+ u j. A taxa de deformação dada por: e ij = 1 ui. x i

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1 Pova II Nome: Infomações: Duação de 2 hoas. Pode come e bebe duante a pova. Pode faze a pova à lápis. Pode usa calculadoa sem texto. A pova tem complexidade pogessiva. A tentativa de violação de qualque ega abaixo anulaá o teu exame. Não consulte mateial ou colegas. Sente viado/a paa fente. Vá ao banheio antes ou depois do exame. Rascunho apenas no veso da pova. Desligue e guade o celula. 1. As afimações a segui são cetas ou eadas? Justifique sua esposta. a Num vótice de aio R em otação de copo sólido a ciculação paa qualque R é zeo. A. Ceto 4 B. Eado b A taxa de defomação dada po: e ij = 1 ui 2 x j + u j x i, com i j exclui o temo u. A. Eado 4 B. Ceto c Considee uma bolha de a esféica com diâmeto 0,1 mm, submesa, com o cento a 1 m de pofundidade num tanque com água do ma com densidade ρ em epouso. A pessão no cento dela é dada 4 exatamente po p = ρgh. A. Eado B. Ceto d A foça centípeta tem a mesma dieção da foça centífuga, mas sentido oposto, potanto num sistema 4 em equilíbio otacional elas se anulam. A. Ceto B. Eado e A equação de Benoulli na foma 1 2 ρu2 +ρgz+p = B. é aplicável a fluxos estacionáios, iotacionais 4 e incompessíveis. A. Ceto B. Eado Página 1 de 6

2 2. Maque uma altenativa coeta f=campo escala, u=campo vetoial: 10 f Veto Escala NDA u Veto Escala NDA f Veto Escala NDA u Veto Escala NDA u Veto Escala NDA f Veto Escala NDA f Veto Escala NDA u Veto Escala NDA f Veto Escala NDA u Veto Escala NDA 3. O fluxo dado pelas equações abaixo é incompessível? Demonste matematicamente e desceva bevemente como é o fluxo. 1 u = y x 2 + y 2 î v = x x 2 + y 2 ĵ w = 22 7 ˆk 4. Considee a equação de Navie Stokes na notação usual e esponda: ρ D u Dt = p + µ 2 u + ρ g + ρ Ω Ω 2ρ Ω u. 1 Página 2 de 6

3 a Em que latitudes a aceleação centífuga te deixaá mais o mais leve possível? b Simplifique a equação 1 paa o caso linea e foçado pelo vento, usando a gavidade apaente. c Simplifique e modifique a equação 1 paa um fluxo linea e invíscido que ocoe sobe o Tópico do Sepentáio 30 N de um exoplaneta que gia de foma que um dia de lá tem 30 minutos daqui. Dê a esposta em temos de Ω que é a velocidade angula da Tea. Comente a tua esposta.. Considee o fluxo lamina bi-dimensional ente dois cículos concênticos, como indicado na figua ao lado. Seja 1 o aio do cículo inteno que gia com velocidade angula Ω 1 e 2 o aio do exteno que gia com velocidade angula Ω 2. Há um fluido newtoniano ocupando todo o espaço. Vamos pecisa da equação de Navie Stokes em coodenadas cilíndicas paa tata este poblema: u t + u u + u θ u u θ t + u u θ + u θ u θ onde 2 = 1 = 1 p ρ + µ 2 u u ρ 2 2 u θ 2 = 1 p 2 u θ u θ ρ + µ ρ u2 θ u 2 u u θ a Estas equações são simplificadas e ficam na foma: 0 = 1 p ρ 0 = µ + u2 θ 1 u θ 6 Associe odenadamente os temos ou gupos de temos que foam eliminados da Equação 2 com a justificativa física paa eliminá los da equação. Página 3 de 6

4 b Paa obte u θ no espaço ente = 0 e = 2 intege a Equação 6 duas vezes em. Ao faze isso ficam 10 2 constantes de integação a detemina. Use as condições de não escoegamento paa detemina essas constantes. c Qual a expessão paa u θ quando 2? Fisicamente o que epesenta esse fluxo? Página 4 de 6

5 d Qual a expessão paa u θ quando 1 0? Fisicamente o que epesenta esse fluxo? e Qual a expessão paa u θ quando 1 2? Fisicamente o que epesenta esse fluxo? 6. Suponha que temos um tanque de 18 m de aio e nele fazemos um vótice apoximadamente iotacional e estável cujo olho tem um aio idealmente pequeno. A foça centífuga po unidade de volume paa um aio de 0.08 m é 7.2 N.m 3. a Que temo da equação de Navie Stokes faz o papel de foça centípeta nesse vótice? 1 b Utilize a foma geal da equação de Benoulli paa fluxos iotacionais: 2 u2 + gz + dp ρ = B e 1 calcule a depessão z em m paa = 2 cm e = 0. cm. Página de 6

6 Questão Total Pontos Nota Memóia não volátil: Γ = C u. dl Convesão do sistema etangula x, y, z paa o cilíndico, θ, z e vice-vesa: x = cos θ, y = sin θ, z = z e = x 2 + y 2, θ = actan y x, z = z. Quanto aos vesoes, i x = i cos θ i θ sin θ, i y = i sin θ + i θ cos θ, i z = i z Sistema de Coodenadas Cilíndico ou Pola Função escala E = E, θ, z Função vetoial V = u, θ, zî + u θ, θ, zîθ + u z, θ, zîz Gadiente E = E Divegente V = 1 u Rotacional V = 1 u z î u θ z + u î z E + î θ u θ + E z î z u z z uz + 1 u θ î θ 1 u î z Página 6 de 6