sc( - O -c C O::::» 00:: c( ::_ W I- o:: O a:: > Z C/) Z.., ar:: OA. WA. O O 1. INTRODUÇÃO

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1 C/) O 00:: O::::» OA. C/) O c(1- Uz O~ w Ī- OC/) ZW a:: > O~ 1-0 WA. 0::_ W I- O O -c C Z C/) o:: O W I- li; Z.., - O ~ sc( C Oār:: 'W I ār:: U O ar:: A Itrodução; 2. Coceitos e defiições; 3. Projetos do tipo. ivestimeto puro; 4. Determiação da taxa itera de retoro; Relaçio com 8 codição de suficiêcia de Norstrom; 6. Cotlusio. Clóvis de Faro * 1. INTRODUÇÃO Uma das questões que mais importam a admiistradores fiaceiros, egeheiros, ecoomistas e plaejadores de projetos, efim, a todos aqueles que tomam decisões relativas a iversões de capital, é a de aferir a ecoomicidade das mesmas. Na avaliação ecoômica de propostas, ou projetos, de ivestimeto, um procedimeto freqüetemete utilizado é o deomiado critério da taxa itera de retoro. Etretato, embora este aspecto em sempre seja observado, em todo projeto de ivestimeto é passível de ser corretamete avaliado via o critério da tax~ itera de retoro. Para que esse critério faça setido, é ecessário que sejam satisfeitas certas codições, ão s6 de atureza matemática como aida de caráter ecoômico. O fato de precisarmos assegurar a validade do emprego do critério da taxa itera de retoro para o tipo particular de projeto de ivestimeto que se esteja avaliado tem dado margem a que o assuto veha sedo exaustivamete ivestigado. Assim, a literatura cotemporâea, de que são exemplos típicos as referêcias (3), (11), (13), (14), (16) e (20), são apresetadas codições de suficiêcia que, uma vez obedecidas, garatem a correta implemetação do critério. Tedo como motivação proporcioar uma justificativa formal para uma afirmativa feita em um trabalho desevolvido por Faro e Soares (6), o propósito deste cometário é o de examiar a aplicação do critério da taxa itera de retoro para o caso de profetas ditos do tipo ivestimeto puro. Para tato, após a coceituação do problema, proceder-se-á a uma itegração de certos resultados que foram ateriormete apresetados por Teichroew et alli (21) e por Faro (2), resultados esses que garatem determ iadas propriedades básicas para a chamada fução valor futuro. A seguir, ilustrado-se com a aálise de um exemplo cocreto, abordar-se-á o problema da determiação do valor umérico da taxa itera de retoro. Será etão evideciado que, sem ser alcaçado pelas objeções levatadas por Kapla (15), pode ser feito uso do algoritmo sugerido por Fisher (9), que ada mais é do que uma versão do celebrado método de Newto-Raphso, para o cálculo de rarzes de poliômios. Flalizado-se, será ivestigada a relação que existe etre o que foi aqui. apresetado e a codição de suficiêcia deduzida por Norstrom (16). R. Adm. Emp., *00 Istituto de Plaejameto Ecoômico e Social (lpea/inpes) - Rio de Jaeiro. Rio de Jaeiro. 2. CONCEITOS E DEFINIÇOES, Represetado-se por 0j, para j=l, 2,...,, a receita I(quida associada ao j-ésimo peedo da vida ecoômica do empreedimeto, um projeto 16 (5): 57-63, sct./ out. 1976

2 de ivestimeto será caracterizado, para fis de aálise, pela seguite seqüêcia de fluxos de caixa I(quidos: {- S, 01,..., O} (1 ) ode S>O é o chamado ivestimeto iicial e é suposto que 0*O. Sedo; ~ uma taxa de juros, sob forma uitária, cujo período a que se refere coicide com o itervalo de tempo etre fluxos de caixa cosecutivos, a fução valor atual, V(i), associadaa um projeto de ivestimeto, é defiida através da relação: liômio do grau apreseta exatamete rafzes. Coseqüetemete, o problema passa a ser o de determiar a existêcia e uicidade de uma raiz que correspoda a uma taxa de juros o itervalo cosiderado. I: 1 exatamete este poto que se fazem valiosas as codições de suficiêcia aludidas o item aterior. A título de ilustração, cosidere-se o caso do projeto de ivestimeto que chamaremos de A, e que é idetificado pela seguite seqüêcia de fluxos de caixa I íquidos: A: {-100,860,-2925,4910,-4060,1320} (2) Fazedo-se x = 1+;, e partido-se da fução valor futuro, a aplicação do critério da taxa itera de retoro s6 será possfvel se for determiada a existêcia de uma úica raiz distita, Por outro lado, aida por defiição, a chamada fução valor futuro, P(i), é tomada como que ão seja iferior à uidade, para o seguite poliômio do 5. sedo dada por: 0 grau em x: P(i) = - S (1+i) + f Oi (l+i)~j (3) j-1 P(x) = -loox x x x x Face às expressões(2) e (3), é fácil verificar que as fuções valor atual e valor futuro estão relacioadas de tal forma que: p(i) = (1+i) V (i) Tomado-se; como ic6gita, a taxa itera de retoro, que desigaremos por t", associada a um projeto de ivestimeto é defiida como a taxa de juros que aula a fução valor atual. Ou seja, tedo em vista as relações (2) e (4), ;* é tal que: ' V(i*) = P(i* ) = (5) Sedo r usualmete deomiada de míima de atratividade e uma taxa de juros tomada como termo de comparação, o critério da taxa itera de retoro prescreve que um projeto de ivestimeto será cosiderado como ecoomicamete iteressate se i+>). Para que a prescrição acima faça setido, ão s6 é ecessário que, o itervalo cosiderado, exista uma solução para a equação (5), mas que tal solução seja úica. Ora, a resolução desta equação, determiada a partir da fução valor atual ou a partir da fução valor futuro, cosiste tão-somete a determiação das raízes de um poliômio do grau. Por outro lado, como é sabido do estudo da álgebra (23, p, 55-6), icluido-se as que forem complexas e cotado-se cada raiz múltipla tatas vezes quato a sua respectiva multiplicidade, todo po- (4) que o poliô- Ora, o caso, é fácil verificar mio acima pode ser escrito como: P (x) == (x - 1, 1) (x - 1,5) (x - 2)3 Logo, lembrado-se do teorema da fatoração (23, p. 56), é de coclusão imediata que o poliômio cosiderado apreseta três raízes distitas (1,1; 1,5 e 2), e que são maiores do que a uidade. Coseqüetemete, a fução valor futuro aula-se para 'três distitas taxas de juros positivas (10%, 50% e 100%), o que implica que o projeto A ão pode ser avaliado pela aplicação estrita do critério da taxa itera de retoro. _. Por outro lado, cosidere-se agora o caso do projeto de ivestimeto que chamaremos de 8, e ao qual se associa a seqüêcia de fluxos de caixa Uquidos: 8: {-100,50,-50, 100,-50, 150} Embora o poliômio em x correspodete ao ovo projeto seja do mesmo fvel de complexidade que o do caso aterior, podemos afirmar que, mediate um simples exame dos fluxos de caixa, existe apeas uma raiz distita superior à uidade. Isto é, face a propriedades que iremos idetificar, fica garatida a aplicabilidade do critério da taxa itera de retoro para o caso do projeto B. Revista de Admiilltraç40 de Empresall O critério da taxa itera de retoro e o caso dos projetos do tipo ivestimeto puro Clóvis de Faro

3 3. PROJETOS DO TIPO INVESTIMENTO PURO Mo (i) =-S dmo (i)/di= O 3.1. Caracterização Para ossos propósitos, é fudametal o coceito da deomiada fução balaço do projeto em uma certa época k, para uma dada taxa i, que represetaremos por Mk (i). Por defiição, tem-se: Mo (i) = -5 (6).{ Mk(i) = (1+i)Mk_1(i)+Qk,k=1,2,..., Tedo em vista a expressão (3), é fácil verificar que a fução balaço a época coicide com a fução valor futuro; isto é: Laçado mão da termiologia adotada em (21), um projeto será dito do tipo ivestimeto puro a uma certa taxa i setivermos Mk(i)<.O para k= O, 1,..., -1. Assim, por exemplo, coslderado-se o projeto que chamamos de A, e a taxa de juros de 760% por período, visto que: Mo (7,6) -100 M 1 (7,6) = -100(1+7,6) = O M 2 (7,6)= 0(1+7,6) = M3 (7,6) = (1+7,6) = M4 (7,6) = (1+7,6) = diremos que o projeto A é do tipo ivestimeto puro à taxa de 760% por perfodo, Por outro lado, em particular, um projeto será simplesmete deomiado do tipo ivestimeto puro se, para qualquer taxa i ;;"0, os primeiros elemetos da seqüêcia de balaços, como defiida por (7), forem ão-positivos. Face ao teorema adiate demostrado, é fácil verificar que o projeto S é do tipo ivestimeto puro. 3.2 Propriedades Teorema Se um projeto for do tipo ivestimeto puro à taxa ula, etão também o será para qualquer taxa de juros positiva. Demostração (7) Observemos iicialmete que, para qualquer período k, a fução balaço é cotfua, pois é um_poliômio em i e, coseqüetemete, sua derivada é defiida. Por outro lado, para k = O e.ídepedetemete de i, tem-se que: Procededo-se por idução, ote-se que, para k= 1, tem-se: M 1 (i) = (1+i)M o (i) + 01 = -(l+i)s+ol = MdO) - is < O, i> O já que's>o e, por hipótese, M 1 (0)<. O dm 1 1i)/di = Mo (i) + (1+i)dMo (i)/di =-S+O<O, i~o Supoha-se agora que Mk(i)< O; i> O, com dmk(i)/di<o, i~o; etão: dmk+1 (i)/di=mk(i) + + (1+i)dMk(i)/di < O, i ~ O o que implica que se teha Mk+1 (i) < O já que, por hipótese, Mk+1 (O) <. O. c.q.d. O teorema acima provê um meio rápido de verificar se um dado projeto é, ou ão, do tipo ivestimeto puro. Para tato, cosiderado-se a taxa ula, basta verificar se os primeiros' elemetos da seqüêcia de balaços são, ou ão, ão-positivos. Assim, para o projeto S, dado que =5 e que Mo (O) = -100, M 1 (O) = -50; M 2 (O) = = -100, M3 (O) = O e M4 (O) = -50, coclui-se que se trata de um projeto do tipo ivestimeto puro. Como corolários do teorema apresetado, podem ser deduzidas as seguites importates propriedades para a fução valor futuro associada a um projeto do tipo ivestimeto puro. Corolário 1 Para projetos do tipo ivestimeto puro, a fução valor futuro é estritamete decrescete para i~o. Demostração Fazedo-se k = - 1 e tedo em vista (6), segue-seque: dm(i)/di = dp(i)/di = M -1 (i) + + (1 + i)dm _1 (i)/di < O, i ~ O Corolário 2 Se, para um projeto do tipo ivestimeto puro, a soma algébrica dos fluxos de caixa Ifquidos for positiva, isto é, se -S + ~ Oi > O, etão a fução valor futuro j=1 aular-se-á uma e somete uma vez o campo das taxas ão-egativas Taxa itera de retomo

4 Demostração Dado que PIO) = -S +:E Qj>O e como /-, lim P(j) = - 00, segue que, da cotiuidade i de P(i) e do corolário 1, a fução valor futuro será ula para somete uma certa taxa i*>o. Corolário 3 Para projetos do tipo ivestimeto puro, a fução valor futuro é estritamete côcava para i ~ 0_ Demostração Tedo em vista a defiição de balaço, é.imediato que: d2mk(i)/di2 = d [Mk-1(i) + + (1-+:i)dMk-l (i)/di] / di = 2dMk_1 (i)/di + (1+i)d 2 Mk-l (i)/dt2, k= 1,..., com d? Mo (j)/di 2 = O, i ~ O Logo 4. DETERMINAÇAO DA TAXA INTERNA DE RETORNO Os resultados apresetados o item aterior permitem cocluir-se que, desde que a soma algébrica dos fluxos de caixa seja posltlva," fica assegurada a correta aplicação do critério da taxa itera de retoro para o caso de projetos do tipo ivestimeto puro. Etretato, regra geral, qualquer que seja o tipo particular de projeto sob exame, ão é suficiete que se teha estabelecido a existêcia e uicidade de uma taxa itera positiva, pois cabe aida ao aalista a tarefa de calcular o seu respectivo valor umérico. Ora, como vimos, partido-se da fução valor futuro, o problema passa a ser, etão, o de determiar a raiz, real e maior do que a uidade, de um poliômio do grau em x= 1+i. Como é sabido do estudo da teoria das equações," ão existem métodos algébricos gerais para a extração de rarzes de poliômios de grau superior a quatro. Logo, como usualmete recomedado os llvros-textos.! o aalista de projetos é obrigado a laçar mão de um processo de.tetativas. Etretato, muito embora as codições assumidas tal procedimeto sempre coduza à solução procurada, sua Implemetação é trabalhosa e ão eficiete, já que pode exigir um úmero razoável de iterações (tetativas). d 2 M 1 (i)/di 2 = 2dMo(j)/di + (1+i)d 2 Mo(j)/di 2 = 4.1 O algoritmo de Newto-Raphso 60 = O, i ~ O e =-2S+0 < O i ~ O Procededo-se por idução, supoha-se agora que se teha d2mk(i)/di2 < O, t» O; etão: d 2 Mk+ 1(Í)/dP = 2dMk(i)/di + + (1+i)d2Mk(i)/di2 <O, i ~ O pois que, de acordo com o visto a demostração do teorema, a primeira parcela é egativa, e a seguda também o é, por hip6tese. Coseqüetemete, em particular, para k = - 1, teremos: d2m (i)/di2 = d 2 P(j)/di 2 = 2dM _1 (/di + + (1+;)d 2M _l(j)/di2 < O, i ~ O. Um processo bem mais eficiete, e que, ao meos a literatura pertiete, parece ter sido origialmete sugerido por Fisher (9), é o que se fudameta a aplicação do celebrado algoritmo de Newto-Raphso. Todavia, como corretamete evideciado por Kapla (15), mesmo estado asseguradasa existêcia e a uicidade de uma taxa itera de retoro, tal método ão pode ser aplicado a qualquer tipo de projeto. Isto porque, como detalhadamete discutido por Herici (12, p.77-86), o processo iterativo de Newto- Raphso s6 tem sua aplicação garatida se a fução que está sedo tratada apresetar certas propriedades básicas." No caso espec(fico sob exame, o dos projetos do tipo ivestimeto puro, vimos que a fução valor futuro é estritamete decrescete e côcava o itervalo defiido por taxas de juros ão-egativas. Tais propriedades asseguramque, tal como adiate descrito, possa ser aplicado o método iterativo de Newto-Raphso a determiação do valor umérico da taxa itera de retoro. 7 Para a aplicação do método, como esquematicamete idicado a figura 1, será tomada, como primeira aproximação, o seguite valor para a taxa de juros: Revista de Admiistração de Empresas

5 ;1 = ;-.:..;;~- (8) te, observado-se que M4 (O) = P(O) = 5, podemos aplicar o método de Newto-Raphso, obtedo-se para a primeira aproximação: ou, observado-se que dp(;)/d; = (1+;)-1 [-S+ ~ (-j) 0j(1+;)-j ] }=1 vem j~1 0j - S ;1 = l: jor (l: 0rS ) j=1 j-1 (8') A seguir, sucessivamete, até que seja atigida a precisão desejada, far-se-á:" 5... ;1 = 75 _ 4 x 5-0,0909, ou 9,09% Portato, visto que: P(;)= -10(1+;)4-15(1+;)3+20(1+;)2-10(1+;) + 20 e P'(;) = dp(;)/d; = -40( 1+;) 3-45 (1+;) 2+ 40(1+;)-10 teremos a seguite seqüêcia de aproximações: ;k = ik-1 - r: ;;J, k = 2, 3,... (9) L!!P (j) I d!.j jk-1 Figura 1 Iterpretação Gráfica do Método de Newto Raphso PI,) ;2 = 0, P(0,0909)/P'(0,0909) ~ 0,0805 ;3 = 0, P(0,0805)/P'(0,0805) ~ 0,0804 ;4 = 0, P(0,0804)/P'(0,0804) ~0, Como P(0,080393) ~ 0, podemos cocluir que, com razoável precisão, a taxa itera de retoro associada ao projeto em apreço é 1*~ 8,04% RELAÇAO COM A CONDIÇAO DE SUFICIENCIA DE NORSTROM Cosiderado-se a sucessão de balaços, à taxa ula, de um dado projeto de ivestimeto, forma-se a seguite seqüêcia, que é deom iada de seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos:'! 61 {Mo (O), M 1 (O),., M(o)} (10) 4.2 Exemplos de aplicação A titulo de llustracão, cosidere-se o caso do seguite projeto de ivestimeto, que chamaremos de C: 9 [-10,-15,20,-10,20] Como = 4 e Mo(O) = -10, M 1 (0) = -25, M 2 (O) = -5, M3 (O) = -15, segue-seque este projeto é do tipo ivestimeto puro. Coseqüeteme- Cotado-se termos ulos como represe-. tado cotiuações de sial, Norstrom (16) provou que, se houver ão mais do que uma variação de sial a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos, com o último termo sedo positivo, etão ao projeto cosiderado associar-se-áexatamete uma taxa itera de retoro (positiva). Isto é, o simples exame do úmero de variações de sial em (10) provê uma codição de suficiêcia para a aplicabilidade do critério da taxa itera de retoro. Com respeito ao caso de iteresse específico em osso estudo, é de coclusão imediata que todo projeto do tipo ivestimeto puro, tal que a soma algébrica de seus fluxos de caixa líquidos Taxa itera de retomo

6 62 seja positiva, satisfaz a codição de suficiêcia de Norstrom. Etretato, é fácil verificar, a recfproca ão é sempre verdadeira; isto é, o fato de que um projeto qualquer satisfaça a codição de Norstrom ão implica, ecessariamete, que este seja.caracterizado como do tipo ivestimeto puro. Coseqüetemete, quato à implemetação prática do critério da taxa itera de retoro, visto que a codição de suficiêcia de Norstrom é mais geral do que a relativa à caracterização do projeto como sedo do tipo ivestimeto puro, cabe idagar se o fato de que a primeira teha sido satisfeita assegurae aplicabilidade do método de Newto-Raphso para a determiação do valor umérico da taxa itera. Para respoder a questão levatada, cosideremos o caso'do projeto de ivestimeto que chamaremos de D, e cuja seqüêcia de fluxos de caixa I(quidos é: { -220, 550, -320, 10} Formado-se a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos, temos que esta é: {-220, 330, 10, 20} Logo, como temos uma s6 variação de sial, segue-seque, embora o projeto D ão seja do tipo ivestimeto puro, a codição de suficiêcia de Norstrom é satisfeita. Etretato, apesar de estar assegurada a existêcia e uicidade de uma taxa itera de retoro positiva (que é de aproximadamete 61,88% por perfodol.ião se pode garatir a aplicação estrita do método de Newto- Raphso para a determiação de seu valor umérico. 'Isto porque, como esquematicamete ilustrado a figura 2; tato a fução valor atual como a fução valor futuro são ão mo6toas o itervalo de iteresse.12 Figura 2 Comportametos das Fuções Valor Atual e Futuro para o Projeto D '" 6. CONCLUSAO Para proceder à avaliação ecoômica de, um projeto de ivestimeto segudo.o critério da taxa itera de retoro, a primeira providêcia que deve ser tomada pelo aalista é a de assegurar-se da aplicabilidade de tal critério. Na evetualidade em que o projeto cosiderado seja caracterizado por uma seqüêcia de fluxos de caixa líquidos com uma ou duas variações de sial, resultados estabelecidos a literatura garater.p a priori, a correta implemetação do critério. Para os demais casos, restado aida o recurso a certos outros resultados.p é coveiete que se proceda ao teste da codição de suficiêcia e Norstrom; sedo que, se o processo de idetificar o úmero de variações de sial a seqüêcia de fluxos de caixa cumulativos, for caracterizado que se trata de um projeto do tipo ivestimeto puro, fica também assegurada a validade da adoção do método de Newto- Raphso a determiação do valor umérico da taxa itera de retoro. 1 C;C;modiscutido o item 5, os requisitos matemáticos de existêcia e uicidade ão são exaustivos, pois que, por motivo de caráter ecoômico, é preciso aida que se garata uma avaliação que seja cosistete com a resultate da aplicação do chamado método do valor atual, à taxa r. Para evitar a possibilidade de tal icosistêcia, e resolvedo-se simultaeamete a questão de existêcia, é ecessário que a soma algébrica dos fluxos de caixa seja positiva; para a relevâcia desta imposição veja as referêcias (4) e (7). 2 Observe-seque as hip6teses s6 serão satisfeitas se 0 > O. 3 Observe-se que, caso cotrário, o projeto será, a priori, ecoomicamete ijustificável, já que a fução valor futuro e, portato, também e fução valor atual será egativa para qualquer taxa de juros positiva. 4 Veja, por exemplo, Uspesky (23, p. 83-4). 5 Tais como Faro (1, p. 30-1), Fleischer (10, p Smith (19, p ) e Thuese et alii (22, p l. 6 Propriedades essasque são relativas à mootoicidade e cocavidade da fução o itervalo de pesquisa da raiz. Veja Uspesky (23, p ) para uma iterpretação geométrica. 7 Note-se que, como a realidade o método estará sedo iiciado o poto associado à taxa ula, o qual P(O) P"(O) <O, ão são itegralmete satisfeitas as codições ditas de Fourier (veja Sadosky, 18, p Para evitar o problema que poderá ocorrer caso' o valor de p~jo) seja excesslvemete pequeo (quado, etão, o valor de i l dado por (8') poderia ser demasiadamete grade), basta tomar para' i t o meor etre os valores dados por (8') e pelo quociete MIS (ode M é o maior dos fluxos de caixa 0j, j = 1,.,). Isto porque, como mostrado em (6), para i = fiais tem-se P(il < O e portato, essepoto, P(il P"(i) > O. 8 Observe-se que i 1>i2 >...>i*. Para implemetação em computador, como tato p(j) e P'(i) são poliômios em x = 1+i, é coveiete a aplicação do chamado método de Birge-Vieta, que cosiste o emprego cojuto do processo de Horer para a determiação de valores uméricos de poliômios e do algoritmo de Newto-Raphso. Para descrições do método de Birge-Vieta, veja, por exemplo, Dor e McCracke (8, p. 32 5) e Pacitti e Atkiso (17, p Adap'tado de Faro!l, p, 691. Revista de Admiistração de Empresas

7 lo Procededo-se de maeira aáloga, o leitor poderá verificar que serão ecessárias também quatro iteraçoes para determiar que a taxa itera de retoro associada ao projeto 8 seja de aproximadamete 20,34% por perrodo. 11 Isso porque, sedo Mo(OI ~ -5, decorre diretamete de (61 que Mk(OI =-5+ ~ ai' parak = 1, 2,...,. 1=1 12 Observe-se qua, o caso, como a fução valor futuro ão muda de cocavidade, o método poderá ser aplicado tomado-se como poto de partida a taxa ;1 = Ifl/S = 2,5_ Todavia, axemplos podem ser costrufdcs tais que a fução valor futuro também mude de cocavidade a região de iteresse. 13 Veja, por exemplo, a referêcia (51 para uma descrição dos resultados associados a esses dois casos. 14 Em Faro e Soares, referêcia (61, á efetuado um estudo comparativo etre as diversas codições de suficiêcia, sedo sugerido um algoritmo coceitual para a implemetação do critário. REFERENCIAS BIBLlOGRAFICAS 1. Faro, Clovis de. Egeharia ecoômica: elemetos, Rio de Jaeiro, APEC, O the iterai rate of retur criterio. The Egieerig Ecoomist, v. 19,.3, p , Sprig Sobre a uicidade de taxas iteras de retoro positivas. Revista Brasileira de Ecoomia, v. 29,. 4, p , out./dez O the iterai rate of retur criterio: a reply. The Egieerig Ecoomist, v. 21,. 2, p , Witer ~ Mello e Souza, Alberto de. O uso do critério da taxa itera de retoro e sua aplicação em ivestimetos educacioais. Estudos Eco-.ômicos, v. 5,. 3, p , set./dez & Soares, Luiz. Sobre a aplicabilidade do critério da taxa itera de retoro. Pesquisa e Plaejameto Ecoômico, dez. 1976, a sair. 7. Desai, Pakaj A. O the iterai rate of retur criterio: a ote. The Egieerig' Ecoomist, v. 21,. 2, p , Witer Dor, Willia S. & McCracke, Daiel D. Numerical methods with Fortra IV casestudies. New York, Wil~y, , 9. Fisher, Lawrece. A algorithm for fidig exact rates of returo The Joural of Busiess of the Uiversity of Chicago, v.39,. 1, p , part 2, Ja Fleischer, Gerald A. Teoria da alocação do capital: um estudo das decisões de ivestimeto. Trad. Miguel Cezar Satoro, São Paulo, Edgard Blücher, Hammod, Joh S Boudig the umbers of rates of retur of a project. Workig Paper HBS , Graduate School of Busiess Admiistratio, Harvard Uiversity, Apr Trabalho apresetado o Joit Natioal Meetig of TIMS/ORSA, Bosto, Mass., Apr , Herici, Peter. Elemets of umerical aalysisonew York, Wiley, Jea, William. O multiple rates of returo The Joural of Fiace, v.23,.l, p ,. Mar Kapla, Seymour. A ote o a method for precisely determiig the uiqueess or ouiqueess of the iterai rate of retur for a proposed project. The Joural of Idustrial Egieerig, V. 16,. 1, p. 70-1, Ja./Feb Computer algorithms for fidig exact rates of returo The Joural of Busiess of the Uiversity of Chicago, V. 40,. 4, p , Oct Norstrom, Carl J. A sufficiet coditio for a uique o-egative iterai rate of returo Joural of Fiaciai ad Quatitative Aalysis, v.7,. 3, p , Jue Pacitti, Tércio 8, Atkiso, Cyril P. Programação e métodos computacioais. Rio de Jaeiro, Livros Técicos e Cletfficos, v Sadosky, Mauel. Cálculo umérico y gráfico. 4. ed. Bueos Aires, Llbrerfa dei Colegio, Smith, Gerald W. Egieerig ecoomy: aalysis of capital axpeditures, 2 ed. Ames, The lowa State Uiversity Press, Soper, C. S. The margial efficiecy of capital: a further ote. The Ecoomic Joural, V. 69,. 273 p Mar Teichroew, Daiel et alii. Mathematical aalysis of rates of retur uder certaity. Maagemet Sciece, V. 11,. 3, p , Ja Thuese, H. G. et alil. Egieerig ecoomy. 4. ed. Eglewood Cliffs, Pretice-Hall, _ Uspesky, J. W. Theory of equatios. New York, McGraw-HiII, Taxa itera de retoro