Modelagem por composição de Wavelets: aplicação em localização do pitch de vogais 1

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1 Educação & Tecnologia Neta eção eá ealizada uma beve apeentação da teoia de wavelet, com a definição de tanfomada de wavelet, decompoição em multi-eoluçõe e a de a... t. i. g.. o Modelagem po compoição de Wavelet: aplicação em localização do pitch de vogai Raul A. Guimaãe Maia G. Almeida 3 O modelamento po decompoição de wavelet, atavé da analie de multi-eoluçõe, apeenta-e como uma feamenta capaz de localiza o pitch da vogai e pemiti a medição do peíodo do memo. Nete tabalho, a localização do pitch é feita na foma de onda do inal de voz, paa detecta e extai o pitch. O peíodo do pitch é medido ente o pico da vogai. PALAVRAS CHAVE: MODELAGEM; WAVELETS; PITCH; DECOMPOSIÇÃO EM MULTI-RESOLUÇÕES; PROCESSAMENTO DE SINAIS. INTRODUÇÃO O mecanimo de podução da vogai na fala iniciae com a fomação de lufada de a, ocaionada pela abetua e fechamento buco da glote. Se a glote e abi e o a paa livemente, em faze viba a coda vocai, o fonema poduzido é udo, cao contáio o fonema é onoo. O intevalo de tempo ente uma abetua e outa na podução de fonema onoo é chamado de peíodo de pitch, que tem gande impotância no poceamento de inai da fala, como no econhecimento da fala e de falante, análie e íntee de vocode (Rabine, 978). Um detecto de pitch é um dipoitivo que faz a decião ente fonema onoo ou udo, bem como no peíodo onoo fonecem a medição do peíodo de pitch. Dente o algoítmo de detecção do pitch exitem aquele que uam pincipalmente a popiedade do domínio-tempo, domínio-fequência ou amba a popiedade do domínio-tempo e domínio-fequência do inai da fala (Rabine, 978). A técnica que utilizam a caacteítica do domínio do tempo opeam dietamente na foma de onda da fala, e a mediçõe do pitch gealmente uam mediçõe ente pico e vale, cuzamento de zeo e autocoelação (Rabine, 978; Rabine,976). A tanfomada de wavelet caacteiza-e po atua no domínio do tempo, ecala e fequência (Goldentein et al., 997; Mallat, 989; Mallat et al.,99), e devido ao eu modelamento em nívei de multi-eoluçõe do inal, pemite a cada decompoição eteita ua anela de análie e fonece a infomação localizada do inal. E o máximo da tanfomada de wavelet etão localizada no ponto onde o inal tem taniçõe buca (Mallat et al., 99). O pitch é uma tanição buca da mudança ente um fonema onoo e udo. Deta foma, o modelamento po wavelet em nívei multi-eolucionai apeenta-e como uma feamenta capaz de detecta o pitch de vogai e pemiti a medição do peíodo da mema. Ete tabalho é apeentado da eguinte foma, na eção, o báico da teoia da tanfomada de wavelet é intoduzido. Na eção 3, a implementação da tanfomada de wavelet em multi-eoluçõe é utilizada paa detecta e extai o peíodo de pitch do inal de voz. Na eção 4, o eultado da detecção de pitch e medição de eu peíodo com vogai ão apeentado. Na eção 5, a concluão é feita. BÁSICO DA TEORIA DE WAVELETS Pequia financiada pela CAPES/ Metado em tecnologia (CIM/CEFET-MG). Bachael em Engenhaia Elética pela UFMG e aluno do Metado do CEFET/MG - Av. Amazona, BH / MG. 3 PhD pela Univeity of Pittbugh (USA), Pofeoa Adunta do Metado em Tecnologia e DAEE, CEFET-MG - Av. Amazona, BH / MG. Educ. Tecnol., Belo Hoizonte, v.8, n., p.-6, an./un. 3

2 Educação &.. Tecnologia compoição unidimenional diceta. Outo detalhe obe wavelet podem e encontado em (Goldentein et al., 997; Mallat, 989; Mallat et al.,99).. A Tanfomada de Wavelet A tanfomada de wavelet de uma função f(x) L (R) (o epaço de Hilbet da funçõe f(x) unidimenionai menuávei) quadada-integávei, em elação a wavelet ψ(x) é dado po (Mallat, 989): W[f(, u)] () onde (. ψ ( ( x u )) (, u ) coeponde à família de R wavelet ψ(x), é um paâmeto ecala e u é o paâmeto tanlação. Conidee a dilatação da wavelet ψ(x) po um fato dado po (Mallat, 989): e ψ (x) ψ ( x). () A tanfomada de wavelet no ponto u e ecalonamento pode e eecita como: (3) onde.,. é o poduto inteno e * é o ímbolo da convolução. O inal f(x) pode e econtuído a pati de ua tanfomada de wavelet po (Mallat, 989): onde - ψ ( x). ψ (x) W[f(,u)] f(x) C C ψ ψ f(x) ψ ((x - u))dx f(x), ψ (x - u) f * ψ (u) W[ f (,u)] ψ (x - u)ddu ψ (w) ψ (w) d w e (4) é a tanfomada de Fouie de ψ (x). A Tanfomada de wavelet diceta é obtida amotando ambo o paâmeto ecalonamento e tanlação. Sea α, um númeo inteio poitivo, uma equência de ecalonamento e /, a taxa de amotagem. dw + ψ (w) A tanfomada de wavelet dicetizada é (Mallat, 989): + W d[f(,n)] W f, f(x) ψ x - n dx f * ψ n - (5) onde n,,,... Se α,,, a clae de wavelet otogonai é encontada e a família de funçõe é uma bae otonomal de L (R). n ψ x -. A decompoição de inai e wavelet em multi-eoluçõe Paa uma éie de nívei de eoluçõe cecente,, a apoximação diceta do inal f(x) na eolução é a melho apoximação de f(x) dada po (Mallat, 989): A f ( ϕ f(x), ϕ ( x - n) ), n,,,... - (6) onde, a função de ecalonamento, é um filto paa-baixa (Mallat, 989). Dilatando e taladando ϕ ( ) x ϕ ( x), a família de funçõe ( - ϕ ( x - - n) ) n Z contói o epaço vetoial V. O poduto inteno definido na Eq. (6) pode e também intepetado como uma convolução avaliada no ponto -, tal que: A f (f(u)* ϕ (- u ))(- n) n,,,.. - n Z A tanfomada de Fouie de ϕ(x) é (Mallat, 989): ϕ (w) p - ( ) H e (7) (8) onde H(e ), é a função de tanfeencia do filto paabaixa diceto, e * é o ímbolo da convolução. A difeença de infomação (função detalhe) ente a apoximação na eolução e + é igual à poeção otogonal de f(x) no complemento otogonal Z de V em V, onde V Z V + +. O complemento otogonal Z também pecia de uma bae otonomal que pode e contuída pela dilatação e taladação de uma wavelet paticula ψ(x), tal que ϕ ( ) x ϕ ( x ), a qual é um filto paa-alta (Mallat, 989). A difeença de infomação pode e ecita como o inal detalhe diceto na eolução (Mallat, 989): ( - ) D f ( f(x), ψ x - n ), n,,,... (9) Educ. Tecnol., Belo Hoizonte, v.8, n., p.-6, an./un. 3

3 Educação &.. Tecnologia ( ( )) e ψ x - n - - é uma bae otogonal de V. n Z A tanfomada de Fouie de ψ(x) é (Mallat, 989): ( w) G( e ) ϕ( w) ψ () - iw - iw - iw onde G ( e ) e H ( e ) é a função de tanfeência do filto paa-alta diceto. O filto H(e ) e G(e ) ão chamado de filto epelho (mio filte) e pouem a eguinte caacteítica (Mallat, 989): a) Filto FIR paa-baixa: A epota impuliva de H(e ), h(n) é imética, ou ea: h(n) h(-n) n,,...,k- () b) Filto FIR paa-alta: A epota impuliva de G(e ), g(n) é: g(n) (-) n h(n) n,,...,k- () ( ) ( ) c) iw i(w + π ) H e + H e (3) onde k é a odem do filto. Paa fin de ilutação de filto epelho foam poetado um filto paa-baixa FIR, cua epota em fequência é: H ( w ) π / w π/ cao contáio (4) Fazendo a tanfomada de Fouie invea de H(w), enconta-e a epota impuliva: π / h(n) e π π / iwn in(n π/) dw nπ (5) Computam-e o coeficiente da epota impuliva do filto paa-baixa conideando: c n in(nπ/) nπ n k/ (6) e c n c -n, k é a odem do filto. O coeficiente da epota impuliva do filto paa-alta ão computado fazendo c n (-) n c n. A epota impuliva e magnitude do filto de tamanho 49 (k-48) ão motada na FIG.. Paa o poeto de um filto de fae zeo ua-e mai uma condição: h(n) h(k-n-) n k/ (7) FIGURA Repota impuliva h(n), g(n) e funçõe magnitude H(e iw ) e G(e iw ), epectivamente. A apoximação e o detalhe do inal f(x) em uceiva eoluçõe, < N, fomam a epeentação po wavelet a quai podem e computada uando o algoitmo da piâmide (Mallat, 989). Paa a análie do inal, a apoximação diceta A f de uma função f(x) é dada po (6) e A com um + f filto paa-baixa diceto H(e- iw ) e mantendo uma amota de dua, da oma da convolução como mota a FIG.. O detalhe D + f de f(x) na eolução ão dado po (8) e pode e computado pela filtagem do inal A + f com um filto diceto paa-alta G(e ) e mantendo uma amota de dua, da oma da convolução como mota a FIG.. A íntee é ealizada de modo imila: A f e D f + ão filtado com o filto paa-baixa H(e ) e com o filto paa-alta G (e ) epectivamente, a aída ão adicionada e multiplicada po, a fim de obte o inal Educ. Tecnol., Belo Hoizonte, v.8, n., p.-6, an./un. 3

4 Educação &.. Tecnologia de aída f, como mota a FIG.. A + xa quanto 3Hz, tomamo eta feqüência como a meno a e ditinguida. Aim em temo de adiano N ponto coepondem a feqüência angula π, chamand o f a a feqüência de amotagem do inal, f a coeponde a feqüência angula π e potanto a feqüência mínima eá: f L fa N () FIGURA - Análie e íntee da decompoição po wavelet em multieoluçõe. Como o digitalizado utilizado ealiza. amotagen pô egundo, paa uma f L 3Hz teemo N667 amota no bloco paa a convolução. Na implementação dete tabalho foi utilizado um bloco com 7 ponto coepondente a 35 m de fala. O conunto da decompoição po wavelet otogonai D pode e então epeentado pela dua componente (Mallat, 989): (A onde H(ω) e G(ω) ão epectivamente a tanfomada de Fouie da funçõe wavelet e ecalonamento. A epota impuliva e em fequência dete filto ão motada na FIG.. Paa convolução, foi utilizado o método ovelapadd e o númeo mínimo N de ponto do bloco da amota, foi deteminado pela eolução de feqüência neceáia. Como o pitch pode e de feqüência tão bai- d (D f )-J -) - 3 IMPLEMENTAÇÃO (8) Dea foma, podemo monta com a decompoição de wavelet em multi-eoluçõe, banco de filto de foma tal a localizamo extaimo o peíodo de pitch. Na implementação do filto, tem-e que a função ecalonamento também chamada de função de apoximação, coepondente ao filto paa baixa, dada po: 4 RESULTADOS O eultado obtido podem e vito na FIG. 3, onde é motado o inal oiginal nomalizado em amplitude oiginado da digitalização com uma feqüência de amotagem igual a khz, paa a vogal a, de uma peoa do exo maculino. A ecala de tempo etá em miliegundo e a amplitude é tomada como paa o máximo aboluto do inal oiginal. O peíodo de pitch foi obtido detectando-e o pico de máximo no detalhe com 4 e tomando como peíodo o intevalo de tempo ente ele. Ete pico etão localizado no intante,3; 5,4; 9,55; 3,75; 7,8;,; 6,5 e 3,55m, fonecendo um valo médio do peíodo pitch de 4,8 m. g ( n) en(w c.n) π.n (9) onde ω c π/ coeponde à feqüência de cote do filto. A função wavelet também conhecida como função detalhe, foi obtida po: H(ω) G(ω) () FIGURA 3 - a) Sinal oiginal da vogal a, b) detalhe em, c) detalhe em, d) detalhe em, e) detalhe em 3, f) detalhe em 4. Educ. Tecnol., Belo Hoizonte, v.8, n., p.-6, an./un. 3

5 Educação &.. Tecnologia CONCLUSÃO 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A localização do pitch do inal de voz e medição do peíodo do memo, atavé da modelagem po decompoição do inal de voz, em nívei de eolução, po tanfomada de wavelet, motou bon quando foi implementado com inai de voz, uando vogai. 6 ABSTRACT The wavelet theoy in multieolution level can be a tool to locate the pitch of voiced ound, and it make eay the meauement of the pitch peiod. In thi wok, the pitch of a vowel i detected diectly fom the wavefom of a voiced ound, it i extacted uing the wavelet decompoition and it peiod i meaued between the peak of the vowel. Goldentein, S., Gome, J. & Velho, L., 997, Wavelet: teoia, oftwae e aplicaçõe, Colóquio Baileio de Matemática, IMPA, -5 de ulho, 997. Mallat, S. G., 989. A Theoy fo multieolution ignal decompoition: The Wavelet Repeentation, IEEE Tan. on PAMI, vol., nº 7, pp Mallat, S. G & Hwang, W. L., 99. Singulaity detection and poceing with Wavelet, IEEE tanaction on infomation theoy. vol. 38, nº. 4 Rabine, L. R., 978. Digital poceing of peech ignal. Pentice Hall. 5 Rabine, L. R., Cheng, M. J., & Roenbeg, A. E. & McGonegal, C. A., 976. Compaative pefomance tudy of eveal pitch detection algoithm, IEEE tanaction o acoutic, peech and ignal poceing. vol. ASSP-4, nº 5, Octobe. Educ. Tecnol., Belo Hoizonte, v.8, n., p.-6, an./un. 3