Ensaios Econômicos. Americano. Agosto de Escola de. Pós-Graduação. em Economia. da Fundação. Getulio Vargas N 785 ISSN

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1 Esaios Ecoômicos Escola de Pós-Graduação em Ecoomia da Fudação Getulio Vargas N 785 ISSN Múltiplos Cotratos: Americao O Caso do Sistema Clovis José Daudt Lyra Darrigue de Faro Agosto de 2017 URL:

2 Os artigos publicados são de iteira resposabilidade de seus autores. As opiiões eles emitidas ão exprimem, ecessariamete, o poto de vista da Fudação Getulio Vargas. ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Diretor Geral: Rubes Peha Cyse Vice-Diretor: Aloisio Araujo Diretor de Esio: Caio Almeida Diretor de Pesquisa: Humberto Moreira Vice-Diretores de Graduação: Adré Arruda Villela & Luis Herique Bertolio Braido José Daudt Lyra Darrigue de Faro, Clovis Múltiplos Cotratos: O Caso do Sistema Americao/ Clovis José Daudt Lyra Darrigue de Faro Rio de Jaeiro : FGV,EPGE, p. - (Esaios Ecoômicos; 785) Iclui bibliografia. CDD-330

3 1 MÚLTIPLOS CONTRATOS: O CASO DO SISTEMA AMERICANO Clovis de Faro 1 Agosto de Escola Brasileira de Ecoomia e Fiaças/EPGE

4 2 MÚLTIPLOS CONTRATOS: O CASO DO SISTEMA AMERICANO 1- Itrodução A adoção do sistema de múltiplos cotratos (SMC), tal como origialmete formulado por De-Losso, Giovaetti e Ragel (2013), que focaram ateção em cotratos de fiaciameto com prestações costates (Tabela Price TP), propicia substaciais gahos fiscais para agetes fiaceiros que sejam pessoas jurídicas. Pois que, relativamete à alterativa de um úico cotrato, implica em que, em fução da taxa de juros que exprime o custo de oportuidade para a istituição fiaceira, sejam meores os valores atuais das respectivas parcelas de juros. Observado que o caso ode os cotratos de fiaciameto especificam que as prestações sejam determiadas de acordo com o sistema de amortizações costates (SAC), foi ateriormete estudado em de Faro (2017), o presete artigo cocetra a ateção a situação ode os pagametos periódicos são estipulados pelo chamado sistema americao de amortização de dívidas (SA). Será evideciado que, aalogamete aos casos do SAC e da TP, a implemetação do SMC também acarreta gahos fiscais para agetes fiaceiros que sejam pessoas jurídicas, se for estipulado que os cotratos de fiaciameto sejam especificados segudo o SA. Subsidiariamete, dado ser prática usual que os agetes fiaceiros requeiram que os tomadores de empréstimos de acordo com o SA, devam costituir fudos de amortização (siigfuds ), será também abordada a situação, bastate frequete, ode tais fudos de amortização sejam costituídos por meio de depósitos costates. 2- O sistema americao o caso de cotrato úico Seja um fiaciameto, de valor F, cotratado à taxa periódica de juros i, com prazo de períodos da taxa i. Em sedo estipulada a adoção do SA, com base em um úico cotrato, sabemos que a especificação do SA (cf. de Faro (2014, pp )), implica em que a -ésima prestação periódica, deotada por p, será: p i. F; para 1,2,, 1 F 1 i; para (1)

5 3 Com a iterpretação fiaceira sedo a de que, periodicamete, sejam pagos os juros, à taxa i, relativos ao pricipal F fiaciado. Com o pricipal sedo restituído, de uma só vez, jutamete com a última parcela de juros, ao fial do prazo estipulado. Sedo que, deotado por de juros cotábeis, tem-se que: A e J, respectivamete, as -ésimas parcelas de amortização e 0; para 1,2,, 1 A (2) F, para e J i. F; para 1,2,, (3) Com total de juros cotábeis, deotado por J, sedo: J J.. i F (4) Juros simples ou juros compostos Embora afigure-se como trivial, é frequetemete recorrete que se apresete uma questão subjacete (veja-se Veras (1991, p. 193), tal como citado em Sadrii (2007, p. 61) e Halter (2013, p. 52)). Qual seja a que diz respeito à idagação de qual é a atureza da taxa de juros que está sedo cosiderada. É de juros simples ou de juros compostos? Para respoder tal questão, é suficiete levar em cota que, diferetemete do caso usual de um empréstimo a juros simples, em que o pagameto dos juros ocorre, de uma só vez, ao fial do prazo de períodos, o fiaciador tem a opção de, por ocasião do recebimeto de cada uma das prestações, reivesti-la o mercado de capitais. Ou seja, o caso de um empréstimo de valor F, à taxa periódica de juros simples i, pelo prazo de períodos, tem-se, de uma só vez, o fial do prazo, o pagameto de valor.i.f; a título de juros. Ao passo que, se o empréstimo foi segudo o sistema americao, embora se teha, cotabilmete, o mesmo total de juros, há que se levar em cota a possibilidade do reivestimeto de cada uma das parcelas de juros, iguais a i.f. Assim em particular, se a taxa periódica de juros compostos, prevalecete o mercado de capitais, a época de cada reivestimeto, for igual a i, segue-se que, o fial do prazo de períodos, o fiaciador terá acumulado o valor S, dado por: 1. 1 (5) S p i i F i F Ou seja: 1 1

6 1 i S i. F 1 i 1 i F (5 ) O que implica em que, tedo em vista o biômio de Newto, para o desevolvimeto de, se teha S.. i F F ; se i 0 Portato, em especial, se i i, tem-se: S F 1 i e 1. Equivaletemete, fica evideciado que o valor atual das prestações, à taxa i 4 (5 ) de juros compostos, é igual ao valor fiaciado F. Isto é, tem-se a equação clássica de equivalêcia fiaceira, à taxa i de juros compostos, etre o valor fiaciado e a sequêcia de prestações: p 1i F (6) 1 Ou seja, a taxa i cosiderada é, efetivamete, de juros compostos. 3- A alterativa de subcotratos Supoha-se agora que, alterativamete a um úico cotrato, cujo valor do pricipal é F, sejam celebrados subcotratos, também à taxa i. Um para cada uma das prestações. Com o pricipal do -ésimo cotrato, deotado por F, sedo exatamete igual ao valor atual da -ésima prestação p, que ocorreria o caso de cotrato úico. Ou seja, o valor do pricipal do -ésimo cotrato é: 1 i. F 1 i ; para 1, 2,, 1 F p1 i F 1 i 1 i F 1 i ; para (7) Em tal evetualidade, tem-se que as parcelas de amortização e de juros cotábeis, deotadas por Aˆ e J ˆ, respectivamete associadas ao -ésimo subcotrato, serão: e Aˆ F i. F 1 i ;para 1, 2,, 1 F 1 i ; para ^ 1 i. F 1 1 i ; para 1,2,, 1 ˆ ˆ J p A F 1 i1 1 i ;para (8) (9) igual a: Com o total de juros cotábeis, relativo aos subcotratos, que será deotado por Ĵ, sedo

7 5 ou 1 1 Jˆ Jˆ i. F 1 1 i F 1 1 i ˆ J i. F 1 i F F 1 i 1 = i. F 1 1 i i F F 1 i Logo, tal como o caso de um úico cotrato, o total de juros cotábeis relativo aos subcotratos, é: Jˆ.. i F (10) 4 - O gaho fiscal Embora, como visto, o total de juros cotábeis, se for cosiderado um úico cotrato, seja idêtico ao que se observa o caso dos subcotratos, ão está sedo devidamete levado em cota a taxa de juros que exprime o custo de oportuidade do ivestidor. Isto porquê, em sedo o agete fiaceiro uma pessoa jurídica, pode abater do seu lucro operacioal as parcelas de juros pagas pelos tomadores dos fiaciametos. Deotado por a taxa de juros que, relativa ao mesmo período que o da taxa i do fiaciameto, exprime o custo de oportuidade do fiaciador, a decisão de um agete fiaceiro que seja pessoa jurídica, deve ser tomada comparado o valor atual da sequêcia das parcelas de juros o caso de um úico cotrato, com o valor atual da correspodete sequêcia de parcelas de juros o caso dos subcotratos. Ou seja, deotado por V1 e por V2, os respectivos valores atuais à taxa, haverá um gaho fiscal para a istituição fiaceira se, adotado o SMC, ao ivés de um úico cotrato, for verificado que V V Uma ilustração Prelimiarmete à uma comparação mais geral etre V1 e V2 apresete uma ilustração umérica., é coveiete que se Para tato, seja o fiaciameto de R$ ,00, pelo prazo de 12 meses à taxa mesal de juros de 2%.

8 6 Na tabela 1, são apresetadas as evoluções de saldo devedor S, de p, de J, de Aˆ = F, de J ˆ, bem como da difereça ˆ J J, para 1,2.,12. Tabela 1 Evoluções dos Valores Numéricos o Caso da Ilustração S p J A ˆ F Jˆ J Jˆ , , , ,84 392, , ,38 776, , , , , , , , , , , (Valores em R$) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,96 0,00 _ , , , ,00 0,00 Os resultados apresetados a Tabela 1, ilustram dois potos que devem ser destacados. O primeiro deles, trivial, é que, o caso de cotrato úico, as parcelas de juros são todas iguais a R$ ,00. O segudo diz respeito ao fato de que, implemetado-se o SMC, as parcelas de juros são crescetes. Sedo que, o caso geral de subcotratos, tem-se: ˆ ˆ J J i F i, se 0 i ; para 1,2,..., 2 (11) Com 2 Jˆ ˆ J 1 F 1 1 i i 1 i 0, se i 0 (12) Decorre etão, como ilustrado a última colua da Tabela 1, que a sequêcia de difereças J Jˆ, para 1,2,,, é aáloga à que caracteriza o que é dito ser um fiaciameto covecioal. O qual, como sabemos (cf. de Faro 1971 e 1974), possui uma úica taxa itera de retoro.

9 Cosequetemete, dado que questão, tem-se que V V 1 2, se V 0 V 0. i. F, ou seja, que é ula a taxa itera em O caso geral cotrato: No caso geral de um fiaciameto com períodos, tem-se que, a hipótese de um úico i F V1. 1 1, se e, o caso dos subcotratos V ˆ ˆ 2 i F i i para ˆ i i., se for implemetado o SMC. No etato, embora já saibamos que V V 1 2 uma ivestigação umérica, a relevâcia da difereça. de juros (13) (14), se 0, fica aida depededo de Para tato, as Tabelas 2 e 3, que, respectivamete, se referem aos casos ode a taxa mesal i do fiaciameto é 2% e 3%, são apresetados os valores uméricos, percetuais, do que se defie como o gaho fiscal V V 1 2 1, para algus valores da taxa aual de juros a que exprime o custo de oportuidade para o agete fiaceiro, para prazos auais variado de 1 a 20 aos, e prestações mesais. Tabela 2 Gaho Fiscal Percetual Quado i = 2% a.m. Prazo Taxa aual ρ a ( %) aual ,1 4,1 6,1 8,1 10,0 11, ,1 8,2 12,3 16,5 25,1 34, ,9 11,8 18,1 24,2 30,6 37, ,4 15,1 23,0 31,2 39,7 45, ,8 17,9 27,6 37,6 47,9 71, ,4 27,8 43,4 59,0 75,3 91, ,3 46,5 54,4 72,7 90,2 106,8

10 8 Tabela 3 Gaho Fiscal Percetual Quado i = 3% a.m. Prazo Taxa aual ρ a ( %) aual ,0 4,0 5,9 7,8 9,6 11, ,8 7,6 11,4 15,1 18,9 22, ,3 10,6 16,0 21,4 26,9 32, ,4 13,0 19,8 26,4 33,6 40, ,4 15,1 22,9 31,0 39,1 47, ,3 21,0 32,1 43,2 54,3 65, ,2 24,8 37,2 49,2 60,7 71,6 Os resultados apresetados as Tabelas 2 e 3 idicam que os gahos fiscais são apreciáveis. Sedo tato maiores quato maior for o custo de oportuidade para a istituição fiaceira. No etato, observe-se que os gahos dimiuem quado se aumeta a taxa i do fiaciameto. 5 A costituição de um fudo de amortização Objetivado a redução do risco de iadimplêcia dos tomadores de fiaciametos cotratados segudo o sistema americao, as istituições fiaciadoras costumam exigir que os primeiros costituam fudos de amortização (siig-fuds ). Regra geral, o fudo de amortização é formado por depósitos periódicos costates; de valor igual a d. Com o úmero de depósitos sedo igual ao úmero de períodos que desiga o prazo do fiaciameto. Prelimiarmete, deve-se observar que a cocessão do fiaciameto caracteriza o que se deomia de uma operação ativa, por parte da istituição fiaceira. Com a captação dos depósitos represetado o que se cohece como uma operação passiva. Sedo que, como observado a prática (veja-se, por exemplo, Baco Cetral do Brasil (1999)), a taxa periódica de juros i cobrada o fiaciameto, costuma ser substacialmete superior à taxa periódica de juros i ' que remuera os depósitos o fudo de amortização. Tedo sido costatado que, em termos mesais e para pessoas físicas, em média, tiha-se i 4,22 i' (sedo que, para pessoas jurídicas tiha-se i 2,69 i' ). Como os depósitos iguais a d devem acumular, o fim do prazo cosiderado, um total igual ao valor F do fiaciameto, segue-se que devemos ter:

11 d 1i F (15) 1 Do que decorre que: d i '. F 1 i ' 1 (16) Cotabilmete, idepedetemete de ser o fiaciameto caracterizado por um úico cotrato ou por subcotratos, a istituição fiaceira pode abater do resultado de sua operação ativa, as parcelas de juros que são creditadas ao fudo de amortização. J a -ésima parcela de juros que é creditada ao fudo de amortização, temse: Deotado por 1 J d 1 i' 1, para 1,2,..., (17) No que se segue, estaremos admitido que os depósitos iguais a d, ocorrem simultaeamete com os pagametos do empréstimo Um exemplo Meramete a título de ilustração, recosidere-se o fiaciameto de R$ ,00 pelo prazo de 12 messes. Se forem efetuados 12 depósitos mesais, em um fudo de amortização que remuera as aplicações à taxa de juros d = R$ ,43. por S i ' = 0,5% ao mês, segue-se da relação (16) que o valor de cada depósito é Tedo em vista que o valor acumulado o fudo, o fim de, é dado pela relação períodos, que será deotado S d 1 i ' 1 i ', para 1,2,..., (18) apreseta-se, a Tabela 4, sua evolução. Bem como o da evolução do valor da parcela de juros que é creditada o fudo de amortização. Adicioalmete, tedo em vista a Tabela 1, são também apresetadas as evoluções das difereças J J e J ˆ J. Devedo ser otado que, obviamete, cotiua-se tedo, a última colua, os mesmos valores ateriormete apresetados a Tabela 1, para as difereças J J J ˆ J. J

12 10 Tabela 4 Evolução do Fudo de Amortização S ' d J ' , ,43 0, ,00 392, , ,19 405, ,67 371, , ,31 812, ,31 340, , , , ,91 301, , , , ,47 251, , , , , , , , ,00 (Valores em R$) 2.047, , , , , , ,81 J J , , , , , , ,19 J ˆ J 193,55 126,20 49,96-35,08-128,78-231, , , , , , , , ,96 _ , , , ,16 0, Cosolidação do gaho fiscal Como umericamete observado a última colua da Tabela 4, a costituição ou ão de um fudo de amortização, ão altera, do poto de visa fiscal, a domiâcia da política de adoção do SMC, em comparação com o caso de cotrato úico. Ou seja, cosiderado a operação cojuta, fiaciameto de acordo com o SA, acoplado com um fudo de amortização, se deotarmos por V3 o valor atual, à taxa, da sequêcia de créditos de juros o fudo, tem-se a desigualdade óbvia V V V V V V Quato à determiação de V 3, tem-se que: V d i 1 Sedo que, em fução dos valores de i e de possibilidades:, devemos distiguir as duas seguites a) i Neste caso, tem-se if V3 1 i 1i 1 (21)

13 11 b) i Neste caso, tem-se V 3 i if i 1 i (22) Meramete a título de uma ilustração umérica, cosidere-se o caso ode F = R$ , = 60 meses, i = 2% a.m., i 0,08% a.m. e a 20% Neste caso, tem-se que V R e V 1 $ ,72 a.a. 2 R$ ,03. O que implica em que, como idicado a Tabela 2, um gaho fiscal percetual de 37,6%; se ão for cosiderado o efeito do fudo de amortização. Por outro lado, cosiderado-se a costituição de um fudo de amortização, como V3 R$ ,74, tem-se que o gaho fiscal cosolidado sobe para 47,4%. 6. Coclusão Da mesma forma que os casos ode os fiaciametos são regidos pela Tabela Price ou pelo Sistema de Amortizações Costates, também para cotratos que especificam o Sistema Americao de amortização, as istituições fiaceiras que implemetem o chamado Sistema de Múltiplos Cotratos podem obter substaciais gahos fiscais. fudo de amortização. Gahos fiscais estes que, se apresetam idepedetemete ou ão da costituição de um Referêcias Baco Cetral do Brasil. Juros e Spread Bacários o Brasil. Brasília DF, de Faro, Clovis. Critérios Quatitativos para Avaliação e Seleção de Projetos de Ivestimetos. Rio de Jaeiro: IPEA/INPES, de Faro, Clovis. O the Iteral Rate of Retur Criterio. Egieerig Ecoomist,. 19, p ,1974. de Faro, Clovis. Matemática Fiaceira: uma Itrodução à Aálise de Risco. São Paulo; Saraiva, 2014.

14 12 de Faro, Clovis. Múltiplos Cotratos: o Caso do Sistema de Amortizações Costates. Esaio Ecoômico da EPGE,. 783, 2017 De-Losso, Rodrigo; Giovaetti, Bruo Cara, & Ragel, Armêio de Souza. Sistema de Amortização por Múltiplos Cotratos: a falácia do sistema fracês. Ecoomic Aalysis of Law Review, 4, p , Halter, Bárbara. O uso do Sistema Americao para Operações de Empréstimos e Fiaciametos. Curso de Liceciatura em Matemática. Uiversidade do Estado de Sata Cataria. Cetro de Ciêcias Tecológicas. Joiville SC, Sadrii, Jacso C. Sistemas de Amortização de Empréstimos e a Capitalização de Juros: Aálise dos Impactos Fiaceiros e Patrimoiais. Uiversidade Federal do Paraá. Setor de Ciêcias Sociais Aplicadas. Mestrado em Cotabilidade. Área de Cocetração: Cotabilidade e Fiaças. Curitiba, Paraá, Veras, Lilia L. Matemática Fiaceira, 2ª Ed., São Paulo: Atlas, 1991.