1 Derivação sob o sinal de integral

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1 UFPR - Universidde Federl do Prná Setor de Ciênis Exts Deprtmento de Mtemáti CM048 - Cálulo II - Mtemáti Diurno Prof. Ze Eidm Nosso objetivo n primeir prte dests nots é provr que pr um função sufiientemente regulr s derivds priis mists f x y e f yx oinidem. 1 Derivção sob o sinl de integrl Sejm D R 2 berto, f : D R um função de lsse C 1 em D e [,b] [,d] D. Considere função φ : [,b] R dd por φ(x) = f (x, y)d y. A função φ é hmd de integrl dependendo do prâmetro x. Gostrímos de lulr derivd de φ. Por exemplo, se f (x, y) é som de funções do tipo g (x)h(y), então, evidentemente, temos φ(x) = g (x) h(y)d y, portnto dφ dx = dg dx dg b h(y)d y = dx h(y)d y = f (x, y)d y. (1) x Isso mostr que s operções de derivção em relção x e integrção em relção y omutm no so em que f é um som de funções do tipo nterior. Um bordgem semelhnte à nterior pode ser usd no so mis gerl. Nest situção, podemos proximr integrl por um som de Riemnn φ(x) = f (x, y)d y j f (x, y j ) y j, onde = y 0 < y 1 <... < y n = b é um prtição de [,b], y [y j j 1, y j ] e y j = y j y j 1, j = 1,...,n. Abusndo d fé, onluímos que dφ dx f j x (x, y j ) y j. Como últim som é um som de Riemnn pr função f x, fzendo y j 0, onluímos que fórmul (2) deve vler tmbém neste so mis gerl. Ns ondições nteriores, vle o resultdo bixo. Teorem 1 (Derivção sob o sinl de integrl) Derivção em relção x e integrção em relção y omutm, i.e., d b f f (x, y)d y = (x, y)d y. dx x 1

2 Dd um função f : D R de lsse C 2 sejm (x 0, y 0 ) D, B um diso fehdo entrdo em (x 0, y 0 ) ontido em D e (x, y) D. Pelo teorem fundmentl do álulo em um vriável, temos que x f (x, y) = f (x 0, y) + f x (t, y)dt. x 0 Derivndo expressão im em relção à y, obtemos x f y (x, y) = f y (x 0, y) + f x y (t, y)dt ; x 0 derivndo em relção x e usndo o teorem fundmentl do álulo, obtemos f yx (x, y) = f x y (x, y). Como (x, y) é rbitrário em D, onluímos que f x y = f yx. Teorem 2 (Shwrz/Clirut) Se f : D R é de lsse C 2 então f x y = f yx. Como onsequêni do teorem nterior, podemos observr que pr um função de lsse C 3, temos f xx y = f x yx = f yxx, f x y y = f yx y = f y yx, pr um função de lsse C 4 temos f x yx y = f x y yx = f xx y y, e ssim por dinte. 2 A fórmul de Tylor em dus vriáveis Nest seção, veremos omo s derivds de ordem superior de um função podem ser utilizds pr estudr seu omportmento. Embor os resultdos qui trblhdos possm ser feitos utilizndo derivds de ordens miores, vmos estudr fórmul de Tylor e sus onsequênis pens em ordem 2. Iniilmente, lembrmos que se φ é um função rel de um vriável de lsse C 2 definid em um intervlo berto I ontendo t 0, então φ(t 0 + h) = φ(t 0 ) + φ (t 0 )h + r 1 (h)e φ(t 0 + h) = φ(t 0 ) + φ (t 0 )h + φ (t 0 )h 2 + r 2 (h) onde r 1,r 2 são funções tis que lim h 0 r 1 (h)/h = lim h 0 r 2 (h)/h 2 = 0 qundo t t 0. A segund fórmul im é hmd de fórmul de Tylor om resto infinitesiml (de gru 2). Um plição muito importnte dest fórmul im oorre qundo t 0 é um ponto rítio não-degenerdo de φ, i.e., φ (t 0 ) = 0 e φ (t 0 ) 0. Neste so, é fáil ver que φ(t 0 + h) φ(t 0 ) é essenilmente um função qudráti om onvidde dependendo do sinl de φ (t 0 ). Em prtiulr, podemos determinr se t 0 é um ponto de máximo ou mínimo lol. A questão entrl é sber se existe um fórmul nálog às fórmuls im pr funções de dus vriáveis. Vmos estudr est questão mis de perto. Sejm f : D R um função de lsse C 2 definid no berto D R 2 e (x 0, y 0 ) D. Como f é difereniável, vle f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0, y 0 ) + { f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k + r (h,k), onde r (h,k)/ h 2 + k 2 0 qundo (h,k) (0,0). Como omentmos nteriormente, expressão que pree im entre hves é hmd de derivd de f no ponto (x 0, y 0 ) n direção (h,k) e é denotd por d f (x 0, y 0 ) (h,k). Assim, fórmul im pode ser reesrit omo f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0, y 0 ) + d f (x 0, y 0 ) (h,k) + r (h,k). 2

3 Vejmos omo podemos utilizr s derivds priis segunds pr estudr f. Considere, pr (h, k) fixdo sufiientemente pequeno, função φ : t f (x 0 + th, y 0 + tk), definid pr t pequeno. Pel regr d dei, temos φ(0) = f (x 0, y 0 ) e φ (t) = f x (x 0 +th, y 0 +tk)h+f y (x 0 +th, y 0 +tk)k; em prtiulr, φ (0) = f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k. Além disso, pelo teorem de Shwrz, φ (0) = f xx (x 0, y 0 )h 2 + 2f x y (x 0, y 0 )hk + f y y (x 0, y 0 )k 2. A expressão im é um função qudráti de dus vriáveis e pode ser esrit em form mtriil omo ( ) ( )( ) f h k xx (x 0, y 0 ) f x y (x 0, y 0 ) h. (2) f x y (x 0, y 0 ) f y y (x 0, y 0 ) k A mtriz 2 2 que pree im é muito importnte no estudo de pontos rítios e é hmd de mtriz hessin de f no ponto (x 0, y 0 ) e denotd por Hf (x 0, y 0 ). A expressão im é denotd por d 2 f (x 0, y 0 ) (h,k) 2, por onveniêni. Aplindo fórmul de Tylor à função φ no ponto t = 0, om um pouo mis de esforço, obtemos 1 f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0, y 0 ) + d f (x 0, y 0 ) (h,k) + d 2 f (x 0, y 0 ) (h,k) 2 + r (h,k), onde r (h,k)/ (h,k) 2 0 qundo (h,k) 0. Est fórmul é hmd de fórmul de Tylor om resto infinitesiml (de gru 2) em dus vriáveis. 3 Máximos e mínimos em onjuntos bertos Como no so de funções de um vriável, fórmul de Tylor de ordem 2 pode ser usd pr estudr pontos rítios de um função de dus vriáveis. Antes de mis nd, fixemos nomenltur. Dd f : D R de lsse C 2 definid em um berto D R 2 e (x 0, y 0 ) D, dizemos que (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo lol (respetivmente, mínimo lol) pr f se existe um diso fehdo B D entrdo em (x 0, y 0 ) tl que f (x, y) f (x 0, y 0 ) (respetivmente, f (x, y) f (x 0, y 0 )) pr todo (x, y) B D. Se lgum ds desigulddes nteriores vler pr todo (x, y) D, substituímos o djetivo lol por globl. Os pontos de máximo ou mínimo lol (respetivmente, globl) são hmdos generimente de extremntes lois (respetivmente, extremntes globis). Exemplos simples omo f (x, y) = x, (x, y) R 2, mostrm que um função pode não dmitir extremntes lois nem globis. A próxim proposição dá um bo di sobre onde omeçr prourr. Proposição 3 Sej f : D R um função definid em um berto D R 2 e (x 0, y 0 ) D um extremnte lol pr f. Se existem f x (x 0, y 0 ) e f y (x 0, y 0 ) então f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0. Sendo ssim, os extremntes lois de um função de lsse C 1 em um berto são pontos onde mbs s derivds priis se nulm. Tis pontos reebem um nome espeil. Definição 4 Se f : D R é um função de lsse C 1 definid em um berto D R 2. Um ponto (x 0, y 0 ) D é dito ponto rítio pr f se f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0. 1 O resultdo qui utilizdo é o seguinte: Se r é um função de lsse C 2 definid em um berto ontendo origem, então r (h,k) r e tods s sus derivds priis de ordem 2 se nulm n origem se e só se lim (h,k) (0,0) (h,k) 2 = 0. 3

4 Sendo ssim, os extremntes lois (e globis) de um função de lsse C 1 definid em um berto são pontos rítios de f. O exemplo lássio de ponto rítio que não é extremnte lol é desrito bixo. Exemplo 5 Sejm f (x, y) = y 2 x 2 e (x, y) R 2. Evidentemente, o únio ponto rítio de f é (0,0), ms este não é um extremnte lol, pois (0,0) é ponto de mínimo globl pr restrição de f o eixo x e máximo globl pr restrição de f o eixo y. Sej (x 0, y 0 ) um ponto rítio pr função f de lsse C 2. Aplindo fórmul de Tylor de gru 2 pr f, obtemos pr todo (h, k) sufiientemente pequeno, f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 )h 2 + 2f x y (x 0, y 0 )hk + f y y (x 0, y 0 )k 2 + r (h,k) = d 2 f (x 0, y 0 ) (h,k) 2 + r (h,k), (3) onde r (h,k)/ (h,k) 2 0 qundo (h,k) 0. Se expressão qudráti im tiver um sinl definido pr (h,k) pequeno, temos indição de que este será o sinl de f (x 0 +h, y 0 +k) f (x 0, y 0 ), um vez que r (h,k) é muito pequeno qundo omprdo om (h,k) 2. Isso nos lev pensr em um ritério que permit deidir se um função qudráti de dus vriáveis tem sinl definido perto d origem. Lem 6 Sej F (h,k) = h 2 + 2bhk + k 2, onde,b, R são fixdos. 1. O únio ponto rítio de F é (0,0); 2. Se > 0 e b 2 > 0 então F (h,k) > 0 pr todo (h,k) (0,0). Neste so, existe um onstnte positiv α (dependendo somente de,b,) tl que F (h,k) α(h 2 + k 2 ) pr todo (h,k) R 2 ; 3. Se < 0 e b 2 > 0 então F (h,k) < 0 pr todo (h,k) (0,0). Neste so, existe um onstnte positiv β (dependendo somente de,b,) tl que F (h,k) β(h 2 + k 2 ) pr todo (h,k) R 2 ; 4. Se b 2 < 0 então o sinl de F sobre ret h = b k é ontrário o sinl de F sobre ret k = 0. Prov. O so = 0 pode ser nlisdo diretmente prtir d expressão d função F. Se 0, ompletndo qudrdos obtemos F (h,k) = (h + b ) 2 k b2 + k 2. As firmções feits respeito de positividde deorrem d expressão im. Pr obter s onstntes α e β, bst observr que função F (h,k) é homogêne de gru 2, portnto, podemos tomr α = min h 2 +k 2 =1 F (h,k) e β = mx h 2 +k 2 =1 F (h,k). No so em que estmos interessdos, os oefiientes, b, são s derivds priis segunds de f em (x 0, y 0 ). Se (x 0, y 0 ) é de fto um extremnte lol pr f então onsiderndo s restrições x f (x, y 0 ) e y f (x 0, y), temos, do álulo de um vriável que os números f xx (x 0, y 0 ) e f y y (x 0, y 0 ) podem ser um deles ou mbos nulos, ms nun podem ter sinis ontrários. Dito de outr form, temos que f xx (x 0, y 0 )f y y (x 0, y 0 ) 0. Se, o ontrário disso, tivéssemos que f xx (x 0, y 0 )f y y (x 0, y 0 ) < 0, então, evidentemente o determinnte d mtriz Hessin Hf (x 0, y 0 ) seri negtivo. Portnto (x 0, y 0 ) seri máximo lol em um direção e mínimo lol em outr direção, e portnto, não poderi ser extremnte lol de f. Est situção é bstnte omum e inspir definição bixo (onforme o exemplo (5).) 4

5 Definição 7 Dizemos que (x 0, y 0 ) é ponto de sel pr f se dethf (x 0, y 0 ) < 0. Tods ests observções nos permitem onluir o teorem bixo. Teorem 8 Sej f : D R de lsse C 2 definid em um berto D R 2 e (x 0, y 0 ) D um ponto rítio de f. São verddeirs s seguintes firmções: 1. Se f xx (x 0, y 0 ) > 0 e dethf (x 0, y 0 ) > 0 então (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo lol; 2. Se f xx (x 0, y 0 ) < 0 e dethf (x 0, y 0 ) > 0 então (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo lol; 3. Se dethf (x 0, y 0 ) < 0 então existe um direção o longo d qul (x 0, y 0 ) é ponto de máximo lol e outr direção o longo d qul (x 0, y 0 ) é ponto de mínimo lol 4. Se dethf (x 0, y 0 ) = 0, nd se pode firmr. Prov. Observndo equção (3) e propriedde que rteriz função r, podemos esrever g (h,k) = r (h,k) h 2 + k 2 e observr que r (h,k) = F (h,k)(h2 + k 2 ) e g (h,k) 0 qundo (h,k) 0. Se f xx (x 0, y 0 ) > 0, então pelo primeiro ítem do lem (6), obtemos α > 0 tl que d 2 f (x 0, y 0 ) (h,k) 2 α(h 2 + k 2 ) pr todo (h,k) R 2. Logo, f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) = d 2 f (x 0, y 0 ) (h,k) 2 + r (h,k) (α + g (h,k))(h 2 + k 2 ). Como g (h, k) 0 qundo (h, k) 0, segue que existe δ > 0 tl que pr todo (h, k) om (h, k) < δ, tem-se α + g (h,k) > 0, portnto, f (x 0 + h, y 0 + k) f (x 0, y 0 ) se (h,k) < δ. Isso signifi que (x 0, y 0 ) é um mínimo lol. A situção é ompletmente nálog pr o so de máximo lol. Observção 9 (Pr quem entende de álgebr liner) O teorem nterior mostr que o omportmento de f num vizinhnç de um ponto rítio stisfzendo s ondições do enunido é essenilmente o omportmento d função qudráti d 2 f (x 0, y 0 ) (h,k) 2. = fxx (x 0, y 0 )h 2 + 2f x y (x 0, y 0 )hk + f y y (x 0, y 0 )k 2. Como observmos nteriormente (vej expressão (2)), est função pode ser esrit omo G(u) = u, Hu, onde u = (h,k),, denot o produto interno usul e H é operdor liner em R 2 uj mtriz n bse nôni é mtriz hessin de f no ponto (x 0, y 0 ). Podemos estudr o sinl d função G usndo ferrments de álgebr liner. Lembrmos que, omo mtriz hessin é simétri, então seus utovlores são mbos reis, digmos λ 1,λ 2. Os utovlores são rízes d equção polinomil det(h λi ) = 0. É bem sbido que est equção polinomil pode ser esrit omo λ 2 (tr H)λ + det H = 0, onde tr H denot o trço de H. Assim, λ 1 λ 2 = det H e λ 1 +λ 2 = tr H. No so det H > 0, segue que λ 1,λ 2 são não-nulos de mesmo sinl. Se ssumirmos que f xx (x 0, y 0 ) > 0 então neessrimente f y y (x 0, y 0 ) > 0 (senão, não terímos det H > 0!), e portnto tr H > 0. A reípro tmbém é verddeir, pois se ssumirmos que tr H > 0, então, omo det H > 0, os números f xx (x 0, y 0 ) e f y y (x 0, y 0 ) > 0 devem ter 5

6 o mesmo sinl. Como 0 < tr H = f xx (x 0, y 0 ) + f y y (x 0, y 0 ), segue que f xx (x 0, y 0 ) > 0 e f y y (x 0, y 0 ) > 0. Portnto, hipótese f xx (x 0, y 0 ) > 0 (f xx (x 0, y 0 ) < 0)no primeiro (segundo) ítem do teorem pode ser substituíd por tr H > 0 (tr H > 0). Se λ 1 = λ 2 = λ, então T = λi, e, portnto, positividde d função G depende somente do sinl de λ. Cso λ 1 λ 2, podemos tomr vetores unitários u 1,u 2 R 2 tis que Tu 1 = λ 1 u 1 e Tu 2 = λ 2 u 2. Como H é simétri, segue que u 1 e u 2 são ortogonis, e portnto, {u 1,u 2 é um bse ortonorml de R 2. Ddo u R 2, esrevendo u = x 1 u 1 + x 2 u 2, temos então G(u) = λ 1 x λ 2x 2 2. No so det H > 0, temos que λ 1,λ 2 têm o mesmo sinl, e portnto, segue imeditmente d expressão im que (0,0) é um ponto de máximo lol se λ 1 < 0 e mínimo lol se λ 1 > 0. Se det H < 0 então λ 1 e λ 2 têm sinis distintos, digmos λ 1 > 0 e λ 2 < 0, portnto, G dmite um mínimo em (0,0) qundo restrit à ret x 2 = 0 e um máximo em (0,0) qundo restrit à ret x 1 = 0. Se det H = 0 então λ 1 = 0 ou λ 2 = 0. Exemplos distintos dest situção são G(u) = x1 2 (mínimo) e G(u) = x2 2 (máximo); evidentemente, nd se pode firmr sobre nturez do ponto rítio nest ondição. 4 Máximos e mínimos em onjuntos omptos Como vimos nteriormente, nd grnte que um função definid em um berto dmit extremntes lois ou globis, porém, em diverss situções prátis, seri muito onveniente diionr pontos o domínio pr que função dmit extremntes. Por exemplo, função f (x, y) = x não dmite extremntes no domínio D = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1, ms se diionrmos s bords D, observmos que os pontos d form (0, y), 0 y 1, são mínimos globis e os pontos d form (1, y), 0 y 1, são máximos globis. Evidentemente, não se pode esperr muito no so em que f sej desontínu; por exemplo, f (x, y) = (x 2 + y 2 ) 1, f (0,0) = 0, definid no diso de entro (0,0) e rio 1 não dmite máximos lois. A função f (x, y) = (x 2 + y 2 ) 1 definid no domínio R 2 \ {(0,0) não dmite nem máximos nem mínimos lois, ms é ontínu. Assim, vemos que ontinuidde de f, limitção do domínio e inlusão ds bords no onjunto são ondições que, sozinhs, não bstm pr grntir existêni de extremntes pr f. Por isso, pr enontrr ondições que grntm existêni de extremntes, devemos brir mão de onsiderr pens funções definids em bertos e pssr onsiderr funções definids em domínios genérios de R 2. Fixemos lgums notções. Dd f : D R de lsse C 2 definid em um domínio D R 2 e (x 0, y 0 ) D, dizemos que (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo lol (respetivmente, mínimo lol) pr f se existe um diso fehdo B D entrdo em (x 0, y 0 ) tl que f (x, y) f (x 0, y 0 ) (respetivmente, f (x, y) f (x 0, y 0 )) pr todo (x, y) B D. Se lgum ds desigulddes nteriores vler pr todo (x, y) D, substituímos o djetivo lol por globl. Os pontos de máximo ou mínimo lol (respetivmente, globl) são hmdos generimente de extremntes lois (respetivmente, extremntes globis). O teorem bixo estbelee um lsse de funções e domínios pr os quis podemos grntir, em gerl, existêni de extremntes. Teorem 10 (Weierstrss) Se D é um onjunto fehdo e limitdo e f : D R é ontínu então existem (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ) D tis que f (x 0, y 0 ) f (x, y) f (x 1, y 1 ) pr todo (x, y) D. Em prtiulr, (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo globl pr f e (x 1, y 1 ) é um ponto de máximo globl pr f. 6

7 O enunido e demonstrção do resultdo im são muito relevntes do ponto de vist do desenvolvimento oneitul do Cálulo e d Análise Mtemáti. Este resultdo foi enunido e provdo somente no séulo XIX pelo mtemátio lemão Krl Weierstrss e ilustr bem o método fmoso de ç o leão. Um onjunto fehdo e limitdo em R 2 é dito ompto. Um tipo de problem muito omum é o de determinr os extremntes lois/globis de um função de lsse C 2 em um diso fehdo ou em um retângulo fehdo. Pelo teorem de Weierstrss, sbemos que estes extremntes sempre existem, por isso, seprmos bus em dus etps: em um dels, prourmos os máximos/mínimos no interior do onjunto utilizndo o teorem (8) e n outr, estudmos função n fronteir do onjunto. A próxim seção fornee um método pr segund etp. 5 Exeríios Exeríio 1 Considere f : [,b] [,d] R ontínu e defin pr x [,b]. g (x) = f (x, y)d y, 1. Mostre que g é ontínu. Em prtiulr, podemos onsiderr g (x)dx = { f (x, y)d y dx. 2. Considere h(y) = f (x, y)dx; o mesmo rgumento usdo pr g prov que h é ontínu, e { portnto, tmbém podemos onsiderr h(y)d y = f (x, y)dx d y. 3. Vmos provr que s integris dos ítens (1) e (2) oinidem. Pr isto, onsidere φ(y) = { y f (x, t)dt dx, pr y [,d]. Mostre que φ é difereniável e φ (y) = f (x, y)dx. 4. Use o teorem fundmentl do álulo pr φ n form φ(d) = φ() + que { { f (x, y)d y dx = f (x, y)dx d y. φ (t)dt pr onluir 7