I. FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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1 I. Sumáio 1. Definição...I1. Objeto de Etudo...I1 3. Conceito Útei...I Campo...I1 3.. Fluxo e Denidade de Fluxo...I Intenidade de Campo...I 3.4. Equaçõe da Vaiaçõe Foma Unidimenional...I Equação de Newton da Vicoidade...I Equação de Fouie da Condução de Calo...I Alguma Definiçõe Impotante...I4 4. Unidade de Medida...I Sitema de Unidade...I5 4.. Ecala de Tempeatua...I Unidade de Enegia...I Conitência ente a Unidade...I5 5. Reumo da Lei da Temodinâmica...I Lei Zeo da Temodinâmica...I6 5.. Pimeia Lei da Temodinâmica...I Segunda Lei da Temodinâmica Entopia...I6 6. Equação de Balanço Lei de Conevação...I Finalidade...I6 6.. uantidade de um Sitema...I Fomulação...I Potulado Fundamentai...I7 7. Taxa de Tanpote...I Tanpote de maa...i8 7.. Popiedade epecífica...i Tanpote de Enegia, Entopia e Momentum...I8 8. Balanço de Maa...I8 9. Balanço de Enegia...I Tabalho e Calo...I9 9.. Foma de Enegia...I Balanço de Entopia...I Balanço de Momentum...I11 1. Conideaçõe Finai...I Sitema Fechado...I1 1.. Equaçõe Tempoai V. de Vaiação...I1 13. Refeência...I1 10/03/03 10:37 Pof. Dalton Viniciu Kozak (PUCPR) e Ségio Bodalo (UNICAMP)

2 Fenômeno de Tanpote 1. Definição Fenômeno de tanpote envolvem o tanpote ou tanfeência de maa, calo e momentum (quantidade de movimento) atavé de um meio 1. ualque poceo de tanfeência é caacteizado pela tendência ao equilíbio, que é uma condição em que não ocoe nenhuma vaiação. Uma "foça motiz", o movimento no entido do equilíbio, e o tanpote de alguma quantidade ão fato comun a todo o poceo de tanfeência. A maa do mateial atavé do qual a vaiaçõe ocoem afeta a velocidade do tanpote, e a geometia do mateial afeta a dieção do poceo. T T equilíbio deequilíbio maio Toca de calo líquida pela adiação ente dua upefície 3. Conceito Útei q 1 q Supefície, T 1 Supefície, 3.1. Campo Um campo é uma egião onde "acontecem coia" coia obevávei. Po exemplo, exite o campo témico, decito pela tempeatua no diveo ponto em deteminada egião do epaço; o campo gavitacional, decito pelo valo da foça de atação (peo) confome a poição de um copo ou patícula; o campo fluido ou de ecoamento, decito pela velocidade em difeente locai do fluido. T T 3 < T 1 T 4 > T TTempeatua T 3 T 4 T 1 T T 1 < T Campo témico: cada co etá aociada a uma tempeatua na placa. O etudo do fenômeno de tanpote centalizae na análie dee diveo poceo de tanfeência e como ele ocoem.. Objeto de Etudo O aunto gealmente abodado em fenômeno de tanpote incluem: tópico da temodinâmica, vito que ua lei fundamentai continuam válida e ão útei na análie do poceo de tanfeência; mecânica do fluido 3, poi ao ecoamento de fluido etão aociado o tanpote da váia quantidade: maa, calo e momentum; tanfeência de calo pelo mecanimo de condução, convecção e adiação (abaixo). Condução atavé de um ólido ou de um fluído etacionáio 4 Fluido em movimento, T q T S > T T S T 1 > T T 1 T q Convecção de uma upefície paa um fluido em movimento 1 Uma execeção é a tanfeência de calo po adiação, que não neceita de um meio: pode ocoe até no vácuo. Temodinâmica é definida no item Eo! A oigem da efeência não foi encontada. Eo! A oigem da efeência não foi encontada.. 3 Seá vito, além da dinâmica, também a etática de fluido. 4 q" é o fluxo de calo po unidade de áea pependicula à dieção da tanfeência veja denidade de fluxo, a egui. Poi bem. A análie do compotamento de cada tipo de campo fonece o ubídio paa o etudo do fenômeno de tanfeência da quantidade aociada àquele campo. Repeentação do campo de velocidade: ecoamento atá de navio tanpotando containe. 3.. Fluxo e Denidade de Fluxo O fluxo f é a taxa de tanfeência, no tempo, de alguma quantidade. No cao de fluido, como a água, pode e l/ ou m 3 / (mai conhecido como vazão nee cao paticula). No cao da tanfeência de calo, pode e J/ (Watt). uando ea quantidade é expea po unidade de áea de upefície atavé da qual o fluxo paa pependiculamente, definee a denidade de fluxo D f como f D f = lim n S 0 S onde n é um veto unitáio da nomal à upefície S. Da definiçõe acima, pecebee que o fluxo é uma quantidade ecala, ao pao que a denidade de fluxo é vetoial. 10/03/03 10:37 I1

3 Fenômeno de Tanpote Aim endo, confome o campo em conideação témico, fluido, etc. etaemo tatando em noo etudo de deteminado tipo de fluxo, ou denidade de fluxo, petinente ao poblema em quetão. Po exemplo, em um campo témico, a deteminação do fluxo de calo e ua denidade é petinente Intenidade de Campo A intenidade de um campo de deteminada popiedade P, expea po P (gadiente de P), pemite detemina a denidade de fluxo da gandeza aociada a ea popiedade. Po exemplo, a quantidade de calo tanfeida atavé de uma upefície é dietamente popocional ao gadiente de tempeatua. Num campo fluido em ecoamento, a tenão de cialhamento 5 é dietamente popocional ao gadiente de velocidade. De foma genéica, um fluxo etaá elacionado à uma deteminada popiedade P do campo pela elação D f = C P (1) onde opeado gadiente é definido po i + j + k () x y z num itema de coodenada etangulae, e C é uma contante de popocionalidade; i, j e k ão vetoe unitáio em dieçõe otogonai ente i. uando C fo poitivo, o inal negativo indica que o fluxo etá na dieção da intenidade dececente do campo. Po exemplo, um campo de velocidade num fluido é deteminado pelo gadiente de peão, endo que o fluido caminha na dieção em que a peão decece. O gadiente de P é alguma veze denominado de gadiente de potencial, e epeenta uma foça motiz. A contante de popocionalidade C depende do campo conideado, aim como a intenidade de campo e a denidade de fluxo. Seu valo pode depende da tempeatua, da peão e, e o meio não fo homogêneo e iotópico 6, também da poição Equaçõe da Vaiaçõe Foma Unidimenional A eq. (1) é uma equação geal que deceve de foma adequada o compotamento de um campo fluido, um campo témico, um campo de difuão máica ou memo um campo elético ou magnético. Na foma unidimenional, ea equação e eduz à D f x P C x = (3) onde D pode epeenta a denidade de fluxo de fx quantidade de movimento, de maa ou de calo, dependendo do campo endo conideado. A deivada 5 A tenão de cialhamento é decoência da foça atuando tangencialmente a uma upefície. Ocoe em ecoamento, quando dua "lâmina adjacente" de fluido tem velocidade difeente, o que ocaiona atito. 6 Um "meio iotópico" é aquele onde a popiedade não mudam confome a dieção; "meio homogêneo" é aquele que apeenta a mema popiedade fíica em toda a ua enão. P/ x é o gadiente de potencial, a intenidade da epectiva foça motiz. Na eqüência alguma equaçõe ão apeentada motando a analogia ente algun tipo de tanfeência Equação de Newton da Vicoidade A tenão de cialhamento τ, decoente do atito ente dua camada fluida adjacente que delizam em velocidade difeente, em condiçõe etacionáia, pode e calculada pela expeão u τ yx = µ (4) y etando a tenão atuando no plano pependicula ao eixo y e paalelo a x, onde u é a velocidade do fluido na dieção x e µ é a vicoidade aboluta. A tenão de τ u+du yx cialhamento y patícula etá aociada dy de fluido ao fluxo de momentum 7 u. τ yx Exemplo 1 Doi dico coaxiai hoizontai com diâmeto de ft (pé) etão epaado po uma ditância de in (polegada). O dico infeio etá fixo e o upeio gia a 5 evoluçõe po egundo, neceitando de um toque de 8.6 ft lb f. Depezandoe o efeito lateai, calcule a vicoidade do óleo que peenche o epaço ente o dico 8. O equema dee poblema pode e vito na figua abaixo 10/03/03 10:37 I A ω = 10π ad/ T = 8.6 ft.lb f ft A in Supondo uma ditibuição linea de velocidade ( u/ y=cte.), teme df du u = µ = µ da dy h x df dθ d Vita AA u = ω onde u é a velocidade local, ito é, a u = 0 velocidade de um ponto (ou elemento de áea) ituado num aio. A foça elementa df vaia com o aio do dico, uma vez que a áea de cialhamento cece com o aio. Potanto df ω = µ da h onde a velocidade local é u = ω. Poém, da = d dθ; e a integação em elação a θ fonece ω π πµω df = µ d 0 dθ = d h h e o toque dt = df é 7 uantidade de movimento. 8 Ete é um exemplo de tanpote de momentum. h

4 Fenômeno de Tanpote πµω R 3 π µω 4 T = 0 d = R h h ht (0.050in)(8.6 ft.lb f )(1ft) µ = = 4 4 πωr π (10π / )(1ft )(1in) µ = lb f /ft Equação de Fouie da Condução de Calo A quantidade de calo tanfeida atavé de uma áea na dieção x, ou fluxo de calo, é popocional ao gadiente da tempeatua. No etado etacionáio, a elação é q A,, = q x x T = k x onde a contante de popocionalidade k (não negativa) é a condutividade témica que, paa alguma ubtância, vaia lineamente com a tempeatua. O ímbolo q" ignifica fluxo de calo po unidade de áea pependicula à dieção de tanfeência. O inal negativo na elação (5) indica que o calo é tanfeido no entido do decécimo da tempeatua, em obediência à a lei da Temodinâmica (veja item 5.3). Exemplo Uma face de uma placa de cobe de 3 cm de epeua é mantida a 400 o C, e a outa face é mantida a 100 o C. ual a denidade de fluxo de calo tanfeido atavé da placa? Ua a condutividade témica do cobe à 50 o C: 370 W/(m oc) Da equação de Fouie q T (370)( ) = k = = 3.7 MW/m A x 3 10 Execício 1 A paede de um fono indutial é contuída em tijolo efatáio com epeua de 0.15 m e condutividade témica de 1.7 W/(m K). Mediçõe efetuada duante a opeação em egime etacionáio evelaam tempeatua de 1400 K e 1500 K na upefície intena e ena da paede do fono, epectivamente. ual a taxa de calo pedida atavé de uma paede com dimenõe 0.5 m po 0.3 m? (5) Execício Um ao e enconta colocado no inteio do tubo motado, podendo gia obe um eixo de otação. fluxo = 0 Kg/ θ eixo de otação do ao Tubo com água ecoando 5 cm Calcule a denidade de fluxo de água atavé do ao (que tem o memo diâmeto do tubo) quando o ângulo de otação fo de 0 o, 45 o e 90 o. Ao 10/03/03 10:37 I3

5 Fenômeno de Tanpote iolado (em toca de enegia 10 e maa com o eio), fechado (com toca de enegia, ma não de maa, com o eio) ou abeto (com toca de enegia e maa com o eio). Fonteia. Supefície que delimita o itema; define o inteio e eio; pode e fixa ou móvel, ígida ou defomável, fechada ou abeta (confome definiçõe do paágafo acima), iolante ou diatémica 11. Vizinhança. Tudo o que petence ao eio e inteage com o itema. upefície de contole eio fonteia 3.5. Alguma Definiçõe Impotante A definiçõe a egui ão impotante paa auxilia no entendimento do conceito a eem apeentado nete capítulo, e memo paa ecodação de conceito vito em diciplina anteioe, como a Temodinâmica. Alguma dea definiçõe podeão e apeentada novamente mai a fente, e com mai detalhe, e o conto do aunto aim o exigi, e em pol de uma maio claeza. Temodinâmica. "Temodinâmica é a ciência que tata da enegia e da entopia" ou "Temodinâmica é a ciência que tata do calo, do tabalho e daquela popiedade da ubtância elacionada ao calo e tabalho". Enegia. Emboa eja um temo coiqueio, a ua definição não é tão óbvia, e não exite exatamente um coneno obe ela. Paa noo fin, utilizaemo a definição mai comumente utilizada na fíica: "Enegia é tudo aquilo que, de alguma foma, conegue poduzi tabalho". No item 9. ão apeentada a pincipai foma enegia que eão conideada nete to Tabalho. Claicamente definee tabalho como poduto da foça pelo delocamento (na mema dieção da foça). Em temo temodinâmico, um itema (ve definição abaixo) ealiza tabalho e o único efeito obe o meio (tudo eno ao itema) pude e o levantamento de um peo. Entopia. É uma popiedade do itema que indica e deteminada tanfomação é poível ou não: ela ó pode ocoe e a vaiação de entopia do itema iolado (ve definição abaixo) não fo negativa. Calo. Em temo temodinâmico, calo é enegia em tânito devido a difeença de tempeatua, e não aociado a tanfeência de maa. Nee ponto de vita, calo ó é pecebido e houve alguma difeença de tempeatua. Sitema 9. Objeto da análie; ocupa volume e poui maa; pode e fixo ou móvel, ígido ou defomável, 9 Algun conceituado autoe (Iving Shame, Van Wylen et all.), em ua oba, definem itema como endo uma quantidade identificada, ou fixa, de matéia. Segundo ete ponto de vita, um itema empe Volume de Contole vizinhança Sitema Fechado 10/03/03 10:37 I4 M W Volume de Contole. Região do epaço ecolhida paa a ealização da análie temodinâmica, conveniente paa analia dipoitivo ou equipamento onde há fluxo de maa. Supefície de Contole. Análoga à fonteia do itema, poém com a poibilidade de exiti fluxo máico atavé dela. tubo volume de contole W itema fechado pitão A ecolha do uo de conceito como de itema abeto, fechado ou de volume de contole depende do poblema a e analiado, ma qualque que eja a ecolha, a lei de conevação (e da Temodinâmica) empe eão aplicávei. W Gá Sitema fechado compeo Volume de contole eá fechado, e o que aqui chamamo de itema abeto é equivalente ao volume de contole (maa cuzando a fonteia). Io não contitui poblema dede que a lei de conevação e da temodinâmica ejam aplicada coetamente. 10 Na foma de calo e tabalho. 11 Fonteia iolante não pemite a toca de calo, e a diatémica pemite W

6 Fenômeno de Tanpote 4. Unidade de Medida 4.1. Sitema de Unidade Emboa o Sitema Intenacional S.I. venha e fimando ao longo do ano como tendência na padonização do itema de unidade, em muito paíe, e em divea da efeência utilizada na áea de fenômeno de tanpote e da engenhaia em geal, outo itema ainda ão batante utilizado, como vito no Exemplo 1, onde foam utilizada a unidade do itema inglê. Potanto, é impotante abe como ealiza a conveão da unidade (medida) de uma deteminada dimenão (gandeza) ente ee diveo itema. Na mecânica cotumae defini a chamada unidade fundamentai maa, compimento e tempo (da quai deivam toda a outa) com bae na lei de Newton Ma F = (6) g c onde F é a foça, M a maa, a a aceleação e g c a contante gavitacional. A tabela a egui eume a elação ente a unidade fundamentai de cada itema. Sitema F=(Ma)/g c g c S.I. 1 (1Kg)(1m) 1 N = 1 Kg m/(n ) Inglê (1) (3.174 lb )(1ft) m 1lb = f lb m ft/( lb f ) Inglê () (1lug)(1ft) 1 lb = f 1 lug ft/( lb f ) Mético 13 ( Kg)(1m) 1 kg = f Kg m/(kg f ) C.G.S. (1g)(1cm) 1 din = 1 g cm/( din ) onde: N Kg Kg f m Newton Kilogamamaa Kilogamafoça meto egundo lb m lb f lug din libamaa libafoça lb m dina À unidade fundamentai da mecânica devee adiciona mai uma: a tempeatua. Com ea quato unidade fundamentai, e ua combinação, toda a gandeza envolvida em noo etudo podem te uma medida. 4.. Ecala de Tempeatua A ecala mai conhecida ão motada abaixo. Tempeatua Ecala de tempeatua Linea de efeência Celiu Kelvin Faenheit Rankine 1 O S.I. é uma veão do antigo itema MKS MetoKiloSegundo. 13 No itema méticogavitacional a foça é uma unidade fundamental, ao invé da maa, denominada UTM unidade técnica de maa equivalendo a Kg. congelamento da água Ebulição da água 0 o C K 3 o F o R 100 o C K 1 o F o R Po eem ecala lineae, elaçõe ente a tempeatua de uma ecala paa outa podem e obtida dietamente atavé de uma imple "ega de tê". Abaixo, alguma dea elaçõe. o F = 5 9 o C + 3 R = o F K = o C R = 5 9 K 4.3. Unidade de Enegia Como nete cuo a enegia (tabalho e calo) eá muito abodada, convém conhece algun fatoe de conveão de um itema paa outo (tabela abaixo). Sitema Unidade de Enegia Fatoe de Conveão S.I. N m = 1 Joule (J) 1 Btu = lb f ft Inglê (1) lb f ft 1 Btu = 1055 J Inglê () lb f ft 1 cal = J Mético Kg f = J 1 lb f ft = J cg din cm = eg 1 Btu = 5 cal Note que nea tabela exitem também a caloia (cal) e o Btu (Bitih Themal Unit), ainda batante utilizado como unidade de enegia Conitência ente a Unidade Atenção empe deve e dada no uo de unidade conitente, ou eja, petencente a um memo itema de unidade. Alguma veze o dado de deteminado poblema podem e fonecido ou eta diponívei em tabela com unidade de itema difeente. Paa aplica a divea fómula e obte eultado coeente, toda a gandeza envolvida devem eta decita em unidade do memo itema. Exemplo 3 O peo de uma peça de metal é N em um local onde a aceleação da gavidade g é m/. ual é a maa dea peça, em Kg, e qual o eu peo na upefície da Lua, onde g = 1.67 m/. Como g c é 1 Kg m/(n ) no S.I., a egunda lei de Newton pode e ecita na foma F = mg. Aim F (N) N m = = = = Kg g (m/ ) m/ A maa é uma contante, ma o peo dependeá da aceleação local da gavidade. Dea foma, na Lua 14 É comum e epecifica a capacidade de acondicionado em Btu. 10/03/03 10:37 I5 (a) (b) (c) (d) (7)

7 Fenômeno de Tanpote peo = = mg = (kg) 1.67 (m/ ) = 15.8 N F Lua Execício 3 O peo de uma peça de metal é 50 lb f em um local onde a aceleação da gavidade g é ft/. ual é a maa dea peça, em lb m, e qual o eu peo na upefície da Lua, onde g = 5.48 ft/. Execício 4 Um a condicionado hipotético conegue etia de um ambiente fechado ceca de 341 Btu/hoa. uanto ito ignifica em Watt? 5. Reumo da Lei da Temodinâmica 5.1. Lei Zeo da Temodinâmica Se doi copo A e B etão em equilíbio témico 15 com um teceio copo C, ou eja, T A = T C e T B = T C, então ee doi copo etão também em equilíbio témico: T A = T B. 5.. Pimeia Lei da Temodinâmica Ea lei tata da conevação de enegia de um itema de maa fixa que inteage com ua vizinhança atavé de ua fonteia (veja item 3.5 paa ea definiçõe). A enegia total do itema no etado 1 é denotada po E 1, e no etado é denotada po E. A 1 a lei pode e expea pela eguinte elação E = E E 1 = W (8) onde W 1 e 1 epeentam o tabalho e calo que cuzaam a fonteia do itema ente o etado 1 e (no item 9.1 e voltaá a fala obe tabalho e calo, e obe a convençõe de inal) Segunda Lei da Temodinâmica Entopia Como maa e enegia, todo itema poui entopia, que é uma epécie de medida do gau de deodem micocópica (inceteza obe o etado micocópico) do itema. É uma popiedade eniva: a entopia de um itema é igual ao total da oma da entopia de ua pate. Ao contáio da maa e enegia, a entopia pode e poduzida, ma nunca detuída. A a lei etabelece que a entopia de um itema e ua vizinhança (itema iolado veja item 3.5) nunca pode diminui, ou eja S it.iolado 0 (9) A entopia tem utilidade no etudo de poceo temodinâmico 16, poém não pode e dietamente medida. Podee dize, entetanto, que no zeo aboluto (0K ou o C) toda a ubtância tem valo zeo paa ea popiedade. 6. Equação de Balanço Lei de Conevação 6.1. Finalidade Análie de itema com fluxo de maa, momentum, enegia e entopia. Exemplo: motoe, tubulaçõe, ventiladoe, efigeadoe, etc. Ea equaçõe ão, potanto, fundamentai no etudo do fenômeno de tanfeência. 6.. uantidade de um Sitema Paa o etudo a eem ealizado, a gandeza motada na tabela abaixo eão elevante Com mema tempeatua. 16 Epecialmente aquele envolvendo o gae pefeito. 17 No Capítulo III Popiedade da Subtância Pua alguma dea popiedade ão abodada com mai detalhe. 10/03/03 10:37 I6

8 Fenômeno de Tanpote Gandeza Símb. Unidade SI maa m kg volume V m 3 enegia E J (Nm) (W) (kg m / ) entopia S J/K momentum L kg m/ (N) (vetoial) 6.3. Fomulação Seja N uma da gandeza do itema m, E, S ou L cuja vaiação deejae etuda. Conideee num intevalo de tempo o eguinte 18 dn a vaiação de N; dn a vaiação induzida po agente eno; δn tan a quantidade de N tanpotada paa/do itema (enta/ai); δn pod a quantidade de N poduzida/conumida no inteio do itema. Ρ& m Ρ& E = 0 = 0 & P L = 0 Ρ& S 0 (a) (b) (c) (d) Em outa palava, maa, enegia e momentum não apaecem do nada (ó podem e tanpotado, ou tanfomado de um tipo paa outo), e a entopia pode e geada, ma nunca "conumida" ( a lei da temodinâmica). (1) Execício 5 Auma que, na equação (11), N epeente a caga elética. Aplique ea equação ao volume de contole (VC) abaixo e comente o eultado. Conidee que a caga elética não pode e acumulada no inteio do VC, e que não exite agente eno que induza vaiação de caga no inteio do VC. fluxo de caga N dn N δn e V.C. dn δn pod Teme que dn de onde e obtém dn t δn = dn + δn tan + δn pod (10) dn = + N tan + Ρ& & (11) Conceitualmente, podee eceve eta equação de balanço da eguinte foma taxa de vaiação taxa de taxa de taxa de de N induzida tanpote podução vaiação = + + no itema po de N paa de N no de N agente eno o itema itema 6.4. Potulado Fundamentai O potulado conhecido, epectivamente, po lei de conevação de maa, lei de conevação de enegia, lei de conevação de momentum e lei de geação de entopia dizem epeito ao temo de podução de maa, enegia, momentum e entopia que apaecem na equaçõe de balanço; ão ele N 18 A notação dn efeee à taxa de vaiação de uma gandeza, e a notação δn etá aociada ao tanpote ou podução de ceta quantidade da gandeza N dento do itema ou volume de contole de quetão, que gealmente depende do poceo (ou "caminho"). Matematicamente, dn é uma difeencial exata, e δn é uma difeencial inexata. 10/03/03 10:37 I7

9 Fenômeno de Tanpote 7. Taxa de Tanpote 7.1. Tanpote de maa Definee fluxo de maa, ou vazão máica, como δmtan m = que epeenta a taxa de tanpote de maa, ito é, a quantidade de maa tanpotada po unidade de tempo (kg/). 7.. Popiedade epecífica & (13) A gandeza V, E, S e L ão dita eniva poque a ua quantidade em um copo dependem da maa do copo. Defineme, então, popiedade epecífica da matéia aociada à gandeza eniva, que ão independente da quantidade de maa da ubtância. Aim, endo N uma gandeza eniva, teme a popiedade epecífica δn n δm que epeenta a quantidade de N contida numa unidade de maa. Volume epecífico volume ocupado po unidade de maa (m 3 /kg): = (14) δv v δm Enegia epecífica enegia po unidade de maa (J/Kg): = (15) δe e δm Entopia epecífica entopia po unidade de maa ((J/K)/Kg): = (16) δs = (17) δm Momentum epecífico momentum po unidade de maa (velocidade m/): δl l = (18) δm A denidade de uma ubtância epeenta a quantidade de maa contida em um volume unitáio (Kg/m 3 ); potanto, obtéme: δm 1 = = δv v ρ (19) 7.3. Tanpote de Enegia, Entopia e Momentum A taxa de tanpote de uma gandeza eniva N & pode e decita em temo do fluxo de maa: N & = mn & (0) Enegia (J/ = W): E & = me & (1) Entopia ((J/K)/): S & = m & () Momentum ( kg m/ = N): & L = l (3) 8. Balanço de Maa Seguindo a fomulação dada em (11), ecevee dm dm = + m & & + Ρm (4) Baeandoe no potulado fundamental da maa (1a), e no deconhecimento de um mecanimo de alteação da maa povocada po um agente eno, e admitindoe a poibilidade de múltiplo fluxo de maa teme dm Σ = (5) No omatóio, conideae poitivo ou negativo, epectivamente, o fluxo de maa que enta ou ai do itema. Utilizandoe a notação e e, epectivamente, paa o fluxo entando e fluxo aindo, em valoe aboluto, podee eceve o balanço de maa na foma dm Σ e Σ = (6) e1 e 1 Execício 6 ual é o valo e dieção do fluxo de maa indicado na figua abaixo? O tanque etá cheio, e a água é um fluido incompeível. 10/03/03 10:37 I8

10 Fenômeno de Tanpote 5 Kg/ 1 Kg/ Kg/ 10 Kg/ Tanque com água 10 Kg/ 10 Kg/ 9. Balanço de Enegia Ainda de acodo com a fomulação (11), teme = + E & =? & + ΡE (7) Utilizando o potulado fundamental da enegia (1b), e ineindo o conceito de enegia epecífica dada em (1) na expeão paa a taxa de tanpote de enegia aociada a váio fluxo de maa, obtéme = (8) + Σ me & 9.1. Tabalho e Calo. O etudo de mecânica e temodinâmica demontam a poibilidade de agente eno alteaem a enegia de um itema fechado atavé de tabalho e calo; io é expeo po (veja item 5.) E = + W (9) O Tabalho etá aociado a delocamento (movimento) induzido e mantido pela ação de uma foça. Mai peciamente, um itema ealiza tabalho (temodinâmico) quando o único efeito 19 eno ao itema (obe a ua vizinhança) pude e taduzido po uma elevação de peo 0. Também é definido como a foma de enegia em tânito não aociada com tanfeência de maa, e devido a uma difeença de um potencial que não eja tempeatua. O tabalho é 19 Único efeito: ó tabalho, em geação de calo. 0 Enegia elética pode atavea a fonteia do itema e aciona um moto eno que levantaá um peo. Potanto, a enegia elética ealiza tabalho. poitivo 1 quando ealizado obe o itema (enegia adicionada ao itema) e negativo quando ealizado pelo o itema (enegia que deixa o itema). O ímbolo utilizado é W (Wok) e a Unidade S.I. é o Joule J (N m). A taxa de ealização de tabalho (J/ = W: Watt) expeae po & (30) W = δw 10/03/03 10:37 I9 O Calo etá aociado à tanfeência de enegia témica po efeito de uma difeença de tempeatua (condução de calo), ou po onda eletomagnética (adiação), não etando aociado à tanfeência de maa. A toca de calo é poitiva e o calo é adicionado ao itema ou volume de contole, e negativo quando emovido. O ímbolo tadicionalmente uado é, e a unidade S.I. é o Joule (outa unidade comum é a caloia: 1 cal = J). A taxa de tanfeência de calo (Watt) expeae po 3 & (31) = δ Tabalho e calo eão vito novamente mai adiante. Po hoa, o balanço de enegia fica Σ& + ΣW& + Σme & = (3) Exemplo 4 A enegia total de um itema fechado aumenta em 55.0 KJ duante um poceo enquanto tabalho é ealizado obe o itema numa quantidade de KJ. uanto calo é tanfeido duante ee poceo, e ele é emovido ou adicionado ao itema? Nee poblema devee conidea o pincípio de conevação de enegia, que paa itema fechado é expeo pela egunda lei da temodinâmica na foma da eq. (9) E = + W Subtituindo o valoe, teme 55.0 = q = 45.0 KJ O inal negativo indica que o calo é emovido do itema. Execício 7 Cite um exemplo coiqueio de um poceo onde ocoe ealização de tabalho obe o itema com libeação de calo. 1 Exite um convenção de inal que, po azõe hitóica, aume que o tabalho ealizado pelo itema é poitivo. Nee cao, a expeão (9) deve e mudada paa E = W. A vaiação de tabalho é uma difeencial inexata, poi depende do "caminho" em que o tabalho é ealizado; po io δw e não dw. 3 A vaiação de calo também é uma difeencial inexata; po io δ e não d.

11 Fenômeno de Tanpote neceáia paa efetua ea modificação, po unidade de maa do ólido, é o calo latente de fuão h f. Potanto, o aumento de enegia é dado po 9.. Foma de Enegia A difeente "foma" de enegia eão abodada ao longo dee tabalho. Po enquanto, vale ealta a foma mai conhecida. Enegia Simb. Conceito: enegia aociada à... Enegia epecífica cinética E c velocidade da maa e c gavitacional E g poição da maa no e g campo gavitacional témica U atividade témica da patícula da maa u No balanço de enegia teme E = E c + E g + U (33) e = e c + e g + u (34) Nota que a vaiaçõe tanto de E c como de E g etão aociada à ealização de tabalho. Exemplo 5 Um pedaço de gelo de maa M na tempeatua de fuão (T f = 0 o C) etá dento de uma cavidade cúbica de aeta L. A epeua da paede dea cavidade é e, e a condutividade témica, k. No intante t = 0, a upefície ena da paede fica na tempeatua T 1 > T f. Obte uma expeão paa o intevalo de tempo neceáio paa fundi completamente o gelo. Hipótee: 1. a upefície intena da paede da cavidade é T f duante todo o poceo;. a popiedade ão contante; 3. a condução de calo é unidimenional atavé de cada paede; 4. a áea de condução de cada paede é apoximadamente L (e << L). A L A Mitua geloágua (T f ) q Seção AA Como o itema é fechado e não há tabalho endo ealizado, e im apena adição de calo, o balanço de enegia fonece = Σ& Uma vez que a tempeatua T 1 e T f mantéme contante duante o poceo, o fluxo de calo po unidade de áea q" também é contante no tempo. Aim endo (veja equação (5)) T T 1 f E Σ & = q" A = k 6L = cte = = e t e k T 1 T F Enegia p / fuão Tempo p / fuão O aumento de enegia no inteio do itema e deve excluivamente à vaiação da enegia latente aociada à conveão do ólido em líquido. A quantidade de enegia E = M h f A incógnita do poblema é t. Da dua última expeõe obtéme a elação pocuada emhf t = kl ( T T ) /03/03 10:37 I10 f 10. Balanço de Entopia Mai uma vez, patindoe da fomulação (11), teme ds ds = + S & & + ΡS (35) O potulado fundamental da entopia etabelece que a podução de entopia é empe poitiva ou nula (veja (1.d)). O etudo de temodinâmica demontam que Ρ & S = 0 poceo eveívei Ρ & S > 0 poceo ieveívei 4 Ou eja, o poceo ó acontecem na dieção onde a entopia total (do itema envolvido, caacteizando o itema iolado) é mantida ou cece, ma nunca no entido de ua diminuição (veja item 5.3). Além dio, veificae que um agente eno pode altea a entopia de um itema, e que eta alteação etá elacionada com tanfeência de calo, de acodo com S = (36) T onde T T é a tempeatua do ponto onde o fluxo de calo enta/ai do itema. Entopia eá vita novamente mai adiante; no momento, é o batante expea o balanço de entopia como ds & = Σ + Σm & + Ρ& T S Algun autoe ecevem ete balanço na eguinte foma equivalente ds & Σ + Σm & T (37) (38) Exemplo 6 Mote que qualque tanfeência de calo ente doi eevatóio de calo à tempeatua T H e T C, T H > T C, deve acontece do eevatóio mai quente paa o mai fio. Um eevatóio de calo é, po definição, um copo com capacidade caloífica infinita, ou eja, capaz de above ou 4 Há alguma foma de tabalho que ão ineentemente ieveívei como, po exemplo, o tabalho devido à foça de atito, onde há geação de calo, típico fenômeno da ieveibilidade. Exemplo: agitandoe uma colhe dento de um copo d'água (tabalho), o líquido aquece; ao contáio, eá que e a água fo aquecida na mema popoção a colhe eá agitada?

12 Fenômeno de Tanpote libeta quantidade ilimitada de calo em qualque vaiação de tempeatua, e em ieveibilidade ("efeito diipativo"). A vaiação de entopia é dada po (36) independente e o eevatóio é fonte ou umidouo de calo. Dea foma, S = T Seja a quantidade de calo que paa de um eevatóio paa o outo. O valo aboluto de é o memo paa ambo o eevatóio, ma H e C têm inai opoto, poque o calo fonecido a um eevatóio (conideado poitivo) é calo aído do outo (conideado negativo). Potanto, H = C. Logo H C C S = = e S = H T T C T H H Aim T T C C = + = + = H C S S S total H C T T C T T H C H C A egunda lei da temodinâmica diz que a vaiação de entopia de qualque itema e eu eio, conideado junto, é empe poitiva, ou eja, S it.iolado 0. Como exite difeencial de tempeatua, há fluxo de calo; io implica em e te C ( T H T C ) > 0 Como T H > T C, então C ó pode e poitivo; ou eja, o calo paa do eevatóio quente paa o fio, confome obevado na pática 5. A figua abaixo iluta io utilizando uma analogia com doi tanque comunicante com nívei difeente de água: o maio nível coepondeia a maio quantidade de calo. T H q C Sitema iolado 11. Balanço de Momentum Finalmente, patindoe da fomulação (11), teme dl dl & & = + L + ΡL T C (39) O temo de podução e tanpote ão obtido, como anteiomente, de (1c) e (3). A taxa de vaiação de momentum induzida pela ação de um agente eno é implemente a foça execida po ete agente eno, egundo o conceito da dinâmica newtoniana. Na ealidade, eta é a pópia definição de foça. Seu ímbolo é F, e a unidade S.I. é o Newton N. Potanto, o balanço de momentum ecevee como dl ΣF + Σ l = (40) Exemplo 7 O cientita uo Kontantin Tiolkovky é conideado pai da "foguetaia teóica". Em 1903 publicou a ua famoa equação do foguete, mai conhecida como Equação de Tiolkovky. Ea equação é válida paa o foguete de maa M em vôo no epaço live, onde a foça gavitacional é depezada e a eitência ao avanço inexite, endo a vaiação de velocidade do foguete devido apena à velocidade de ecape do gae, c, que deixam o foguete a uma taxa máica. Sabendoe dio, deduza ea equação. A ituação fíica idealizada pode e vita na figua abaixo. m,c & u V.C. Admitindo o volume de contole motado, e conideando que o poblema pode e analiado unidimenionalmente, a equação do balanço de momento (40) eduze a dl du F Ma M [ mc & = = = = ] dm Como m = M& du dm & =, então M = c ou dm du = c M Admitindoe que, paa t = 0, u = u o e M = M o, então M 0 u u = c(ln M ln M ) = c ln 0 0 M ou M 0 u = c ln + u M 0 que é a equação de Tiolkovky. Nota. Com feqüência atélite, como o de telecomunicaçõe, peciam ealiza ajute e coeçõe de óbita. Io é ealizado atavé de incemento ou decemento de velocidade, e a equação de Tiolkovky é uma feamenta paa detemina a quantidade de combutível (como hidazina) que deve e conumida paa obte a vaiação de velocidade deejada. Execício 8 Um atélite de telecomunicaçõe, paa ealiza um pequeno ajute de óbita, pecia te um acécimo de velocidade de 75 m/. Sabendoe que a maa do atélite é 0 Kg, e que a velocidade de ecape do gae do moto de coeção é ceca de 500 m/, quanto popelente 6 deve e conumido paa ealiza ee ajute. Calcule ea maa com caa decimai. 5 Ee exemplo eve paa iluta o ignificado da a Lei da Temodinâmica, que é uma "lei diecional": indica o entido em que um poceo temodinâmico pode ocoe. 6 Combutível do motofoguete. 10/03/03 10:37 I11

13 Fenômeno de Tanpote 1. Conideaçõe Finai Reumindo, a equaçõe de balanço ão dm = (a) Σ Σ& + ΣW& + Σme & = (b) ds & = Σ + Σm & + Ρ& T dl ΣF + Σ l S (c) = (d) 1.1. Sitema Fechado Paa itema fechado, i.e., em fluxo de maa, obtéme dm ds = 0 ou m = contante Σ& + ΣW& (a) = (b) & = Σ + Ρ& T S (c) (41) (4) dl = ΣF (d) Aim, paa uma ceta quantidade de maa contante, a tê última equaçõe ão expeõe de conhecida lei da fíica (cetamente já etudada anteiomente pelo etudante de fenômeno de tanpote), a abe 1 a lei da temodinâmica; a lei da temodinâmica; a lei da dinâmica newtoniana. 1.. Equaçõe Tempoai V. de Vaiação. A equaçõe anteioe paa itema de maa fixa etão ecita na foma de deivada tempoai; de foma altenativa, podem e ecita na foma de vaiaçõe finita. E = + W (a) S = Φ S + ΡS (b) L = Ι F (c) onde o calo total ecebido é dado po (43) = Σ & = Σ d (44) o tabalho total ecebido é dado po W = Σ W& = Σ dw (45) o influxo total de entopia é dado po Φ S = Σ & d = Σ T T (46) a podução total de entopia é dada po ΡS = Σ ΡS = Σ dρ & S (47) e o impulo total da foça aplicada é dado po Ι = Σ F (48) e a integai efeeme ao peíodo conideado, em que o itema evolui ente o etado inicial e final do poceo em quetão. 13. Refeência 1. Nota de Aula do Pofeo Ségio Bodalo, da Unicamp.. Wak, K.: Themodynamic. McGaw Hill Kokakuha Ltd., Van Wylen, G.J., Sonntag, R.E. e Bognakke, C.: Fundamento da Temodinâmica Cláica. Editoa Edgad Blüche Ltda, 5 a edição, Sion, L.E e Pitt, R.P.: Fenômeno de Tanpote. Editoa Guanabaa, Incopea, F.P. e DeWitt, D.P.: Fundamento da Tanfeência de Calo e Maa. Livo Técnico e Científico Editoa Ltda, 4 a edição, Conelie, J.W, et all.: Rocket Populion and Spaceflight Dynamic. Pitman Publihing Limited, London (UK), /03/03 10:37 I1