Curso: SUPERCONDUTIVIDADE: uma introdução

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1 IX a. ESCOLA DO CBP 6 7 de Julho de 0 Cuso: SUPERCONDUTIVIDADE: uma intodução Pof.: Paulo Pueu Texto oespondente à 4 a. Aula (0/07/0) 39

2 Capítulo 4. TEORIA BCS: Estado undamental 4.. INTRODUÇÃO A pimeia teoia miosópia bem suedida da supeondutividade foi poposta em 957 po John Badeen, Leon Coope e Robet Shieffe. Desde então esta teoia passou a se designada pelas iniiais dos tês autoes, BCS. As difiuldades paa a fomulação de uma desição miosópia paa a supeondutividade foam esponsáveis pelo longo intevalo de 46 anos ue a sepaam da desobeta do fenômeno. Estas difiuldades devem-se em pate à peuenez da enegia envolvida no poesso de ondensação ao estado supeonduto. Esta enegia, ue é da odem de, tem valoes ue T B oespondem a fações ente 0 5 e 0 3 da enegia de emi. Po outo lado, omo veemos, a supeondutividade oigina-se de um efeito de muitos opos ue não pode se tatado petubativamente. O estado fundamental dos elétons de ondução num metal é o hamado gás ou líuido de emi, ue é a desição adeuada paa patíulas ue obedeem à estatístia de emi-dia. Entetanto, em váios sistemas metálios o estado supeonduto tona-se enegetiamente favoeido em tempeatuas sufiientemente baixas. Esta situação, apaentemente paadoxal, esulta do fato de ue os elétons no estado supeonduto não podem se tatados omo patíulas independentes, omo supõe a teoia eletônia do estado nomal. A idéia ental da teoia BCS oigina-se da onstatação de ue a distibuição de emi-dia se tona instável paa elétons om enegias póximas à enegia de emi e ue se ataem mutuamente. Na pesença de uma inteação atativa, os elétons póximos ao nível de emi oganizam-se em paes ligados. Estes paes, denominados paes de Coope, possuem spin total nulo e ondensam no estado supeonduto de modo muito simila a uma ondensação de Bose-Einstein. Paa sepaa um pa de Coope em dois elétons independentes é neessáio fonee uma enegia igual ou maio ue, onde é o gap supeonduto, ue sepaa estado fundamental dos estados eletônios exitados. 40

3 4.. INTERAÇÃO ENTRE ELÉTRONS 4... Inteação Atativa A enegia de inteação ente dois elétons pode se esita omo e V ( ) = 4π ε, (4.) onde é a distânia ente as patíulas e ε a onstante dielétia do meio. Num onduto nomal o efeito mais óbvio do meio é intoduzi uma blindagem eletostátia ue diminui exponenialmente o alane da epulsão olombiana (4.). Po exemplo, na apoximação de Thomas-emi, a inteação eletostátia ente elétons tem a foma e V ( ) = e 4 πε λb, (4.) onde λ B é o paâmeto de Thomas-emi ue epesenta o efeito da blindagem poduzida pelos demais elétons de ondução. Suponhamos ue dois elétons, desitos po funções de ondas planas e om vetoes de onda ' e, espetivamente, inteagem ente si atavés do potenial (4.), ujo temo de toa é mostado diagamatiamente na figua 4.. igua 4. Temo de toa da inteação oulombiana ente dois elétons. A tansfomada de ouie do potenial (4.), V i(. '). 3 = V ( e d, ), ' 4

4 pemite o álulo da pobabilidade de espalhamento, e tem a foma: e V =, '. (4.3) ε { ' + λ } Evidentemente, este temo epulsivo, esultante da inteação oulombiana ente os dois elétons, não pode estabiliza um estado ligado. Entetanto, num sólido pode-se onebe a existênia de uma inteação eléton-eléton indieta mediada pela toa de um fônon. A maneia mais simples de se deseve esta inteação está epesentada nas figuas 4.(a) e (b). No poesso epesentado na figua 4.(a), um eléton é espalhado paa o estado atavés de emissão de um fônon de veto de onda. Num instante de tempo posteio, o fônon é absovido po um eléton no estado B ', ue é espalhado paa o estado ' +. No poesso epesentado na figua 4.(b), o eléton em é pomovido ao estado via absoção de um fônon de veto de onda emitido anteiomente pelo eléton no estado '. igua 4. Inteação ente dois elétons mediada pela toa de fônons. São, potanto, dois os estados intemediáios pemitidos pela onsevação de momento linea. No poesso da figua 4.(a), o eléton está no estado, o eléton está no estado ' e um fônon de veto de onda e enegia hω é iado. A enegia deste estado intemediáio é E a = E( ) + E( ') + hω (4.4) 4

5 No poesso da figua 4.(b) o eléton está no estado, o eléton está no estado ' + e um fônon é iado om veto de onda. A enegia do estado intemediáio é E b = E( ) + E( ' + ) + hω (4.5) já ue ω = ω. Po outo lado, os estados iniial e final tem enegias E i e E, espetivamente dadas po f E i = E( ) + E( ') (4.6.a) E f = E( ) + E( ' + ). (4.6.b) Evidentemente, paa ue ooa tansição é neessáio ue E = E. A teoia de petubação de a odem pemite estima a enegia envolvida na tansição do sistema de dois elétons do estado i paa o estado f. O elemento de matiz paa este poesso é dado po i f < f U i > =< f U a > ( E f E a + E i E a ) < au i > + < f U b > ( + ) < bu i > E E E E f b i b, (4.7) onde a e b epesentam as funções de onda dos estados intemediáios (a) e (b). obtemos Substituindo (4.4), (4.5) e (4.6.a e b) em (4.7), e lembando ue E = E, i f < f U i >= U E( ) E( ) hω E( ) E( ) + hω, (4.8) onde U é o elemento de matiz paa a inteação eléton-fônon. Se definimos E ( ) E( ) = hω, 43

6 podemos eeseve a inteação indieta (4.8) omo < f U i > = U h ω ω ω + ω, (4.9.a) ou seja, U ω < f U i > = h ω ω. (4.9.b) Veifiamos, então, ue se ω < ω, o temo indieto (ue envolve a toa de um fônon) é negativo. Isto ooe uando as enegias dos elétons inidentes e espalhados são apoximadamente iguais. Podemos, então, dize ue elétons om enegias vizinhas inteagem atativamente via toa vitual de um fônon. A inteação inte-eletônia total deve inlui o temo epulsivo dado pela euação (4.3), ou seja V ( T ), ', B e ε U ω = +. (4.0) ' + λ h ω ω Paa ue a inteação líuida ente dois elétons num sólido seja atativa é neessáio ue o temo indieto seja maio, em módulo, ue a epulsão ' oulombiana. Esta ondição é favoeida paa gandes valoes de. Isto sugee ue o pa de elétons om númeos de onda opostos, e -, ambos situados nas poximidades da supefíie de emi, tem maio pobabilidade de sofe atação mútua. 4.. O Efeito de Isótopo O meanismo de aoplamento eléton-eléton indieto delineado na seção anteio pemite genealizações. Em pinípio pode-se imagina ue outa exitação elementa de aáte bosônio, ue não o fônon, possa também intemedia a atação efetiva ente elétons. Em azão da desobeta da supeondutividade em sistemas eletônios fotemente oelaionados, omo os fémions pesados e os upatos de alta tempeatua ítia, tem sido poposto ue exitons, plasmons, magnons, ou outas exitações bosônias, possam esta na oigem da inteação 44

7 atativa esponsável pela fomação dos paes de Coope nestes sistemas. Entetanto, em ue pese o gande esfoço teóio na fomulação de novos meanismos de aoplamento eléton-eléton indieto, a inteação eléton-fônon ontinua a se a únia a eebe ompovação do ponto de vista expeimental. Uma das evidênias mais fotes da impotânia da inteação eléton-fônon no estabeleimento do estado supeonduto é o hamado efeito de isótopo. Paa isótopos difeentes de um dado elemento omponente de um sistema supeonduto obseva-se ue a tempeatua ítia obedee a uma elação do tipo: α M T = te, (4.) onde M é a massa isotópia. De fato, não paee have outa azão senão a influênia das vibações de ede paa justifia a vaiação de tempeatua ítia om o númeo de nêutons no núleo. O expoente α, em geal, tem valo póximo a 0.5. Isto, poém, nem sempe se veifia e outos valoes paa α têm sido obsevados, inluindo α 0 omo no Ru (T = 0.5 K) e no Z (T = 0.55 K) OS PARES DE COOPER A teoia BCS é tibutáia da desobeta de Leon Coope ue, em 956, demonstou ue um pa de elétons, om enegias póximas à enegia de emi e sujeitos a uma inteação mutuamente atativa, foma um sistema ligado. Isto ooe mesmo ue a atação ente as patíulas seja muito faa. É impotante nota ue o pa de elétons ligados, denominado de pa de Coope, somente pode existi na pesença de um bagound fomado pelo ma de emi, o ual bloueia a patiipação dos elétons abaixo do nível de emi no poesso via pinípio da exlusão. Consideemos, então, ue dois elétons om oodenadas v e sejam adiionados ao ma de emi em T = 0. Suponhamos ue os elétons inteajam ente si, mas não om os elétons do gás, exeto pelo fato de ue estes impedem os dois elétons de oupa estados om <, onde é o veto de onda de emi. Na seção 4.. vimos ue a maio pobabilidade de fomação de um pa ligado ooe paa elétons om momentos lineaes opostos p = h e p = h ( ). Aliás, se assim não fosse, o pa de Coope teia um momento não nulo, e oentes elétias podeiam esulta mesmo na ausênia de ampo elétio. Constói-se, então, uma 45

8 função de onda de duas patíulas a pati de uma ombinação linea de ondas planas, i. i. ψ ( e e (4.) ) = g( ) > Esta função deve se anti-simétia. Então ela tomaá uma das duas fomas: ψ ( S ) = g( )os[.( )] > [ χ ( ) χ ( ) χ ( ) χ ( ) ] (4.3.a) ψ ( T ) = g( )sen[.( )] > [ χ ( ) χ ( ) + χ ( ) χ ( ) ], (4.3.b) onde χ i ( ), χ i ( ) epesentam os estados spin-up, spin-down da patíula i. Como, po hipótese, os elétons se ataem, o estado singlete da euação (4.3.a) é mais favoável enegetiamente, pois a dependênia em os[.( )] da pate obital da função de onda implia ue seá maio a pobabilidade ue os elétons estejam póximos um do outo. É usual simboliza a função de onda de um pa de ( S ) Coope omo ψ =, σ ;, σ, onde σ epesenta o estado de spin. A euação de Shödinge não-petubada paa o pa de elétons pode se esita omo ( S ) h ( S ) ( S ) Η 0ψ 0 = ( + ) ψ o = ε ψ o, (4.4) m h onde as enegias não petubadas ε são tais ue ε ε =, ondeε é a m enegia de emi. Na pesença do potenial inte-eletônio, teemos Η ( S ) ( S ) 0 ψ + V ( ) ψ = Eψ ( S ), (4.5) onde E é a enegia total do pa. Substituindo (4.) ou (4.3.a) em (4.5), om o poedimento usual obtemos uma euação paa a amplitude g( ), ou seja,, ε g( ) + g( ) V, = E g( ), (4.6) ' >, 46

9 , i. i. onde V, = e V e e =,. O elemento de matiz V, aateiza a, amplitude de pobabilidade paa ue um pa, ;, > seja espalhado paa um estado ; >, tal omo epesenta a figua 4.3 (a). igua 4.3. (a) Paes de Coope; (b) Potenial efetivo de atação ente os elétons de um pa de Coope. Como é difíil analisa o poblema epesentado pela euação (4.6) paa ualue V,, om amplitude negativa, Coope intoduziu a apoximação segundo a ual V, = - V (V é uma onstante positiva) num intevalo de enegia h ω, aima e abaixo de ε, e zeo foa deste intevalo, onfome mosta a figua 4.3(b). Este potenial atativo efetivo está epesentado na figua 4.3(b). Substituindo-o na euação (4.6), e mediante um álulo elativamente simples, obtém-se o estado fundamental paa o sistema dos dois elétons paeados. O esultado é: / N (0) V ε h e. (4.7) E = ω Na euação aima, a uantidade N(0) epesenta a densidade de estados eletônios po dieção de spin no nível de emi, ε = ε. Esta notação é adotada na teoia da supeondutividade, onde é usual medi as enegias de um eléton a pati da enegia de emi. A expessão (4.7) pessupõe um limite denominado de aoplamento fao, onde é válida a apoximação N ( 0) V <<. Ademais, é também suposto ue a densidade de estados pemanee onstante no intevalo de lagua h ω aima e abaixo da enegia de emi. O esultado (4.7) evidenia ue a enegia do pa é negativa fente à enegia de dois elétons não oelaionados na supefíie de emi. Em outos temos, o pa ue é omposto de elétons om enegia inétia supeio a ε, foma um estado ligado não impotando uão faa seja a inteação 47

10 V. Esta situação ontasta om o poblema usual de dois opos ue se ataem, onde um estado ligado é fomado apenas se a inteação atativa exede um eto limia. Po outo lado, notamos também ue a euação paa a enegia de ligação do pa é não analítia uando V = 0, o ue impede ue ela seja expessa numa séie petubativa na inteação V. Os dois elétons ue fomam um estado ligado om enegia dada pela euação (4.7) onstituem um pa de Coope. A enegia de ligação, ue é dada po / N (0) V h ωe, somente seá onsideável se h ω e N ( 0) V foem signifiativos. Assim, uma fote densidade de estados no nível de emi, ou uma fote inteação atativa ente elétons, ou ambas, são neessáias paa poduzi enegias de ligação de pa om magnitudes não despezíveis. A estabilização do pa só ooe de fato se a enegia témia B T fo meno ue a enegia de ligação. Na maioia dos asos, a enegia de ligação é muito faa, e onfina o fenômeno do paeamento (e, po extensão, a supeondutividade) ao domínio das baixas tempeatuas. A distânia média ente os elétons do pa pode se alulada a pati do pinípio de ineteza, tal omo poposto po Pippad. O esultado, hv hv δε T ξ 0, B onde δε é a enegia de ligação em (4.7), pemite estima ue a extensão da função de onda do pa alança entenas de nanômetos. O esultado de Coope pemite anteve ue se os elétons om enegias póximas a ε se ataíem uns aos outos, eles tendeão espontaneamente a foma paes paa diminui a enegia total do sistema. Nestas iunstânias, o modelo do ma de emi, segundo o ual os estados vão sendo peenhidos até a supefíie de emi segundo a distibuição de emi-dia, seá em pate desestabilizado. Outo ponto impotante ue se pode infei da análise de Coope é ue a enegia de ote h ω do elemento de matiz do potenial atativo deve se da odem de h ωd, onde ω D é a feuênia de ote de Debye, no aso em ue a atação inte-eletônia é oiginada pela inteação eléton-fônon. Então, uma tempeatua de Debye elevada, θ D = hωd / B, favoee o estabeleimento do estado supeonduto. 48

11 4.4. O ESTADO UNDAMENTAL BCS Intodução Quando existe uma inteação efetivamente atativa ente dois elétons om enegias póximas à enegia de emi, a distibuição de emi-dia se tona instável fente à fomação de um pa ligado de Coope. Então mais e mais paes devem ondensa até ue se estabeleça uma situação de euilíbio onde o estado do sistema estaá tão modifiado (em elação ao estado iniial desito pela distibuição de emi-dia) ue a enegia de ligação paa foma um pa adiional seá eduzida a zeo. É lao, no entanto, ue o álulo de Coope não seá adeuado paa deseve este estado de muitas patíulas, pois nauele modelo os dois elétons paeados são tatados difeentemente dos outos elétons. Numa teoia adeuada paa deseve o estado supeonduto, todos os elétons devem se tatados da mesma foma. Na teoia BCS, supõe-se ue o estado fundamental supeonduto deva se onstuído em temos de paes de Coope, de modo ue estados de um eléton do tipo e ou estão simultaneamente oupados, ou estão simultaneamente vazios. Outo ponto impotante diz espeito à inteação inte-eletônia ue, tal omo no poblema de Coope, é tatada omo uma onstante negativa, -V, uando os elétons possuem enegias póximas à supefíie de emi, e é suposta nula paa enegias eletônias ue difeem de ε po uma eta uantidade h ω. Em outos temos, se ξ é a enegia eletônia medida om elação à enegia de emi ou, mais peisamente, ao potenial uímio µ, ξ ε µ, (4.8) = os elétons somente se ataião se suas enegias satisfizeem à ondição ξ < h (4.9) ω A unção de Onda BCS Suponhamos um metal no estado fundamental (ou seja, em tempeatua nula) no ual os elétons em estados póximos à supefíie de emi se ataem mutuamente. O poblema de Coope nos mosta ue diminuiemos a enegia total do sistema de femions se pemitimos a fomação de um pa ligado de elétons om vetoes de onda e spins opostos. Pesumivelmente, se isto é possível paa um pa, também o seá paa muitos paes, fazendo ue a enegia total do sistema 49

12 eletônio deesça ainda mais. De fato, isto ooeá se todos os paes de elétons foem epesentados pela mesma função de onda: a função de onda de um pa de Coope. Então, o sistema de elétons supeondutoes pode se epesentado po uma função de onda de muitas patíulas Ψ, ue é fomada de um poduto de funções de onda de paes, ψ ψ ψ, (4.0) (,,..., ) (, ) (, )... (, ) Ψ N = 3 4 N N onde N/ é o númeo total de paes e a função ψ não tem índie, pois é a mesma paa todos os paes. O eueimento de anti-simetia se aplia paa ada função de onda de pa, tal omo expesso nas euações (4.3). Poém, a foma do estado de muitos opos, expesso pela euação (4.0), mosta ue os paes podem se onsideados omo uasi-moléulas, todas elas om a mesma enegia e desitas pelo mesmo estado uântio. Em outos temos, ada pa ompota-se omo uma patíula ue obedee à estatístia de Bose-Einstein, emboa não possa se estitamente desito omo um bóson. De fato, vimos ue a dimensão espaial da função de onda de um pa pode alança váias entenas de nanômetos. Como a distânia inte-eletônia média no metal é da odem de 0-0 m, veifia-se ue na egião do espaço oupada po um pa de Coope situam-se os entos de massa de milhões de outos paes de Coope. Isto tona o estado supeonduto um genuíno estado de muitos opos omposto po funções de onda de paes fotemente intedependentes ue são imbiadas uma nas outas de uma foma omplexa. Claamente, uma epesentação no espaço eal, omo na euação (4.0), não é adeuada paa elétons desitos po estados desloalizados. Assim, na teoia BCS é poposta uma epesentação no espaço eípoo paa a função de onda do estado fundamental, uja foma é onde Ψ > = Ψ, (4.) =,..., N Na euação aima, desoupado e Ψ = u 00 > + v >. (4.) > esteja u é a pobabilidade de ue o pa ; v é a pobabilidade ue o efeido pa esteja oupado. Na notação de segunda uantização, a função (4.) pode se esita omo Ψ * * = ( u + v ) >, (4.3) 0 50

13 onde 0> simboliza o estado de váuo no ual não há patíulas pesentes, e as pobabilidades obedeem à ondição de nomalização u v =. (4.4) + Substituindo (4.3) em (4.) notamos ue a anti-simetização se aplia não somente ao pa ; > mas também à Ψ >, tal omo se espea paa um estado de muitos elétons. Isto não impede, entetanto, ue os paes de Coope obedeçam a uma estatístia de bósons O Método Vaiaional O fato de ue todos os paes se enontam no mesmo estado e om a mesma enegia leva a pensa ue podeíamos diminui indefinidamente a enegia do sistema eletônio pemitindo ue mais e mais paes de Coope sejam fomados. No entanto, paa foma um pa a pati do estado fundamental emi-dia, devese toma dois elétons om momentos opostos ligeiamente infeioes a p e pomovê-los a estados om momentos ligeiamente supeioes a p, de modo a ganha uma enegia potenial atativa ue mais do ue ompense o exesso de enegia inétia. Assim, se o poesso de fomação de paes ontinua indefinidamente, teemos uma situação em ue todos os elétons de ondução do metal teiam momentos lineaes maioes ue p. Isto, evidentemente, não pode ooe. O ganho em enegia potenial atativa depende da pobabilidade de v v tansição de um pa ; > paa o estado ; >, tal omo fia lao no poblema de Coope. Paa ue tal poesso ooa é neessáio ue o estado v ; > esteja vazio. Poém à medida ue mais e mais paes se fomam, a pobabilidade de ue este estado esteja desoupado tona-se pogessivamente meno, eduzindo o númeo de poessos de espalhamento essonante e, onseuentemente, diminuindo a magnitude de enegia potenial negativa. Assim, uma situação de euilíbio seá alançada uando a diminuição de enegia potenial seá exatamente ompensada pelo aumento da enegia inétia dos elétons do pa. Potanto, existe um aanjo ótimo ue fonee a meno enegia total paa o sistema eletônio. Uma foma possível de alula esta enegia ótima onsiste na utilização de um método vaiaional, no ual se minimiza o valo espeado da uantidade δ < Ψ H µ N Ψ > = 0, (4.5) 5

14 onde H é o opeado Hamiltoniano do sistema, N é o opeado númeo de patíulas e µ é o potenial uímio. A fomulação da euação (4.5) tem análogo lássio na minimização do potenial gan-anônio, onde se pemite a vaiação do númeo de patíulas. O Hamiltoniano de paeamento é dado po H = ε n + V, (4.6), σ, σ,, * * onde são inluídos apenas os temos ue sabemos de antemão sejam deisivos paa a supeondutividade. No pimeio temo são foneidas as enegias de um eléton na ausênia de inteação e σ epesenta o índie de spin. No segundo temo são onsideados expliitamente apenas os temos ue se efeem à iação ou destuição de paes. Os opeadoes de um eléton expessam a destuição do pa v v ; > e a iação do pa ; > (o temo oespondente à tansição de v v ; > paa ; >está inluído nas somas nos vetoes de onda). O elemento de matiz V expessa a amplitude de pobabilidade paa ue tais poessos ooam., ' No poesso de minimização expesso pela euação (4.5) e nos álulos dos valoes espeados elevantes, define-se as uantidades e V u v (4.7) E = ', ' ' ' / = ( + ξ ), (4.8) ue se elaionam pela euação de auto-onsistênia BCS, também hamada de euação do gap, dada po: ou, euivalentemente, ' = V (4.9), ' E ' ' = V, ( + ξ ) '. (4.30) Paa tata a euação de auto-onsistênia, a teoia BCS empega o modelo de potenial atativo simplifiado, também usado po Coope, e ue é mostado na figua 4.3(b), ou seja 5

15 V, V = 0 se ξ se ξ e ξ hω e ξ hω (4.3) Nas elações (4.3), V é uma onstante positiva. Inseindo (4.3) em (4.30) veifiamos failmente ue = 0 se ξ se ξ < hω > hω (4.3) e a ondição de auto-onsistênia (5.46) fia simplifiada omo V = ( ξ ) +. (4.33) Usando os poedimentos usuais de substituição de uma soma no espaço eípoo po uma integal em enegia, obtemos = V hω N dξ ( ξ) ( + ξ ) hω. (4.34) Supondo ue a densidade de estados vaia lentamente om a enegia nas poximidades da enegia de emi (ξ = 0), obtemos, no limite de aoplamento fao, em ue N ( 0) V <<, N (0) V h ω (4.35) Obseva-se ue a expessão aima paa possui gande semelhança fomal om a enegia de ligação de um pa de Coope, dada pela euação (4.7). Em espeial, tal omo paa a enegia de ligação do pa, é não-analítia uando a onstante de aoplamento, N ( 0) V, se tona muito peuena. Isto é, não pode se expessa em temos de uma séie de potênias em N ( 0) V, o ue mosta ue a teoia miosópia da supeondutividade não pode se fomulada om métodos petubativos. e 53

16 4.4.4 A Enegia do Estado undamental Uma vez ue seja onheido, podemos alula os oefiientes u e v ue otimizam a função de onda BCS e assim detemina o valo espeado ue oesponde à enegia do estado fundamental supeonduto, ou seja, E S = H Nˆ < Ψ Ψ > = ξ µ ( ξ ). (4.35) E V É fáil demonsta ue E S é meno ue a enegia dos mesmos elétons aso estes estivessem no estado nomal. Paa alula E S tansfoma-se a soma nos vetoes da ede eípoa na euação (4.35) numa integal em enegia de aodo om as egas usuais e, ompaando-se om a enegia oespondente do estado fundamental nomal, obtém-se E S E N ( ω ) N(0) hω ( hω ) + = N ( 0) h, (4.36) ue, evidentemente, é negativa. Mosta-se, assim, ue a enegia do estado supeonduto é meno ue a enegia do estado nomal. Sabendo ue h ω >>, desenvolvemos em séie de potênias o temo em aiz uadada na euação aima paa finalmente obte E S EN N(0). (4.37) Esta expessão pode se intepetada omo a enegia de ondensação em tempeatua nula, ujo módulo pode se igualado a µ 0H (0). 54