 1,i 1 (.)(x ) k =1 1 =1 η k η 1 v k,ik (.)(x ) v 1,i 1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 df(t 1,, t k ) i i m k,ik (.)(x ) m 1,i 1 (.)(x ) k =1 1 =1 8S1C4.1.5 η i = 1, θ i = 1, μ i,1 (. )(x ) = + e l i,1 (. )(x ) = H G1,,G m (x ) v k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) = 1 (v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 m k,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) 9S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, v k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) μ i,1 (. )(x ) = + e l i,1 (. )(x ) = H G1,,G m (x ) = 1 df(t 1,, t k ) m k,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) 10S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, μ i,1 (. )(x ) = +, l i,1 (. )(x ) =, f(t 1,, t k ) = k i=1 p/t i [m i,1 (0,,0), v i,1 (0,,0)], i {1,, k} 1 (v i,1 (0,,0) m i,1 (0,,0)) H G1,,G m (x ) = 1 k i=1 (v i,1 (. )(x ) m i,1 (. )(x )) (v i,1 (0,,0) m i,1 (0,,0)) k i=1

124 122 11S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, m i,1 (. )(x ) = v i,1 (0,,0), μ i,1 (. )(x ) = +, l i,1 (. )(x ) = e f(t 1,, t k ) 1 = k i=1 (v i,1 (0,,0) v i,1 (1,,1)) p/t i [v i,1 (1,,1), v i,1 (0,,0)], i {1,, k} 12S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0, v i,1 (. )(x ) = m i,1 (0,,0), μ i,1 (. )(x ) = +, l i,1 (. )(x ) = e f(t 1,, t k ) = k i=1 (m i,1 (1,,1) m i,1 (0,,0)) p/t i [m i,1 (0,,0), m i,1 (1,,1)], i {1,, k} 13S1C4.1.5 η i = 1, = 1 e α 1 = 0. 14S1C4.1.5 η i = 1, = 1, α 1 = 0 e 1 f(t) = k i=1 (μ i,1 (1,,1) l i,1 (1,,1)) p/t i [l i,1 (1,,1), μ i,1 (1,,1)], i {1,, k} 15S1C4.1.5 μ i,1 (. )(x ) = μ i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), l i,1 (. )(x ) = l i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), v i,1 (. )(x ) = μ i (γ i v +i (. )(x )), m i,1 (. )(x ) = l i (γ i v +i (. )(x )), η i = 1, α z > 0 e 0 γ i 1. 1 H G1,,G m (x ) = H G1,,G m (x ) = μ k,1 (.)(x ) k i=1 (v i,1 (. )(x ) v i,1 (0,,0)) k i=1 (v i,1 (1,,1) v i,1 (0,,0)) k i=1 (m i,1 (. )(x ) m i,1 (0,,0)) k i=1 (m i,1 (1,,1) m i,1 (0,,0)) μ 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = df(t 1,, t K ) df(t 1,, t k ) l k,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) v k,1 (.)(x ) m k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) k i=1 (μ i,1 (. )(x ) l i,1 (. )(x )) k i=1 (v i,1 (. )(x ) m i,1 (. )(x )) H G1,,G m (x ) = k i=1 (μ i,1 (1,,1) l i,1 (1,,1)) H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z df(t 1,, t k ) z=1 μ k,1 (.)(x ) l k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 v k,1 (.)(x ) m k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x )

125 123 16S1C4.1.5 μ i,1 (. )(x ) = μ i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), l i,1 (. )(x ) =, v i,1 (. )(x ) = μ i (γ i v +i (. )(x )), m i,1 (. )(x ) =, η i = 1 e 0 γ i 1. H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z df(t 1,, t k ) z=1 μ k,1 (.)(x ) v k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 v 1,1 (.)(x ) 17S1C S1C S1C4.1.5 μ i,1 (. )(x ) = +, l i,1 (. )(x ) = l i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), v i,1 (. )(x ) = +, m i,1 (. )(x ) = l i (γ i v +i (. )(x )), η i = 1 e 0 γ i 1. μ i,1 (. )(x ) = v i (γ i v +i (. )(x )), l i,1 (. )(x ) = m i (γ i v +i (. )(x )), v i,1 (. )(x ) = v i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), m i,1 (. )(x ) = m i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), η i = 1, α i > 0 e 0 γ i 1. μ i,1 (. )(x ) = v i (γ i v +i (. )(x )), l i,1 (. )(x ) =, v i,1 (. )(x ) = v i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), m i,1 (. )(x ) =, η i = 1 e 0 γ i 1. H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z z=1 + + df(t 1,, t k ) l k,1 (.)(x ) + l 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α + z df(t 1,, t k ) z=1 m k,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z df(t 1,, t k ) z=1 μ k,1 (.)(x ) l k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 v k,1 (.)(x ) m k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z df(t 1,, t k ) z=1 μ k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 v k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x )

126 20S1C S1C S1C3.1.5 μ i,1 (. )(x ) = +, l i,1 (. )(x ) = m i (γ i v +i (. )(x )), v i,1 (. )(x ) = +, m i,1 (. )(x ) = m i ((1 γ i )u +i (. )(x ) + γ i ), η i = 1 e 0 γ i 1. η i = 1. μ i,1 (. )(x ) = +, l i,1 (. )(x ) =, v i,1 (. )(x ) = +, m i,1 (. )(x ) = e η i = 1. H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z z=1 + + df(t 1,, t k ) l k,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 + m k,1 (.)(x ) + m 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z df(t 1,, t k ) z=1 μ k,1 (.)(x ) l k,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) (θ z v z (. )(x )) α z df(t 1,, t k ) z=1 v k,1 (.)(x ) m k,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = ((1 θ z )u z (. )(x ) + θ z ) α z z=1 (θ z v z (. )(x )) α z z=1 124

127 125 O Corolário mostra um método alterativo para obteção de classes de distribuições probabilísticas multivariadas a partir do Corolário Ele mostra que hipóteses sobre U, ϑ, μ j,s, l j,s, v j,s e m j,s devem satisfazer para que as fuções (x), W(x), U j,s (x), L j,s (x), M j,s (x) e V j,s (x), satisfaçam as codições apresetadas o Corolário e possamos obter classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Corolário (C4.1.6): Método Complemetar gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Sejam φ: R r R, U: [0,1] m R, ϑ: [0,1] m R, μ j,s : [0,1] m R {±}, l j,s : [0,1] m R {±}, m j,s : [0,1] m R {±} e v j,s : [0,1] m R {±}, j {1,, r} e s {1,, j }, fuções mootôicas e cotíuas a direita tais que: [cd4.1] φ uma fda e U e ϑ são ão egativas; [cd4.2] U(. )(x 1,, x ), μ j,s (. )(x 1,, x ) e m j,s (. )(x 1,, x ) são ão decrescetes e ϑ(. )(x 1,, x ), l j,s (. )(x 1,, x ) e v j,s (. )(x 1,, x ) são ão crescetes, j {1,, r} e s {1,, j }, para cada uma de suas variáveis; [cd4.3] Para todo z {1,, }, se lim x z + U(. )(x 1,, x ) lim x z + ϑ(. )(x 1,, x ), etão lim U(. )(x 1,, x ) = 0 ou lim μ j,s (. )(x 1,, x ) = lim l j,s (. )(x 1,, x ), j x z + x z + x z + {1,, r} e s {1,, j }, e lim x z + ϑ(. )(x 1,, x ) = 0 ou lim x z + m j,s (. )(x 1,, x ) = lim v j,s (. )(x 1,, x ), j {1,, r} e s {1,, j }; x z + [cd4.4] Para todo z {1,, }, se lim x z + U(. )(x 1,, x ) = lim x z + ϑ(. )(x 1,, x ) 0, etão lim x z + μ j,s (. )(x 1,, x ) = lim l j,s (. )(x 1,, x ), j {1,, r} e s {1,, s }; x z + lim v j,s (. )(x 1,, x ) e lim m j,s (. )(x 1,, x ) = x z + x z + [cd4.5] m j,s (1,,1) v j,s (1,,1) e se U(1,,1) 0, etão μ j,s (0,,0) l j,s (0,,0), j {1,, r} e s {1,, s }; [cd4.6] v j,j (0,,0) sup{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t s ) S φ } e l j,1 (0,,0) if{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t s ) S φ }, j {1,, r}; [cd4.7] ϑ(0,,0) = 1;

128 126 [cd4.8] U(0,,0) = 0 ou μ j,s (0,,0) = l j,s (0,,0), j {1,, r} e s {1,, j }, para j 1; [cd4.9] v j,s (1,,1) = m j,s+1 (1,,1), j {1,, r} e s = 1,2,3,, j 1, para j 2; [cd4.10] φ é uma fda sem potos de descotiuidade ou todas as fuções v j,s (. )(x 1,, x ) e l j,s (. )(x 1,, x ) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de φ, sedo também cotíuas em tais potos e φ ão possuir potos de descotiuidade o cojuto {μ j,s (0,,0), μ j,s (1,,1), l j,s (0,,0), l j,s (1,,1), m j,s (0,,0), m j,s (1,,1), v j,s (0,,0), v j,s (1,,1), para algum s = 1,2,, j, com j = 1,2,, r} { lim x z ± μ j,s (. )(x 1,, x ) : z {1,, }} { lim x z ± μ j,s (. )(x 1,, x ) : z {1,, }} { lim x z ± μ j,s (. )(x 1,, x ) : z {1,, }} { lim x z ± μ j,s (. )(x 1,, x ) : z {1,, }}; r i r =1 1 i 1 =1 μ r,i r (.)(x 1,,x ) l r,i r (.)(x 1,,x ) μ 1,i 1 (.)(x 1,,x ) l 1,i 1 (.)(x 1,,x ) [cd4.11] Δ 1,I1 Δ,I U(. )(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) r 1 v r,i r (.)(x 1,,x ) v 1,i 1 (.)(x 1,,x ) i r =1 i 1 =1 m r,i r (.)(x 1,,x ) m 1,i 1 (.)(x. 1,,x ) Δ 1,I1 Δ,I ϑ(. )(x 1,, x ) dφ(t 1,, t r ) r Etão temos que H G1,,G m (x 1,, x ) = 1 ϑ(. )(x 1,, x ) 1 v k,ik (.)(x 1,,x ) v 1,i 1 (.)(x 1,,x ) m 1,i 1 (.)(x 1,,x ) df(t 1,, t r ) i r =1 i 1 =1 + U(. )(x 1,, x ) r 1 m k,ik (.)(x 1,,x ) μ r,i r (.)(x 1,,x ) l k,ik (.)(x 1,,x ) μ 1,i 1 (.)(x 1,,x ) l 1,i 1 (.)(x 1,,x ) df(t 1,, t r ) i k =1 i 1 =1 é um fucioal gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Demostração: No Corolário 4.1.1, faça (x 1,, x ) = U(. )(x 1,, x ), W(x 1,, x ) = ϑ(. )(x 1,, x ), U j,s (x 1,, x ) = μ j,s (. )(x 1,, x ),L j,s (x 1,, x ) = l j,s (. )(x 1,, x ), M j,s (x 1,, x ) = m j,s (. )(x 1,, x ) e V j,s (x 1,, x ) = v j,s (. )(x 1,, x ), e ote que a codição [cd4. i] implica a codição [cc4. i] do Corolário para i = 1,2,, 11. Vejamos um caso especial do Corolário 4.1.6, que de fato é um fucioal costrutor de classes de distribuições probabilísticas que pode ser mais facilmete utilizados:

129 127 1º Caso especial do Corolário (1C4.1.6): Método complemetar costrutor de classes de distribuições probabilísticas multivariadas que podem ser mais facilmete utilizados. Sejam u z : [0,1] m [0,1] e v z : [0,1] m [0,1] fuções mootôicas e cotíuas à direita tais que u i são ão decrescetes v i são ão crescetes em cada uma das suas variáveis, com u z (0,,0) = 0, u z (1,,1) = 1, v z (0,,0) = 1 e v z (1,,1) = 0 para todo z = 1,,. Se o Corolário do Teorema 4.1, U(. )(x ) = (θ z u z (. )(x )) α z z=1 e ϑ(. )(x ) = ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z z=1, com α z 0 e 0 θ z 1, etão H G1,,G m (x ) = 1 r 1 v r,j r (.)(x ) m r,j r (.)(x ) z=1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z v 1,j 1 (.)(x ) m 1,j 1 (.)(x ) dφ(t 1,, t r ) j r =1 j 1 =1 + (θ z u z (. )(x )) α z z=1 r 1 μ r,j r (.)(x ) l r,j r (.)(x ) μ 1,j 1 (.)(x ) l 1,j 1 (.)(x ) dφ(t 1,, t r ) j r =1 j 1 =1 é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades, ode (. )(x ) = (. )(x 1,, x ) = (G 1,, G m )(x 1,, x ) = (G 1 (x 1,, x ),, G m (x 1,, x )). A seguir, teremos a Tabela que mostra a obteção de algus fucioais especiais costrutores de classes de distribuições probabilísticas multivariada do fucioal H G1,,G m (x 1,, x ) = 1 r 1 v r,j r (.)(x ) m r,j r (.)(x ) v 1,j 1 (.)(x ) m 1,j 1 (.)(x ) z=1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z dφ(t 1,, t r ) j r =1 j 1 =1 (θ z u z (. )(x )) α z z=1 r j r =1 1 j 1 =1 μ r,j r (.)(x ) l r,j r (.)(x ) μ 1,j 1 (.)(x ) l 1,j 1 (.)(x ) dφ(t 1,, t r ), que podem ser mais facilmete utilizados as gerações de classes de distribuições, ode (. )(x ) = (. )(x 1,, x ) = (G 1,, G m )(x 1,, x ) = (G 1 (x 1,, x ),, G m (x 1,, x )). Cosidere as expressões de 13S1C4.1.6 a 18S1C4.1.6, as seguites fuções μ j : [0,1] R {±}, l j : [0,1] R {±}, v j : [0,1] R {±} e m j : [0,1] R {±}, tais que μ j e m j são ão decrescetes e cotíuas à direita para j = 1, 2,, r, e v j e l j são ão crescetes e cotíuas à direita para j = 1, 2,, r.

130 Tabela Algus fucioais costrutores de classes de distribuições probabilísticas obtidos a partir do 1C Sub-casos do 1C S1C4.1.6 r Codições especiais sobre as fuções mootôicas = 1, α 1 = 0 e 1 v r,j r (.)(x ) v 1,j 1 (.)(x ) dφ(t 1,, t r ) = 1 j j m r,j r (.)(x ) m 1,j 1 (.)(x ) r =1 1 =1 Fucioais costrutores obtidos r 1 μ r,j r (.)(x ) μ 1,j 1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = dφ(t 1,, t r ) i i l r,j r (.)(x ) l 1,j 1 (.)(x ) r =1 1 =1 2S1C S1C4.1.6 j = 1, θ z = 1, v r,1 (. )(x ) = + e m r,1 (. )(x ) = j = 1, = 1, α 1 = 0, v r,1 (. )(x ) = + e m r,1 (. )(x ) = μ r,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = (θ z u z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) μ r,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = dφ(t 1,, t r ) l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) 4S1C4.1.6 j = 1, = 1, α 1 = 0, v j,1 (0,,0) = sup{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t s ) S φ }, m j,1 (0,,0) = if{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t s ) S φ } e φ (t 1,, t k ) = 1 k i=1(μ i,1 (1,,1) l i,1 (1,,1)) p/t j [l j,1 (1,,1), μ j,1 (1,,1)], j {1,, r}, H G1,,G m (x ) = k i=1 (μ i,1 (. )(x ) l i,1 (. )(x )) (μ i,1 (1,,1) l i,1 (1,,1)) k i=1

131 129 5S1C4.1.6 j = 1, = 1, α 1 = 0, l j,1 (. )(x ) = μ j,1 (0,,0), v j,1 (0,,0) = sup{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t s ) S φ }, m j,1 (0,,0) = if{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t s ) S φ } e φ (t 1,, t r ) = 1, r (μ j,1 (1,,1) μ j,1 (0,,0)) p/t j [μ j,1 (0,,0), μ j,1 (1,,1)], j {1,, r} 6S1C4.1.6 j = 1, = 1, α 1 = 0, μ j,1 (. )(x ) = l j,1 (0,,0), v j,1 (0,,0) = sup{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t s ) S φ }, m j,1 (0,,0) = if{t R: (t 1,, t j 1, t, t j+1,, t s ) S φ } e H G1,,G m (x ) = H G1,,G m (x ) = k i=1 (μ i,1 (. )(x ) μ i,1 (0,,0)) k i=1 (μ i,1 (1,,1) μ i,1 (0,,0)) r (l j,1 (. )(x ) l j,1 (0,,0)) r (l j,1 (1,,1) l j,1 (0,,0)) 7S1C S1C S1C4.1.6 φ (t 1,, t r ) = 1, r (l j,1 (1,,1) l j,1 (0,,0)) p/t j [l j,1 (0,,0), l j,1 (1,,1)], j {1,, r} = 1, α 1 = 0 e r 1 v r,j r (.)(x ) v 1,j 1 (.)(x ) μ j,1 (1,,1) = l j,1 (1,,1) H G1,,G m (x ) = 1 dφ(t 1,, t r ) j = 1, θ i = 1, e μ j,1 (1,,1) = l j,1 (1,,1) j = 1, = 1, α 1 = 0, μ j,1 (1,,1) = l j,1 (1,,1) j r =1 j 1 =1 m r,j r (.)(x ) m 1,j 1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 (v z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 v r,1 (.)(x ) v r,1 (.)(x ) m r,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 dφ(t 1,, t r ) m r,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x )

132 10S1C S1C4.1.6 j = 1, = 1, α 1 = 0, μ j,1 (1,,1) = l j,1 (1,,1) e φ (t 1,, t r ) = 1 r (v j,1 (0,,0) m j,1 (0,,0)) p/t j [m j,1 (0,,0), v j,1 (0,,0)], j {1,, r} j = 1, = 1, α 1 = 0, m j,1 (. )(x ) = v j,1 (0,,0), μ j,1 (1,,1) = l j,1 (1,,1) e 1 φ (t 1,, t r ) = r (v j,1 (0,,0) v j,1 (1,,1)) p/t j [v j,1 (0,,0), v j,1 (0,,0)], j {1,, r}, H G1,,G m (x ) = 1 H G1,,G m (x ) = r (v j,1 (. )(x ) m j,1 (. )(x )) r (v j,1 (0,,0) m j,1 (0,,0)) r (v j,1 (. )(x ) v j,1 (0,,0)) r (v j,1 (1,,1) v j,1 (0,,0)) S1C4.1.6 j = 1, = 1, α 1 = 0, v j,1 (. )(x ) = m j,1 (0,,0), μ j,1 (1,,1) = l j,1 (1,,1) e φ (t 1,, t r ) = r (m j,1 (1,,1) m j,1 (0,,0)) p/t j [m j,1 (0,,0), m j,1 (1,,1)], j {1,, r} 13S1C3.1.6 j = 1, = 1 e α 1 = 0. 14S1C3.1.6 φ (t 1,, t r ) = j = 1, = 1, α 1 = 0 e k i=1 (v j,1 (0,,0) m j,1 (0,,0)) p/t i [m j,1 (0,,0), v j,1 (0,,0)], j {1,, r} 1 1 H G1,,G m (x ) = v r,1 (.)(x ) r (m j,1 (. )(x ) m j,1 (0,,0)) r (m j,1 (1,,1) m j,1 (0,,0)) v 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 dφ(t 1,, t r ) + dφ(t 1,, t r ) m r,1 (.)(x ) k m 1,1 (.)(x ) μ r,1 (.)(x ) l r,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) i=1 (v i,1 (. )(x ) m i,1 (. )(x )) i=1 (μ i,1 (. )(x ) l i,1 (. )(x )) H G1,,G m (x ) = 1 (v j,1 (0,,0) m j,1 (0,,0)) k i=1 k

133 131 15S1C4.1.6 μ j,1 (. )(x ) = μ j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), l j,1 (. )(x ) = l j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), v j,1 (. )(x ) = μ j (γ j v +j (. )(x )), m j,1 (. )(x ) = l j (γ j v +j (. )(x )), j = 1, α z > 0 e 0 γ j 1. 16S1C4.1.6 μ i,1 (. )(x ) = μ j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), l j,1 (. )(x ) =, 17S1C S1C4.1.6 v j,1 (. )(x ) = μ j (γ j v +j (. )(x )), m j,1 (. )(x ) =, j = 1 e 0 γ j 1. μ j,1 (. )(x ) = +, l j,1 (. )(x ) = l j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), v j,1 (. )(x ) = +, m j,1 (. )(x ) = l j (γ j v +j (. )(x )), j = 1 e 0 γ j 1. μ j,1 (. )(x ) = v j (γ j v +j (. )(x )), l j,1 (. )(x ) = m j (γ j v +j (. )(x )), v j,1 (. )(x ) = v j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), m j,1 (. )(x ) = m j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), j = 1, α z > 0 e 0 γ j 1. H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 μ r,1 (.)(x ) v r,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m r,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) + (θ z u z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 v r,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) + (θ z u z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 μ r,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α + + z dφ(t 1,, t r ) z=1 m r,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) + + (θ z u z (. )(x )) α + z dφ(t 1,, t r ) z=1 l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 μ r,1 (.)(x ) v r,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m r,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) + (θ z u z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x )

134 19S1C S1C4.1.6 μ j,1 (. )(x ) = v j (γ j v +j (. )(x )), l j,1 (. )(x ) =, v j,1 (. )(x ) = v j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), m j,1 (. )(x ) =, j = 1 e 0 γ j 1. μ j,1 (. )(x ) = +, l j,1 (. )(x ) = m j (γ j v +j (. )(x )), v j,1 (. )(x ) = +, m j,1 (. )(x ) = m j ((1 γ j )u +j (. )(x ) + γ j ), j = 1 e 0 γ j 1. 21S1C3.1.6 j = 1. 22S1C3.1.6 μ j,1 (. )(x ) = +, l j,1 (. )(x ) =, v j,1 (. )(x ) = +, m j,1 (. )(x ) = e j = 1. H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 v r,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) + (θ z u z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 μ r,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α + + z dφ(t 1,, t r ) z=1 m r,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) + + (θ z u z (. )(x )) α + z dφ(t 1,, t r ) z=1 l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 μ r,1 (.)(x ) v r,1 (.)(x ) v 1,1 (.)(x ) m r,1 (.)(x ) m 1,1 (.)(x ) μ 1,1 (.)(x ) + (θ z u z (. )(x )) α z dφ(t 1,, t r ) z=1 l r,1 (.)(x ) l 1,1 (.)(x ) H G1,,G m (x ) = 1 ((1 θ z )v z (. )(x ) + θ z ) α z z=1 + (θ z u z (. )(x )) α z z=1 132

135 133 O Corolário mostra outra alterativa para obtermos classes de distribuições probabilísticas multivariadas a partir do Teorema 4.1. Corolário (C4.1.7): Método ormalizado gerador de classes de distribuições probabilísticas multivariadas. Sejam F: R s R, w j,1 : [0,1] m R {±} e z j,1 : [0,1] m R {±}, fuções mootôicas, cotíuas e deriváveis tais que: [e4.1] F é uma fda; [e4.2] w j,1 são ão decrescetes e z j,1 são ão crescetes, j {1,, s}; [e4.3] F é uma fda sem potos de descotiuidade ou a fução z j,1 (. )(x 1,, x ) são costates à direita a vizihaça dos potos cujas images são potos de descotiuidades de F, sedo também cotíuas em tais potos e F ão possui potos de descotiuidade o cojuto {z j,1 (0,,0), z j,1 (1,,1), w j,1 (0,,0), w j,1 (1,,1) }. ws,1 (.)(x 1,,x ) w1,1 (.)(x 1,,x ) zs,1 ws,1 (0,,0) (.)(x 1,,x ) z1,1 (.)(x 1,,x ) df(t 1,,t s ) zs,1 (0,,0) z1,1 (0,,0) ws,1 (1,,1) w1,1 (1,,1) zs,1 df(t 1,,t s ) ws,1 (0,,0) w1,1 (0,,0) (1,,1) z1,1 (1,,1) df(t 1,,t s ) zs,1 (0,,0) z1,1 (0,,0) Etão, H G1,,m (x 1,, x ) = df(t 1,,t s ) w1,1 (0,,0) é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilísticas. Demostração: No Teorema 4.1, cosidere k = 1, η i = 1, F a fda da uiforme [0,1], U 1,1 (x 1,, x ) = ws,1 (.)(x 1,,x) w1,1 (.)(x 1,,x) zs,1 df(t 1,,t s ) ws,1 (0,,0) w1,1 (0,,0) (.)(x 1,,x) z1,1 (.)(x 1,,x) df(t 1,,t s ) zs,1 (0,,0) z1,1 (0,,0) = ws,1 (1,,1) w1,1 (1,,1) zs,1 df(t 1,,t s ) ws,1 (0,,0) w1,1 (0,,0) (1,,1) z1,1 (1,,1) df(t 1,,t s ) zs,1 (0,,0) z1,1 (0,,0) e L 1,1 (x 1,, x ) = 0, (x 1,, x ) R. Note que U 1,1 (x 1,, x ) e L 1,1 (x 1,, x ) satisfazem as hipóteses do Teorema 4.1, pois: U 1,1 (x 1,, x ) é ão decrescete e L 1,1 (x 1,, x ) é ão crescete, com lim U 1,1 (x 1,, x ) = 1, (x 1,,x ) (+,,+) lim U 1,1 (x 1,, x ) = lim L 1,1 (x 1,, x ), (x 1,,x ) (,, ) (x 1,,x ) (,, ) lim L 1,1 (x 1,, x ) = 0, ambas são cotíuas à direita e F é uma fda (x 1,,x ) (+,,+) sem potos de descotiuidade.

136 134 Etão, como as hipóteses do Teorema 4.1 são satisfeitas, temos que ws,1 (.)(x 1,,x) w1,1 (.)(x 1,,x) zs,1 ws,1 (0,,0) (.)(x 1,,x) z1,1 (.)(x 1,,x) df(t 1,,t s ) zs,1 (0,,0) z1,1 (0,,0) ws,1 (1,,1) w1,1 (1,,1) zs,1 df(t 1,,t s ) ws,1(0,,0) w1,1(0,,0) (1,,1) z1,1 (1,,1) df(t 1,,t s ) zs,1(0,,0) z1,1(0,,0) H G1,,m (x 1,, x ) = df(t 1,,t s ) w1,1 (0,,0) é um fucioal gerador de classes de distribuições de probabilidades. O Teorema 4.2 mostra que o Teorema 4.1 e os seus corolários são todos equivaletes etre si. Teorema 4.2 (T4.2): Equivalêcia etre o Teorema 4.1 e os seus corolários. O Teorema 4.1 e todos os seus corolários geram exatamete as mesmas distribuições probabilísticas multivariadas. Demostração: A demostração deste teorema é aáloga a apresetada a prova do Teorema 3.2, sedo assim a mesma será omitida Suportes para as Classes de Distribuições Probabilísticas para o caso multivariado. A seguir apresetamos um estudo detalhado dos cojutos suportes das classes e das distribuições geradas pelos fucioais dos Corolários a Primeiro observemos que por defiição de suporte de distribuição de probabilidade, teremos que para qualquer distribuição F, o seu suporte, S F é dado por S F = {x R: F(x 1,, x i 1, x i, x i+1,, x ) F(x 1,, x i 1, x i ε, x i+1,, x ) > 0, ε > 0, para algum i {1, 2,, }}. Vejamos etão a seguite proposição: Teorema 4.3 (T4.3): Teorema geral dos suportes para o caso multivariado. Seja H G1,,G m (x 1,, x ) a fução de distribuição gerada a partir do Corolário (respectivamete, 4.1.6). Etão S m S HG 1,,Gm G j.

137 135 Demostração: Por ser de forma aáloga à demostração apresetada a versão uivariada do Teorema 3.3 já apresetado, omitiremos a mesma. O Corolário mostra um caso especial em que a distribuição H G1,,G m (x 1,, x ) é discreta. Corolário (C4.3.1): Baselie discreta multivariada gera distribuição discreta multivariada. multivariada. Se todas as G j s são discretas multivariada, etão H G1,,G m (x 1,, x ) é discreta Demostração: A demostração é aáloga à apresetada o Corolário O Teorema 4.4 mostra codições em que S HG 1,,Gm = m S G j. Teorema 4.4 (T4.4): Suporte de distribuição multivariada é a uião dos suportes da baselie multivariadas. Se o Corolário (respectivamete, 4.1.6) [f4.1] S F for um cojuto covexo; [f4.2] μ i,i (1,,1) = sup{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t ) S F } e l i,1 (1,,1) = if{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t ) S F }, U(. )(x ) > 0, x R, e μ i,l (. )(x ) ou l i,l (. )(x ), para algum l {1,, η i } e i {1,, k}, forem estritamete mootôicas ou v i,i (0,,0) = sup{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t ) S F } e m i,1 (0,,0) = if{t R: (t 1,, t i 1, t, t i+1,, t ) S F }, ϑ(. )(x ) > 0, x R, e v i,l (. )(x ) ou m i,l (. )(x ), para algum l {1,, η i } e i {1,, k}, forem estritamete mootôicas. Etão S HG 1,,Gm = m S G j.

138 136 Demostração: Esta demostração será omitida por ser aáloga a realizada o Teorema 3.4. cotíua. O Teorema 4.5 mostra codições em que a distribuição H G1,,G m (x 1,, x ) é Teorema 4.5 (T4.5): Distribuições de fuções cotíuas multivariadas geram distribuições de fuções cotíuas multivariadas. Se F(t 1,, t k ), G 1,...,G m são fda s cotíuas o Corolário (respectivamete, 4.1.6), μ i,l, l i,l, U, v i,l, m i,l e ϑ são fuções cotíuas, etão H G1,,G m (x 1,, x ) será uma fda cotíua. Demostração: A demostração deste teorema é aáloga ao Teorema 3.5, sedo desecessária sua apresetação. O Teorema 4.6 mostra codições em que a distribuição H G1,,G m (x 1,, x ) será uma fda de v. a. cotíua. Teorema 4.6 (T4.6): Distribuições de variáveis aleatórias cotíuas multivariadas geram distribuições de variáveis aleatórias cotíuas multivariadas. Se F(t 1,, t k ), G 1,..., G m forem fda s de v. a. s cotíuas o Corolário (respectivamete, 4.1.6), μ i,l, l i,l, U, v i,l, m i,l e ϑ forem fuções cotíuas e difereciáveis, etão H G1,,G m (x 1,, x ) será uma fda de v. a. cotíua. Demostração: A demostração deste teorema é aáloga ao Teorema 3.6, sedo desecessária sua apresetação.

139 137 O Teorema 4.7 mostra codições em que a distribuição H G1,,G m (x 1,, x ) é discreta. Teorema 4.7 (T4.7): Itegrais de difereciais de distribuições discretas multivariadas geram distribuições discretas multivariadas. Seja H G1,,G m (x 1,, x ) a fução de distribuição gerada a partir do Corolário (respectivamete, 4.1.6). Se a distribuição de probabilidade F(t 1,, t k ) for discreta e U(. )(x 1,, x ) = ϑ(. )(x 1,, x ) = 1, (x 1,, x ) R, etão a distribuição H G1,,G m (x 1,, x ) será discreta idepedete das fuções mootôicas usadas como limites de itegração. Demostração: De igual modo às ateriores, a demostração deste teorema é aáloga ao Teorema 3.7 já apresetada o capítulo aterior Nomeclatura para as Classes de Distribuições Probabilísticas e para as distribuições de probabilidades, caso multivariado. A partir da proposta do método gerador de distribuições de probabilidades, classes de distribuições de probabilísticas e das distribuições geradas por elas, da mesma forma que fizemos ateriormete otamos a ecessidade da sistematização das omeclaturas das expressões ecotradas. Desta forma, segue a proposta por ós elaborada para uma forma geral de omeação. Para as distribuições geradas pelo Teorema 4.1, dividimos em duas categorias: a primeira omeia as classes de distribuições probabilísticas e a seguda às distribuições de probabilidades geradas pelas classes. A seguir temos as regras de omeação das classes e das distribuições geradas pelo fucioal do Corolário 4.1.5: a) Quado da classe de distribuições probabilísticas será: Classe + ome da expressão (U)(ϑ)F(t 1,, t k )(l 1,i1,, l k,ik )(μ 1,i1,, μ k,ik )(m 1,i1,, m k,ik )(v 1,i1,, v k,ik ), ou seja, classe + ome do vetor U(. )(x ) + ome do vetor ϑ(. )(x ) + ome da

140 138 distribuição de F(t 1,, t k ) + ome do vetor (l 1,i1 (. ),, l k,ik (. )) (x ) + ome do vetor (μ 1,i1 (. ),, μ k,ik (. )) (x ) + ome do vetor de (m 1,i1 (. ),, m k,ik (. )) (x ) + ome do vetor (v 1,i1 (. ),, v k,ik (. )) (x ). b) Quado da distribuição probabilística gerada pela classe será: ome da classe + a substituição do vetor (. )(x ) pelo vetor de omes das distribuições represetadas. Regras de omeação das classes e das distribuições geradas pelo fucioal do Corolário 4.1.6: a) Quado da classe de distribuições probabilísticas será: Classe complemetar + ome da expressão (ϑ)(u)φ(t 1,, t r )(m 1,i1,, m r,ir )(v 1,i1,, v r,ir )(l 1,i1,, l r,ir )(μ 1,i1,, μ r,ir ), ou seja, classe complemetar + ome do vetor de ϑ(. )(x ) + ome do vetor de U(. )(x ) + ome da distribuição de φ(t 1,, t r ) + ome do vetor de (m 1,i1 (. ),, m r,ir (. )) (x ) + ome do vetor (v 1,i1 (. ),, v r,ir (. )) (x ) + ome do vetor (l 1,i1 (. ),, l r,ir (. )) (x ) + ome do vetor (μ 1,i1 (. ),, μ r,ir (. )) (x ). b) Quado da distribuição probabilística gerada pela classe será: ome da classe + a substituição do vetor (. )(x ) pelo vetor de omes das distribuições represetadas. Regras de omeação das classes e das distribuições geradas pelo fucioal do Corolário 4.1.7: a) Quado da classe de distribuições probabilísticas será: Classe ormalizada + ome da expressão (w 1,1,, w s,1 )F(z 1,1,, z s,1 ), ou seja, classe ormalizada + ome do vetor de (w 1,1 (. ),, w s,1 (. )) (x ) + ome da distribuição de F(t 1,, t s ) + ome do vetor de (z 1,1 (. ),, z s,1 (. )) (x ). b) Quado da distribuição probabilística gerada pela classe será: ome da classe + a substituição do vetor (. )(x ) pelo vetor de omes das distribuições represetadas.

141 Obteções de geeralizações de modelos de classes já existetes Neste tópico faremos algumas aplicações para obteção de casos bem especiais da fução geeralizada geradora de distribuições probabilísticas, ou seja, fazedo uso de algus corolários do Teorema 4.1 deomiado método gerador de distribuições de probabilidades e de algus de seus casos particulares. A seguir, a Tabela mostra a obteção de classes de distribuições probabilísticas de modelos já existetes com o uso de algus corolários do Teorema 4.1.

142 140 Tabela Geeralizações de modelos de classes já existetes Sub-casos do 1C3.1.5 Utilizado 3S1C S1C4.1.5 Distribuições Utilizadas φ (t 1, t 2 ) α(1 α) (1 + t 1 + t 2 ) α+2 α(1 α) (1 + t 1 + t 2 ) α+2 Fuções Mootôicas μ 1 (. )(x, y) = a + G β 1 1 (x) α 1 G 1 2 (x) l 1 (. )(x, y) = b (1 G 3 θ 1 (y)) γ 1 μ 2 (. )(x, y) = b + G β 2 4 (y) α 1 G 2 5 (y) l 2 (. )(x, y) = b (1 G 6 θ 2 (y)) γ 2 v 1 (. )(x, y) = a + 1 G β1 1 (x) G α1 2 (x) m 1 (. )(x, y) = ag 3 θ 1 (x) v 2 (. )(x, y) = b + 1 G 4 β2 (y) G 5 α2 (y) m 2 (. )(x, y) = bg 6 θ 2 (y) Algus valores especiais para os parâmetros a = 0 b = 0 G 1 (x) = G 2 (x) = 1 e λ 1x G 4 (y) = G 5 (y) = 1 e λ 2y α 1 = β 1 α 2 = β 2 a = 0 b = 0 G 1 (x) = G 2 (x) = 1 e λ 1x G 4 (y) = G 5 (y) = 1 e λ 2y α 1 = β 1 α 2 = β 2 Classe Obtida Debasis Kudu Rameshwar D. Gupta bivariada -G defiida por Kudu e Gupta (2011) Distribuição expoecial bivariada geeralizada defiida por Kudu e Gupta (2011) Debasis Kudu Rameshwar D. Gupta bivariada -G defiida por Kudu e Gupta (2011) Distribuição expoecial bivariada geeralizada defiida por Kudu e Gupta (2011)

143 Modelo proposto Obteção de uma classe de distribuições a partir do Teorema Modelo Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Cosiderado as fuções mootôicas μ 1 (G 1, G 2 )(x, y) = G 1 (x) 1 G 1 (x), G 2 (y) μ 2 (G 1, G 2 )(x, y) =, l 1 G 2 (y) 1 (G 1, G 2 )(x, y) = 0, l 2 (G 1, G 2 )(x, y) = 0 e f a fdp da distribuição cojuta Weibull bivariada f(t 1, t 2 ) = a 1 a 2 b 1 b 2 t 1 a 1 1 t 2 a 2 1 e b 1t 1 a1 b 2 t 2 a2 fazedo uso do Corolário 4.1.5, teremos a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ), coforme desevolvimeto abaixo: μ 2 (G 1,G 2 )(x,y) μ 1 (G 1,G 2 )(x,y) H G1,G 2 (x, y) = f(t 1, t 2 ) dt 1 dt 2 G2 (y) 1 G2 (y) l 2 (G 1,G 2 )(x,y) G1 (x) 1 G1 (x) l 1 (G 1,G 2 )(x,y) a H G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 t 1 1 a 1 t e b 1t a1 1 b 2 t a2 2 dt 1 dt e G1 (x) 1 G1 (x) a H G1,G 2 (x, y) = a 1 b 1 t e b 1t a 1 a1dt 1 a 2 b 2 t e b 2t 2 a2dt G2 (y) 1 G2 (y) H G1,G 2 (x, y) = (1 e b 1( G 1 (x) 1 G1 (x))a 1 ) (1 e b 2( G 2 (y) 1 G2 (y))a 2) Derivado H G1,G 2 (x, y), teremos: h G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x) (1 G 1 (x)) 2 ( G 1 (x) a G 1 (x) ) g 2 (y) (1 G 2 (y)) 2 ( G a 2 1 2(y) 1 G 2 (y) ) exp ( b 2 ( G 2(y) 1 G 2 (y) ) a 2 ) exp ( b 1 ( G 1 (x) 1 G 1 (x) ) a 1 )

144 Fução Risco usado a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1- G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Podemos obter a fução risco R G1,,G 4 (x, y) usado a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ), substituido as expressões de h G 1,,G 4 (x, y) e de H G1,,G 4 (x, y) a fórmula abaixo: R G1,,G 4 (x, y) = h G 1,,G 4 (x, y) 1 H G1,,G 4 (x, y) Expasões da Fução de Distribuição e da Desidade da Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A seguir, veremos os cálculos do desevolvimeto da expasão da fução geradora de desidade de probabilidade da classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ): Como Logo h G1,,G 4 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 exp ( b 1 ( G 1 (x) a 1 1 G 1 (x) ) ) = ( 1)k k b 1 a G 1 k k! 1 (x)(1 G 1 (x)) a 1k k=0 exp ( b 2 ( G 2 (x) a 2 1 G 2 (x) ) ) = ( 1)j j b 2 a G 2 j j! 2 (y)(1 G 2 (y)) a 2j g 1 (x) (1 G 1 (x)) 2 ( G a 1 1 1(x) 1 G 1 (x) ) ( 1)k k b 1 k! g 2 (y) (1 G 2 (y)) 2 ( G 2(y) 1 G 2 (y) ) k=0 j=0 G 1 a 1 k (x)(1 G1 (x)) a 1k a 2 1 ( 1)j j b 2 a G 2 j j! 2 (y)(1 G2 (y)) a 2j j=0 h G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x) ( 1)k k b 1 a G 1 (k+1) 1 k! 1 (x)(1 G1 (x)) a 1(k+1) 1 k=0 g 2 (y) ( 1)j j b 2 a G 2 (j+1) j! 2 (y)(1 G2 (y)) a 2(j+1) 1 j=0 Como

145 143 Logo temos (1 G 1 (x)) a 1 (k+1) 1 = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( 1) l G l l 1 (x) l=0 (1 G 2 (y)) a 2 (j+1) 1 = ( a 2 (j + 1) 1 ) ( 1) s G s s 2 (y) s=0 h G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x)g 2 (y) ( 1)k k b 1 a G 1 (k+1) 1 k! 1 (x) ( a 1 (k + 1) 1 ) ( 1) l G l l 1 (x) k=0 l=0 ( 1)j j b 2 a G 2 (j+1) j! 2 (y) ( a 2 (j + 1) 1 ) ( 1) s G s s 2 (y) j=0 s=0 h G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x) ( a 1(k + 1) 1 ( 1) k+l k b 1 a ) G 1 (k+1) 1 l l k! 1 (x)g1(x) k=0 l=0 g 2 (y) ( a 2(j + 1) 1 ( 1) j+i j b 2 a ) G 2 (j+1) 1 s s j! 2 (y)g4(y) j=0 s=0 h G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x)g 2 (y) ( a 1 (k + 1) 1 ( 1) k+l k b 1 a ) G 1 (k+1)+l 1 l k! 1 (x) k=0 l=0 ( a 2 (j + 1) 1 ( 1) j+s j b ) 2 a G 2 (j+1)+s 1 s j! 2 (y) j=0 s=0 + + h G1,G 2 (x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x)g 2 (y) ( a 1(k + 1) 1 ) ( a 2(j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 i=0 ( 1) k+j+j+s b k j 1 b 2 a G 1 (k+1)+l 1 a k! j! 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y) Como Logo teremos: y x H G1,G 2 (x, y) = f G1 (t,g 2 1, t 2 ) dt 1 dt 2 0 0

146 144 H G1,G 2 (x, y) = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b 2 (a 1 (k + 1) + l)(a 2 (j + 1) + i)k! j! G a 1 (k+1)+l a 1 (x)g 2 (j+1)+s 2 (y) Expasão para os mometos bivariados de ordes m 1 e m 2 para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Utilizado a expasão da fdp, podemos obter a expasão para os mometos bivariados de ordes m 1 e m 2 para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ): Como μ m1,m 2 = E[X 1 m 1 X 2 m 2 ] = x 1 m 1 x 2 m 2 df(x 1, x 2 ) + + Logo, teremos: + + μ m1,m 2 = x m 1y m 2 ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b 2 a g k! j! 1 (x)g 2 (y)g 1 (k+1)+l 1 a 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y)dxdy μ m1,m 2 = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b ) 2 l s k! j! + + k=0 l=0 j=0 s=0 x m 1y m a 2 g 1 (x)g 2 (y)g 1 (k+1)+l 1 a 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y)dxdy Portato, μ m1,m 2 = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b ) 2 l s k! j! k=0 l=0 j=0 s=0 τ m1,0,a 1 (k+1)+l 1,1τ m2,0,a 2 (j+1)+s 1,2 ode

147 145 + τ m,η,r,v = E(z m f v (z) η F v (z) r ) = z m f v (z) η F v (z) r df v (z) Em particular, para m 1 = 1 e m 2 = 1, teremos a expasão para a média bivariada μ 1,1 para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ) μ 1,1 = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b ) 2 l s k! j! k=0 l=0 j=0 s=0 τ 1,0,a1 (k+1)+l 1,1τ 1,0,a2 (j+1)+s 1, Expasão para a fução geradora de mometos bivariados para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para a fução geradora de mometos bivariados para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ): Como M X1 X 2 (t 1, t 2 ) = E (e t 1X 1 e t 2X 2) = e t 1 x 1 e t 2x 2 df(x 1, x 2 ) Logo, teremos: + + M XY (t 1, t 2 ) = e t1x e t2y ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) k+j+j+s b k j 1 b 2 a a k! j! 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x)g 2 (y)g 1 (k+1)+l 1 a 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y)dxdy M XY (t 1, t 2 ) = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b ) 2 l s k! j! + + k=0 l=0 j=0 s=0 e t1x e t 2y a g 1 (x)g 2 (y)g 1 (k+1)+l 1 a 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y)dxdy Como t 1 m x m e t1x = m=0 e e t2y = m! t r 2 y r r=0 r!

148 146 Portato, M XY (t 1, t 2 ) = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 m=0 r=0 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 1 b j+1 2 t m r 1 t 2 k! j! m! r! ode τ m,η,r,v = E(z m f v (z) η F v (z) r ) = τ m,0,a1 (k+1)+l 1,1τ r,0,a2 (j+1)+s 1,2 + z m f v (z) η F v (z) r df v (z) Expasão para a fução característica bivariada para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para a fução característica bivariada para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ): Como φ X1 X 2 (t 1, t 2 ) = E (e it 1X 1 e it 2X 2 ) = e it 1x 1 e it 2x 2 df(x 1, x 2 ) Logo, teremos: + + φ XY (t 1, t 2 ) = e it1x e it2y ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) k+j+j+s b k j 1 b 2 a a k! j! 1 a 2 b 1 b 2 g 1 (x)g 2 (y)g 1 (k+1)+l 1 a 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y)dxdy + + φ XY (t 1, t 2 ) = ( a 1(k + 1) 1 ) ( a 2(j + 1) 1 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b k+1 j+1 1 b ) 2 l s k! j! + + k=0 l=0 j=0 s=0 e it1x e it 2y a g 1 (x)g 2 (y)g 1 (k+1)+l 1 a 1 (x)g 2 (j+1)+s 1 2 (y)dxdy i m t 1 m x m Como e t1x = m=0 e e t2y = Portato, m! i r t r 2 y r r=0. r! φ XY (t 1, t 2 ) = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 m=0 r=0

149 147 ( 1) k+j+j+s i m+r a 1 a 2 b k+1 1 b j+1 2 t m r 1 t 2 k! j! m! r! Ode τ m,η,r,v = E(z m f v (z) η F v (z) r ) = τ m,0,a1 (k+1)+l 1,1τ r,0,a2 (j+1)+s 1,2. + z m f v (z) η F v (z) r df v (z) Expasão para os mometos cetrais bivariados de ordes m 1 e m 2 para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para os mometos cetrais bivariados de ordes m 1 e m 2 para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ): μ m1,m 2 Como + = E [(X 1 μ 1,0 ) m 1 (X2 μ 0,1 ) m 2 ] = (x1 μ 1,0 ) m 1 (x2 μ 0,1 ) m 2 df(x1, x 2 ) Temos Como m 1 r 1 =0 m 2 2=0 μ m1,m 2 = ( m 1 ) ( m 2 ) ( 1) r 1+r 2 r μ 1 r r 1 r 1,0 μ 2 0,1 μ m1 r 1,m 2 r 2 2 μ m1 r 1,m 2 r 2 = ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) k+j+j+s a 1 a 2 b 1 k+1 b 2 j+1 k! j! + τ m1 r 1,0,a 1 (k+1)+l 1,1τ m2 r 2,0,a 2 (j+1)+s 1,2. Portato, m 1 m 2 μ m1,m 2 = ( m 1 ) ( m 2 ) r 1 r 2 r 1 =0 r 2 =0 k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) r 1+r 2 +k+j+j+s a 1 a 2 b 1 k+1 b 2 j+1 k! j! ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s r μ 1 r 1,0 μ 2 0,1 τ m1 r 1,0,a 1 (k+1)+l 1,1τ m2 r 2,0,a 2 (j+1)+s 1,2 Em particular, para m 1 = 1 e m 2 = 1, teremos a expasão da covariâcia para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y), G 1 (x) ), é dada por: 1 G 2 (y) 1 G 1 (x)

150 148 = ( 1 ) ( 1 ) ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) r 1 r 2 l s μ 1,1 1 1 r 1 =0 r 2 =0 k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) r 1+r 2 +k+j+j+s a 1 a 2 b 1 k+1 b 2 j+1 k! j! r μ 1 r 1,0 μ 2 0,1 τ 1 r1,0,a 1 (k+1)+l 1,1τ 1 r2,0,a 2 (j+1)+s 1, Expasão para o coeficiete geral bivariado para a Classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão para o coeficiete geral para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ). teremos: Portato, Como C g (m 1, m 2 ) = E[(X 1 μ 1,0 ) m1 (X 2 μ 0,1 ) m2 ] C g (m) = m r=0 k=0 μ m1 2 2,0 μ 0,2 m2 2 = E[(X m 1 μ 1,0 ) 1 (X 2 μ 0,1 ) m2 ] σ m1 1 σ m2 2 C g (m 1, m 2 ) = μ m 1,m 2 m σ 1 m 1 σ 2 2 ( 1) k+j+r β α+k μ r j=0 k!γ(α) ( 1) k+j+r β α+k μ r j=0 k!γ(α) ( m r ) (k+α 1, etão ) τ j m r,0,j α k 1,1 2 ( r=0 ( 2 r ) (k+α 1 τ 2 r,0,j α k 1,1 ) k=0 j ) m 2 Em particular, para m 1 = 3 e m 2 = 3, teremos a expasão para o coeficiete de assimetria do caso particular da classe da distribuição Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ), é dada por: C a = C g (3,3) Similarmete, para m 1 = 4 e m 2 = 4, teremos a expasão para o coeficiete de curtose do caso particular da classe da distribuição Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ), é dada por: C c = C g (4,4).

151 Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros para a classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A seguir, veremos os cálculos do desevolvimeto das fuções escores em relação aos parâmetros para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ): Como g 1 (x j ; θ) Logh G1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = Log(a 1 a 2 b 1 b 2 ) + Log ( (1 G 1 (x j ; θ)) 2) +(a 1 1) Log ( G 1(x j ; θ) 1 G 1 (x j ; θ) ) b 1 ( G 1(x j ; θ) 1 G 1 (x j ; θ) ) Log ( g 2 (y j ; β) (1 G 2 (y j ; β)) 2 ) + (a 2 1) Log ( G 2 (y j ; β) 1 G 2 (y j ; β) ) b 2 ( G 2 (y j ; β) 1 G 2 (y j ; β) ) a 1 + a 2 Logo teremos que: Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = + Log ( G 1(x j ; θ) a 1 a 1 1 G 1 (x j ; θ) ) a 1 b 1 ( G 1(x j ; θ) 1 G 1 (x j ; θ) ) a 1 1 log ( G 1(x j ; θ) 1 G 1 (x j ; θ) ) Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = + Log ( G 2 (y j ; β) a 2 a 2 1 G 2 (y j ; β) ) i=1 a 1 b 1 ( G 2 (y j ; β) 1 G 2 (y j ; β) ) a 1 1 log ( G 2 (y j ; β) 1 G 2 (y j ; β) ) Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = ( G 1(x j ; θ) b 1 b 1 1 G 1 (x j ; θ) ) a 1

152 150 Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = ( G 2 (y j ; β) b 2 b 2 1 G 2 (y j ; β) ) a 2 Log ( Logh G1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = θ k θ k +(a 1 1) Log ( G 1(x j ;θ) 1 G 1 (x j ;θ) ) θ k b 1 ( G 1(x j ;θ) 1 G 1 (x j ;θ) ) a 1 θ k g 1 (x j;θ) 2) (1 G 1 (x j ;θ)) + Log ( Logh G1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, β, θ) = β l β l +(a 2 1) Log ( G 2(y j ;β) 1 G 2 (y j ;β) ) β l b 2 ( G 2(y j ;β) 1 G 2 (y j ;β) ) a2 β l g 1 (x j;θ) 2) (1 G 1 (x j ;θ)) Etropia bivariada de Réyi usado a classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) A etropia é uma medida de icerteza, o setido que se maior o valor da etropia meor a iformação e maior a icerteza, ou seja, maior a aleatoriedade ou desordem. A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão da etropia bivariada para a classe Weibull bivariada ( G 2 (y), G 1 (x) ), usado a etropia de 1 G 2 (y) 1 G 1 (x) Réyi: Como exp ( ηb 1 ( G 1 (x) a 1 1 G 1 (x) ) ) = ( 1)k η k k b 1 ka G 1 k! 1 (x)(1 G 1 (x)) ka 1 Logo k=0 exp ( ηb 2 ( G 2 (y) a 2 1 G 2 (y) ) ) = ( 1)j η j j b 2 ja G 2 j! 2 (y)(1 G 2 (y)) ja 2 j=0

153 151 η (x) = g η 1 (x) ( 1)k η k a η η+k 1 b 1 η(a G 1 1)+ka 1 k! 1 (x)(1 G 1 (x)) η(a 1 1) ka 1 h G1 h G2 k=0 η (y) = g η 2 (y) ( 1)j η j a η η+j 2 b 2 η(a G 2 1)+ja 2 j! 2 (y)(1 G 2 (y)) η(a 2 1) ja 2 Como j=0 (1 G 1 (x)) η(a 1 1) ka 1 = ( η(a 1 1) ka 1 ) ( 1) l G l l 1 (x) l=0 (1 G 2 (y)) η(a 2 1) ja 2 = ( η(a 2 1) ja 2 ) ( 1) r G r r 2 (y) Logo temos h G1 r=0 η (x) = ( η(a 1 1) ka 1 ) ( 1)k+l η k a η η+k 1 b 1 l k! h G2 Logo temos + h G1 k=0 l=0 g 1 η (x)g 1 η(a 1 1)+ka 1 +l (x) η (y) = ( η(a 2 1) ja 2 ) ( 1)j+r η j a η η+j 2 b 2 g η η(a r j! 2 (y)g 2 1)+ja 2 +r 2 (y) j=0 r=0 η (x) dx = ( η(a 1 1) ka 1 ) ( 1)k+l η k η η+k a 1b1 l k! + h G1 k=0 l=0 η (x) dx = ( η(a 1 1) ka 1 ) ( 1)k+l η k a η η+k 1 b 1 l k! k=0 l=0 + g η η(a 1 (x)g 1 1)+ka 1 +l 1 (x) τ 0,η,η(a1 1)+ka 1 +l,1 dx + h G2 Como, Assim, η (y) dy = ( η(a 2 1) ja 2 ) ( 1)j+r η j η η+j a 2b2 r j! + h G2 Portato, j=0 r=0 η (y) dy = ( η(a 2 1) ja 2 ) ( 1)j+r η j a η η+j 2 b 2 r j! + j=0 r=0 + η h G1,G 2 (x, y) dxdy = + + h G1 + g η η(a 2 (y)g 2 1)+ja 2 +r 2 (y) η (x) dx L R (η) = 1 1 η log ( h η G (x) 1 dx + h G2 + h G2 τ 0,η,η(a2 1)+ja 2 +r,2 η (y) dy η (y) dy) dy

154 152 L R (η) = 1 1 η log { ( η(a 1 1) ka 1 ) ( η(a 2 1) ja 2 ) l r k=0 l=0 k=0 l=0 ( 1) k+l+j+r η k+j a η 1 b η+k 1 a η η+j 2 b 2 k! j! τ 0,η,η(a1 1)+ka 1 +l,1τ 0,η,η(a2 1)+ja 2 +r,2} Podemos escrever a fução risco da seguite maeira: L R (η) = 1 1 η log ( ( η(a 1 1) ka 1 ) ( 1)k+l η k a η η+k 1 b 1 l k! k=0 l= η log ( ( η(a 2 1) ja 2 ) ( 1)j+r η j a η η+j 2 b 2 r j! j=0 r=0 τ 0,η,η(a1 1)+ka 1 +l,1) τ 0,η,η(a2 1)+ja 2 +r,2) Costrução de uma distribuição da classe Weibull bivariada (G2(y)/(1-G2(y)),G1(x)/(1-G1(x))) Como já vimos o iício deste capítulo e o tópico aterior propomos um método gerador de distribuições e classes de distribuições, ode geramos uma classe deomiada Weibull bivariada ( G 2 (y), G 1 (x) ), em que iremos aplicá-las 1 G 2 (y) 1 G 1 (x) cosiderado G 1 (x) = 1 e λ 1x e G 2 (y) = 1 e λ 2y Distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Cosiderado G 1 (x) e G 2 (y) as fda s das distribuições expoeciais de parâmetros λ 1 e λ 2 o fucioal gerador da classe Weibull bivariada ( G 2 (y) 1 G 2 (y), G 1 (x) 1 G 1 (x) ), teremos a distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ): e λ 1x 1 a H(x, y) = a 1 a 2 b 1 b 2 t 1 1 a 1 t e b 1t a1 1 b 2 t a2 2 dt 1 dt 2 0 e λ 2y 1 0 H(x, y) = (1 exp( b 1 (e λ 1x 1) a1 )) (1 exp( b 2 (e λ 2y 1) a2 )) Derivado H(x, y), teremos a fução desidade de probabilidade Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ): h(x, y) = λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 (e λ 1x 1) a 1 1 (e λ 2 y 1) a 2 1 e λ 1 x+λ 2 y b 1 (e λ 1x 1) a 1 b2 (e λ 2y 1) a 2.

155 153 As figuras a mostram os gráficos da fução desidade de probabilidade represetada pelas superfícies e pelos cotoros do modelo proposto deomiado de distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) gerados a partir de 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) algus valores atribuídos aos parâmetros caracterizado algumas possíveis formas. Outros gráficos desta fução está o apêdice B. Figura Superfície da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) Figura Cotoro da fdp da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) )

156 Fução de Risco bivariado usado a distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Podemos aida obter a fução de risco usado a distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) da seguite forma: 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) Portato, R(x, y) = h(x, y) 1 H(x, y) R(x, y) = λ 1λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 (e λ1x 1) a 1 1 (e λ 2 y 1) a 2 1 e λ 1 x+λ 2 y b 1 (e λ1x a1 1) b2 (e λ2y 1) a 2. 1 (1 exp( b 1 (e λ1x 1) a 1))(1 exp( b 2 (e λ2y 1) a 2)) As figuras a mostram os gráficos da fução risco represetada pelas superfícies e pelos cotoros do modelo proposto deomiado de distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) gerados a partir de algus valores 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) atribuídos aos parâmetros. Outros gráficos desta fução, ecotram-se o apêdice B. Figura Superfície da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) )

157 155 Figura Cotoro da fução de risco da Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ) Expasões das Fuções de Distribuição e da Desidade da Weibull bivariada (Exp 2 (y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Podemos obter a expasão da fução desidade de probabilidade da Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ), da seguite maeira. 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) Como Logo exp( b 1 (e λ1x 1) a1 ) = ( 1)k k b 1 (e λ1x 1) ka 1 k! k=0 exp( b 2 (e λ2x 1) a2 ) = ( 1)l l b 2 (e λ2y 1) la 2 l! l=0

158 156 h(x, y) = λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 (e λ1x 1) a 1 1 (e λ 2 y 1) a 2 1 e λ 1 x+λ 2 y ( 1)k k b 1 (e λ1x 1) ka1 ( 1)l l b 2 (e λ2y 1) la 2 k! l! h(x, y) = λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 e λ 1x+λ 2 y ( 1)k k b 1 (e λ1x 1) (k+1)a 1 1 ( 1) l l b 2 (e λ2y 1) (l+1)a 2 1 k! l! k=0 k=0 l=0 l=0 Como Temos, (e λ1x 1) (k+1)a 1 1 (k + 1)a 1 1 = ( ) ( 1) j j j=0 (e λ2y 1) (l+1)a 2 1 (l + 1)a 2 1 = ( ) ( 1) s i s=0 h(x, y) = λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 ( (k + 1)a 1 1 ( 1) k+j k b 1 ) j k! k=0 j=0 ( (l + 1)a 2 1 ( 1) l+s l b 2 ) s l! l=0 i s=0 e λ 2 ((l+1)a 2 s)y e λ 1((k+1)a 1 j 1)x e λ 2((l+1)a 2 s 1)y e λ 1 ((k+1)a 1 j)x Portato, h(x, y) = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ) j s k=0 j=0 l=0 s=0 ( 1) k+j+l+s λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 k+1 b 2 l+1 k! l! e λ 1 ((k+1)a 1 j)x+λ 2 ((l+1)a 2 s)y Como Logo teremos y x H(x, y) = f web1 (t 1, t 2 ) dt 1 dt 2 H(x, y) = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ) j s k=0 j=0 l=0 s=0 λ 1 λ 2 a 1 a 2 ( 1) k+j+l+s b 1 k+1 b 2 l+1 (λ 1 ((k + 1)a 1 j))(λ 2 ((l + 1)a 2 s))k! l! e λ 1 ((k+1)a 1 j)x+λ 2 ((l+1)a 2 s)y 0 0

159 Expasão para os mometos bivariados de ordes m 1 e m 2 da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Utilizado a expasão da fdp, podemos obter a expasão para os mometos bivariados de ordes m 1 e m 2 da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ): Como Logo, teremos: Assim, μ m1,m 2 = E[X 1 m 1 X 2 m 2 ] = x 1 m 1 x 2 m 2 df(x 1, x 2 ) + + μ m1,m 2 = E(X m 1Y m 2 ) = x m 1 y m 2f web1 (x, y)dxdy μ m1,m 2 = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ( 1) k+j+l+s b k l 1 b 2 ) j s k! l! k=0 j=0 l=0 s=0 λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 Γ(m 1 + 1)Γ(m 2 + 1) (λ 1 ((k + 1)a 1 j)) m 1+1 (λ2 ((l + 1)a 2 s)) m 2+1 Em particular, para m 1 = 1 e m 2 = 1, teremos a média bivariada da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ): μ 1,1 = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ( 1) k+j+l+s b k l 1 b 2 ) j s k! l! k=0 j=0 l=0 s=0 λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 (λ 1 λ 2 ((k + 1)a 1 j)((l + 1)a 2 s)) Expasão para a fução geradora de mometos da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) A expasão para a fução geradora de mometos da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) pode ser obtida da seguite maeira: 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x)

160 158 Como Temos + M XY (t 1, t 2 ) = E (e t 1X+t 2 Y ) = e t 1x+t 2 y f web1 (x, y)dxdy 0 M XY (t 1, t 2 ) = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ( 1) k+j+l+s λ 1 λ 2 a 1 a 2 b k+1 l+1 1 b 2 ) j s k! l! k=0 j=0 l=0 s=0 1 1 (λ 1 (j (k + 1)a 1 ) t 1 ) (λ 2 (s (l + 1)a 2 ) t 2 ) Expasão para a fução característica da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Similarmete a expasão para a fução característica da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) pode ser obtida como a seguir: 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) Como Temos + φ XY (t 1, t 2 ) = E (e it 1X+it 2 Y ) = e it 1x+it 2 y f web1 (x, y)dxdy φ XY (t 1, t 2 ) = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ( 1) k+j+l+s λ 1 λ 2 a 1 a 2 b k+1 l+1 1 b 2 ) j s k!! k=0 j=0 l=0 s=0 1 1 (λ 1 (j (k + 1)a 1 ) it 1 ) (λ 2 (s (l + 1)a 2 ) it 2 ) Expasão para os mometos cetrais bivariados de ordes m 1 e m 2 para a distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Podemos aida obter a expasão para os mometos cetrais bivariados de ordes m 1 e m 2 da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) da seguite 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) forma:

161 159 Como e m 1 m 2 μ m1,m 2 = ( m 1 ) r 1 r 1 =0 r 2 =0 ( m 2 ) ( 1) r 1+r 2 r μ 1 r r 1,0 μ 2 0,1 μ m1 r 1,m 2 r 2 2 μ m1 r 1,m 2 r 2 = ( (k + 1)a 1 1 ) ( (l + 1)a 2 1 ( 1) k+j+l+s b k l 1 b 2 ) j s k! l! k=0 j=0 l=0 s=0 λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 Γ(m 1 r 1 + 1)Γ(m 2 r 2 + 1) = (λ 1 ((k + 1)a 1 j)) m 1 r 1 +1 (λ2 ((l + 1)a 2 s)) m 2 r 2 +1 Logo teremos, m 1 m 2 μ m1,m 2 = ( m 1 ) ( m 2 ) r 1 r 2 r 1 =0 r 2 =0 k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) r 1+r 2 +k+j+j+s a 1 a 2 b 1 k+1 b 2 j+1 k! j! ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) l s r μ 1 r 1,0 μ 2 0,1 λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 Γ(m 1 r 1 + 1)Γ(m 2 r 2 + 1) (λ 1 ((k + 1)a 1 j)) m 1 r 1 +1 (λ2 ((l + 1)a 2 s)) m 2 r 2 +1 Em particular, para m 1 = 1 e m 2 = 1, teremos a expasão da covariâcia para a distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) dada por: 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) = ( 1 ) ( 1 ) ( a 1 (k + 1) 1 ) ( a 2 (j + 1) 1 ) r 1 r 2 l s μ 1,1 1 1 r 1 =0 r 2 =0 k=0 l=0 j=0 s=0 ( 1) r 1+r 2 +k+j+j+s a 1 a 2 b 1 k+1 b 2 j+1 k! j! r μ 1 r 1,0 μ 2 0,1 λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 Γ(2 r 1 )Γ(2 r 2 ) (λ 1 ((k + 1)a 1 j)) 2 r1 (λ 2 ((l + 1)a 2 s)) 2 r Expasão para o coeficiete geral bivariado da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) Pode-se aida calcular a expasão para o coeficiete geral bivariado da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) da seguite maeira: 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x)

162 160 Como C g (m 1, m 2 ) = E[(X 1 μ 1,0 ) m1 (X 2 μ 0,1 ) m2 ] μ m1 2 2,0 μ 0,2 m2 2 = E[(X m 1 μ 1,0 ) 1 (X 2 μ 0,1 ) m2 ] σ m1 1 σ m2 2, etão teremos: C g (m 1, m 2 ) = μ m 1,m 2 m σ 1 m 1 σ 2 2 Em particular, para m 1 = 3 e m 2 = 3, teremos a expasão para o coeficiete de assimetria bivariada da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ), é dada 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) por: C a = C g (3,3) Similarmete, para m 1 = 4 e m 2 = 4, teremos a expasão para o coeficiete de curtose bivariado da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ), é dada 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) por: C c = C g (4,4) Derivadas da fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros da distribuição Weibull bivariada (Exp2(y)/(1- Exp 2(y)), Exp 1(x)/(1- Exp 1(x))) A seguir, veremos as derivadas fução log-verossimilhaça em relação aos parâmetros da distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y) 1 Exp 2 (y), Exp 1 (x) 1 Exp 1 (x) ): Como Logh G1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = Log(λ 1 λ 2 a 1 a 2 b 1 b 2 ) + +(a 1 1) Log(e λ 1x j 1) + (a 2 1) Log(e λ 2y j 1) + λ 1 x j + λ 2 y j b 1 (e λ 1x j 1) a 1 b 2 (e λ 2y j 1) a 2

163 161 Logo teremos que: Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = + Log(e λ 1x j 1) a 1 a 1 a 1 b 1 (e λ 1x j 1) a 1 log(e λ 1x j 1) Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = + Log(e λ 2y j 1) a 2 a 2 i=1 a 2 b 2 (e λ 2y j 1) a 2 log(e λ 2y j 1) Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = (e λ 1x j 1) a 1 b 1 b 1 Logh G 1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = (e λ 2y j 1) a 2 b 2 b 2 Logh G1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = + (a λ 1 λ 1 1) x je λ 1x j 1 (e λ + x 1x j j 1) Logh G1,G 2 (x j, y j ; a 1, a 2, b 1, b 2, λ 1, λ 2 ) = y j e λ 2y j + (a λ 2 λ 2 1) 2 (e λ + y 2y j j 1) Etropia bivariada de Réyi usado a classe Weibull bivariada (G2(y)/(1- G 2(y)), G 1(x)/(1- G 1(x))) A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão da etropia para a distribuição gama- expoecial 3, usado a etropia de Réyi:

164 162 A seguir veremos o desevolvimeto dos cálculos da expasão da etropia bivariada para a distribuição Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ), usado a 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) etropia de Réyi: Temos Como Logo teremos Como exp( ηb 1 (e λ1x 1) a1 ) = ( 1)k η k k b 1 (e λ1x 1) ka 1 k! k=0 exp( ηb 2 (e λ2y 1) a2 ) = ( 1)j η j j b 2 (e λ2y 1) ja 2 j! h G1 j=0 η (x) = ( 1)k η k λ η 1 a η η+k 1 b 1 e λ1x (e λ1x 1) (k+1)a 1 1 k! h G2 k=0 η (y) = ( 1)j η j λ η 2 a η η+j 2 b 2 e λ 2y (e λ2y 1) (j+1)a 1 1 j! j=0 (e λ1x 1) (k+1)a 1 1 (k + 1)a 1 1 = ( ) ( 1) l l l=0 (e λ2y 1) (j+1)a 1 1 (j + 1)a 1 1 = ( ) ( 1) r r Etão teremos h G1 r=0 η (x) = ( (k + 1)a 1 1 ) ( 1)k+l η k λ η 1 a η η+k 1 b 1 l k! h G2 + h G1 0 k=0 l=0 η (y) = ( (j + 1)a 1 1 ) ( 1)j+r η j λ η 2 a η η+j 2 b 2 r j! j=0 r=0 η (x) dx = ( (k + 1)a 1 1 ) ( 1)k+l η k λ η 1 a η η+k 1 b 1 l k! k=0 l=0 e λ 1((k+1)a 1 l 1)x e λ 2((j+1)a 1 r 1)y e λ 1((k+1)a 1 l)x e λ 2((j+1)a 1 r)y + e λ 1((k+1)a 1 l)x 0 dx + h G2 0 Como, η (y) dy = ( (j + 1)a 1 1 ) ( 1)j+r η j η λ η η+j 2a2 b 2 r j! j=0 r=0 + e λ 2((j+1)a 1 r)y 0 dy

165 η h G1,G 2 (x, y) dxdy = h G1 0 η (x) dx Assim, L R (η) = η log ( h η G (x) 1 dx Portato, 0 + h G2 0 + h G2 0 η (y) dy η (y) dy) L R (η) = 1 1 η log { ((k + 1)a 1 1 ) ( (j + 1)a 1 1 ) l r k=0 l=0 k=0 l=0 ( 1) k+l+j+r η k+j λ η 1 a η 1 b η+k 1 λ η 2 a η η+j b 2 e λ 1((k+1)a 1 l)x+λ 2 ((j+1)a 1 r)y dx dy} k! j! 0 0 Podemos escrever a fução risco da seguite maeira: L R (η) = 1 1 η log ( ((k + 1)a 1 1 ) ( 1)k+l η k λ η 1 a η η+k 1 b 1 l k! k=0 l= η log ( ((j + 1)a 1 1 ) ( 1)j+r η j λ η 2 a η η+j 2 b 2 r j! j=0 r=0 0 + e λ 1((k+1)a 1 l)x + e λ 2((j+1)a 1 r)y 0 dy) dx) Aplicação Neste tópico mostraremos resultados obtidos, bem como os gráficos para melhor aálise e discussão dos resultados a serem obtidos pelo mesmo, podedo assim, compará-lo com outros existetes a literatura. Escolhemos a largamete utilizada base de dados da Flor Iris para este estudo, uma vez que a base de dados aqui utilizada é a mesma que exposta o trabalho de Fisher (1936) e citada por ceteas de trabalhos, etre eles: Duda & Hart (1973), Zhog & Fukushima (2007), Tug, Xu & Ooi (2005); este cojuto de dados cotém três tipos de Iris: Iris Setosa, Iris Versicolor e Iris Virgiica; com 50 medidas de partes diferetes dessas Iris (comprimeto e largura da sépala em cm; comprimeto e largura da pétala em cm), que este estudo escolhemos apeas as 50 medidas da largura e as 50 medidas do comprimeto da pétala. Normalmete as Iris crescem em colôias cotedo muitas platas particulares; uma peculiaridade que facilita a localização e estudo de grades úmeros de idivíduos (ANDERSON, 1936). A partir da técica de discrimiate liear itroduzida o mesmo artigo de 1936, os dados se toraram uma

166 164 referêcia para testes de classificação em Apredizado de Máquia (KOTSIANTIS e PINTELAS, 2005; FISCHER e POLAND, 2005). Os dados ecotram-se o Apêdice G. As Figuras (a) e (b) abaixo represetam os histogramas dos dados das pétalas da Flor Iris em duas perspectivas. Figura (a) Histograma dos dados das pétalas da Flor Iris em perspectiva (a) Figura (b) Histograma dos dados das pétalas da Flor Iris em perspectiva (b)

167 165 Na Tabela podemos ver as estimativas dos parâmetros, erros padrões, para as distribuições Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) (M4.1), gama 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) expoecial bivariado (M4.2), Kumaraswamy expoecial bivariado (M4.3), Weibull modificado bivariado (M4.4), beta Pareto bivariado (M4.5) e Weibull bivariado (M4.6). Tabela Estimativa dos parâmetros, dos erros para as distribuições M4.1 a M4.6 Modelos Estatísticas α 1 β 1 λ 1 α 2 β 2 λ 2 θ 1 θ 2 M4.1 1,088 (0,245) 0,091 (0,044) 0,514 (0,171) 0,695 (0,116) 0,182 (0,051) 1,703 (0,413) M4.2 3,523 (0,389) M4.3 2,34 (0,166) M4.4 1,071 (0,324) M4.5 92,38 (<10-5) M4.6 2,329 (0,163) 0,474 (0,053) 7729,3 (<10-6) 0,038 (0,01) 60,88 (<10-4) ,98 (0,013) 0,005 (0,001) 0,373 (0,096) 0,164 (0,009) 0,235 (0,009) 1,542 (0,162) 1,439 (0,1) 0,699 (0,139) 97,657 (<10-6) 1,439 (0,102) 0,629 (0,071) 2709,536 (<10-6) 0,241 (0,055) 73,33 (<10-4) ,043 (0,022) 0,003 (0,001) 0,79 (0,145) 0,086 (0,005) 0,763 (0,045) ,114 (0,004) ,17E-5 (<10-4) A seguir temos as Figuras a apresetado os gráficos de cotoros e de superfície ajustados para cada modelo.

168 166

169 167 Na Tabela podemos ver as estimativas, obtidas pelo método de Newto-Raphso implemetados o software estatísticos SAS 9.1, dos parâmetros, erros padrões, critério de iformação de Akaike, critério de iformação de Akaike corrigido, critério de iformação Bayesiao e critério de iformação de Haa-Qui para as distribuições Weibull bivariada ( Exp 2 (y), Exp 1 (x) ) (M4.1), gama expoecial 1 Exp 2 (y) 1 Exp 1 (x) bivariado (M4.2), Kumaraswamy expoecial birariado (M4.3), Weibull modificado bivariado (M4.4), beta Pareto bivariado (M4.5) e Weibull bivariado (M4.6),