PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR)

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1 PROBLEMA DE DESLOCAMENTO DE VIATURAS MILITARES PELA REDE FERROVIÁRIA FEDERAL (UMA ABORDAGEM EM PROGRAMAÇÃO LINEAR) NEI CARLOS DOS SANTOS ROCHA ALBA REGINA MORETTI 2 LUIZ HENRIQUE DA COSTA ARAÚJO CARLA SILVA OLIVEIRA 4 - Istituto de Matemática / UFRJ - Ilha do Fudão,caia postal 6850, Rio de Jaeiro, , rocha@lcc.br; 2- Dep. de Matemática / Istituto de Ciêcias Eatas / UFRRJ,BR 465, Km 7, Seropédica, RJ, , moretti@ufrrj.br; - IME / Istituto Militar de Egeharia, Praça Geeral Tiburcio, 80, Praia Vermelha, Rio de Jaeiro, , lharaujo@de9.ime.eb.br; 4- ENCE / Escola Nacioal de Ciêcias Estatísticas / IBGE, Rua Adré Cavalcati, 06, 4º adar - S ta Teresa, , Rio de Jaeiro - carlasilva@ibge.gov.br. RESUMO: ROCHA, N. C. S.; MORETTI, A. R.; ARAÚJO, L. H. C.; OLIVEIRA, C. S. Problema de deslocameto de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal (Uma abordagem em programação liear). Revista Uiversidade Rural: Série Ciêcias Eatas e da Terra, Seropédica, RJ: EDUR, v. 24,. -2, p. 0-, ja-dez., Neste trabalho, modelamos o problema de deslocameto de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal via teoria de otimização liear. Como as especificações de vagões e viaturas são codicioates os tipos de cofigurações possíveis para o trasporte, costruímos, uma primeira istâcia, um algoritmo para a determiação das cofigurações viáveis, de maeira a estabelecer as equações matemáticas resposáveis pela restrição de material a ser trasportado e de úmeros de vagões dispoíveis. Palavras-chave: programação liear, modelagem e otimização. ABSTRACT: ROCHA, N. C. S.; MORETTI, A. R.; ARAÚJO, L. H. C.; OLIVEIRA, C. S. Problem of displacemet of military vehicles for the Federal Railway (A approach i lieal programmig). Revista Uiversidade Rural: Série Ciêcias Eatas e da Terra, Seropédica, RJ: EDUR, v. 24,. -2, p. 0-, ja-dez., I this paper, we model the problem of displacemet of military vehicles through the Federal Railway via liear optimizatio theory. Sice the specificatios of wagos ad vehicles are costraits of the viable cofiguratio type for trasportatio, we build firstly a algorithm to determie the feasible cofiguratios, i order to establish the mathematical equatios resposible for the restrictio o the material to be trasported ad the umbers of the available wagos. Key words: liear programmig, modelig ad optimizatio.. INTRODUÇÃO Aualmete o Eército Brasileiro realiza eercícios de adestrameto para suas Uidades Operacioais. Esse plaejameto é realizado de forma a adaptar as várias Uidades aos diversos tipos de terreos e climas ecotrados em osso país. Assim, pode ser ecessário o deslocameto de uma grade quatidade de material a grades distâcias. Apesar de dispor de meios próprios para esse deslocameto, essa opção ão é favorável devido ao alto custo em termos de combustível e mauteção (as viaturas empregadas por essas uidades ão são ovas, e possuem tempo pequeo etre falhas). Uma opção relativamete barata é o trasporte ferroviário até a cidade mais próima do destio e, a partir desse poto, realizar o deslocameto rodoviário em comboio. Neste trabalho, modelamos o problema de deslocameto de viaturas militares pela Rede Ferroviária Federal via teoria de otimização liear. Como as especificações

2 Problema de deslocameto de viaturas... 2 de vagões e viaturas são codicioates os tipos de cofigurações possíveis para o trasporte, costruímos, uma primeira istâcia, um algoritmo para a determiação das cofigurações viáveis, de maeira a estabelecer as equações matemáticas resposáveis pela restrição de material a ser trasportado e de úmeros de vagões dispoíveis. Para um estudo detalhado da teoria de otimização liear citamos [], [4] e [5]. O problema que será apresetado esse trabalho está descaracterizado, posto que as uidades e os trechos ferroviários são fictícios. Porém, os dados relativos à dispoibilidade de tipos de vagões e viaturas são muito próimos aos valores reais. 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA Para fis de treiameto, será realizada uma Maobra Militar em um Campo de Istrução o Estado do Rio Grade do Sul, detre as várias Uidades participates; em especial, três Uidades estão aquarteladas o iterior do Estado de São Paulo. Cada uidade possui uma dotação em termos de viaturas e material a ser trasportado, e esse material deve ser trasportado como um todo para a região ode a maobra irá ser realizada. O gráfico da figura represeta de forma esquemática o trajeto do deslocameto. Cabe ressaltar que os trechos das referidas cidades até a cidade de São Paulo ão são relevates ao problema de deslocameto, já que o trecho de iteresse é tão somete de São Paulo ao campo de iteresse o Estado do Rio Grade do Sul. A RFFSA dispoibilizou um catálogo com as características dos diversos tipos de vagões eistetes, e iformou que, esse trecho, as opções dispoíveis de vagões são os da tabela. A tarifação desse trasporte será realizada pelo peso total a ser trasportado e pela quatidade de vagões a ser utilizada. Uma restrição imposta é a de que o tempo de carga e descarga do material seja míimo. Ora, após uma aálise do problema, chegou-se à coclusão de que essa restrição é equivalete ao de miimizar o úmero de vagões, uma vez que parte do tempo ecessário para o embarque e desembarque correspode à maobra da composição para o posicioameto do vagão juto à rampa de carga e descarga. Outro aspecto cocerete às restrições diz respeito à limitação de custos referetes à operacioalidade do processo. Embora qualquer que fosse o ótimo, recursos fiaceiros estariam dispoibilizados para a eecução do objetivo, resolvemos o presete problema icluir esta possível limitação fiaceira, como uma restrição do tipo, a fim de modelar o caso mais geral possível.. MODELAGEM DO PROBLEMA Uma abordagem para a solução desse problema seria a de determiar as várias cofigurações possíveis de viaturas em vagões, segudo a estrutura de um problema de Programação Iteira, em seguida satisfazer às restrições relativas ao material a ser trasportado, à quatidade de vagões dispoíveis e ao custo máimo da operação. Uma vez que o úmero de cofigurações possíveis é grade, costruímos iicialmete um algoritmo capaz de determiar as combiações viáveis para o embarque de viaturas.. Algoritmo para determiação das cofigurações viáveis Dadas as características de um vagão [], o algoritmo irá posicioar as viaturas [2] de forma a cobrir todas as cofigurações viáveis. As cofigurações viáveis são, etão, obtidas levado-se em

3 cota quatro dimesões básicas: comprimeto, largura, altura e peso das viaturas de forma que estas atedam às especificações de cada tipo de vagão. As várias cofigurações de viaturas embarcadas podem ser represetadas por subfamílias da família de viaturas a serem trasportadas. O pricípio de fucioameto do algoritmo é a costrução de permutações de objetos com repetição. Porém, em todas as permutações são válidas devido às características das viaturas e às limitações dos vagões. No aeo, ecotra-se o algoritmo das cofigurações viáveis. A título de eemplo, supoha que desejamos trasportar as viaturas das Classes URUTU, REO 2 ½ e JEEP o vagão PES, segudo as características dadas pela tabela 2 abaio. As possíveis cofigurações dadas pelo algoritmo são: PES levado URUTU URUTU Jeep; PES levado URUTU REO Jeep; PES levado URUTU Jeep Jeep + Jeep; PES levado REO REO Jeep; PES levado REO Jeep Jeep Jeep; PES levado Jeep Jeep Jeep Jeep. A determiação dessas cofigurações os permitirá estabelecer equações as restrições do PPL, como veremos a seção seguite. 2.2 Costrução do PPL Uma vez defiidas as várias cofigurações de embarque, através do algoritmo de determiação de cofigurações, é possível estabelecer as equações matemáticas resposáveis pelas restrições de material a ser trasportado e de úmero de vagões dispoíveis. Nosso problema é etão caracterizado matematicamete segudo a estrutura de um problema de programação liear iteira, ode as variáveis de decisão são dadas por (quatidade de vagões do tipo k, da uidade j, usados segudo a cofiguração i). Para cada uidade a ser trasportada, devemos fazer com que o total de material levado em todas as cofigurações viáveis seja maior ou igual ao total a ser trasportado. Além disso, devemos ter em mete a restrição referete à limitação de vagões dispoíveis da RFFSA. Seja etão v l a quatidade de viaturas do tipo l trasportadas a cofiguração i da uidade j com vagão do tipo k, obtida pelo algoritmo das alocações viáveis; t jl a quatidade de viaturas do tipo l a ser trasportada da uidade j; q k a quatidade de vagões dispoíveis da RFFSA do tipo k; e a quatidade de cofigurações possíveis da uidade j o vagão k. 4. FUNÇÃO OBJETIVO Nosso objetivo é miimizar a quatidade de vagões utilizados, o que equivale a dizer que desejamos miimizar a quatidade total de cofigurações, isto é, (ii) Restrições 5. QUANTO À QUANTIDADE DE MATERIAL A SER TRANSPORTADO, TEMOS A título de eemplo, com os dados ateriores, trasportado 22 viaturas do tipo URUTU a uidade 0BI (k = ), temos PES levado URUTU URUTU Jeep 2 k = i= v mi l k= j= i= t PES levado URUTU REO Jeep PES levado URUTU Jeep Jeep Jeep e cuja restrição associada é. jl j, l

4 Problema de deslocameto de viaturas... 4 (b) Quato à quatidade de vagões dispoíveis da RFFSA, temos (c) Defiido c k o custo uitário referete ao uso do vagão do tipo k e C o custo fiaceiro máimo dispoível, e tedo em mete que represeta a j= i= quatidade total de vagões do tipo k, a restrição quato ao custo total da operação é dada por De forma compacta o problema é etão apresetado da seguite forma: Sujeito a: j = i = q c k k = j= i= mi k j k = k Em aeo ecotram-se as tabelas referetes aos coeficietes v l, t jl e q k que compõem o osso modelo. k k= j= i= = i= = i= v c k 0 l q C. t C, i i, j, k. j= = k jl, j, l,, k, 6. QUESTÃO DA PÓS-OTIMIZAÇÃO Cabe ressaltar que, em se tratado de um problema com uma magitude cosiderável de variáveis de decisão como é o osso problema, a aálise de sesibilidade é ão apeas relevate (devido à diamicidade dos elemetos fudametais que compõe o osso modelo; por eemplo, os coeficietes v l, t jl, q k e C, bem como algumas variáveis de decisão podem ser alteradas, o que toraria o osso problema mais próimo das mudaças poteciais reais), mas também é etremamete justificável do poto de vista ecoômico, visto que o aproveitameto de uma solução ótima já previamete calculada evitaria um esforço computacioal cosiderável se tivéssemos que reotimizá-lo do pricípio. Recohecedo, embora, a grade importâcia deste fato, ehuma aálise de sesibilidade foi coduzida, uma vez que ão dispúhamos de recurso computacioal de grade porte para viabilizar o tratameto desta grade massa de dados. 7. CONCLUSÃO Ao logo do processo de etedimeto do osso objeto de estudo, pudemos os defrotar ão apeas com as múltiplas vertetes a que um problema real pode os coduzir, mas sobretudo com a costate revisão de ossos coceitos e estruturas matemáticas utilizadas a sua caracterização, até a sua forma fial que aqui se ecotra. Fialmete, embora tehamos cosiderado apeas três uidades operacioais (j =,2,) e três tipos de viatura (k =,2,), a etesão para o caso geral é atural (j =,2,...,p e k =,2,...,q).

5 5 8.. Algoritmo 8. ANEXOS Program Permut; Type Características = record TP: strig [20]; L: real; C: real; H: real; W: real; ed; viaturas: array [..0] of Caracteristicas; vagao, Vg_Car: Caracteristicas; Cl_Viat, I: iteger; COMP:STRING; Procedure Aloc_spc (j: Iteger; VG: Caracteristicas; COMP: Strig); Var K: iteger; begi if ((Viaturas[j].L<= VG.L) ad (Viatura[j].C<= VG.C) ad ((Viaturas[j].H<= VG.H) ad (Viatura[j].W<= VG.W)); the begi VG.C:= VC.C Viatura[j].C; VG.W:= VC.W Viatura[j].W; COMP:= COMP Viatura[j].TP; For k:=j to Cl_Viat do Aloc_spc (k,vg,comp); ed; else if (j=cl_viat) the Writel (COMP); ed; begi COMP:= ; Cl_Viat:=; Viaturas[].C:=6.2; Viaturas[2].C:=6.2; Viaturas[].C:=.7; Viaturas[].TP:= URUTU ; Viaturas[2].TP:= REO; Viaturas[].TP:= Jeep; Viaturas[].l:=2.6; Viaturas[2].l:=2.2; Viaturas[].l:=.5; Viaturas[].W:=; Viaturas[2].W:=9; Viaturas[].W:=.6; Viaturas[].H:=2.8; Viaturas[2].H:=2.8; Viaturas[].H:=.9; Vagao.L := 2.9; Vagao.C := 8.; Vagao.W := 72.; Vagao.H := 5; For i:= to Cl_Viat do begi Aloc_spc (I, Vagao, ); ed; ed.

6 Problema de deslocameto de viaturas Figuras Figura Taubaté 48º RCMec 8.. Tabelas Tabela Tipo de Vagão Comprimeto Útil Largura Útil Altura Útil Carga Útil PES 8, m 2,9 m - 72, To PAR 25, m 2,4 m,5 m 45 To PGS 25,9 m 2,6 m - 7 To Tabela 2 Características das Viaturas Viatura Largura Comprimeto Peso Altura URUTU 2,6 m 6,2 m To 2,8 m REO 2 ½ 2, m 6,2 m 9 To 2,7 m JEEP,5 m,7 m,6 To,9 m

7 7 Cada Uidade Militar a ser trasportada possui uma dotação em termos de equipameto a ser trasportado, coforme abaio. Coeficietes t jl 00º BI (j = ) Viatura Comprimeto Largura Altura Peso Qtde (t jl) URUTU (EE-) 6, m 2,6 m 2,8 m To 6 Jeep M8,5 m,5 m,4 m,5 To 2 REO M5 7, m 2,5 m 2,9 m 8, To 2 REO M5 + Reb m 2,5 m 2,9m 9, To 6 Ambulâcia 4M 5,6 m,9 m 2, m 2, To 2 0º BI (j = 2) Viatura Comprimeto Largura Altura Peso Qtde (t jl) Meia Lagarta 6,5 m 2, m 2,7 m 9,4 To 8 URUTU 6, m 2,6 m 2,8 m To 4 REO M602 6,7 m 2,5 m 2,9 m 8, To 9 REO + Reboque m 2,5 m 2,9 m 9, To 6 Cistera 6,7 m 2,4 m 2, m 8 To 2 Guiodaste QW 9 m 2,5 m,6 m 22 To Socorro M62 9m 2,5 m 2,8 m 6 To 2 48º RCMec (j = ) Viatura Comprimeto Largura Altura Peso Qtde (t jl) Cascavel 5,4 m 2,6 m,2 m 2 To 6 XA2 6,5 m 2,6 m 2,5 m 20 To 8 M 4 7,2 m,2 m *, m 24 To 8 REO M5 + REB m 2,5 m 2,9 m 9, To 0 Carro Oficia 7, m 2,7 m,2 m 9, To 4 Segudo a RFFSA o ecesso lateral ão prejudica o trasporte, quado realizado em vagão PES. Coeficietes q k Tipos de vagões Quatidades dispoíveis PES 60 PAR 0 PGS 0 Coeficietes v l Uidade 00BI ( j = e k = 2) Cofig. ( I) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

8 Problema de deslocameto de viaturas... 8 Uidade 00BI ( j = e k = ) Cofig. ( I) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP Uidade 48RC MEC ( j = e k = ) Cofig. ( I) REO+REB M4 XA CASCAVEL CARRO OFICINA

9 9 Uidade 00Bl (j = e k = ) Cofig. (l) REO+REB URUTU REO AMBULÂNCIA JEEP

10 Problema de deslocameto de viaturas... 0 Uidade 0BI ( j = 2 e k = ) Cofig. ( I) REO+REB GUINDASTE QW SOCORRO M62 MEIA REO M602 LAGARTA Uidade 48RC MEC ( j = e k = ) Cofig. ( I) REO+REB M4 XA CASCAVEL CARRO OFICINA

11 9. BIBLIOGRAFIA [] REDE FERROVIÁRIA FEDERAL S.A. Catálogo de Vagões. Rio de Jaeiro RJ, 979. [2] MINISTÉRIO DO EXÉRCITO. Características Gerais das Viaturas Automóveis do Eército. 2ª edição, Brasília DF, 98. [] VANDERBEI, R.J. Liear Programmig Foudatios ad Etesios. Iteratioal Series I Operatios Research Ad Maagemet Sciece. 2ª ed., 7, 997. [4] NASH, S.G. & SOFER, A. Liear ad Noliear Programmig. McGraw-Hill, 996. [5] IGNIZIO, J.P. & CAVALIER, T.M. Liear Programmig. Pretice Hall Iteratioal Series i Idustrial ad Systems Egieerig, 994, p. 666.