Ensaios Econômicos. "Método Gauss": Inapropriado Até no Nome. Maio de Escola de. Pós-Graduação. em Economia. da Fundação.

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1 Esaios Ecoômicos Escola de Pós-Graduação em Ecoomia da Fudação Getulio Vargas N 765 ISSN "Método Gauss": Iapropriado Até o Nome Clovis de Faro Maio de 205 URL:

2 Os artigos publicados são de iteira resposabilidade de seus autores. As opiiões eles emitidas ão exprimem, ecessariamete, o poto de vista da Fudação Getulio Vargas. ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Diretor Geral: Rubes Peha Cyse Vice-Diretor: Aloisio Araujo Diretor de Esio: Carlos Eugêio da Costa Diretor de Pesquisa: Humberto Moreira Vice-Diretores de Graduação: Adré Arruda Villela & Luis Herique Bertolio Braido de Faro, Clovis "Método Gauss": Iapropriado Até o Nome/ Clovis de Faro Rio de Jaeiro : FGV,EPGE, 205 3p. - (Esaios Ecoômicos; 765) Iclui bibliografia. CDD-330

3 Método de Gauss : Iapropriado Até No Nome Clovis de Faro Maio de 205 Professor Titular da Escola Brasileira de Ecoomia e Fiaças.

4 - Itrodução Tal como ressaltado em de Faro e Guerra (204), tem sido frequete em ossos tribuais, seteças judiciais determiado que, relativamete ao caso de amortizações de dívidas com prestações costates, a popular Tabela Price seja substituída por um sistema que, fudametado em uma particular aplicação do regime de juros simples, vem sedo cogomiado de Método de Gauss (cf. Atoick e Assução, 2006 e Nogueira, 203). E isso, frize-se, matedo-se o valor umérico da taxa de juros especificada o cotrato de fiaciameto (usualmete, habitacioal). A par de ser totalmete iadequado, como discutido em de Faro (204c), associar o ome do grade matemático alemão Joha Carl Friedrich Gauss ( ) ao procedimeto em questão, sucede que ao mesmo, como a qualquer outro que seja baseado o regime de juros simples, associam-se icotoráveis icosistêcias. Como já ateriormete, amplamete evideciado em de Faro (203b e 204a). Tomado a Tabela Price como base de comparação, o propósito do presete trabalho é o de aprofudar a aálise das deficiêcias do que tem sido deomiado como Método de Gauss. Em particular, dado que as seteças judiciais costumam ão alterar os valores uméricos das taxas cotratuais de juros, substituido tão somete o regime de juros compostos, que está implícito a Tabela Price, pela peculiar variate do regime de juros simples que está subjacete ao que se chama de Método de Gauss, buscar-se-á cosiderar a questão do poto de vista do fiaciador. 2 Formulação do Problema Seja o caso de um fiaciameto de valor F, que deve ser resgatado mediate o pagameto de prestações periódicas, costates e postecipadas, que costumam ser mesais as operações de fiaciametos habitacioais, cosiderada a taxa periódica de juros i. De uma maeira geral, em sedo especificado que a taxa i, que suporemos estar a forma dita uitária, é de juros compostos, diz-se que a prestação costate p estará sedo determiada de acordo com os ditames do chamado sistema fracês; popularmete cohecido como Tabela Price (cf. de Faro 204b, p. 24). Sedo seu valor obtido mediate o emprego da relação: p F. i i () Por outro lado, se for estipulado que a taxa de juros i, matido seu valor umérico, seja cosiderada como sedo de juros simples, e que seja feito uso do que tem sido chamado de Método de Gauss, o valor da prestação costate, que agora deotaremos por ˆp, será dado pela relação (cf. Nogueira, 203, p. 50): No Apêdice, para que se comparem os valores de p e de ˆ p, são apresetadas as respectivas deduções das relações () e (2). Como curiosidade histórica, é oportuo mecioar que, como apotado por Nogueira (203, p.p ), a relação (2) já aparecia publicada o século XVIII (cf. Wilkie,794); quado Gauss tiha, portato, cerca de 7 aos. 2

5 pˆ 2F. i 2 i (2) Ora, excetuado-se o caso trivial de uma úica prestação, =, quado se tem p pˆ F( i), pode-se mostrar, como ateriormete em de Faro (203b), e também o Apêdice, que se tem p pˆ se tivermos mais de uma prestação 2. Cosequetemete, matidas as codições cotratuais, o que cocere ao valor F do fiaciameto, ao úmero de prestações periódicas, e ao valor umérico da taxa periódica de juros i, a obrigatoriedade da substituição da Tabela Price pelo chamado Método de Gauss, acarretará em perda fiaceira para o fiaciador. Isto é, tedo presete o coceito de taxa itera de retoro de um fluxo de caixa (cf. de Faro, 204b, p.69), a taxa de juros que expressa a retabilidade do fiaciador cairá do valor i para um certo valor i, iferior a i. Valor este que, com razoável precisão, fazedo-se uso da chamada fórmula de Karpi (cf. de Faro, 204, p.76), será dado por: ode i (3). p F F (4) Assim, por exemplo, se o valor do fiaciameto for F = R$ ,00, com a amortização devedo ser efetuada ao logo de 5 aos, mediate o pagameto de prestações mesais ( = 60) e costates, e a taxa cotratual de juros for de 24% ao ao, com capitalização mesal (o que implica em uma taxa efetiva mesal de 2%), a adoção da Tabela Price acarretaria uma prestação p = R$ 5.753,79; tal como dada pela relação (). Ao passo que, em sedo estipulado o emprego do chamado Método de Gauss, as mesmas codições cotratuais o que tage aos valores de F e de, e matido o valor umérico de 2% para a taxa mesal de juros, o valor da resultate prestação mesal, obtida a partir da relação (2), seria reduzido para ˆp = R$ 4.62,6. Ou seja, para gáudio do tomador do fiaciameto, que costuma ser chamado de mutuário, seu ecargo mesal sofreria uma redução de 9,84%. Por outro lado, do poto de vista do fiaciador, sua almejada taxa de retabilidade de 2% a.m., que seria obtida se fosse matida a Tabela Price, seria reduzida para,3% a.m. O que se traduz em uma ão trivial redução de mais de 40%. 3 Como Procurar Evitar a Perda de Retabilidade Sabedores de que os ossos tribuais estariam adotado a prática de determiar a substituição da Tabela Price pelo chamado Método de Gauss, sem que sejam alterados os valores uméricos das taxas de juros especificadas os cotratos de fiaciameto, os fiaciadores seriam tetados a implemetar, prevetivamete, o artifício de elevar as taxas de juros cotratuais. Ou seja, pode-se imagiar que os fiaciadores busquem adotar a seguite estratégia (ou melhor dizedo, estratagema): Alterativamete, com maior precisão, pode ser feito uso de uma calculadora fiaceira. 3

6 a) Prelimiarmete, ates da assiatura do cotrato de fiaciameto, uma vez fixados os valores de F e de, sedo desejado auferir a taxa de retabilidade i, fazer uso da Tabela Price para, através da relação (), determiar o correspodete valor da prestação p. b) Uma vez fixado o valor de p, fazer uso da relação (2), tomado a taxa de juros como icógita. Desse modo, deotado por î a solução desejada, far-se-á uso da relação: iˆ 2 F. p p 2F (2 ) c) Matidos os valores de e de F, especificar o cotrato de fiaciameto o emprego da Tabela Price, com a taxa periódica de juros î. d) Com tal procedimeto, se os tribuais estipularem que seja adotado o chamado Método de Gauss, em substituição a Tabela Price, matida a taxa cotratual de juros, os fiaciadores evitariam as perdas atietes. Como ilustração do procedimeto, seja o caso do fiaciameto de R$ ,00, com 20 prestações mesais. Sedo desejado auferir a taxa mesal de 0,5%, o ivestidor, fazedo uso da relação (), determiaria que o valor da prestação mesal deve ser p = R$.0,2. Levado o valor de p, assim obtido, para a relação (2 ), obter-se-ia iˆ 0,0082 a.m. Ou seja, com maior precisão, seria de 0,857% a.m. o valor que seria especificado como a taxa cotratual de juros, para fis de aplicação da Tabela Price. Desse modo, se for judicialmete determiada a substituição da Tabela Price pelo chamado Método de Gauss, o emprego da relação (2), com F= R$ ,00, = 20 e i = 0,857% a.m., coduziria exatamete ao valor p = R$.0,2, desejado. Cosequetemete, uma vez adotado tal procedimeto, o fiaciador asseguraria a sua taxa de retabilidade de 0,5% a.m. 4 É Sempre Possível Evitar a Perda da Retabilidade? Sucede que, como aqui iremos evideciar por meio de algus exemplos uméricos, a resposta à perguta que ecabeça esta seção é egativa. Isso porque, como formalmete justificado o Apêdice, ao chamado Método de Gauss, assim como a qualquer outro procedimeto que se fudamete o regime de juros simples, associam-se características idesejáveis. Em particular, uma que impossibilita a aplicação geeralizada do procedimeto cosiderado. Com o ituito de ilustrar situações ode ão se pode aplicar a estratégia apresetada a seção aterior, comecemos com o caso de um fiaciameto com valor F = R$ ,00, que deve ser resgatado mediate o pagameto de 0 prestações auais, com o fiaciador pretededo assegurar a taxa de retabilidade de 0% a.a. É iteressate otar que a relação (2 ) correspode ao que, a literatura americaa (cf. Ayres, 963 e Butcher e Nesbitt, 97), se deomia de Merchat s Rule. Sedo que, em uma forma alterativa, aparece em de Faro (969, pp ). 4

7 Se pudesse ser feito uso da Tabela Price, segue-se que a aplicação da relação () faria com que o valor de cada uma das 0 prestações auais fosse: 0 p 0, ,0 R$6.274,54 Etrado com este valor de p a relação (2 ), segue-se que a correspodete taxa de juros simples, que faria com que a imposição do chamado Método de Gauss coduzisse ao mesmo valor da prestação, seria: i ˆ , , ,2344 ou 23,44% ao ao. Ou seja, tal como idicado a Tabela I, teríamos iˆ / i 2,3443 ; o que sigifica que a taxa de juros cotratual teria de ser bem mais do que o dobro da taxa desejada de retabilidade. Vejamos, agora, o que acotece quado se icremete de ao, sucessivamete, o prazo cotratual de 0 aos. O que é apresetado a Tabela I. Tabela I Evolução da Razão iˆ / i o Caso ode i = 0% a.a. p î (em aos) ( R$ ) (% a.a.) ,54 23,44 2, ,3 27,39 2, ,33 32,90 3, ,85 4, 4, ,62 54,67 5, ,38 8,33 8, ,66 57,86 5, , ,4 245, ,02 ão existe Os valores apresetados a Tabela I, os mostram que, à medida que se aumeta o úmero de aos que expressa o prazo do fiaciameto, há que se fazer crescetes acréscimos a taxa de juros que deve ser especificada o cotrato de fiaciameto. Acréscimos esses que, como o caso do prazo de 7 aos, coduz a valores absurdamete elevados para a taxa de juros cotratual. Aida mais, o que acotece o caso ode = 8 aos, tem-se uma impossibilidade. Isso porque, surpreedetemete, a aplicação da relação (2 ) coduziria a um valor egativo para a taxa î. A explicação para tal impossibilidade reside o fato de que, como mostrado o Apêdice, a relação (2 ) ão se aplica toda a vez que o valor de p exceda ou iguale o limite dado pela razão 2F/(-). Ou seja, o caso de osso exemplo, se p / (8 ) R$.764,7. ˆ / i i 5

8 Na Tabela II, que se refere à, relativamete, modesta taxa de juros de i % a.m., estão cosiderados prazos cotratuais, em termos de aos, que são comus em fiaciametos habitacioais. Assim, supodo aida o fiaciameto de R$ ,00, que deve ser resgatado ao logo de aos, mediate pagametos mesais, são apresetados os correspodetes valores das prestações segudo a Tabela Price e segudo o chamado Método de Gauss. Sedo também apresetados os valores limites p, dados pela reação p 2F (5) bem como valores da taxa î, tais como dados pela relação (2 ). Tabela II Valores Limites e da Taxa de Juros î p ˆp p î (em aos) ( R$ ) ( R$ ) ( R$ ) (% a.a.) , , ,83, ,27.548, ,64 2, ,7.49,34.680,67 4,.367,79.06,98.523,72 5,86 2,33,42 988,0.398,62 0, ,67 924,52.290,32 37, ,43 869,34.97,60 impossível Verifica-se, assim, que mesmo o relativamete curto prazo de 5 aos, a estratégia de majorar a taxa cotratual de juros, já implicaria em um acréscimo de 62%. Acréscimo esse que aumeta substacialmete à medida que se icremeta o prazo cotratual. Sedo que a estratégia etra em colapso a partir do prazo de 4 aos. Ou seja, se o prazo de fiaciameto, em meses, for superior a 68, ão existe taxa mesal de juros simples capaz de resgatar um fiaciameto de R$ ,00. Fica claro, portato, que a estratégia proposta, além de poder coduzir a extremamete elevados valores para a taxa cotratual, em sempre é factível. 5 A Questão Relativa à Determiação do Saldo Devedor Qualquer que seja o sistema de amortização adotado, uma importate questão, pois que tem sigificates implicações tato para credores como para devedores, é a relativa à apuração do saldo devedor do fiaciameto. Isso porque, deve ser uma propriedade básica de qualquer sistema de amortização, propriedade esta que é dita de cosistêcia fiaceira, a de que, por exemplo, o caso de liquidação atecipada do débito, possa ser efetuada, sem cotrovérsias, a determiação do débito remaescete. 6

9 No caso do chamado Método de Gauss, seus propoetes, buscado emular a sistemática que fudameta o que é dito ser o método retrospectivo (cf. de Faro, 204b, p. 244), precoizam o seguite procedimeto. Prelimiarmete, é defiido o que tem sido apresetado como ídice de poderação; dado pela relação: I 2 i. F 2 i (6) A seguir, é estipulado, de maeira artificial e ad hoc, que as parcelas de juros e de amortização que compõem a k-ésima prestação, sejam respectivamete dadas por: e J ˆ k I (7) k Aˆ Pˆ Jˆ, k,2,..., (8) k k Cocetremos ateção, agora, o caso particular de um fiaciameto com somete dois períodos. O que os permitirá a obteção de soluções aalíticas. Se o tomador do fiaciameto resolver quitar seu débito logo após o pagameto da primeira prestação, seu saldo devedor, idepedetemete da repartição etre as parcelas de amortização e de juros, será exatamete igual ao valor da prestação que se acabou de pagar. Ou seja, ter-se-á: ou Sˆ Pˆ (9) Sˆ F 2i 2 i (9 ) Por outro lado, sedo feito uso do chamado método de recorrêcia (cf. de Faro, 204 b, p.244), segudo o qual, o caso particular em questão, o valor do débito remaescete é igual valor fiaciado, acrescido de juros por um período, subtraído pelo valor da prestação que se acabou de pagar, tem-se: ou ' S F i Pˆ (0) ' 2 S F i i i 2 (0 ) Alterativamete, adotado o que se deomia de método prospectivo (cf. de Faro, 204 b, p. 244), que, o caso em apreço, se alicerça o valor atual da úica prestação aida a vecer, tem-se: ou " S Pˆ i () " 2 S F 2i 2 3i i ( ) 7

10 Fica, pois, evidete que, mesmo cosiderado os cosagrados métodos prospectivo e de recorrêcia, o chamado Método de Gauss, ão coduz a resultados fiaceiramete cosistetes. 6 - Coclusão O aqui apresetado afigura-se ser, mais do que suficiete, para que ossos tribuais ão deem guarida para um sistema de amortização de dívidas que, além de estar sedo iadequadamete associado ao ome daquele que é uiversalmete recohecido como um dos maiores matemáticos da história, Joha Carl Friedrich Gauss, é flagratemete eivado de deficiêcias. Dado que, como discutido em de Faro (202a), a Tabela Price, desde que ão haja prestação em atraso, ão acarreta a ocorrêcia de aatocismo, bem como apreseta cosistêcia fiaceira, ossos magistrados ão devem propor sua substituição pelo impropriamete chamado de Método de Gauss. Referêcias: - Atoik, L. e Assução, M. (2006). Tabela Price e Aatocismo. Revista de Admiistração da UNIMEP, 4 (): Ayres Jr., F. (963). Mathematics of Fiace. Schaum, New York. - Butcher, M. e Nesbitt, C. (97). Mathematics of Compoud Iterest. Ulrich s, A Arbor. - de Faro, C. (969). Matemática Fiaceira. APEC, Rio de Jaeiro. - de Faro, C. (203a). Uma Nota sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo. Revista Brasileira de Ecoomia, 67 (3): de Faro, C. (203b). Amortização de Dívidas e Prestações Costates: Uma Aálise Crítica. Esaio Ecoômico da EPGE, Nº de Faro, C. (204a). Uma Nota sobre Amortização de Dívidas e Prestações Costates. Revista Brasileira de Ecoomia, 68 (3): de Faro, C. (204b). Matemática Fiaceira: uma Itrodução à Aálise de Risco. Saraiva, São Paulo. - de Faro, C. (204c), Sobre o Impropriamete Chamado Método de Gauss, mauscrito ão publicado. - de Faro, C. e Guerra, S. (204). Proibição da Capitalização de Juros e o Poder Judiciário: Equívocos a Aplicação de Teorias Ecoômicas sobre Juros Simples e Compostos. Revista de Direito Admiistrativo, 266: Nogueira, J. (203). Tabela Price: Mitos e Paradigmas. Milleium, Campias. - Wilkie, D. (794). Theory of Iterest. Ediburgh. 8

11 Apêdice Comportameto da prestação o caso da Tabela Price A relação ( ) do texto, decorre da equivalêcia fiaceira, uma vez cosiderada a taxa periódica de juros compostos i, suposta positiva, etre o valor F do fiaciameto e a sucessão das prestações periódicas, postecipadas e iguais a p. Isto é, tomado-se como data de comparação (data focal) a de cocessão do fiaciameto, tem-se a seguite equação de valor: j ( A. ) F p i j É de comprovação imediata que: a) F j i p F i j j se i 2 i j i j i j j b) lim p lim i i j j F i 0, 0 2 p i. F i. F i log i c) 0, se i 0 i i if. d) lim p lim i. F i Ou seja, o caso do sistema de prestações costates, a juros compostos (Tabela Price), equato que o valor da prestação cresce idefiidamete à medida que se aumeta a taxa de juros, o valor da prestação decresce quado se aumeta o úmero de prestações. Etretato, tem-se que o valor da prestação uca é iferior ao produto i.f; que represeta os juros, por um período e à taxa i, devidos ao valor do fiaciameto. 2 Comportameto da prestação o caso do regime de juros simples Diferetemete do regime de juros compostos, que goza da chamada propriedade de cidibilidade do prazo (cf. de Faro, 204b, p. 60), a determiação do valor da prestação ão idepede da data focal que seja cosiderada para expressar a equivalêcia fiaceira etre o fiaciameto e a sucessão de prestações. No que se segue, matido o valor umérico da taxa i, agora cosiderada como de juros simples, admitiremos duas distitas datas focais. 9

12 2. Data focal quado da cocessão do fiaciameto Em tal situação, que pode ser cosiderada como a mais atural, a equivalêcia fiaceira é escrita como: p F ( A.2 ) j ji. ode deotamos por p o resultate valor da prestação costate. Sucede que, e provavelmete seja esta a razão pela qual os propoetes do regime de juros simples ão adotem tal data focal, ão se cosegue expressar o valor de p por uma forma fechada que seja tratável; mesmo para valores moderados do úmero de prestações. Todavia, pode-se cocluir que: a) como e i 2 i j j i j.. 0 j j j ij i lim. 0 do que decorre que lim p F lim i. j i i j segue-se que o valor da prestação p cresce ilimitadamete, à medida que se aumeta a taxa de juros i. b) relativamete ao úmero de prestações, basta observar que a série j ij. divergete. Logo, o valor da prestação p decresce com o úmero das mesmas; tededo, o limite, a aular-se. é p p c) observado-se que, das relações ( A. ) e ( A.2 ), se tem j j ij. i j ( A.3 ) segue-se que, dados, F e i, se tem p p, se para todo j tivermos i j i.. j Em de Faro (203b), apresetam-se as correspodetes expressões aalíticas para os casos de até 6 prestações. 0

13 se j =. Ora j 2 j i j. i j j i 2 i j. i, se i 0 e j ; com igualdade j Logo, i. j i, do que decorre que se teha p p prestações for maior do que um. Havedo igualdade, com se o úmero de p p F i, se. Uma primeira costatação da impropriedade da cosideração do procedimeto em questão é que, o que é exemplificado o caso em que F = R$ 0.000,00, i = % a.m e = 80 meses, o resultate valor de p, tal como computacioalmete calculado a partir da relação (A.2 ), é R$ 97,43. Valor este que sequer cobre os juros, relativos ao primeiro mês, devidos ao valor do fiaciameto (juros estes iguais a R$ 00,00). A implicação de tal fato é que, efetivamete, o débito ão será liquidado, mesmo com o pagameto de todas as 80 prestações. 2.. A questão da determiação do saldo devedor Fixado a ateção o caso de somete duas prestações, quado se tem uma p F 3i 2i 2 2 3i, vejamos o que acoteceria formulação aalítica tratável, com o caso de liquidação da dívida, imediatamete ates do pagameto da primeira prestação. a) de acordo com método de recorrêcia, tem-se: S F( i) b) de acordo com o método prospectivo, tem-se: S p p / ( i) F i i i i i Com S S F i i 2 5i 3i 0, se i 0 Ou seja, semelhatemete ao que ocorre quado se adota o chamado Método de Gauss, também teremos isaáveis icosistêcias quado se busca efetuar uma liquidação atecipada do débito. 2.2 Data focal coicidido com a de vecimeto da última prestação Agora, a equação que expressa a equivalêcia fiaceira etre o valor F do fiaciameto, e a sucessão das prestações periódicas, cujo valor deotaremos por ˆp, em sedo cosiderada a taxa periódica i de juros simples, passa a ser escrita como: j F i. pˆ i j (A.4) Diferetemete do caso aterior, a relação acima permite que seja facilmete obtida uma expressão aalítica para a prestação ˆp. Tal como dada pela relação ( 2 ) do texto.

14 Ora, dado que a relação ( A.4 ) evolve a expressão, há muito cohecida (a Wikipedia os iforma do trabalho de Aryabhatia, do ao de 499 DC), da soma dos primeiros úmeros aturais, a adoção da época de vecimeto da última prestação com data focal, tem levado a que, iapropriadamete, o procedimeto seja deomiado de Método de Gauss. Sedo que associar o ome de um matemático com a estatura de Gauss, a um procedimeto eivado de icosistêcias, afigura-se como um verdadeiro sacrilégio. Além da já evideciada falêcia do procedimeto quado se busca determiar o saldo devedor de um fiaciameto, deve ser observado que: a) embora se teha a prestação ˆp crescedo à medida que se aumeta a taxa de juros i, pois que 2F. i lim pˆ lim i i 2i tem-se, fazedo os da regra de L Hospital 2F 2F lim pˆ lim i i Ou seja, o que deve ser cosiderado como uma icosistêcia, embora desejável para os propoetes do procedimeto, o valor da prestação ˆp é limitado superiormete pela razão 2F. Tal idiossicrasia implica em que, como apotado o texto, para o caso de um fiaciameto de R$ ,00, com 8 prestações auais costates, e à taxa de juros de 0% a.a., equato que a Tabela Price acarreta uma prestação de valor p = R$ 2.93,02, 2F R$.764,, ão exista taxa aual de juros simples que produza, como segudo o chamado Método de Gauss, o valor ˆp p. b) para prazos muitos logos, a prestação sequer cobre os juros, por um período, devidos ao valor fiaciado. Isso porque, do mesmo modo que o caso de data focal a de cocessão do fiaciameto, tem-se: 2F i. lim pˆ lim 2 i Tal fato acotece, por exemplo, o caso de um fiaciameto habitacioal de R$ ,00, com prazo de 5 aos e prestações mesais à taxa de juros de % a.m. Isso porque, equato i. F R$.000,00, temos pˆ R$820,07. que c) etretato, para deleite dos propoetes do chamado Método de Gauss, tem-se p p pˆ. Já tedo sido comprovado que p p, comparemos ˆp com p. A equivocada associação ao ome de Gauss, que, tato quato se sabe, jamais se iteressou por Matemática Fiaceira, deve-se ao ledário fato de que o mesmo, aida aluo de escola primária, teha sido capaz de, em um átimo, forecer o resultado da soma dos 00 primeiros úmeros aturais. 2

15 Como. ˆ F p i j p segue-se que j j i j i. p pˆ j j i j i. ij. Logo, teremos i j i. j j p pˆ se for verificada a desigualdade ij. Ora, comparado-se as respectivas parcelas da desigualdade acima, excetuado-se o caso ode j =, quado são iguais, temos que: 2 i i j i i j i j j j i 0 se i 0 e j.... Por coseguite, p p pˆ, se. Havedo igualdade, quado p p pˆ F i, o caso trivial ode =. 3