Resolução de um modelo de reator de leito fixo não adiabático com dispersão axial utilizando redes neurais artificiais

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1 Resolução de u odelo de eato de leito fixo não adiabático co dispesão axial utilizando edes neuais atificiais Luiz eny Monken e Silva, Ivo Neitzel e Ed Pinheio Lia* Pogaa de Pós-Gaduação e Engenhaia Quíica, Univesidade Estadual de Maingá, Maingá, Paaná, Basil. *Auto paa coespondência. e-ail: edpl@deq.ue.b RESUMO. As capacidades de intepolação de edes pecepton ulticaada (MLP) foa utilizadas paa esolve u sistea de equações difeencias odináias que odela u eato não-adiabático co leito fixo e dispesão axial. As etodologias descitas neste atigo segue as popostas po Lagais et al. (998, ), estendidas paa odelos co condições de contono istas e pelo uso do étodo da penalidade paa convete o poblea de otiização oiginal de estito paa iestito no teinaento das edes MLP. Os esultados são copatíveis co aqueles apesentados e Luize e Biscaia (99), que foa obtidos co técnicas nuéicas já consagadas, coo eleentos finitos e colocação otogonal. O étodo de neuo-intepolação adotado neste atigo é de fácil anuseio se copaado co os étodos clássicos paa solução nuéica de equações difeenciais, paticulaente paa sisteas difeenciais não-lineaes, e define ua apoxiação global, na foa analítica, paa a solução de pobleas. Palavas chave: edes neuais, equações difeenciais. ABSTRACT. Model esolution of an axial dispesed non-adiabatic fixed bed eacto using atificial neual netwoks. The intepolation capabilities of ultilaye pecepton netwoks (MLP) wee used to solve a syste of odinay diffeential equations that odels an axial dispesed non-adiabatic fixed bed eacto. The ethodologies descibed in this pape follow the fist ones poposed by Lagais et al. (998, ), but enlage the to diffeential odels with ix bounday conditions and by the use of the penalty ethod to convet the oiginal constained to unconstained optiization poble in taining the MLP netwoks. The esults ae in ageeent on those in Luize e Biscaia (99), which wee obtained by well-established nueical techniques as finite eleent and othogonal collocation ethods. The neual intepolation ethod used in this pape is easie to handle than the classical ethods fo nueical solution of diffeential equations, paticulaly fo non-linea diffeential systes, and defines a global appoxiation, in analytic fo, fo pobles solution. Key wods: neual netwoks, diffeential equations. Intodução As capacidades de apoxiação de funções po eio de edes neuais atificiais são be conhecidas desde o final da década de 98, coo se pode constata pelos esultados alcançados po Cybenko (989), Funahashi (989), onik et al. (989), Giosi e Poggio (99) e Cotte (99); todos pecedidos pelos esultados de Koolgoov (957, apud Funahashi, 989) e de Speche (965, apud Funahashi, 989). E síntese, qualque função ensuável pode se apoxiada po ua ede neual pogessiva de caada escondida siples. Apesa desses esultados teóicos e de suas vaiadas aplicações, são ecentes os pieios tabalhos que usa tais capacidades paa esolução de equações ou sisteas de equações difeenciais odináias poblea de valo inicial e de valo no contono e de equações difeenciais paciais pobleas estacionáios, a valo no contono, coo se pode ve e Lagais et al. (998, ) e Wang e Lin (998). Este tabalho te po objetivo aplia o uso dessa etodologia de intepolação paa esolução de sisteas difeenciais que apaece e pobleas de elevância técnica e engenhaia quíica. E vista disto, foi escolhido, pela suas caacteísticas ateáticas, nuéica e coputacional, u odelo de eato de leito fixo não-adiabático co dispesão axial paa se siulado nueicaente po edes neuais. Convé cita que ua altenativa paa esolução analítica desse poblea é a solução po séies, que se osta de convegência lenta. Acta Scientiau. Technology Maingá, v. 5, no., p , 3

2 4 Silva et al. Na segunda seção do tabalho, é apesentado o odelo ateático do eato a se esolvido, co a descição sucinta das vaiáveis e dos paâetos intevenientes. A etodologia de intepolação po edes neuais e de esolução nuéica do odelo consta da teceia seção. Na seção seguinte, são expostos os expeientos nuéicos e os esultados que pode se vistos e Luize e Biscaia (99), obtidos po étodos já be ais estabelecidos, coo o de eleentos finitos e o de colocação otogonal. As conclusões, na últia seção, efeese ao étodo popiaente dito, quanto a sua facilidade de uso, aplicabilidade e eficiência coputacional. Mateial e étodos Modelo ateático de eato de leito fixo nãoadiabático Paa efeito de usa intepolação po edes neuais paa esolução de equações difeenciais odináias, foi escolhido u odelo ateático de eato de leito fixo não adiabático, descito po Luize (99), o qual, paa facilita o entendiento dos pocedientos nuéicos, é aqui tanscito:, =, < < Pe dc dc RCT x dt + β R( C, T) + w( Tw T) =, Pe dt h sendo γ ( T x), = () () R C T Dae C x, (3) e que x copiento adiensional do eato C concentação adiensional do eagente T tepeatua adiensional do eagente Pe núeo de Peclet de assa Pe h núeo de Peclet de enegia Da núeo de Daköhle β adiensional do calo de eação w adiensional do coeficiente de tansfeência de calo T w tepeatua adiensional na paede do eato γ adiensional da enegia de ativação ode da eação quíica sujeito às condições de contono, Pe Pe Pe dc dt C x =, (4) T x =, (5) h dc dt Pe = h x =, (6) =. (7) Potanto, o odelo ateático é foado po u sistea de equações difeenciais odináias de segunda ode não-lineaes, () e (), e pelas condições de contono, (4)-(7). Ele foi siulado usando étodos clássicos, coo o de eleentos finitos, difeenças finitas e o de colocação, e os esultados obtidos pode se vistos e Luize (99). O eso odelo é aqui esolvido, po edes neuais, paa quato conjuntos de paâetos. Nas póxias seções, os esultados alcançados pela intepolação po edes neuais seão apesentados e copaados co os obtidos po eleentos finitos e pela colocação otogonal. Descição do étodo e ipleentação nuéica O sistea difeencial ()-() insee-se na seguinte foa difeencial iplícita geal: G ( x, C, C, C, T) = F( x ) (8) G (, x T, T, T, C) = F () x, (9) cujas equações são definidas, se peda de genealidade, no intevalo < x <. Paa a esolução nuéica desse ou de outos sisteas co ais equações, é adotado u pocediento de colocação, siila ao pocediento clássico, que pode se visto e Douglas e Dupont (973) e Lapidus e Pinde (98). Inicialente, a foulação difeencial (8)-(9) do poblea é levada a ua foulação faca, ve Dautay e Lions (984), esultando G ( x, C, C, T ) v ( x ) =, () e Acta Scientiau. Technology Maingá, v. 5, no., p , 3

3 Resolução de u odelo de eato utilizando edes neuais 4 [ (,,,, ) ] = G x T T T C F x w x, () e que v e w são funções testes. O étodo da colocação segue co a escolha no doínio < x < de N pontos distintos xi, i N, nos quais todos os teos pesentes e (8) e (9) estão definidos. E seguida, as vaiáveis dependentes C e T são apoxiadas po C e T e e u espaço de diensão finita, que, no caso, depende da aquitetua da ede neual a se usada. Po sua vez, o espaço das funções testes é u espaço de N distibuições de Diac ψ i( x) = δ ( x xi), i N. Toando v e w iguais, paa usa os esos pontos de colocação paa o sistea, e coo sendo essas distibuições, as equações () e (), na foa disceta, fica sendo, ψ i G ( x, C, C, T ) ( x) =, () de contono (4)-(7). Isso é feito co o auxílio do étodo da penalidade, pela pondeação das estições e edefinição do funcional (6). Assi, N Ep () = {[ Rx (, p)] + [ R(, x p)]} + i= i i + η{[ RB ()] + [ RB ()] + [ RB ()] + RB ()] } 3 4 (7) e que, η é o paâeto de penalidade e os esíduos no contono são: dc RB () = C ( x) =, (8) Pe dt RB () = T ( x) =, (9) Peh dc RB3 () = =, () Pe ψ i [ G ( x, T, T, T, C ) F ( x )] ( x ) =, (3) ψ que pela definição da função i esíduos nos pontos de colocação: i i i i i fonece os R x, p = G[ x, C ( x ), C ( x ), T ( x )] = (4) e R = ( xi, p) = = G [ x, T ( x ), T ( x ), T ( x ), C ( x )] F( x ) = i i i i i i (5) sendo i N e p e p vetoes foados pelos pesos e bias das edes neuais (daqui paa fente efeidos geneicaente coo pesos). Nas equações ()-(5), as funções C e T usa apoxiações po edes neuais que adiante seão definidas. A solução do sistea não-linea foado pelas equações ()-(5) é levada ao contexto de teinaento de edes neuais. Pieio é definido u funcional a pati da soa dos quadados dos esíduos, tendo-se nesse odelo, ( N E p) = {[ R ( x, p )] + [ R ( x, p )] }, (6) i= i i e que, p = [ p, p ] T. Os pesos seão deteinados esolvendo-se o poblea de otiização sob estições ipostas pelas condições dt RB4 () = =. () Pe Acta Scientiau. Technology Maingá, v. 5, no., p , 3 h Dessa foa, o poblea de otiização passa a se se estições, isto é, N in E( p) = {[ R ( x, p )] + [ R ( x, p )] } + p i= 4 i i + η{[ RB()] + [ RB()] + [ RB3()] + + RB ()] } () e sua solução foi pocuada co étodos clássicos de otiização, ediante ipleentação nuéica apopiada coo descito a segui. Ipleentação nuéica A iniização do funcional eo definido e () foi ealizada co a concatenação das otinas DUMCGF e DUMINF, disponíveis no IMSL Nueical Libaies. Eboa o étodo usado na DUMINF seja de convegência quadática, ela não se ostou obusta o suficiente paa pati de pesos abitáios, quando o núeo de paâetos de otiização foi supeio a ceca de 4, ou seja, ua ede pogessiva ::( entadas, neuônios na caada escondida, e saída), aquitetua uito usada paa solução de equações difeenciais e e paticula no odelo e consideação. No pocediento de apoxiação das vaiáveis dependentes, são utilizadas as seguintes edes pecepton ulticaada:

4 4 Silva et al. C ( x, p ) = v σ ( w x+ b ), (3) k k k k = e T ( x, p ) = σ ( s x+ c ), (4) k k k k = Tabela. no início e no final do eato no caso. Pe =, Pe h =, =, Da=, β=, γ=, w =, T w =, Eleentos Colocação Rede Difeença Difeença finitos () otogonal () Neual,,9465,947,9465, 7E 5,,9799,988,9799, 9E 5 Fonte: Luize e Biscaia, (99). () pontos de colocação () 4 pontos de colocação e que p = v, w, b,, v, w, b T [ K ] e p = [, s, c, K,, s, c ] h h h T h h h,945,94,,9,935,9 Tendo sido escolhido o núeo de unidades escondidas =, e coo função de ativação dos neuônios da caada escondida a função sigoidal definida po,,93,95,9,95 Tepeatua,8,8,7,7 Tepeatua σ ( x) =, (5) + exp( x) Co as edes (3) e (4), a diensão do espaço de intepolação é de 6 paâetos. Nas siulações nuéicas ealizadas foa utilizados N=4 pontos de colocação, xi, i N, igualente espaçados, no intevalo [,]. Paa apoveita as elhoes caacteísticas coputacionais das sub-otinas DUMCGF e DUMINF, o pocesso de otiização é feito e duas etapas: inicialente, co pesos abitáios a otiização é feita pela DUMCGF, executando ceca de 75 iteações, que deanda pouco tepo (e coputadoes co pocessadoes de 8 Mz e 384 MB eóia). E seguida, os pesos finais da pieia etapa seve coo pesos iniciais paa a etapa de efinaento da otiização pela DUMINF. Resultados e discussão O odelo ateático, equações ()-(7), foi esolvido paa quato conjuntos de paâetos, seguindo as siulações ealizadas po Luize (99). Os esultados paa a concentação do eagente estão ostados nas Tabelas a 4, sendo que cada caso coesponde a u conjunto de paâetos que se enconta especificados nas pópias tabelas. Nelas tabé são epoduzidos os esultados de Luize e Biscaia (99), obtidos po eleentos finitos e colocação otogonal. Os pefis de distibuição da concentação do eagente e da tepeatua ao longo do eato estão ostados nas Figuas a 4.,9,95,,,4,6,8, Copiento Adiensional Figua. Gáfico da concentação e da tepeatua do caso.,6,6 Tabela. no início e no final do eato no caso. Pe =, Pe h =, =, Da=,5 β=, γ=, w =, T w =, Eleentos Colocação Rede Difeença Difeença finitos () otogonal () Neual,,83767,8388,83769 E 5,E 3,,64,643,647 3E 5,4E 3 Fonte: Luize (99). () pontos de colocação () 4 pontos de colocação E todos os casos, foa dados dois passos: u núeo de iteações, gealente 7.5, paa a otina DUMCGF e o efino dos pesos esultantes co a otina DUMINF. U esuo das execuções paa cada caso está ostado na Tabela 5 e pode se encontada e Lia et al. ().,,95,9,85,8,75,7,65,6,,,4,6,8, Copiento Adiensional Tepeatua Figua. Gáfico da concentação e da tepeatua do caso. Tabela 3. no início e no final do eato no caso 3. Pe =5, Pe h =5, =, Da=, β=,5 γ=, w =, T w =, Eleentos Colocação Rede Difeença Difeença finitos () otogonal () Neual,,8395,8445,83949,e 5,96e 3,,3467,35,3457,e 4 7,63E 3 Fonte: Luize (99). () pontos de colocação () 4 pontos de colocação,4,35,3,5,,5 Tepeatua Acta Scientiau. Technology Maingá, v. 5, no., p , 3

5 Resolução de u odelo de eato utilizando edes neuais 43,9,8,7,6,5,4,3,,,,,,4,6,8, Copiento Adiensional Tepeatua Figua 3. Gáfico da concentação e da tepeatua do caso 3. Tabela 4. no início e no final do eato no caso 4. Pe =96, Pe h =96, =, Da=3,8 β=,56 γ=7,6 w =, T w =, Eleentos Colocação Rede Difeença Difeença finitos () otogonal () Neual,,964,9568,97564,54 E,95 E,,39,54, 7,3 E 4 5,8 E 4 Fonte: Luize (99) () pontos de colocação () 4 pontos de colocação,,9,8,7,6,5,4,3,,,,,,4,6,8, Copiento Adiensional Tepeatua Figua 4. Gáfico da concentação e da tepeatua do caso 4. Tabela 5. Resuo das execuções paa os quato casos. Caso Passo () Passo (),35,3,5,,5,,5,5,,5,,5,,995,99,985,98,975,97 Iteações Tepo (in) Tepo (in) () otina DUMCGF () otina DUMINF Pela análise desses esultados, constata-se que, nos tês pieios casos, o étodo da ede neual utilizado apesenta a esa pecisão, e até duas casas deciais, e elação aos étodos de eleentos finitos e de colocação otogonal. No quato caso, os paâetos existentes no sistea de equações exige ais dos tês étodos. No caso dos étodos clássicos, a pecisão foi eduzida paa ua casa decial o que tabé se veificou co o étodo utilizado. Tepeatua Tepeatua Conclusão U odelo ateático paa u eato de leito fixo adiabático co dispesão axial foi objeto de siulação nuéica pelo epego de etodologia de edes neuais. A utilização de ede neual, na solução de equações difeenciais, é ecente (os pieios tabalhos data de 998), daí a necessidade de se aplia suas aplicações a pobleas técnicos elevantes, e paticula da engenhaia quíica, paa se te acesso às suas caacteísticas nuéicas e coputacionais. As siulações ealizadas seguia as de Luize e Biscaia (99) e os esultados obtidos pelo étodo poposto são tão pecisos quanto os alcançados po eleentos finitos e de colocação otogonal, aplaente epegados e siulações nuéicas de pobleas de ciências e da engenhaia. E paticula, as aplicações aqui tatadas aplia o étodo poposto po Lagais et al. (998), pelo uso do étodo da penalidade de fácil adaptação paa insei estições oiundas de condições de contono ou de outos tipos de estições, e pela esolução de sistea de equações odináias co condições de contono do tipo isto, coo as do odelo descito e ()-(7). O que ainda se pode constata do étodo de esolução de equações difeenciais po edes neuais atificiais é que o tipo de apoxiação é global. Após o teinaento da ede neual, te-se ua função de intepolação que desceve, paa qualque ponto do doínio, dietaente, ua apoxiação paa a solução da equação difeencial. Po fi, ua significativa caacteística e elação à utilização de edes neuais paa esolução de equações difeenciais é sobe a lineaidade ou não do odelo. O étodo de edes neuais não necessita de odificação e sua etodologia nuéica e de ipleentação coputacional, ao esolve que pobleas lineaes que não lineaes. Refeências COTTER, N.E. The Stone-Weiestass theoe and its application to neual netwoks. IEEE Tans. Neual Netw., New Yok, v., n. 4, p. 9-95, 99. CYBENKO, G. Appoxiation by supepositions of a sigoidal function. Matheatics of Contol, Signals, and Systes, Godaling, v., n. 4, p , 989. DAUTRAY, R.; LIONS, J.L. Analyse athéatique et calcul nuéique. Pais: Masson Editeu, v. 6, 984. DOUGLAS JR, J.; DUPONT, T. A Finite eleent collocation ethod fo quasilinea paabolic equations. Matheatics of Coputation, Povidence, v. 7, n., p. 7-8, 973. Acta Scientiau. Technology Maingá, v. 5, no., p , 3

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