Ilydio Pereira de Sá Geraldo Lins

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1 Ilydio Pereir de Sá Gerldo Lis

2 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO ª PARTE: SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE I - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS (PA) ) INTRODUÇÃO Observe s seguites situções, tirds de situções do cotidio ou de diversos rmos d róri mtemátic:. Viícius tem, gurddos em seu cofriho, 5 reis. Resolveu, rtir desse mometo, fzer um ouç de form que colocri o cofriho um rel o rimeiro di, dois o segudo, três o terceiro...e ssim sucessivmete, té o º di. Quto ele terá em seu cofriho, ssdos os dis?. A oulção de um cidde cresce % cd o. Se em 99 oulção er de 5 hbittes, qutos serão os hbittes dess cidde, em 7, mtid mesm tx de crescimeto ul?. Observe seqüêci bixo: Esses úmeros são chmdos de úmeros trigulres (vej disosição e qutidde de otos de cd termo). Qul será o décimo termo dess seqüêci? Problems como os que resetmos cim, que evolvem seqüêcis eseciis, serão fcilmete resolvidos com s técics que estudremos o cítulo ds rogressões ritmétics e ds rogressões geométrics. Qudo escrevemos qulquer qutidde de úmeros, um ós o outro, temos o que chmmos de seqüêcis. As seqüêcis são, freqüetemete, resultdo d observção de um determido fto ou feômeo. Imgie, or exemlo, que um esso comhsse vrição do dólr (comr) os rimeiros dez dis (úteis) do mês de bril de. Vejmos o resultdo de su esquis tbel seguir: Di útil (Abril de ) Dólr (Comr) Di útil (Abril de ) Dólr (Comr) R$,5 R$,78 R$,55 4 R$,46 5 R$,7 6 R$,64 7 R$,84 8 R$,4 9 R$, R$,8

3 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Verifique que os vlores listdos, que ossuem um cert ordeção, costituem um seqüêci. Covecio-se desigr or um letr miúscul qulquer (ormlmete ) qulquer um dos termos de um seqüêci, usdo como ídice um úmero que deot osição do termo seqüêci. Assim, otção rereset o rimeiro termo d seqüêci, que o osso exemlo do dólr é o vlor,5. A otção rereset o décimo termo e ssim sucessivmete. Qudo desejmos flr sobre um termo qulquer de um seqüêci, escrevemos. Você ode usr s seqüêcis r registrr diverss observções, como rodução de um fábric em cd mês, o úmero de telefoems que você dá or di, tx de iflção mesl etc. No exemlo que mostrmos, d vrição do dólr, ão terímos como sber, or exemlo, su cotção o di 5, ou o di, já que seqüêci é vriável e deede de diversos ftores ão revisíveis. Em osso curso vmos estudr ums seqüêcis muito eseciis. Por su regulridde, cohecedo lgus termos, odemos clculr qulquer outro. A rimeir dels chm-se Progressão Aritmétic. Um rogressão ritmétic é um seqüêci qul, ddo um rimeiro termo, obtemos todos os outros crescetdo semre mesm qutidde. Por exemlo, vmos rtir do úmero 7 e crescetr, diverss vezes: O vlor que crescetmos cd termo r obter o seguite chm-se rzão (R). Portto, esse exemlo, temos: 7 e R. Vej gor outros exemlos de rogressões ritmétics e sus clssificções:, 7,, 5, 9,... Temos R 4. Um rogressão crescete. 9, 7, 5,,, -, -, - 5,... Temos R -. Um rogressão decrescete. 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,... Temos R. um rogressão estcioári. Você já deve ter ercebido que é muito fácil sbermos o vlor d rzão de um rogressão ritmétic. Como rzão é qutidde que crescetmos cd termo r obter o seguite, odemos dizer que: A rzão de um rogressão ritmétic é difereç etre qulquer termo e o terior, rtir do segudo termo. Assim, retomdo os três últimos exemlos, temos:. rogressão: R 7-4 R -7 4 R 5-4 etc.. rogressão: R R etc.. rogressão: R 4-4

4 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 ) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A Pssemos etão geerlizr o que vimos os exemlos. Cosidere seguite rogressão ritmétic (de gor em dite reresetd or PA) de rzão R: R R R R R R... Suoh que você cohece o rimeiro termo ( ), e rzão (R). Como fremos r clculr qulquer outro termo? Observe s igulddes: R R 4 R 5 4R... 9R Vemos etão que, r clculr um termo qulquer ( ) é reciso somr o º termo, ( -) vezes rzão, ou sej: Fórmul do termo gerl: ( - ).R Pr eteder bem o que estmos fzedo, imgie que você está o º degru de um escd e desej chegr o º. Qutos degrus deve subir? É clro que são 9. Se você está o º degru e desej chegr o 5º, qutos deve subir? Deve subir 4, lógico. Etão, r chegr o degru úmero, devemos subir ( -) degrus. Observe licção dess fórmul os exemlos seguites. EXEMPLO : Qul é o trigésimo (º) termo d rogressão ritmétic:, 7, 4,, 8,...? Solução: A rzão d rogressão é R 7-7 e o rimeiro termo é. Desejmos clculr o trigésimo termo, ou sej,. A rtir d fórmul do termo gerl: ( - )R Substituido letr or, obtemos: 9.R Dí, 9. 7 Portto, o trigésimo termo d rogressão dd é. EXEMPLO : Um luo escreveu todos os úmeros ímres desde 7 té 6. Qutos úmeros ele escreveu? Solução: A rogressão desse exemlo é seguite: 7, 9,,,..., 6. O rimeiro termo é 7, o último termo é 6 e rzão é. Escrevemos etão: 7 6 R Substituido esses vlores fórmul do termo gerl, clculremos que é o úmero de termos d rogressão: ( - ).R 6 7 ( - )

5 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis A rogressão tem, ortto, 4 termos. EXEMPLO : Escrev P.A obtid, qudo iserimos 5 úmeros etre e 5? Nesse cso, estmos queredo formr um P.A, com sete termos, sedo que os extremos são os úmeros e 5. Esse tio de roblem é o que chmmos de INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA. É clro que o que flt obter é rzão dest P.A. (,,,,,, 5). ( - ).R ou 7 6. R ou 5 6.R ou id 4 6. R, o que crret R 4. Logo, P.A rocurd é: (, 5, 9,, 7,, 5) EXEMPLO 4: Em jeiro, de certo o, Lídi estv ghdo R$ 7, or mês. Seu trão rometeu umetr seu slário em R$ 8, todos os meses. Quto Lídi estrá ghdo em dezembro do o seguite? Solução: Se o slário de Lídi umet R$ 8, todos os meses, etão seqüêci dos slários é um rogressão ritmétic de rzão igul 8. Vmos Motr um tbel, r melhor eteder situção: jeiro _ 7, fevereiro _ 78, dezembro _ jeiro _ dezembro _ 4? Logo, o que queremos é o vlor do 4º termo dess P.A. Usdo fórmul do termo gerl, teremos: 4.R Portto, com esses equeos umetos mesis, Lídi estrá ghdo, em dezembro do o seguite, R$ 454,. "Há grdes homes que fzem com que todos se sitm equeos. Ms o verddeiro grde homem é quele que fz com que todos se sitm grdes." (Gilbert Keith Chesterto, escritor iglês)

6 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 ) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS A) Proriedde Fudmetl de um P. A Semre que tivermos três termos cosecutivos de um P. A, o termo do meio será igul à médi ritmétic dos outros dois. Assim, se os termos: x, y, z, forem cosecutivos de um P.A, teremos que xz y. Ess roriedde decorre d róri defiição d P.A, ode s difereçs etre dois termos cosecutivos devem ser iguis. De fto, se y x z y, isso crretrá que y x z ou xz y. EXEMPLO 5: Sbedo-se que ( x, 4x, 4x,...) são os três rimeiros termos de um P.A, obteh: ) o vlor de x b) o vlor d rzão d P. A c) o vlor do 5º termo dess mesm P. A Solução: De cordo com roriedde resetd, como são três termos cosecutivos d P. A, teremos: x 4x 4x - x. Logo, teremos x. (ergut ). b) Se x, etão os três rimeiros termos d P.A serão (,, 4) e fic fácil erceber que rzão é igul. c) 5 4. R, logo, B) Proriedde dos Termos Eqüidisttes. Num P.A fiit, som de dois termos eqüidisttes dos extremos é igul à som dos extremos. Exemlo: Poderemos fzer demostrção r o cso gerl: (,,...,... q,... ) termos termos Verifique que etre o rimeiro termo e o termo existem termos e etre o termo q o termo tmbém existem termos. Por isso esses termos são deomidos de eqüidisttes dos extremos. Temos que rovr que som desses dois termos ( q ) é igul à som dos dois extremos d P.A ( ). De fto, ( ).r e q ( ).r...logo: ( ).r ( q ( ).r) r r q r r

7 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 q ou etão q o que demostr oss roriedde. C) O Gráfico de um P.A Podemos visulizr os termos de um rogressão ritmétic or meio de um gráfico como este: Os vlores dos termos são reresetdos els brrs verticis que formm o deseho de um escd. Ness escd, ltur de cd degru é rzão d rogressão ritmétic. D) Um outr fórmul (Recorrêci) Imgie que você se ecotr o º dr de um escd e que desej tigir o 9º dr. Qutos dres você terá de subir? É clro que resost é 6 dres. Isso, em ligugem mtemátic ode ser reresetdo or: 9 6. R. De modo gerl, se estmos o degru de úmero e desejmos chegr o degru de úmero m, devemos subir (m ) degrus. No cso d P. A, teremos um outr meir mis gerl de escrever fórmul, relciodo dois termos quisquer e ão obrigtorimete como rimeiro termos. Ë seguite fórmul: m (m ). R. Exemlo 6: A mesd de Luci umet todos os os de um vlor costte de reis, combido com o seu i. Sbemos que o 5º o ós o cordo, mesd estv em R$ 8, e que o 8º o estv em R$,. Qul er o vlor d mesd de Luci o iício desse cordo? Solução: Pelo que vimos fórmul terior, oderemos relcior diretmete os vlores do 8º e do 5º o de mesd R Substituido os vlores cohecidos, temos: 8 R, logo, teremos que. R ou R. Podemos gor, relcior um desses termos (o 5º ou o 8º) com o rimeiro e determir o vlor d mesd de Luci o iício do cordo (o rimeiro o de cordo) 5 4. R ou 8 4. ou 4. Resost: No iício (e durte todo o rimeiro o) mesd de Luci er de R$ 4,.

8 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE ) ) Um criç está bricdo com litos de fósforo. Observe o que el está fzedo. Se el cotiur costruido seguido o mesmo critério usdo té gor, qutos qudrdos el terá costruído com 5 litos? ) Achr três úmeros em P. A e tis que som do rimeiro com o terceiro sej e o roduto do rimeiro elo segudo sej 4. ) Um coro em qued livre, rtido do reouso, ci 6 m durte o rimeiro segudo, 48 m durte o segudo, 8 m durte o terceiro, etc. Clculr distâci que ci o 5 o.segudo. 4) O erímetro de um triâgulo retâgulo é 6 m e os seus ldos formm um P. A. Determie áre desse triâgulo. 5) Qul o rimeiro termo de um P.A, de 49 termos, se o último termo vle 8 e su rzão é igul ½? 6) Qutos úmeros iteiros existem, etre 84 e 79, e que são múltilos de 5? 7) Qutos úmeros iteiros existem, de té 9, e que NÃO são múltilos de? 8) Qul rzão d P.A obtid qudo iserimos 4 termos(meios ritméticos) etre 9 e 4? 9) (UNESP) Dus eques fábrics de clçdos A e B têm fbricdo, resectivmete, e res de stos or mês. Se, rtir de jeiro, fábric A umetr sucessivmete su rodução em 7 res or mês e fábric B umetr sucessivmete su rodução em 9 res or mês, rtir de que mês rodução d fábric B vi suerr rodução d fábric A? ) Escrev um P.A (crescete), de três termos, sbedo que som desses termos vle e que som de seus qudrdos vle 8. ) Os termos de um seqüêci são roorciois os úmeros, 5 e 9. Somdo 4 o termo do meio, ov seqüêci formd é um P.A. Determie seqüêci iicil. 5 7 ) Cosidere seqüêci (,,,,...). Determie seus três róximos termos ) Sej um P.A de 7 termos e rzão igul R. Se retirrmos o segudo, o terceiro, o quito e o sexto termos, teremos um outr P.A, de rzão... 4) Em um P.A o rimeiro termo é igul,4 e o segudo termo é igul,5. Qul o vlor do décimo termo dess rogressão? 5) Qutos termos ossui um P.A cujo rimeiro termo é igul x 9y, o último é igul y e rzão é igul y x (sedo yx)?

9 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

10 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis O texto terior, extrído d revist Glileu Esecil (Eurec), de bril de, os mostr de um form simles como que o mtemático lemão, Guss, id criç, coseguiu de form geil um rov r som dos termos de um P.A. É clro que o que está reortgem ão é um demostrção rigoros, em geéric, ms, com uxílio ds rorieddes que estudmos teriormete, odemos roveitr idéi de Guss e deduzirmos tl fórmul. Vejmos: Cosideremos som S, de todos os termos de um P.A (fiit, é clro). S... É clro que tl som ão modificrá, como fez Guss, se escrevermos em outr ordem. Vmos escrever mesm som, de trás r frete: S... Se somrmos esss dus exressões, teremos: S ( ) ( ) ( )... ( ) Já vimos teriormete que tods esss soms, de termos eqüidisttes dos extremos, são iguis à som dos rórios extremos. Logo, segud rte d exressão obtid ode ser substituíd or ( ) ( ) ( )... ( ).( ) Logo, chegmos filmete, S som dos termos de um rogressão ritmétic. ( ). que é fórmul clássic r obtermos UMA CURIOSIDADE... (dtdo de Telecurso Fudção Roberto Mriho) Podemos visulizr o que está ocorredo durte som dos termos de um P.A ssocido à um rogressão ritmétic idéi de um escd. Vejmos ess situção r um P.A de sete termos. Estmos queredo clculr som dos comrimetos de todos esses degrus. Vmos usr do mesmo rtifício usdo elo osso brilhte Guss. Imgiemos dus desss escds (um dels ivertid) e colds.

11 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Observdo figur, costtmos lgo que já sbímos que s soms 7, 6, 5,... são tods iguis. Logo, odemos somr d seguite form: Dess form, temos S ( 7 ). 7 ou ( S 7 ). 7 Acredito que visulizção cim mostrd, bem como históri de Guss (Revist Glileu Esecil) fcilitrão que você se lembre de como roceder r somr todos os termos de um rogressão ritmétic. Exemlo 7: Qul som dos 5 rimeiros termos de um P.A qul ? Solução: Pel fórmul que cbmos de deduzir, sbemos que som dos 5 rimeiros termos de um P.A. é dd or: ( 5). 5 S (6). 5 S ms, como sbemos que , teremos etão: 4 Exemlo 8: Ao se efetur som de 5 rcels em rogressão ritmétic, 6..., or distrção ão foi somd 5ª rcel. Qul som que foi ecotrd, or ego? Solução: Observmos que rzão d P.A é igul 4 e que o rimeiro termo é. Logo, já odemos obter os vlores d 5ª e d 5ª rcels, ecessáris à solução do roblem. Cálculo d 5ª rcel 5 4. R (que terá de ser descotd do totl, já que el foi esquecid ). Cálculo d 5ª rcel R

12 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Som ds 5 rcels ( ). 5 ( 98). 5 5 S 5 Som que foi ecotrd, com flt d 5ª rcel PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso Fudção Roberto Mriho) Hoje em di, todos ós usmos um máqui simles r fcilitr ossos cálculos: máqui de clculr. Além de relizr s qutro oerções (som, subtrção, multilicção e divisão), máqui clcul riz qudrd e tem memóri. Vmos ver um form iteresste e simles de usr clculdor r fcilitr o trblho com rogressões ritmétics. Como exemlo, vmos cosiderr rogressão ritmétic de rzão R 7, começdo em 9. Pr visulizr qutos termos você quiser, digite: A rimeir vez que você cior tecl máqui vi mostrr o termo 6 (segudo termo d P.A). Ns outrs vezes que você cior tecl, sucessivmete, o visor d máqui mostrrá:,, 7, 44,...té o termo que você desejr. A máqui de clculr tmbém som os termos de um rogressão ritmétic. Se ão forem muitos os termos que recismos somr, o uso d clculdor é bstte eficiete. Vmos mostrr, como exemlo, como obter som dos 5 rimeiros termos de um PA, cujo rimeiro termo é 5,86 e cuj rzão é,7. Pr obter os 5 termos, rocedemos como o exemlo terior. Devemos es, ós cd termo que recer o visor, ertr tecl M. Isto fz com que os termos d rogressão sejm cumuldos memóri d clculdor. Deois que você ertr el quit vez tecl M, erte tecl MR e som dos 5 termos d rogressão recer o visor. O esquem d oerção que vmos fzer é o seguite: Iicido or 5,86 e usdo rzão,7, você irá obter o vlor 8 r som dos 5 rimeiros termos d rogressão.

13 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis EXERCÍCIOS PROPOSTOS (SÉRIE ) ) Clcule som de todos os úmeros turis ímres de dois lgrismos. ) Em um cs de cmo existem, o logo d cerc, um toreir e 8 roseirs. A toreir está 5 m d rimeir roseir e o esço etre s roseirs é de m. O jrdieiro tem es um blde. Ele eche o blde toreir, reg rimeir roseir, volt r echer o blde, reg segud roseir, e ssim or dite. Aós regr décim oitv (8ª) roseir ele retor r deixr o blde juto à toreir. Qul foi distâci totl ercorrid elo jrdieiro? ) Sedo x um úmero rel, ão ulo, clcule o vlor d exressão: x 5.x 5.x 47.x 44...x 4) Clculr som de todos os termos de um P.A cujo rimeiro termo é 4, o último termo é 46 e rzão é igul o úmero de termos. 5) Obteh som dos termos de um P.A crescete, cujos dois rimeiros termos são s rízes d equção x x 4. O úmero de termos dess rogressão é o dobro do vlor do segudo termo. 6) Um ciclist ercorre km rimeir hor de rov, em seguid ercorre 7 km segud hor (ou sej, 7 km em hors) e rossegue semre dess form, ercorredo km meos s róxims hors de ercurso. Quto temo ele levou r ercorrer um totl de 77 km? 7) Obteh rzão de um P.A de termos, cuj som dos termos é 76. Sbemos que est rzão é ositiv e que difereç etre os dois termos extremos é igul. 8) Colocdo-se 54 estudtes em fil, com estudte rimeir fil, estudtes segud, estudtes terceir e ssim sucessivmete, formmos um triâgulo. Quts fils tem ess formtur? 9) (UFRJ) Um iel cotêm lâmds vermelhs e zuis. No istte iicil (t ) cedem-se, simultemete, um lâmd vermelh e 4 zuis. A rtir dí, de em segudos, cedem-se s lâmds vermelhs e gm-se s zuis. O úmero de lâmds vermelhs cess cresce em rogressão ritmétic de rzão igul 4 e o de zuis decresce em rogressão ritmétic de rzão. Em 7

14 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 determido istte teremos mesm qutidde de lâmds vermelhs e zuis cess. Quts lâmds de cd cor estrão cess esse mometo? ) Pr escrever seus cotos um escritor rocede d seguite meir: escreve o rimeiro di de trblho lihs, e os dis seguites, escreve o úmero de lihs do di terior, crescido de 5 lihs. Seu último coto tem 7 ágis, e em cd ági 5 lihs. Clcule em qutos dis esse coto foi escrito. GABARITOS SÉRIE ) 8 ) 4, 6, 8 ) 464 m 4) 5 m 5) 8 6) 7 7) 594 8) 9) outubro ) (, 4, 8) ),, 6 ), 9/8, 5/4 ) R 4), 5) SÉRIE ) 475 ) 846 m ) x -48 4) 75 5) 8 6) 7 h 7) R 8) 55 9) 5 ) "Nós gerlmete descobrimos o que fzer ercebedo quilo que ão devemos fzer. E, rovvelmete, quele que uc cometeu um erro uc fez um descobert." (Smuel Smiles)

15 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ SEQÜÊNCIAS E PROGRESSÕES PARTE II - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G) ) INTRODUÇÃO Cosideremos gor seguite situção: um mercdori, que em 99 custv reis, teve seu reço rejustdo os 4 os seguites, sob tx de % o o, sobre o reço do o terior. Vejmos um tbel reresettiv desses reços: Ao Preço (R$) 99, 99, 99, 99, ,4 Se você egr su clculdor e dividir os vlores de dois termos cosecutivos dess seqüêci, vi observr gor que os quocietes desss divisões serão todos iguis. Vejmos: :, :,, :, 46,4 :,, Se lembrrmos que o úmero deciml, corresode / ou %, costtremos que cd reço está sedo rejustdo em % sobre o reço do o terior. Esse tio de seqüêcis, ode cd termo ( rtir do segudo) é obtido trvés d multilicção do termo terior or um ftor fixo, deomido rzão (q), é o que chmmos de Progressão Geométric (PG) e que estudremos esse cítulo. Vlem r s rogressões geométrics s mesms otções e coveções que usmos r s rogressões ritmétics: r o rimeiro termo; r o termo gerl...etc. A úic difereç de otção que usremos é que, este cso, deotremos rzão or q e ão R, como fizemos teriormete, ois rzão gor é obtid el divisão de dois termos cosecutivos d seqüêci, e, você sbe que o resultdo de um divisão é deomido quociete. Vejmos um exemlo iicil, r fixrmos o que já mostrmos. Imgie um rogressão geométric, de rzão igul, começdo o úmero. x Perceb que, se fosse um rogressão ritmétic, de rzão igul, começdo o três, o crescimeto seri bem mis leto: Você ode erceber, clrmete, mesgem que existe em frses do tio: A rodução de limetos cresce em rogressão ritmétic, equto oulção mudil cresce em rogressão geométric. Podemos etão resumir que um P.G é um seqüêci ode cd termo, rtir do segudo, é obtido elo roduto do termo terior or um ftor fixo, deomido rzão.

16 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Podemos id firmr que: A rzão d PG é igul qulquer termo dividido elo terior. Em osso estudo, or motivos ráticos, os deteremos s rogressões geométrics de rzões ositivs (que é o que ocorre grde miori dos exemlos ráticos) e, odemos usr seguite clssificção r s P.G. Ou sej, se rzão é suerior, rogressão geométric é crescete, se rzão é iferior (e ositiv, como já combimos), rogressão geométric é decrescete e se rzão é igul, rogressão é dit estcioári. OBS: É clro que existem rogressões geométrics, ormlmete teórics, cuj rzão é egtiv. Esss rogressões, elo fto de ter rzão egtiv, terão seus termos vrido de sil e são dits osciltes. ) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G Vmos usr um rciocíio semelhte o que vimos r s rogressões ritmétics. Podemos, dess form, iferir que fórmul r o cálculo de um termo qulquer de um P.G é: (). q FATO CURIOSO: Se você comrr s defiições dos dois tios de rogressões que estmos estuddo (ritmétics e geométrics), observrá que o que P.A é um som, P.G se trsform em um multilicção. O que P.A é um multilicção (ou som de

17 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 rcels iguis), P.G é um otecição (ou multilicção de ftores iguis). Se lembrr tmbém que rzão d P.A é idicd or R, equto que d P.G é idicd or q, terá um oderoso rtifício r trsformr s rorieddes e fórmuls obtids r P.A, r s rorieddes e fórmuls d P.G. Comremos s fórmuls dos termos geris, d P.A e d P.G: P.A R. ( - ) () P.G. q Ms, mesmo sbedo esss fórmuls, é muito mis imortte do que els sber que, como um escd, qutos sltos devemos dr r ir de um termo o outro. Somdo semre um vlor fixo, o cso d P.A e multilicdo semre um vlor fixo, o cso d P.G. Cbe id ressltr que, fórmul d P.G ode ser escrit rtir de um termo iicil que deotremos or o que se mostrrá bstte vtjoso em diversos exemlos ráticos que mostrremos, como biologi e mtemátic ficeir. Nesses csos, fórmul ssumirá o seguite secto:. q Exemlo : (Telecurso Fudção Roberto Mriho) Verifique, fórmul d P.A se trsform d P.G, bstdo substituir som or roduto, rzão R, or q e o roduto or um otêci. Você oderi (e deve) resolver diretmete ess questão, lembrdo que do rimeiro termo, o décimo segudo, terímos sltos d dr e, como se trt de um P.G, er só multilicr o rimeiro termo el rzão elevd o exoete. Exemlo : Qutos termos tem P.G (,, 9,...87)? Solução: Verificdo que rzão é igul e, usdo fórmul do termo gerl, teremos: (). q ou id ( ) Esse tio de equção que obtivemos, ode icógit se ecotr o exoete, chmmos de equção exoecil e, como temos um

18 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 iguldde de otêcis de mesm bse, é clro que seus exoetes terão de ser iguis, logo, 7, o que crret 8. Exemlo : (Telecurso Fudção Roberto Mriho) Existem bctéris que se reroduzem de form extremmete ráid. Um exemlo é bctéri que cus sífilis (chmd treoem llidum): cd um dels se trsform em 8 iguis, o eríodo de hor. Se um bctéri desse tio começ se reroduzir, quts els serão hors deois, suodo que ehum dels teh morrido? Solução: A oulção desss bctéris form um P.G. Mometo iicil hor deois 8 hors deois Como estmos queredo qutidde de bctéris hors deois do iício, temos que obter o º termo dess rogressão geométric. Logo, licdo fórmul do termo gerl, teremos:. q ou bctéris. Exemlo 4: (ITA) Obteh os vlores de x e y, de modo que seqüêci sej um P.G (, x, y, 458) Solução: Verificmos que o rimeiro termo é igul e que o qurto termo d P.G é igul 458. Logo, licdo fórmul do termo gerl, teremos: (). q ou id 458.q. Assim, q Nesse cso, temos um equção do tio q 9, o que crretrá que q 9. Dess form, odemos gor comletr rogressão: ( ) x 9 x 9 x 9 Coclusão: x 8 e y 6.

19 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 CALCULADORAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (De: Telecurso Fudção Roberto Mriho) Exemlo 5: Sr. Gstão licou R$, um ivestimeto que vlorizv o seu diheiro % o mês. Quto ele vi ter, 4 meses ós o iício d licção? Solução: Esse tio de situção, d Mtemátic Comercil e Ficeir, é o que deomimos JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formrá semre um Progressão Geométric, como vimos o exemlo d itrodução, rzão dess P.G é o que deomimos FATOR DE CORREÇÃO. Nesse exemlo, o ftor de correção será igul,, ois % % corresode % ou,. Logo, teremos de clculr o resultdo de. (,) 4. N clculdor bst fzer, x 8,4. O que vimos o exemlo cim é um dos grdes usos ds rogressões em oss vid Mtemátic do Diheiro. As rogressões geométrics odem (e devem) ser observds como um seqüêci de termos com tx de vrição costte (sej r umeto ou r redução). ) ALGUMAS PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS A) Proriedde Fudmetl de um P. G Semre que tivermos três termos cosecutivos de um P. G (de rzão ositiv), o termo do meio será igul à médi geométric dos outros dois. Assim, se os termos: x, y, z, forem cosecutivos de um P.G, teremos que y x. z. Ess roriedde decorre d róri defiição d P.G, ode o resultdo (quociete) ds divisões etre dois termos cosecutivos devem ser iguis.

20 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis y z De fto, se, isso crretrá que y x. z ou id y x. z. x y Ess roriedde oderi tmbém ser obtid diretmete d roriedde similr d P.A, bstdo fzer s substituições ds oerções corresodetes. EXEMPLO 6: Sbedo-se que ( x -, x, 5x...) são os três rimeiros termos de um P.G crescete, obteh: d) o vlor de x e) o vlor d rzão d P. G f) o vlor do 6º termo dess mesm P. G Solução: De cordo com roriedde resetd, como são três termos cosecutivos d P. G, teremos: x (x ).(5x ). Dess form, (x ) (x ).(5x ). 4x 4x 5x x x x 4x. Resolvedo ess equção, obteremos os resultdos 7 e. Como P.G é crescete, logo, resost válid será o vlor que gerr um rzão mior do que. vejmos oção x 7, teremos seguite P.G (5, 5, 45), que tede à codição do roblem. Vejmos gor oção x -, teremos seguite P.G (-5, -5, -5)...que ão tede o osso roblem. Logo resost d rimeir ergut é x 7. b) rzão d oss P. G é q (5 : 5) c) o sexto termo d P.G será: 5 5.q B) Proriedde dos Termos Eqüidisttes. Num P.G fiit, o roduto de dois termos eqüidisttes dos extremos é igul o roduto dos extremos. Exemlo: Cosidere P.G (,, 4, 8, 6,, 64, 8, 56, 5) Verifique: Você ode, mis um vez, tirr ess roriedde diretmete d roriedde similr d P.A, substituido oerção de ADIÇÃO, el de MULTIPLICAÇÃO. C) Gráfico de um P.G Vmos suor, r exemlo, um P.G cujo rimeiro termo fosse igul e rzão fosse igul,5. Terímos o seguite tio de gráfico:

21 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Você deve lembrr que, qudo estudmos o gráfico d rogressão ritmétic, s extremiddes dos segmetos verticis obtidos estvm em lih ret. Agor, rogressão geométric, esss extremiddes estão sobre um curv, deomid curv exoecil. 4) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Sej... Vmos multilicr todos os termos dess iguldde or q. Teremos etão: S q.s.q.q.q....q.q.q 4 Subtrido rimeir exressão d segud, teremos: q.s S. q - e gor, colocdo o termo S, em evidêci, teremos: S. (q ). q - S.q q A fórmul cim ode ssumir um outro secto, bstdo substituir o el resectiv exressão do termo gerl d P.G. A fórmul d som dos termos d P.G (fiit) ficrá etão: (q ) S. (q )

22 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Portto, temos dus exressões distits r o cálculo d som dos termos de um P.G fiit. A escolh de qul usr em cd situção roblem deederá obvimete dos râmetros evolvidos em cd cso. Exemlo 7: Obteh som dos rimeiros termos d P.G (, 4, 8,...) Solução: Pr este cso, é melhor usrmos segud exressão d fórmul d som d P.G, ois temos o rimeiro termo, o úmero de termos que queremos somr e rzão (q ). S (q ). (q ) ( )..(4 ) 46 ( ) OBSERVAÇÃO: Verifique que, qudo um P.G decrescete, o úmero de termos cresce idefiidmete (dizemos que tede o ifiito), exressão dess som (que tederá um vlor limite) ficrá bstte simlificd, ois o termo tederá zero. Verifique o exemlo: (; 6; ;,5;,75;,75;,875;.975,...) observe que quto mior o úmero de termos, mis se roxim de zero o último termo cosiderdo. Logo, fórmul que estudmos ficrá, este cso, trsformd em: S.q q substituido or, teremos etão lims q Exemlo 8: Clculr som dos termos d P.G (6, 8, 4,,,...) Solução: Verificmos que se trt do cso d P.G com rzão meor que (q ½, P.G decrescete). Qudo o úmero de termos teder o ifiito, o último termo tederá zero e oderemos licr fórmul terior, ou sej: 6 lims q 6 Exemlo 9 (PUC): N figur está reresetdo um cojuto ifiito de círculos C, C, C,... Os diâmetros de todos eles estão sobre um segmeto de ret de comrimeto igul. Além disso, o rio de C é metde do rio de C. A áre d região hchurd figur é:

23 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Solução: Pel figur, verificmos que áre hchurd é igul à difereç etre áre do mior semicírculo (C ) e som ds áres dos demis semicírculos, rtir do C. ) Rio do semicírculo C ½. Áre desse semicírculo r r b) Rio do semicírculo C ¼. Áre desse semicírculo 6. r c) Rio do semicírculo C /8. Áre desse semicírculo 64 8 Percebemos que cd áre é igul ¼ d áre terior, logo, esss ifiits áres formm um P.G decrescete, de rzão igul ¼. Podemos, mis um vez, licr fórmul do limite d som, qudo o úmero de rcels tede ifiito. Cosiderdo como rimeiro termo áre do semicírculo C lims q Filmete, áre hchurd edid, será igul : 8 4 Dificulddes reis odem ser resolvids; es s imgiáris são isueráveis." (Theodore N. Vil)

24 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 4) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO A) OS FATORES DE CORREÇÃO Coforme já cometmos teriormete, o grde uso rático ds rogressões geométrics está s seqüêcis de tx de vrição costte. Isso ocorre em muits situções que evolvem diheiro, oerções bcáris e comerciis. Pr que você resolv miori desss questões que, ideedetemete de estrem ou ão os cocursos que relizmos e estão chmos fudmetl efocr com mis detlhes os ftores de correção e mtemátic do diheiro. Muit gete ch que Mtemátic do diheiro serve só r grmos osss cots, coferir trocos, coiss desse tio. Ms ão é somete isso, sbemos que o diheiro, s trsções bcáris ou comerciis, estão cd vez mis resetes vid de tods s essos. Se ergutrmos um esso qul o vlor de dólres, mis mrcos, mis reis, el rovvelmete dirá que rimeirmete recismos coverter todos esses vlores r um mesm moed, tes de efeturmos som. Alogmete, recismos tomr cuiddo com vlores moetários o temo. Será que rcels de reis, gs com itervlos de dis, corresodem um úico gmeto de reis, um Ecoomi com iflção? Ifelizmete, miori dos livros de mtemátic igor est fto, ssim como igorm tmbém iflção. Esse tio de erro é ecotrdo tto em textos r o Esio Fudmetl e r o Esio Médio. Você deve cocordr comigo que, sem Mtemátic, ão coseguirímos eteder ossos cotrcheques, clculr ossos umetos de slário, idetificr os rodutos que umetrm demsidmete de reço, costtr e criticr s rogds egoss, reividicr ossos direitos trblhists,... Observe reortgem seguite: Fote: Revist Vej Edição 755 de de juho de

25 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 5 Noss bordgem iicil será trvés de um imortte segredo d Mtemátic do diheiro os ftores de correção. Você irá costtr ridmete que, este coceito, é bse de quse tudo o que se estud Mtemátic Comercil e Ficeir e, com o uxílio de um clculdor simles, você oderá eteder e resolver um grde qutidde de roblems que estão o osso cotidio. Aós um estudo detlhdo desses ftores de correção, voltremos à reortgem d revist Vej, verificdo s iformções el cotids. Noss bordgem será feit de form cotextulizd, trvés de eques históris que servirão r os resetr e fmilirizr com ess Mtemátic iserid s trsções ficeirs e de comércio. Históri O slário de Mri er, em gosto de, de R$, e, ós muit lut, recebeu um rejuste de % o mês de setembro de. Qul o vlor do slário que Mri ssou receber rtir de setembro? Pergutmos dois rofessores ossos cohecidos como resolverim questão cim roost e, obtivemos s seguites resosts: % são cetésimos, logo, divido or r chr um cetésimo, deois Professor A Acho que você cocord comigo que solução d rofessor A está corret, um bo solução, vejmos su solução comlet: :,, x 8,4 8,4 58,4 Professor José % são cetésimos ou,... r sber quto vle, de um quti, bst A solução do rofessor José, que tmbém é muito bo, está corret tmbém, certo? Vejmos su solução comlet:, x 8,4 8,4 58,4 Verifique que os dois rofessores souberm licr seus cohecimetos r descobrir o ovo slário de Mri. O rofessor José resetou um solução um ouco mis ráid, e ele cohece um fto imortte que dá um sigificdo d multilicção: ele sbe que, o multilicrmos, or,, o resultdo sigific quto vle, d quti,, ou sej, quto vle cetésimos de,. Gostrímos que você comhsse coosco um outr form de resolver esse roblem.

26 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 6 Em gosto, rofessor Mri recebi % do seu slário, certo? Ms em setembro ssou receber % mis desse vlor. No totl, cho que você cocord comigo, el vi ficr com % desse slário! Pr chr % / ou, de um quti, bst multilicá-l or esse vlor. Fç su máqui de clculr multilicção, x, e comre com s resosts ecotrds elos rofessores José e A. Percebeu que obtivemos mesm resost? Refletido sobre o ssuto Algus luos ou rofessores, que resolvem ess questão como o rofessor José ou rofessor A, odem chr melhor o modo como esvm tes e cotiur resolvedo os roblems d mesm meir. Ms qudo relciomos s coiss que já sbemos em Mtemátic odemos descobrir ovos cmihos, e isso os lev semre comreeder mis ess ciêci. Vej id um vtgem, últim solução é bem mis ráid que s demis. Vej: Slário de,, ós receber um umeto de %., x, 58,4 Em Mtemátic Ficeir, dizemos que, esse cso: A tx de umeto ercetul do slário foi de % O ftor de umeto (ou multilicdor) do slário foi de,. Históri : Durte um liquidção, loj KOBRA KARO, foi colocdo um grde crtz, ucido descotos de 5% r tods s mercdoris. Quto ssrá custr um clç jes que, tes d romoção, custv R$58,4? GRANDE LIQUIDAÇÃO!!! 5% EM TODAS AS MERCADORIAS Poderímos desevolver um solução mis extes, como que rofessor A fez Históri. 5% corresodem 5 cetésimos do reço d clç. Um cetésimo do reço d clç corresode 58,4 :, que é igul,584. Quize cetésimos corresoderão 5 x,584, que é igul 8,76. Dess form, o reço d clç liquidção será: 58,4 8,76 49,64 Que tl resolvermos d form mis ráid, como tmbém fizemos históri. Verifique o que vi ocorrer se multilicrmos 58,4 x,85? 58,4 x,85 49,64

27 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 7 Por que será que gor usmos o úmero,85 r gerr o descoto oferecido el loj? Vej que odemos usr um rciocíio recido com o que fizemos históri, ou sej: Preço orml d clç %. Descoto oferecido 5%. Vlor ser cobrdo liquidção % - 5% 85%. Como sbemos que 85% corresodem 85 cetésimos ou,85, temos coclusão que querímos, ecotrr o reço d clç com 5% de descoto, bstrá multilicr o reço orml de 58,4 or,85. Nesse cso temos: tx ercetul do descoto foi de 5% ftor de redução (ou multilicdor) r 5% foi,85. Os dois ftores (ou multilicdores) que usmos o de umeto históri e o de redução históri, são deomidos FATORES DE CORREÇÃO. Acho que você cocord comigo que todo ftor de umeto será um úmero mior do que e todo ftor de redução será um úmero meor do que. Por que será? Exemlo 9: Se o jorl ucir, um determido mês, que cderet de ouç será corrigid elo ftor,5, ele estrá os iformdo que os ivestidores estrão recebedo que correção ercetul sobre o sldo terior? Solução: Como o ftor,5 corresode à tx ercetul de,5%, verificmos que correção ds cderets de ouç foi de,5%. Aumetos ou Reduções Sucessivos e As Progressões Geométrics. Você sbe que em osso di--di é bstte comum ecotrrmos situções de umetos ou reduções sucessivs, como cderet de ouç, s liquidções, os rejustes de imostos ou mesmo de slários (meos comum, ifelizmete). O que será que ocorre com os ftores de correção esses csos? Vejmos um exemlo: Um mercdori sofreu dois rejustes cosecutivos, de % e de 4%, resectivmete. Qul o umeto ercetul corresodete esss dus correções? Você oderi usr um recurso, bstte válido, de suor um reço iicil r ess mercdori (ormlmete usmos o vlor de reis, ois fcilit ossos cálculos). Em seguid, umetr esse reço em % e deois em mis 4% sobre rimeir correção. Comrdo o reço fil com os reis, teremos vrição ercetul rocurd. Vejmos esse tio de solução. Preço iicil reis rimeir correção (%) reis segud correção, 4% sobre reis, ou sej,,4 x 4, reis, logo, o reço fil será de reis 4, reis 7, reis.

28 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 8 Se comrrmos o reço fil de 7, reis, com o reço iicil de reis, temos que o umeto foi de 7, reis e, como esse créscimo é sobre reis, temos tmbém que o umeto ercetul foi de 7,%. Gostrímos de lertá-lo ovmete sobre gilidde que você ode dquirir, usdo r esse tio de questões os ftores de correção, como já vimos teriormete. Vejmos ess outr ossível solução. Vmos chmr o rimeiro reço d mercdori de P. Você já deve estr sbedo que, com um umeto de %, usdo os ftores de correção, esse reço ssrá ser de P x, (certo?). Com o segudo umeto de 4%, o reço ssrá ser de P x, x,4 o que corresode P x,7, já que multilicção é ssocitiv. Isto vi sigificr que, ideedetemete do reço iicil ele está, ós os dois umetos sucessivos, sedo multilicdo elo ftor,7, o que corresode um vrição ercetul de 7,%, mesm resost que chmos rimeir solução cometd. Gostrímos que você observsse esse imortte fto s trsções comerciis e Mtemátic Ficeir. Aumetos sucessivos (muito comus em íses como o Brsil) germ um umeto cumuldo que ode ser obtido trvés do PRODUTO dos ftores de umeto corresodetes às txs desses umetos. Um rciocíio recido com esse seri feito r o cso de reduções sucessivs de reços ou slários. Reduções sucessivs odem ser tmbém clculds trvés do PRODUTO dos ftores de redução corresodetes às txs desss reduções. Um crític que fzemos à miori dos livros didáticos do Esio Fudmetl é que eles ormlmete só bordm os chmdos juros simles e, esse cso, dri o luo fls imressão de que os dois umetos desse exemlo gerrim um umeto totl de 7%. Tl fto só estri correto se os dois umetos fossem sobre o vlor iicil d mercdori, ou sej, se eles ão fossem cumultivos, ou sucessivos o que crcteriz um situção deomid juros comostos. Exemlo : Qul vrição ercetul cumuld, gerd or dois umetos sucessivos de %? Solução: Alicdo direto o coceito de ftores de correção, teremos:, x,,69. Logo houve um umeto cumuldo de 69%. Verifique que, se usássemos vlores moetários, formdo um seqüêci, como se trt de tx fix de correção, terímos um situção muito rticulr e já cohecid oss, vejmos: Suodo um vlor iicil de reis. Com um rimeiro umeto de %, teremos um segudo vlor de x, reis. Com um segudo umeto de %, teremos um terceiro vlor de x, 69 reis. Logo, temos seqüêci (,, 69), que é um PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de rzão igul, (ou,) o que corresode um vrição ercetul fix de % de umeto. O Fto que verificmos cim irá semre cotecer qudo s txs de vrição forem costtes e umetos ou reduções sucessivs. Teremos semre formção de rogressões geométrics.

29 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 9 Históri : O remédio que o Sr. João tom dirimete, r ressão lt, custv R$ 4, o mês de bril de e ssou custr R$ 48,. Qul foi o ftor de correção e o umeto ercetul corresodete? Você já sbe que o multilicrmos o vlor iicil elo ftor de correção teremos o vlor fil, o cso o reço do remédio com correção. Isso tmbém sigific que, dividido o vlor fil elo vlor iicil, obtém-se o ftor de correção. Vlor fil: vlor iicil ftor de correção No cso rrdo históri, teremos que o ftor de correção será igul 48, : 4,,5. Esero que, esse oto de osso curso, você já estej sbedo que esse ftor corresode um vrição ercetul de,5% (umeto do remédio). Cso ão teh id ercebido o que coteceu, vle e observr que: Qudo multilicmos o vlor iicil or,5 (ftor de correção) é como tivéssemos multilicdo or (,5). Multilicr or reroduz o vlor iicil e multilicr or,5 (ou,5 / ) drá o umeto hvido. Que em osso cso corresode,5%. Verifique tmbém o imortte fto de que os úmeros decimis odem ser trsformdos em ercetges or um multilicção or. Vej:,5,5 % (,5 x ),5 5% (,5 x ),8 8% (,8 x ), % (, X ),45 45% (,45 X ) Podemos resumir o que ocorreu ess históri, qudo temos o ftor de umeto e queremos obter o ercetul de umeto corresodete. Ddo um ftor de umeto, devemos subtrir dele, r cohecer o umeto hvido. Exemlos: Ftor de umeto Aumeto gerdo Percetul de umeto,45,45,45 45%,95,95,95 95,%,65,65,65 6,5%, 86,86,86 86% Históri 4: Ritih, que recebe um slário de R$ 4, or mês, verificou em seu cotrcheque que, ós todos os descotos sofridos or el em um determido mês, recebeu es R$ 99,. Você sberi determir o ercetul do descoto que foi submetido o slário de Ritih? Você já verificou, históri, que existe um modo de obtermos o ftor de correção do slário de Ritih que, esse cso, será um ftor de redução. Ates de cotiur leitur do cometário dess históri, verifique se você está sbedo como determimos o ftor de correção. Nesse cso, o ftor de redução será igul 99, : 4,,88.

30 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis Qul o ercetul de redução do slário de Ritih, o ter sido multilicdo or,88? Se eu disser que é de %, você sberi o orque dess mih resost? O fto é que o,88 obtido como ftor de redução corresode um tx de 88%. Como o slário de Ritih sem os descotos, corresode %, redução sofrid será difereç etre % e 88%, cocord? Um outr form de eteder ess resost, e semelhte que vimos o ftor de umeto, e lembrr que,88 é igul (,) e, se multilicrmos o slário de Ritih or esse ftor teremos multilicção or, que recomõe o vlor do slário, sem descotos, meos multilicção do slário or,, o que rereset os descotos ou sej, um ercetul de, x ou %. Ddo um ftor de redução, devemos subtrí-lo de r cohecer redução ou descoto hvido. Exemlos: Ftor de redução Redução gerd Percetul de redução,45,45,55 55%,95,95,5 5%,76,76,4 4%, 86,86,4 4% Históri 5: Est historih ocorreu (ou melhor, ão chegou ocorrer) loj do Sr. Moel, meu viziho, há muitos os trás. Sr. Moel retedi usr um estrtégi r tetr movimetr su loj umetri o reço de tbel de tods s mercdoris em % e deois, ucido um grde liquidção, dri descotos de % r todos os rtigos que vedi. Achv ele que, gido dess form, vederi elos mesmos reços de tes, com vtgem de estr ucido um liquidção. Ates de cotiur leitur dess históri, qul su oiião sobre estrtégi que ele retedi usr? Qudo ele começou efetur os cálculos r comor tbel fictíci que usri como referêci, teve o susto de verificr que ão ocorri como hvi lejdo e que seri obrigdo veder or um reço iferior o que cobrv teriormete. Chmou-me r ergutr o que estv ocorredo, ode estv o erro de su estrtégi e, desistiu do rtifício ós mih exlicção. Vejmos o que ocorreu... Vmos suor que um mercdori custsse reis, o Sr. Moel, r comor tbel, teri de colocr o reço de reis e qudo fosse tl liquidção, teri que dr um descoto de % sobre os reis, que corresoderi um descoto de 4 reis. Logo, teri de veder mercdori or 4 96 reis, gerdo r ele um erd de 4 %. O fto é simles de ser etedido se você lembrr que o umeto iicil e o descoto osterior form mbos de %, só que sobre vlores diferetes. Equto o umeto foi sobre os reis, o descoto teri de ocorrer sobre os reis e, é óbvio que % sobre é mior que % sobre. Gostri de lembrr que ess questão é tmbém um cso de correções sucessivs (umeto, seguido de redução) e, como já vimos teriormete, odemos usr mis um vez os ftores de correção.

31 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis, rereset o ftor de correção ou multilicdor r um créscimo de %, certo? E,8 (ou,8) rereset o ftor de correção r um descoto de %. O roduto, or,8 (umeto e redução sucessivos) ger um resultdo,96, que é um ftor de redução. Qul o ercetul dess redução (que r o Sr. Moel seri um erd)? Acertou se esou em 4%. (lembr que temos de clculr,96,4 ou 4%). Históri 6: Vmos resetr gor um históri que, rovvelmete, você já se derou com lgum fto semelhte em su vid. Esss situções estão resetes o cotidio de tods s essos. Um loj uci ved de um relho de som, com dus ossibiliddes de gmeto. A vist or R$ 5, ou com um etrd de 5% e um segud rcel de R$ 9,, g dis deois. Quto está gdo de juros esso que escolher segud oção de gmeto? Um luo meu resetou seguite solução: Preço vist R$ 5, Preço go em dus rcels R$ 75, R$ 9, R$ 65, Vlor go mis (juros) R$ 65, R$ 5, R$ 5, Percetul go como juros (tx) 5 : 5, % Você cocord com ess solução de meu luo? Em cso egtivo, resete um outr e comre em seguid com o cometário resetdo. Verifique comigo que est solução (que retemete ão tem d de errd) ão está corret já que, qudo o cliete g etrd de 5% (R$ 75,), ele ssume um dívid de R$ 75, e é sobre esse vlor que ossos cálculos devem ser efetudos (é o que deomimos de sldo devedor). Logo, os juros cobrdos devem ser clculdos verificdose o umeto de R$ 75, r R$ 9,. Devemos determir o ercetul de juros comrdo-se os R$ 5, cobrdos mis, com R$ 75,, ou sej, 5 : 75, ou %. Se formos usr os ftores de correção, teremos que, este cso, o ftor de umeto corresode 9 : 75,. O ftor, corresode um créscimo de, -, %. Verifique que é um resost bem diferete d que meu luo clculou e ós, or descohecimeto ou flt de teção, muits vezes somos levdos clculr errdmete os juros que estão iseridos s comrs que fzemos. Históri 7: Vejmos gor um fto iteresste e que você tlvez se ssuste com su coclusão. Imgiemos um jogo o qul esso, em cd rodd, se ghr recebe metde do que ossui ocsião e se erder, erde metde do que tem o mometo. Um esso, que etrou com R$ 8,, fez 6 osts cosecutivs, ghdo e erdedo desss osts. O que odemos firmr sobre esse ostdor? A) Que ele ghou diheiro.

32 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis B) Que ele ão ghou, em erdeu diheiro. C) Que ele oderá ghr, ou erder diheiro, deededo d oredem em que ocorrerem s vitóris e s derrots. D) Que ele erdeu 74 reis, ideedetemete d ordem em que ocorrerm s vitóris e s derrots. Solução: Ates de mostrrmos solução este jogo, vmos tetr um ds hióteses ossíveis, r buscr lgum ist, ou descrtr oções de resost. Vmos suor que o osso jogdor tivesse ghdo s três rimeirs rodds e erdido s três últims. A evolução de seu citl seri: Note que o jogdor erdeu diheiro e, como etrou com 8 reis e siu com 54 reis su erd foi de reis. Com isso já odemos descrtr s oções A e B, ms, será que se s vitóris e derrots ocorressem em outr ordem o resultdo seri o mesmo? Vmos suor gor que s vitoris e derrots se lterssem. Vejmos o que ocorreri Percebemos que chegmos o mesmo resultdo, um erd de 74 reis. Ms oderi ser um coicidêci... Vmos usr ovmete os ossos ftores de correção e tetr um exlicção covicete deste jogo. Lembre-se que qudo um vlor umet em 5%, ele está sedo multilicdo or,5. Lembre tmbém que qudo um vlor reduz 5%, ele está sedo multilicdo or,5. O osso vlor iicil, 8 reis, estrá sedo multilicdo três vezes or,5 e três vezes or,5. Como ordem dos ftores ão lter o roduto, cofirmmos que, ideedetemete d ordem ds vitóris e derrots, o resultdo fil será o mesmo. E qul será esse resultdo? 8 x,5x,5x,5x,5x,5x,5 54 Coclusão desse surreedete jogo. Ele erdeu 74 reis, ideedetemete d ordem em que se sucederm vitóris e derrots. (oção D) VOLTANDO À INTRODUÇÃO DO CAPÍTULO. N ági, qudo começmos coversr sobre mtemátic e diheiro, exibimos um reortgem d revist Vej, de juho de, ode temos que iflção (quele mometo) cumuld os oito os do lo Rel, er de 79%. Bsedo-se ess iformção e com jud dos ftores de correção que cbmos de estudr, você oderi gor verificr se tods s iformções cotids o texto estão correts. Podemos gor resumir, os riciis coceitos que redemos s historihs que resetmos, com objetivo de resetr os ftores de correção: Você rerou que: Todo ftor de umeto é um úmero suerior? O ftor de umeto ode ser obtido el som (% tx de umeto ercetul) cujo resultdo deve ser osto form deciml? Exemlo: ftor de umeto r um créscimo de 4% % 4% 4% 4 /,4. Todo ftor de redução é um úmero iferior?

33 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis O ftor de redução ode ser obtido el subtrção (% - tx de redução ercetul) cujo resultdo deve ser osto form deciml? Exemlo: ftor de redução r um erd de 4% % - 4% 76% 76 /,76. Aumetos ou reduções (ou mistur dos dois) cosecutivos, devem ser clculdos elo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e ão el som ds txs eles corresodetes? B) À VISTA OU A PRAZO? Um dos roblems mis comus de ecotrrmos o osso di--di refere-se à decisão de comrr à vist ou rzo um determid mercdori. Somos semre tetdos el rogd, com romoções do tio % de descoto à vist ou em três vezes sem créscimo. A decisão melhor decisão deederá de um série de ftores, como txs de juros, disoibilidde do comrdor. Vmos mostrr ess seção que, mis um vez, o vlor do diheiro o temo, os ftores de correção e s rogressões geométrics serão fudmetis r oss escolh corret. É clro que existirão csos que s oções serão equivletes, esses csos, tto fz um escolh ou outr. Vejmos um exemlo: N coseguiu um tio de ivestimeto que lhe g juros de 5% o mês elo diheiro que licr. El etrou um loj e viu que um clç jes ode ser comrd vist or 8 reis ou ser dquirid com um cheque ré-dtdo, r dis, or 84 reis. Rere que, esse exemlo resetdo, s dus oções são equivletes, ois se el licr os 8 reis or dis, vi receber de juros 4 reis (5% de 8) o que ermitirá extmete cobrir o cheque ré-dtdo. Portto, tods s decisões que evolvem comrs ou ivestimetos estão oids o fto do vlor que o diheiro terá ou teve um outr dt, levdo-se em cot tx de juros que icide sobre os vlores licdos (ode ser d cderet de ouç, or exemlo). Logo, se tx vigete r s licções (tx de trtividde do mercdo) for de % o mês, reis hoje vlerão reis em um mês, vlerão 6,9 reis em dois meses (multilicdo x (,) ), vlerão 9,7 reis em três meses (multilicdo x (,) ), e vlerão multilicdo x (,) dqui meses. Verifique que o fto que mostrmos d mis é que utilizção rátic d fórmul dos juros comostos. Podemos ssim resumir o que cbmos de mostrr: Um vlor moetário M, vlerá dqui meses, licdo sob tx fix i, o mês, M x ( i). (com tx i exress su form deciml) M VALORIZAÇÃO NO TEMPO M x ( i) Alogmete, cso o vlor fosse cosiderdo um eríodo terior, ou sej, meses ou eríodos tes, o vlor do diheiro seri igul M : ( i) M DESVALORIZAÇÃO NO TEMPO M : ( i) PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMÁTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS, TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM COM O QUE ACABAMOS DE MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR ( i) (OU F )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR ( i) (OU F ).

34 Mtemátic o Esio Médio Álgebr - IA / UERJ Profs. Ilydio Pereir de Sá e Gerldo Lis 4 Exemlo : Lídi comrou um relógio, com um tx de juros de 5% o mês e últim rcel, de 8 reis, teri de ser g o di de setembro de. Acotece que Lídi ghou um diheiriho extr e está roodo à loj, gr su dívid o di de gosto de, ou sej, um mês tes d dt estiuld. Quto Lídi terá de gr? Solução: Como se trt de um tecição de gmeto é clro que Lídi grá um vlor meor. Alicdo o que vimos teriormete, o vlor será igul 8 : (,5) 76,9 reis. Exemlo : Viícius tomou um emréstimo de R$ 5, juros mesis de 5%. Dois meses deois, ele gou R$ 5, e, um mês ós esse gmeto, liquidou seu débito. Qul o vlor desse último gmeto? Solução: Etedemos que fic mis fácil erceber o que está ocorredo mostrdo um gráfico d situção é o que chmmos de fluxo de cix. 5 5 x Devemos emurrr todos os vlores r um mesm dt (or exemlo r o mês ) e igulr s etrds (emréstimo) com s síds (gmetos eriódicos). 5 x,5 x 5 x (,5) 65 x 5788, x 6, Resost: Viícius deverá gr um segud rcel de R$ 6, Exemlo : Um loj oferece um mercdori vist or 4 reis ou etão em dus rcels iguis de reis (r e 6 dis). Qul tx de juros sobre o sldo devedor que está sedo cobrd el loj? Solução: Nesse cso está fltdo o vlor d tx de juros cobrd, sugerimos chmr icógit do roblem de F, que é o osso ftor de correção. Fic mis simles trblhr com ess vriável do que com i. No fil do roblem, subtrido do vlor ecotrdo, teremos tx rocurd. Vejmos o fluxo de cix do roblem. 4 Sugerimos gor emurrr todos os vlores r dt e igulr s etrds (vlo vist) com s síds (restções).