INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP

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1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Equipe de Cálculo Numérico do MAP/IME/USP Nests nots desenvolveremos teori d prte finl do curso, escolendo lguns cminos lterntivos à referênci principl, que já são dotdos ns uls por lguns professores d disciplin de Cálculo Numérico d Poli. N primeir prte desenvolvemos o núcleo básico previsto bitulmente no progrm do curso. Depois desenvolvemos lguns complementos, que podem ou não ser proveitdos durnte o curso. 1 Polinômios interpoldores Diremos que um polinômio p de um vriável rel tem gru n se p for som de termos k x k com k n (mesmo que n sej zero). O conjunto de polinômios de gru n, munido d som e d multiplicção por número rel bituis, é um espço vetoril, que denotremos por P n. Começmos pel seguinte proposição. Proposição 1. Pr todo n 0 vle: todo polinômio de gru n que se nul em n + 1 pontos distintos é nulo. Demonstrção. É imedito que todo polinômio de gru 0 que se nul em 1 ponto é nulo. Portnto firmção é válid pr n = 0. Agor vmos provr que se n 1 e firmção é válid pr n 1 então el tem que ser válid pr n (método de indução). Ou sej, vmos dmitir, por ipótese de indução, que todo polinômio de gru n 1 que se nul em n pontos distintos é necessrimente nulo. Tomemos um polinômio p de gru n que se nul em n + 1 pontos distintos. Pelo Teorem de Rolle, entre dois pontos de nulmento de p existe um ponto crítico de p, isto é, um ponto de nulmento de p. Então p se nul, necessrimente, em n pontos. Pel ipótese de indução, p é nulo. Logo p é constnte. Se ess constnte é não nul, p não teri nenum ponto de nulmento. Então p tem que ser nulo. Teorem 1. Ddos x 0, x 1,..., x n pontos d ret rel distintos entre si e um função f definid nesses pontos existe um único polinômio p de gru n que reliz interpolção desses ddos, isto é, tl que p(x i ) = f (x i ), pr todo i = 0, 1,..., n. Demonstrção. A unicidde d interpolção é imedit d proposição nterior. Se p e q relizm mesm interpolção, então p q é um polinômio de gru n que se nul nos n + 1 pontos x 0, x 1,..., x n. Pel proposição, p q é nulo, isto é, p = q. 1

2 A questão d existênci pode ser demonstrd com os recursos d álgebr liner. Definimos plicção liner T : P n R n+1 que tom um polinômio p P n e lev em T(p) = (p(x 0 ), p(x 1 ),..., p(x n )) R n+1. A proposição nterior mostr que ess trnsformção é injetiv, pois diz que se T(p) = 0 então p = 0. Como domínio e contrdomínio têm mesm dimensão, segue que T é sobrejetiv. Ou sej, ddo qulquer vetor ( f (x 0 ), f (x 1 ),..., f (x n )) R n+1 existe p tl que T(p) é igul esse vetor. Ou sej, p interpol os vlores ddos. Vmos usr notção p f [x 0,..., x n ] pr denotr o polinômio interpoldor de gru n dos pontos x 0, x 1,..., x n com vlores ddos pel função f. Note que o gru do polinômio está implícito no número de pontos entre os colcetes (um menos do que o número de pontos). Qundo quisermos explicitr dependênci em x, escreveremos p f [x 0,..., x n ](x). Observe que ordem dos pontos não import. Por exemplo, p f [x 0, x 1, x 2 ] = p f [x 1, x 0, x 2 ] = p f [x 2, x 0, x 1 ] etc. Um consequênci do teorem de existênci e unicidde d interpolção é seguinte proposição. Proposição 2. Supon que p tem gru n e se nul nos n pontos distintos w 1,..., w n. Então existe R tl que p(x) = (x w 1 )(x w 2 ) (x w n ). Demonstrção. Tome um ponto u qulquer, diferente de qulquer dos w i s, e sej q(x) = (x w 1 )(x w 2 ) (x w n ), com = p(u) (u w 1 ) (u w n ). Vej que q tem gru n e interpol os n + 1 pontos u, w 1,..., w n com vlores p(u), 0, 0,..., 0. Ms p tmbém tem gru n e interpol os mesmos ddos. Logo p = q, pel unicidde do polinômio interpoldor. 2 Métodos Discutiremos, de form eterogêne, três métodos pr determinr p f [x 0, x 1,..., x n ]. Todos eles se bseim em escrever o polinômio como combinção liner de elementos de um determind bse de P n. Por exemplo, se escrevermos p f [x 0, x 1,..., x n ](x) = x n x n 2

3 então é porque estmos dotndo bse {1, x, x 2,..., x n }. Os n + 1 coeficientes 0, 1,..., n são s incógnits ds n + 1 equções p(x i ) = f (x i ). O custo de se resolver esse sistem é d ordem de n 3. Os outros dois métodos permitem cegr o polinômio interpoldor com ordem de n 2 operções. Eles usm outrs bses de P n. O segundo método, cmdo de interpolção de Lgrnge, us bse {L 0, L 1,..., L n }, onde cd polinômio L j tem gru n e stisfz L j (x j ) = 1 e L j (x i ) = 0 se i = j. Ess propriedde determin univocmente L j, porque se trt de um interpolção de gru n pr n + 1 pontos. De fto, L j é ddo explicitmente por Com isso, se L j (x) = i =j x x i x j x i. p(x) = α 0 L 0 (x) α n L n (x) então p(x i ) = α i L i (x i ) = α i, de form que, pr se resolver o problem d interpolção, bst tomr α i = f (x i ). Em conclusão, n bse de polinômios de Lgrnge, os coeficientes d combinção liner que form o polinômio interpoldor são os próprios vlores de f. O terceiro método é form de Newton, que us bse {1, (x x 0 ), (x x 0 )(x x 1 ), (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ),..., (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 )}. É fácil ver que se trt de um bse porque o gru (exto) dos polinômios ument de um em um (fic pr o leitor mostrr que isso já é suficiente pr grntir que é um bse). Supon que combinção liner p(x) = β 0 + β 1 (x x 0 ) + β 2 (x x 0 )(x x 1 ) β n (x x 0 ) (x x n 1 ) sej o polinômio interpoldor procurdo, isto é, p = p f [x 0, x 1,..., x n ]. Como p é interpoldor, então p(x 0 ) = f (x 0 ). Como todos os termos de β 1 β n são nulos em x 0, então p(x 0 ) = β 0. Em outrs plvrs, o polinômio interpoldor de gru zero do ponto x 0 é p f [x 0 ] = β 0 = f (x 0 ). Observe, de form nálog, que de β 2 β n, todos os termos se nulm em x 0 e em x 1. Como p(x 0 ) = f (x 0 ) e p(x 1 ) = f (x 1 ), segue que p f [x 0, x 1 ] = β 0 + β 1 (x x 0 ). 3

4 O mesmo rciocínio pode ser feito interrompendo-se sequênci de pontos em qulquer lugr. Conclui-se que p f [x 0, x 1,..., x k ](x) = β 0 + β 1 (x x 0 ) + β 2 (x x 0 )(x x 1 ) β k (x x 0 ) (x x k 1 ), pr qulquer k = 1,..., n. Se plicd ess conclusão k = n 1, tirmos seguinte relção de recorrênci: p f [x 0, x 1,..., x n ](x) = p f [x 0, x 1,..., x n 1 ](x) + β n (x x 0 ) (x x n 1 ). (1) Portnto ess bse trz vntgem de crregr explicitmente s interpolções prciis, n ordem em que são presentdos os pontos. Isso implic tmbém em cert vntgem de crescentr um ponto, pois será necessário pens somr um termo o finl d interpolção já construíd. Até gor, no entnto, não esclrecemos como iremos clculr os coeficientes β i. Isso será feito n próxim seção. 3 Diferençs dividids Definiremos, sem mbiguidde, f [x 0, x 1,..., x n ] como sendo o coeficiente de x n no polinômio interpoldor p f [x 0, x 1,..., x n ], que tem gru n (mesmo que sej zero). Observe que n form de Newton esse termo é fcilmente reconecível. Vej que pens o último termo, β n (x x 0 ) (x x n 1 ), tem gru n, e o único termo em x n tem coeficiente β n. Portnto β n = f [x 0, x 1,..., x n ]. Além disso, em vist do que foi observdo em relção às interpolções prciis, β k = f [x 0, x 1,..., x k ] pr todo k = 0, 1,..., n. Vle pen reescrever fórmul de recorrênci e o polinômio interpoldor n form de Newton, incorporndo ess notção, pr uso futuro: p f [x 0, x 1,..., x n ](x) = p f [x 0, x 1,..., x n 1 ](x) + f [x 0, x 1,..., x n ](x x 0 ) (x x n 1 ) (2) e p f [x 0, x 1,..., x n ](x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f [x 0, x 1,..., x n ](x x 0 ) (x x n 1 ). (3) 4

5 Um observção importnte é que ordem dos pontos não import, um vez que ess ordem já não import pr definição de p f [x 0, x 1,..., x n ]. Por exemplo, se crescentrmos um ponto poderemos tnto flr de f [, x 0, x 1,..., x n ] como de f [x 0, x 1,..., x n, ], pois trt-se do mesmo vlor. No fundo, pens demos um nome mis pomposo pr os β i s, ms ind flt sber clculálos. Comecemos pelos csos mis simples, pr i = 0 e i = 1. O polinômio interpoldor de x 0 é p f [x 0 ](x) = f (x 0 )x 0. Como o coeficiente de x 0 é f (x 0 ), então f [x 0 ] = f (x 0 ), pel definição de f [x 0 ] (ver cim). Qundo crescentmos o ponto x 1 pssmos ter o polinômio interpoldor p f [x 0, x 1 ](x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ](x x 0 ). Or, sendo esse polinômio de gru 1, f [x 0, x 1 ] nd mis é do que o coeficiente ngulr de seu gráfico. Portnto f [x 0, x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) = f [x 1] f [x 0 ]. x 1 x 0 x 1 x 0 Pr lém d interpretção dd pel expressão intermediári, últim expressão sugere possibilidde de obtermos f [x 0, x 1,..., x n ] por recorrênci, umentndo um um o número de pontos. De fto, ess fórmul d segund lin pode ser generlizd. Por exemplo, f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 1, x 0 ] x 2 x 0. A fórmul gerl de recorrênci é dd pel seguinte proposição. Proposição 3. Pr k 2, vle f [x 0, x 1,..., x k ] = f [x 1,..., x k ] f [x 0,..., x k 1 ] x k x 0. (4) Demonstrção. A prov é feit subtrindo-se p f [x 0,..., x k 1 ] de p f [x 1,..., x k ] de dois jeitos diferentes, pr colocá-los em iguldde. Os dois jeitos são: (i) olr esses dois polinômios prtir de p f [x 0,..., x k ], em que se retir um dos pontos extremos, x k ou x 0, respectivmente; (ii) olr esses dois polinômios prtir de p f [x 1,..., x k 1 ], em que se crescent um ponto, x 0 ou x k, respectivmente. Ou sej, trblremos com s seguintes expressões, tods derivds de (2): p f [x 0,..., x k 1 ](x) = p f [x 0,..., x k ](x) f [x 0,..., x k ](x x 0 ) (x x k 1 ) (5) p f [x 0,..., x k 1 ](x) = p f [x 1,..., x k 1 ](x) + f [x 0,..., x k 1 ](x x 1 ) (x x k 1 ) (6) p f [x 1,..., x k ](x) = p f [x 0,..., x k ](x) f [x 0,..., x k ](x x 1 ) (x x k ) (7) p f [x 1,..., x k ](x) = p f [x 1,..., x k 1 ](x) + f [x 1,..., x k ](x x 1 ) (x x k 1 ) (8) 5

6 Fzendo (7) menos (5), e depois (8) menos (6), obtemos dus expressões pr p f [x 1,..., x k ](x) p f [x 0,..., x k 1 ](x): (x k x 0 ) f [x 0,..., x k ](x x 1 ) (x x k 1 ) (9) e ( f [x 1,..., x k ] f [x 0,..., x k 1 ]) (x x 1 ) (x x k 1 ). (10) Igulndo-se (9) com (10) pr qulquer x diferente de x 1,..., x k 1, segue (4). A expressão (4) explic por que esses coeficientes d form de Newton são cmdos de diferençs dividids. Seus vlores podem ser obtidos prtir dos vlores f (x 0 ),..., f (x n ), por recorrênci. A montgem de um tbel fcilit esse trblo. Por exemplo, pr um interpolção de gru 4, com pontos x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, bst preencer seguinte tbel, d esquerd pr direit. x 0 f [x 0 ] f [x 0, x 1 ] x 1 f [x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 2 f [x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2, x 3, x 4 ] x 3 f [x 3 ] f [x 2, x 3, x 4 ] f [x 3, x 4 ] x 4 f [x 4 ] 4 Diferençs dividids e derivds: um generlizção do TVM Observemos que, pelo Teorem do Vlor Médio, f [x 0, x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 = f (c), pr lgum c [x 0, x 1 ]. Ess relção entre diferenç dividid de primeir ordem e um derivd se generliz pr qulquer ordem, desde que função f sej suficientemente diferenciável (ipótese que ssumiremos por defult). Sej [, b] o menor intervlo que contém os pontos x 0, x 1,..., x n (se ordem de presentção dos pontos respeitr ordem d ret, então [, b] = [x 0, x n ]). Esse intervlo é conecido como envoltóri convex dos pontos x 0, x 1,..., x n. Admitiremos que f está definid e que é n vezes diferenciável em [, b]. Mostrremos que existe c em [, b] tl que f [x 0, x 1,..., x n ] = f (n) (c) n!. (11) 6

7 Tome função erro E(x) d interpolção, que é diferenç entre função f (x) e o polinômio interpoldor: E(x) = f (x) p f [x 0, x 1,..., x n ](x). Ess função se nul nos n + 1 nós d interpolção. Usndo o Teorem de Rolle de form recursiv, concluímos que E (n) (x) tem (pelo menos) um ponto de nulmento c em [, b]. Sendo o polinômio interpoldor de gru n, com o coeficiente de x n igul f [x 0, x 1,..., x n ], isto implic que ou sej, fórmul (11). E (n) (c) = f (n) (c) n! f [x 0, x 1,..., x n ] = 0, Vej que isso permite relcionr polinômios interpoldores com polinômios de Tylor. Pois, plicndo (11), podemos escrever p f [x 0, x 1,..., x n ](x) como f (x 0 ) + f (c 1 )(x x 0 ) + f (c 2 ) 2! (x x 0 )(x x 1 ) f (n) (c n ) (x x 0 ) (x x n 1 ). n! Qundo todos os pontos tendem x 0, ess expressão converge pr f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! que é o polinômio de Tylor de f no ponto x 0. (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, n! 5 Estimtiv de erro d interpolção polinomil É relção entre diferençs dividids e derivds que permite estimr o erro d interpolção polinomil, em cd ponto. Esper-se que um tl estimtiv dê erro nulo pr os pontos interpoldos, e é extmente o que teremos. Como mis cim, definimos função erro E(x) = f (x) p f [x 0,..., x n ](x). Pr estimr E(x), escreveremos f (x) como um polinômio interpoldor em que crescentmos o próprio ponto x: f (x) = p f [x 0,..., x n, x](x). Usndo (2) e ess form de escrever f (x), ficmos com E(x) = f [x 0,..., x n, x](x x 0 ) (x x n ). Agor usmos (11), substituindo diferenç dividid. Existe c (que depende de x) tl que E(x) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0) (x x n ). 7

8 Ess fórmul é ext ms é imprticável, porque não sbemos como c é obtido de x. Ms el implic que E(x) mx f (n+1) (n + 1)! (x x 0 ) (x x n ), (12) em que mx f (n+1) é tomdo n envoltóri convex dos pontos x 0,..., x n. 6 Aplicções à integrção Um plicção d interpolção é pr proximção de integris. Dentro de um certo intervlo [, b] onde está definid função f que pretendemos integrr, escolemos um conjunto de pontos distintos x 0,..., x n, trocmos f pelo polinômio interpoldor p f [x 0,..., x n ], integrmos o polinômio interpoldor em [, b] e ess é proximção d integrl que obtemos. O erro ɛ = b f (x)dx b p f [x 0,..., x n ](x)dx cometido nesse procedimento é estimdo ssim: b ( ɛ = f (x) p f [x 0,..., x n ](x) ) dx b f (x) p f [x 0,..., x n ](x) dx mx f (n+1) (n + 1)! b (x x 0 ) (x x n ) dx (13) Sigmos esse progrm em dus situções, que logo dinte serão explords pelos métodos dos Trpézios e de Simpson. N primeir, escolemos como pontos de interpolção os dois extremos do intervlo, pr obter um polinômio de gru 1. N segund, escolemos os dois pontos extremos mis o ponto médio, pr obter um polinômio de gru 2. Por conveniênci (que pode ser justificd por um mudnç de vriáveis), usmos o intervlo [0, ] no primeiro cso e o intervlo [, ] no segundo cso (pr que o ponto médio estej n origem). 6.1 Integrção com interpolção de gru 1 em [0, ] Neste cso, usmos p f [0, ] pr proximr integrl de f em [0, ]. Como p f [0, ](x) = f (0) + f [0, ]x, 8

9 temos 0 f (x)dx 0 f (0) + f [0, ]xdx = f (0) + f [0, ] 2 2 f () f (0) = f (0) = ( f (0) + f ()). (14) 2 No cso em que f (0) e f () são positivos ess é extmente áre do trpézio com vértices em (0, 0), (0, f (0)), (, f ()), (, 0). Vejmos como fic estimtiv do erro cometido nesse procedimento. Usndo (13) com n = 1, ficmos com ɛ mx f 2 0 x(x ) dx. Como x(x ) = x( x) pr x [0, ], integrl vle 3 6. Então ɛ mx f 12 3 (15) 6.2 Integrção com interpolção de gru 2 em [, ], usndo o ponto médio Assim como no cso nterior, começmos clculndo o polinômio interpoldor reltivo os pontos, 0,. Pr fcilitr s conts, dotmos ordem 0,,. Então p f [, 0, ](x) = p f [0,, ](x) = f (0) + f [0, ]x + f [0,, ]x(x + ), lembrndo que f [0,, ] = f [, 0, ]. Então f (x)dx = f (0) + f [0, ]x + f [, 0, ]x(x + )dx f (0) + f [, 0, ]x 2 dx = 2 f (0) f [, 0, ], em que n primeir pssgem usmos o fto de que x é um função ímpr. Como result f [, 0, ] = f () + f () 2 f (0) 2 2, f (x)dx ( f () + 4 f (0) + f ()). (16) 3 9

10 Pr estimr o erro dess proximção usmos novmente (13). Neste cso, n = 2, que é o gru d interpolção. Então ɛ mx f 3! (x + )x(x ) dx. O integrndo é um função pr, e entre 0 e vle x( 2 x 2 ). Disso result ɛ mx f 4. (17) 12 Isso represent um ordem de grndez mis do que o erro cometido com interpolção de gru 1. De fto, como veremos seguir, podemos melorr ess estimtiv, gnndo ind mis um ordem de grndez. 6.3 Um estimtiv de erro melor pr interpolção de gru 2 usndo o ponto médio O gno o se trocr interpolção de gru 1 por interpolção de gru 2 (usndo ponto médio) é mior do que o esperdo por cus do seguinte fto. Proposição 4. Se g é cúbic em [, ] então g(x)dx = p g [, 0, ](x)dx. Em outrs plvrs, funções cúbics podem ser integrds com extidão com o polinômio interpoldor de gru 2, desde que sej usdo o ponto médio. Demonstrção. Primeiro escolemos um ponto rbitrário em [, ], distinto dos pontos, 0 e, e tommos o polinômio interpoldor p g [, 0,, ], que tem gru 3. Como esse polinômio coincide com g em qutro pontos distintos, e g tmbém é um polinômio cúbico, pel unicidde de interpolção (Teorem 1) trt-se do mesmo polinômio: g(x) = p g [, 0,, ](x). Usndo (2), g(x) = p g [, 0,, ](x) = p g [, 0, ](x) + g[, 0,, ](x + )x(x ), de onde concluímos que g e p g [, 0, ] diferem entre si pens por um múltiplo d função x(x 2 2 ). Ms ess função é ímpr e su integrl em [, ] é nul. Portnto g e p g [, 0, ] têm mesm integrl em [, ]. (Observe que g[, 0,, ] não depende de, pois é derivd terceir de g em lgum ponto c, e derivd terceir de g é constnte. Aind bem!) 10

11 Agor explorremos Proposição 4 pr melorr estimtiv de erro d integrção com interpolção de gru 2. De novo tomemos um ponto (, ) \ {0}. Então ɛ = = f (x) p f [, 0, ](x)dx f (x) p f [, 0,, ](x)dx, em que n primeir iguldde temos definição do erro de integrção ɛ e n segund iguldde usmos Proposição 4 com g = p f [, 0,, ]. Então, usndo (13) ɛ mx f (4) 4! (x + )x(x )(x ) dx. A integrl depende continumente em, com [, ], e estimtiv vle pr qulquer = 0 (com < ). Então estimtiv vle pr = 0: ɛ mx f (4) 4! (x + )x 2 (x ) dx. O integrndo é um função pr e igul x 2 ( 2 x 2 ) em [0, ]. Disso result É ess estimtiv que usremos no método de Simpson. ɛ mx f (4) 5. (18) 90 7 Métodos de integrção por repetição A idei de interpolr um função pr obter um estimtiv de su integrl pode ser melor proveitd se for repetid o longo de um série de pequenos trecos. De form gerl, se f é um função vlores reis definids no intervlo [, b], (i) define-se um prtição = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, em que o intervlo [x i 1, x i ] d prtição é denomindo i-ésim célul ou repetição, i = 1,..., n; (ii) n célul i, escolem-se lguns pontos, que definirão um polinômio interpoldor p i ; (iii) integr-se p i o longo d célul i, como proximção d integrl de f o longo d mesm célul; (iv) somm-se os resultdos d integrção dos p i s, com i vrindo de 1 n. As etps (ii) e (iii) form desenvolvids ns seções nteriores em dois csos: primeiro, qundo são escolidos os pontos extremos d célul, e o polinômio interpoldor tem gru 1 trt-se do Método dos Trpézios; segundo, qundo são escolidos os pontos extremos e o ponto médio, e 11

12 o polinômio interpoldor tem gru 2 trt-se do Método de Simpson. O que fremos qui é desenvolver fórmuls pr esses dois métodos em que n sej um prâmetro escoler, supondo que tods s céluls tenm o mesmo tmno. Além disso, obteremos s estimtivs de erro nos dois csos. 7.1 Método dos Trpézios Vmos supor que tods s n céluls têm mesmo tmno, e cmemos de esse tmno. Evidentemente, = b n. N célul i, trocmos f pelo interpoldor p f [x i 1, x i ], que tem integrl (o longo d célul) igul 2 ( f (x i 1 + f (x i )), segundo (14). A fórmul (14) pode ser usd n célul i pós um trnslção ds coordends que leve x i 1 em 0 e x i em. Somndo o longo de tods s céluls, obtemos b f (x)dx 2 ( f (x 0) + 2 f (x 1 ) + 2 f (x 2 ) f (x n 1 ) + f (x n )), (19) que é conecid fórmul dos Trpézios. O erro que se comete nesse procedimento de integrção pode ser estimdo pel som ds estimtivs de erro em cd célul. Usndo (15), e gor utilizndo o máximo de f em todo o intervlo [, b], ficmos com estimtiv mx f 3 n. 12 Como n = (b )/, estimtiv de erro result em Alterntivmente, podemos colocr em função de n, pr obter 7.2 Método de Simpson mx f (b ) 2. (20) 12 mx f (b ) n 2. (21) De novo iremos supor que tods s céluls têm o mesmo tmno, ms em cd célul [x i 1, x i ] usmos os pontos x i 1, x i e x i = 1 2 (x i 1 + x i ) pr determinr um polinômio interpoldor de gru 2. Agor definimos como sendo metde do tmno d célul, de form que podemos trnsldr coordends e usr os resultdos cim clculdos n célul [, ]. 12

13 De (16), obtemos proximção 3 ( f (x i 1) + 4 f ( x i ) + f (x i )) pr integrl de f n célul i. Somndo de i = 1 té i = n obtemos fórmul de Simpson: b f (x)dx 3 ( f (x 0) + 4 f ( x 1 ) + 2 f (x 1 ) + 4 f ( x 2 ) f (x n 1 ) + 4 f ( x n ) + f (x n )). (22) Pr estimr o erro cometido ness fórmul, usmos o erro estimdo em cd célul, em (18). Como som dos erros pode ser estimd por n = b 2 Alterntivmente, deixndo estimtiv pens em função de n, 8 Complementos 8.1 Espçmentos regulres e s diferençs simples mx f (4) (b ) 4 (23) 180 mx f (4) (b ) n 4. (24) Agor considerremos o cso em que os pontos d interpolção estão igulmente espçdos, isto é, existe > 0 tl que x k = x 0 + k, pr qulquer j = 0, 1,..., n. Neste cso, poderímos denotr diferenç dividid de mneir mis compct, por exemplo f k [x 0] = f [x 0, x 0 +,..., x 0 + k]. Neste cso, relção de recorrênci (4) fic ssim express: f k[x 0] = f k 1 [x 1 ] f k 1 [x 0 ]. (25) k Mis ind, o denomindor em cd etp d recorrênci sendo conecido, pode-se definir outr grndez, tmbém por recorrênci, sem porém divisão. Ess grndez será denomind diferenç simples e será denotd por f k [x 0]. Pr k = 0 el coincide, por definição, com diferenç dividid: f 0 [x 0] = f 0 [x 0] = f [x 0 ] = f (x 0 ). 13

14 Depois define-se, pr k 1, Deixmos o leitor tref de mostrr que f k[x 0] = f k 1 [x 1 ] f k 1 [x 0 ]. (26) Assim, f k [x 0] = f k [x 0] k! k. e p f [x 0, x 0 +,..., x 0 + n](x) = p f [x 0, x 0 +,..., x 0 + (n 1)](x) + f n [x 0] n! n (x x 0 )(x x 0 ) (x x 0 (n 1)) (27) p f [x 0, x 0 +,..., x 0 + n](x) = f 0[x 0] + f 1[x 0] (x x 0 ) + f 2[x 0] 2! 2 (x x 0 )(x x 0 ) f n[x 0] n! n (x x 0 ) (x x 0 (n 1)). (28) 8.2 Derivds proximds por diferençs dividids simétrics A discussão cim sugere que s derivds de qulquer ordem de f podem ser proximds com diferençs dividids de pontos próximos x 0. Evidentemente é importnte se nlisr o erro dess proximção, em prticulr se escol desses pontos pode minimizá-lo. Por exemplo, nlisemos derivd f (x 0 ), que gostrímos de proximr por um diferenç dividid. O nturl é tomr f [x 0, x 0 + ] = f (x 0 + ) f (x 0 ) pois é esse quociente, que tomdo o limite, usulmente define derivd de f em x 0. Pr medir o erro cometido em relção f (x 0 ), escrevemos expnsão de f té primeir ordem f (x 0 + ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) + O( 2 ) e substituímos n fórmul d diferenç dividid, obtendo f [x 0, x 0 + ] = f (x 0 ) + O(). Acontece que ess não é melor mneir de se obter proximção de f (x 0 ). Podemos expndir f com os incrementos + e, dest vez té segund ordem: f (x 0 + ) = f (x 0 ) + f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 + O( 3 ) 2 f (x 0 ) = f (x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 + O( 3 ). 2, 14

15 Então f [x 0, x 0 + ] = f (x 0 + ) f (x 0 ) = f (x 0 ) + O( 2 ). 2 Vej que foi importnte expndir té segund ordem, porque simetri dos incrementos cb cncelndo os termos de potênci pr, em prticulr o termo em 2. Concluímos que f [x 0, x 0 + ] é um proximção mis eficiente que f [x 0, x 0 + ] pr f (x 0 ). D mesm form pode-se mostrr que etc. f [x 0, x 0, x 0 + ] = f (x 0 ) 2! + O( 2 ), f [x 0 3, x 0, x 0 +, x 0 + 3] = f (x 0 ) 3! + O( 2 ), 8.3 Interpolção de Hermite 8.4 Spline cúbico 8.5 Integrções à l Riemnn: estimtivs de erro 8.6 Estimtiv de erro ssintótic pr Trpézios e Simpson 8.7 Integrção gussin 15