Algoritmos para determinação de taxas internas de retorno de projetos de investimento simples: uma comparação das primeiras iterações*

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1 Algoritmos para determiação de taxas iteras de retoro de projetos de ivestimeto simples: uma comparação das primeiras iterações* Domigos Romualdo" Flavio Auler** 1. trodução Este artigo compara as primeiras iterações de diferetes algoritmos para determiação da taxa itera de retomo de projetos de ivestimeto simples. São examiados os algoritmos de Newto-Raphso, Newto-Raphso modificado e Bouldig. Coclui-se que todos forecem aproximações por falta para a taxa itera de retomo, sedo que.a mais precisa das três é a do algoritmo de Bouldig, seguida pela do algoritmo de Newto-Raphso modificado. 1. trodução; 2. Os algoritmos; 3. Resultados prelimiares; 4. Resultados pricipais; 5. Coclusão. o problema fudametal da aálise de ivestimetos cosiste em avaliar a ecoomicidade de um projeto de ivestimeto usualmete caracterizado pela sua seqüêcia de fluxos esperados, {ao, a" a.,..,a}. Admite-se, sem perda de geeralidade, que ao, < O e a ~O. Um dos critérios mais utilizados esta avaliação é o da taxa de retoro, por deflição igual à taxa de descoto que aula o valor atual da seqüêcia de redimetos esperados do projeto. Aaliticamete, se. V(i) = ~ (1 +itj j=o é o valor atual do projeto à taxa de descoto i, i* é a taxa itera de retoro do projeto se e s6 se V(i*) = O. De acordo com tal critério, o projeto deve ser realizado quado a taxa de descoto de mercado for iferior à taxa itera de retoro. Uma discussão completa deste assuto, o que cocere às codições para sua aplicabilidade, ecotra-se em Faro (1985). Devemos mecioar, etretato, que é ecessário que a taxa de retoro exista e seja liica, para que possamos cogitar de aalisar o projeto desta maeira. * Os autores agradecem a Clovis de Faro pela assistêcia e orietação durate a elaboração deste trabalho. ** Da EPGElFGV. R. Bras. Eco., Rio de Jaeiro, 44(4):637-50, outjdez.1990

2 Assegurada a aplicabilidade deste critério, defrotamo-os com um problema de ordem prática: calcular o valor úmerico da (úica) taxa itera de retoro i*. Uma vez que V(i) é um poliômio em (1+it', este problema se reduz à determiação de raízes de poliômios. Esta ão é possível por meios elemetares seão para poliômios de grau meor do que 5. Descartada a busca das raízes exatas de V(i), s6 resta ao aalista a determiação de valores aproximados de i*, o que usualmete se faz por métodos uméricos iterativos. Detre os algoritmos dispoíveis, destaca-se o de Newto-Raphso, de grade eficiêcia e, por isso mesmo, muito empregado. Sua covergêcia, etretato, está codicioada a certas características do formato do gráfico da fução V(i), que ão se verificam para todos os projetos de ivestimeto. Um outro procedimeto, proposto por Bouldig (1936), de maeira geral produz aproximações melhores do que as de Newto-Raphso, como costatou empiricamete Faro (1978, 1983). Etretato, a literatura cocerete ao algoritmo de Bouldig é escassa, e a demostração de sua covergêcia, ao que sabemos, foi feita apeas para objetos de ivestimeto simples (sobre isto, ver Kliger, aexo a Faro, 1983). Objetivamos apresetar algus resultados iiciais a este respeito. Para o caso de projetos de ivestimeto simples com taxa itera de retoro positiva, (isto é, i* > O) compararemos a qualidade das primeiras iterações dos dois algoritmos e de uma versão algo modificada do algoritmo de Newto-Raphso. O artigo está dividido do seguite modo: a seção 2, apresetam-se os pré-requisitos à leitura do texto; a seção 3 cotém os temas usados a demostração dos resultados pricipais, que estão a seção 4; a seção 5 coclui o artigo. 2. Os algoritmos icialmete, caracterizamos os projetos de ivestimeto do tipo simples. Diz-se que um projeto de ivestimeto com fluxos de caixa esperados {ao, a"..., a } é do tipo simples se: i) ao < O ü) a" a2> a"..., ao' ;:" O iii) ~ > O O valor atual deste projeto depede da taxa de juros i, de acordo com a relação:. V(i) =! aj(1+itj ;i > -1 j=o Utilizado as regras do cálculo diferecial, é fácil verificar que V é fução estritamete decrescete e covexa de i. Como lim V(i) = + 00 i ~ - 1 ; lim V(i) = ao < O, i ~ + 00, 638 R.B.E.4/90

3 cocluímos imediatamete a existêcia e a uicidade da taxa itera de retoro i*, o que justifica a utilização de algoritmos para sua determiação. Neste trabalho, os restrigimos ao caso i* > O, ão levado em cota aqueles em que i* < O. Ou seja, levamos em cota os casos em que V(i) tem o gráfico da figura la, e excluímos a possibilidade da ocorrêcia de h. V(i) Figura la -1' O Figura h V(i) -11 Projetos de ivestimeto 639

4 Uma codição ecessária e suficiete para que i* > O é que V(O) > O,. ou seja, Qj> O. Daqui por diate, supomos válida esta relação. j= o Passemos agora à descrição dos algoritmos. Ates, frisamos que, como em todo processo iterativo é preciso ter uma codição iicial, arbitramos como primeira aproximação, o valor io = O, e a partir deste valor calculamos as iterações seguites. A idéia geométrica que motiva o algoritmo de Newto-Raphso está apresetada a figura 2. Figura 2-11 A partir de io = O, traçamos a reta tagete ao gráfico de V(i); i, será o poto em que esta reta cortar o eixo Oj~ De modo geral, ik+' será o poto ode a tagete ao gráfico V(i) o poto (ik' V (ik)) corta o eixo Oi. É fácil perceber (e demostrar, o que ão faremos) que, o osso caso, devido às características particulares de V(i), este processo produz uma seqüêcia crescete que coverge para i*. O valor de i, (NR) (símbolo que sigificará a primeira iteração do algoritmo de Newto-Raphso) pode ser determiado pelo sistema: { V (i, (NR)) - V(O) i, (NR) - O V (i, (NR)) = O V' (O) 640 R.B.E.4/90

5 o que implica: i 1 (NR) = _ V(O) V'(O) ou seja: laj i 1 (NR) = _.l...i =-,0,--- lja j j=o No osso problema, o algoritmo de Newto-Raphso modificado cosiste a aplicação do processo de Newto-Raphso ão a V(i), mas a uma fução diferete. Mais especificamete, se efetuarmos a mudaça de variável x = (1+i)-1 cocluiremos que ao valor io = O correspode Xo Newto-Raphso aplicado à fução F(x) dada por: 1. O processo de V(i) = a (1 +i)"j. o J J= aj xj = F(x) j=o com aproximação)icial Xo = 1 produz uma seqüêcia { xk}' à qual correspode uma seqüêcia {i k } de aproximações para i*, ode O valor da primeira iteração deste algoritmo de Newto-Raphso modificado será deotado por i 1 (NRM). Trataremos, pois, de calcular seu valor. Temos que Xl está determiado por: Xo = 1 F (x 1 )-F (xo) Xl - Xo F' (x o) F (Xl) = O Assim: Xl = - F -l a (1) j=o J +1= F'(1) ja j=o J + 1 Projetos de ivestimeto 641

6 Uma vez que x, i+i, (NRM) temos l-x, 1, (NRM) = --- x, 1 ai j= O i -(1 aj / j=o 1 ja) j=o ou i, (NRM) = i, (NR)/{l-i, (NR)} Não apresetaremos aqui a descrição completa do processo de Bouldig para a determiação da taxa de retoro do projeto; o leitor iteressado pode se referir a Faro (1983). Nos limitaremos a apresetar a expressão para o valor de sua primeira iteração, que se garate válida apeas para o caso de projeto de ivestimeto simples: - 3. Resultados prelimiares Nesta seção, demostramos dois lema~ utilizados a seção seguite. Para sua compreesão, é ecessário apela" que o leitor coheça resultados elemetares do cálculo itegral e o fato que o gráfico de uma fução covexa se situa abaixo da corda traçada por dois de seus potos. Lema 1: Se x > i, etão x-i> Q x > i --=, x ' i ode: Qx é o logaritmo eperiao de x. 642 R.B.E.4/90

7 Demostração: Se t ~ (1,x), temos: tegrado de 1 a x temos: O<<t<xcc; < - < 1. x t f x~ dt < f X ~ dt < fi'" 1 dt cc; 1 X 1 t x (x-) < Qt < 1. (x-) cc; x c:;, x- > Q x> 1 1_ c x y \ \ ~ -L L- ~ ~.. m x o lema a seguir também é cohecido como desigualdade etre as médias aritmética e geométrica. Lema 2: Se x" x"... x são úrreros reais positivos ( "" 2), tj~ [0,1] paraje {1,2,...,} Q ~ tj= 1, etão: J= t, t, x,. X 1.. x,,; t, x, + t 2 X tx Pro etos de ivestimeto 643

8 Demostração: Seja?J = Q Xj. De acordo com Lima (1978, p. 237), a covexidade da fução Ay)=eY implica as seguites hip6teses: f(t,y, + t2y ~Y) ~ t,f(y,) + t2f(y2) ~f(y) ~ y, Y2 Y ~t,y, + t2y ~ Y ~ t, e + t2 e ~ e ~e como e Yi = Xi, e t,y, + t2y ~Y = t, Qx ~QX, 12, t 2 Qx + Q x Qx = Q (X X x ), temos: ' t, t 2 Q (X, X x") ~ t, X, + t 2 X ~ x --> 2 t, t 2 ~ X; x 2.. x~ t, X, + t2 x ~ xl 4. Resultados pricipais Nesta seção, demostramos o teorema 1: se {ao, a u, a } é a seqüêcia de redimetos esperados de um projeto de ivestimeto do tipo simples, com taxa itera de retomo i* > 0, etão:' i, (NR) < i, (NR) < i,(b) ~ i* Demostração Temos: 1 a. O J J= i,(nr) =- > 0, pois 1 ai > e 1 jaj > j=o ' j=o 1 ja j=o J, O fato de que i, C... R) < i, (SRfif) e i,(nr) < i, (B) já havia sido demostrado, de uma maeira alterativa, em Faro (1978), para uma determiada classe de projetos de ivestimeto simples. R.BE.4/9O

9 Além disso. Assim, O < aj < aj < jaj ~ j=o j=! j=! ja j=o J < ~---- > ~ ~---- Sejam: Como i,(nrm) = i,(nr) -i,(nr),temos i,(nrm) > ij(nr) etão, O < C < e X > l. aj j=! C= jaj j=! aj j=! X=- ao Temos a J a J j=o j=! X- i,(nr) = = - -.C + C = C (-) ~ jaj j=! X X jaj j=! Projetos de ivestimeto 645

10 i,(nr) =? i,(nrm) = -- l-i,(nr) C(X-1) x 1 l-c(x-l) Como i, (B) = XC-, a desigualdade i,(b) > i, (NRM) equivale a: ou, o que é o mesmo C(X-l) Xc - 1 >, com C E (0,1) e X > 1, (X-l)(1-C)+ 1 X C(X-l) X-CX+c Defrido (X-l)(1-C)+ 1 XC-l -----]( -) > 1, para X> 1. C X-J f(x) = ] [ XC-l ] X- ' X > 1, temos de provar que ftx) > 1 para X > 1. Procederemos em dois passos: i) f é cotíua para X = 1: lim [(X-l)(-C) + 1 ] X -+ 1 'C tim Xc- 1 X-+l-- = C X- 1 C 1 =? lim f(x) = - C = 1 = f(1) X-+l C (O segudo limite é, por defrição, a derivada de Xc para X= 1.) ü)f(x) > O para X> 1: Temos: (X-l){(1-C)(XC_1) t[(x-l)( l-c)+ ]CXC-'}- [(X-l)( l-c)+ l](xc-l) f(x)= C(X-1)2 646 R.B.E.4/90

11 (X-l)[(X-l)(1-C)+ l]cxc-'-(xc -l) C(X-l)2 XC-'[C(1-C)(X-l)2 - (l-c)(x-l) - 1] + 1 C(X-l)2 Devemos etão provar que, para X > 1, g(x) = XC-'[C(1-C)(X-l)2 - (l-c)(x-l)-]+1 > O para X> Como g(1) = O, g'(x) = XC-'[2C (l-c)(x-l) - (1-C)] + + (C-l)XC-2 [C(l-C)(X-l)2 - (l-c)(x-l) - 1] = = Xc-2[2C(1-C)(X-l)2 - (1-C)(X-l)+2C(1-C)(X-l)-(1-C)+ - C(1-C)2 (X-l)2+(1-C)2(X-l) + (1-C)] = = XC-2[ C(l-C)(1+C) (X-l)2 + C(1-C)(X-l)] > O, cocluiremos que g'(x) > D para X > 1. Desse modo, f'(x) "" g(x) > O se X> 1, e assim f(x) > f(1) = 1, para todo ~ > 1. C(X-l)" Quato à lfltima desigualdade, pelo exposto a seção 2 sobre as propriedades da fução V(1), cocluímos que i,(b) ~ i* ~ V(i,(B» ~ O Passemos agora à demostração desta desigualdade. Temos: i,(b) = XC-l V(i) = aj (1 +it j j=o => V(i,(B» = ~ x-jc j=o Projetos de ivestimeto 647

12 logo V(i,(B));;:: O ~ ~ x-jc;;:: O ~ ~ x-jc;;:: - ao j=o j= 1 Defia-se ~ _ tj = ---; etao tj ;;:: O e }=1 ak k=1 tj = 1. Pelo lema 2 da seção aterior. a J. aj x-jc = ( a k ) j=1 k=1 -- X- Jc =( ~) S x-jc;;:: j= 1 k=1 j= 1 ~ k=\ ;;:: ( a k ) T (X-c)itj = k=1 j=1 mas: -to JJ j= 1 jaj j= 1 1 = -,logo: C ~ k=1 a x-jc J j=k ;;:: ak) k=1 1 (-ao) = ( ~) = - ao X k=1 ( ak) k=1 Embora teha ficado demostrado que ;,(NR) < ;,(B) (pois ;,(NR) < ;,(NRM) < ;,(B) é possível dar uma demostração direta desse fato. É o que fazemos a seguir, embora icorredo em redudâcia, em virtude da simplicidade da demostração. Teorema 2: 648 R.B.E.4/90

13 Nas codições acima, i,(nr) < i,(b) demostração: Temos: C(X-l) i,(nr) = --- x Etão, pelo lema 1 da seção aterior: "2 ~ 6 ~ -+ Xc> 1 i,(b) = XC-> QXC = C QX > C(X-l) > = i, (NR) X 5. Coclusão Os resultados apresetados idicam que o algoritmo de Bouldig provê uma melhor aproximação iicial do que as duas formas do algoritmo de Newto-Raphso. Assim, temos uma razão para preferi-lo, quado do cálculo da taxa itera de retomo. Três questões, o etato, ficam em aberto. Em primeiro lugar, deve-se pergutar se esta maior velocidade de covergêcia do algoritmo de Bouldig em relação aos de Newto-Raphso se matém as iterações subseqüetes. Em segudo lugar, caso a resposta à primeira questão seja sim, devemos poderar os custos de determiação dos valores das di versas iterações dos algoritmos. As aproximações dos algoritmos de Newto-Raphso (tradicioal e modificado) se determiam com as quatro operações, equato as aproximações do algoritmo de Bouldig evolvem uma expoeciação com expoete de maeira geral ão-iteiro, sedo portato uma operação mais complicada e custosa. Além disso, resta a questão da covergêcia do algoritmo de Bouldig. De qualquer modo, os teoremas demostrados costituem um primeiro argumeto teórico a favor do algoritmo de Bouldig, para a classe de projeto do tipo ivestimeto simples. Abstract This paper compares the frrst iteratios of differet algorithms to deterii- Projetos de i'l!estimeto 649

14 e the itera rate of retur o simple-ivestmet projects. Newto-Raphso, modified Newto-Raphso, ad Bouldig algorithds are studied. The coclusio reached is that all of them provide approximatios that are smaller tha the actual itera rate of retur, the most precise of the three beig the Bouldig algorithm, followed by the modified Newto-Raphsoo Referêcias bibliográficas Bouldig, K.E. Time ad vestmet Ecoomic, 3(10): , May Faro, Clovis de. Determiação da taxa de juros implícita em esquemas geéricos de fiaciameto: comparação etre os algoritmos de Wild e Newto-Raphso. Rio de Jaeiro, FGV/EPGE, Esaios Ecoômicos,. 25,out o Determiação umérica da taxa itera de retomo: cofroto etre os algoritmos de Bouldig e de Wild. Revista Brasileira de Ecoomia, Rio de Jaeiro, FGV, 37(3): , jul.lset o A eficiêcia margial e capital como critério de avalição de projetos de ivestimetos. Rio de Jaeiro, bmec, Lima, E.L. Curso de aálise. mpa/cnpq, v. 1, Projeto Euclides. 650 RBE.4/90