2 O simulador tradicional 2.1 Introdução

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1 O imulado tadicional. Intodução Um do mai tadicionai e amplamente utilizado imuladoe de tanitóio em itema de potência é o EMTP [3]. Ele pemite modelagem elativamente complexa do elemento e pode imula detalhadamente itema tifáico, utilizando a lei de Kichoff paa modela o compotamento dinâmico do Sitema Elético de Potência. Uma da dificuldade do EMTP é que duante toda a imulação é utilizado um único pao de integação muito pequeno da odem de µ, paa atende eventuai componente de alta feqüência. Ito poibilita a epeentação de componente de alta feqüência em peda de pecião, poém tona o poceamento lento. Nete capítulo eão apeentado o conceito báico do imulado tadicional [3,4], a lei de Kichoff que modelam o itema dinâmico, a topologia da ede epeentada po gafo oientado e o elemento lineae R, C ou L do cicuito epeentado po uma foma dicetizada de ua equaçõe difeenciai. Logo, no itema eultante, a equaçõe difeenciai ão tanfomada em equaçõe algébica ecuiva a tempo diceto, onde a vaiávei ão calculada em função de valoe paado e da entada. Eta modelagem foi implementada, utilizando o pogama MATLAB [45], e no final dete capítulo eão apeentado eultado de imulaçõe obtida atavé do método tadicional.

2 . Topologia de ede elética Topologia é o amo da matemática que etuda a popiedade de figua geomética que não mudam, quando a ua etutua é ubmetida a defomaçõe. Topologia de ede elética epeenta a conexõe ente o elemento, que fomam a geometia da ede, independente do tipo de elemento que contituem o eu cicuito. A etutua eultante conite de ponto inteconectado po egmento de linha. O etudo deta etutua é chamado de Teoia do Gafo Lineae [3]..3 Algun conceito báico de teoia de gafo lineae A egui eão apeentado algun conceito báico de teoia do gafo lineae utilizado paa a olução de ede elética [4]..3. Gafo linea É um conjunto de egmento de linha chamado amo e ponto chamado nó. O amo pouem eu extemo conectado ao nó, de acodo com a topologia da ede. Conidee o cicuito motado na Figua.a. O gafo dete cicuito, apeentado na Figua.b, é fomado a pati da ua etutua topológica, depezando-e a natueza do amo e ubtituindo-o po imple linha. a Figua. a Cicuito; b b Gafo coepondente.

3 .3. Subgafo É um ubconjunto de amo e nó de um gafo. É chamado de ubgafo pópio e não contém todo o amo e nó do gafo. Cao contáio é o pópio gafo..3.3 Gafo oientado e não-oientado Um gafo é dito oientado e todo o eu amo pouem um inal eta nete cao paa indica a ua oientação. Se nenhuma oientação é ainalada em eu amo, é dito não-oientado, confome motado na Figua.. Figua. a Gafo oientado; b Gafo não-oientado..3.4 Caminho É um ubgafo paticula conitindo de uma eqüência de amo tendo a eguinte popiedade: Ramo conecutivo empe tem um nó comum, denominado nó inteno, onde incidem exatamente doi amo; O doi nó etante ão chamado de nó teminai e omente um amo incide nele;

4 3 3 Nenhum ubgafo pópio do caminho, que poua o memo doi nó teminai, atende à popiedade e. Po exemplo, na Figua.b, o amo a h i c fomam um caminho ente o nó e, o amo b g d e não fomam um caminho poi a popiedade é violada, já o amod h i, não fomam um caminho poi a popiedade é violada..3.5 Gafo conexo Um gafo é dito conexo e exite pelo meno um caminho ente qualque pa de nó do gafo. De outa foma o gafo é dito não conexo..3.6 Cicuito Um ubgafo é conideado um cicuito quando: O ubgafo é conexo; Todo o eu nó pouem exatamente doi amo incidente. Po exemplo, na Figua.b, o amo a f h fomam um cicuito. O amo c g i d e não fomam um cicuito, poi a popiedade é violada..3.7 Ávoe Um ubgafo de um gafo conexo é uma ávoe quando: O ubgafo é conexo; Contém todo o nó do gafo; 3 Não poui cicuito. Po exemplo, na Figua.b, o amo b f h d fomam uma ávoe. O amo b g d e não fomam uma ávoe, poi a popiedade é violada. O amo b f g também não fomam uma ávoe, poi a popiedade e 3 ão violada.

5 4.3.8 Cote Cote de um gafo conexo é um conjunto mínimo de amo que: - Se emovido epaam o gafo em doi ubgafo conexo ditinto; - Se apena um dete amo fo etauado, o gafo eultante tona-e novamente conexo. Po exemplo, na Figua.b, o amo a f b fomam um cote, o amo abcd não fomam, poi violam a popiedade e o amo a f b e também não, poi violam a popiedade..3.9 Matiz Incidência A infomaçõe contida em um gafo oientado podem e completamente amazenada em uma matiz, chamada Matiz Incidência. Paa um gafo com n nó e amo cada linha da matiz é identificada po um nó e cada coluna po um amo, é definida pela eguinte matiz de dimenõe n x, A a = [ a ij ],. onde: a ij =, e o amo j é incidente no nó i e ua oientação aponta paa foa do nó i; a ij =, e o amo j é incidente no nó i e ua oientação aponta paa o nó i; a ij = 0, e o amo j não incide no nó i. Po exemplo, paa o gafo oientado da Figua.a, obtém-e a eguinte Matiz Incidência.

6 5 Pode-e obeva que, como cada amo incide empe em doi nó, a coluna da Matiz Incidência ão fomada empe po um elemento, outo e o etante ão zeo, o que pemite a excluão de qualque uma de ua linha em pede infomação alguma, ito é, a linha excluída pode empe e etauada. A matiz obtida upimindo uma linha da Matiz Incidência é chamada Matiz Incidência Reduzida, denotada po A. A matiz A gea um conjunto de equaçõe lineamente independente, o que não ocoe po contução com A a..4 Modelagem analógica da ede elética A epeentação completa de uma ede elética deve conte infomaçõe obe a foma como o amo ão conectado, a oientação adotada paa cada amo e a decição eletomagnética do elemento de cada amo [3,4]. Um amo geal pode e epeentado de acodo com o modelo indicado na Figua.3, ito é, o elemento do amo em éie com uma fonte de tenão equivalente e, que epeenta o omatóio de toda a fonte contida no amo a fonte de coente ão tanfomada em fonte de tenão. A Eq.. deceve o modelo. Figua.3 Modelo analógico do amo geal v n amo t d d t = et R.i t L. it Mj. ijt. itdt vc 0 dt dt C j= 0 j. A Eq.. é e-ecita na foma maticial, dando oigem ao conjunto de equaçõe que epeenta um itema com amo e n nó, de acodo com a Eq..3, d V t = E t R. I t L. I t D. dt dt I t V 0.3 t 0

7 6 onde, = t v... t v t v t V ; = t i... t i t i t I ; = t e... t e t e t E ; = 0 v... 0 v 0 v C C C 0 V ; = 0...R R...0 R R ; = L...M..M M......M...M...L M...M...M...M L L e

8 7 = C C C D. Aplicando a tanfomação de Laplace, epeentada pelo opeado, na Eq..3, obtém-e a Eq..4. Po implicidade, dada a coepondência, etá endo utilizada a mema notação no domínio do tempo e em Laplace, como pode e obevado na Tabela.. Tabela. Tanfomada de Laplace aplicada à Eq = 0 I L 0 V I D L R E V.4 Re-ecevendo a Eq..4, em função de I obtém-e: =.. 0 V 0 I L E V Z I,.5 onde, D L R Z =..6

9 8 Aplicando a Lei de Kichoff da Coente na Eq..5 obtém-e A. I = 0..7 Sabendo-e que, t V = A. Vn,.8 onde, V n, veto de potenciai no nó, é um veto de dimenão n númeo de nó, cuja linha ão fomada pelo valoe da tenõe no epectivo nó, em elação ao tea. Aim, ão obtida a equaçõe analógica que epeentam o compotamento dinâmico do itema a pati da Lei de Kichoff..5 Modelagem digital da ede elética Paa tanfoma a equaçõe difeenciai do elemento da ede elética de ua foma contínua analógica paa uma foma diceta digital, é neceáia a utilização de um método de dicetização. O método de dicetização utilizado nete tabalho é o deivado da ega da integação tapezoidal, intoduzido po Dommel [5]. Segundo eta ega, a integal de uma função em um ceto intevalo de tempo T, que começa no intante n- e temina no intante n, é apoximada pela áea do tapézio definido po ete ponto [6], ou eja t= n t= n T f tdt = f n f n...9 O eo intoduzido pelo método de dicetização pode e depezado, upondo-e o intevalo de integação T uficientemente pequeno paa pemiti tal conideação. O modelo finai ão puamente eitivo e a memóia do elemento é epeentada po condiçõe iniciai.

10 9.5. Modelo digital do elemento linea a paâmeto concentado L, induto A vaiação da coente de um induto L, linea e invaiante no tempo, de um ceto amo, é decita atavé de di dt t =.e t,.0 L que pode e integada do intante n- ao intante n. i n i n = L. t= n e t= n t dt. Aplicando a ega de integação tapezoidal, com intevalo de integação T, obtém-e a elaçõe i e e T n =.e n e n i n,..l.l n =.i n i n e n.3 T onde e e i ão epectivamente a tenão e a coente do elemento. A Figua.4 iluta a tanfomação decoente do poceo de dicetização do induto. Figua.4 - Modelo diceto do induto

11 30.5. Modelo digital do elemento linea a paâmeto concentado C, capacito A vaiação da tenão de um capacito C de um ceto amo, é decita po de t dt =.i t.4 C que pode e integada do intante n- ao intante n. t= n e n e n =. i t dt.5 C t= n obtém-e Aplicando a ega de integação tapezoidal com intevalo de integação T, e e i T n = i n i n. e n.6.c.c.c n =.e n.e n i n,.7 T T onde e e i ão epectivamente a tenão e a coente no elemento. A Figua.5 iluta a tanfomação decoente do poceo de dicetização do capacito. Figua.5 Modelo diceto do capacito

12 3.5.3 Modelo digital do elemento linea a paâmeto concentado R, eito A elação ente tenão e coente de um eito R de um ceto amo, é dada pela Eq..8, como nete cao não exite memóia no dipoitivo, o modelo é o pópio eito. i n =.e n,.8 R.5.4 Modelo digital do amo geal O modelo diceto do amo geal, po implicidade, é epeentado po um único elemento R, C ou L em éie com uma fonte de tenão e em paalelo com uma fonte de coente. O modelo analógico motado na Seção.4 epeenta um amo geal compoto po tê elemento R, L e C em éie com uma fonte de tenão. Potanto, no modelo diceto apeentado, o númeo de amo e nó é maio, já que cada amo contém um único elemento, o que caua aumento na dimenão da matiz admitância do itema, poém o elemento deta matiz ão númeo eai, confome eá motado na Seção.5.5, e não númeo complexo como no modelo analógico, o que implifica o poceo. A fonte do modelo diceto ão dita independente e epeentam poívei geadoe conectado ao amo. O modelo é ilutado pela Figua.6 e epeentado pela Eq..9,.0 e.. Figua.6 Modelo diceto do amo geal

13 3 v n = e n v n.9 j n = i n j n.0 i n = G.e n h n. Sabendo-e que, e n tenão no elemento do amo; i n coente no elemento do amo; v n fonte de tenão independente; j n fonte de coente independente; hn = in G.e n. é a fonte de coente que epeenta o valoe paado do coepondente elemento C ou L. A equação de coente no amo geal é obtida ubtituindo a Eq..9,. e. na Eq..0. j n = G.v n G.v n j n j n G.v n G.v n j n Modelo digital de ede elética monofáica A ede elética é epeentada a pati do modelo diceto do amo geal. Apea de não have etiçõe em elação à numeação do amo, nete tabalho, paa fin de implementação, amo com eitoe, capacitoe e indutoe ão numeado obedecendo a eta odem. Re-ecevendo a Eq..3 na foma maticial, onde cada linha da matize e vetoe epeenta um amo do itema com amo e n nó, obtém-e a Eq..4, j n = Gv. n Gv. n Gv ˆ. n Gv ˆ. n Iˆ. jn Iˆ. j n j n.4

14 33 onde, j n j n j n =, é o veto da coente no amo odenado x ;... j n vn v n v n =, é o veto da tenõe no amo odenado x ;... v n j n j n j n =, é o veto da coente no amo em t=n- x ;... j n vn v n v n =, é o veto da tenõe no amo odenado em t=n- x ;... v n j n j n j = n, é o veto da fonte de coente independente do amo x ;... j n v n v n v = n, é o veto da fonte de tenão independente do amo x ;... v n j n j n j = n, é o veto da fonte de coente independente em t=n- x ;... j n

15 34 v n v n v = n, é o veto da fonte de tenão independente em t=n- x ;... v n G R...0 G = 0... G C...0, é a matiz da condutância x, onde a ubmatize G R, 0... G L G C e G L ão matize diagonai fomada pelo valoe da condutância de todo o eitoe, capacitoe e indutoe do itema, epectivamente. Aim, G R, G C e G L pouem dimenõe epectivamente iguai ao númeo de eitoe, capacitoe e indutoe Gˆ = 0... G C...0, é a matiz da condutância do elemento que pouem 0... G L condiçõe iniciai x ; Iˆ = 0... I C...0, é a matiz diagonal fomada po elemento com o valo - e o I L amo coeponde a um capacito e e o amo coeponde a um induto, ito é, a ub-matize I C e I L epeentam matize identidade de dimenõe iguai ao númeo de capacitoe e indutoe do itema, epectivamente. A Lei de Kichoff da Coente é aplicada, com a utilização da matiz de incidência eduzida A, do gafo aociado ao itema, atavé de A. jn = 0.5 Subtituindo a Eq..4 na Eq..5, obtém-e A G. vn = A. j n,.6. t

16 35 onde, j n = Gv. n Gv ˆ. n Gv ˆ. n Ij ˆ. n Ij ˆ. n j n.7 t Sabendo-e que, t v n = A. n,.8 V n onde, V n n é o veto da tenõe do nó, de dimenão igual a n x. Cada linha dete veto coeponde à tenão no coepondente nó do itema em elação ao nó tea. Subtituindo a expeão.8 na Eq..6, obtém-e a Eq..9, A. G. A t. V n = A. n,.9 n j t onde, t A. G. A =,.30 Y n logo, n n V n = Y. A. j n..3 t Subtituindo.3 na Eq..8, obtém-e a Eq..3, vn = A t. Y n. A. j t n,.3 onde, α = A t. Y n. A,.33 logo, v n = α. j n..34 t Subtituindo a Eq..34 na Eq..4, obtém-e a Eq..35, j n = I G. α. j n,.35 t

17 36 onde I é a matiz identidade, de dimenão coepondente ao númeo de amo do gafo aociado e β = I G. α..36 Subtituindo a Eq..36 na Eq..35, obtém-e a Eq..37. j n = β. j n..37 t Subtituindo j t n na Eq..34 e.37, obtém-e a Eq..38 e.39, v n = α. j n Iˆ. j n Gv. n Gv ˆ. n Iˆ. jn Gˆ. vn.38 j n = β. j n Iˆ. j n Gv. n Gv ˆ. n Iˆ. jn Gˆ. vn,.39 que imulam o compotamento dinâmico do itema, ito é, a cada intante ão calculado novo valoe de tenõe e coente a pati do valoe de entada e vaiávei anteiomente deteminada..5.6 Modelo digital de ede elética tifáica Na imulação, paa epeenta-e coetamente a tê fae acoplada do itema, é neceáio inclui na matiz da condutância, toda a indutância e capacitância mútua ente a fae. Po exemplo, a indutância mútua que epeentam o acoplamento ente a fae de linha de tanmião, que ão aqui epeentada po paâmeto concentado e independente da feqüência. A coente no induto efeente a uma ceta linha de tanmião é decita pela Eq..40. jn T =.vn vn jn.40.l Paa um itema tifáico com acoplamento, a Eq..40 é e-ecita na foma maticial, de acodo com a Eq..4,

18 37 j j j a b c onde, n n va n va ja n n = Γ. v b n Γ v b n jb n,.4 n v n v n j n c c c T = L Γ..4 Deta foma, obeva-e que a equaçõe do imulado, que calculam a cada intante o novo valoe de tenõe e coente no amo ainda ão a Eq..38 e.39, deenvolvida na Seção.5.5. Apena toma-e o cuidado de inclui na matize da condutância G e Ĝ toda a indutância e capacitância mútua ente a fae, o que faz com que eta matize deixem de e diagonai. Devemo obeva também que a dimenão do itema maticial eultante ceceu, o itema paa a te um númeo de amo e de nó tê veze maio, confome eá motado na Seção.6.. G R G C G =, G L G Linha 0 G Gˆ C =, com G R, G C e G L matize diagonai e G Linha = Γ. G L G Linha.6 Exemplo de modelagem e imulação A egui eão apeentado eultado de imulaçõe ealizada em ede monofáica e tifáica, com o objetivo de deceve e exemplifica o método tadicional de imulação.

19 38.6. Simulação de ede elética monofáica Sitema-tete O Sitema-tete, apeentado na Figua.7, é utilizado paa exemplifica o método tadicional de modelagem e imulação de tanitóio em ede elética monofáica ou itema tifáico balanceado, epeentado po uma de ua fae ou pelo eu diagama unifila de eqüência poitiva. A Figua.7 apeenta a impedância de eqüência poitiva de um itema de 6 baa utilizado na olução do fluxo de caga de um itema tifáico balanceado. Figua.7 Sitema-tete. Cada elemento do cicuito dá oigem a um amo, que é oientado em um deteminado entido poitivo da coente e odenado paa facilita a obtenção da matize que paticipam do poceo de imulação. A numeação do amo é efetuada de maneia que pimeio ejam numeado o amo que pouam elemento eitivo, depoi o capacitivo e po último o indutivo. O gafo aociado ao itema da Figua.7, ito é, que epeenta a ua topologia, é motado na Figua.8. Figua.8 Gafo aociado ao Sitema-tete.

20 39 A Matiz Incidência, que epeenta o gafo da Figua.8, é definida A a po: Confome dito na Seção.3.9, a Matiz Incidência gea um gupo de equaçõe lineamente dependente, po ito, tona-e neceáio tabalhamo com a Matiz Incidência Reduzida A, que é obtida etiando da Matiz Incidência a linha coepondente ao nó de efeência tea. A Matiz Incidência Reduzida A, que gea um conjunto de equaçõe lineamente independente, e po ito com olução poível, é definida a egui. A pati da Matiz Incidência Reduzida, do valoe do elemento eitoe, capacitoe e indutoe do amo e do peíodo de amotagem da imulação nete exemplo, o peíodo de integação utilizado foi T=/000, ão calculada a matize G, Ĝ, Î, α e β, confome motado na Seção.5.5. Com eta matize calculada e também com o valoe da fonte independente de tenõe e coente, eolve-e a Eq..38 e.39 paa cada intante de tempo n e obtém-e o valoe da tenõe e coente do amo em cada intante. O Sitema-tete, ilutado na Figua.7, ecebe um cuto-cicuito tifáico na baa em n=00 intante de tempo ou t=/000.00= 0,. O

21 40 cuto é etiado em n=50 ou t=/000.50=0,5. A Figua.9 e.0 epeentam a imulaçõe da coente no amo 3 e da tenão na baa 3, epectivamente. Figua.9 Coente no amo 3 do Sitema-tete. Figua.0 Tenão na baa 3 do Sitema-tete.

22 4.6. Simulação de ede elética tifáica Sitema-tete O Sitema-tete, apeentado na Figua., é utilizado paa exemplifica o método tadicional de modelagem e imulação de tanitóio em ede elética tifáica. A Figua. epeenta um itema tifáico, epeentado po uma de ua fae. Cada elemento do cicuito dá oigem a tê amo, um efeente à fae a, outo à fae b e outo à fae c. A linha de tanmião epeentada pela indutância L 5, poui acoplamento ente a fae. O valo da indutância mútua ente a fae da efeida linha de tanmião é L m =0.3 mh. Figua. Sitema-tete. O gafo aociado ao itema da Figua., ito é, que epeenta a ua topologia, é motado na Figua.. Figua. Gafo aociado ao Sitema-tete.

23 4 dada po A Matiz Incidência Reduzida A, que epeenta o gafo da Figua. é A pati da Matiz Incidência Reduzida A, do valoe do elemento eitoe, capacitoe e indutoe do amo e do peíodo de amotagem da imulação, ão calculada a matize G, Ĝ, Î, α e β, confome motado na Seção.5.6. Com eta matize calculada e também com o valoe da fonte independente de tenõe e coente, eolvem-e a Eq..38 e.39 e obtéme o valoe da tenõe e coente do amo a cada intante de tempo. O peíodo de amotagem ou pao de integação utilizado nete exemplo foi de T=/000. O Sitema-tete, ilutado na Figua., ecebe um cuto-cicuito monofáico fae-tea na fae a, na baa, no intante de tempo n=7 ou t= /000.7= O cuto é etiado em n= ou t=/000.=0.. A Figua.3 e.4, apeentada a egui, epeentam a imulaçõe da tenão na tê fae do nó e da coente na tê fae do amo 5, epectivamente. Como pode e obevado na Figua.3 e.4, devido à exitência de indutância mútua ente a fae da linha de tanmião, a fae b e c ofeam influência do cuto que ocoeu na fae a.

24 43 Figua.3 Tenão na baa do Sitema-tete Figua.4 Coente no amo 5 do Sitema-tete.

25 44.7 Concluõe Ete capítulo motou alguma definiçõe báica de Teoia do Gafo e Teoia de Cicuito Elético e apeentou um método de imulação de ede elética baeado na Equaçõe Nodai, chamado de método tadicional. Ele é emelhante ao método utilizado no pogama EMTP e eá a bae da nova metodologia popota e implementada nete tabalho, que eá apeentada no Capítulo 4. O método tadicional foi implementado e eá utilizado paa valida o método popoto quanto à pecião e compaação da caga computacional de ambo o método. Paa finaliza, foam apeentado exemplo de imulaçõe de itema monofáico e tifáico utilizando o imulado tadicional implementado.