FURTHER DEVELOPMENT IN THE RADIAL INTEGRATION METHOD

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1 Mecánica Computacional Vol XXIX, págs (atículo completo) Eduado Dvokin, Macela Goldschmit, Maio toti (Eds.) Buenos ies, gentina, Noviembe 21 FURTHER DEVELOPMENT IN THE RDIL INTEGRTION METHOD Luís J. M. Jesus a, Ede L. lbuqueque b and Paulo olleo a a Depatamento de Pojeto Mecânico, Faculdade de Engenhaia Mecânica, Univesidade Estadual de Campinas, Campinas, Basil luisjogem@fem.unicamp.b, solleo@fem.unicamp.b b Depatamento de Engenhaia Mecânica, Faculdade de Tecnologia, Univesidade de Basília, Basília, Basil ede@unb.b Keywods: Bounday element method, adial integation method, dual ecipocity method bstact. The adial integation method is a method to tansfom domain integals into bounday integals in the bounday element fomulation. It is easy to implement, does not equies paticula solutions, and is quite suitable to poblems wee fundamental solutions ae difficult to implement o even unknown. Howeve, its main dawback is the computational cost that is highe than othe techniques as dual ecipocity o cell integation. This aticle discusses the numeical aspects of its implementation. The dependence of the esponse on the numbe of integation points is analysed. ccuacy and computational costs ae compaed with othe techniques and esults ae pesented fo heat tansfe. Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

2 5568 L. JEU, E. LBUQUERQUE, P. OLLERO 1 INTRODUÇÃO Métodos clássicos paa solução de poblemas do contínuo em engenhaia gealmente fazem uso de alguma foma de discetização de domínio. O mais popula destes métodos é o método dos elmentos finitos (Zienkiewicz and Taylo, 1991) que apoxima as vaiáveis sobe pequenas pates do domínio, chamadas elementos finitos, em temos de funções de intepolação polinomial. s desvantagens dos elementos finitos é que gandes quantidades de dados são necessáias paa discetiza o domínio completo, especialmente paa poblemas tidimensionais, e que a técnica, às vezes, dá esultados impecisos. Isto é paticulamente vedadeio paa os casos de funções descontínuas, singulaidades ou funções que vaiam apidamente. Há também dificuldades na modelagem em egiões infinitas e poblemas em que o contono se move. aplicação do método dos elementos de contono eque, pefeencialmente, que a solução fundamental paa o poblema em consideação seja conhecida (Bebbia and Dominguez, 1992; Banejee, 1992). Essa solução fundamental deve leva em conta todos os temos da equação govenante de foma a obte uma fomulação onde apenas o contono é discetizado. Quando isso não fo possível, os temos não consideados na obtenção da solução fundamental poduzião integais de domínio que, pefeencialmente, devem se tansfomadas em integais de contono. pimeia altenativa é faze a tansfomação exata da integal de domínio em integal de contono. Póem, isto só é possível quando os temos não consideados são funções apenas da geometia. segunda altenativa é tansfei os efeitos da integal de domínio paa o contono usando-se o método de elementos de contono de ecipocidade dual (Patidge et al., 1992) ou da integação adial (Gao, 22). Estes pocedimentos são mais geais e podem se empegados paa quaisque temos. Neste tabalho o método dos elementos de contono é aplicado a poblemas de potenciais cujas foças de copo são funções da solução do poblema. s integais de domínio seão tansfomadas em integais de contono usando o método de integação adial. 2 EQUÇÃO INTEGRL DE CONTORNO Considee a equação difeencial escita na foma: 2 u+b = (1) onde u é uma função potencial qualque e 2 é o opeado difeencial laplaciano dado po 2 = 2 x y 2 (2) Emboa exista solução fundamental paa a equação diefeencial (1), a fomulação de elementos de contono deste tabalho utilizaá a solução fundamental da equação de Laplace, ou seja, 2 u = δ(x d) (3) onde x é o ponto campo,déoponto fonte e δ é o delta de Diac. solução fundamental da equação (1) é bem conhecida e dada po u = 1 lgr (4) 2π onde R é a distância ente o ponto fonte d e o ponto campo x. Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

3 Mecánica Computacional Vol XXIX, págs (21) 5569 plicando o pocedimento padão dos elementos de contono à equação e consideando b como foça de copo, obtém-se a seguinte equação integal: cu(d) u qd + q ud + u bd = (5) Note que existe uma integal de domínio na equação (5). Essa integal de domínio seá tansfomada em integal de contono usando o pocedimento poposto neste tabalho. 3 TRNFORMÇÃO EXT integal de domínio da equação (5) pode se calculada po integação dieta, atavés de células, na áea. Contudo, a fomulação dos elementos de contono pede seu pincipal atativo que é a discetização somente do contono. Nesta seção, as integais de domínio oiundas das foças de copo são tansfomadas em integais de contono po uma tansfomação exata. integal de domínio da equação integal (5) pode se escita em coodenadas polaes como: bu d = bu ρdρdθ, (6) ou bu d = θ onde é o valo de ρ em um ponto do contono (veja figua 1). DefinindoF como a seguinte integal: pode-se esceve: F = bu d = bu ρdρdθ, (7) bu ρdρ, (8) θ F dθ. (9) Consideando um ângulo infinitesimal dθ (Figua 1), a elação ente o compimento do aco dθ e o compimento infinitesimal do contono d, pode se escito como: ou cosα = dθ 2 d 2, (1) dθ = cosα d. (11) Usando as popiedades do poduto inteno dos vetoes unitáios n e, indicados na Figua 1, podemos esceve: dθ = n. d. (12) Finalmente, substituindo a equação (12) na equação (9), a integal de domínio da equação (5) pode se escita como uma integal de contono dada po: bu F d = n.d. (13) Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

4 557 L. JEU, E. LBUQUERQUE, P. OLLERO d/2 J α I K dθ/2 K n α dθ J I dθ Q d Figue 1: Tansfomação da integal de domínio em integal de contono. O pocedimento descito nesta seção pode se aplicado sempe que a foça de copo fo função apenas da geometia, ou seja,b = b(x,y), em que e x = x d +ρcosθ (14) onde (x d,y d ) são as coodenadas do ponto fonte. 4 MÉTODO D INTEGRÇÃO RDIL - RIM y = y d +ρsinθ, (15) tansfomação exata descita na seção 3 pode se aplicada quando a foça de copo b depende apenas da geometia. Quando b depende da vaiável u, um pocedimento altenativo é aplicado, que neste caso seá o método da integação adial (RIM). O RIM apoxima a foça de copo b como uma soma de M podutos de funções de apoximaçãof m e coeficientes a detemina γ m, ou seja: ou b(p) = γ m f m (16) Inseindo a equação (16) na equação (6), tem-se: γ m γ m θ f m u (Q,P)ρdρdθ (17) f m u (Q,P)ρdρdθ, (18) Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

5 Mecánica Computacional Vol XXIX, págs (21) 5571 onde é o valo de ρ em um ponto no contono (ve Figua 1): DefinindoF m (Q) como: pode-se esceve: F m (Q) = f m u (Q,P)ρdρ, (19) γ m θ F m (Q)dθ. (2) ubstituindo a equação (12) na equação (2), a equação integal de domínio da equação (5) pode se escita como uma integal de contono dada po: γ m ssim, a integal de domínio da equação (5) pode se escita como: F m (Q) n.d. (21) onde ou, na foma maticial, como: P (d) = p (d,m) = γ m N e i=1 p (d,m), (22) F (d,m) n.d, (23) [ F 1 (Q) n.d F 2 (Q) n.d... F M (Q) n.d ] γ 1 γ 2. γ M. (24) Paa calcula γ m, é necessáio considea a foça de copo em M pontos do domínio e do contono. No caso deste tabalho, estes pontos são os nós do contono e alguns pontos intenos. ssim, a equação (16) pode se escita como: e γ pode se calculado como: b = Fγ (25) ubstituindo (26) na equação (24), tem-se: γ = F 1 b, (26) [ F 1 (Q) n.d F 2 (Q) n.d... F M (Q) n.d ] F 1 b. (27) Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

6 5572 L. JEU, E. LBUQUERQUE, P. OLLERO Escevendo a equação (27) paa todos os pontos do domínio, isto é, todos os nós do contono e pontos intenos, tem-se: P = RF 1 b = Tb, (28) onde T = RF 1, P é um veto que contém os valoes de P(Q) em todos os pontos fontes Q e R é uma matiz que contém todos os valoes das integais (27) quando esta equação é escita paa todos os pontos fontes Q. s funções de apoximação f m seão funções de base adial escitas em temos de R, onde R é a distância ente o cento T da função de base adial e o ponto de integação P. Neste tabalho foi usada como função de apoximação de base adial, a função dada po: Da Figua 2, pode-se esceve: f = 1+R. (29) P ρ R β l T Q Figue 2: Posição dos pontos no domínio. R = ρ 2 +l 2 2ρlcosβ, (3) onde l é a distância ente os pontos T e Q e β é o ângulo ente ρ e l, confome obsevado na Figua 2. integal (15) é escita como F m (Q) = 1 ( ρ2 +l 2π 2 2ρlcosβ +1) log(ρ)ρdρ, (31) integal da equação (31) não pode se calculada analiticamente. O cálculo numéico desta integal tona mais alto o custo computacional do RIM, uma vez que no DRM não se faz integação numéica na tansfomação da integal de domínio em integais de contono. vantagem mais inteessante do RIM sobe o DRM paa fomulações que envolvam mateiais anisotópicos é que as funções de apoximação f m podem se escolhidas livemente, pois o RIM não usa as soluções paticulaes û m. Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

7 Mecánica Computacional Vol XXIX, págs (21) REULTDO NUMÉRICO Paa se veifica a pefomance do método poposto, foi analisado um poblema que possui uma solução analítica.tata-se de uma placa quadada com lado de compimento 1, ou seja, ( x 1 e y 1) e sujeito à seguintes condições de contono: u = emx =, u = 1 emx = 1, q = u = em y =, n q = u = em y = 1. n solução analítica paa este poblema é dada po: u an = sin ( ) πx 2 O poblema foi analisado usando difeentes númeos de elementos (N E) e númeo de pontos intenos (NPI). figua 3 mosta a malha com 4 elementos quadáticos contínuos e 9 pontos intenos. tabela 1 mosta o eo pecentual ente os divesos casos analisados. O eo pecentual é dado po: NP I+NN (u an ε% = i=1 NPI+NN i=1 i u i ) 2 (u an i ) 2 1% (32) onde NN é o númeo de nós no contono. Confome pode se visto na tabela 1, em geal há uma boa concodância ente os esultados numéicos e analíticos, com eos quase sempe infeioes a 1%. É possível nota também que o eo diminui com o aumento do númeo de pontos intenos e com o númeo de elementos na malha. figua 4 mosta a influência do númeo de pontos de integação no eo pecentual. Como pode se visto, o eo pecentual tem um valo ótimo (mínimo) paa 4 pontos de integação. umentando o númeo de pontos de integação, há um ligeio aumento no eo pecentual. O eo pecentual se estabiliza a pati de 8 pontos de integação. figua 5 mosta a distibuição da vaiável u ao longo da placa quadada. Neste caso o esultado foi obtido com 2 elementos po lado (8 elementos no total) e 9 pontos intenos, com método da integação adial usando 4 pontos de Gauss. Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

8 5574 L. JEU, E. LBUQUERQUE, P. OLLERO Figue 3: Malha e pontos intenos (8 elementos de contono e 9 pontos intenos). Eo (%) Númeo de pontos de Gauss Figue 4: Influência do númeo de pontos de integação no eo pecentual. 6 CONCLUÕE Este tabalho apesentou um estudo do método da integação adial aplicados a poblemas potenciais com foças de copo dependentes da solução do poblema. solução fundamental utilizada foi a da equação de Laplace e as integais de domínio povenientes das foças de copo foam tansfomadas em integais de contono usando o método da integação adial. Os esultados mostaam que o método apesenta bom desempenho com uma boa concodância com esultados analíticos. concodância melhoa com o aumento do númeo de elementos de contono e do númeo de pontos intenos. O númeo de pontos de integação tem um valo ótimo no qual o eo pecentual em elação a solução analítica é mínimo. pati deste valo ótimo, o eo pecentual tende a aumenta ligeiamente com o aumento do númeo de pontos de integação e, logo em seguida, se estabiliza. Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional

9 Mecánica Computacional Vol XXIX, págs (21) 5575 Table 1: Valoes do eo paa difeentes númeos de elementos e pontos intenos NPG NPI NE Eo (%) , , , , , , , , , , , , Figue 5: Distibuição da vaiável u ao longo da placa quadada. REFERENCE Banejee P. Bounday element method. New Yok: McGaw-Hill Book Co, Bebbia C.. and Dominguez J. Bounday element - an intoduction couse. Computational Mechanics Publication, Gao X. The adial integation method fo evaluation of domain integals with bounday-only discetization. Engineeing nalysis with Bounday Elements, 26:95 916, 22. Patidge P., Bebbia C., and Wobel L. The dual ecipocity bounday element method. Computational Mechanics Publications, outhampton, Zienkiewicz O. and Taylo R. The finite element method, volume II. McGaw Hill, Copyight 21 sociación gentina de Mecánica Computacional