O período do pêndulo: Porque Galileu estava ao mesmo tempo certo e errado

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS UFMG DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ICEx MONOGRAFIA PARA OBTENÇÃO DE TÍTULO DE ESPECIALISTA EM MATEMÁTICA COM ÊNFASE EM CÁLCULO O período do pêdulo: Porque Galileu estava ao mesmo tempo certo e errado Atacílio Alves Cavalcate Filho Prof. Armado G. M. Neves (Orietador)

2 Apresetação Belo Horizote, de Jaeiro de 5. Durate o curso de especialização meu iteresse foi despertado por um tipo de aplicação: o uso do cálculo para provar os acertos e os erros de muitos resultados de experiêcias realizadas por atigos astrôomos, físicos e matemáticos. Ates do cálculo era praticamete impossível comprovar a veracidade de algumas destas afirmações. Desse iteresse em especial busquei estudar a observação de Galileu Galilei, de que o período do pêdulo em pequeas oscilações era idepedete da amplitude. Estritamete falado, Galileu estava errado, como irei provar. No etato, sua observação possibilitou a costrução dos primeiros relógios, pois em uma determiada aproximação o período de um pêdulo ão depede de sua amplitude. Nesta moografia irei explorar quatitativamete o cálculo do período do pêdulo, mostrado que apesar de errado, Galileu também estava certo. De um poto de vista matemático, irei mostrar como extrair certas iformações quatitativas de uma equação diferecial que ão sei resolver, usado para isto a coservação da eergia. Mais cocretamete, iremos exibir uma fórmula exata para o cálculo do período de oscilação do pêdulo, mesmo a grades amplitudes. Na seção tratarei um cotexto histórico o pêdulo. Na seção falarei a respeito do oscilador harmôico. Na seção irei deduzir a equação do pêdulo, mostrado que um pêdulo simples em pequeas oscilações é aproximadamete um oscilador harmôico. Na seção itroduziremos o formalismo da coservação da eergia para sistemas mecâicos uidimesioais []. Na seção 5, tal formalismo será aplicado ao pêdulo. Na seção 6 exprimiremos o período do pêdulo como uma itegral elíptica e a seção 7, mostraremos como desevolver esta itegral em série de potêcias []. Fialmete, a seção 8 faremos a estimativa do erro o período do pêdulo ao somar um úmero fiito de termos da série da seção aterior.

3 . Pêdulos As tetativas da humaidade para medir o tempo ajudaram a desevolver a ciêcia e a tecologia ao logo da história. A ecessidade de marcar as divisões do dia e da oite fez atigos egípcios, gregos e romaos criarem relógios de sol, de água e outros istrumetos croométricos. Os europeus ocidetais adotaram essas tecologias. Mas por volta do século XIII, o iteresse em um istrumeto cofiável de medição de tempo levou os artesãos medievais à criação de um relógio mecâico. O aparelho atedia as exigêcias dos mosteiros e comuidades urbaas. Mas ão teve precisão ecessária para aplicações cietificas até o adveto do pêdulo. O pêdulo foi a resposta para aumetar a precisão e a cofiabilidade dos relógios. Os dispositivos desevolvidos a partir de etão acabaram por levar à solução do crítico problema de como obter a logitude de um avio o oceao e tiveram papéis muito importates a revolução idustrial e o progresso da civilização ocidetal. No fial do século XVI o físico e astrôomo italiao Galileu Galilei, supostamete observado o lustre da catedral de Pisa, cocluiu que o período do pêdulo parece idepeder da amplitude. Percebeu assim que o pêdulo poderia ser um istrumeto importate para medir o tempo. Mas foi um jovem astrôomo e matemático holadês, Christia Huyges, quem projetou o primeiro relógio de pêdulo em 656. Huyges percebeu melhor que Galileu que o pêdulo, quado atravessa um arco circular, completa as oscilações de meor amplitude mais depressa do que as de amplitudes maiores. Cocluiu assim que qualquer variação a amplitude do movimeto do pêdulo faria um relógio adiatar ou atrasar. Mas mater uma amplitude costate de oscilação para oscilação seria impossível, por causa do atrito. Huyges etão projetou uma suspesão que permite à pota do pêdulo movimetar-se formado um arco ciclóide. Pode-se provar que assim a oscilação passa a se completar sempre o mesmo período de tempo, de forma idepedete da amplitude. Para que a pota do pêdulo siga uma trajetória cicloidal, Huyges usou uma propriedade otável da ciclóide: a ivoluta de uma ciclóide relativa a um poto especial é uma outra ciclóide. Istalado etão bochechas ciclóides o poto de suspesão é possível fazer com que o pêdulo mateha um curso ciclóide e ão circular. O ritmo do pêdulo passa a regular a

4 ação da haste e a rotação das rodas, as quais, por sua vez, trasmitem de forma mais cofiável e precisa a ação do mecaismo aos poteiros do cotador. Os relógios de pêdulo eram cerca cem vezes mais precisos que seus atecessores [].. Oscilador Harmôico O oscilador harmôico é o modelo matemático para o movimeto retilíeo de uma partícula sujeita a uma força atratora proporcioal à distâcia até a origem. Desigado por m a massa da partícula, a seguda lei de Newto os dá mx" x, ode > é uma costate de proporcioalidade. Dividido por m e rearrajado, chegamos à forma padrão da equação de movimeto do oscilador harmôico, ode o parâmetro ω é dado porω que também pode ser rescrita como x" ω x, (.) m. A solução geral desta equação diferecial é x t) C cos( ω t) C se( ω ), (.) ( t x ( t) Acos( ω t φ). (.) Esta represeta um movimeto oscilatório seoidal em toro da posição cetral x. O afastameto máximo da posição cetral A, chama-se amplitude. O período fudametal do oscilador é T, o qual sigifica o tempo ecessário para uma oscilação completa. ω Observe que o oscilador harmôico, o período é idepedete da amplitude, depede somete da massa m e da costate de proporcioalidade a expressão da força. O iverso do período é a freqüêcia segudo. O âgulo φ é chamado âgulo de fase. ω f que sigifica o úmero de oscilações por O oscilador harmôico é uma ótima aproximação para diversos movimetos oscilatórios reais. Por exemplo, para pequeos deslocametos de uma mola com relação à sua posição de equilíbrio, a força exercida pela mola é proporcioal ao deslocameto ( Lei de Hooe). As pequeas oscilações de uma massa presa a uma mola são portato

5 harmôicas. Veremos adiate que o pêdulo também é aproximadamete um oscilador harmôico.. Pêdulo Simples y x q l m Figura : O pêdulo simples. Caracteriza-se um pêdulo simples como um corpo potual de massa m fixo em uma das extremidades de uma haste de massa ula e comprimeto l. A outra extremidade da haste supõe-se fixa. A massa m move-se sob ação da força peso e da tesão T a haste. O atrito é desprezado. Escolhemos a extremidade fixa da haste, ou seja, o poto de suspesão do pêdulo, como origem de um sistema cartesiao, com eixo y apotado verticalmete para cima. As coordeadas ( x, y) da massa estão relacioadas uma à outra pela relação x y l. É portato coveiete estudar seu movimeto em termos de âgulo θ que o fio faz com a direção vertical. Por coveção, θ > quado a massa se ecotra à direita do eixo y e θ < quado a massa se ecotra à esquerda. Portato, x l seθ e y l cosθ, ver figura. Derivado estas equações com relação ao tempo t, teremos sucessivamete: x ' l cosθ θ ' (.) 5

6 e ( θ "cosθ θ ' seθ ) x " l (.) y ' l seθθ ' (.) ( θ"seθ θ ' cosθ ) y " l (.) Podemos decompor em compoetes as direções dos eixos coordeados as força peso P e tração T agido sobre a massa: P x P y mg T x T seθ T y T cosθ Pela seguda lei de Newto F ma m( x" i y" j ) sua compoetes, Daí, temos, separado os vetores em mx" T seθ e my " mg T cosθ mx" T e T seθ my" mg cosθ Comparado e elimiado T chega-se a mx " cosθ m( y" g) seθ. Substituido aqui as expressões (.) e (.) obtemos l cosθ ( θ"cosθ θ ' seθ ) l seθ ( θ"seθ θ ' cosθ ) g seθ Após simplificações, chega-se fialmete a uma equação diferecial para a icógita θ ( t) : g θ " seθ l Esta equação é cohecida como a equação do pêdulo. (.5) Supohamos agora que θ ( t) permaece próximo a zero todo o tempo (aproximação seθ de pequeas oscilações). Como lim θ θ equação do pêdulo tora-se etão, podemos escrever se θ θ.neste caso, a 6

7 g θ" θ, (.6) l g que é ovamete a equação do oscilador harmôico com ω. O período T das l pequeas oscilações do pêdulo é portato obtido a partir do resultado do oscilador harmôico, T l (.7) ω g O período do pêdulo em pequeas oscilações é portato idepedete da amplitude, justiçado Galileu. A fórmula (.7) foi, obtida através da solução (.) da equação do oscilador harmôico. A equação do pêdulo (.5) ão pode ser exatamete resolvida, portato, por equato ada sabemos sobre o período do pêdulo em grades oscilações. Na próxima seção desevolveremos a técica da coservação da eergia, que será aplicada as seções seguites também ao pêdulo. Isto os possibilitará obter uma fórmula exata para o período do pêdulo, iclusive para grades oscilações, mesmo sem sabermos resolver a equação (.5).. Coservação da eergia e movimeto uidimesioal Supoha que uma partícula de massa m mova-se sobre uma liha reta sob ação exclusiva de uma força F (x) a direção desta reta, depedete somete da posição x R. Supoha F fução cotíua. A eergia potecial é defiida como U ( x) F( s) ds, ode x é uma posição de referêcia qualquer. Portato A eergia ciética é defiida por seguda lei de Newto tem-se Ec du F( x). dx mv, ode x x dx v é a velocidade. Da dt dv du m. Multiplicado ambos os lados por v : dt dx 7

8 Defiido a eergia total E como dv du dx mv dt dx dt d mv dt d dt U ( x( t)) E mv U ( x), (.) de etão o raciocíio acima prova que. Ou seja, a situação cosiderada a eergia dt total é coservada. A equação E E C U (x), ode, como agora sabemos, E é uma costate, dá uma relação etre coordeada e velocidade quado a força depede apeas da posição. Para completar a solução do problema do movimeto para forças uidimesioais depedetes apeas da posição, devemos elimiar a velocidade e determiar a posição em fução do tempo. Podemos fazê-lo de modo formal como segue. Escrevedo a velocidade em fução da coordeada, teremos ode o sial ( E U ( x)) v ±, m ou deverá ser determiado pela iformação extra do setido do movimeto. Supohamos por equato, para simplificar, que o sial seja. Como dx v, tem-se dt dx ( E U ( x)). dt m A expressão acima é uma equação diferecial para a fução icógita x (t). Em particular, esta equação é separável e podemos resolvê-la por itegração. Com a codição iicial x ( t ) x, a solução é 8

9 x t t ds. x ( E U ( s)) m A expressão acima defie implicitamete a fução x (t). Em algus casos, é também possível explicitar x (t). Figura : Curva de eergia potecial Usado a coservação da eergia é também possível obter iformações qualitativas sobre o movimeto uidimesioal. Supoha por exemplo que o gráfico de U em fução de x seja o da figura. A eergia total mais baixa possível é E, o valor míimo de U. Caso tivéssemos eergia total meor que E, a eergia ciética seria egativa, o que é impossível. Quado a eergia total vale E E, a eergia ciética só pode ser ula e a partícula deve estar em repouso o poto x. Para o valor de eergia E E, a partícula move-se apeas etre x e x e sua velocidade deve ser ula em x e em x, pois estes potos a eergia ciética se aula. Nestes potos, a partícula pára e muda de setido. Estes potos são chamados de potos de iversão do movimeto. 9

10 Para o valor de eergia E E, há quatro potos de iversão. A partícula pode oscilar em um dos dois itervalos etre potos de iversão em que a eergia potecial é meor que a eergia total. Para o valor de eergia E E, o movimeto terá apeas um poto de iversão. Se a velocidade iicial for egativa, a particular irá parar em x passado etão a mover-se o setido positivo. Em módulo a velocidade será máxima quado U é míima, ou seja, quado x x. Para valores de eergia superiores a E E, ão existem potos de iversão e partícula ão iverterá setido de seu movimeto, sua velocidade terá sial costate e em módulo mudará de acordo com o valor do potecial em cada poto. Em um poto ode U(x) tem valor míimo, tal como em x x, a icliação do du gráfico é ula, logo F ( x ). Neste poto uma partícula poderá estar em dx x repouso, mas se for ligeiramete deslocada em qualquer setido, oscilará em toro da posição de equilíbrio. O poto x será etão deomiado uma posição de equilíbrio estável. Em um poto ode U(x) teha valor máximo como x x, a icliação da curva du também é ula, logo F ( x ). Nesse poto uma partícula poderá também ficar dx x em repouso, mas se afastada mesmo que ligeiramete deste poto, irá afastar-se aida mais da posição de equilíbrio, chamada por isso de equilíbrio istável. Em um poto cotido um itervalo o qual U(x) seja costate, tal como em xx 5, F ( x 5 ). Um poto como x 5 é deomiado equilíbrio idiferete. Neste poto a partícula pode ser ligeiramete deslocada sem que haja ehuma força, em tededo a restaura-la ao poto de equilíbrio, em tededo a afastá-la deste. Assim podemos cocluir que se cohecermos a fução eergia potecial a região em que se move o corpo, coheceremos muita coisa sobre o movimeto dele. Por cohecermos a eergia potecial do pêdulo simples, podemos forecer varias iformações qualitativas sobre seu movimeto, ver figura. A seguir iremos aplicar ao pêdulo o formalismo geral desevolvido esta seção.

11 5. Coservação da eergia do pêdulo Seja U mgy mgl cosθ a eergia potecial gravitacioal e E c m v a eergia ciética. Como ciética em fução da velocidade agular A eergia total é portato v x' i y' j, podemos usar (.) e (.) para obter a eergia θ '. Após simplificações, obtemos θ E c ml ' (5.) E Ec U ( x) ml θ ' mgl cosθ. (5.) Derivado a expressão acima em relação ao tempo teremos, de dt ' " se ' g ml θ θ mgl θ θ ml θ ' " se θ θ l (5.) por causa da equação do pêdulo (.5). Isto prova que a eergia total do UHqL pêdulo acima defiida é coservada. Podemos utilizar para o pêdulo o mesmo formalismo da seção para o movimeto uidimesioal. m g l E - p - A A p q - m g l Figura : A eergia potecial do pêdulo. Observado a figura, vê-se que θ é poto de equilíbrio estável e θ ± são potos de equilíbrio istável.

12 Para E mgl o pêdulo estará em repouso. Se a eergia E for tal que mgl < E < mgl a partícula irá oscilar em toro da posição de equilíbrio estável. Neste caso haverá dois potos de iversão θ ± A, ode E A arccos. mgl Se E > mgl, o pêdulo, em vez de oscilar, executa rotações em toro do poto de suspesão, pois ão haverá potos de iversão. 6. O período do pêdulo como itegral elíptica Seja E a eergia total do pêdulo e supohamos que mgl < E < mgl. Mostraremos que com esta codição o movimeto do pêdulo é oscilatório. A amplitude E A, defiida pelos potos de iversão, é dada por A arccos. Portato, a eergia em mgl fução da amplitude é E mgl cos A (6.) dθ Lembrado que θ ' e substituido (6.) em (5.) obtemos dt dθ g ± cosθ cos A, (6.) dt l que é uma equação diferecial separável. Podemos resolvê-la com a codição iicial θ ( ) e supodo que a velocidade agular é positiva (sial em (6.)). Caso o movimeto seja mesmo oscilatório, o tempo para que a variável θ, partido de, se iguale ao máximo A será de um quarto do período. Chamemos etão de T etão, resolvedo a equação (6.), a este tempo. Temos logo l g A dθ cosθ cos A T dt (6.)

13 T l g A dθ cosθ cos A (6.) A itegral a fórmula acima para T é imprópria e, coforme veremos, coverge se mgl < E < mgl. Porém, se E mgl, e portato A, tal itegral diverge. De fato, este caso, l dθ T. (6.5) g cosθ Usado a idetidade trigoométrica cosθ cos teremos, θ l θ l θ θ T sec dθ log sec ta. (6.6) g g Isto mostra que se E vale precisamete mgl, etão o tempo para sair de θ até θ é ifiito. Portato, o pêdulo ão oscila se E mgl. Agora voltemos ao caso em que mgl < E < mgl. Reescrevemos a itegral em A θ (6.) usado a idetidade trigoométrica cosθ cos A se se e itroduzido A θ uma ova variável φ defiida como seφ se se. Portato, para θ variado etre e A, ter-se-á φ. ode l T dφ g, (6.7) se φ se A. (6.8) Como < <, a itegral imprópria (6.) foi trasformada em itegral explicitamete covergete em (6.5). Portato T é fiito e é o período do pêdulo. Itegrais da forma da de (6.5) ão podem ser expressas em termos de fuções elemetares e são cohecidas como itegrais elípticas, tedo este ome por terem aparecido primeiramete o cálculo do comprimeto de uma elipse.

14 7. O período do pêdulo como série de potêcias Podemos desevolver em série de potêcias a itegral (6.7) usada a seção aterior para o cálculo de T. Usado a fórmula do desevolvimeto biomial, ( ) covergete se x <, com ( p ) p( p )( p ) p x p px x x L, (7.)!! x se φ e p, temos se φ se φ 5 se φ se φ... (7.) que deve ser substituída em (6.7). Usado a teoria da covergêcia uiforme de seqüêcias de fuções, ver por exemplo o capítulo de [], justifica-se que a série acima pode ser itegrada termo a termo. Obtemos assim ode, l 5 6 T C C C C6 K, (7.) g 6 C se φ dφ (7.) e está relacioado à amplitude A por (6.6). Os valores dos C aparecedo a fórmula (7.) podem ser obtidos de forma recursiva através de itegração por partes. De fato, C se x dx se xse x dx se x( cos x) dx (se x se xcos x) dx ( se xcos x) C cos x dx. (7.5)

15 Vamos resolver por partes a itegral remaescete a fórmula acima. Usado u se xcos x e dv cos x dx se xcos se x dx se x xcos b e lembrado que dv uv a x dx b a b u v du teremos, ( se xcos x) se ( se cos se se ) x x x x x se x dx. a dx Usado cos x se x, obtemos fialmete que, se cos x dx C ( ) C Substituido este resultado em (7.5), obtemos Daí, C x. ( ) C ( ) C C. (7.6) C Como C dx, usado (7.6) obtemos, C C C C e assim por diate. Em geral, para par, C Substituido em (7.) os valores dos em fução da amplitude: ( ) 5 L 6 L C, temos a fórmula fial para o período do pêdulo 5

16 ode 5 6 T T... (7.7) 6 se A e T é o período das pequeas oscilações, dado por (.7). A fórmula (7.7) mostra que o período do pêdulo depede da amplitude A. O primeiro termo da série represeta a aproximação de pequeas amplitudes obtida ateriormete. Os demais termos são correções a esta aproximação. Para obter uma aproximação para o período, devemos somar um úmero de termos suficiete a fórmula acima. Por exemplo, somado ou termos, obtemos respectivamete os gráficos da figura, dos quais podemos verificar a região em que a aproximação de pequeas oscilações é razoável TT termo termos p p p A termos Figura : Aproximações para o período do pêdulo somado um úmero fiito de termos a série em (7.7). A liha horizotal represeta o período a aproximação de pequeas oscilações. Na próxima seção, mostraremos como estimar o erro cometido ao somar somete um úmero fiito de termos a série. 8. Estimativa do resto da série O resto R é defiido por 6

17 7 ( ) R T T 6 5 L L L Como ( ) 6 5 < L L, etão ( ) ( ) ( ) ) ( 6 5 < T T T R L L L L, ode usamos que < < e o resultado da soma da série geométrica covergete q q q L se < < q. A estimativa para R acima permite calcular o úmero de termos a serem somados a série (7.7) de forma a obter o período do pêdulo com a precisão ecessária. Exemplo: Supoha que um pêdulo teha T e que a amplitude seja A. Queremos calcular T com erro meor do que. Até que valor de devemos somar os termos de (7.7)? Sabemos que se, logo ) ( T. Desejado que o erro seja meor que teremos que, < < R. Calculado o logaritmo de cada membro da desigualdade teremos, 7,96 log log >. Portato, somado até 8 (ou seja 9 termos a série), o erro o período será seguramete meor do que.

18 Referêcias bibliográficas [] W. Adrewes, Uma Crôica do Registro do Tempo, Scietific America Brasil 5, 88-97,. [] D. G. Figueiredo e A. F. Neves, Equações Difereciais Aplicadas, IMPA, Rio de Jaeiro, 997. [] E. L. Lima, Aálise Real vol., IMPA, Rio de Jaeiro,. [] R. Resic e D. Halliday, Física, ª edição, Livros Técicos e Cietíficos Editora S.A, São Paulo98. 8