UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA O ENSINO DA DINÂMICA EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA O ENSINO DA DINÂMICA EM ENGENHARIA MECÂNICA Paulo de Taso Salviano Filho - tasosalviano@ibest.com.b Maio Olavo Magno de Cavalho - molavo@unb.b Cistiano Viana Sea Villa - cvsv@unb.b Univesidade de Basília, Depatamento de Engenhaia Mecânica. Campus Univesitáio Dacy Ribeio, Faculdade de Tecnologia, Bloco C Basília - DF Resumo: Este tabalho apesenta um esfoço no desenvolvimento de feamentas paa apefeiçoamento do pocesso de apendizagem em dinâmica de estutuas mecânicas. Na dinâmica de copo ígido, as equações de movimento podem se muito complexas devido a não lineaidade. Paa esolve estas equações, os métodos analíticos são feqüentemente pouco páticos ou não usuais. Assim neste tipo de poblema, são empegadas feamentas de simulação numéica paa detemina o movimento do sistema. Existem, dento dos métodos numéicos, váios modos paa intega as equações de movimento, muitos dos quais são implementados em pacotes amigáveis, onde podem se ciados modelos complexos po meio gáfico. Em paticula, este tabalho exploa a feamenta SIMULINK (de Mathwoks ) po causa de seu potencial didático. O SIMULINK possui váios algoitmos numéicos paa intega as equações de movimento, em combinação com uma inteface de usuáio gáfica e possibilidades de animação. Paa ilusta a utilização do SIMULINK como feamenta de auxilio ao ensino de mecânica de patícula, um exemplo simples de dinâmica é mostado. Depois disso, é analisado um poblema com um nível maio de complexidade. Os esultados são impotantes do ponto de vista didático. Palavas-chave: Dinâmica, Simulação numéica, Ensino. 1 INTRODUÇÃO O estudo da dinâmica das estutuas mecânicas, em paticula da dinâmica dos copos ígidos, constitui um dos fundamentos do conhecimento ligado à Engenhaia Mecânica. O seu bom entendimento concoe de maneia fundamental paa a intuição e paa o domínio dos conceitos elacionados à disciplina e à compeensão da Física dos fenômenos envolvidos. Com o intuito de simplifica o modelo e de facilita o pocesso de apendizagem, inicialmente são adotadas váias simplificações físicas (ex. assumindo copo ígido e ótula ideais), bem como simplificações matemáticas (ex. atavés de lineaizações). Posteiomente XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-1

2 essas estições são po vezes elaxadas tonando os poblemas pogessivamente mais complexos. Em uma linguagem gáfica e intuitiva (MATSUMOTO, 003), atavés de diagamas de bloco, este tabalho, baseado na feamenta SIMULINK, ofeece uma altenativa à simulação numéica clássica paa aboda poblemas de maio complexidade. O SIMULINK (CUNHA & SEVERO, 006) é um pogama (toolbox) baseado em uma platafoma MATLAB, que pemite facilmente modela, simula e analisa sistemas dinâmicos (mecânicos, eléticos, etc), contínuos e/ou discetos no tempo. A pincipal vantagem desta feamenta é apesentada na foma de se pogama os modelos matemáticos, pois este lança mão de diagamas muito paecidos com os utilizados paa estutua inicialmente algoitmos de pogamação (Figua 1). Figua 1. Analogia ente um Diagama estutual e um Diagama ciado no SIMULINK. Assim, como a utilização deste softwae contibuiia paa o incemento de eficiência no pocesso didático (ensino-apendizado) vivenciado pelo pofesso e aluno? A vantagem apesentada se deve inicialmente à facilidade de pogamação no ambiente poposto, deixando mais tempo paa a exploação e paa a intepetação de aspectos físicos, sem o isco de se desloca à ênfase do poblema e de se pede na constução de algoitmos e de modelos numéicos de implementação difícil e demoada. A feamenta SIMULINK dispõe ainda de intefaces muito amigáveis que pemitem a apesentação dos esultados atavés de gáficos e de animações que potencializam o entendimento físico e a intuição sobe o poblema. No pesente tabalho é exploado aplicações de conceitos elacionados à cinemática e à cinética, esultando em equações difeenciais odináias, que seão esolvidas atavés do modelo computacional feito no SIMULINK. A METODOLOGIA APLICADA A metodologia, paa a solução dos poblemas aqui abodados, pessupõe uma pévia modelagem do poblema físico e matemático, confome apesentado esquematicamente na pimeia pate do fluxogama da Figua. Na seqüência, o modelo matemático obtido é intoduzido no ambiente de simulação do SIMULINK, onde o modelo numéico é então constuído atavés de diagama de blocos. Emboa a etapa anteio seja essencial paa a modelagem do poblema como um todo, neste tabalho é dado a atenção à segunda etapa de modelagem, isto é, ao modelo numéico paa simulação dos poblemas dinâmicos, incluindo aí a apesentação dos esultados atavés de gáficos e animações paa melho compeensão do poblema. A abodagem, feita atavés da simulação numéica com o SIMULINK, não se XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01 -

3 estinge aos poblemas lineaes ou à dimensão do mesmo, emboa a complexidade da solução cesça apidamente com o aumento do númeo de gaus de libedade. Pimeia Pate Modelagem Física Intepetação do Poblema Físico Simplificação do Poblema Escolha do Sistema de Refeência Estudo Cinemático Estudo Cinético Segunda Pate Simulação Numéica Constução dos diagamas de Blocos Modelagem Matemática Explicitação das equações Constitutivas Explicitação das equações Geais Simplificações do modelo Obtenção das Equações Difeenciais Pós-pocessamento Saída Gáfica Banco de Dados Repesentação e animação da solução Figua. Fluxogama. 3 UM CASO SIMPLES: MASSA-MOLA-AMORTECEDOR O pimeio caso apesentado consiste no estudo do movimento oscilatóio de uma patícula (SETO, 1971), sob ação de uma foça elástica e de uma foça de amotecimento. O sistema massa-mola-amotecedo, com um único gau de libedade, pode se modelado po uma equação difeencial linea odináia, homogênea com coeficientes constantes, que possui solução analítica. Na Figua 3 é apesentado um esquema da idealização deste sistema e seu Diagama de Copo Live (DCL). 3.1 Modelagem física Figua 3. Esquema do sistema Massa-Mola-Amotecedo e DCL. Após a escolha de um efeencial paa obseva o fenômeno, é constuído um DCL, a pati do qual é possível identifica as foças de campo e de contato que atuam sobe o copo. No diagama da Figua 3, na dieção x, são destacadas as focas devido à mola ( kx ) e ao amotecimento ( C& x ). A foça devido à mola é expessa po uma elação constitutiva linea ente a pópia foça e a defomação elástica da mola. Tal elação possui uma constante de popocionalidade, que no caso é denominada igidez e epesentada po k. Esta constante depende tanto da geometia da mola como do mateial com que esta foi constuída. Esta foça está associada à enegia potencial elástica ou ao tabalho consevativo da foça da mola. XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-3

4 A constante de popocionalidade C, pesente na elação que detemina a foça de amotecimento, elaciona à popocionalidade ente a foça e a velocidade elativa ente as extemidades do elemento amotecedo. Esta foça está associada à enegia dissipada na foma de calo, devida ao tabalho dissipativo da foça do amotecedo. Outa constante de popocionalidade que apaece é a massa do copo m, e esta epesenta a caacteística de inécia e está associada à oposição de um copo à aceleação a que se submete. Empegando a ª lei de Newton sobe a patícula, enconta-se a seguinte equação de movimento: m & x(t) + C x(t) & + k x(t) = 0 C x(t) & k x(t) = m & x(t) F = m a (1) 3. Simulação numéica atavés do SIMULINK Manipulando algebicamente a Equação (1), obtém-se que: C k C k x& (t) = x(t) & + x(t) = x(t) & x(t) m m m m & () A idéia aqui, utilizada na constução do modelo computacional, é isola o temo da aceleação & x& (t) a cada passo de iteação, igualando-o ao simético da soma dos temos devido à aceleação execida pelo amotecimento ( C / m) x& (t) e pela mola ( k / m) x(t). O modelo numéico no SIMULINK paa Equação () é mostado na Figua 1. Na Figua 1 pode-se ve um bloco de Soma (no SIMULINK denominado po Sum) ealizando a soma das pacelas ( C / m) x& (t) e ( k / m) x(t). Os blocos denominados po Amotecedo e Mola (Gain) efetuam a multiplicação das constantes ( C / m) e ( k / m) pelos espectivos valoes das funções velocidade x& (t) e deslocamento x(t) povenientes do passo anteio na iteação. Os blocos Velocidade e Deslocamento (Integato), que efetuam a integação dos sinais de & x& (t) e x& (t) de paa esolução da Equação (), são mostados de foma isolada na Figua 4. Figua 4. Integação de & x& (t) e x& (t). Condições iniciais Uma vez estabelecidas às equações difeenciais do poblema, as condições iniciais devem se escolhidas paa possibilita uma solução única do poblema (BOYCE & DIPRIMA, 00). Assim a inseção, destas condições, é feita atavés de clique duplo sobe os blocos (Figua 4) denominados Velocidade e Deslocamento, paa altea, espectivamente, a velocidade inicial e o deslocamento inicial po meio de caixas de diálogos que seão abetas. Os valoes utilizados na simulação numéica (item 3.3) são: x &(0) = [m/s] e x(0) = 0 [m]. Escolha da função de integação Outa questão, a se esclaecida, é a espeito da simbologia utilizada pelos ícones dos blocos Velocidade e Deslocamento, que é uma alusão à tansfomada de Laplace. Estes blocos opeam a integação indicada atavés de otinas otimizadas no Matlab e incopoadas nas funções ODE45, ODE113, dente outas. Essas funções pedefinidas esolvem à equação XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-4

5 difeencial de foma numéica, e podem se detalhadas e/ou alteadas atavés do menu Simulation Configuation Paâmeto Solve no SIMULINK. Ajuste de paâmetos no modelo Paa alteação dos valoes, tais como a constante elástica da mola, coeficiente de amotecimento e massa da patícula, basta clica duas vezes sobe os blocos (Figua 1) denominados Mola e Amotecedo, assim espectivamente cada um iá abi uma caixa de dialogo, nas quais se podem efetua as alteações desejadas, ou seja, altea os valoes de ( C / m) e ( k / m). A título de exemplo, foi simulada uma situação onde a patícula possuía uma massa de 5[kg]. Alguns paâmetos utilizados na simulação numéica são expostos na tabela abaixo. Tabela 1. Paâmetos utilizados na simulação numéica. Caso Constante Elástica da Mola k [N/m] Vibação Mecânica paa uma Patícula Coeficiente de Amotecimento C [Ns/m] Fato de Amotecimento C ξ = mω , Na quata coluna da Tabela 1 apaece um fato impotante paa a análise dos esultados obtidos na simulação numéica. Este, denominado de fato de amotecimento (SETO, 1971), estabelece uma elação ente o amotecimento C e o amotecimento cítico mω n, onde a feqüência natual ω n de vibação é k/m. O fato de amotecimento indica se o movimento ealizado estaá com amotecimento subcítico, cítico ou supecítico. 3.3 Resultados alcançados pela simulação numéica Pode-se obseva que quando (C / m) < (k / m), ou seja ξ < 1, as aízes da equação caacteística são complexas e conjugadas, levando a solução de vibação amotecida ou de amotecimento subcítico (caso 1). Caso contáio é denominado de amotecimento cítico com ξ = 1 (caso ) ou ainda supecítico quando ξ > 1 (não simulado). O caso 3 da Tabela 1 epesenta uma vibação sem amotecimento. A simulação numéica é mostada na Figua 5. n XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01 -

6 Figua 5. Casos de subamotecimento, citicamente amotecido e movimento hamônico simples. 4 MECANISMO COM TRÊS ROTAÇÕES SIMULTÂNEAS O segundo poblema (SANTOS, 001) tatado, já um pouco mais elaboado e com um maio gau de complexidade, consiste em se enconta a função que desceve o movimento de um pêndulo simples, otulado na extemidade D de uma haste vetical, montada sobe o mecanismo mostado na Figua 6. Paa explicita os movimentos ealizados aqui, são definidos abitaiamente quato sistemas efeencias (um inecial e tês móveis). O sistema inecial R, do qual se deseja explicita o movimento do pêndulo, é oientado pelos eixos otogonais X-Y-Z e tem como oigem o ponto O. O pimeio sistema móvel R1, foi escolhido como sendo solidáio ao baço AB, é oientado pelos eixos otogonais X 1 -Y 1 -Z 1 com oigem no ponto B. O segundo sistema móvel R, solidáio ao disco, possui oientação dada pelos eixos otogonais X -Y -Z com oigem no ponto C. E po fim, o teceio sistema móvel R3 solidáio a haste DE, que possui oientação dada pelos eixos otogonais X 3 -Y 3 -Z 3 e oigem no ponto D. O mecanismo, idealmente ígido, executa duas otações simultâneas e tem massas e inécias despezíveis. Neste mecanismo, o baço AB gia em tono do eixo Z com velocidade angula α& quando obsevada do efeencial R. O disco, otulado na extemidade B do baço, gia em tono do eixo Z 1, de foma independente do movimento do baço, com velocidade angula constante β & quando obsevada do efeencial R1. A combinação das otações impostas confee ao poblema caacteísticas não lineaes. Uma popiedade inteessante sobe opeações com sistemas de coodenadas é a tansfomação linea efetuada pela passagem de um sistema de coodenadas paa um outo qualque, e vice-vesa. Estas opeações são ealizadas pelas matizes otogonais de otação e po suas invesas (EDWARDS & PENNEY, 1998), e é empegada na esolução deste poblema paa pojeta coodenadas de um sistema em outo. XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01 -

7 Figua 6. Mecanismo e DCL paa a massa E. Figua adaptada de (SANTOS, 001). 4.1 Modelagem física O pimeio passo, na modelagem, foi defini os sistemas de efeência (R, R1, R, e R3). Tal pocedimento é tomado com intuído de desceve o movimento complexo do pêndulo, em função de movimentos mais simples (vistos dos efeenciais R, R1 e R combinados). Assim cada sistema móvel de efeência foi vinculado, atavés de um efeencial, a movimentos específicos do mecanismo, confome mostado na Figua 6. Ao se estuda o movimento do pêndulo, é estitamente necessáio detemina a aceleação linea absoluta da massa na extemidade do pêndulo (localizada no ponto E, Figua 6), e assim aplica o equilíbio dinâmico confome a ª Lei de Newton (SANTOS, 001). Calculando a aceleação linea absoluta da massa na extemidade do pêndulo a pati do efeencial R, é obtida a Equação (3). Poém esta é pojetada no sistema de efeência R3 (tansfomação de R em R3), pois o objetivo é calcula a função ψ(t) (descita pelo movimento angula do sistema móvel R3 em elação ao supote vetical, no qual o pendulo é otulado). a E = a D + ω 3 ω 3 DE + ω& 3 DE + ω Na equação acima, a D é a aceleação linea absoluta do ponto D em elação a R1 pojetada no efeencial R3. A aceleação linea elativa a DE el e a velocidade linea elativa v DE el, ambas do ponto E em elação ao efeencial R3, são nulas devido à hipótese adotada de copo ígido. O veto posição DE (que liga o ponto D ao ponto E) e ω 3 (que é a velocidade angula absoluta de R3 em elação a R) são ambos epesentados na base em R3. De foma análoga ao desenvolvimento poposto paa a E, a expessão paa a aceleação a D, bem como a aceleações absolutas dos outos pontos do mecanismo (A, B, C, e O) podem se explicitadas. Levando este esultado na Equação (3), é obtido: 3 v DE el + a DE el b( & α) sin β lψ& ( & α + & β )cosψ a = ( α) β ( α + & β ) ψ ( α + & E ( b & cos & )cos l & β ) cosψ sinψ + l && ψ ) (4) ( b( & α) cos β + ( & α + & β ) )sinψ l ( ψ& ) + ( & α + & β ) sin ψ As foças de campo e de contato atuantes sobe a massa, pojetadas nos eixos de R3, são mostadas a segui: (3) XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-3

8 Peso Tação sobe a haste Z 3 Reação na dieção X 3 0 P = mg sinψ mg cosψ 0 T = 0 T z R x R = 0 0 Após a deteminação da aceleação linea absoluta da massa na extemidade do pêndulo, e expessando todas as foças atuantes sobe a massa (ve DCL da Figua 6) no teceio sistema móvel de efeência, pode-se aplica o equilíbio dinâmico atavés da ª Lei de Newton, confome Equação 5. Rx b( α & ) sin β lψ( & α& + β & )cosψ mg sin ψ = m ( b( α & ) cos β ( α& + β & ) )cos ψ l( α& + β & ) cosψ sinψ + lψ&& mg cos ψ K z ( b( α ) cos β ( α β ) )sin ψ l( (ψ ) ( α β ) sin ψ) + & + & + & & + & + & (5) Onde g é a constante gavitacional e m é a massa na extemidade do pêndulo. A segunda linha da equação vetoial acima desceve o movimento angula do pêndulo obsevado do efeencial R, poém pojetado no R3, e esta seá modelada atavés do SIMULINK. As outas duas, a pimeia e a teceia equações, pemitem expessa as intensidades das foças R e T, espectivamente nas dieções X 3 e Z Simulação numéica atavés do SIMULINK A pati da Equação (5) seá constuído um modelo numéico, paa desceve o movimento angula do segmento DE em elação à vetical. Essa equação é mostada a segui, após seus temos teem sido eaanjados: (6) Figua 7. Subsistemas que executam a integação da Equação 6. A idéia utilizada neste modelo numéico é aplica a mesma estutua (Bloco de Integação) que foi montada paa o poblema Massa-Mola-Amotecedo mostado anteiomente, visto que a solução do poblema passa pela esolução de uma equação difeencial odináia de segunda odem. Assim foam ciados os subsistemas mostados na Figua 7, que são denominados po 1º Temo da Equação de Movimento, º Temo da Equação de Movimento, e 3º Temo da Equação de Movimento. Cada subsistema executa, a cada passo de iteação, o cálculo do valo das espectivas pacelas na Equação (6). XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-4

9 De foma a mosta a constução de um desses subsistemas, seá descita a implementação do pimeio temo da Equação (6), que depende do valo do sin ψ a cada passo de iteação. Assim o bloco 1º Temo da Equação de Movimento, deveá se ealimentado pelo valo da função ψ(t) (calculado na iteação anteio), sendo posteiomente multiplicado pelo valo constante de g / l. Esse temo é implementado pelo subsistema, visto na Figua 8 com os seus blocos no detalhamento coespondente. Figua 8. Subsistema e blocos que calculam o valo do 1º temo da equação. A pati da deteminação da solução paa a Equação (6), pode-se também calcula a tajetóia do ponto mateial E, quando obsevado do efeencial R. Esta tajetóia, também conhecida como óbita, é obtida pela Equação (7) e está implementada na Figua 9. R OE = OA + AB + BC + CD + DE b sin α sin ( α + β ) = b cos α + cos ( α + β ) + l sinψ a + c + h l cosψ (7) Figua 9. Cálculo da óbita efetuada pela massa. XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-5

10 Condições iniciais As condições iniciais de velocidade angula e deslocamento angula podem se alteadas clicando dento do Bloco de Integação (Figua 7). Na simulação ealizada no item 4.3 foam adotadas as seguintes condições iniciais: ψ(0) = π/4 [ad] e ψ &(0) = 0 (patindo do epouso). Ajuste de paâmetos no modelo Os paâmetos geométicos a, b, c,, h, e l podem se alteados atavés da caixa de diálogo pesente no modelo. As alteações tanto de paâmetos geométicos quando de paâmetos cinemáticos ( α& ( t ) e & β ( t ) ) podem se feitas com um duplo clique sobe a máscaa pincipal mostada na Figua 10. Figua 10. Máscaa Pincipal A Figua 11 mosta a caixa de diálogo paa escolha dos valoes dos paâmetos geométicos e cinemáticos mencionados acima. Figua 11. Caixa de Diálogo da Máscaa Pincipal. XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-6

11 Na Figua 1 pode-se ve o detalhamento de todos os subsistemas envolvidos paa calcula a solução da Equação (6) e paa o cálculo da óbita da efetuada pela massa. Paa se te acesso a esses subsistemas do modelo numéico, deve-se da um clique simples sobe a máscaa pincipal paa selecioná-la, e depois apeta simultaneamente as teclas Ctl+U. Nesta mesma figua pode-se obseva o bloco Cálculo da Óbita da Patícula E, que é um subsistema que contém todos os blocos mostados na Figua 9. Figua 1. Subsistemas da Máscaa Pincipal. Os deslocamentos angulaes iniciais do baço e do disco do mecanismo foam escolhidos nulos, poém as velocidades angulaes paa ambos foam α &(t) = β(t) & = π/ [ad/s]. Os paâmetos geométicos adotados, na simulação mostada no item 4.3, foam: a = 0, [m], b = 1[m], c = 0, 05 [m], = 0, [m], h = 0, 3 [m], e l = 0, 5 [m]. 4.3 Resultados alcançados pela simulação numéica A função ψ(t) esultante da simulação numéica, mostando o ângulo do pêndulo com a dieção vetical, é mostada na Figua 13. XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-7

12 Figua 13. Gáfico da função ψ(t). A Figua 14 apesenta a óbita executada pela massa na extemidade do pêndulo, quando obsevada do efeencial R. Figua 14. Óbita da patícula E. Com o popósito de veifica a consistência do modelo numéico constuído, foam simuladas condições paticulaes, cujas soluções analíticas fossem conhecidas. Uma delas é o movimento hamônico simples executado pelo pêndulo. Paa tanto se assumiu que as velocidades angulaes α& ( t ) e & β ( t ) fossem constantes e nulas. Impondo essas condições na Equação 6, esta se tona: g ψ & = sinψ l & (8) Além disso, visando o compotamento linea do pêndulo, foi adotada a condição inicial de pequeno deslocamento do mesmo, isto é, ψ(0) = π /30 [ad] (apoximadamente 6º) e ψ &(0) = 0. Nessas condições, fazendo sin ψ ψ, a Equação (8) tem sua solução dada po: i ω t ϕ n ψ ( t ) = C1 Re( e ) = C1 cos( ωn t ϕ ) (9) XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-8

13 Onde: ω g n = ; C 1 e ϕ são constantes a se detemina. l Pelas condições iniciais em ψ(0) e ψ& (0), pode-se detemina as constantes C 1 e ϕ. Assim paa ψ(0) = π /30 [ad] e ψ &(0) = 0, enconta-se que: C 1 = π / e ϕ = 0. A Equação (9), baseada em um modelo linea do pêndulo, pode se visualizada na Figua 15. A solução não linea é apesentada na mesma figua, e como se pode pecebe, se confunde com a solução linea analítica paa pequenas amplitudes de vibação. Figua 15. Gáfico da função ψ(t). A óbita da massa na extemidade do pêndulo, como ea de se espea, quando obsevada do efeencial inecial, paa as condições apesentadas, desceve uma tajetóia plana de um aco de cículo, Figua 16a. O pêndulo desceve ao longo desta tajetóia um movimento hamônico simples, confome mostado na Figua 15 geada pelo modelo numéico. Como a tajetóia do pêndulo é plana, ela pode se melho obsevada no plano YZ apesentado na Figua 16b. Figua 16. a) Óbita da massa na extemidade do pêndulo. b) Tajetóia vista no plano definido pelos eixos Z e Y (Obs. A óbita defomada devido às escalas difeentes apesentadas pelos eixos Y e Z.). XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-9

14 5 CONCLUSÃO A feamenta computacional SIMULINK mostou-se uma foma altenativa e eficiente paa esolução numéica de poblemas em Dinâmica do Copo Rígido, abodando os poblemas de foma mais didática e estutuada, além de empega uma linguagem gáfica e intuitiva. Esta vantagem possibilita focaliza a atenção no entendimento dos fenômenos físicos envolvidos no poblema, evitando o isco de se pede na constução de algoitmos e de modelos numéicos de implementação difícil e demoada. Paa mosta as caacteísticas, que tonam o SIMULINK uma feamenta inteessante na modelagem de poblemas de Mecânica, dois exemplos foam estudados, nos quais se pode obseva a potencialidade da abodagem. O pimeio modelo abange um exemplo simples de vibação mecânica com um gau de libedade, constuído de foma bastante dieta com popósitos didáticos. Tal abodagem possibilita o pimeio contato do aluno, atavés de um poblema clássico e simples, paa a solução de poblemas em Dinâmica nesta linguagem. O segundo modelo já tata, com a mesma simplicidade, um exemplo mais complexo, que envolve a esolução de uma equação difeencial não linea odináia de segunda odem. Os casos tatados pelos dois exemplos popocionam ao aluno uma metodologia simples paa a simulação do compotamento dinâmico de poblemas bem mais complexos. Agadecimentos Agadecemos ao Pofesso Fenando J. R. Neves, pela colaboação na evisão deste tabalho. 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C. Equações Difeenciais Elementaes e Poblemas de Valoes de Contono. Rio de Janeio: Ed. LTC, 00. EDWARDS, J. C. H., PENNY, D. E. Intodução à Álgeba Linea. Rio de Janeio: Ed. Pentice-Hall do Basil,1998. MATSUMOTO, E. Y. Simulink 5: Fundamentos. São Paulo: Ed. Éica, 003. SANTOS, I. F. Dinâmica de Sistemas Mecânicos: Modelagem, Simulação, Visualização, Veificação. São Paulo: Ed. Makon Books, 001. SETO, W. W. Vibações Mecânicas. São Paulo: Ed. McGaw Hill do Basil, CUNHA, C. de S., SEVERO, B. da S. F. Cuso de Simulink.0: Modelagem, Simulação e Análise de Sistemas Dinâmicos. Disponível em: < cusos/simulink/simulink.pdf> Acesso em: 06 jul ON THE USE OF A SIMULATION TOOL FOR TEACHING ENGINEERING DYNAMICS Abstact: This wok pesents an effot to develop tools to impove the leaning pocess in dynamics of mechanical stuctues. In the igid body dynamics, the equations of motion can XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-10

15 be vey complex due to nonlineaities. To solve these equations, analytical methods ae often found unpactical o even unusable. As a esult, numeical simulation tools ae employed to find the motion of the system. Thee ae seveal ways to integate the equations of motion, many of which ae implemented in use fiendly packages whee complex models can be ceated gaphically. In paticula, this wok exploes the tool SIMULINK (fom Mathwoks ) because of its didactic potential. SIMULINK has seveal numeical algoithms to integate the equations of motion, in combination with a gaphic use inteface and animation possibilities. To illustate how SIMULINK can be used as an auxiliay tool in the teaching of paticle mechanics, a simple example of dynamics is shown. Afte that, inceasing complexity level poblems ae analyzed. The esults ae consideed to be vey useful fom didactic point of view. Key-wods: Dynamics, Numeical simulation, Leaning. XXXV Congesso Basileio de Educação em Engenhaia COBENGE 007 3A01-11