Sobre a unicidade de taxas internas de retorno positivas *

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1 Sobre a uicidade de taxas iteras de retoro positivas * Clóvis de Faro ** 1. Itrodução; 2. A fução valor futuro; 3. Codição de suficiêcia baseada em uma propriedade da fução k(i); 4. Cofroto com as codições de Soper e de Norstrom; 5. Coclusão. Como é fartamete sabido, seja por iexistêcia ou por multiplicidade de taxas de juros que aulem a fução valor atual, a aplicação do critério da taxa itera de retoro para o caso de projetos de ivestimeto do tipo ão-covecioal pode etrar em colapso. No presete trabalho é apresetada a derivação formal de uma ova codição de suficiêcia para a existêcia e uicidade de taxas iteras de retoro positivas associadas a projetos com mais de uma variação de sial a seqüêcia de fluxos de caixa. Fializado-se, é efetuada uma comparação etre esta ova codição de suficiêcia e as respectivamete devidas a Soper e a Norstrom, ficado evideciado que ehuma detre elas é domiate. 1. Itrodução Seja S > O a iversão iicial e, deomiado de vida ecoômica, o itervalo de tempo ao logo do qual serão maifestadas as coseqüêcias de lsetado o de resposabilidade por qualquer erro remaescete, agradeço a Alberto de Jlfello e Souza por criticas e sugestões. Do lpea/inpes. R. bras. Eco., Rio de Jaeiro, 29 (4) :57 66, out./dez. 1975

2 um determiado empreedimeto, ou projeto de ivestimeto. Represetado-se por Q;,, 2, "", o lucro relativo ao j-ésimo período da vida ecoômica, forme-se a chamada seqüêcia de fluxos de caixa líquidos: {- S, Ql, ~,... Q.. }. Sedo i a taxa periódica de juros compostos cosiderada, o valor atual do projeto será: V(i) = S + 1: Qj(l + i)-j (1) i = 1 Por defiição, a taxa itera de retoro, i, associada ao projeto em apreço é a taxa que aula o seu valor atual; ou seja, é a taxa de juros tal que V (i ) = O. No caso mais geral, tedo em vista que taxas com sigificação ecoômica são úmeros reais ão iferiores a 1-100% por período, segue-se que a determiação de taxas iteras de retoro é equivalete à busca de raízes da seguite equação:.. - S + 1: Qj (1 + i)-i = 0, l' > - 1 j = 1 (2) Ora, excetuado-se os casos em que exista somete uma variação de sial a seqüêcia dos fluxos de caixa líquidos, 1 ão só poderá ão existir uma solução de (2), como aida, se existir, tal solução pode ão ser úica. Tais possibilidades levaram a que fossem desevolvidas codições de suficiêcia para a existêcia e uicidade de taxas iteras de retoro, etre as quais se destacam as devidas respectivamete a Soper (1959) e a Norstrom (1972). Restrigido-se a ateção ao campo das taxas positivas, que é o de real iteresse prático, o propósito do presete trabalho é o de apresetar uma ova codição de suficiêcia para a existêcia e uicidade de taxas iteras de retoro. 2 Ecerrado-se a aálise, será efetuado um cofroto etre esta ova codição e as ateriormete aludidas. 1 Para tais casos, que correspodem ao que é geericamete chamado de projeto de ivestimeto covecioal, pode-se garatir a existêcia e uicidade da taxa itera de retomo. Vide, por exemplo, de Faro_ 1972 p_ Coquato a aálise aqui desevolvida seja apresetada como origial, é imperativo mecioar que a codição de suficiêcia dela derivada aparece, acompahada de outras proposições aida mais gerais, sem porém ehuma comprovação formal de suas respectivas validades, em um trabalho lio publicado de Pistoia (1974). 58 R.B.E. 4/75

3 2. A fução valor futuro Cosiderada a taxa i, a fução valor futuro, ou motate a época, associada a um projeto de ivestimeto cuja seqüêcia de fluxos de caixa líquidos é {- S, Ql,..., Q,.}, é defiida através da relação: P(i) = - S (l + it + t Qj (1 +,j-j (3) Em face da expressão (2), é de coclusão imediata que existe a seguite relação etre as fuções valor atual e valor futuro associadas a um mesmo projeto de ivestimeto: V(i) = (1 + i)- P(i) (4) Como (1 + i)- =F O para qualquer i > O, segue-se etão que: Lema A: V (i) = O se, e somete se, P (i) = O. Como coseqüêcia do lema A, coclui-se que a taxa itera de retoro associada a um projeto de ivestimeto pode ser alterativamete defiida como a taxa de juros que aula a fução valor futuro. Lema B: Se - S + 1: Qj > O etão existirá ao meos uma taxa de juros positiva para a qual a fução valor futuro se aula. Para i = O, segue-se de (3) que: P (O) = - S + 1: Qj Por outro lado, tomado-se o limite quado a taxa de juros é feita ifiitamete grade, tem-se que: fim P (i) = lim S (1+ i) < O i + co i + co Logo, sedo a fução valor futuro um poliômio em i, e portato uma fução cotíua, segue-se que se P (O) > O haverá ao meos uma taxa j. > O tal que P (i ) = o. Lema C: Se P (O) > O e se a fução valor futuro for estritamete decrescete o itervalo cosiderado, etão existirá somete uma taxa i- UNICIDADE DE TAXAS INTERNAS 59

4 tera de retoro (positiva), i, e a fução valor atual será estritamete decrescete o itervalo defiido por i E (O, i ]. A primeira parte do lema é uma coseqüêcia imediata do que foi visto o lema aterior e da mootoicidade de P (i). Quato à seguda parte, observe-se que: Ora, da cotiuidade da fução valor futuro segue-se que teremos P (i) ~ O para i E (O, i ], e, jutamete com a hipótese aterior, decorre que: dv(i) O (O '*j ~<,~E " Lema D: Seja K(i) = - S + i ( - j) Qi1 + i)-i. Se K(l} < O i ~ 1 para i > O, etão a fução valor futuro será estritamete decrescete o itervalo cosiderado. De (3) tem-se que: dp(i) ---;j:i = - S (1 + Z} l: ( - j) Q i (1 + it - j - 1 j = 1 (1 + it -1 [ - S + j;1 ( - j) Qj (1 + Ir jj (1 + it - 1 K (i) É etão óbvio que K (i) < O >dp (i)jdi < O, i > O. 3. Codição de suficiêcia baseada em uma propriedade da fução k(i) Cosiderado-se um projeto de ivestimeto com mais de uma variação de sial em sua seqüêcia de fluxos de caixa, e tal que - S + t, Q j > 0, 3 defia-se: M = max {Q;,,..., 1 i j - 1 (5) A reledcia da imposição de tal codição é discutida em de Faro &: Mello e Souza R.B.E. 4/75

5 Cocetrado-se a ateção o exame da fução K (i), e levado em cotra os lemas apresetados o item aterior, segue-se que uma ova codição de existêcia e uicidade para taxas iteras de retoro positivas pode ser estabelecida a partir da seguite proposição. Teorema Se for verificada a codição -2 S + M ( - 1) ~ O etão teremos que K (i) < O para i > o. (6) Demostração Forme-se a fução KM (i) obtida quado se substitui em K (i) cada um dos 'li por M. Tedo em vista a defiição expressa por (5), e o fato de que estamos cosiderado o caso de projetos com mais de uma variação de sial a seqüêcia de fluxos de caixa líquidos, é óbvio que:. KM(i) = - S + 1: ( - j) M (1 + i)-} > K(i), i ~ O (7) j = 1 Derivado-se com respeito a i, tem-se que: dkm(i)/di = - M t j ( -j) (1 + i)-j-l < O, i ~ O j = 1 Por coseguite, se KM (O) ~ 0=> KM (i) < O, i > O; dode de (7), segue-se que K (i) < O, i > O. Ora: Logo: KM (O) = - S + M 1: ( - j) j = 1 = - S + M 2 - M ( + 1) / 2 = [- 2 S + M ( - 1)] / 2-2 S + M ( - I) ~ O => KM (O) ~ O. c.q.d. UNICIDADE DE TAXAS INTERNAS 61

6 4. Cofroto com as codições de Soper e de Norstrom Cosidere-se um projeto de ivestimeto dito do tipo ão-covecioal; isto é, tal que sua seqüêcia de fluxos de caixa líquidos, {- S, Ql,..., Q.. }, apresete mais de uma variação de sial. Na sua forma geeralizada, sedo i > O e tal que V (i ) = O, as codições de suficiêcia de Soper para que i seja a úica taxa itera de retoro positiva associada ao projeto em apreço, podem ser expressas como 4 I Q > o. Ie I s ~ j~l Qj (1 + i*r j, k 1,2,...,-l (8) Por outro lado, sedo s = Ale + QIe + 1, k = O, 1,..., - 1 (9) forme-se a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos: (10) Etão, segudo Norstrom (1972), o projeto cosiderado apresetará uma e somete uma taxa itera de retoro positiva se houver exatamete uma variação de sial a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos e se o produto Ao A < O. 5 Para o cofroto etre as codições de Norstrom e de Soper e a que resulta do teorema, cosideremos, sucessivamete, os seguites exemplos uméricos de projetos de ivestimeto, A, B, C e D, defiidos por suas respectivas seqüêcias de fluxos de caixa líquidos: A: {-2, 1,4, -4, 16} Ver de Faro Em ambos os casos, as codições de suficiêcia só serão satisfeitas se - S + 1: QI > O. Note-se j=l também que, como apotado em de Faro (1973), ehuma das duas codições é implicada pela outra. 62 R.B.E. 4/75

7 Nesse caso = 4 e, como pode ser facilmete verificado, para i = 100% por período temos que V (i ) = O; ou seja, 100% por período é uma taxa itera de retoro positiva associada ao projeto A. Examiado-se as codições de Soper vemos que as mesmas são satisfeitas, evideciado-se assim a uicidade da taxa itera cosiderada, pois que: I k = 1 + S = 2 > 1: Qj (1 + ~"*)-j 1 (l + 1)- I = 0,5 2.? k 2 + S = 2 > 1: Qj (1 + ~"*) -} = 0,5 + 4 (1 + 1) - - = 1,5 3. k = 3 + S = 2 > 1: Qj (1 + l"*) - } 1,5-4 (1 + 1"*)-3 = 1 Por outro lado, como M = 16, tem-se que: - 2 S + M ( - 1) = X 3 = 44 > O o que idica que a codição derivada do teorema ão é satisfeita, embora 100% por período seja efetivamete a úica taxa itera de retoro positiva associada ao projeto A. 6 B: {-9, 7, 7, - 3} Agora, como Q.. = Qa = - 3 < O, as codições de Soper ão são satisfeitas. Etretato, observado se que M = 7, tem-se que: - 2 S + M ( - 1) = X 2 = - 4 < O Coseqüetemete, a codição derivada do teorema é satisfeita, garatido-se, assim, que ao projeto B também se associa uma úica taxa itera de retoro positiva. 7 C: {-1,3,-1,4J o fato de que a codição de Soper teha sido satisfeita implica que esta taxa itera seja úica mesmo para o itervalo mais geral defiido por j > Observe-se que tal taxa é de % por peodo e que a codiçllo de Nostrom também é satisfeita. UN1C1DADE DE TAXAS lnternas 63

8 Costruido-se a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos tem-se que: Por coseguite, como esta seqüêcia apreseta uma Ulllca vaaçao de sial, e o produto Ao Ali = - 3 < O, segue-se que a codição de Norstrom é satisfeita. Portato, ao projeto C, associa-se uma úica taxa itera de retoro positiva. Todavia, como M = 4, tem se que: - t S + M ( - 1) = X 2 > ú o que sigifica que a codição de suficiêcia derivada do teorema ão é satisfeita. D: {- 8, 3, 3, 3, - 2, 3, - l} Para esse caso a codição de suficiêcia de Norstrom ão é satisfeita, pois que a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos apreseta 3 variações de sial. Por outro lado, sedo M =3, tem se: - 2S + M ( - 1) = X 5 < o. Por coseguite, visto que a codição de suficiêcia derivada do teorema foi verificada, podemos garatir que ao projeto D também se associa uma úica taxa itera de retoro positiva. Os resultados obtidos permitem com que o cofroto etre as codições de suficiêcia em exame possa ser sumariado como idicado o quadro 1. Neste, para cada projeto, é idicado se as codições de suficiêcia cosideradas são ou ão satisfeitas, apresetado-se aida o valor de sua respectiva taxa itera de retoro positiva, i. Aparecem também aí icluídos os resultados advidos das aálises dos projetos E: {- 1, 6, - 12, 8} e F: {- 20, 89, - 128, 60} aos quais, respectivamete, associam-se exatamete uma e três taxas iteras de retoro positivas. 64 R.B.E. 4/75

9 Quadro 1 Cofroto etre as codições de suficiêcia Projeto Soper Norstrom Teorema i' (%) A Sim Não Não 100 B Não Sim Sim 19,51 C Sim Sim Não O Não Não Sim 5,82 E Não Não Não 100 F Não Não Não 20; 25 e Coclusão A codição de suficiêcia aqui desevolvida apreseta-se como um valioso istrumeto auxiliar o processo de implemetação do critério da taxa itera de retoro para a avaliação ecoômica de projetos de ivesti D.leto do tipo ão-covecioal. Isso porque, sedo satisfeita, ficam garatidas a existêcia e a uicidade de uma taxa itera positiva, requisitos básicos para o emprego do critério. Além do mais, fica também assegurado que a fução valor futuro seja estritamete decrescete para taxas positivas. Por seu turo, esta última propriedade garate que, livre dos percalços apotados por Kapla (1967), seja eficiete o uso do algoritmo proposto por Fisher (1966). Por outro lado, como evideciado através do exame dos exemplos uméricos, ão existe superioridade etre a codição de suficiêcia derivada do teorema e as respectivamete devidas a Soper e a Norstrom. Tal fato os leva a sugerir que, em face da sua simplicidade, possivelmete ates da de Norstrom, a verificação desta ova codição seja icorporada ao algoritmo formal apresetado em de Faro (1974). Bibliografia de Faro, Clóvis, Egehm'ia ecoômica: elemetos. Rio de Jaeiro, APEC Editora, o A sufficiet coditio for a uique oegative iterai rate of retur: a commet. Joural of Fiaciai ad Quatitative Aalysis, v. 8,. 4, p , Sept UNICIDADE DE TAXAS INTERNAS 65

10 . O the iterai rate of retur criterio. The Egieerig Ecoomist, v. 19,. 3, p , Sprig o A eficiêcia margial do capital e as codições de Soper: wa aálise crítica. Revista Brasileira d~ Ecoomia, v. 29,. 3, p , Jul.jSet & Mello e Souza, Alberto de. O uso do critério da taxa itera de retoro e sua aplicação em ivestimetos educacioais, a aparecer em Estudos Ecoômicos (1976). Fisher, Lawrece. A algorithm for fidig exact rates of returo T he Joural of Busiess of the Uiveity of Chicago, V. 39,. 1, part li, p , J ao Kapla, Seymour. Computer algorithms for fidig exact rates of returo The Joural of Busiess of the Uiversity of Chicago, v. 40,. 4, p , Oct Norstrom, Carl J. A sufficiet coditio for a uique oegative iterai rate of returo Joural of Fiaciai ad Quatitative Aalysis, V. 7,. 3, p , Jue Pistoia, A. About iterai rate of returo Mauscrito ão-publicado, Soper, C.S. The margial efficiecy of capital: a further ote. The Ecoomic Joural, V. 69,. 273, p , Mar R.B.E. 4{75