J. Ricardo de Sousa 1, Débora Coimbra

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1 Rvista Brasilira d sio d Física, v. 26,. 2, p , (2004) Aális da covrgêcia a Toria da Prturbação stacioária (Covrgc Aalisys i Statioary Prturbatio Thory) J. Ricardo d Sousa, ébora Coimbra partamto d Física, Istituto d Ciêcias xatas, Uivrsidad Fdral do Amazoas Rcbido m 3/02/2004; Acito m 08/04/2004 Nst trabalho, aprstamos uma rvisão da toria d prturbação a Mcâica Quâtica mostramos qu a séri prturbativa d Rayligh-Schrödigr ão covrg para o rsultado xato obtido por itgração umérica para o caso do oscilador aarmôico do tipo x 4 do fito Star o átomo d hidrogêio. Abordamos um método d rormalização da rgia prturbativa, domiado aproximat d Padé, para cotorar o problma da covrgêcia das séris d potêcias. Como ilustração, tratamos o caso da toria d prturbação d quarta ordm o oscilador aarmôico λx 4 vrificamos a ficácia do aproximat d Padé m comparação à solução umérica. Palavras-chav: toria d prturbação stacioária, aproximats d Padé. I this wor, w ta a rvisio of prturbatio thory i Quatum Mchaics ad w wr show that Rayligh- Schrodigr prturbativ sris did ot covrg to xact umrical rsults of aharmoic oscillator or Star ffct i Hydrog atom. W utiliz Pad approximats, as a tchiqu of rormalizatio of prturbativ rgis. W trat fourth ordr prturbatio to aharmoic oscillator λx 4 ad vrify th accuracy of Pad approximats i rlatio to umrical xact solutio. Kywords: statioary prturbatio thory, Pad approximats.. Itrodução No fial do século XIX, a Mcâica d Nwto a Toria d Maxwll do campo ltromagético costituiam os pilars da Física Clássica. A partir dssa época, a dscobrta d uma séri d ovos fômos, icomprsívis à luz dstas torias clássicas lvou à itrodução d um cojuto d hipótss ovas, qu, aos mais tard, cristalizaram-s o qu hoj cohcmos como Mcâica Quâtica. Ao lado da Toria da Rlatividad, stas criaçõs da mt humaa são os ovos pilars da Física Modra, xplicado d forma satisfatória grad part dos fômos microscópicos. O cocito d corpo gro foi itroduzido por Kirchhoff [] m 860. Somt com o advto da quatização da rgia proposta por Max Plac [2] o iício do século passado, a fim d stablcr a fudamtação tórica para a comprsão do quilíbrio tr radiação matéria, é qu foram xplicados por complto uma séri d ovos rsultados xprimtais obsrvados a época [3]. Rctmt, o artigo d Plac foi traduzido a partir do origial almão comtado didaticamt m sus aspctos ssciais por Studart [4] (há também, a Rf. [3], uma dscrição histórica dss assuto). A idéia pricipal do ovo mudo quâtico é qu uma partícula matrial aprsta um comportamto dual, ora como oda, ora como partícula, sdo o msmo ifluciado plo modo como é obsrvada. A aturza dsta dualidad stá itrisicamt associada ao pricípio da icrtza d Hisbrg [5], qu rlacioa a icrtza a prcisão d mdidas d gradzas complmtars ao quatum d ação (costat d Plac) [44]. Poucos sistmas d itrss físico m Mcâica Quâtica podm sr tratados aaliticamt d modo xato. A limitação dvs a grad dificuldad opracioal d rsolvrmos quaçõs difrciais volvdo as fuçõs d oda d Schrödigr. Nst stido, a toria d prturbação é um dos pricipais métodos para solucioar problmas d autovalors m física tórica [6]. Porém, m divrsos livros-txto dispoívis a litratura [6] ( qu são d osso cohcimto), obsrvamos a aprstação apas do limit d aplicabilidad dsta toria, raramt coduzido a uma discussão além das corrçõs d sguda ordm [45]. m gral, isto pod iduzir o litor a psar qu o aumto da quatidad d trmos da séri prturbativa implica m um rsultado covrgt para a corrção da rgia, m complto acordo com o valor obtido umricamt (para um dado Hamiltoiao) [46]. Iflizmt, as xpasõs prturbativas (Rayligh- Schrödigr) só covrgm para uma faixa rlativamt pqua d valors da costat d acoplamto λ. ivrg para a maioria dos potciais quado um valor arbitrário ão-ulo dsta costat é cosidrado [9, 0]. A aprstação dss assuto, limitada apas a cálculos d corrçõs prturbativas d primira sguda ordm, iduz ao quívoco da covrgêcia mcioado a falta dssas iformaçõs os livros-txto d mcâica quâtica pod sr vista como uma falha a sr rpsada as obras futuras. Tmos obsrvado aáliss m ords mais altas da séri da xpasão viar corrspodêcia para J. Ricardo d Sousa. -mail: dbora@ufam.du.br. Copyright by th Socidad Brasilira d Física. Pritd i Brazil.

2 30 Sousa Coimbra prturbativa d Rayligh-Shcrödigr somt m livros-txto d toria quâtica d campo [47]. A dscrição clássica d um sistma físico tm como poto d partida as lis d Nwto para uma aális prcisa do movimto dos corpos, quato as itraçõs da radiação com a matéria stão stablcidas a partir das quaçõs d Maxwll do ltromagtismo. Por outro lado, o mudo microscópico, a idéia d trajtória, apropriada à Mcâica Clássica, ão faz mais stido dvido ao pricípio da icrtza d Hisbrg. Assim, uma das possívis dscriçõs físicas dst ovo mudo idica a solução da quação d Schrödigr, qu para apas uma partícula d massa m é dada por Ψ(r, t) HΨ(r, t) = iħ, () t a qual H é oprador Hamiltoiao (cujo autovalor corrspod à rgia total) da partícula, dfiido por H = ħ2 2m 2 + V (r, t), (2) sdo V (r, t) o potcial, h = 6, J.s a costat d Plac (quatum do momto agular, ħ = h/2π). A fução d oda Ψ(r, t) é uma gradza complxa dsprovida d sigificado físico próprio, mas a fução ral Ψ(r, t) 2 rprsta fisicamt a distribuição d probabilidad d cotrar a partícula o istat d tmpo t tr r r + dr. As gradzas físicas mdidas xprimtalmt são rprstadas por úmros rais. sta maira, a formulação da Mcâica Quâtica d Schrödigr, a cada obsrvávl físico A stá associado um oprador A b qu a rprstação das coordadas corrspod a uma fução dpdt d r t, isto é, A(r, t). xprssamos o valor dsta gradza através d uma média quâtica calculada como Z A (t) = d 3 rψ (r, t) A b Ψ(r, t). (3) Sdo a gradza msurávl ral, da q. (3), s A (t) = A (t), o oprador associado a ssa gradza tm qu sr cssariamt hrmitiao [48]. Para o caso da rgia potcial ão dpdr do tmpo xplicitamt, V (r), aplicamos o procsso d sparação d variávis Ψ(r, t) = Φ(r)Ω(t), d modo qu a q. () pod sr rscrita a forma sdo ħ2 2m 2 Φ(r) + V (r)φ(r) = Φ(r), (4) Ω(t) = xp( it/ħ). (5) Nas qs. (4) (5), corrspod à autorgia Φ(r) à autofução associada. A q. (4), cohcida como a quação d Schrödigr ão dpdt do tmpo, tm, como cosqüêcia da q. (3), qu um valor médio d qualqur obsrvávl físico idpd do tmpo. pddo do potcial das codiçõs d cotoro do problma, podmos tr um spctro d rgia discrto ou cotíuo. No caso discrto, tmos uma partícula um dado potcial V (r) limitado uma rgião do spaço, fazdo com qu a partícula oscil com uma fução d oda Φ(r) (stados ligados). Por xmplo, uma partícula livr uma caixa uidimsioal, limitada tr as rgiõs x = 0 x = a, com valor ifiito d potcial as pards, tm um spctro d rgia dado por = 2, com = ħ2 π 2 2ma. 2 A solução aalítica da q. (4) só xist para algus casos simpls d potciais V (r). Para os casos mais complxos, como por xmplo V (x) = ax 2 + bx 4 (b 0), só xist tratamto umérico. Osciladors aarmôicos são adquados para dscrvr d modo aproximado as vibraçõs das moléculas rds cristalias, sdo aplicados também m muitos ramos da física, possibilitado o surgimto d problmas ão-triviais itrssats [7]. São d particular importâcia para a toria quâtica d campos suas xpasõs prturbativas d ords maiors (Rayligh- Shrödigr) são tratadas m muitos livros txto spcializados [9, ]. Para um sistma ão itragt, o tratamto umérico é rlativamt simpls. Quado abordamos um sistma ral, tmos um sistma d partículas itragts cuja solução, para a grad maioria dos casos, cssita d rcursos computacioais laborados. Por outro lado, algumas dzas d métodos aproximativos para tratar sistmas d muitos corpos itragts têm sido propostos a litratura. Algus dsts métodos mostram crtas limitaçõs a procura da solução xata, ou mais próxima da xata. Podmos citar, por xmplo, o problma Kodo [2], associado ao fômo xistt m algumas ligas mtálicas diluídas, as quais aprstam uma dimiuição da rsistividad ρ com o aumto da tmpratura até o valor caractrístico T K (tmpratura Kodo, valor para o qual ρ é míima) para T > T K tmos o crscimto caractrístico da rsistividad com a tmpratura. Kodo mostrou através d toria d prturbação até sguda ordm, qu o míimo a rsistividad é xplicado, mas com um rsultado frustrat da divrgêcia da msma quado a tmpratura vai a zro. Na década d sssta, vários cálculos prturbativos m ordm supriors a dois foram ralizados, mas hum foi capaz d limiar a icosistêcia física da divrgêcia da rsistividad quado T 0. A aturza do stado fudamtal do problma Kodo só foi rsolvida a década d stta, quado Wilso [3] dsvolvu o método umérico do grupo d rormalização, obtdo corrtamt um valor fiito para a rsistividad m T = 0K. Os primiros studos tóricos do fito Star [4], qu é caractrizado pla modificação do spctro da rgia dos átomos quado submtidos à prsça d um campo létrico uiform, foram ralizados por psti Schwarzchild [5], m 96, com o auxílio da toria quâtica d Bohr Sommrfld (vlha mcâica quâtica) para o átomo d Hidrogêio. Surprdtmt, foram capazs d xplicar muito bm os dados xprimtais da época para o caso d campo létrico fraco ( < 3, V/cm). A aplicação do campo létrico modifica a aturza do spctro, trasformado ívis discrtos m ívis cotíuos, isto porqu o létro pod sr ioizado para campos itsos. Além dos dsdobramtos dos ívis, outra propridad importat aalisada é a vida média dos létros ioizados m fução da itsidad do campo létrico. m 926, a ttativa d tdr o fito Star à luz da toria quâtica modra, Schrödigr [6], imdiatamt após propor sua quação difrcial para a fução d oda, q. (), imagiou qu o trmo adicioal W =.r o Hamiltoiao do átomo d Hidrogêio, dvria apas prturbar os ívis discrtos d rgia. Assim, para studar o fito Star, Schrödigr propôs a toria da prturbação. Idpdtmt quas simultaamt, as séris prturbativas foram dtrmiadas até sguda ordm aida m 926 [7]. A xtsão dsts cálculos até

3 Aális da covrgêcia a Toria da Prturbação stacioária 3 quarta ordm, msmo m ords ifriors, ão aplicavam a toria d prturbação d Rayligh-Schrödigr covcioal (a soma sobr stados spctral) [8], mas sim métodos aalíticos para a solução d quaçõs difrciais iomogêas acopladas, advidas da abordagm prturbativa. Só m 974, Alliluv Mali foram bm sucdidos os cálculos das corrçõs d quarta ordm pla toria covcioal, obtdo algbricamt os lmtos d matriz do oprador W via diâmica d simtria d grupo [9] para o átomo d Hidrogêio livr. Apotaram, também, as fots dos rros aritméticos das ttativas atriors [20], qu são dvidos ao rápido aumto da complxidad dsta abordagm para trmos d ords lvadas, cujas corrçõs até décima ordm foram aprstadas por métodos ão-covcioais, como mcioado [2]. Iroicamt, apsar do sucsso da toria da prturbação a Mcâica Quâtica, a séri para o fito Star o átomo d Hidrogêio ão covrg! Muito do crsct itrss a aturza das sigularidads da toria d prturbação dv-s à dscobrta d qu a xpasão prturbativa d Fyma a toria quâtica d campo é divrgt [0]. Nas últimas décadas, o surgimto d ovas técicas d toria d prturbação para ords lvadas, stimuladas plos trabalhos d Bdr Wu [22] d Simo [23] para o oscilador aarmôico, impulsioou a ivstigação dstas ords da séri prturbativa d Rayligh-Schrödigr, a partir do comportamto assitótico dos coficits da xpasão prturbativa da rgia. stacamos a técica d fução F d algaro, Lwis Stwart [24], qu srá aplicada o prst artigo, para o cálculo do fito Star quadrático. O cocito chav d tais técicas é o rarrajo da séri d potêcias, o qual pod sr implmtado d divrsas mairas, dstacado-s os rarrajos qu difrm as propridads d covrgêcia [9]. Na abordagm d aproximats d Padé, uma fução racioal é costruída a partir da séri d potêcias origial, sdo sta fução formalmt igual à última tdo um valor bm dfiido fora do círculo d covrgêcia da msma. As propridads básicas dsta abordagm stão rlatadas m litratura spcífica [25, 26]. Rctmt, a aproximação d Padé foi aplicada à toria quâtica d campo para stimar o trmo d próxima ordm a séri prturbativa [27]. Lug Muraowsi propusram um método d itrpolação para os comportamtos m rgim d acoplamto grad pquo, obtdo valors satisfatórios para as massas d quars [28, 29]. Jtschura, combiado o método d Borl com aproximats d Padé, obtv corrçõs prturbativas d altas ords para o fito Star o átomo d Hidrogêio [30]. No Brasil, Aguilra-Navarro Aguilra-Navarro utilizaram a Padização para mlhorar a solução d quaçõs difrciais plo método d Frobius, mostraram sua rlação com fraçõs cotíuas com algumas fuçõs spcias [3]. Nst trabalho, aalisamos o problma da covrgêcia a toria da prturbação. Na Sção 2, discorrmos sobr a toria a aplicamos m várias ords d prturbaçõs para aalisar o stado fudamtal do oscilador aarmôico λx 4 o fito Star o átomo d Hidrogêio. Na Sção 3, studamos o aproximat d Padé, uma forma d rormalização da séri prturbativa da rgia, aplicado-o ao oscilador aarmôico λx 4. O objtivo é obtr uma xprssão fchada para a rgia do stado fudamtal, como uma fução do parâmtro prturbativo qu covirja para a solução xata. Na Sção 4, aprstamos ossas cosidraçõs fiais. 2. Toria da Prturbação stacioária 2.. Toria d Rayligh-Schrödigr O poto d partida para tratar a q. (4), cosist iicialmt m sparar o Hamiltoiao m duas parts, ou sja H = H o + λw, (6) sdo H o o Hamiltoiao d um sistma físico cuja sua solução xata sja cohcida H oφ (o) (r) = (o) Φ (o) (r), (7) para a qual o spctro { (o) } é ão-dgrado as fuçõs d oda {Φ (o) (r)} são ortoormalizadas, isto é, Φ (o) Φ (o) m Z h d 3 r Φ (o) i (r) Φ (o) m (r) = δ m = j, s = m 0, s m, (8) com λw, chamado o trmo prturbativo λ um parâmtro ral pquo. A solução da quação d Schrödigr associada ao Hamiltoiao total (6) dpd do parâmtro prturbativo λ coform HΦ (r)(λ) = (λ)φ (r, λ). (9) No limit d λ = 0, a q. (9) rduz-s à solução xata (7), portato, é ituitivo supor qu Φ (r, λ) (λ) sjam scritos m séris d potêcias do parâmtro λ, isto é Φ (r, λ) = r Φ (λ) = (λ) = X p=0 X p=0 Φ (p) (r)λ p, (0) (p) λ p, () sdo Φ (p) (r) (p) as p-ésimas corrçõs da autofução da autorgia, rspctivamt. Substituido as qs. (0) () a q. (8), com o auxílio das qs. (5) (6) também, após algumas maipulaçõs algébricas (vr qualqur livro citado a Rf. [6]), obtmos as corrçõs da rgia fução d oda a forma com Φ (p) (p) = = P "W Φ (0) Φ (p ) P = X W Φ (p ) X p () Φ (0) =, (2) (0) Φ (0) (0) Φ (p ) #, (3). (4)

4 32 Sousa Coimbra Para calcular a p-ésima corrção da rgia, q. (), é cssário cohcr a corrção da fução d oda d ordm p. Por outro lado, para dimiuir um pouco os cálculos d corrçõs da rgia, algaro [32] provou rigorosamt qu o cohcimto das o p corrçõs da fução d (0) oda Φ,,..., prmit calcular as 2p + Φ () Φ (p) corrçõs da rgia (0), (), (2),... (2p+) torma 2p + é basado a sguit idtidad: (p+) = Φ (0) W = Φ (q) W Φ (p q) p q qx X (p+ r) = r= Φ () o. Ou sja, o Φ (p) Φ (r), (5) sdo q um úmro itiro mor qu p. Por xmplo, s cohcmos o as corrçõs (0) Φ, Φ (), Φ (2) da fução d oda, a par- da q. (4) podmos obtr o as corrçõs da rgia tir (0), (), (2), (3), (4), (5), qu são dadas por (4) = Φ () 2 (2) R (3) = () = Φ (0) W Φ (0) (2) = Φ (0) W Φ () Φ () W () W () Φ (2) (2) (5) = Φ (), (6), (7) Φ (), (8) Φ () Φ () Φ () W () Φ (2) o Φ (2) (3) Φ () Φ () (9). (20) S as autofuçõs ão-prturbadas form dgradas, há dois problmas a srm cosidrados a aplicação do mcaismo dscrito atriormt. Primiro, a q. (4), tmos (0) = (0) há uma sigularidad m P. Sgudo, ão há garatia d qu, o limit λ 0, a q. (9) s rduza à q. (7). Não é suficit, portato, spcificar apas os autovalors d rgia, mas é crucial uma scolha covit d bas [34], como uma combiação liar d autofuçõs dgradas ão-prturbadas qu diagoaliz o Hamiltoiao H : Φ = X Φ (0) (0) m Φ Φ m, (2) m ftuado a soma sobr todas as autofuçõs dgradas. A partir dstas autofuçõs, é possívl costruir uma matriz quadrada, cuja ordm é a da dgrscêcia, para a prturbação Φ W Φ, a qual é diagoalizada através da solução d quaçõs sculars, ou sja, a obtção dos autovalors para W a bas Φ (0) m. As raízs dstas quaçõs corrspodm às corrçõs d primira ordm da rgia; as autofuçõs qu diagoalizam W são as autofuçõs d ordm zro corrtas, para stas a q. (9) s rduzirá à q. (7) quado λ 0. Para ords mais lvadas d prturbação dvm sr xcluídas a q. (5) as cotribuiçõs das autofuçõs ão-prturbadas o subspaço dgrado cosidrado Aplicaçõs da Toria d Prturbação Oscilador aarmôico λx 4 O oscilador aarmôico quâtico é um xclt laboratório para o studo d uma varidad d métodos prturbativos. Iicialmt, tratamos o problma didático d um oscilador harmôico uidimsioal a prsça d uma prturbação λx 4. Sdo d 2 H o = ħ2 2m dx x2, (22) o Hamiltoiao xatamt solúvl, cuja solução é dada por Φ (o) (x) = /2 π /2 2! H(x) x2, (23) (0) = (2 + ), (24) a qual scolhmos a otação rduzida ħ 2 /2m = /2 H (x) é o poliômio d Hrmit d ordm = 0,, 2,... Por outro lado, a partir das qs. (6)-(20), podmos calcular, até quarta ordm, a rgia do stado fudamtal ( = 0), o(p = 4, λ) = λ 2 6 λ λ λ4, (25) quivalt à forma o(p = 4, λ) = + px r= (r) o λ r. (26) Os stta cico primiros trmos o (r) da séri (26) foram calculados por Bdr Wu [22]. Na Tabla, aprstamos os primiros vit trmos. Para valors pquos do parâmtro λ pquo, a toria d Rayligh-Schrödigr é, a pricípio, viávl para obtr as autorgias. Por xmplo, scolhdo λ = 0., obsrvamos a Tabla para prturbação até décima-ordm, qu o rro comtido por sta toria m comparação à solução umérica é razoávl. À mdida qu a ordm da prturbação aumta, o rro fica cada vz maior, distaciado assim da solução umérica, como podmos vr xplicitamt para o caso da prturbação d ordm suprior a p = 9. Aumtado aida mais o valor do parâmtro λ > 0., obsrvamos qu a divrgêcia da séri fica xplicitamt quatificada m prturbação mor a p = 9. Porém, para valors d λ < 0. a séri covrg m ordm suprior a p = 9.

5 Aális da covrgêcia a Toria da Prturbação stacioária 33 r (r) o o(p, λ = 0.) = + p P r= λ (r) o (0) (0) (0) () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (0) () (2) (4) (5) (6) (8) (9) (2) Tabla - Valors dos coficits o (r) da séri da Rayligh- Schrödigr para o oscilador aarmôico λx 4 das corrçõs da rgia o stado fudamtal até a p-ésima ordm 0(p, λ) para λ = 0.. O rsultado (umérico) [6] é o um = Os úmros tr parêtss idicam potêcias d dz. sjado mlhor xplicitar a aális d covrgêcia m rlação ao valor do parâmtro λ, mostramos a Figura o comportamto do valor umérico o um (λ) o valor aproximado obtido m toria da prturbação até quarta ordm, coform a q. (26). Para λ = 0., tmos qu o um (λ = 0.) =, o(p = 4, λ = 0.) =.06406, praticamt ão havdo difrças o gráfico o(λ) vs. λ (mostrado a Figura ). (λ) o(p = 4, λ) o um (λ) comça a aumtar gradativamt, torado-s icotrolávl a partir d λ = 0.4, para o qual tmos um valor ão-físico para rgia do stado fudamtal obtido m prturbação d quarta ordm, qu é gativo. Por xmplo, para λ = 0.5 obtém-s o(p = 4, λ = 0.5) = 0.878, valor m complto dsacordo com o valor sprado positivo para a autorgia. Para acoplamto fort foi mostrado aos atrás por Simo [23] qu a séri prturbativa é a forma o(p, λ) = + λ /3 px r= A (r) o λ 2r/3, (27) sdo A (r) o o coficit da r-ésima ordm da prturbação. A aturza da divrgêcia a toria d prturbação foi gralizado a xpasão dos diagramas d Fyma m toria quâtica d campo. Cálculos rigorosos para um oscilador, variado a forma λx 2N, mostraram qu para a -ésima ordm a toria d prturbação, a corrção a rgia do stado, o limit d valors d >>, tm o sguit comportamto assitótico [38] () Γ(N + + /2) (N) (N )( )+ 2!π 3/2 " Γ( 2N ) # N +/2 N Γ 2 ( N ). (28) N Para o caso particular do stado fudamtal, a corrção da rgia do oscilador aarmôico quártico (N = 2) é () o (N = 2) ( )+ 63 Γ( + /2)» π 3/ O( 2 ), (29) o qu mostra claramt a tdêcia daodivrgêcia a séri prturbativa, ou sja, lim o () (N = 2) =. Usado sta stimativa para as corrçõs d alto valors d do oscilador aar- môico quártico, Wigr, Ciz Vitt [39] mostraram qu a séri da q. (26) divrg sgudo uma fução hiprgométrica [40] a forma 24 o(λ) F (/2, ; 3λ/2), (30) π 2 od a séri dsta fução hiprgométrica divrg para qualqur valor d λ fito Star Quado um átomo d um létro (átomo d Hidrogêio ou hidrogóid [49]) é submtido a um campo létrico xtro uiform, ocorr a sparação das lihas spctrais m várias outras, as quais aprstam aproximadamt a msma frqüêcia, fômo domiado fito Star [33]. O Hamiltoiao H para st sistma, dscrito sgudo a q. (6), srá Figura - Comparação tr rsultados obtidos umricamt (liha cotíua) os cálculos sgudo a toria d prturbação d Rayligh Schrödigr (círculos smi-prchidos) sgudo os aproximats d Padé (quadrados abrtos). Com o aumto do parâmtro da prturbação λ, o rro com o trmo prturbativo a forma H o = ħ2 2m 2 2 r, (3) λw = z. (32) A costat rprsta a carga do létro o campo létrico xtro scolhido a dirção z. Uma vz qu a prturbação W

6 34 Sousa Coimbra s z, partículas ligadas para H o podm agora scapar, todo stado ligado pod, formalmt, adquirir um tmpo d vida fiito [34]. vido aos três graus d librdad idpdts, o Hamiltoiao ão-prturbado, dado pla q. (3), satisfaz a com (0) H oφ lm (r) = (0) Φ lm (r), (33) = s = 3.6 V 2 2 Φ lm (r) = r lm = R l (r)y lm (θ, ϕ) «a o r = C ml r r/ao L l Y lm (θ, ϕ), (34) a qual a o rprsta o raio d Bohr, C ml é a costat d ormalização, L l r a o «Y lm (θ, ϕ) são fuçõs spciais domiadas poliômios d Lagurr harmôicos sféricos, rspctivamt. O cojuto {, l, m} são os úmros quâticos, qu podm assumir os valors =, 2, 3..., l = 0,, 2,..., m = l, (l ),..., l, l. A quatidad corrspod à costat d acoplamto λ a corrção da rgia do stado fudamtal, sgudo a q. (6), é dada por a o () 00 = 00 z 00, (35) cujo rsultado é ulo, pois 00 é autofução da paridad do oprador W z é uma fução ímpar. sta forma, o stado fudamtal ão xist prturbação a rgia qu sja liar m, implicado o fato d o átomo ão possuir momto d dipolo létrico prmat o stado fudamtal. O primiro stado xcitado ( = 2) aprsta dgrscêcia quádrupla, 200, 20, 2 2 d modo qu, o fito Star liar para st ívl volv a rsolução da quação scular a forma a qual (2) 200 W W 200 (2) (2) (2) 20 W 200 = ( 200 W 20 ) = 6a 4 o Z Z 0 = 3 a o. = 0, (36) r 4 2 r a o «r 2 d(cos θ)dr A solução da q. (36) srá (2) = 0 (com dupla dgrscêcia), (2) = 3 a o (2) = 3 a o. Isto sigifica qu, m su primiro stado xcitado, o átomo d Hidrogêio comporta-s como s tivss um momto d dipolo prmat d magitud 3 a o, poddo star oritado m três dirçõs: parallo, atiparallo ou prpdicular ao campo xtro. S o létro é tratado como uma partícula rlativística com spi, a dgrscêcia para (2) = 0 é rmovida (Lamb shift) [35]. Para o trmo prturbativo d sguda ordm, cosidrado a q. (7), tmos (2) 00 = 00 W Φ () = 2 2 X l m (,0,0) 00 z l m 2 (0) s (0) = 2 X 2 00 z l m 2 l m (0), (37) s ` 2 uma vz qu l m z lm = 0, a mos qu l = l ± m = m, por cosidraçõs d paridad plo Torma d Wigr-cart [34]. Na q. (37), a soma m iclui todos os stados ligados lm para > aida todos os stados cotíuos d rgia positiva. Uma das mairas d implmtar [6, 7] o somatório da q. (37) xatamt [50] foi dsvolvida por A. algaro T. Lwis [24] cosist m cotrar um oprador F satisfazdo à z 00 = (FH o H of) 00, isto é, o oprador z sdo dscrito como o comutador dst oprador F o oprador Hamiltoiao do sistma ão-prturbado, com l m z 00 = l m FHo 00 l m HoF 00 (38) X 00 z l m 2 X l m (0) = 0 z F 0 s ` 2 0 = 0 zf 0 0 z 0 0 F 0, (39) 0 rprstado o stado fudamtal ão-prturbado. scolhdo F como fução uicamt das coordadas, uma quação difrcial pod sr obtida da q. (38), poddo sr xprssa m coordadas sféricas polars rsolvida por sparação d variávis. Assim, F fica dado a forma F = µao r ao z, (40) com µ sdo a massa rduzida X 00 z l m 2 l m (0) s ` Como r 0 = Z πa 3 o dω 2 Z 0 = µao 2 r +2 xp «2 r3 0 + r2 ao. 0 (4) 2r «dr = a ( + 2)! a o 2+ rsulta para a corrção da rgia m sguda ordm (42) (2) 00 = 2 2a o 9 4 a3 o 2. (43) Cosidrado a q. (37) é possívl obtr as corrçõs até décima ordm. [2], aprstadas a Tabla 2. Nota-s qu as corrçõs d ordm ímpar ão aparcm, dvido à paridad d W, também, qu a séri divrg, msmo qu o valor d sja pquo. A divrgêcia matmática da séri corrspod à possibilidad d qu o létro o stado fudamtal, por xmplo,

7 Aális da covrgêcia a Toria da Prturbação stacioária 35 possua uma probabilidad fiita (mbora pqua) d s cotrar suficitmt afastado do úclo, od a itração com o campo létrico sja mais fort qu a itração coulombiaa. Os ívis d rgia prturbados são mta-stávis. os rsultados aprstados sta sção, vimos qu a séri prturbativa d Rayligh- Schrödigr divrg para os dois problmas simpls aalisados, sdo provado rigorosamt para qualqur tipo d potcial. (4) 00 55, (a o ) 4 (6) , (a o ) 6 (8) , 9264 (a o ) 8 (0) , 4 (a o ) 0 Tabla 2 - Trmos da séri prturbativa para o fito Star o átomo d hidrogêio. 3. Rormalização da rgia: Aproximat d Padé Vimos, atriormt, dois problmas clássicos ão solúvis a mcâica quâtica qu foram rsolvidos d forma aproximada usado a toria d prturbação. Vrificamos qu ambos aprstaram divrgêcias a séri prturbativa, o qu limita assim a aplicabilidad dst formalismo aproximativo para stimar valors prcisos para as autorgias da quação d Schrödigr stacioária. ivrsas técicas têm sido dsvolvidas para cotorar sta divrgêcia, como por xmplo aproximat d Padé [25], xpasão δ [4], xpasão dimsioal [42], xpasão d acoplamto fort [43], tc. Nst trabalho, usarmos a aproximação d Padé para studar o aspcto da divrgêcia da séri prturbativa do oscilador aarmôico quártico. Uma aproximação d Padé é uma trasformação formal dos primiros trmos d uma séri d potciais uma fução racioal [29]. A fução racioal, domiada Aproximat d Padé, é xprssa como a razão d dois poliômios, cuja xpasão m séri d Taylor rproduz compltamt a séri d potêcias origial até a ordm. O Aproximat d Padé foi proposto m 892 plo matmático fracês Padé, para cotorar o problma da covrgêcia das séris d potêcia (raio d covrgêcia). Mas, somt a partir d 98, st método d covrgêcia ficou amplamt difudido m trabalhos sobr fômos críticos [23]. ada F (z) = l P =0 a z uma fução racioal, dfiimos o aproximat d Padé d ordm [N, M] como o quocit d dois poliômios P M(z) Q N(z) d ordm M N, rspctivamt, ou sja, F [N,M] (z) PM(z) Q = p0 + pz + p2z2 + p M z M N(z) q 0 + q z + q 2z 2 + q N z, N (44) sdo os coficits dos poliômios P M(z) Q N(z) dtrmiados uivocamt com uso dos primiros M + N + coficits da xpasão F (z) pla rsolução d um sistma d quaçõs liars. A q.(44) pod aida sr rscrita m forma mais compacta a qual a K = 0 para K < 0, o quocit da q. (44) é ão ulo. m comparação à séri trucada, o Aproximat d Padé matém fidlidad à vrdadira F (z) para z além do raio d covrgêcia da msma, apsar d sr impossívl d dtrmiar a acurácia ou o maior valor d z qu pod sr alcaçado ats qu a aproximação falh [29]. F [N,M] (z) = a M N+ a M N+2 a M+ a M a M+ a M+N MP a K Nz K=N MP K=N a K N+z a M N+ a M N+2 a M+ a M a M+ a M+N z N z N MP K=0 a Kz, (45)

8 36 Sousa Coimbra Cosidrmos o caso simpls da séri prturbativa até quarta ordm para a rgia do stado fudamtal do oscilador aarmôico λx 4, qu foi dscrito m dtalhs a Sção 2, dado pla q. (25). Usado N = M = 2 a q. (44), cotramos a rgia rormalizada o [2,2] (λ) a forma o [2,2] λ λ2 (λ) = λ λ. (46) 2 =0 Simo provou rigorosamt [23] qu, qualqur sucssão d [N, N+j] trmos do aproximat d Padé o (λ), para j 0 associado à séri o(λ) = b λ, covrg uiformmt ao P rsultado xato, mostrado a ficácia dst método d covrgêcia para a aális d problmas complxos m gral. Na Figura comparamos os rsultados d o(λ) vs. λ [0, ] obtidos usado toria da prturbação (TP) d quarta ordm o rspctivo aproximat d Padé (AP) com o calculado umricamt. Na rgião od a prturbação é pqua, λ < 0.20, a qual a toria d Rayligh-Schrödigr é aplicávl, vmos a coicidêcia dos rsultados, mostrado a quivalêcia d ambas as aproximaçõs. Por outro lado, à mdida qu o parâmtro da prturbação crsc λ > 0.3, a TP vai s distaciado (divrgido) da solução umérica, quato o AP aprsta rsultados próximos. Para uma mlhor visualização das comparaçõs tr o aproximat d Padé a solução umérica, isrimos a Figura os rsultados d o(λ) vs. λ [0, ] obtidos por sss dois métodos, obsrvamos uma pqua discrpâcia tr os msmos, com um rro a sguda casa dcimal. Por xmplo, o limit xtrmo d alta prturbação λ =, tmos o um (λ = ) = (λ = ) = Sdo o rro rlativo dado por [2,2] o = um o o [2,2], o um uma vz qu (4) o (λ = ) = , = 3, 2 %. 4. Cosidraçõs fiais Nst trabalho, foi aprstado um studo sistmático sobr o problma da covrgêcia a toria da prturbação d Rayligh- Schrödigr. sta toria, cocbida para aalisar o fito Star o átomo d Hidrogêio, é aqui aplicada m várias ords d prturbaçõs para aalisar o stado fudamtal do oscilador aarmôico λx 4 do átomo d Hidrogêio a prsça d campo létrico uiform. A séri prturbativa d Rayligh-Schrödigr divrg para os dois problmas simpls aalisados, sdo tal divrgêcia provada rigorosamt para qualqur tipo d potcial. ivrsas técicas têm sido dsvolvidas para cotorar sta divrgêcia, como por xmplo aproximat d Padé [25], xpasão δ [4], xpasão dimsioal [42], xpasão d acoplamto fort [43], tc.o aproximat d Padé, técica amplamt utilizada o tratamto d fômos críticos, foi itroduzido como uma forma d rormalização da séri prturbativa da rgia qu limia o problma da covrgêcia, tdo sido aplicado ao oscilador aarmôico λx 4 para obtr uma xprssão fchada para a rgia do stado fudamtal, como uma fução do parâmtro prturbativo. A implmtação da toria d prturbação volv um trabalho umérico árduo só é possívl m computadors modros. A aplicação ao oscilador aarmôico aqui cosidrada ilustra o podr do aproximat d Padé para problmas cuja solução xata sja difícil d obtr para os quais a toria covcioal ão covrg. 5. Agradcimtos Aos profssors r. Frado Aguiar, do partamto d Física da UFAM r. Atôio Sérgio Magalhãs d Castro, do partamto d Física da UPG, pla litura crítica dst trabalho prciosas sugstõs. J. R. S. agradc ao suport fiaciro do CNPq sob a forma d bolsa d produtividad m psquisa. Rfrêcias [] G.R. Kirchhoff, A. Phys. 09, 275 (860). [2] M. Plac, Vrh. ut. Phys. Gs. 2, 202 (900); ibid 2, 237 (900). [3] J.M.F. Bassalo, Rv. Bras. s. Fis. 8, 30 (996). [4] N. Studart, Rv. Bras. s. Fis. 22, 523 (2000). [5] W. Hisbrg, Z. Phys. 43, 72 (927). [6] S. Gasiorowicz, Física Quâtica (Guaabara ois, 979); R.M. isbrg, Fudamtos da Física Modra (Guaabara ois, 979); A. Mssiah, Quatum Mchaics (North Hollad, 966); L.I. Schiff, Quatum Mchaics (McGrawl-Hill, 965); R.H. ic ad J.P. Witt, Itroductio to Quatum Mchaics (Addiso-Wsly, 963); W. Pauli, Gral Pricipls of Quatum Mchaics (Sprigr-Vrlag, 980); L.. Ladau ad.m. Lifshitz, Quatum Mchaics (Prgamo Prss, 958); R.P. Fyma ad A.R. Hibbs, Quatum Mchaics ad Path Itgrals (McGrawl-Hill, 965); P.A.M. irac, Th Pricipls of Quatum Mchaics (Oxford Uivrsity Prss, 958); L.V. Tarasov, Basic Cocpts of Quatum Mchaics (MIR, 980); R. Shaar, Pricipls of Quatum Mchaics (Plum Prss, 994), 2d d.;.j. Griffiths, Itroductio to Quatum Mchaics (Prtic Hall, 995); R.W. Robitt, Quatum Mchaics (Oxford Uivrsity Prss, 997); J.J. Saurai, Modr Quatum Mchaics (Addiso-Wsly, 994); G. Baym, Lcturs o Quatum Mchaics (W.A. Bjami, 969); C. Coh-Taoudji, B. iu ad F. Laloë, Quatum Mchaics (Joh Wily & Sos, 977), v. II; J. Lit Lops, A strutura Quâtica da Matéria (ditora rca, 992). [7] ug Mrzbarchr, Quatum Mchaics (Wily Itratioal ditio, 970). [8] P. Murilo Olivira S. Costa Ribiro, Rv. s. Fis. 3, 3 (98). [9] J. Killigbc, Rp. Prog. Phys. 40, 963 (977). [0] C.M. Bdr ad L.M.A. Bttcourt, Phys. Rv. 54, 770 (996).

9 Aális da covrgêcia a Toria da Prturbação stacioária 37 [] (a) J.W. Ngl ad H. Orlad, Quatum May-Particl Systms (Addiso-Wsly Radig, 988), (b) C. Itzyso J.B. Zubr, Quatum Fild Thory (McGraw-Hill, Nw Yor, 980), (c) J. Zi-Justi, Quatum Fild Thory ad Critical Phoma (Oxford U.P., Oxford, 989). [2] J. Kodo, Proc. Thor. Phys. 32, 37 (964). [3] K.G. Wilso, Rv. Mod. Phys. 47, 773 (975). [4] J. Star, Sitzugsbr K. Pruss. Aad. Wiss. Brli 47, 932 (93). [5] P.S. psti, Phys. Rv. 28, 695 (926); K. Schwarzchild, Sitzbr. Brlir Aad. 548 (96). [6]. Schrödigr, A. Physi 80, 437 (926) [7] G. Wtzl, Z. Phys. 38, 58 (926); I. Wallr, Z. Phys. 38, 635 (926); P.S. psti, Natur (Lodo) 8, 444 (926). [8] J.N. Silvrma ad J. Hiz, Phys. Rv. A. 37, 208 (988). [9] S.P. Alliluv ad I.A. Mali, Zh. sp. Tor. Fiz. 66, 283 (974) [Sov. Phys. JTP 39, 627 (974)]. [20] K. Basu, Bull. Calcutta Math. Soc. 26, 79 (934); J.. Bcsti ad J.B. Krigr, Phys. Rv. 88, 30 (969). [2] L.B. Mdlsoh, Phys. Rv. 76, 90 (968). [22] C.M. Bdr ad T.T. Wu, Phys. Rv. 84, 23 (969); Phys. Rv. Ltt. 6, 46 (97). [23] B. Simo, Am. J. Phys. 58, 76 (970). [24] A. algaro ad J.T. Lwis, Proc. Roy. Soc. (Lodo). A233, 70 (955). A. algaro ad A.L. Stwart, Proc. Roy. Soc. (Lodo). A238, 269 (956). [25] G. Bar Jr, sstials of Padé Aproximats (Acadmic Prss, 975); G. Bar Jr, Quatitativ Thory of Critical Phoma (Acadmic Prss, 990); G. Bar Jr ad P. Gravs-Morris, Padé Aproximats (Cambridg Uivrsity Prss, 996). [26] J.L. Basdvat, Forts. Phys. 20, 283 (972). [27] M.A. Samul, J. llis ad M. Karlir, Phys. Rv. Ltt. 74, 4380 (995); M.A. Samul, G. Li ad. Stiflds, Phys. Rv. 5, 39 (995). [28] C.N. Lug ad A.J. Muraowsi, J. Math. Phys. 4, 2700 (2000). [29] C.N. Lug ad Y.Y.Y. Wog, Am. J. Phys. 70, 020 (2002). [30] U.. Jtschura, Phys. Rv. A 64, (200); U.. Jtschura ad G. Soff, J. Phys. A 34, 45 (200). [3] M.C.K. Aguilra - Navarro ad V.C. Aguilra-Navarro, Rvista Ciêcias xatas Naturais 3, 7 (200); M.C.K. Aguilra-Navarro ad V.C. Aguilra-Navarro, Rvista Ciêcias xatas Naturais 2, 73 (2000); M.C.K. Aguilra-Navarro t al., Rvista Ciêcias xatas Naturais, 53 (2000); M.C.K. Aguilra-Navarro t al., Rv. Mat. Uivrsitária 26/27, 49 (999). [32] A. algaro, i Statioary Prturbatio Thory, ditd by.r. Bats, Quatum Thory (Acadmic Prss, 966), 3 v. [33].H. Wichma, Quatum Physics; Brly Physics Cours (McGrawl-Hill, 97), v. 4. [34] J.J. Saurai, a Rf. [6]. [35] J.J. Saurai, Advacd Quatum Mchaics (Addiso- Wsly, 967). [36] S. Gasiorowicz, a Rf. [6], p [37] H.A. Bth ad.. Salptr, Quatum Mchaicsof O ad Two lctros Atoms (Acadmic Prss, 957). [38] G.A. Bar, J.L. Gamml ad J. Wills, J. Math. Aal. Appl. 2, 405 (96). Vr também: i) G.A. Bar ad P. Gravs- Morris, cyclopadia of Mathmatics, ditd by G.C. Rota (Addiso-Wsly Radig, 98), v. 3 ad 4; ii) A.J. Guttama, i Asymptotic Aalysis of Powr-Sris xpasios, publishd i Phas Trasitios ad Critical Phoma (Acadmic Prss, 989), v. 3. [39].J. Wigr, J. Ciz ad F. Vitt, J. Math. Phys. 34, 57 (993). [40] G.B. Arf ad H.J. Wbr, Mathmatical Mthods for Physicists (Acadmic Prss, Lodo, 995), 4 a d., p [4] C.M. Bdr, K.A. Milta, M. Mosh, S.S. Pisy ad L.M. Simmos Jr., Phys. Rv. 37, 472 (988). [42] C.M. Bdr, S. Bottchr ad L. Lipatov, Phys. Rv. 46, 5557 (982). [43] C.M. Bdr, F. Coopr, G.S. Gurali ad.h. Sharp, Phys. Rv. 9, 865 (979). [44] Para o litor itrssado, rcomdamos o volum spcial da Rvista Brasilira d sio d Física 9,. (997), o qual uma grad varidad d assutos rlacioados ao tma foram discutidos aprofudados. [45] Não podríamos dixar d citar, talvz o úico, o livro do profssor ug Mrzbarchr [7], qu rlata sucitamt o problma da covrgêcia da séri prturbativa d Rayligh- Schrödigr a sção 7 do capítulo 7, qu, o rodapé da págia 437, cita algus artigos para maiors dtalhs sobr o assuto. [46] Vr Rfs. 2(a) pag ; 2(b) pag (c) pag [47] Vr, por xmplo, o trabalho da Rf. [8], para uma dscrição da solução umérica da quação d Schrödigr para problmas d potciais uidimsioais. [48] m outras palavras, b A = b A, com b A, a forma matricial, rprstado a trasposta da complxa cojugada da matriz ba. [49] Nst caso, iclui-s um fator Z multiplicativo, corrspodt ao úmro atômico, o potcial coulombiao Z 2 a autorgia. [50] A grad dificuldad m somar a q. (37) rsid o cálculo d 00 z l m. Plas rstriçõs mcioadas, st trmo tora-s 00 z 0 pod sr mostrado qu [36, 37] 00 z 0 2 = 28 7 ( ) ( + ) 2+5 a 2 o.