Capítulo 8. Continuidade. 8.1 Discussão informal e intuitiva sobre continuidade. 8.2 Definição de continuidade. Considere os seguintes exemplos:

Transcrição

1 Cpítulo 8 Continuidde 8. Discussão informl e intuitiv sobre continuidde Considere os seguintes eemplos: f() = g() = {, pr +, pr > y3 0 3 A principl crcterístic geométric que distingue o primeiro gráfico do segundo é que o primeiro tem um trçdo contínuo (com isso queremos dizer, intuitivmente, que podemos trçr este gráfico sem tirr o lápis do ppel ), enqunto que no segundo há um slto, ou sej, há um descontinuidde ou quebr no trçdo do gráfico pr =. O objetivo dest seção é definir, mtemticmente, o que entendemos por continuidde. Voltndo os eemplos cim, no primeiro gráfico observmos que, pr qulquer ponto 0 escolhido, qundo se proim de 0, quer pel direit, quer pel esquerd, os vlores correspondentes d função f(), se proimm de f( 0 ). Como já vimos, est firmção se trduz mtemticmente pel epressão lim f() = f( 0 ). Est propriedde não vle qulquer que sej função f. No segundo eemplo, qundo se proim de pel esquerd, g() se proim de, que é igul o vlor d função g clculd no ponto =. No entnto, qundo se proim de por vlores miores que (pel direit), g() se proim de, que é diferente de g(). Observe nos digrms o ldo ilustrção dests firmções Eecute s nimções correspondentes n versão eletrônic pr outros pontos 0 e observe que condição lim f() = f( 0 ) continu vlendo, qulquer que sej 0 no primeiro cso, e que est condição flh somente no ponto 0 =, no segundo. Assim, crcterístic geométric de não hver quebrs ou interrupções em um determindo ponto ( 0, f( 0 )) no trçdo d curv que represent o gráfico de um função f, isto é, o fto de o gráfico de f ser representdo por um curv contínu em um certo intervlo (,b), pode ser descrito firmndo-se que qunto mis próimo estiver de 0, mis próimo f() estrá de f( 0 ), o que, como já vimos, signific dizer em lingugem mtemátic que f() = f( 0 ), qulquer que sej o ponto 0 no intervlo (, b). lim Ests observções conduzem, nturlmente à definição seguir. 8. Definição de continuidde Dizemos que um função f é contínu em um ponto 0 se: (i) Eiste f( 0 )

2 Cp. 8. Continuidde (ii) Eiste o lim f() (iii) lim f() = f( 0 ) A condição (i) nos diz que o ponto 0 é um ponto do domínio de f. Portnto, podemos resumir definição de continuidde dizendo que f é contínu em um ponto de seu domínio se lim f() = f( 0 ). Est definição se refere à continuidde de um função em um ponto, ms o conceito de continuidde começ ficr relmente interessnte qundo estudmos s funções que são contínus em todos os pontos de lgum intervlo. Assim, se f é contínu em 0, qulquer que sej o ponto 0 em um certo intervlo (, b), dizemos que f é contínu em (, b). Do mesmo modo podemos definir s funções que são contínus em tod ret. No cso de um intervlo fechdo [, b], dizemos que f é contínu em [, b] se (i) f é contínu em (,b) (ii) (iii) lim f() = f() + lim f() = f(b). b D mesm mneir, função f será contínu n união de intervlos se s três condições cim forem válids pr cd um dos intervlos considerdos. Funções contínus em intervlos são usulmente considerds como especilmente bem comportds. N relidde, continuidde é primeir condição ser eigid pr que um função sej considerd rzovelmente bem comportd. Neste sentido, funções contínus são definids, intuitivmente, como quels cujos gráficos podem ser trçdos sem tirrmos o lápis do ppel. Eminndo função y = sen( ) o ldo, vemos que descrição intuitiv de continuidde é um pouco otimist (por quê?) e que por isso devemos, lém de usr noss intuição, por melhor que el sej, sempre poir s nosss conclusões em definições mtemátics preciss ou em resultdos já demonstrdos prtir desss definições Eistem muitos resultdos importntes envolvendo funções que são contínus em intervlos. Estes teorems, em gerl, são muito mis difíceis de demonstrr rigorosmente (vej seção: Proprieddes Especiis ds Funções Contínus) do que os resultdos enuncidos seguir, que lidm com continuidde em um único ponto. A miori destes últimos resultdos decorre, imeditmente, ds regrs opertóris envolvendo limites. No entnto, eiste um teorem simples que fz ligção entre continuidde em um ponto e o comportmento d função num certo intervlo. (Vej Propriedde d Mnutenção do Sinl pr Funções Contínus). Eercício. Usndo definição de função contínu e s proprieddes opertóris de limite vists no Cp. 6, prove que som e o produto de funções contínus são funções contínus.. Se g( 0 ) 0, prove que f g é contínu em = 0 (vej próim seção). 3. Decid se função g definid como sendo pr os vlores de miores ou iguis zero e pr os vlores de menores que zero é contínu em = 0. Eemplo : Polinômios Pelo Eercício, s funções polinomiis são contínus em tod ret rel, isto é, ests funções são contínus em qulquer ponto R.

3 W.Binchini, A.R.Sntos Funções rcionis e tipos de descontinuidde Se p() e q() são polinômios, então s regrs pr limite e continuidde dos polinômios implicm que desde que q( 0 ) 0. lim lim p() p() q() = lim q() = p( 0) q( 0 ), Assim, tod função rcionl f() = p() é contínu em todos os pontos de seu domínio, isto é, ests funções q() são contínus em todos os pontos d ret, eceto em seus pólos. Nestes csos, dizemos que função rcionl não é contínu ou é descontínu nquele ponto. Eistem diversos tipos de descontinuiddes. Os eemplos seguir bordm este problem. Eemplo : Descontinuidde removível Considere função g() =. Abio, com jud do Mple, trçmos o gráfico dest função. 6 > g:=->(^-)/(-); g := > plot(g(),=-..); Embor o ponto = sej um pólo d função g, isto é, embor g não estej definid em =, o gráfico sugere que o lim g() =. Repre que o Mple ignor o fto de função g não estr definid em = e trç o seu gráfico como um linh contínu. O digrm o ldo resslt o fto de que, embor g não estej definid em =, o limite nesse ponto eiste e é igul Entender o que lev o Mple ignorr que g não está definid em = e trçr o gráfico dess função como um linh contínu, nos fornece um pist bstnte bo sobre o comportmento crcterístico dest função ns proimiddes deste ponto. Observe que n frção, é um ftor tnto do denomindor qunto do numerdor, pois = ( ) ( + ). Antes de trçr o gráfico dess função o Mple simplific epressão que define e obtém = +. Repre que simplificção cim é válid desde que. As funções e + coincidem em todos os pontos d ret rel, eceto em =, onde primeir função não está definid. O gráfico de g() =, obtido com jud do Mple, e s observções nteriores sugerem que eiste um função contínu h, definid em tod ret rel, tl que h() = g() em todos os pontos do domínio de g, isto é, h coincide com g em tod ret, eceto no ponto =. A função h pode ser definid d seguinte mneir { g() = +, se h() = = lim g(), se = Observe que o Mple trçou o gráfico dest função h, e não d função g originl.

4 Cp. 8. Continuidde Dizemos, nesse cso, que função g tem um descontinuidde removível em =. Este tipo de descontinuidde ocorre qundo eiste o limite d função no ponto em questão, ms, ou função não está definid, ou o seu vlor é diferente do limite neste ponto. Podemos, então, remover ess descontinuidde definindo, prtir de g, um nov função cujo vlor no ponto em questão sej igul o limite d função nesse mesmo ponto, como fizemos. Eemplo : Descontinuidde infinit Considere gor função p() = +. Est função se comport, ns proimiddes do pólo, de um mneir completmente diferente d função g estudd no eemplo nterior. Observe o gráfico de p, trçdo com jud do Mple. 0 > p:=->(^+)/(-); p := + > plot(p(),=-5..5,y=-5..0); 8 6 y Repre que neste eemplo o numerdor e o denomindor não têm ftores comuns, ms, como o gru do numerdor é mior que o gru do denomindor, podemos efetur divisão e escrever p() n form p() = ( + ) +. Assim, podemos ver clrmente que qundo +, p() +, e qundo, p(). Neste cso dizemos que p present um descontinuidde infinit em =. Observe ests firmções ilustrds nos digrms seguir Conclusões Considere um função rcionl gerl f() = p() q() e um ponto = 0 tl que q( 0 ) = 0. Os eemplos nteriores nos judm concluir que eistem dus possibiliddes serem considerds: (i) Se p( 0 ) 0, então f tem um descontinuidde infinit em = 0. (ii) Se p( 0 ) = 0, f pode ter um descontinuidde removível em = 0. Além destes tipos de descontinuidde, eiste ind um outro tipo, que é ilustrdo no seguinte eemplo: Eemplo 3: Descontinuidde essencil de slto

5 W.Binchini, A.R.Sntos 5 Considere { função se f() =. Nesse cso, notmos que, embor função sej definid no ponto, não se > eiste lim f(), pois lim f() = 0 e lim f() =. + Vej os gráficos o ldo, que evidencim este fto. Observe que, nesse cso, como os limites lteris eistem, são finitos ms diferentes, não import qul sej o vlor de f(), função sempre presentrá um descontinuidde nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que função f present, nesse ponto, um descontinuidde essencil de slto. (Est terminologi enftiz o fto de o gráfico d função presentr neste um ponto um slto ou pulo finito.) Eemplo : Usndo o Mple pr estudr continuidde de um função Neste eemplo, mostrmos como usr o Mple pr estudr continuidde de um função em um ponto. Vmos verificr se função f() = é contínu no ponto =. Cso função sej descontínu + nesse ponto, vmos clssificr o tipo de descontinuidde e, se possível, definir um função g, contínu em =, que coincid com f em todos os pontos eceto em =. Começmos por definir e trçr o gráfico dest função com jud do Mple. > f:=->(*^7-*^5+)/(^3-^+-); f := > plot(f(),=-..,y=-5..5); y 0 Chmndo de p e q, respectivmente, o numerdor e o denomindor dest função e ftorndo numerdor e denomindor, temos que > p:=numer(f()): > q:=denom(f()): > fctor(p); > fctor(q); ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( + ) Assim o numerdor p() = = ( ) ( 3 ) ( 3 + +) e o denomindor q() = 3 + = ( ) ( + ) presentm ( ) como ftor comum e, portnto, f() têm um descontinuidde removível em = (como sugeri o gráfico, trçdo com jud do Mple!). Definmos, então, função g cncelndo este ftor comum e seguir, clculmos lim g() e g(). > g:=norml(p/q); > g:=unpply(g,); g := g :=

6 6 Cp. 8. Continuidde > g(); > limit(g(),=); 3 3 Como lim g() = g(), temos que g é contínu em = e, lém disso, g() = f(), pr todo. 8. Composição de funções e continuidde Freqüentemente nos deprmos com funções cujs epressões nos precem complicds, ms que n verdde são o que chmmos de composição de funções. O problem bio ilustr, por meio de um eemplo simples, composição de funções. Problem Considere um qudrdo cujo ldo tem cm de comprimento. Su áre A, então, é um função de cuj epressão nlític é dd por A = A() =. Suponh, gor, que o comprimento do ldo vrie com o tempo t, ddo em segundos, e sej, portnto, um função de t. Por eemplo, = (t) = 5 t +. Assim, áre A do qudrdo tmbém vri com o tempo, ou sej, A = A() = A((t)) = (5 t + ). A função A((t)) = (5 t+) é o que chmmos de função compost formd pel composição d função qudrátic A() = com função liner (t) = 5 t +. Definição De um modo gerl, dds s funções y = f() e y = g(), função compost h = g f é definid por h() = (g f)() = g(f()). Repre que est definição só fz sentido se imgem de f estiver contid no domínio de g. Repre tmbém que, em gerl, g f f g, como contece no eemplo bio. Eemplo Considere s funções g() = 3 + e f() =. Então: Clrmente, g f f g, neste cso. (g f)() = g(f()) = g( ) = 3( ) + = 3 +, (f g)() = f(g()) = f(3 + ) = 3 +. Usndo o Mple, podemos compor funções utilizndo o eemplo nterior d seguinte mneir: > f:=->^(/); > g:=->3*^+; > (g@f)(); > (f@g)(); f := g := Assim, podemos fzer s composições do Eercício 3 Determine o mior domínio onde s funções desse eemplo estão definids. 8.. Continuidde d função compost A compost de dus funções contínus é um função contínu. Mis precismente, se f é contínu em 0 e g é contínu em f( 0 ), então, g f é contínu em 0. Assim, podemos escrever lim g(f()) = g(f( 0 )) = g( lim f()).

7 W.Binchini, A.R.Sntos 7 A demonstrção deste fto decorre do uso proprido d definição de limite e é deid como eercício. Eercício Prove que se lim g() = L e L > 0, então lim g() = L. Eercício 5 Se n é um inteiro positivo e se > 0 pr vlores pres de n, então lim ( n ) = ( n ). Se n é ímpr o resultdo vle qulquer que sej o número R. { Eemplo Considere s funções f() = + < 0 e g() =. Vmos mostrr, usndo o Mple, que 0 função f o g é contínu em tod ret rel. Primeiro definimos f e g e clculmos compost f o g: > f:=->(+bs())/; > g:=->piecewise(<0,,>=0,^); > (f@g)(); > simplify(%); f := + g := piecewise( < 0,, 0, ) {, < 0 (, 0 ) + {, 0 (, 0 < ) { 0, 0, 0 < A seguir, trçmos o seu gráfico: > plot((f@g)(),=-..,es=boed); N relidde, se tivéssemos observdo que tnto f como g são funções contínus em tod ret rel, usndo o resultdo que enuncimos cim sobre continuidde d função compost poderímos ter concluído de imedito, sem precisr clculr eplicitmente f o g, que est últim função é contínu em tod ret rel. Pr comprovrmos fcilmente que s funções f e g são contínus em tod ret, bst observrmos seus gráficos seguir (o de f à esquerd e o de g à direit) e observr que ests funções são contínus em = 0, sendo, portnto, contínus em tod ret. (Por quê?) Eercício Em cd um dos ítens bio, determine pr quis vlores de s funções composts g f e f g são contínus:

8 8 Cp. 8. Continuidde () f() = + { < 0 e g() = 0 { { (b) f() = 0 > e g() = > 8.5 Proprieddes especiis ds funções contínus Apresentmos, seguir, lgums proprieddes especiis de funções contínus que são usds freqüentemente em cálculo. Embor esss proprieddes preçm óbvis qundo interpretds geometricmente, sus demonstrções rigoross são muito mis difíceis do que su interpretção geométric lev crer. Bernrd Bolzno (78-88), mtemático lemão, foi um dos primeiros reconhecer que esss proprieddes sobre funções contínus, que precem óbvis, necessitvm de um demonstrção mtemátic rigoros. Sus observções sobre continuidde form publicds em 850 em um importnte livro pr époc, chmdo Prdoien des Unndlichen. As demonstrções ds proprieddes que enuncimos e eemplificmos seguir se encontrm no neo desse teto Teorem de Bolzno Se f é um função contínu sobre um intervlo fechdo [, b] e f() e f(b) têm sinis contrários, então, eiste pelo menos um ponto c (, b), tl que, f(c) = 0. Ess propriedde foi demonstrd como um teorem e publicd por Bolzno em 87 e é conhecid, gor, como Teorem de Bolzno. Vej este teorem ilustrdo no seguinte gráfico: f(b) c b f() Ess propriedde é muito usd pr grntir eistênci de rízes de um equção d form f() = 0 em um ddo intervlo. (Vej projeto Encontrndo s rízes de um equção: Método d Bisseção) 8.5. Propriedde d mnutenção do sinl pr funções contínus A demonstrção do teorem de Bolzno é bsed em outr propriedde evidente, do ponto de vist geométrico, ds funções contínus: Sej f um função contínu em um ponto c e suponh que f(c) 0. Então, eiste um vizinhnç de c, isto é, um intervlo berto I d form (c δ, c + δ), com δ > 0, tl que f() tem o mesmo sinl de f(c), pr todo ponto I. Vej interpretção geométric dess propriedde ilustrd seguir: f(c) c-δ c c+δ Esse teorem, o contrário dos outros, é fcilmente demonstrdo usndo-se definição forml de limites: Demonstrção Vmos supor, primeirmente, que f(c) > 0. Sbemos que, por hipótese, f é contínu em c. Queremos demonstrr que eiste um intervlo I, do tipo (c δ, c+δ), com δ > 0 tl que f() > 0 qulquer que sej pertencente este intervlo. Est últim firmção é equivlente dizer que eiste um número δ > 0 tl que f() > 0 pr todo que stisfç desiguldde c < δ.

9 W.Binchini, A.R.Sntos 9 Como f é contínu em c, sbemos que lim c f() = f(c), ou sej, ddo ε > 0, eiste um δ > 0 tl que f() f(c) < ε pr todo que stisfç c < δ. Sej ε = f(c) > 0. Então, pel definição de limite, sbemos que eiste um δ > 0 tl que f() f(c) < f(c) pr todo no intervlo (c δ, c + δ). Ms f() f(c) < f(c) 0 < f() < f(c), isto é, eiste um número positivo δ tl que f() > 0 pr todo no intervlo (c δ, c + δ), como querímos demonstrr. No cso em que f(c) < 0, bst, n demonstrção cim, escolher ε = f(c) > Teorem do vlor intermediário Um conseqüênci imedit do teorem de Bolzno é o teorem do vlor intermediário pr funções contínus enuncido seguir: Sej f um função contínu definid em [, b]. Escolh pontos rbitrários m e n em [, b], tl que f(m) < f(n). Então, f ssume todos os vlores entre f(m) e f(n), isto é, se k é um número tl que f(m) < k < f(n), então, eiste pelo menos um número c (m, n), tl que, f(c) = k. Vmos ilustrr lgebricmente este teorem. Considere função f() = 5 definid no intervlo [3, ]. Como est função é contínu neste intervlo e lém disso f(3) = e f() =, o teorem cim grnte que, qulquer que sej o número k, escolhido entre e, eiste um número, entre 3 e, tl que f() = k, isto é, equção 5 = k tem solução, qulquer que sej o número k entre e. Geometricmente, o Teorem do Vlor Intermediário firm que se f é contínu em lgum intervlo fechdo contendo os pontos m e n e que se escolhemos um número k, no eio y, entre f(m) e f(n), ret horizontl que pss por k deve cortr o gráfico de f em lgum ponto (c, f(c)) cuj coordend c é um ponto entre m e n. Vej o gráfico seguir e n versão eletrônic, com jud do Mple, vej nimção que ilustr o significdo geométrico desse teorem. f(n) K f(m) m c n Est é um outr mneir de dizer que o gráfico de f não tem sltos nem burcos e sugere, um vez mis, noção intuitiv de que o gráfico de um função contínu pode ser trçdo sem tirr o lápis do ppel. Agor, considere função h definid como { h() = + se < se = Observe, o ldo, o gráfico dest função:. 8 6 b 0 h()= 3 Observe que h não é contínu em = e que, qulquer que sej k (, ), não eiste nenhum c (, ), tl que h(c) = k. A continuidde nos etremos do intervlo é um condição necessári pr que vlh o teorem do vlor intermediário. O eemplo cim mostr que est condição é essencil, tmbém, pr que o teorem de Bolzno sej válido. Eercício 5 Considere função f() =. Use o teorem cim pr provr que eiste um número c entre e tl que f(c) =, isto é, prove que eiste um número rel c, entre e, cujo qudrdo é dois e, portnto, eiste riz qudrd de.

10 0 Cp. 8. Continuidde 8.6 Problems propostos. Tomndo como bse o gráfico d função f, ddo seguir, () Determine os pontos de descontinuidde de f. (b) Pr cd um dos pontos determindos no item nterior, clssifique o tipo de descontinuidde presentd. 3 y Um peç de metl cilíndric deve ter um seção ret com 30 cm de diâmetro e, o erro permitido n áre dest seção não deve ultrpssr 5 cm. Quão cuiddosmente se deve medir o diâmetro pr que peç fbricd estej dentro ds especificções técnics requerids. 3. Em cd um dos itens bio, determine o mior domínio de continuidde d função f, isto é, determine o mior conjunto possível onde função sej contínu. Pr cd ponto 0 onde função f não sej contínu, decid se é possível tribuir um vlor f( 0 ) que torne função contínu em 0. () f() = (b) f() = ( ) (c) f() = (d) f() = (e) f() = {, < 0 (f) f() =, > 0 (g) f() = { +, < 3, >. () A função f() = [[ ]], onde o [[]] denot o mior inteiro menor ou igul, é contínu no ponto zero? (b) Sej f() = 0 se é um número rcionl e f() = se é um número irrcionl. Prove que f é descontínu pr todo número rel. (c) Sej f() = 0 se é um número rcionl e f() = se é um número irrcionl. Prove que f é contínu somente no ponto zero. (d) Pr cd número rel, defin um função que sej contínu em e descontínu em todos os outros pontos d ret. (e) Mostre que se f é contínu em [, b], é possível definir um função g, contínu em tod ret, tl que g() = f(), pr todo no intervlo [, b]. (f) Dê um eemplo de um função f contínu em (, b) que não pode ser estendid continumente tod ret, isto é, dê um eemplo que mostre que nem sempre é possível definir um função g, contínu em tod ret, que coincid com f no intervlo (, b). 5. () Mostre que se f é um função contínu em um intervlo (, b), então função g = f() tmbém é contínu neste intervlo. (b) Dê eemplo de um função f descontínu em (, b), ms tl que f sej contínu em todos os pontos deste intervlo. 6. () Sej f() = +. Determine g tl que f(g()) = (b) Sej g() = +. Determine f tl que f(g()) = () Se f() = 3 +, clcule g() = f(f()). Encontre o domínio de f e o domínio de g. (b) Sej h() = +. Clcule h(h()) e especifique seu domínio. 8. Considere função f que cd número rel ssoci um pr ordendo d form (, ) e função g que cd pr ordendo d form (, ) ssoci su coordend que é positiv. Sej h() = g(f()). () Determine o domínio e imgem d função h. (b) Determine um epressão nlític pr função h e esboce o seu gráfico.

11 W.Binchini, A.R.Sntos 9. Um fábric produz peçs especiis de metl. O processo de fbricção é composto de dus etps. N primeir dels um cronômetro control quntidde de metl derretido que é vertido no molde. Depois que o metl esfri, peç brut é polid pr se obter o cbmento finl. Esse processo pode ser descrito por dus funções: f(t) =, t e g(m) = m ( m ). A função f(t) fornece mss d peç brut como um função do tempo em que o metl derretido é vertido no molde. A função g(m) fornece mss d peç cbd em função d mss d peç brut. O tempo é medido em minutos e mss em quilogrms. Decid por qunto tempo o metl derretido deve ser vertido no molde, pr que peç cbd tenh um mss de kg, com erro máimo de g. 0. Aplique o Teorem do Vlor Intermediário pr provr que equção 3 + = 0 tem três rízes reis distints e loclize os intervlos onde els ocorrem.. () Aplique o Teorem do Vlor Intermediário pr mostrr que todo número positivo tem um riz qudrd. (b) Aplique o Teorem do Vlor Intermediário pr mostrr que se n é um inteiro positivo e se é um número rel positivo, então eiste etmente um número positivo b tl que b n =. O número b é riz de ordem n do número positivo. (c) Use teori de limites e o Teorem do Vlor Intermediário pr provr que todo polinômio de gru ímpr tem pelo menos um riz rel.. Um ponto fio de um função f é um número c do seu domínio tl que f(c) = c. (A função f não mud o vlor do ponto c, que permnece fio, dí o nome ponto fio). () Esboce o gráfico de um função contínu f cujo domínio e imgem sej o intervlo [0, ]. Loclize o seu ponto fio. (b) Tente esboçr o gráfico de um função contínu f cujo domínio e imgem sej o intervlo [0, ], que não tenh nenhum ponto fio. Qul é o obstáculo? (c) Use o Teorem do Vlor Intermediário pr demonstrr que qulquer função contínu cujo domínio e imgem sej o intervlo [0, ] tem necessrimente um ponto fio. 8.7 Eercícios dicionis. Decid se s funções bio são contínus ou descontínus em =. No cso de serem descontínus, clssifique s descontinuiddes. { 5 () f() =, { y+5 y, =, = (e) f(y) = y, y > 0, y = 0, = 0 (b) g() = , 3, = 3 {, < 0 (c) f() = 0, = 0, = 0, 0 < (d) h() = 3 3, 3, = 3 (f) f() = + +, = { + 3, (g) f() = 8 3, < < + 3,. Determine α e β pr que função bio sej contínu em = e =. {, f() = α + β, < <., 3. Determine se s funções seguir são contínus ou descontínus em cd um dos intervlos indicdos : { + 3, e () f() =, (0, ]; (, ); (, ]; (,+ ); (, )., = e = { (b) f() =, 3 3+, (, 3); [, 3]; [, 3); (, 3]. 0, = 3 (c) f() = +5, (3,7); [ 6, ]; (, 0); ( 5, + ). 9 (d) g() =, (, 3); ( 3, 3); [ 3, 3]; [ 3, 3); [3,); (3,]; [,+ ); (,+ ).

12 Cp. 8. Continuidde. Determine o mior domínio de continuidde ds funções bio: () g() = (b) f(u) = u u. (c) h(z) = z z z. 5. Suponh que g() sej um função contínu em [, 3], e que, lém disso, g( ) =, g( ) =, g(0) =, g() =, g() = e g(3) =. Qul é o número mínimo de zeros que d função g() no intervlo considerdo? 8.8 Pr você meditr: O problem do ndrilho Um trilh vi d bse de um montnh té o topo. Um ndrilho começ subir trilh às 6 hors d mnhã e cheg o topo às 6 hors d trde do mesmo di. Durnte o percurso ele pode prr, voltr trás, correr, fzer o que quiser, desde que chegue o topo às 6 hors d trde do mesmo di. N mnhã seguinte ele começ descer trilh às 6 hors d mnhã do modo como ele quer e cheg à bse etmente às 6 hors d trde do mesmo di. Prove que eiste pelo menos um lugr n trilh pelo qul ele pss n mesm hor de cd di. 8.9 Projetos 8.9. Encontrndo s rízes de um equção O problem de clculr s rízes de um equção sempre foi objeto de estudo d mtemátic o longo dos séculos. Já er conhecid, n ntig Bbilôni, fórmul pr o cálculo ds rízes ets de um equção gerl do segundo gru. No século XVI, mtemáticos itlinos descobrirm fórmuls pr o cálculo de soluções ets de equções polinomiis do terceiro e do qurto gru. Esss fórmuls são muito complicds e por isso são rrmente usds nos dis de hoje. No século XVII, um mtemático norueguês, Niels Abel (80-89), que, pesr de su curt vid, contribuiu com vários resultdos notáveis e importntes pr o desenvolvimento d mtemátic, provou que não eiste um fórmul gerl pr o cálculo ds rízes ets de um equção polinomil de gru mior ou igul 5. Nesses csos, e mesmo em csos mis simples, muits vezes é necessário recorrer métodos numéricos pr clculr proimções pr s rízes reis de um dd equção. Eistem vários métodos recursivos ou itertivos (do ltim iterre = repetir, fzer de novo) pr clculr proimções numérics pr s rízes reis de um equção. Esses métodos consistem em, prtindo de um estimtiv inicil, repetir o mesmo procedimento váris vezes, usndo-se cd vez como estimtiv o resultdo obtido n vez nterior, isto é, n últim iterção feit, té se lcnçr precisão desejd. Abio descrevemos um desses métodos. Outros métodos deste tipo serão descritos no decorrer desse teto. Método d Bisseção Este método consiste em encontrr por inspeção dois pontos 0 e tis que f( 0 ) e f( ) tenhm sinis contrários. Se f( 0 ) = 0 ou f( ) = 0 você encontrou riz procurd. Cso contrário, eiste pelo menos um riz de f() = 0, entre 0 e.. Pr que tipo de funções est últim firmção é verddeir?. Que teorem grnte este resultdo? Sej = 0+. Somente três csos podem contecer: se f( ) = 0, riz procurd é igul ; cso contrário, ou f( ) e f( ) têm sinis contrários e riz está entre e ou f( ) e f( 0 ) têm sinis contrários e riz está entre e 0. Em qulquer dos csos riz pertence um intervlo cujo comprimento é metde do comprimento do intervlo nterior. Repetindo-se o mesmo procedimento, encontr-se um proimção pr riz d equção com precisão desejd.. Por que este método é chmdo método d bisseção?. Pr que funções esse método funcion e que teorem grnte su vlidde? 3. Como você pode estimr o erro cometido n enésim proimção d riz?. Qundo devemos prr o procedimento cim?

13 W.Binchini, A.R.Sntos 3 5. Prove que equção = 0 tem pelo menos um riz rel no intervlo [ 3, ] e use o método cim pr clculr ess riz com erro menor que 0,0. 6. Use o método cim pr determinr proimções pr s rízes reis d equção = 0 com erro menor que 0, Um árvore de 0 metros de ltur está metros de um muro de metros de ltur. Após um ventni, árvore se quebr um ltur de metros. A árvore ci de tl mneir que, qundo su etremidde toc o solo, do outro ldo do muro, seu tronco pens toc prte superior do muro, sem derrubá-lo. Determine o vlor de. Sugestão: Com o uílio de triângulos semelhntes e do Teorem de Pitágors, mostre que é riz de um equção do terceiro gru. Use o método cim pr encontrr proimções pr s rízes d equção que você encontrou e decid qul desss rízes é solução do problem Generlizndo o método dos bbilônios pr estimr riz qudrd de um número positivo Como conseqüênci do Teorem do Vlor Intermediário, podemos demonstrr que, qulquer que sej o número rel positivo e n inteiro positivo, eiste um número rel b tl que b n =, isto é, eiste um número b que é riz enésim de. (Vej Problem 7, n seção Problems Propostos). Os ntigos bbilônios desenvolverm um processo eficz pr gerr um seqüênci de proimções cd vez melhores pr riz qudrd de qulquer número positivo que descrevemos seguir. Suponh que se conheç um proimção inicil 0 pr. Por eemplo, = 3 e = são, respectivmente, proimções por flt e por ecesso pr 3. Se 0 > 0 é um proimção por flt pr, então é clro que 0 < < 0 e dí < 0. Portnto, podemos concluir que 0 é um proimção por ecesso pr. Conseqüentemente, vle desiguldde 0 < < 0 ou, equivlentemente, ( 0, 0 ). D mesm mneir, se 0 é um proimção por ecesso pr, temos < 0 0 <, e dí, 0 <. Então, 0 < < 0 ou, equivlentemente, ( 0, 0 ). Logo, em qulquer dos dois csos estrá sempre entre 0 e 0. Assim, usndo mesm idéi do Método d Bisseção, o ponto médio = + do intervlo considerdo deve ser um nov e melhor proimção pr. Repre que se <, temos, como nteriormente, que (, ),e se >, vle que (, ). Podemos, portnto, repetir esse procedimento tnts vezes qunto desejrmos de modo melhorr, cd psso, precisão do resultdo obtido.. A prtir de um estimtiv inicil 0 e usndo fórmul itertiv n = n + deduzid pelos bbilônios, clcule riz qudrd proimd pr 3 com css decimis ets. n. O que contece se inicirmos o processo com um estimtiv inicil 0 negtiv? 3. Use fórmul itertiv n = n + ( n ) pr obter um proimção de ( 3 ) com 8 css decimis ets.. Estude eficiênci do lgoritmo n = n + ( n ) (k ) pr obter proimções pr riz k-ésim (k > 3) de um número positivo. (Pr justificr por que o lgoritmo cim funcion pr obter proimções cd vez melhores pr s rízes qudrátics e cúbics de um número positivo e não funcion pr k > 3 vej o projeto Tngentes, Órbits e Cos do Cp. 0.,

14