Sistema francês de amortização: existe controvérsias?

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1 Sistema fracês de amortização: existe cotrovérsias? Alexadre Augusto Gimees Marquez Bacharel em Ciêcias Cotábeis, Especialista em Auditoria, Perícia e Gestão Tributária alexadreperitocotador@hotmail.com Deise de Melo Marquez Bacharel em Ciêcias Cotábeis, Especialista em Cotabilidade e Cotroladoria Cotadora - CRC/MG O marquezdeise@hotmail.com Adeilso Brabosa Soares Professor Assistete da Faculdade de Ciêcias Cotábeis da UFU adeilsobs@hotmail.com Vidigal Ferades Martis Professor Adjuto da Faculdade de Ciêcias Cotábeis da UFU Coselheiro do CRCMG - Cotador CRCMG Brasil vidigal@ufu.br RESUMO O Sistema Fracês de Amortização - SFA, cohecido como método da Tabela Price é objeto disputas judiciais, quato à capitalização ou ão de juros, e o meio acadêmico formou-se duas corretes de pesameto sobre a matéria. O objetivo etão deste trabalho foi demostrar que a fórmula utilizada o SFA decorre dos coceitos de motates a juros capitalizados e da aálise de exemplo aleatório, demostrar aida que o valor dos juros o SFA correspode ao valor dos juros icidetes sobre o saldo do fluxo de moedas em regime de capitalização simples acrescido de juros sobre o saldo acumulado de juros acumulados. O trabalho trascorreu sob o tipo de pesquisa exploratória, e quato aos procedimetos, através de pesquisa bibliográfica. Metodologicamete o estudo se classifica como método dedutivo por itermédio de uma cadeia de raciocíio, de aálise do geral para o particular, com a coclusão quato à capitalização de juros o SFA, Esta se sustetado a relação etre um modelo de soma dos desembolsos de um mutuário e outro um modelo desevolvido pelo método do SFA o qual o mutuário desembolsa uma determiada difereça, modificado uicamete o método do sistema de amortização. Iferido-se que um capital amortizado em prestações mesais iguais é mais oeroso ao mutuário quado praticado pelo SFA em comparação a um Sistema de Amortização a Juros Simples e que tal difereça decorre de capitalização de juros. 80

2 Palavras-Chave: Sistema Fracês de Amortização; Tabela Price; Capitalização. RESUMEN El sistema fracés del amortizació (SFA), coocido como el método de tabla de precios, es objeto de umerosas disputas jurídicas, e relació a la capitalizació o o de itereses, y e el ámbito académico se ha formaro dos corrietes de pesamieto sobre la materia. El objetivo de este estudio es demostrar que la fórmula utilizada e SFA sigue los coceptos de catidades de itereses capitalizados y el aálisis de la muestra aleatoria. Tambié se demuestra que la catidad de iterés e SFA coicide co el valor de los itereses sobre el saldo del flujo moetario e virtud de u iterés simple, más la capitalizació e el saldo acumulado de los itereses devegados. El trabajo realiza ua ivestigació exploratoria sobre procedimietos a través de ua revisió de la literatura. Metodológicamete este estudio se clasifica como deductivo -a través de ua cadea de razoamieto-, del aálisis geeral al particular. La coclusió e relació a la capitalizació de itereses sobre el SFA, se apoya e la relació etre la suma de los desembolsos modelo de u prestatario y otro u modelo desarrollado por la SFA e los que el prestatario paga ua cierta diferecia, sólo la modificació del método de sistema de amortizació. Iferir que u capital amortizado e cuotas mesuales iguales es más costoso para el prestatario cuado se practica por el SFA e comparació co u sistema del simple iterés de Amortizació y que esta diferecia se debe a la capitalizació de itereses. Palabras clave: Sistema de amortizació fracés, Tabla de precios; capitalizació. 1. INTRODUÇÃO O Sistema Fracês de Amortização - SFA é largamete utilizado os empréstimos de Crédito Direto a Cosumidor CDC fiaciameto de veículos, fiaciameto para aquisição da casa própria o âmbito do Sistema Fiaceiro da Habitação SFH e outros mútuos resgatados em parcelas periódicas de igual valor. Além do SFA outros sistemas de amortização são utilizados pelos itegrates do Sistema Fiaceiro Nacioal a cocessão de empréstimos etre os quais o Sistema de Amortização Costate SAC, Sistema de Amortização Crescete - SACRE e Sistema de Amortização Misto SAM. O foco do presete trabalho fica limitado ao SFA. O SFA é objeto de ferrehas disputas o meio judiciário cujo objetivo é cocluir se o método em questão capitaliza ou ão capitaliza juros. No meio acadêmico formou-se duas corretes de pesameto uma que coclui que o SFA ão capitaliza juros e outra correte que coclui que ocorre a capitalização de juros. Em sua clássica apresetação o SFA os juros são calculados período a período e cofrotados com o valor da prestação para se obter a cota de amortização. O saldo devedor correspode sempre ao valor do saldo aterior deduzido do valor da cota de amortização do período. Em face da amortização do saldo devedor e cosequete redução 81

3 da base de cálculo dos juros a cada período tem-se que este método por serem costates as prestações as cotas de amortização são crescete e as cotas de juros são decrescetes. Coforme descrito o parágrafo aterior sem uma aálise profuda ão há como perceber a composição de juros sobre juros, pois aparetemete os juros ão foram agregados ao saldo devedor que em tese sofre ifluêcia somete da cota de amortização. A correte dos que afirmam que o SFA ão capitaliza juros afirmam que se os juros, por serem decotados do valor da prestação, são quitados a cada período e, portato destes ão se cotam ovos juros. Recorrem também ao disposto o art. 354 do Código Civil CC: Havedo capital e juros, o pagameto imputar-se-á primeiro os juros vecidos, e depois o capital, salvo estipulação em cotrário, ou se o credor passar a quitação por cota do capital. BRASIL Bem mais complexo é o raciocíio utilizado para demostrar a capitalização de juros o SFA que precisa se afastar do mecaismo periódico para proceder a uma aálise combiada de todos os elemetos evolvidos o SFA. Os elemetos listados a seguir são utilizados para demostrar a capitalização de juros o SFA. A aálise do fluxo moetário existete etre mutuário e mutuate, qual seja o umerário etregue iicialmete pelo mutate ao mutuário e o resgate deste em prestações periódicas de igual quatia etregues pelo mutuário ao mutuate revela que a soma das prestações importa em valor superior ao capital mutuado, esta difereça decorre da icidêcia de juros que se aaliticamete estudados revelam a capitalização de juros à taxa omial pactuada. Ao fial de cada período o saldo devedor correspode ao saldo fial do período aterior acrescido dos juros e deduzidos do valor da prestação, restado ítida a itegração dos juros ao capital. A fórmula do SFA, a que é utilizada para o cálculo do valor da prestação, a mesma utilizada a elaboração da Tabela Price, decorre da igualdade etre a fórmula do motate de um capital a juros compostos com a fórmula do motate de uma série de pagametos uiformes a juros capitalizados, o que é um forte elemeto para se cocluir pela capitalização de juros. O cálculo tabular do motate de um capital submetido a juros à taxa i em regime de capitalização periódica por períodos resulta em um dado valor que é idêtico ao valor do cálculo tabular do motate das prestações submetidas a juros à taxa em regime de capitalização periódica por períodos. 2. PROBLEMA E OBJETIVO Os cotadores, por sua formação acadêmica, são chamados para atuarem como peritos, para suprir a deficiêcia de cohecimeto técico específico dos magistrados, etre outras, em situações em que ecessário se faz cocluir se o SFA ou método da Tabela Price capitaliza juros, fato suficiete a justificar a dedicação ao tema. Existem duas poderosas corretes de pesameto com fortes argumetos que cocluem em setidos atagôicos, portato, o cotador quado omeado para exercer a fução de perito do juízo deve estar seguro quato a sua covicção técica. 82

4 O objetivo deste trabalho é demostrar a partir de um estudo bibliográfico e de modo empírico/matemático que o SFA capitaliza juros e ao fial apresetar um sistema de amortização a juros simples com prestações costates como modelo alterativo. Em face da proposta, as aálises estarão limitadas aos sistemas com pagametos postecipados. 3. METODOLOGIA Quato à atureza o presete trabalho adotou a metodologia aplicada com o objetivo de gerar cohecimetos para aplicação prática dirigida à solução de problemas específicos. A abordagem utilizada foi quatitativa, pois por tratar-se de uma situação específica da matemática fiaceira objetivou-se a quatificação dos elemetos evolvidos. Do poto de vista de seus objetivos o trabalho adotou a abordagem exploratória por visar proporcioar maior familiaridade com o problema com vistas a torá-lo explícito. Evolveu levatameto bibliográfico e a aálise de exemplos que estimulem a compreesão. Assumiu a forma de Pesquisa Bibliográfica. Quato ao método o estudo adotou a forma de Método Dedutivo, o método proposto pelos racioalistas Descartes, Spioza e Leibiz que pressupõe que só a razão é capaz de levar ao cohecimeto verdadeiro. O raciocíio dedutivo tem o objetivo de explicar o coteúdo das premissas. Por itermédio de uma cadeia de raciocíio em ordem descedete, de aálise do geral para o particular, chega a uma coclusão. Usa o silogismo, costrução lógica para, a partir de duas premissas, retirar uma terceira logicamete decorrete das duas primeiras, deomiada de coclusão. 4. REFERENCIAL TEÓRICO Com repercussão a vida de diversos idivíduos, famílias e empresas os tribuais pátrios tem ofertado decisões coflitates quado a questão é resolver se o Sistema Fracês de Amortização SFA, ou método da Tabela Price, ocorre capitalização de juros, e esta cotrovérsia delimita e justifica o foco do presete trabalho o SFA razão pela qual ão são abordados os demais métodos de amortização a juros compostos. 4.1 Jurisprudêcias em setidos atagôicos No setido de que ocorre capitalização de juros a Tabela Price ou SFA o Voto vecedor da lavra do Miistro Ruy Rosado de Aguiar o Acórdão proferido o Recurso Especial Nº RS (2002/ ) trascreve prouciameto do egrégio Superior Tribual de Justiça - STJ os seguites termos: Não resta dúvida quato à iadmissibilidade da cobraça capitalizada de juros em cotrato viculado ao Sistema Fiaceiro da Habitação, procededo itegralmete a argumetação recursal esse setido. Todavia, mateho a decisão atacada por outros fudametos. É que o mecaismo de amortização mesal dos juros, embutidos o valor da prestação de amortização do capital, gera efeito idêtico ao de capitalização. Esse efeito-capitalização, é cosequêcia de um sistema em que os juros são pagos atecipada ou periodicamete. Especificamete com relação ao Sistema Fiaceiro da Habitação, há previsão expressa de cobraça mesal de juros, coforme art. 6º da Lei º ao dispor que 'ao meos parte do fiaciameto, ou do preço a ser pago, seja amortizado em prestações mesais sucessivas, de igual valor, ates do reajustameto, que icluam amortizações e juros. 83

5 Em setido diverso seja o Acórdão a seguir, ou seja, de que ão ocorre capitalização de juros a Tabela Price, proferido os autos da Apelação Cível AC GO de relatoria da Desembargadora Federal Maria Isabel Galloti Rodrigues em 06/11/ Iexistêcia de capitalização de juros atestada pela perícia. A aplicação da "Tabela Price" ão implica capitalização de juros. Precedetes desta Corte. 4.2 Divergêcias de opiião o meio acadêmico As decisões coflitates os tribuais pátrios decorrem de posicioametos dispares o meio acadêmico o qual se percebe a formação de duas corretes de opiiões, as dos que etedem que o SFA capitaliza juros e a dos que etedem que o SFA ão capitaliza juros. Vários autores se posicioam o setido de que o SFA ão capitaliza juros. No Sistema Fracês de Amortização as prestações são costates, os juros são decrescetes e as amortizações são expoecialmete crescetes ao logo do tempo. Em defesa da validade da adoção da Tabela Price, existe a argumetação de que os juros são calculados sobre o saldo devedor apurado ao fial de cada período imediatamete aterior, e, portato, ão há icidêcia de juros sobre juros. (DEL MAR, 2001). Aida este mesmo setido também se posicioa Luismar Vieira da Motta. Iexiste aatocismo a Tabela Price, quado utilizada como sistema de amortização de empréstimos. As regras dos sistemas de amortização combiadas com o disposto o art. 354 do CPC impedem a capitalização dos juros. Nos empréstimos, a Tabela somete é utilizada para calcular o valor das prestações.(motta, 2006). Aida o meio acadêmico, já em setido diverso, Sadrii (2007), ou seja, o setido de que o SFA capitaliza juros, coclui pela capitalização de juros o SFA. Como se observa, todos os saldos devedores, iguais aos do sistema de amortização Price, cotêm juros e a icidêcia da taxa de juros sobre esses saldos devedores caracteriza a capitalização composta: (1,10)2, (1,10)3, (1,10)4 e (1,10)5. Logo, a capitalização composta o Sistema de Amortização Price está cofirmada. (SANDRINI, 2007, p. 223). Outra cotribuição vem de VIEIRA SOBRINHO o setido de que o SFA cotempla juros em regime de capitalização composta: Nos casos de empréstimos ou fiaciametos para pagameto em parcelas iguais, cujo sistema de cálculo apeas o Brasil é cohecido por Sistema Price ou simplesmete Tabela Price, o valor das prestações é obtido com base o critério de juros compostos. E esse fato pode ser facilmete comprovado, visto que a fórmula utilizada para o cálculo das prestações está demostrada a maioria dos livros de matemática fiaceira. Não teho cohecimeto de um úico país o mudo que adote juros simples para este tipo de cálculo. (VIEIRA SOBRINHO) NTENT_ID=27. Acesso em 19/03/ Coceitos elemetares 84

6 O estudo dos sistemas de amortização carece do estabelecimeto dos coceitos de capital, juros, motate de um capital, motate de uma série de pagametos, regime de capitalização simples e regime de capitalização composta. Uma vez que para a compreesão e dedução das fórmulas do cálculo da prestação os sistemas de amortização se dá mediate a equivalêcia das fórmulas do motate, do capital com o da série de pagametos periódicos e uiformes é preciso domiar estes coceitos. Etede-se por capital, do poto de vista da matemática fiaceira, qualquer valor expresso em moeda e dispoível em determiada época. (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 20). [...] Covém, etretato, esclarecer desde já que a aálise dos problemas, objeto deste volume, o vocábulo capital será usado o setido restrito de diheiro. [...] (CARVALHO, 1975 p. 8). Juro é o retoro fiaceiro obtido por quem formou uma poupaça fiaceira e ão pretede gastá-la hoje. Por outro lado juro é a despesa fiaceira paga por quem ão formou uma poupaça fiaceira e deseja adquirir bes e serviços. (JORDÃO, 2001, p. 40). Juro é a remueração do capital emprestado, podedo ser etedido, de forma simplificada como sedo o aluguel pago pelo uso do diheiro. (VIEIRA SOBRINHO, 1997 p. 19). Os juros podem se apresetar em regimes de capitalização simples ou em regime de capitalização composta. Juros simples é o regime de capitalização e/ou descapitalização ode o capital iicial permaece costate, durate o prazo da operação fiaceira, com uma taxa de juros fixa, ou seja, JUROS = CAPITAL x TAXA DE JUROS x PRAZO. Assim podemos dizer que os juros periódicos, calculados com juros simples (IGUAIS/DESIGUAIS), sedo calculados como uma porcetagem do capital. (JORDÃO, 2001, p. 40). [...] No regime de juros compostos, a remueração ou redimeto gerado pela aplicação será icorporado a ela, passado a participar da geração do redimeto o período seguite. Dizemos etão, que os juros são capitalizados. (SAMANEZ, 1999, p. 11). 4.4 Motates do capital, e de uma série de pagametos a juros simples e a juros compostos De modo geral o motate pode ser costituído a partir de um capital ou de uma série de pagametos, ambos sujeitos a uma determiada taxa de juros que pode ser aplicada em regime de capitalização simples ou em regime de capitalização composta Motate do capital a juros simples No regime de capitalização simples aida que periodicamete a taxa de juros icide sempre sobre o valor do capital iicial, pois os juros assim obtidos são somados ao capital somete ao fial. Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros icide somete sobre o capital iicial; ão icide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de 85

7 capitalização a taxa varia liearmete em fução do tempo, ou seja, se quisermos coverter a taxa diária em mesal, basta multiplicarmos a taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa aual, tedo a mesal, basta multiplicarmos esta por 12, e assim por diate. (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 21) O motate de um capital é igual a soma destes com os juros. Seja a demostração de fórmula a seguir ode: S = motate; P = capital; i = taxa de juros e = úmero de períodos. S = P + J S= P + P x i x, visto que J = P x i x S = P (1 + i x ) (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 24) Motate de uma reda uiforme postecipada a juros simples O motate de uma série de pagametos uiformes submetidos a juros em regime de capitalização simples é dado pela fórmula a seguir ode M é motate P é o valor do pagameto mesal, é o úmero de pagametos e i é a taxa de juros. i( 1) M P 1 2 Se os pagametos fossem postecipados, ter-se-ia, para expressão do motate, otado que a primeira prestação só começa a reder juros a partir da seguda, 1 i 1 P1 i 2... P i P M P 1 1 i... 1 i 2 1 i 1 M P 1 (a) Notado-se que a expressão etre chaves represeta a soma dos termos de uma progressão aritmética crescete, calculado-a de acordo com a fórmula já cohecida. a1 a S 2 acha-se que substituída em (a), dá 1 1 i 1 S 2 M 2 i 1 P. (100) dode 2 2 P M. 2 i 1 para o cálculo da prestação. (CAVALHEIRO, 1979 p. 109) Motate do capital a juros capitalizados No regime de capitalização composta os juros são calculados mediate aplicação da taxa de juros sobre o capital iicial acrescido dos juros até etão calculados os períodos ateriores, ocorre a icidêcia de juros sobre juros, de ode surge a propriedade expoecial do método. Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros icide sobre o capital iicial, acrescido dos juros acumulados até o período aterior. Neste regime de capitalização a taxa varia expoecialmete em fução do tempo. 86

8 O coceito de motate é o mesmo defiido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspodetes ao prazo da aplicação ou da dívida. (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 34). A demostração da fórmula do motate a juros compostos é de grade importâcia para a compreesão da formação do motate em regime de capitalização composta. Diz-se que um capital está colocado a juros compostos ou o regime de capitalização composta, se, o fim de cada período fiaceiro, previamete estipulado, o juro produzido é adicioado ao capital e passa a reder juros. Seja, etão, C um capital, colocado a juros compostos à taxa uitária i relativa a certo período. Sedo Ci o juro produzido o fim do primeiro período, o motate do fim desse período será: C1 = C + Ci = C(1+i). Este resultado mostra que se obtém o motate o fim de um período multiplicadose o capital frutífero o iício desse período pelo fator de capitalização 1+i. (CARVALHO, 1975, p.255) Prosseguido do fial da trascrição acima, aida assim acompahado o raciocíio do referido autor tem-se a seguite evolução para ecotrar a forma do motate de um capital submetido a juros em regime de capitalização composta. 1 C C (1 i) C C(1 i) C C... C C (1 i) C 1 C (1 i) C 2 C (1 i) C C(1 i) C(1 i) 2 3 C(1 i) Assim é que a fórmula do motate de um capital a juros capitalizados é apresetada os compêdios de matemática coforme destacado a seguir, ode M é o motate, k é o M k 1 i capital, i a taxa de juros e o úmero de período Motate de uma série de pagametos uiformes postecipados a juros em regime da capitalização composta Segudo (CARVALHO, 1975) o motate de uma reda é o valor fial de uma reda e correspode a soma dos motates de cada um dos seus termos. O motate de uma reda será obtido a juros capitalizados se cada um dos seus termos reder juros em regime de capitalização. A fórmula do motate de uma reda postecipada submetida a uma taxa i por períodos é obtida pela utilização da formula da soma dos termos de uma progressão geométrica PG ª hipótese: pagametos postecipados Seja P o valor da prestação destiada à formação do motate M, mediate prestações pagas o fim de cada período, sedo i a taxa de juros. É evidete que a primeira prestação só começa a reder juros a partir do segudo período, sedo pois -1 o úmero de períodos de capitalização que lhe correspode. A última prestação ão rede juros, dado que seu pagameto é efetuado o fim do último período. Pode-se etão escrever, como expressão do motate atigido, 87

9 M P i P1 i... P1 i P Podo-se P em evidêcia e ivertedo-se a ordem das parcelas, se obtêm i 1 i... 1 i 1 i 1 M P 1 (a) cuja soma dos termos da progressão geométrica crescete limitada, compreedida etre os colchetes, tem-se por expressão*, sedo 1+i a razão 1 1 i 1 i1 1 i 1 S 1 i 1 i a qual, substituída em (a), dá M 1 i 1 P (105) i *As fórmulas da soma dos termos da progressão geométrica limitadas são, respectivamete, aq a1 S para a crescete, e a1 aq S para a decrescete. q 1 1 q (CAVALHEIRO, 1979 p. 113). 4.5 Método da Tabela Price (sistema de amortização a juros compostos) Com estribo o cohecimeto do motate e dos regimes de capitalização de um capital e de uma série de pagametos uiformes postecipados passa-se ao estudo do SFA. Merece estudo o coceito do Sistema Fracês de Amortização SFA sua origem e a origem e aplicação da Tabela Price este sistema de amortização. A deomiação Sistema de Amortização Fracês origia-se do fato de esse sistema ter sido utilizado iicialmete a Fraça, o século XIX. O sistema caracteriza-se por pagametos do pricipal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas istituições fiaceiras e pelo comércio em geral. Como os juros icidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as prestações são pagas, eles são decrescetes e, cosequetemete, as amortizações do pricipal são crescetes. O Sistema ou Tabela Price tem esse ome em homeagem ao ecoomista iglês Richard Price, que icorporou a teoria dos juros composto às amortizações de empréstimos o século XVIII. Basicamete, a Tabela Price é um caso particular muito utilizado do Sistema de Amortização Fracês, em que a taxa de juros é dada em termos omiais (a pratica é dada em termos auais) e as prestações tem períodos meor que aquele a taxa de juros se refere (em geral, as amortizações são pagas em base mesal). Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito usado-se a taxa proporcioal ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa omial. (SAMANEZ, 2010, p. 156) Em cosoâcia com Samaez (2010), Assaf Neto (1987) cofirma que o sistema de amortização da Tabela Price é um caso específico da Tabela Price: 88

10 O sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) represeta uma variate do sistema fracês. Na realidade, o sistema fracês, desevolvido origialmete pelo iglês Richard Price, assumiu esta deomiação pelo seu uso amplamete geeralizado a Fraça o século passado. O sistema Price, fudametalmete adotado quado os períodos das prestações (ormalmete mesais, mas ão ecessariamete) se apresetam meores que o da taxa de juros, tem como característica básica o uso da taxa proporcioal simples em vez da taxa equivalete composta de juros. (ASSAF NETO, 2002, p. 354) A forma com que é apresetada o Sistema Fracês de Amortização ou o Método da Tabela Price é extremamete lógica, cosistete e sedutora que poucos autores cometam a iclusa capitalização de juros e muitos exaltam seus méritos como sistema de amortização. 10. Crítica ao sistema fracês. Para o devedor é o melhor sistema de pagar, pois orgaiza sua vida ecoômica de modo a poder desicumbir-se de sua obrigação. Para o credor é o melhor sistema se ele se dedica a empréstimo de diheiro. Se ele ão estiver ramo de egócios, recebedo prestações módicas, ão poderá aplica-las ficado, portato sem o capital e sem os juros. Podemos cocluir, portato, covido que o sistema fracês é ótimo, ormalmete, para o devedor e para o credor. Represeta seguraça, certeza o que se deve pagar e o que se deve receber. E é por isso que, geralmete, é ele o mais adotado. (D AMBRÓSIO, 1980 p.206). A fórmula utilizada para o cálculo da prestação o SFA é obtida pela equivalêcia da fórmula do motate de um capital a juros em regime de capitalização composta com a fórmula do motate de uma série de pagametos uiformes e periódicos também a juros em regime de capitalização composta. Seja C o capital da dívida, P a prestação e o úmero de prestações. Coforme vimos o parágrafo (54), o valor defiitivo assumido pelas prestações, pagas o fim de cada período, segudo a fórmula (105), do motate, para o caso de pagametos postecipados, M P 1 i 1 i deve equivaler ao valor fial atigido pelo capital da dívida acrescido dos seus juros compostos, M C1 i. Pode-se etão escrever C 1 i 1 1 i P i da qual se obtêm, para valor da prestação P, i1 i P C 1 i 1 sedo o valor de i1 i 1 i 1 89

11 para capital uitário, dado pela tábua VIII, de Amortização. Para a expressão do capital, pode-se agora obter, a partir de (131) P C ou, que é o mesmo, 1 i C P i1 i i1 1 i 1 i 1 expressão que se calcula facilmete com o uso da tábua VII (CAVALHEIRO, 1979, p.137) De uma forma mais amistosa, a prestação é calculada mediate aplicação da fórmula apresetada a seguir ode, PMT é o valor da prestação, PV é o valor fiaciado, i a taxa de juros e o úmero de prestação, A é a cota de amortização e J é a cota de juros PMT PV i1 i 1 i 1 PMT = A + J É importate otar que a fórmula deste método o compoete expoecial se apreseta de forma ostesiva e decorre da proposta iicial que é a descobrir o valor da prestação (reda) que produz o mesmo motate que um dado capital, ambos submetidos a juros a uma taxa i por períodos em regime de capitalização. 4.6 Amortização a juros simples A amortização, é a extição gradativa de uma dívida, é dita a juros simples quado os juros são praticados em regime de capitalização simples, a dedução da fórmula da prestação mesal é dada pela comparação do motate do capital a juros simples com a fórmula do motate de uma série de pagametos uiformes postecipada submetida a juros simples. A amortização é a operação que cosiste a extição gradativa de uma dívida, por meio de pagametos parcelados, ditos prestações, sedo mais comum o caso em que tais prestações são periódicas e costates. Em toda operação de amortização deve-se cosiderar, além da prestação P da taxa i de juros e do úmero de prestações, o valor iicial C da dívida o ato de levatameto do capital. O valor fial da operação é represetado pela soma de todas as prestações e seus respectivos juros pagos o decorrer da operação e correspodete aos períodos a decorrer, aos - períodos decorridos. Ao valor assim desembolsado, ates do vecimeto, para resgate das prestações a vecer, chama-se valor atual, A, da dívida e represeta a difereça etre o valor fial a ser atigido o tempo e os juros correspodetes às prestações a vecer Dedução das fórmulas para o caso de pagameto postecipados. Para a dedução das fórmulas, cosidere C o capital da dívida, P o valor de uma prestação e o úmero de prestações. Como é claro, o valor defiitivo assumido pelas prestações, pagas o fim de cada período, a partir da formula (100) do motate de uma série de depósitos postecipados, M i( 1) P

12 Deve equivaler ao valor fial atigido pelo capital da dívida acrescido dos seus juros M C 1 i pode-se escrever etão i( 1) C 1 i P 1 2 de que se obtém 1 i P C i para o cálculo das prestações, e i 1 1 C P 2 1 i para o cálculo do capital da dívida. (CAVALHEIRO, 1979, p. 129). Assim, a fórmula de cálculo do valor da prestação costate a juros simples a uma taxa i por períodos para uma melhor visualização pode ser expressa da seguite forma. Pr estação Capital i 1 i É importate otar que a fórmula deste método ão existe ehum compoete expoecial. 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES Nas tabelas que serão apresetados a seguir será feita a apresetação e o estudo de um plao de amortização de um dado capital a uma taxa específica pelo Sistema Fracês de Amortização SFA a uma dada taxa que a sequêcia será estudado mediate o coceito de fluxo moetário para ao fial cocluir pela iclusão de juros em regime de capitalização mesal para etão ofertar em alterativa um plao de amortização do mesmo capital à mesma taxa pelo sistema de amortização a juros simples. 5.1 Estudo prático do SFA ou Método da Tabela Price Estudo da clássica apresetação do SFA A tabela 1 a seguir apreseta o SFA desevolvido para um empréstimo de $ ,00 de uidades moetárias a 15% por período a ser resgatado em 6 prestações iguais o valor de $ ,91 cada uma. 91

13 Tabela 1: SFA Ordem Juros Amortização Prestação Saldo devedor 15% , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,91 0,00 Soma , , ,44 Fote: Elaborado pelo autor. Coforme se verifica a tabela 1 o saldo devedor decorre da composição do valor da prestação e dos juros, mês a mês, e portato diverge do saldo fluxo moetário etre o mutuate e o mutuário Estudo paradigma evideciado o fluxo moetário O fluxo moetário, ou seja, o fluxo de moeda, o objeto do estudo é represetado pela quatidade de moeda movimetado do mutuate para o mutuário quado da etrega do capital emprestado e do mutuário para o mutuate quado dos pagametos das prestações periódicas. Ao cotrário da clássica represetação do SFA coforme apresetado a tabela 1 é possível apresetar o sistema de amortização evideciado o fluxo moetário como base de cálculo dos juros e atigir o mesmo resultado que o sistema fracês de amortização em sua clássica apresetação, coforme se verifica a tabela 2. Tabela 2: SFA e o Fluxo Moetário. A B C D E F G Saldo de Juros sobre o Juros sobre juros saldo do o saldo de acumulados fluxo juros (D + E + F ( moetário acumulados 1)) Saldo do fluxo moetário ,0 Saldo do mútuo (C + F) Fluxo moetário , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,44 0,00 Fote: Elaborado pelo autor Estudo comparativo das formas de apresetação Ates que sejam comparados os valores da tabela 1 com os valores da tabela 2 é ecessário evideciar a coicidêcia do valor dos juros a cada mês a tabela 1 com o 92

14 valor dos juros a cada mês a tabela 2. A tabela 2 em sua colua F apreseta o saldo acumulado de juros ao fial de cada período, sedo certo, portato que os juros de cada período correspodem ao saldo de juros acumulados subtraído do saldo de juros acumulados verificado o período aterior. A tabela 3 a seguir demostra que a evolução dos saldos de juros acumulados apresetada a tabela 2 correspode ao exato valor dos juros calculados mês a mês a tabela 1 da apresetação clássica do SFA e uma vez que a tabela 2 a evolução do saldo de juros decorre de juros simples e de juros sobre o saldo de juros a coclusão é de que todo este mecaismo ocorre a tabela 1 sem ser evideciado. Tabela 3: Evolução Saldos Juros acumulados Juros do período tabela 1 O saldo de juros acumulados tabela 2 Operação Evolução do saldo de juros acumulados , , ,00-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,68 Fote: Elaborado pelo autor. Quado se compara a tabela 2 com a tabela 1 são coicidetes os seguites valores: o valor do capital mutuado, mês a mês, das prestações, dos juros e do saldo mesal do mútuo. A este poto pode-se afirmar que a tabela 1 para todos os efeitos perceptíveis os juros mesais são calculados de forma sigela sobre o saldo devedor do mês aterior que é a composição de prestações e juros, também se pode afirmar que a tabela 2 os juros do mês decorrem do saldo do fluxo moetário e da icidêcia direta e perceptível de juros sobre o saldo de juros, ou seja o que se apreseta a uma primeira aálise como que juros simples a realidade cosiste de juros compostos com a perfeita percepção dos juros icidido sobre juros. Na tabela 4 a seguir veja que o capital de $ ,00 acrescido de juros capitalizados mesalmete de 15% ao mês correspode a soma das prestações, calculadas pelo SFA o valor de $ ,90 cada uma, acrescidas de juros capitalizados de 15% ao mês, ou seja, o mesmo coceito do qual decorre a dedução da fórmula da prestação o SFA, a equivalêcia de dois motes. O coceito aplicado equivale ao Sistema Americao de Amortização em que é criada uma poupaça para amortizar o empréstimo ao fial. Tabela 4: SFA X SAA Capitalização Fator Juros Pricipal + Períodos da taxa capitalizado Pricipal Capitalizados juros 0 6 (1 + 15%) 6 2, , , , (1 + 15%) 5 2, , , , (1 + 15%) 4 1, , , , (1 + 15%) 3 1, , , , (1 + 15%) 2 1, , , , (1 + 15%) 1 1, , , , (1 + 15%) 0 1, ,91 0, , , ,44 0,00 Fote: Elaborado pelo autor. 93

15 Fido o estudo do sistema de amortização a juros compostos deomiado Sistema Fracês de Amortização ou método da Tabela Price como alterativa a sequêcia tem-se estudo aálogo de um sistema de amortização a juros simples com o mesmo capital, taxa de juros e forma de resgate do empréstimo. 5.2 Estudo do sistema de amortização a juros simples Seja etão a fórmula de cálculo da prestação costate para amortização de um capital em prestações periódicas a juros simples à taxa i por períodos, aplicada a um capital de $ ,00 de uidades moetárias a ser resgatado em 6 prestações de igual valor à taxa de 15% por período. 1 i Pr estação Capital i % 6 Pr estação , , % A tabela 5 a seguir apreseta o Sistema de Amortização a Juros Simples, desevolvido para um empréstimo de $ ,00 de uidades moetárias a 15% por período a ser resgatado em 6 prestações iguais o valor de $ ,03 cada uma. Tabela 5: Amortização a Juros Simples Fluxo Saldo do Juros sobre o saldo do Saldo de juros Saldo Moetário fluxo moetário fluxo moetário acumulados do mútuo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,18 0, , ,18 Fote: Elaborado pelo autor. Na tabela 6 a seguir é demostrado que o capital de $ ,00 acrescido de juros simples à taxa de 15% ao mês correspode a soma das prestações, calculadas pelo SFA o valor de $ ,03 cada uma, acrescidas de juros simples de 15% ao mês, durate 6 períodos. O coceito aplicado equivale ao Sistema Americao de Amortização em que é criado uma poupaça para amortizar o empréstimo ao fial. Tabela 6: Juros Simples X SFA X SAA Períodos Composição Taxa o Juros Pricipal Ordem para o fial da taxa período Pricipal Capitalizados + juros % x 6 90,00% , , , % x 5 75,00% , , , % x 4 60,00% , , , % x 3 45,00% , , , % x 2 30,00% , , ,94 94

16 5 1 15% x 1 15,00% , , , % x 0 0,00% ,03 0, , , ,18 0,00 Fote: Elaborado pelo autor. Como restou evideciado, o modelo de amortização a juros simples em mometo algum os juros itegram a composição da base de cálculo dos juros dos períodos seguites, em resumo, ão capitaliza juros. 6. CONCLUSÃO No que cocere às fórmulas ieretes ao SFA as mesmas tem origem a equivalêcia das fórmulas do motate de um capital submetido a juros em regime de capitalização composta com a fórmula do motate de uma série pagametos uiformes a juros em regime de capitalização composta, para respoder qual o valor de prestação que ao fial de determiado tempo produz o mesmo motate que o capital. Se a cada período, a apresetação clássica o método da Tabela Price, o saldo devedor é igual ao saldo devedor aterior deduzido da cota de amortização ode esta é igual a prestação deduzida dos juros, tem-se que o saldo devedor, base de cálculo dos juros, por substituição, correspode ao saldo aterior acrescido dos juros e deduzido da prestação, mecaismo que evidecia a icidêcia de juros sobre juros. De forma tabular restou demostrado que os juros calculados periodicamete o SFA correspodem a evolução do saldo de juros calculados sobre os saldo de fluxo moetário acrescido de juros sobre o saldo de juros do mês aterior (Tabela 3). Aida de forma tabular restou demostrado que o motate do capital a juros capitalizado é igual ao motate das prestações a juros capitalizados (Tabela 4). De forma mais icisiva do estudo resulta que a cada período os juros sobre o saldo aterior, correspodem ao valor dos juros ateriormete acrescidos ao saldo aterior, acrescido de juros sobre si, deduzido o valor dos juros da prestação abatida do saldo aterior. De forma equivalete, a cada período, os juros do período correspodem ao valor dos juros o primeiro mês, acrescido de juros capitalizados por p períodos meos 1 e deduzido o valor dos juros capitalizados por p períodos meos 1 sobre o valor da prestação. Tabela 7: Saldo Comparativo Juro sobre juros do período aterior Juros sobre prestação Juros período atual Taxa capitalizada de juros {(1+i) (p-1) -1} Juros dos juros 1º PERÍODO Juros do período Juros da prestação , , , , ,46 15,0000% , , , , , ,60 32,2500% , , , , , ,85 52,0875% , , , ,84 74,9006% , , , ,68 101,1357% ,58 Fote: Elaborado pelo autor , , , , , ,68 95

17 No quadro aterior tem-se que: Sd (p) = Sd (p-1) + J (p) P Sd (p) = Sd (p-1) + Sd (p-1) i P Sd (p) =Sd (p-1) + {Sd (p-2) + J (p-1) P } i - P Sd (p) =Sd (p-1) + Sd (p-2) i + J (p-1) i P i P Sd (p) =Sd (p-1) + J (p-1) + J (p-1) i P i P Ode os juros de ordem aterior multiplicado pela taxa caracterizam juros de juros. Da demostração supra também é possível cocluir que: J (p) = J (p-1) + J (p-1) i P i, e que, J (p) = J (1) + J (1) {(1+i) (p-1) -1} P {(1+i) (p-1) -1} Fido o estudo dos plaos de amortização a juros compostos pelo SFA, restou demostrada a visível capitalização de juros. Em alterativa ao modelo de amortização a juros em regime de capitalização composta SFA, ou método da Tabela Price, foi apresetado o Sistema de Amortização a Juros Simples o qual a fórmula que defie o valor da prestação decorre da equivalêcia da fórmula do motate de um capital a juros simples com a fórmula do motate de uma série de pagametos a juros simples. Tomado-se como base os mesmos valores, premissas de cálculo, utilizados o exemplo submetido às regras do SFA, para aplicar a fórmula do Sistema de Amortização a Juros Simples, que foram apresetados a Tabela 4. Na Tabela 5 restou demostrado que o valor do motate das prestações submetidas a juros simples produz é igual ao valor do motate do capital submetido a juros simples. No modelo apresetado o quadro 5 a soma dos desembolsos do mutuário totalizam $ ,18 equato que o modelo desevolvido o quadro 1 pelo método do SFA o mutuário desembolsa a quatia de $ ,44 e uma vez que os dois casos a úica variável que mudou foi o método do sistema de amortização pode-se iferir que um capital de $ ,00 amortizado em 6 prestações mesais iguais a juros de 15% a.m. é $ ,26 mais oeroso ao mutuário quado praticado pelo SFA em comparação a um Sistema de Amortização a Juros Simples e que tal difereça decorre de capitalização de juros. 7. REFERÊNCIAS ASSAF NETO, Alexadre. Matemática fiaceira e suas aplicações. 7ª ed. São Paulo: Atlas, BRASIL. Lei º , de 10 de jaeiro de Código Civil. Diário Oficial da Uião - República Federat1va do Brasil, Brasília, DF, 11 de ja. de Dispoível em: < Acesso em 27/03/2013. BRASIL. Supremo Tribual Federal. Resp RS 2002/ , Relator: Miistro RUY ROSADO DE AGUIAR em 31/03/2003 T4 QUARTA TURMA, publicado o DJ p. 205 RSTJ vol. 182 p Dispoível em: 96

18 < BRASIL. TRIBUNAL REGIONAL FEDERAL DA 1ª REGIÃO, AC GO Relator: Desembargadora Federa Maria Isabel Galloti Rodrigues, SEXTA TURMA em 06/11/2006. Publicado em 27/11/2006 DJ p. 83. Dispoível em: < trf1>. Acesso em: 27/03/2013. CARVALHO, Thales de Mello. Matemática Comercial e Fiaceira: complemetos de matemática. 3ª ed. Rio de Jaeiro: /FENAME, CAVALHEIRO, Luiz A. F. Elemetos de Matemática Fiaceira: operações a curto e logo prazo 3. ed. Rio de Jaeiro: Ed Fudação Getúlio Vargas, CAVALHEIRO, Luiz A. F.. Elemetos de matemática fiaceira. 12 ed. Rio de Jaeiro: Editora da Fudação Getúlio Vargas, DEL MAR, Carlos Pito. Aspectos Jurídicos da Tabela Price. 1 ed São Paulo: Jurídica Brasileira. D AMBRÓSIO, Nicolau. Matemática comercial e fiaceira: com complemetos de matemática fiaceira e itrodução ao cálculo. 28 ed. São Paulo: Ed. Nacioal, FARO, Clovis de. Matemática Fiaceira. 5ª ed. Rio de Jaeiros: APEC EDITORA S/A, MOTTA, Luismar Vieira Da. Tabela Price as duas realidades da capitalização dos juros. Iformativo Bimestral do Coselho Regioal de Admiistração de Mias Gerais,. 11, p. 6, fev./mar PIRES, Marco Atôio Amaral. JUROS TABELA PRICE Discussão o âmbito da perícia cotábil, Revista Brasileira de Cotabilidade,.155, set./out. de 2005, ISSN SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Fiaceira 5ª ed. São Paulo: Pearso Pretice Hall, SANDRINI, Jackso Ciro. Sistemas de amortização de empréstimos e a capitalização de juros: aálise dos aspectos fiaceiros e patrimoiais Dissertação (Mestrado em Cotabilidade) - Setor de Ciêcias Sociais Aplicadas - Curso de Pós-graduação em Cotabilidade, UFP, Curitiba. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Fiaceira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, A capitalização dos juros e o coceito de aatocismo Site do Sidicato dos Ecoomistas do Estado de São Paulo - _ID=27. Acesso em: 26 mar