Campo Magnético, Campo Eléctrico de Indução Devido ao Movimento e Binário da Máquina de Corrente Contínua

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1 Campo Magnético, Campo Eléctico de Indução evido ao Movimento e Bináio da Máquina de Coente Contínua V. Maló Machado, I.S.T., Maio de 2008 A máquina de coente contínua, epeentada de foma etilizada na Fig. 1, é contituída po um cicuito magnético compoto pelo etato e pelo oto epaado po um entefeo. O campo magnético é ciado pela coente, I f, que cicula no enolamento induto olidáio com o etato, e pela coente, I, que cicula no enolamento do induzido olidáio com o oto. Note-e que de facto o condutoe que e fecham pelo inteio do oto não exitem na máquina que actualmente e contoem. Como e veá ee condutoe ão inactivo e potanto ão dipenávei. Todavia, o equema popoto na Fig. 1 onde figuam o condutoe longitudinai po dento do oto é equivalente ao enolamento do oto em ee condutoe e com a ligaçõe do equema da comutação mecânica da máquina de coente contínua. Ecova Entefeo de epeua δ I R Eixo magnético do Enolamento induto α B Roto Rm 0 Etato I f Ω Rm 0 Fig. 1 Repeentação de um máquina de coente contínua. 1

2 1. Campo Magnético de Excitação O campo magnético de excitação é o ciado pela coente I f do enolamento induto ou de excitação. A configuação cilíndica do oto e do etato aegua, po azõe de imetia, que o campo de indução magnética, B, é adial no entefeo da máquina: B = B( α) u. (1) B(α) -π/2 0 π/2 π 3π/2 α Fig. 2 Andamento da componente adial do campo de indução magnética ao longo da peifeia do entefeo de uma máquina de coente contínua. A componente adial do campo, no entefeo, é função da coodenada azimutal, α. A foma típica de B(α) é a epeentada na Fig.2. Na teoia implificada que aqui apeentamo, iemo conidea, po apoximação, que B(α) tem um andamento inuoidal com a foma: B( α) = B M co( α). (2) O valo máximo do campo, B M, que ocoe paa α=0, é obtido po aplicação da lei do cicuito magnético paa o contono que e fecha pelo cicuito magnético do etato, na Fig. 1 pacialmente epeentado, pelo entefeo e pelo cicuito magnético do oto. Atendendo a que a peça do etato e do oto e conideam de elutância 2

3 magnética nula, a única contibuição paa a intenidade do campo magnético H é a do entefeo de epeua δ, ataveado dua veze pelo fluxo de indução magnética: B µ =, (3) 2δ 0 M nfi f em que n f é o númeo de epia do enolamento induto. 2. Foça Electomotiz Induzida evida ao Movimento numa Epia do Roto R Eixo magnético do enolamento induto, α= 0 α ψ t E v B v ψ ψ t + t Ω Fig. 3 A foça electomotiz induzida devida ao movimento, e v, numa epia do oto é obtida po aplicação da lei da indução paa copo em movimento a pati da ciculação do campo eléctico ao longo do caminho fechado,, pelo inteio do conduto da epia, indicado na Fig. 3, que, po e opo ao entido do campo eléctico devido ao movimento, Ev, e eceve: 3

4 ev = E id = E v id, (4) conideando que o campo eléctico, E, no efencial da epia do oto, pode e decompoto na foma E = Eg + Ei + E v, em que E g é o campo gadiante atifazendo: Eg i d = 0, (5) E i é o campo eléctico induzido de tanfomação, nete cao nulo poi o campo magnético é etacionáio e, finalmente, o campo eléctico de indução devido ao movimento, E v, é dado po: Ev = v B= Ω RB( α) uz, (6) onde Ω epeenta a velocidade de otação do oto em elação ao etato e potanto da epia olidáia com o oto e u z é o veo na diecção axial com o entido de. Finalmente, de (4), obtem-e o eultado paa a foça electomotiz, tendo em conta que exite apena contibuição no toço da epia obe a upefície exteio do oto dado que o campo de indução magnética é nulo no lado da epia que e fecha pelo inteio do oto e que Ev é otogonal ao caminho no topo da epia: ev = Ω RLB( α ), (7) em que L é o compimento na diecção axial do enolamento do oto. Fica aim demontado o facto de eem inactivo o condutoe que e fecham pelo lado inteio do oto conideado neta decição equivalente do enolamento do oto. O memo eultado pode e obtido a pati do fluxo ligado com a contono da epia, ψ t, indicado na Fig.3, coepondente à poição da epia no intante t. No intante t+ t, a epia etá localizada no ângulo α=α + α e coeponde ao fluxo ligado 4

5 ψ +. O fluxo ψ é aim o indicado também na Fig.3, atavé da paede cilíndica t t exteio do oto de abetua α, de modo que: ψt+ t ψt = ψ = ( α) RLB( α). (8) Tendo em conta que α = Ω t, obtem-e o eultado já obtido em (7) paa a foça electomotiz, agoa atendendo a (8): dψ ev = = Ω RLB( α) = Evco( Ωt+ α0), (9) dt em que α = Ωt+ α0 e Ev = Ω RLB M. (10) 3. Bináio numa Epia do Roto F I Eixo magnético do B enolamento induto, α=0 ψ α ψ R I B F Ω Fig. 4 5

6 O bináio que actua em cada epia do oto pode e deteminado que ecoendo à expeão de Laplace que a pati da enegia ou da co-enegia magnética. A pati da expeão de Laplace, tendo em conta a Fig. 4, obtem-e paa a foça: F = LB( α ) I u ϕ (11) em que u ϕ é o veo na diecção azimutal. O bináio vem dado po: Tu = R( u F), T = RLB( α ) I. (12) z O cálculo a pati da enegia magnética, W m, (ou da co-enegia poi o poblema é linea) pode e feito ecoendo ao coeficiente de indução do cicuito do enolamento induto e da epia do oto: 1 1 W L I L I I L m = ff f + f f + 2 I. (13) O bináio detemina-e como a foça genealizada coepondente à coodenada genealizada α: ' W L m W m f T = = = α α α I I I I (14) f tendo em conta a lineaidade do poblema. O poblema é linea poi a elutância magnética da peça de feo ão depezada. O eultado de (14) é ainda conequência de o coeficiente de auto-indução L ff e L eem independente da poição do enolamento do oto. Paa a deteminação do coeficiente de indução mútua ente o enolamento de excitação e a epia do oto, L f, iemo detemina o fluxo ligado com a epia do oto, ψ, na ituação em que a coente do oto é nula, ito é, paa o campo de indução magnética no entefeo ciado pelo enolamento de excitação que foi deteminado no paágafo 1. Neta cicuntância o fluxo ψ, de acodo com a Fig. 4, pode e obtido atavé da upefície cilíndica exteio do oto, 6

7 poi o campo de indução magnética é nulo obe a upefície inteio do oto e o fluxo é nulo atavé do plano α=0 onde a linha de B ão a ele paalela. Aim, atendendo à apoximação inuoidal (2), obtém-e: e, potanto α B( ) LRd B LRen( ) n LRen( α ) I (15) µ 0 ( ψ ) α α α = 0 = = = 2δ I M f f 0 ψ µ L 0 f = = nf LRen( α ) I f 2δ I = 0. (16) Finalmente, paa o bináio, dado po (14), obtém-e: µ T= 0 nf If co( α) RLI = B( α) RLI (17) 2δ que é equivalente ao eultado de (12) obtido a pati da expeão de Laplace. 7

8 4. Enolamento do Roto. Comutação Mecânica com Colecto de Lâmina Eixo magnético do enolamento induzido Ecova I I Eixo magnético do enolamento induto P Ω U Ecova I Fig. 5 O eultado de (9) ignifica que a foça electomotiz de uma epia do oto vaia no tempo, de foma inuoidal e fo conideada a apoximação inuoidal (2). Todavia, na máquina de coente contínua é poível obte-e uma tenão ao teminai do enolamento do oto apoximadamente contante no tempo á cuta da comutação mecância obtida po utilização de um pa de ecova que delizam obe um colecto de lâmina. Conidee-e que a ligação da epia do oto é feita de acodo com a Fig.5, o que contitui um equema equivalente de ligaçõe ente a epia do enolamento do oto. A ligaçõe do condutoe do oto que na Fig. 5 etão epeentada po taço contínuo coepondem a ligaçõe pela fente do topo dianteio do oto e a epeentada po tacejado coepondem a ligaçõe po tá do topo taeio do oto. A gandeza I e U ão a coente e a tenão ao teminai do cicuito induzido da máquina coepondente ao fuxo de enegia P com o ignificado de e a potência 8

9 eléctica com o entido do geado paa a máquina, vindo potanto com o inal poitivo paa o funcionamento como moto e com o inal negativo paa o funcionamento como geado. A gandeza I epeenta a coente no condutoe do oto. Apliquemo a lei geal da indução ao caminho fechado indicado na Fig. 5: E id = U (18) poi a ciculação do campo eléctico pelo inteio do condutoe é nula conideando que o condutoe ão pefeito ( σ ) e potanto E = Eg + Ev = 0, em que E g é o campo eléctico gadiante e movimento. Po outo lado, E v é o campo eléctico de indução devido ao n /2 E id= Evid= evk K= 1 (19) poi a ciculação do campo E g é nula, tal como já foi efeido em (5), em que n é o númeo de epia do oto e e vk é a foça electomotiz devida ao movimento da epia de odem k do oto obtida de (7): 2π π evk = Ω RLB( αk ), αk = ( k 1) (20) n 2 O omatóio de (19) coeponde á aociação éie da epia do oto ente a dua ecova, pelo caminho. Tendo em conta (18), (19) e (20), e ao limite em que n, obtem-e: U n = Ω φu (21) 2π em que φ u tem o ignificado de e o fluxo útil po epia do oto: 9

10 π /2 φu = R LB( ξ) dξ. (22) π /2 O eultado de (21) pode e expeo em temo da velocidade do oto em otaçõe po egundo, N, em vez da velocidade do oto em adiano po egundo, Ω, (Ω=2πN): U = φ. (23) n N u O bináio mecânico eultante da máquina pode e obtido a pati do eultado de (12) ou (17) paa uma epia do oto. Paa dua epia iméticamete dipota ao longo do oto (ve Fig. 4), paa a odem k, colocada em α e α +π, obtém-e o eultado: k k Tk = 2 RLB( α ) I (24) k endo α k dado po (20). Paa o bináio mecânico, no limite em que n, obtéme potanto: n /2 n T = T I = φu (25) 2π m k k= 1 em que φ u é dado po (22) e ainda onde e atendeu a que I= 2I, po azõe de imetia, Fig. 5. O eultado de (21) e de (25) podem e confimado a pati do pincípio fundamental da conveão electomecânica de enegia: = = Ω =. (26) P U I Tm P m A equação (26) ignifica que no funcionamento como moto da máquina P > 0 e T > 0, ito é, a foça é concodante com o entido da velocidade e no m 10

11 funcionamento como geado P < 0 e T < 0, ito é, a foça é dicodante do entido da velocidade. m Po último pode-e fácilmente contata que a ligação magnética ente o enolamento de excitação e do enolamento do induzido é nula. O campo de indução magnética ciado pelo enolamento induto, na ituação em que a coente da epia do oto, I, é nula, epate-e igualmente pelo doi toço do cicuito magnético do oto com a diecção do eixo magnétido do enolamento induto. Aim, é nulo o fluxo ligado com o enolamento do induzido, ente a dua ecova, decito na Fig. 5 como uma éie de n / 2 epia do oto. Pode ainda conclui-e que o eixo magnético do enolamento induzido é otogonal ao eixo magnético do enolamento induto tendo a poição de α = π /2, tal como etá indicado na Fig. 5. I. S: T., Maio de Vito Maló Machado (Pof. Aociado com Agegação do IST) 11