ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO ASSINTÓTICA DOS ESTIMADORES DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL NA PRESENÇA DE DADOS SUJEITOS A CENSURA ALEATÓRIA

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1 ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO ASSINTÓTICA DOS ESTIMADORES DOS PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO WEIBULL NA PRESENÇA DE DADOS SUJEITOS A CENSURA ALEATÓRIA Almir MANTOVANI Maria Aarecida de Paiva FRANCO 2 RESUMO: O objetivo deste trabalho foi realizar um estudo sobre a distribuição dos estimadores de máxima verossimilhaça dos arâmetros da Weibull a reseça de dados cesurados utilizado simulação. Esecificamete cosiderou-se o caso em que a iferêcia sobre os arâmetros é feita a artir da observação de uma amostra de tamaho de (X,δ) ode X= míimo(t,c), sedo que T tem distribuição de Weibull com arâmetros e, C é uma variável aleatória ideedete de T com distribuição Uiforme em (0,c), e δ é uma idicadora do eveto (X=T). Foram simuladas.000 amostras de (X,δ) ara cada um dos seguites tamahos de amostra: 0, 20 e 50, ara diversos valores de c e diferetes orcetages eseradas de cesura. Os resultados aotam ara a validade da aroximação assitótica ormal ara as distribuições margiais dos estimadores de máxima verossimilhaça dos arâmetros da Weibull a reseça de cesura. PALAVRAS-CHAVE: Aálise de sobrevivêcia; cesuras; distribuição assitótica; máxima verossimilhaça; simulação; Weibull. Itrodução Na ausêcia de cesura e sob codições de regularidade sobre a fução desidade de robabilidade f(t,θ) de uma variável aleatória T, os estimadores de máxima verossimilhaça do vetor de arâmetros θ a artir de uma amostra aleatória de tamaho de T, têm uma distribuição assitótica cojuta ormal multivariada com vetor de médias igual ao vetor de arâmetros e com matriz de covariâcia igual à iversa da matriz de Iformação de Fisher (Cordeiro, 992, Leite e Siger, 990). Quado T tem distribuição de Weibull com dois arâmetros estas codições são satisfeitas (Kotz e Johso, 988,.55). No etato, o mesmo ão ocorre com a distribuição de Weibull com três arâmetros (Johso e Kotz, 970,.256). É rática usual a literatura de Aálise de Sobrevivêcia (Kalbfleisch e Pretice, 980, Lawless, 982) usar o Teorema sobre a distribuição assitótica dos estimadores de Deartameto de Educação, Ciêcias Sociais e Política Iteracioal; Faculdade de História, Direito e Serviço Social; Uiversidade Estadual Paulista - UNESP, CEP , Fraca, SP, Brasil. almir@fraca.ues.br 2 Deartameto de Estatística, Uiversidade Federal de São Carlos - UFSCar, CEP , São Carlos, SP, Brasil. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20,

2 máxima verossimilhaça deduzido sob codições de regularidade da distribuição de T, mesmo o caso em que os estimadores são obtidos a artir de observações ossivelmete cesuradas de T. O objetivo deste trabalho é fazer um estudo or simulação da validade de tal rocedimeto o caso em que T tem distribuição de Weibull com dois arâmetros, e as observações são sujeitas à cesura tio I or uma variável C com distribuição Uiforme. Foram escolhidos diversos tamahos de amostras e diversos valores ara os arâmetros da Weibull. Para avaliar o efeito da orcetagem de observações cesuradas a amostra sobre roriedades destes estimadores, foram calculados os valores do arâmetro c da distribuição Uiforme em (0,c) que roiciam determiadas orcetages eseradas de valores cesurados. Na seção 2 deste trabalho, é aresetada a arametrização usada ara reresetar a distribuição de Weibull e a exressão da fução de verossimilhaça ara os arâmetros da Weibull, a artir de amostras de tamaho, sujeitas à cesura or uma variável aleatória ideedete C. Aida esta seção, é aresetado o desevolvimeto feito aqui ara calcular P(T>C), isto é, a robabilidade de se obter um valor cesurado, como fução dos arâmetros da Weibull e da Uiforme, quado T e C são ideedetes. Os valores escolhidos dos arâmetros das distribuições de Weibull e Uiforme ara o estudo or simulação estão a Tabela. Na seção 3, estão descritos os rocedimetos realizados ara o estudo or simulação da estimação dos arâmetros or máxima verossimilhaça, o caso de distribuições de Weibull com dados cesurados. Na seção 4, são aresetados os resultados relativos ao estudo emírico das roriedades dos estimadores de Máxima Verossimilhaça. Na seção 5 ecotra-se a Coclusão seguida do Abstract e das Referêcias. 2 Estimação dos arâmetros da distribuição de Weibull or máxima verossimilhaça Se a distribuição do temo de vida T ertece à família Weibull com arâmetro de forma e de escala, as fuções desidade de robabilidade, de sobrevivêcia e de risco são dadas resectivamete or (2.), (2.2) e (2.3), (Lee, 992, Miller, 98). f T (t) = t t ex t 0,, > 0 (2.) S T (t) = t ex, (2.2) h(t) = t, ara t 0,, > 0 (2.3) Quado algumas das observações são cesuradas em uma amostra de idivíduos observados sob um esquema de cesura aleatória tio I, e os temos de vida seguem a 8 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

3 distribuição Weibull com fução desidade dada or (2.), a fução de verossimilhaça dos arâmetros e é dada or (2.4). δ L(,) = ( f i T ( ti ;, )) i = i= ( S ( t ;, )) i. (2.4) Com relação à fução de risco e à fução de Sobrevivêcia, a fução de verossimilhaça ode, aida, ser escrita como: Portato, T i δ δ L(,) = ( h i T ( ti ;, )) ( ST ( ti ;, ) ), (2.5) i = i= L(,) = i= δi ti i= O logaritmo da fução de verossimilhaça é t ex i. log[l(,)] = r log() r log() + (-) δi log( i t i t ) (2.6) (2.7) ode r =δ i é o úmero de observações ão cesuradas. i= A exressão (2.7) foi utilizada, este trabalho, o rograma comutacioal escrito ara o cálculo das estimativas dos arâmetros de uma distribuição de Weibull. De (2.7), obtém-se e log L(, ) r = t i + log L(, ) r = - r log()+δi log( i i= t ) t i ti log (2.8) As exressões (2.8), ara as derivadas arciais da fução de log verossimilhaça, odem ser utilizadas ara o cálculo das estimativas de máxima verossimilhaça dos arâmetros através do método de Newto Rahso. Resultados da literatura afirmam que as codições de regularidade exigidas ara os resultados assitóticos a reseito da Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20,

4 distribuição de máxima verossimilhaça dos arâmetros são semre satisfeitas quado as observações são comletas (Kotz e Johso, 988,.55). 2. Porcetagem eserada de valores cesurados em amostras da distribuição de Weibull, com observações sujeitas a cesura aleatória do Tio I A robabilidade de obter um valor cesurado em uma observação de T e C é dada or P[T>C], que ode ser calculada, coforme exosto abaixo, o caso de cesura aleatória tio I, quado T e C são variáveis ão egativas e ideedetes: P[T>C] = t ft ( t) fc ( c) dcdt = f t) dt 0 0 ( f ( t) S ( t) dt T T C, (2.9) 0 0 Para o desevolvimeto do resete trabalho, foi ecessário calcular a robabilidade (2.9), quado T tem distribuição Weibull (,), e C tem distribuição Uiforme em [0,c]. Assim, a orcetagem eserada de cesuras, que só deede de e da razão c, é dada or: P[T>C] = c ex + c ( ) Γ + c ; Γ + (2.0) ode Γ x t ( x) = t e dt 0 é a Fução Gama e Γ x t ( x, z) = t e dt é a Fução Gama icomleta. z Na Figura, ilustra-se a orcetagem eserada de cesuras, através da fução g()=p[t>c], quado T tem distribuição de Weibull de arâmetros de forma e de escala =3,5 com cesura Uiforme em (0,5). Usado a exressão (2.0) e fixado-se o valor de um dos arâmetros, or exemlo, o arâmetro de escala, e o valor de C da distribuição Uiforme, obtém-se o valor do arâmetro de forma, de modo que P[T>C] seja igual a um valor P desejado, or 0 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

5 exemlo P=0,50. No caso da Figura, ode é igual a 3,5, ara obter 50% de cesuras é reciso que seja igual a. g() FIGURA - Fução g()=p[t>c] ara T com distribuição Weibull (; =3,5) e C com distribuição U (0,5), ideedete de T. 2.2 Escolha dos arâmetros das distribuições Weibull e Uiforme de modo a obter uma determiada orcetagem eserada de observações cesuradas Em amostras casuais de tamaho de (T,C), a orcetagem eserada de cesuras etre as observações é dada or P[T>C]. Em uma simulação de uma amostra de ares (T,C), a freqüêcia relativa de observações cesuradas a amostra é uma variável aleatória com Eseraça igual a P[T>C]. Pela lei forte dos grades úmeros, a freqüêcia relativa de observações cesuradas a amostra é róxima de sua Eseraça, de modo que, cerca de P[T>C]00% das observações a amostra serão cesuradas. Neste estudo de simulação, 42 diferetes casos ara os arâmetros das distribuições de T e de C foram aalisados. Os arâmetros ara a distribuição dos temos de vida foram escolhidos de modo que o coeficiete de variação assumisse os valores 0,25, 0,33, 0,4, 0,5, e 2. O limite suerior c da distribuição de cesura U(0,c) foi escolhido de modo a roduzir as roorções eseradas de observações cesuradas em amostras de tamaho de (X,δ) iguais a 0,25, 0,50 ou 0,75. A Tabela areseta as iformações referetes ao caso 2 e ao caso 25, cujos resultados gráficos (quatis e fuções desidades) são aresetados a seção 4. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

6 Tabela - Parâmetros da distribuição de T (Weibull) com coeficietes de variação esecificados, da distribuição de C (Uiforme) e orcetages eseradas de observações cesuradas Caso Parâmetros da Coeficiete distribuição de T de variação de T P Parâmetros da distribuição de C ª amostra 2ª amostra % eserada de cesuras ª amostra 2ª amostra 2, % 25% 25 0,4 2,5 4,22 5 7,45 25% 50% 3 Estudo or simulação da estimação dos arâmetros or máxima verossimilhaça, o caso de distribuições de Weibull com dados cesurados Em cada um dos 42 casos estudados, icluido os casos aresetados a Tabela, foram geradas.000 amostras ideedetes de mesmo tamaho de ares (T,C), ode T tem distribuição de Weibull e é ideedete de C que tem distribuição Uiforme. Cada ar (T,C) foi trasformado o ar (X,δ) ode X=míimo(T,C) e δ é a variável idicadora de cesura. Para cada caso, foi feito o estudo com amostras de tamaho 0, 20 e 50. Em cada uma das.000 amostras aleatórias ideedetes de ares de (X j ;δ) de um determiado tamaho, foram calculadas as estimativas de máxima verossimilhaça dos arâmetros da distribuição de T, utilizado um rograma escrito em S-Plus, que faz uso do rocedimeto NLMIN. Para verificar a validade da aroximação assitótica ela distribuição ormal da distribuição dos estimadores dos arâmetros da distribuição Weibull, com dados cesurados, foi feita a comaração das distribuições emíricas dos estimadores de máxima verossimilhaça dos arâmetros com a distribuição Normal, or meio do gráfico de desidades e de gráficos de quatis dessas distribuições emíricas versus quatis da distribuição Normal. 4 Resultados As Figuras 2, 3, 4, 5, 6 e 7 ilustram um dos casos estudados (caso 2), quado T tem distribuição de Weibull de arâmetros de forma = e de escala =,28, com cesura Uiforme em (0,5) e visam a comaração dos resultados obtidos or simulação, relativos à estimação dos arâmetros da distribuição Weibull or Máxima Verossimilhaça com os resultados assitóticos, válidos sob codições de regularidade. Nas Figuras 2, 3 e 4, comaram-se os quatis da distribuição emírica das estimativas dos arâmetros (à esquerda) e (à direita) com os quatis da distribuição ormal adrão, a artir de.000 amostras de (X,δ) (gráficos sueriores) e mais.000 amostras ideedetes de (X,δ) (gráficos iferiores), ara amostras de tamaho 0, 20 e 50 resectivamete. 2 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

7 FIGURA 2 - Quatis das estimativas or Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (;,28) e C~Uiforme (0, 5) versus quatis da ormal adrão, ara =0. FIGURA 3 - Quatis das estimativas or Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (;,28) e C~Uiforme (0, 5) versus quatis da ormal adrão, ara =20. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20,

8 FIGURA 4 - Quatis das estimativas or Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (;,28) e C~Uiforme (0, 5) versus quatis da ormal adrão, ara =50. As Figuras 2, 3 e 4 sugerem que a distribuição dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros se afasta da distribuição ormal as caudas das curvas, com afastameto mais acetuado à direita. Para amostras de tamaho 50, esse afastameto ocorre de maeira meos acetuada que os casos ode =0 ou 20. Nas Figuras 5, 6 e 7 estão as estimativas de fuções desidades dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de.000 amostras de (X,δ) (gráficos sueriores) e mais.000 amostras ideedetes de (X,δ) (gráficos iferiores), quado T tem distribuição de Weibull de arâmetros de forma = e de escala =,28, com cesura Uiforme em (0,5) ara amostras de tamaho 0, 20 e 50 resectivamete. FIGURA 5 - Estimativas das fuções desidade dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (;,28) e C~Uiforme (0, 5) ara =0. 4 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

9 FIGURA 6 - Estimativas das fuções desidade dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (;,28) e C~Uiforme (0, 5) ara =20. FIGURA 7 - Estimativas das fuções desidade dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (;,28) e C~Uiforme (0, 5) ara =50. As Figuras 5 e 6 cofirmam que a distribuição dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros se afasta da distribuição ormal as caudas das curvas ara amostras de tamaho 0 ou 20. Para amostras de tamaho 50 esse afastameto ocorre, orém, de maeira meos acetuada como ode ser observado a Figura 7. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20,

10 A seguir, ilustra-se o estudo realizado ara o caso 25, ode T tem distribuição de Weibull de arâmetros de forma =2,5 e de escala =4,22 e C tem distribuição Uiforme em (0,c). O valor do arâmetro da distribuição de C ara uma orcetagem eserada de cesura da ordem de 25% ara a rimeira amostra é c=5, e c=7,45 ara a seguda amostra ara uma orcetagem eserada de cesura da ordem de 50%. Nas Figuras 8, 9 e 0, comaram-se os quatis da distribuição emírica das estimativas dos arâmetros com os quatis da distribuição ormal adrão. FIGURA 8 - Quatis das estimativas or Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (2,5; 4,22) e C~Uiforme (0, c) versus quatis da ormal adrão, ara =0. FIGURA 9 - Quatis das estimativas or Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (2,5; 4,22) e C~Uiforme (0, c) versus quatis da ormal adrão, ara =20. 6 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

11 FIGURA 0 - Quatis das estimativas or Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (2,5; 4,22) e C~Uiforme (0, c) versus quatis da ormal adrão, ara =50. Nota-se, as Figuras 8, 9 e 0, que a distribuição dos estimadores de Máxima Verossimilhaça do arâmetro de forma se afasta da distribuição ormal as caudas das curvas e que o afastameto é meos acetuado ara o arâmetro de escala. As Figuras, 2 e 3 ilustram, ara amostras de tamaho 0, 20 e 50, resectivamete, as estimativas de fuções desidades dos estimadores de Máxima Verossimilhaça, quado T tem distribuição de Weibull de arâmetros de forma =2,5 e de escala =4,22 e C tem distribuição U(0; 5) ara a rimeira amostra, e U(0; 7,45) ara a seguda amostra. FIGURA - Estimativas das fuções desidade dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (2,5; 4,22) e C~Uiforme (0, c) ara =0. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20,

12 FIGURA 2 - Estimativas das fuções desidade dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (2,5; 4,22) e C~Uiforme (0, c) ara =20. FIGURA 3 - Estimativas das fuções desidade dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros (à esquerda) e (à direita), a artir de dois cojutos de.000 amostras de (X, δ), ara T~Weibull (2,5; 4,22) e C~Uiforme (0, c) ara =50. As Figuras e 2 sugerem que a distribuição dos estimadores de Máxima Verossimilhaça dos arâmetros se afasta de uma distribuição ormal, ricialmete as caudas das curvas e ara amostras de tamaho 0 e 20. Como observado as Figuras 8 e 9, esse afastameto é meos acetuado o caso dos arâmetros de escala. Para amostras de tamaho 50, o etato, as Figuras 0 e 3 sugerem que a distribuição assitótica dos estimadores se aroxima de uma distribuição ormal. 8 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20, 2004

13 Para a maioria dos 42 casos estudados, observou-se que os resultados obtidos ara as estimativas dos arâmetros da distribuição de Weibull or Máxima Verossimilhaça, eram semelhates aos dois casos aqui descritos. Coclusão Os resultados obtidos o estudo da distribuição assitótica dos estimadores de máxima verossimilhaça dos arâmetros da distribuição Weibull, sujeito a cesura aleatória à direita ela distribuição Uiforme, sugerem que a aroximação ormal aida ão é adequada, ricialmete o que se refere ao arâmetro de forma ara amostras de tamaho 0 e 20. Para amostras de tamaho 50 há uma idicação de que a aroximação ormal é satisfatória ara as distribuições margiais dos estimadores de cada um dos arâmetros (de forma e de escala). Este estudo deve ser cofirmado usado outras distribuições ara a variável de cesura C. MANTOVANI, A.; FRANCO, M. A. de P. A study o the asymtotic distributio of maximum likelihood estimators for a two-arameter Weibul distributio i cesored samles. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22,.3,.7-20, ABSTRACT: The objective of this work is to study by simulatio the asymtotic distributio of maximum likelihood estimators of the arameters of a Weibull distributio, whe observatios are subject to radom cesorshi. The study was made by suosig that C has a Uiform distributio i [0,c] ad is ideedet of T. The iferece is made from samles of (X,δ), where X= mi(t,c) ad δ is the idicator variable of the evet (X=T). The study comrises the simulatio of,000 samles of each oe of the followig sizes 0, 20 ad 50. Several values of c givig differet exected ercetages of cesored values i the samle were cosidered. The coclusio is that there is emirical evidece of a asymtotic ormal distributio for each margial distributio of the maximum likelihood estimators of arameters of Weibull distributio. KEYWORDS: Survival aalysis; cesorshi; maximum likelihood; simulatio; Weibull. Referêcias CORDEIRO, G. M. Itrodução à teoria de verossimilhaça.: livro-texto do 0º Simósio Nacioal de Probabilidade e Estatística. Rio de Jaeiro, JOHNSON, N. L.; KOTZ, S. Cotiuous uivariate distributios. Bosto: Houghto Miffli, 970.,v., 756. KALBFLEISCH, J. D.; PRENTICE, R. L. The statistical aalysis of failure time data. New York: Joh Wiley, KOTZ, S.; JOHNSON, N. L. Ecycloedia of statistical scieces. New York: Joh Wiley, 988., v.9, 762. LAWLESS, J. F. Statistical models ad methods for lifetime data. New York: Joh Wiley, Rev. Mat. Estat., São Paulo, v. 22,.3,.7-20,

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