Análise da volatilidade do prémio de risco do mercado de capitais português

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1 Análise da volailidade do prémio de risco do mercado Graça Marins Douoranda PDG-ISEG/UTL Gualer Couo Douorando PDG-ISEG/UTL Assisene de Finanças Deparameno de Economia e Gesão Universidade dos Açores Rua da Mãe de Deus, 58, Pona Delgada, Açores, Porugal gcouo@noes.uac.p e Piriquio Cosa Douorando PDG-ISEG/UTL piricosa@mail.elepac.p Julho de 00 (versão preliminar) Março de 003 (ª versão) 1

2 RESUMO Nese esudo aplicaram-se os modelos ARCH à volailidade do prémio de risco do mercado de acções poruguês no período 1993 a 001, em bases diária e mensal. Consaou-se o melhor desempenho do modelo GARCH comparaivamene aos ARCH e EGARCH. As rendibilidades diárias permiiram uma melhor performance do que as mensais. No subperíodo de 1997 a 001, consaou-se exisência de esacionaridade da variância, o que não aconeceu com a série global. Com base no modelo GARCH(1,1) aplicado a esse subperíodo fez-se uma previsão da volailidade para os dias seguines ao ermo das observações. Palavras Chave: volailidade, prémio de risco, ARCH, GARCH, EGARCH e previsão. ABSTRACT This paper sudies he use of ARCH ype models applied o he volailiy of he Poruguese marke risk premium in he period beween he years 1993 and 001, wih daily and monhly daa. GARCH model presen bes performance hen ARCH and EGARCH and daily reurns performed beer hen monhly reurns. The period from 1997 o 001 presen saionary variance bu global daa don. Using GARCH(1,1) model for he period from 1997 o 001, i was made a volailiy forecas. Key Words: volailiy, risk premium, ARCH, GARCH, EGARCH and forecas.

3 1. INTRODUÇÃO A modelização e previsão da volailidade em sido um dos objecos recenes da invesigação eórica e empírica na área das finanças. São inúmeras as moivações da pesquisa nesa área. Primeiro, a volailidade medida pelo desvio padrão ou variância dos resulados é muias vezes uilizada como medida do risco oal do acivo financeiro. Em segundo lugar, a volailidade dos preços dos íulos é incluída nos modelos mais uilizados (Black and Scholes e binomial) para deerminar os preços das opções. No passado, a volailidade hisórica em sido a medida uilizada para esimar a volailidade fuura. No enano, exise hoje uma crescene evidência que sugere que a uilização de volailidades previsionais obidas aravés de modelos de séries emporais mais sofisicados conduzirão a melhores e mais precisas avaliações de opções. Finalmene, a uilização de combinação de opções possibilia a própria ransacção da volailidade como qualquer oura commodiy, pelo que uma mais aproximada previsão da volailidade fuura possibiliará a obenção de melhores resulados. Denro dos modelos de previsão de volailidade desaca-se o Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (ARCH) para represenar uma série com volailidade insável, bem como as diversas ramificações desse modelo poseriormene desenvolvidas, designadamene a parir do Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH). 3

4 Nese rabalho é feia a aplicação empírica dos modelos ARCH e GARCH ao esudo da volailidade do prémio de risco do mercado no período de 31/1/199 a 31/1/001. O principal objecivo é averiguar se a volailidade do prémio de risco é ou não consane e se eses modelos são aplicáveis ao mercado poruguês para a previsão da volailidade do mercado de capiais. O prémio de risco de mercado foi calculado com base no índice PSI 0 deduzido da axa de juro sem risco (yield das OT s). O sofware uilizado foi o Eviews. Ese rabalho esá organizado da seguine forma: no segundo capíulo é apresenada a revisão de bibliografia, debruçando-se o erceiro sobre a meodologia, o seguine sobre os dados e esaísicas descriivas, o quino sobre os resulados empíricos e o sexo sobre as conclusões.. REVISÃO DE BIBLIOGRAFIA As séries financeiras emporais apresenam algumas caracerísicas em comum. Mandlebroi (1963), consaou que grandes variações endem a ser seguidas por grandes variações posiivas ou negaivas - e variações pequenas endem a ser seguidas por variações pequenas ( Volailiy clusering ). As séries financeiras emporais ambém cosumam exibir lepokurosis, ou seja, apresenam uma concenração, kurosis, mais elevada em orno da média do que a disribuição normal (Mandlebroi (1963) e Fama (1965)). Finalmene, o denominado efeio de leverage, esudado por Black (1976), consaou que o preço das acções ende a ser negaivamene correlacionado com 4

5 variações na volailidade, ou seja, a volailidade é maior depois de choques negaivos do que depois de choques posiivos da mesma magniude. O grande ineresse enre invesigadores e invesidores na modelização da variância condicional das séries emporais financeiras desencadeou o desenvolvimeno de um grande número de modelos que êm por base o modelo de ARCH de Engle (198). No rabalho inicial de Engle (198), é proposo o modelo auoregressive condiional heeroscedasiciy (ARCH), o qual explicia a variação emporal da variância condicional relacionando-a com variáveis conhecidas de períodos aneriores. Na forma esandardizada o modelo ARCH explicia a variância condicional como uma função linear do quadrado das inovações; em mercados em que o preço é um Maringalo, a sua variação é a própria inovação e corresponde precisamene à supra referida consaação de Mandlebroi (1963) relaiva à volailiy clusering. O modelo ARCH é uilizado para fornecer uma classe muio vasa de possíveis paramerizações de heeroscedasicidade. Em muias aplicações o modelo linear ARCH(q) requer um q com desfasamenos muio longos. Em alernaiva e com maior flexibilidade na esruura do desfasameno surge o modelo ARCH generalizado (GARCH) - Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasic - desenvolvido por Bollerslev (1986). Apesar de o modelo GARCH remover, dos resulados, os efeios do excesso de concenração em orno da média (Kurosis), não resolve o problema da assimeria da sua disribuição, especialmene nos índices do mercado de capiais que apresenam 5

6 assimerias de grande dimensão. Assim, é admissível que as previsões e a variância do seu erro, no modelo GARCH, sejam enviesadas nas séries emporais assiméricas. Poseriormene, foram criadas algumas modificações em modelos GARCH que expliciamene êm em consideração as disribuições assiméricas. Uma alernaiva de modelo não linear para ulrapassar o problema da assimeria é o modelo GARCH exponencial (EGARCH) desenvolvido por Nelson (1991). Para índices de acções provou-se que o EGARCH é o melhor modelo de heerocedasicidade condicional. Em alernaiva, Engle e Ng (1993) e Senana (1995) propuseram o modelo GARCH quadráico (QGARCH). Engle, Lilien e Robins (1987) inroduziram o ARCH-M, uma exensão do ARCH desinada a possibiliar a uilização da variância condicional como deerminane da média. No mesmo esudo o ARCH-M foi aplicado a 3 produos de dívida pública americana, dois de curo prazo - bilhees do Tesouro a 6 meses e a meses - e um de longo prazo - obrigações de empresas a 0 anos com raing Aaa -, endo concluído pela robusez do modelo e pela insabilidade do prémio de risco dos acivos analisados. Nos úlimos anos foram realizados vários esudos empíricos de aplicação deses modelos a séries financeiras. Bollerslev, Chou e Kroner (199), apresenam um esudo amplo da aplicação empírica dos modelos GARCH às séries financeiras emporais. Akgiray (1989) enconrou, no seu esudo, evidência empírica de superioridade dos modelos GARCH em relação aos modelos ARCH, no de médias móveis ponderadas em modelo exponencial, e nos modelos de médias hisóricas, para a previsão da volailidade mensal do índice accionisa do mercado nore-americano. 6

7 Franses e van Dijk (1996), comparam os modelos GARCH, QGARCH e o GJR, na previsão da volailidade semanal de vários índices europeus de mercados de íulos. Os auores concluíram que os modelos GARCH obiveram uma performance superior aos modelos GARCH não lineares. O modelo GARCH-M é aplicado por Beller e Nofsinger (1998), para esar a sazonalidade da volailidade do rendimeno das acções, o que os levou a concluir que muia da rendibilidade anormal das acções no mês de Janeiro não pode ser aribuída a um maior risco sisemáico. Também aplicaram o modelo a duas amosras de empresas com diferenes dimensões, endo concluído que as grandes empresas êm uma volailidade mais assimérica em resposa às novidades. Brooks (1998) aplicou um conjuno de modelos esaísicos, enre os quais os ARCH, EGARCH e GJR, para fazer previsões da volailidade diária do rendimeno das acções ransaccionadas na Bolsa de Nova Iorque, enre 1968 e 1988, endo concluído pela endência de quase odos os modelos para preverem volailidades superiores às verificadas. Em ermos de erro absoluo médio e erro quadráico médio, os modelos AR(1), GARCH(1,1) e GJR-GARCH(1,1) esão enre os que apresenaram melhor desempenho. Gokcan (000), consaou que nos mercados de capiais emergenes, o modelo GARCH(1,1) em uma performance superior ao modelo EGARCH, mesmo quando as séries de rendibilidades do mercado apresenam uma disribuição assimérica. French, Schwer e Sambaugh (1987) examinam a relação enre a rendibilidade das acções e a volailidade do mercado accionisa. Enconraram evidência de que o prémio 7

8 de risco do mercado é posiivamene correlacionado com a volailidade previsa da rendibilidade dos íulos. Chong, Ahmad e Abdullah (1999) analisaram a performance dos modelos GARCH e ouras derivações deses modelos uilizando a axa de rendibilidade de vários índices diários secoriais do mercado accionisa de Kuala Lumpur, consaando que o EGARCH apresena o melhor desempenho. Jensen e Lunde (001) fazem um esudo comparaivo enre os modelos ARCH e os NIG Normal Inverse Gaussian disribuion. Eses úlimos modelos foram aplicados nas finanças por Barndorff-Nielsen (1997). Jensen e Lunde concluem que ese modelo apresena melhor desempenho do que alguns dos seus pares GARCH. Fonseca (001) esuda a não-esacionaridade das axas dos Bilhees do Tesouro durane a década de 1990, concluindo que o modelo ARCH-M revela um bom poder explicaivo no processo seguido pelo prémio de risco dos Bilhees do Tesouro. Ferreira (001) defende que o processo GARCH apresena caracerísicas imporanes que o ornam adequado para a modelização de séries emporais financeiras cuja aplicação empírica em sido exensa e bem sucedida. Ferreira (00), ciando Figlewski (1997), refere que os modelos GARCH ajusados a dados diários podem ser basane úeis na previsão da volailidade do mercado accionisa para um horizone quer curo quer longo, mas são menos úeis na previsão ex-pos nouros mercados em horizones que não de curo prazo. 8

9 Breid, Crao e Lima (1995) demonsram que a volailidade condicional do preço dos acivos que apresene memória longa não é apropriadamene modelada pelos modelos ARCH, GARCH, EGARCH ou modelos esocásicos padrão (memória cura) de volailidade e propõem o chamado modelo esocásico de volailidade de memória longa (LMSV). Crao e Lima (1993) num esudo sobre a esruura esocásica do preço das acções dos Esados Unidos da América, ao não enconrarem evidência que supore a exisência de memória longa no rendimeno das acções, resulado conradiório com vários invesigadores aneriores, enconram evidência de memória longa nos quadrados dos rendimenos. 3. METODOLOGIA 3.1 MODELO ARCH ARCH(q) O modelo auoregressivo de heeroscedasicidade condicional (ARCH) foi desenvolvido por Engle (198). O modelo ARCH(1) não é ineiramene saisfaório porque a variância condicional depende unicamene do período imediaamene anerior. Será, porano, de esperar que a variância seja um processo com uma memória superior a um 9

10 período. Iso indica a necessidade de esender o processo de memória por um mais alargado número de observações passadas. Assim, mais desfasamenos poderão ser inroduzidos, obendo-se o seguine modelo: = 0 1y 1 σ α + α α y A função da variância pode ser expressa em ermos genéricos como: ( y 1, y... y, ) σ = σ α q q -q O processo ARCH(q) não deixa de ser uma generalização do processo ARCH(1). 3. MODELO GARCH A evidência empírica mosrou que se deveria seleccionar um ARCH de ordem elevada para que conivesse a dinâmica da variância condicional. O ARCH Generalizado (GARCH) de Bollerslev (1986) vem responder a esa quesão. Ese modelo baseia-se numa especificação infinia do ARCH, permiindo reduzir o número de parâmeros esimados para apenas dois. O modelo GARCH(q, p) pode ser definido como: σ = α + 0 q i= 1 α y i i + p i= 1 β σ i i com: p 0, q > 0, α > 0, α 0, i = 1,..., q 0 β 0, i = 1,... p i i Uilizando o operador L, o modelo GARCH(q, p) pode ser apresenado da seguine forma: 0 ( L) y β ( L) σ σ = α + α + 10

11 com, ( L q ) = α L + α L +... α α + 1 q L ( L p ) = β L + β L +... β β + 1 p L Para p=0, o processo reduz-se a um ARCH(q) e para p=q=0, y é um ruído branco. Num processo ARCH(q) a variância condicional é especificada como uma função linear das variâncias hisóricas da amosra, enquano que o processo GARCH(q, p) ambém enra em cona com a variância condicional desfasada. Ese faco corresponde a uma espécie de mecanismo adapaivo de aprendizagem. De acordo com Bollerslev (1986) eorema 1 para que exisa um processo esacionário de volailidade, a soma dos coeficienes deverá ser inferior a 1, al que: q α + p i i= 1 j= 1 β j < MODELO EGARCH O modelo GARCH apresena alguns problemas. Primeiro, a variância condicional não é capaz de responder a aumenos e quedas assiméricas do y, que são imporanes caracerísicas do comporameno da rendibilidade do mercado de capiais. Segundo, as resrições dos parâmeros são muias vezes violadas na sua esimação. Por fim, é difícil avaliar o impaco dos choques na variância condicional quando persisenes. O modelo exponencial de GARCH (EGARCH) foi proposo por Nelson (1991) sendo apresenado pela seguine formulação: 11

12 lnσ = α 0 + q i= 1 α g i p ( z i ) + βi ln( σ i ) i= 1 em que z corresponde à série normalizada dos resíduos: z = y σ O valor de g(z ) depende de vários elemenos. Nelson (1991), refere que para acomodar a relação assimérica enre a rendibilidade das acções e a variação da volailidade (...) o valor de g(z ) em de ser função da magniude e do sinal de z., pelo que foi sugerido pelo auor a seguine expressão para a função g(.): g( z ) θ θ [ ] 1z + z E z sinal magniude Noe-se que, E z depende dos pressuposos assumidos para a densidade não condicional. 3.4 TESTE LM (LAGRANGE MULTIPLIER) No modelo ARCH(q) de Engle (198) a variância condicional é dada pelo processo: σ q = α0 + α j= 1 j y j Para esar a presença do ARCH, ou seja, esar H 0 : α 1 = α =...= α j =0, conra H 1 : Exise pelo menos um α j 0, com j=1... q, Engle propôs o ese LM. Engle (198) mosra que a esaísica LM pode ser calculada a parir de TR, em que T represena o número de observações e R o coeficiene de correlação múlipla da regressão e = c + e e -q. 1

13 Na hipóese nula, a esaísica ende assimpoicamene para uma χ, com q graus de liberdade. No modelo GARCH(q, p) de Bollerslev (1986), a variância condicional é dada pelo seguine processo: σ = α + 0 q i= 1 α y i i + p i= 1 β σ i i Não se pode esar a presença de GARCH pela esaísica LM apresenada por Engle. Bollerslev (1986) noou que na hipóese nula de inexisência de heerocedasicidade não há um ese geral para um GARCH(q, p) porque a mariz é singular no caso de q>0 e p>0. Franses e van Dijk (000) refere que Lee (1991), derivou a esaísica LM modificada para H 0 = α j = β i = 0 (j=1... q, i=1...p), conra H 1 : Exise pelo menos um α j 0 e um β i 0. Lee mosrou que ese é um ese equivalene a esar a não exisência de um ARCH(q). Desa forma, na hipóese nula da homocedasicidade, o efeio GARCH e o efeio ARCH são alernaivas equivalenes. 4. DADOS E ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS Para a realização dos eses aos modelos ARCH e GARCH, uilizaram-se os dados referenes ao prémio de risco do mercado, enre 31 de Dezembro de 199 e 31 de Dezembro de 001, oalizando.7 observações diárias (cerca de 50 observações por ano). 13

14 PSI Pela observação da evolução da série, consaa-se a exisência de dois sub-períodos, um aé 1996 e o ouro após Admie-se que esa aleração esruural, coincidene com um período de maior liquidez do mercado se deva: a) a uma melhoria da conjunura económica, do que são imporanes indicadores as axas de crescimeno do PIB claramene superiores às do período anerior e apresenando cera esabilidade em orno dos 3% conrariamene à irregularidade do que vinha aconecendo, em que oscilaram enre 1,4% e 3%; b) à redução acenuada das axas de juro, com a Lisbor a descer de cerca de 9%, no início de 1996, para cerca de 6% no início de 1997, coninuando a descer nos anos seguines, ou seja: no período 199/96 esa axa siuou-se enre 15% e 6% e no 1997/001 enre 6% e 3%; c) ao aumeno da capialização bolsisa por efeio de novas admissões de acções à coação, designadamene na sequência de privaizações, passando de cerca de 19 mil milhões de euros no final do ano de 1996 para 37 mil milhões de euros no 14

15 final de 1997 e coninuando a aumenar nos anos seguines, chegando a aingir cerca de 100 mil milhões de euros em 000 e 001; e d) aos ganhos de credibilidade associados ao cumprimeno dos criérios de Maasrich e consequene admissão de Porugal na U.E.M.. Os modelos foram esados com base no prémio de risco diário e o prémio de risco mensal foi calculado com base no somaório das rendibilidades diárias respecivas. A rendibilidade diária do mercado de capiais foi calculada com base no PSI 0 1 de acordo com a seguine formula: em que: R m PSI = ln PSI R m = rendibilidade diária do mercado de capiais com base no índice PSI 0. A escolha dese índice, em derimeno do PSI Geral, jusifica-se pelo faco do PSI 0 ser Toal Reurn, ou seja, é uma série corrigida dos dividendos pagos pelas empresas que compõem o índice, para além das correcções/ajusamenos dos resanes efeios, do ipo: aumenos de capial, incorporação de reservas, direios de subscrição e agregação. Por sua vez, considerando os inúmeros esudos empíricos realizados aos mercados de capiais inernacionais que aponam para a exisência de anomalias conhecidas como o efeio de Segunda-feira e o efeio dia após feriado (DAF), esou-se a sua exisência no mercado. Os eses consisiram respecivamene nas seguines regressões: 1 As séries do mercado de capiais foram genilmene cedidas pela Euronex Lisboa. 15

16 Rm = a + bsegunda feira + e (1) Rm = a + bdaf + e () em que Segunda-feira corresponde à variável dummy que esa o efeio Segunda-feira. Por sua vez, o coeficiene b explica a diferença enre a rendibilidade média da Segundafeira e a rendibilidade média da não Segunda-feira. Aplicou-se raciocínio idênico à variável dummy que esou o efeio do dia após feriado (DAF). Observou-se que ambos os coeficienes b são esaisicamene significaivos, pelo que se procedeu à limpeza da série, aravés da remoção sequencial deses dois efeios. Finalmene, para a deerminação da série referene ao prémio de risco, deduzimos à rendibilidade diária do mercado bolsisa a axa de juro sem risco (R f ) obida pela correspondene série emporal relaiva ao índice das obrigações do esouro (yield diária das OT s). O prémio de risco do mercado foi obido pela seguine formula: PRM = R m R f Evolução do Prémio de Risco do Mercado PRM 16

17 Series: PRM Sample 1 7 Observaions 7 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Pela análise da figura anerior e das respecivas esaísicas, podemos aferir que a série emporal apresena assimeria com desvio à esquerda, com um Skewness (coeficiene de assimeria) de 0,78 (para uma curva normal simérica o coeficiene é nulo). 4 Normal Quanile PRM O elevado índice de Kurosis (coeficiene de achaameno) da série significa a necessidade de uma fa-ail disribuion para descrever esa variável, ou seja, indica-nos que esamos perane uma série emporal que não segue uma normal (para a disribuição 17

18 normal a kurosis seria igual a 3). Pelo ese Jarque-Bera rejeia-se a normalidade da série. 5. RESULTADOS EMPÍRICOS Deerminou-se a função de auocorrelação (ACF) e a função de auocorrelação parcial (PACF) do quadrado das observações referenes ao prémio de risco de mercado, as quais revelam a exisência de uma memória longa na série emporal analisada, como se pode observar nas figuras seguines, para oda a série e para as primeiras 00 observações Sample ACF 1.00 Sample PACF

19 1.00 Sample ACF 1.00 Sample PACF GARCH(1, 1) - PRÉMIO DE RISCO DO MERCADO (DIÁRIO) AMOSTRA TOTAL Tendo-se consaado que os resulados do modelo ARCH(1) não possibiliam a eliminação complea da correlação no quadrado dos resíduos, apresenam-se duas opções: o modelo ARCH com um número elevado de desfasamenos ou um modelo GARCH(1, 1). Relaivamene ao modelo ARCH, consaou-se que, só a parir de um q=6, se consegue eliminar a correlação exisene nos resíduos, pelo que se opou por esar o modelo GARCH(1, 1), com a seguine formulação: σ y σ = α 0 + α β 1 1 Com ese modelo obiveram-se os seguines resulados: 19

20 Dependen Variable: PRM Mehod: ML - ARCH Sample(adjused): 1 7 Included observaions: 7 afer adjusing endpoins Convergence achieved afer 0 ieraions Bollerslev-Wooldrige robus sandard errors & covariance Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. Variance Equaion C 9.90E-07.63E ARCH(1) GARCH(1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Os coeficienes da equação da variância (α 0, α 1 e β 1 ) são esaisicamene significaivos, a um nível de significância de 5%, o que indica a presença do efeio ARCH e GARCH na variância. No enano, o somaório dos coeficienes é superior a 1, do que se infere pela inexisência de um processo esacionário da volailidade. 0

21 Repeindo os dois eses para a verificação da persisência da variância, obivemos os seguines resulados: Tese Q Correlogram of Sandardized Residuals Squared Sample: 1 7 Included observaions: 7 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob Nese modelo, al como no ARCH(1), não se aceia H 0, ou seja, a um nível de significância de 5% (apenas 9 em 0 dos desfasamenos apresenam significância a ese nível) a correlação do quadrado dos resíduos não é um ruído branco. 1

22 Tese LM ARCH Tes: F-saisic Probabiliy Obs*R-squared Probabiliy Tes Equaion: Dependen Variable: STD_RESID^ Mehod: Leas Squares Sample(adjused): 1 7 Included observaions: 07 afer adjusing endpoins Whie Heeroskedasiciy-Consisen Sandard Errors & Covariance Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C STD_RESID^(-1) STD_RESID^(-) STD_RESID^(-3) STD_RESID^(-4) STD_RESID^(-5) STD_RESID^(-6) STD_RESID^(-7) STD_RESID^(-8) STD_RESID^(-9) STD_RESID^(-10) STD_RESID^(-11) STD_RESID^(-1) STD_RESID^(-13) STD_RESID^(-14) STD_RESID^(-15) STD_RESID^(-16) STD_RESID^(-17) STD_RESID^(-18) STD_RESID^(-19) STD_RESID^(-0) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Analisando o respecivo p-value individualmene, a maior pare dos coeficienes não é esaisicamene diferene de zero. Conudo, esando os coeficienes em grupo, a Prob(F-saisic) é significaiva, pelo que não se aceia a hipóese nula, a 5% de significância, de que o quadrado dos resíduos não é correlacionado (a 10%, H 0 não seria

23 rejeiada). Porano, coninuamos a considerar que não exise um nível de confiança significaivo de que o quadrado dos resíduos seja um ruído branco. 5. GARCH(1, ) - PRÉMIO DE RISCO DO MERCADO (DIÁRIO) AMOSTRA TOTAL Tendo em consideração que o modelo GARCH(1,1) não consegue eliminar compleamene a correlação do quadrado dos resíduos, esaram-se ouras varianes do modelo GARCH. O que apresenou melhor desempenho foi o GARCH(1, ), quer em relação ao GARCH(, 1), quer em relação ao GARCH (, ). A formulação do GARCH(1, ) é a seguine: σ = α0 + α1y 1 + β1σ 1 + β σ Abaixo apresenam-se os resulados obidos com o modelo GARCH(1, ): Dependen Variable: PRM Mehod: ML - ARCH Sample(adjused): 1 7 Included observaions: 7 afer adjusing endpoins Convergence achieved afer ieraions Bollerslev-Wooldrige robus sandard errors & covariance Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. Variance Equaion C 1.44E E ARCH(1) GARCH(1) GARCH() R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa

24 Para um nível de significância de 5%, o coeficiene β 1 não é significaivo. Tal como no modelo GARCH(1,1), o somaório dos coeficienes é superior a 1, o que indica coninuar a não exisir um processo esacionário da volailidade. Repeindo os eses da persisência da variância, obivemos os seguines resulados: Tese Q Correlogram of Sandardized Residuals Squared Sample: 1 7 Included observaions: 7 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob Aqui, sem qualquer excepção, não se pode rejeiar a hipóese nula do quadrado dos resíduos ser um ruído branco, mesmo a um nível de significância de 10%. Desa forma, o modelo consegue, de forma posiiva, remover a correlação do quadrado dos resíduos. O sofware uilizado (Eviews 3.0) não inclui como opção a possibilidade de recalcular o modelo com a exclusão de um coeficiene inermédio não significaivo. 4

25 Tese LM ARCH Tes: F-saisic Probabiliy Obs*R-squared Probabiliy Tes Equaion: Dependen Variable: STD_RESID^ Mehod: Leas Squares Sample(adjused): 11 7 Included observaions: 17 afer adjusing endpoins Whie Heeroskedasiciy-Consisen Sandard Errors & Covariance Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C STD_RESID^(-1) STD_RESID^(-) STD_RESID^(-3) STD_RESID^(-4) STD_RESID^(-5) STD_RESID^(-6) STD_RESID^(-7) STD_RESID^(-8) STD_RESID^(-9) STD_RESID^(-10) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var.9857 S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) A parir deses resulados, consaa-se que apenas um dos coeficienes dos desfasamenos é significaivamene diferene de zero, dados os seus p-values. Também a esaísica F para os coeficienes considerados em conjuno, não permie rejeiar a hipóese nula do quadrado dos resíduos ser um ruído branco, pelo que se pode assumir que os resíduos esão suficienemene limpos pelo modelo GARCH(1, ). 5.3 GARCH(1,1) PRÉMIO DE RISCO DO MERCADO (DIÁRIO) SUB-PERÍODO Mikosch e Sarica (000) concluem pela impossibilidade de modelizar séries longas de rendibilidade com os modelos GARCH, na medida em que a inexisência de 5

26 esacionaridade global exige a acualização dos parâmeros do modelo. Aendendo a esa consaação, confirmada ambém pelos resulados acima obidos, procedemos à mesma análise, agora referene a um período mais curo (desde o início de 1997 aé ao final de 001). A escolha do sub-período baseou-se na análise gráfica do prémio de risco do mercado, que evidencia uma aleração esruural naquela daa, a qual coincide com o início de um período de maior liquidez do mercado. Para ese período mais curo esou-se ambém o modelo ARCH(1), concluindo-se, aravés do ese LM, que os quadrados dos resíduos se apresenam correlacionados. O modelo GARCH(1,1) foi o que apresenou melhor desempenho. Dependen Variable: PRM Mehod: ML - ARCH Sample: Included observaions: 138 Convergence achieved afer 9 ieraions Bollerslev-Wooldrige robus sandard errors & covariance Coefficien Sd. Error z-saisic Prob. Variance Equaion C 1.10E-05.94E ARCH(1) GARCH(1) R-squared Mean dependen var 7.30E-06 Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa Todos os coeficienes são significaivos mesmo ao nível de significância de 1%, exisindo um processo esacionário de volailidade na medida em que a soma dos coeficienes é inferior a 1 (0,93). 6

27 Tese Q Sample: Included observaions: 138 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob Os eses Q e LM concluem pela rejeição da hipóese H 0, assumindo-se, por isso, que o quadrado dos resíduos é um ruído branco, podendo-se, assim, considerar que o modelo GARCH(1,1) consegue limpar os resíduos. Tese LM 7

28 ARCH Tes: F-saisic Probabiliy Obs*R-squared Probabiliy Tes Equaion: Dependen Variable: STD_RESID^ Mehod: Leas Squares Sample(adjused): Included observaions: 18 afer adjusing endpoins W hie Heeroskedasiciy-Consisen Sandard Errors & Covariance Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C STD_RESID^(-1) STD_RESID^(-) STD_RESID^(-3) STD_RESID^(-4) STD_RESID^(-5) STD_RESID^(-6) STD_RESID^(-7) STD_RESID^(-8) STD_RESID^(-9) STD_RESID^(-10) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression.394 Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-W ason sa Prob(F-saisic) EQUAÇÃO DA VARIÂNCIA DO MODELO GARCH(1, 1) O modelo escolhido para a previsão da volailidade do prémio de risco do mercado foi o GARCH(1,1), com base no sub-período Dese resulou a seguine equação para a variância condicional: σ = 1.10E y σ PREVISÃO DA VOLATILIDADE DO PRÉMIO DE RISCO DO MERCADO Dado que, no modelo GARCH(1,) aplicado ao período oal, a soma dos coeficienes foi superior a 1, não se obeve esacionaridade no processo da volailidade do prémio de risco do mercado, o que pode ser consaado pela análise gráfica do Forecas of Variance do sofware Eviews, pelo méodo de esimação dinâmico. 8

29 GARCH(1, ) Prémio de Risco Diário Forecas: PRMF Acual: PRM Sample: 1 7 Include observaions: 7 Roo Mean Squared Error Mean Absolue Error Mean Abs. Percen Error Theil Inequaliy Coefficien Bias Proporion Variance Proporion Covariance Proporion PRMF ± S.E Forecas of Variance Com o modelo GARCH(1,1) aplicado ao sub-período considerado, consegue-se ober um processo esacionário de volailidade, dado o somaório dos coeficienes, nese modelo, ser inferior a 1, apesar de basane próximo. 9

30 GARCH(1, 1) Prémio de Risco de Mercado (Diário) Sub-período Forecas: PRMF Acual: PRM Sample: Include observaions: 138 Roo Mean Squared Error Mean Absolue Error Mean Abs. Percen Error Theil Inequaliy Coefficien Bias Proporion Variance Proporion Covariance Proporion PRMF ± S.E Forecas of Variance Como podemos consaar analiicamene, quando a soma dos α s e dos β s é menor do que um, os modelos GARCH apresenam uma variância finia consane, sendo por isso um ruído branco. A exemplificação dese caso é relaivamene fácil para o nosso modelo GARCH(1,1), como mosra Harvey (1993). Seguindo a derivação do modelo ARCH(1), podemos escrever: E E 1 ( y ) E [ γ + αy + βσ ] = γ + ( α + β ) σ = γ + ( α + β )[ γ + αy + βσ ] = Repeindo o processo aé infinio, podemos verificar que se α+β<1, Var ( y γ ) = 1 ( α β ) 30

31 Para o modelo GARCH(1,1), aplicando a equação da variância acima descriminada, obivemos os seguines valores previsionais diários para a volailidade do prémio de risco do mercado (variância não condicional): σ σ σ Como verificamos na abela apresenada, o valor para o qual a volailidade ende no infinio corresponde ao valor da previsão do gráfico apresenado acima. Ese valor anualizado pelos dias de ransacção, corresponde a um desvio padrão do prémio de risco do mercado de aproximadamene 19,5%. 5.6 ESTABILIDADE ESTRUTURAL Para esar formalmene a esabilidade esruural do modelo, realizámos, al como Wu e Crao (1995), um ese ipo de Wald, com a seguine formulação: λ = ( b b ) ( n V + n V ) ( b ) b em que: n 1 e n são as dimensões dos sub-períodos comparados; b 1 e b são os vecores dos coeficienes esimados para o inervalo n 1 e n ; V 1 e V são as marizes de variâncias-covariâncias correspondenes àqueles coeficienes. A hipóese nula da esabilidade esruural é de que b 1 seja igual a b. Ese ese ende assimpoicamene para uma χ (k), em que k é igual a p+q+1 parâmeros. 31

32 Tesámos a esabilidade esruural da variância do prémio de risco do mercado para o sub-período compreendido enre Janeiro de 1997 e Dezembro de 001. Por sua vez, dividimos o sub-período em dois com 30 meses cada: o primeiro de Janeiro de 1997 a Junho de 1999 e o segundo de Julho de 1999 a Dezembro de 001. Obivemos um lambda de 0.05, pelo que exise esabilidade esruural da variância, ou seja não se rejeia a hipóese H 0, para um nível de significância de 5%, no período considerado. 6. CONCLUSÕES As principais conclusões do nosso rabalho são as seguines. O prémio de risco do mercado diário exibe uma significane persisência na volailidade que pode ser descria por um processo GARCH. No enano, exise alguma evidência que apona para a não uilização de séries longas de rendibilidade, pela sua fala de esacionaridade. De enre os modelos analisados (ARCH, GARCH e EGARCH), o que evidenciou melhor desempenho esaísico foi o modelo GARCH(1,1) aplicado ao sub-período Ese modelo apresenou coeficienes significaivos. Esas conclusões foram corroboradas pelo ese LM, o que levou à não rejeição da hipóese nula do quadrado dos resíduos ser um ruído branco. Também com o modelo GARCH(1,1) aplicado ao referido sub-período , conseguiu-se ober um processo esacionário de volailidade para a previsão do prémio de risco do mercado, dado o somaório dos coeficienes dese modelo ser inferior a 1, apesar de basane próximo. 3

33 Finalmene, consaou-se a exisência de esabilidade esruural do prémio de risco do mercado, quando considerados dois sub-períodos de dois anos e meio cada um. 7. BIBLIOGRAFIA Akgiray, V., (1989), Condiional heeroskedasiciy in ime series of sock reurns: evidence and forecass. Journal of Business 6, Barndorff-Nielsen, O. E., (1997), Normal Inverse Gaussian Disribuion and Sochasic Volailiy Modelling, Scandinavian Journal of Saisics, vol. 4, Beller, Kenneh e Nofsinger, John R. (1998), On sock reurn seasonaliy condiional heeroskedasiciy. The Journal of Financial Research, Black, F., (1976), Sudies of Sock Marke Volailiy Changes, Proceedings of he American Saisical Associaion, Business and Economic Saisics Secion, Bollerslev, Tim. (1986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics, 31: Bollerslev, Tim, Chou, R. Y. e Kroner, K. F., (199), ARCH modeling in finance: a review of he heory and empirical evidence. J. Economerics, 5, Breid, F. Jay; Crao, Nuno e Lima, Pedro J. F. (1995), The deecion and esimaion of he long memory in sochasic volailiy. Journal of Economerics, vol 83, pp Brooks, Chris (1998), Predicing Sock Index Volailiy: Can Marke Volume Help?. Journal of Forecasing, vol. 17, Chong, Choo Wei; Ahmad, Muhammad Idrees; e Abdullah, Ma Yusoff (1999), 33

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36 6, Wu, Ping e Crao, Nuno (1995), New Tess for Saionariy and Pariy Reversion: Evidence on New Zealand Real Exchange Raes. Empirical Economics, 0,