Aplicação de um algoritmo quântico para obtenção de autoenergias de potenciais oscilatórios

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1 SCIENTIA PLENA VOL. 6, NUM. Aplicação d um algoritmo quâtico para obtção d autorgias d potciais oscilatórios José Irailso J. Satos, Clélio B. Goms, Adr M. C. Souza Dpartamto d Física, Uivrsidad Fdral d Srgip, 49-, São Cristóvão-SE, Brasil irailsosatos@hotmail.com, amcsouza@ufs.br (Rcbido m 3 d julho d ; acito m 8 d outubro d ) O studo dos algoritmos quâticos tm aumtado sua importâcia os últimos aos dvido à sua maior ficiêcia quado comparado com os algoritmos clássicos. Cálculo d sistmas quâticos d muitas partículas é quas impossívl quado s utiliza d dispositivos clássicos, dssa forma, algoritmos quâticos têm sido utilizados para stimar autorgias d sistmas físicos. Utilizado-s d um algoritmo quâtico dscrvrmos st trabalho um método itrativo d obtção das auto-rgias d um sistma dscrito por potciais harmôicos. O sistma iicia-s m um stado alatório após sucssivas itraçõs covrgirá para um stado d rgia E. Palavras chav: computação quâtica, algoritmo quâtico, qubit Th study of quatum algorithms has gaid importac i rct yars du to its highr fficicy wh compard with algorithms classics. Calculatio of quatum systms of may particls is almost impossibl wh usig traditioal dvics, thus, quatum algorithms hav b usd to stimat th rgis of physical systms. Usig a quatum algorithm, w dscrib i this wor a itrativ mthod for obtaiig th rgis of a systm dscribd by harmoic pottial. Th systm starts i a radom stat ad aftr succssiv itratios covrg to a igvalu of rgy E. Kywords: quatum computr, quatum algorithm, qbit. INTRODUÇÃO A Computação Quâtica surgiu o iício da década d 8 volvdo três grads áras do cohcimto: Matmática, Física Computação. Na computação Quâtica a uidad básica d iformação é o qubit ou qbit. Um qbit pod assumir os valors d ou, assim como um bit covcioal. A grad vatagm é qu um qbit pod assumir valors suprpostos dsss dois stados é sta propridad qu s cotra toda a difrça, torado a computação quâtica mais ficit uma altrativa para solução d problmas d sistmas d criptografia, itligêcia artificial, dtr outros. Utilizado cocitos d Mcâica Quâtica, algus algoritmos quâticos já foram criados aprstam um surprdt dsmpho quado comparados com sus aálogos clássicos. Na computação clássica, a maioria dos algoritmos, o tmpo d cálculo aumta xpocialmt com o tamaho do sistma simulado quato qu um computador quâtico st tmpo crsc apas poliomialmt. Dutsch [] propôs, m 985, um algoritmo utilizado apas opraçõs quâticas, capaz d rsolvr um dtrmiado problma matmático d forma mais ficit qu por métodos clássicos. Kitav [] dsvolvu um algoritmo basado a stimação d fas para cotrar autovalors d um oprador cujos autovtors são cohcidos. A ssêcia dst algoritmo stá o fato d qu cohcido os autostados do hamiltoiao matdo sts itactos durat as itraçõs, dtrmia-s sucssivamt a fas dsts auto-stados. Dail S. Abrams Sth Lloyd [3] dsvolvram um algoritmo quâtico qu utiliza uma trasformada d Fourir quâtica (QFT) para cotrar autovalors autovtors d um Hamiltoiao local m tmpo poliomial msmo m casos qu algoritmos clássicos xigm tmpo xpocial. A rgia do stado fudamtal da água, do Hidrto d Lítio, d moléculas d hidrogêio foram calculadas por Aspuru-Guzi t al [4] utilizado-s d algoritmos quâticos smlhats aos citados acima. Com o objtivo d ivstigar a prcisão a implmtação física d computadors quâticos Dobsic t al [5] itroduziu uma corrção d fas, uma mudaça a rgia d rfrcia o o algoritmo d Kitav. Difrtmt d Abrams Lloyd m qu um stado iicial ra assumido, Pétr Varga Barabás Apagyi [6] dsvolvram um algoritmo quâtico qu s iicia m um stado compltamt alatório usado um qbit auxiliar, dtrmia-s uma mudaça a rgia d rfrêcia através d mdidas sucssivas dss qbit auxiliar. 48-

2 J. I. J. Satos, C. B. Goms, A. M.C. Souza, Scitia Pla 6, 48 () O objtivo dst trabalho é aplicar o algoritmo quâtico d Varga Apagyi [6] para obtção d autorgias d potciais oscilatórios. Na sssão dscrvmos o algoritmo quâtico d Varga Apagyi [6], aalisado as codiçõs d covrgêcia do algoritmo. Na sssão 3 aplicamos o algoritmo quâtico d Varga Apagyi [6] a um sistma físico quâtico cujo potcial é do tipo V= x λ /λ, od λ é uma costat ral x a posição da partícula, a fim d obtr por mio d um procsso itrativo suas autorgias. Também ssa sssão obsrvamos qu quado λ=, o rsultados obtidos ss trabalho ratificam os cotrados a rfrêcia [6] complmtamos a aplicação do algoritmo para λ=3. Na sssão 4 aprstamos as coclusõs dss trabalho.. DESCRIÇÃO DO ALGORITMO O algoritmo s iicia um stado alatório qu chamarmos d auxiliar um stado do sistma simulado. Dst modo,. Est stado é produto d um qbit () O qbit auxiliar dss stado iicial é suposto a primira itração do algoritmo scrvdo o stado a bas dos auto-stados do hamiltoiao qu dscrv o sistma, a quação () tora-s: c () O sistma volui do stado para o stado através da aplicação d portas lógicas quâticas uitárias do tipo Hadamard H ad, qu cria uma suprposição d stados quâticos quado iht aplicada a um qbit ou [7] do tipo oprador volução tmporal U ( t ), qu dscrv como o sistma volui o tmpo, od H é o hamiltoiao t é o tmpo [7]. Uma porta Hadamard (H ad ) é um oprador sm sigificado clássico sua aplicação rsulta m uma sobrposição d dois outros stados: H ad ( ) ou H ad ( ) (3) Na figura, rprstamos a primira itração do algoritmo. Rprstamos sparadamt a liha d tmpo para o stado auxiliar (qbit) para o stado do sistma. Figura. Primira itração do algoritmo(figura rtirada d [6].) O stado auxiliar iicialmt é dscrito por qu sofr a ação da porta Hadarmard (H ad ). Após a aplicação da porta Hadamard o qbit auxiliar da quação () o stado é scrito como:

3 J. I. J. Satos, C. B. Goms, A. M.C. Souza, Scitia Pla 6, 48 () 3 a c (4) Em sguida o stado sofr a atuação do oprador U cotrolada plo qbit auxiliar st oprador atua apas o stado do qbit auxiliar, rsultado o stado b : ie t b c c (5) A primira itração do algoritmo trmia com a aplicação d uma porta Hadamard a quação (5), rsultado o stado: c c iet c c ie t iet c c Trmiada a primira itração do algoritmo é fita a mdida do qbit auxiliar q, dsta forma, após algus cálculos, é fácil mostrar qu o sistma aprsta as sguits probalidads d s mdir os qbits q = ou q =, rspctivamt: P P c 4 c 4 ie t ie t Das quaçõs (7) (8), pod-s obsrvar qu durat o procsso itrativo, s a fas E t for próximo d tmos qu o valor da xpocial fica próximo d, assim P c P (6) (7) (8), (9a) Qu sigifica qu é mais provávl mdir o qbit auxiliar como sdo >. D maira smlhat, s a fas E t for próximo d π, o valor da xpocial fica próximo d -, assim P c P, (9b) sdo mais provávl mdir o qbir auxiliar >. Após a mdida do qbit auxilar o stado d saída srá,qu fucioará como trada para a próxima itração, xpadido m trmos dos autostados do hamiltoiao st stado rsulta m: c () Por coviêcia itroduz-s uma corrção d fas E a rgia do sistma d tal forma qu a (+)- ésima itração a quação (3) tora-s: od t U ( t ) máx i ( H E ) t mí () E E ()

4 J. I. J. Satos, C. B. Goms, A. M.C. Souza, Scitia Pla 6, 48 () 4 E máx E mí são, rspctivamt, as rgias máxima míima supostas para o sistma simulado las variam da sguit forma: Emáx Emí quado mdido q =: E E (3) máx máx Emáx Emí quado mdido q =: E E (4) mí mí E m qualqur dos dois casos E -rgia aproximada do sistma a -ésima itração, srá: E E E E máx mí (5) 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES No osso studo aalisamos o hamiltoiao cuja part potcial é a sguit: x V, (6) m qu é uma costat ral x a posição da partícula. Tabla : Evolução tmporal dos valors d rgia E max E mi E para = Qbit E mi E max E

5 J. I. J. Satos, C. B. Goms, A. M.C. Souza, Scitia Pla 6, 48 () 5 No osso programa umérico, tmos qu dfiir um itrvalo d valors da posição x. Cosidramos x Є [-A, A] o dividimos m N- itrvalos iguais com spaçamto x=a/(n-). A quatidad d potos N dpd do úmro d qbits d qu formam o rgistrador do computador quâtico, d forma qu N= d. Cada poto stá associado com um stado d uma bas ortoormal pod sr rprstada como x j =-A+j x, com j=,,,...,n-. Na tabla aprstamos a volução tmporal dos valors d E max, E mi E. Pod-s obsrvar sua covrgêcia para o auto-stado d rgia E =.473. Os dados foram obtidos para a sguit situação: A=4, E máx =, E mí =, E =, N=56, =, com c = s =63 c = para outros valors d, qu corrspod à posição x=-.35 ao valor tórico d rgia igual a.473, dmostrado qu o algoritmo covrg para o valor xato d rgia. Na figura aprstamos a volução tmporal dos valors d E max E mi sua covrgêcia para o autostado d rgia E para os dados do caso atrior, mas agora com c = s =3 c = para outros valors d. Os valors tóricos são x=-3.75 auto-rgia igual a Figura : Evolução tmporal dos valors d rgia E max E mi E para = Figura 3: Evolução tmporal dos valors d rgia E max E mi E para =3

6 J. I. J. Satos, C. B. Goms, A. M.C. Souza, Scitia Pla 6, 48 () 6 Figura 4: Evolução tmporal dos valors d rgia E max E mi E para =/3 A figura 3 foi obtida para A=4, E máx =, E mí =, E =, N=56, =3, com c = s =3 c = para outros valors d. Os valors tóricos são x=-3.75 autorgia igual a Fialmt, a figura 4 mostra o caso do potcial =3/, com A=4, E máx =, E mí =, E =, N=56, com c = s =3 c = para outros valors d. Os valors tóricos são x=-3.75 autorgia igual a CONCLUSÕES Nst trabalho usamos um algoritmo quâtico para obtr as autorgias d uma partícula quâtica submtida a potciais oscilatórios. A covrgêcia para o autostado d rgia E tórico ocorr à mdida qu o úmro d itraçõs aumta, o osso caso = foi o suficit para obtrmos rsultados satisfatórios. A grad importâcia dst trabalho é o tdimto d um algoritmo quâtico qu dvrá srvir d bas da programação das futuras graçõs d computadors. 5. AGRADECIMENTOS J. I. J. Satos A. M. C. Souza agradcm ao CNPq C. B. Goms agradc à FAPITEC/SE plo apoio fiaciro.. JÚNIOR, B. L.; LIMA A. F. Circuitos Quâticos. Dispoívl m: < ppgif.ucpl.tch.br/wciq/cd/.../mii-cursobrardo-lula.pdf >. Acssado m: d Ju d.. KITAEV, A. Y. -prit arxiv:quat-ph/ ABRAMS, D. S.; LLOYD S. Phys. Rv. Ltt., vol 83, pp , ASPURU-GUZIK, A. t al. Scic, vol 39, pp 74, DOBSICEK, M.; JOHANSSON, G.; SHUMEIKO V. WENDIN G.,Phys. Rv. A vol 76, 336, VARGA, P.; APAGYI, B.. Phys. Rv. A vol 78, 337, NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L.; Computação Quâtica Iformação Quâtica: Booma, 5.