Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Anatocismo

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1 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo Clovis de aro Coteúdo: Palavras-chave: Códigos JEL: E4, E5. 1. INTRODUÇÃO 1. Itrodução; 2. O Caso de Um Esquema Geral de iaciameto; 3. Casos Particulares; 4. O Caso de Prestações em Atraso; 5. Coclusão; A. Apêdice O Caso de Cocessão de Carêcia. Tabela Price; Juros Compostos; Aatocismo. Motivado pelo debate sobre se fiaciametos segudo a Tabela Price é a juros compostos e se implica em aatocismo, esta ota, tomado como poto de partida um caso mais geral, busca laçar luz sobre a discussão. Motivated by the debate whether or ot the amortizatio system of costat paymets, which i Brazil is kow as Tabela Price, coforms with the priciple of compoud iterest ad implies what the judiciary ames as aatocism, that is icorporatio of iterest to the loa pricipal, this ote, cosiderig a more geeral system of loa repaymet, aims to shed some light o the subject. Uma questão que tem provocado muita polêmica, pricipalmete em querelas judiciais que evolvem demadas o que cocere à adoção da popular Tabela Price em fiaciametos (mormete os habitacioais), diz respeito ao fato de haver ou ão a preseça do que, o jargão jurídico, se deomia de aatocismo. Ou seja, como os esia mestre Aurélio Buarque de Holada erreira (cf. de Holada erreira, 1999, p. 133), se o emprego da Tabela Price acarreta capitalização dos juros de uma importâcia emprestada ; o que se tem costituído em aátema em ossos tribuais. Sedo que, obviamete, em havedo capitalização de juros, o que implica a ocorrêcia de aatocismo, ecessariamete, ter-se-á juros devido a juros. O que sigifica dizer que aatocismo tem como cosequêcia juros compostos. Que o assuto cotiua sedo objeto de muita cotrovérsia, pode ser costatado em uma rápida visita à Iteret. Com o auxílio da ferrameta de busca Google, teclado-se Tabela Price, iremos os deparar com uma verdadeira pletora de artigos e cometários, muitos deles agressivos e esejado acirrados embates, cotestado a preseça, ou ão, tato do regime de juros compostos como o do aatocismo. O presete artigo, que pode ser iterpretado como em sequêcia, agora mais formal, ao publicado em de aro (2009, pp ), que colimou mostrar a iaquadebilidade do regime de juros simples em fiaciametos com mais de um pagameto, tem dois propósitos: Professor da Escola Brasileira de Ecoomia e iaças, udação Getulio Vargas EPGEGV. clovis.faro@fgv.br 283

2 Clovis de aro 1 o ) demostrar que qualquer sistema de amortização de dívidas cujo valor fiaciado seja liquidado mediate o pagameto de (duas ou mais) prestações periódicas, o que sigifica dizer que há equivalêcia fiaceira etre o valor do empréstimo e a sequêcia de prestações, implica em que, coquato implicitamete, esteja ocorredo o emprego do regime de capitalização dito de juros compostos; 2 o ) evideciar que, se cada prestação periódica cobrir os juros devidos ao saldo devedor, e ão existir prestações em atraso, ão haverá a ocorrêcia, ao meos em uma iterpretação estrita, de aatocismo. Em outras palavras, o objetivo é o de, à luz dos pricípios básicos da Matemática iaceira, que podem ser ecotrados em, por exemplo, de aro e Lachtermacher (2012, especialmete os capítulos 1 e 3), explicitar que qualquer esquema de amortização de dívidas que se coforme com a sistemática aqui euciada, com a Tabela Price sedo um mero, embora importate, caso particular, tem como cosequêcia a, o que a muitos poderia parecer paradoxal, simultâea ocorrêcia da preseça do regime de juros compostos e da ausêcia de aatocismo. udametalmete, iremos evideciar que, equato que, como mecioado, a ocorrêcia de aatocismo implica em juros compostos, podemos ter a aplicação do regime de juros compostos sem que se verifique a preseça de aatocismo. Subsidiariamete, cosiderado aida dois outros casos particulares bastate populares, o Sistema Americao e o de Amortizações Costates, são também cotejadas algumas de suas características. 2. O CASO DE UM ESQUEMA GERAL DE INANCIAMENTO Prelimiarmete, lembremos que, o que admitiremos ser de cohecimeto comum, o chamado regime de juros compostos se caracteriza pelo fato de ocorrer juros devido a juros. Isto é, em cotraste com o regime dito de juros simples, ode ão há a capitalização dos juros, o regime de juros compostos os juros formados a cada período, que ão sejam pagos, 1 redem juros os períodos seguites. Por outro lado, como o aatocismo é idetificado pela cobraça de juros sobre juros, sua realização só pode ocorrer o regime de juros compostos. Etretato, como veremos, mesmo estado subjacete o regime de juros compostos, a hipótese, as codições que iremos explicitar, de pagameto periódico dos juros ão acarreta ocorrêcia de aatocismo. Isto posto, tomado como poto de partida um caso bastate geral, do qual, como veremos, a Tabela Price, etre outros populares sistemas de amortização de dívidas, como o de Amortizações Costates, é um caso particular, cosideremos a situação ode um fiaciameto de valor, deva ser resgatado por itermédio do pagameto de, com > 1 (se = 1 teremos a situação, trivial, ode ão há distição etre os regimes de juros simples e o de juros compostos), prestações periódicas e postecipadas (isto é, pagas o fim de cada período). Com a primeira ocorredo o fim do primeiro período. 2 Deotado-se por p k o valor da k-ésima prestação e, este caso mais geral, por i k a taxa periódica de juros, sob forma dita uitária, que houver sido pactuada para vigorar o k-ésimo período, para k = 1, 2,...,, admita-se que teha sido estipulado que, a cada período, a correspodete prestação p k cubra sempre a remueração, devida a juros, relativa ao saldo devedor (estado da dívida) o iício do período cosiderado. 3 Isto é, represetado-se por S k o saldo devedor (pricipal remaescete) o iício do k-ésimo período, logo após o pagameto da k-ésima prestação, é suposto que 1 Efetivamete, temos aqui uma sutileza. Mesmo que os juros periódicos sejam pagos, como o caso do Sistema Americao, o regime que está implícito, como veremos, é o de juros compostos. 2 Ou seja, estaremos admitido que ão haja carêcia. O caso com carêcia será tratado, através de um exemplo simplificado, o Apêdice. 3 Estaremos admitido que cada taxa de juros i k seja positiva. Ou seja, ao meos a forma dita aparete, e portato ates de efeitos iflacioários, as taxas de juros, como é o caso ormal, são supostas sempre positivas. 284

3 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo p k i k S k 1, para k = 1,2,, (1) com S 0. Aida mais, estaremos supodo um esquema de amortização dito fiaceiramete cosistete (o setido de que o débito seja liquidado com o pagameto da última prestação). Para ossos propósitos, deote-se por a k a parcela de amortização (ou de redução do estado da dívida) que é suposta estar embutida a k-ésima prestação. Cotabilmete, tem-se que: a k = p k i k S k 1, para k = 1,2,, (2) Observe-se que, face à restrição expressa por (1), as parcelas de amortização, quado positivas, são todas de redução do pricipal fiaciado. Obviamete, para que a dívida seja liquidada quado do pagameto da última prestação, p, é ecessário que se teha a k = (3) Deve ser ressaltado que, matidas as hipóteses já mecioadas, teremos a k 0, para k = 1, 2,..., 1, com ao meos a > 0. Isto é, coquato possam ocorrer amortizações ulas, o míimo a última é estritamete positiva. ace às defiições, tem-se que: do que decorre, recursivamete, que S k = S k 1 a k, k = 1,2,,, com S 0 (4) S k = k a l, k = 1,2,,, com S = 0 (5) Não havedo prestação em atraso, o que iremos iicialmete supor, pode-se afirmar que, em ehuma evetualidade, há pagameto de juros sobre juros. Isto porque somete se paga juros sobre o saldo devedor remaescete; que é sempre ão crescete. Ou seja, formalmete, ão ocorre o chamado aatocismo. Etretato, como iremos mostrar, por haver a equivalêcia fiaceira etre a sucessão de prestações e o valor fiaciado, o que implica a validade da relação (1 + i k ) = p 1 (1 + i k ) + p 2 (1 + i k ) + + p 1 (1 + i ) + p ou (1 + i k ) = k=2 1 p k l=k+1 k=3 (1 + i l ) + p (6) está implícito que o sistema geérico de amortização que está sedo cosiderado, coforma-se com o pricípio do regime de juros compostos. Em outras palavras, e de uma maeira algo paradoxal, embora esteja sedo, coquato implicitamete, cosiderado o regime de juros compostos, ão há ocorrêcia de aatocismo. Para mostrarmos a validade da relação (6), observe-se iicialmete que o saldo devedor a época k,s k, pode ser etedido como resultate do acréscimo, devido a juros, à taxa i k, do saldo devedor a época k 1, deduzido da prestação p k que se acaba de pagar. Isto é: 4 4 Note-se que, trivialmete, a relação (7) implica a relação (4), pois: 285

4 Clovis de aro S k = (1 + i k )S k 1 p k, k = 1,2,, (7) Portato, recursivamete, tem-se que: k = 1 : S 1 = (1 + i 1 )S 0 p 1 = (1 + i 1 ) p 1 k = 2 : S 2 = (1 + i 2 )S 1 p 2 = (1 + i 1 )(1 + i 2 ) p 1 (1 + i 2 ) p 2 k = 3 : S 3 = (1 + i 3 )S 2 p 3 = (1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 ) p 1 (1 + i 2 )(1 + i 3 ) p 2 (1 + i 3 ) p 3 k = 4 : S 4 = (1 + i 4 )S 3 p 4 = (1 + i 1 )(1 + i 2 )(1 + i 3 )(1 + i 4 ) p 1 (1 + i 2 )(1 + i 3 )(1 + i 4 ) p 2 (1 + i 3 )(1 + i 4 ) p 3 (1 + i 4 ) p 4 Ou seja, por extesão, vemos que: S k = k k 1 (1 + i l ) p l k j=l+1 (1 + i j ) p k, k = 1,2,, Ora, como devemos ter S = 0, segue-se que, para k = S = 0 = 1 (1 + i k ) p k l=k+1 (1 + i l ) p o que demostra a validade da equivalêcia, o regime de juros compostos, etre a sucessão de prestações e o valor fiaciado. Deve ser observado que, coquato a relação de equivalêcia fiaceira, expressa por (6), tome como data focal a época, é imediato que, face a propriedade de cidibilidade do prazo, que é característica do regime de juros compostos, a equivalêcia fiaceira deve também estar presete quado se toma como data focal a época do empréstimo. Isto é, devemos ter: = p k k (1 + i l ) 1 (8) Para mostrar que (8) implica (6), e vice-versa, multiplique-se ambos os membros de (8) por (1+ i k ). Tem-se: S k = (1 + i k )S k 1 p k = S k 1 (p k i k S k 1 ) = S k 1 a k. 286

5 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo (1 + i k ) = ou (1 + i k ) = (1 + i k ) {p 1 (1 + i l ) 1 + p 2 (1 + i l ) 1 + p 3 (1 + i l ) p 1 (1 + i l ) 1 + p (1 + i l ) 1} = p 1 (1 + i k ) + p 2 (1 + i k ) + p 3 (1 + i k ) + k=2 k=3 + p 1 (1 + i k ) + p 1 p k k= l=k+1 (1 + i l ) + p Por outro lado, reiteremos, como sempre, a cada período, há o itegral pagameto dos juros devidos, ão há a ocorrêcia de aatocismo A alácia de que Esteja Subjacete o Regime de Juros Simples Ora, poderão argumetar algus céticos, se ão há aatocismo o regime de capitalização subjacete é o de juros simples. Ou seja, visto que ão esteja ocorredo a capitalização de juros sobre a importâcia emprestada, há que esteja sedo (coquato implicitamete) cosiderado o regime de juros simples. Para evideciar a falácia de tal etedimeto, laçaremos mão de um extremamete simples exemplo umérico. Seja o caso ode o empréstimo de R$ ,00 deva ser resgatado mediate o pagameto de duas prestações auais. Tedo sido estipulado que as taxas auais de juros sejam i 1 = i 2 = 10%, e se, arbitrariamete, houver sido acordado etre as partes iteressadas que a primeira parcela de amortização seja a 1 =R$30.000,00, segue-se das relações (2) e (4) que: k=4 l=4 e p 1 = , = R$40.000,00 S 1 = = R$70.000,00 Portato, como, face a relação (3), a 2 =R$70.000,00, tem-se: p 2 = , = R$77.000,00 do que decorre que a dívida seja efetivamete liquidada, pois que S 2 = (1 + 0,1) = 0 Muito embora, tal como aqui umericamete ilustrado, seja obedecida a relação de equivalêcia fiaceira relativa ao regime de juros compostos, expressa pela relação (6), uma vez que (1 + 0,1)(1 + 0,1) = = (1 + 01) a correspodete relação de equivalêcia fiaceira, o regime de juros simples, ão o é, pois que ( ,1) = (1 + 0,1) =

6 Clovis de aro Relação de equivalêcia fiaceira esta que também ão é satisfeita quado se toma como data focal a da cocessão do fiaciameto; já que: (1 + 0,1) ( ,1) = ,30 A coclusão aqui, que, deve ser frisado, idepede do particular exemplo cosiderado, é que o fato de que ão ocorra aatocismo ão implica em que o regime de juros subjacete seja o de juros simples. 3. CASOS PARTICULARES Na prática correte, aqui etre ós, ao meos a data de assiatura do cotrato de fiaciameto, o usual é estabelecer-se que a taxa periódica de juros que será cobrada seja tomada como costate e igual a i. Isto é, a preços da data da assiatura do cotrato, a relação básica de equivalêcia fiaceira etre o valor fiaciado, e a sucessão de prestações periódicas, é tal que (tedo em vista a relação (6)): ou O que implica que 1 (1 + i) = p k (1 + i) k + p (1 + i) = p k (1 + i) k = p k (1 + i) k (9) Cosideremos agora, sucessivamete, três dos esquemas de fiaciameto que são mais frequetemete empregados a ossa realidade Sistema Americao No que se deomia de Sistema Americao (SA), os 1 primeiros períodos somete são pagos os juros devidos ao pricipal ; só havedo amortização quado do pagameto da última prestação. Isto implica em que se teha: Logo a k = 0,k = 1,2,, 1 e a = e e Portato: k S k = a l = para k = 1,2,, 1 S = a = 0 p k = a k + is k 1 = i, para k = 1,2,, 1 (10) p = a + is 1 = + i = (1 + i) (11) 288

7 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo Ou seja, periodicamete, pagam-se somete os juros devidos ao pricipal; só havedo amortização o último período. Ressalte-se que, este caso particular, de uma maeira evidete, só há pagameto de juros sobre o pricipal fiaciado; ão ocorredo, pois, aatocismo. Todavia, como visto o caso geral, o pricípio fiaceiro subjacete é o relativo ao regime de juros compostos Sistema de Amortizações Costates (SAC) azedo-se a k = a para k = 1,2,...,, como a k = a =, tem-se, trivialmete, que: a k =, e S k = k = (1 k) para k = 1,2,, Por outro lado, escrevedo a relação (2) para as épocas k 1 e k, e tedo em vista a relação (5), tem-se que: k 1 : p k 1 = a k 1 + is k 2 = k 2 ( + i k : p k = a k + is k 1 = k 1 ( + i Logo, subtraido-se membro a membro, segue-se que: p k p k 1 = i ) = { + i (k 2) } ) = { + i (k 1) (12) Ou seja, as prestações decrescem segudo uma progressão aritmética, cuja razão é R = i. Sedo que, para k = 1, se tem: p 1 = a 1 + is 0 = ) (i + i = + 1 Novamete, fica evidete que só são pagos juros sobre o pricipal fiaciado, ou sobre uma fração (liearmete decrescete) deste Sistema de Prestações Costates Sedo o sistema de amortização de dívidas mais popular, cosideremos o caso ode seja estabelecido que p 1 = p 2 =... p = p; ou seja, que as prestações sejam todas iguais. Neste caso, da relação de equivalêcia fiaceira, tal como dada por (9), segue-se que: = p } (13) (1 + i) k (9 ) Assim, fazedo-se uso da expressão da soma dos termos de uma progressão geométrica, o caso particular ode a razão e o termo iicial são iguais a (1 + i) 1, tem-se que: [ ] 1 (1 + i) = p i ou p = i [1 (1 + i) ] (14) 289

8 Clovis de aro Quato às parcelas de amortização, escrevedo-se a relação (2) para as épocas k + 1 e k, tem-se: ( ) k k + 1 : a k+1 = p is k = p i a l ( ) k 1 k : a k = p is k 1 = p i a l Portato, subtraido-se membro a membro, segue-se que: ou a k+1 a k = i ( k ) k 1 a l a l = ia k a k+1 = (1 + i)a k (15) Ou seja, as parcelas de amortização crescem segudo uma progressão geométrica de razão igual à soma 1 + i. Sedo que, trivialmete: a 1 = p is 0 = p i = i [(1 + i) 1] (16) Sedo que, visto ocorrer o pagameto periódico dos juros sobre o saldo devedor, uma vez mais fica patete ão haver cobraça de juros sobre juros Uma Variate: O caso da Tabela Price Aqui etre ós, sedo corriqueiro em fiaciametos habitacioais, costuma-se deomiar ser segudo a Tabela Price o caso ode as prestações costates são mesais, a taxa de juros costate é apresetada sob a forma, dita omial, expressa em termos de taxa aual com capitalização mesal, com o prazo sedo de aos. Neste caso, sedo a correspodete taxa mesal efetiva i = j12, ode j deota, sob forma uitária, a taxa omial aual, com capitalização mesal, que teha sido estipulada, tudo se passa como o caso do Sistema de Prestações Costates, com m = 12 prestações mesais. Logo, tedo em vista a relação (14), temos: p = (j12) [1 (1 + j12) m ] (14 ) Valedo, com as adequações acima, as demais relações relativas ao caso do sistema de prestações costates Comparação em Termos dos Respectivos Totais de Juros Cotábeis Não obstate, cosiderada uma mesma taxa periódica de juros i e um mesmo prazo, expresso em um certo úmero de períodos, os três casos particulares aqui cosiderados sejam fiaceiramete equivaletes, 5 pois que são fiaceiramete equivaletes ao mesmo valor fiaciado, coduzem a distitos totais de juros cotábeis. 5 Etretato, do poto de vista do tomador do fiaciameto, a escolha do plao que lhe seja preferível depede da taxa de juros que reflita seu custo de oportuidade. Para uma comparação os casos do SAC e TP, veja-se de aro (1974). 290

9 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo Isto é, defiido-se o total de juros cotábeis, deotado por J, como sedo a difereça etre a soma das prestações e o valor do pricipal fiaciado, ou seja J = p k cada um dos três casos particulares que foram cosiderados apreseta um distito valor para J se > 1. Como, em cada caso, estamos supodo o mesmo pricipal, a comparação pode ser efetuada com base somete a primeira parcela da relação (15). Ou seja, para saber qual dos três sistemas implica o maior pagameto de juros cotábeis, basta cofrotar as respectivas somas das prestações. Comecemos com os casos mais simples; que são, respectivamete, o do Sistema Americao (SA) e o do Sistema de Amortizações Costates (SAC). No caso do SA, temos que o total de prestações, deotado por P 1, é: P 1 = p k = i + = (1 + i) (17) Já o caso do SAC, como as prestações formam uma progressão aritmética, temos que a soma das prestações P 2, é: P 2 = p k = (p 1 + p 2 ) 2 Ora, como já vimos, relação (13), p 1 = (i + 1). Por outro lado, como a última prestação, p, é dada pela soma da amortização costate,, com os juros devidos ao saldo devedor a época 1, saldo devedor este que, de acordo com a relação (5), é também igual a, tem-se que p = (1+i). Portato: { } P 2 = 1 + ( + 1)i 2 (18) Logo: P 1 P 2 = ( 1)i 2 > 0 se > 1 Por coseguite, em igualdade de codições, paga-se um maior total de juros cotábeis o caso de adoção do SA, do que o caso do SAC. 6 Já o caso do Sistema de Prestações Costates ou, o que é o mesmo, com as devidas qualificações, da Tabela Price (TP), tem-se que a soma P 3 das prestações é: P 3 = [1 p k = p = i (1 + i) ] Etretato, a comparação direta tato com P 1 como com P 2, ão é tarefa trivial. Há que se fazer uso do desevolvimeto em série da potêcia (1 + i). Um camiho alterativo, mais ituitivo, para mostrar que o total de juros cotábeis, o caso de adoção da TP, é maior do que quado se adota o SAC, é levar em cota os comportametos das evoluções dos respectivos saldos devedores (estados da dívida). 6 Esta coclusão é trivial. Basta atetar que, equato o SA paga-se sempre juros periódicos sobre o total, o SAC os juros devidos, à exceção dos relativos ao primeiro período, são referetes a frações (liearmete) decrescetes de. 291

10 Clovis de aro Equato que o caso do SAC o saldo devedor decresce livremete, de acordo com a relação S k = (1 k), para k = 1,2,...,, pode-se mostrar que o caso de TP (cf. de aro, 1992, pp ), o saldo devedor decresce segudo uma fução côcava. Deste modo, tratado-se as respectivas evoluções do saldo devedor como uma fução cotíua, temos os comportametos esquematicamete represetados a igura 1. igura 1: Comportametos do Saldo Devedor S k SA 0-1 k Como, em cada caso, p k = a k + is k 1, tem-se que o total P das prestações é: P = p k = (a k + is k 1 ) = + i S k 1 (19) Cosequetemete, fica evidete que, dos três sistemas cosiderados, o que implica o pagameto de maior total de juros cotábeis é o SA; seguido pela TP e, após, pelo SAC De como o BNH Impôs Aatocismo ao SH: O caso do SIMC Como primeiro órgão gestor do Sistema iaceiro de Habitação (SH), o atigo Baco Nacioal de Habitação (BNH), criado em 1964 e extito em 1986, com suas atribuições sedo acometidas à Caixa Ecoômica ederal, foi pródigo ão só em istituir distitas sistemáticas de correção moetária (idexação), mas também diferetes plaos de fiaciameto habitacioal. Assim, ão só tedo itroduzido o SH o SAC, em 1971, o BNH veio a istituir, em 1984 e também o âmbito do SH, o que deomiou de Sistema Misto de Amortização com Prestações Reais Crescetes (SIMC). A característica básica deste, deveras peculiar, sistema de amortização, é que as primeiras 24 prestações mesais deviam ser fixadas, a preços da data de assiatura do cotrato de fiaciameto, em 85% do respectivo valor que, cosiderados o mesmo prazo, em úmero de meses, e a mesma taxa mesal efetiva i, seria determiado segudo o Sistema de Prestações Costates (ou TP). A partir da 25 a prestação, iclusive, as prestações mesais passavam a crescer segudo uma progressão aritmética cuja razão era dada por uma fórmula pré estabelecida (fórmula esta algo esotérica, mas 292

11 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo que era justificada, cosiderada a taxa de juros i, a partir da equivalêcia fiaceira etre a sequêcia das prestações e o pricipal fiaciado ). 7 Ora, tal procedimeto veio a implicar, ao meos para algumas combiações de prazo e de taxa de juros, que o saldo devedor, a preços costates, ão fosse sempre ão crescete. Ou seja, poderia esejar situações ode a codição básica para ausêcia de aatocismo, tal como expressa pela relação (1), fosse violada. Em outras palavras, o BNH, ao istituir o SIMC, veio a oficializar a possibilidade de ocorrêcia de aatocismo o âmbito do SH. A título de ilustração da possibilidade avetada, seja o caso ode =R$ ,00, = 240, meses e i = 1% a.m. Tedo em vista a relação (14) e a característica do SIMC, tem-se que a primeira prestação seria igual a: p 1 = 0, ,01 [1 (1 + 0,01) 240 ] = R$935,92 Por outro lado, como i = 0, =R$1.000,00, teríamos uma situação ode a prestação iicial ão cobriria os juros devidos ao pricipal. Ou seja, formalmete, teríamos uma amortização egativa, com cosequete crescimeto do saldo devedor (face à icorporação dos juros ão cobertos pela prestação). Por coseguite, passaríamos a ter juros devidos a juros; isto é, teríamos a ocorrêcia de aatocismo O CASO DE PRESTAÇÕES EM ATRASO Vejamos agora a situação, que costuma ser frequete e é fote de iterpretações equivocadas, em especial o âmbito do judiciário, em que há a ocorrêcia de prestação em atraso. Em tal situação, para que cotiue havedo a equivalêcia fiaceira etre o valor fiaciado e a ova, face ao atraso, sequêcia de prestações, é iescapável, como iremos mostrar, que além de multas, o que pode ser cosiderado abusivo, haja a cobraça de juros, à taxa i estipulada o cotrato de fiaciameto, sobre qualquer prestação em atraso. Ou seja, em tal evetualidade, para que o devedor ão se locuplete em detrimeto do credor, há que haver a ocorrêcia de aatocismo. Retorado ao caso geral e buscado facilitar a exposição, supoha que ão seja paga, a data devida, a primeira prestação (que deotamos por p 1 ). Admita-se, agora, que a prestação em atraso veha a ser paga, jutamete com a prestação origial p 2, a data de vecimeto desta última (fim do segudo período). Represetado-se por p 2 o valor que deve ser pago o fim do segudo período, e supodo que as demais prestações sejam todas pagas as respectivas datas devidas, e com seus respectivos valores origiais, segue-se que o fiaciameto passa a dever ser resgatado mediate o pagameto da sequêcia de prestações p 1,p 2,p 3,...,p com p 1 = 0 e p k = p k para k = 3,4,...,. Resta, pois, determiar o valor de p 2. Em tal situação, para que seja matida a equivalêcia fiaceira etre o valor fiaciado e a ova sequêcia de prestações, devemos ter (face à relação (8)). = p k k (1 + i l ) 1 = 0 + p 2(1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1 + p k k (1 + i l ) 1 (8 ) k=3 7 Para uma aálise abragete veja-se de aro (op. cit., 1992, pp ). 8 A bem da verdade, em sempre teríamos a ocorrêcia de aatocismo. No caso da ilustração acima, ão teríamos aatocismo se, por exemplo, o prazo fosse iferior a 190 meses. 293

12 Clovis de aro Ora, tedo em vista a sequêcia de prestações origiais, temos que, subtraido, membro a membro, a relação (8 ) da relação (8): do que decorre que 0 = p 1 (1 + i 1 ) 1 + p 2 (1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1 p 2(1 + i 1 ) 1 (1 + i 2 ) 1 ou face à relação (2) p 2 = p 1 (1 + i 2 ) + p 2 p 2 = (a 1 + i 1 )(1 + i 2 ) + p 2 = a 1 (1 + i 2 ) + i 1 (1 + i 2 ) + p 2 ica, pois, patete que, para que seja matida a equivalêcia fiaceira etre o valor fiaciado e a (ova) sequêcia de prestações, a prestação em atraso deve ser acrescida de juros à taxa i 2. Em outras palavras, como o saldo devedor é acrescido de juros sobre juros, há que ocorrer aatocismo. 5. CONCLUSÃO ixado ateção os casos da Tabela Price e do Sistema de Amortização Costates, que são os dois esquemas de amortização de dívidas prevaletes o chamado Sistema iaceiro de Habitação, e também o Sistema Americao, todos eles meros casos particulares do sistema mais geral que estudamos, fez-se aqui isofismável que se coformam com os fudametos do regime de juros compostos. Todavia, o que poderia se afigurar como paradoxal, desde que, em cada um dos três casos, ão haja prestação em atraso, ão há a preseça de aatocismo. Ou seja, em coclusão, coquado aatocismo implica em juros compostos, o regime de juros compostos ão, ecessariamete, acarreta aatocismo. BIBLIOGRAIA de aro, C. (1974). DIVID: Um programa flexível para costrução do estado de uma dívida. Esaios Ecoômicos da EPGE 20, IBREGV. de aro, C. (1992). Vite Aos de BNH. Editoras da Uiversidade ederal lumiese e da udação Getulio Vargas. de aro, C. (2009). Aatocismo: O Direito (a Justiça) e a Matemática iaceira. Revista de Direito do Tribual de Justiça do Estado do Rio de Jaeiro, 80: Colaboração de Sergio Guerra. de aro, C. & Lachtermacher, G. (2012). Itrodução à Matemática iaceira. Editoras GV e Saraiva, Rio de Jaeiro. de Holada erreira, A. B. (1999). Novo Aurélio, O Dicioário da Lígua Portuguesa, Século XXI. Editora Nova roteira. 294

13 Uma Nota Sobre Amortização de Dívidas: Juros Compostos e Aatocismo A. APÊNDICE O CASO DE CONCESSÃO DE CARÊNCIA Etededo-se como havedo carêcia de c períodos, o caso ode a primeira prestação periódica somete seja devida após decorridos c + 1 períodos, com c 1, da data da liberação do fiaciameto, o propósito aqui será o de evideciar que, ão ecessariamete, ter-se-á a ocorrêcia de aatocismo, durate a carêcia. Para fixarmos ideias, cosideremos o caso de um fiaciameto o valor de u.c., à taxa mesal, costate, de 10%, pelo prazo total de 6 meses, com 2 meses de carêcia. Cosiderem-se as duas seguites situações: 1 a primeira, admita-se que teha sido acordado pelas partes iteressadas, que, durate os dois meses do prazo de carêcia, a taxa de 10% a.m. seja de juros simples. Com os pagametos mesais, após a carêcia, seguido o SA a partir do saldo devedor S 2, tal como apurado o fim dos dois meses. Como S 2 = ( ,1) = teremos a seguite sequêcia de prestações: p 1 = p 2 = 0,p 3 = p 4 = p 5 = e p 6 = Nesta evetualidade, como, durate a carêcia, a taxa de juros acordada foi de juros simples, ão houve capitalização de juros. Ou seja, ão houve aatocismo, durate a carêcia. Etretato, como as prestações são calculadas a partir do valor do empréstimo, acrescido dos juros relativos ao prazo de carêcia, temos a preseça de aatocismo a fase de amortização do débito. A questão que se coloca é saber qual a taxa mesal que está implícita esta situação. azedo-se uso de uma calculadora fiaceira, pode-se costatar que a taxa efetiva, de juros compostos, que está subjacete é i = 9,83% a.m. 2 a seguda situação, será suposto que, durate o prazo de carêcia, a taxa de 10% a.m. seja de juros compostos. Neste caso, há a capitalização de juros, com o saldo devedor S 2 passado a ser: S 2 = (1 + 0,1) 2 = Admitido que, agora, tal como a primeira situação se teha a adoção do SA, segue-se que a sequêcia de prestações será: p 1 = p 2 = 0,p 3 = p 4 = p 5 = e p 6 = Sedo que, esta evetualidade, é fácil costatar que a taxa de juros compostos que está implícita é, exatamete, a taxa pactuada de 10% a.m. 295