Modelagem de Problemas Difusivos-Advectivos Darcyanos através do Método dos Elementos de Contorno com Dupla Reciprocidade

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1 Anas do CNMAC v. ISSN X Modelagem de Problemas Dfusvos-Advectvos Darcyanos através do Método dos Elementos de Contorno com Dula Recrocdade Carlos Fredrch Loeffler UFES - Deartamento de Engenhara Mecânca Camus Goaberas - Vtóra - ES Emal: carlosloeffler@bol.com.br Fele Patríco das Neves CBMES - Centro de Ensno e Instrução de Bomberos Serra - ES Emal: atrcofre@gmal.com Paulo César Olvera UFES - Deartamento de Engenhara Rural Centro Agroecuáro - Alegre - ES Emal: acololvera@yahoo.com.br Resumo: Neste trabalho é desenvolvdo um modelo numérco ara smular comutaconalmente a dstrbução de ressões, velocdades, temeraturas e fluos de calor estaconáros em volumes de controle bdmensonas governados ela equação da Dfusão- Advecção, através da formulação com Dula Recrocdade do Método dos Elementos de Contorno. Admte-se a le de Darcy ara assocar ressão e velocdade, resultando num modelo matemátco dado ela Equação de Lalace. Os resultados da solução desse roblema são então mlementados no modelo dfusvo-advectvo, gerando temeraturas e fluos de calor. Palavras-chave: Dfusão-Adveccção, Método dos Elementos de Contorno. Introdução São muto freqüentes na engenhara ndustral roblemas físcos que envolvem transorte de massa ou energa através de dfusão (roagação no meo contínuo) assocada à advecção (transorte or meo de fluo), sea em escoamentos, msturas ou deslocamento de artículas. Comumente, tal assocação entre essas duas formas de transmssão de calor nessas condções recebe a denomnação de convecção forçada. Os casos mas comuns e conhecdos consstem na transferênca de calor unto à camada lmte do fludo em escoamentos lamnares, tíco em aletas de trocadores de calor e em aerofólos, e do transorte de fludos ncomressíves com baa vscosdade em tubulações suetas a dferencas de temeratura. No entanto, estem stuações menos tradconas, mas não menos mortantes, como a dsersão suerfcal de oluentes ou msturas em meo aquosos homogêneos, a secagem de rodutos agrícolas, a absorção de líqudos em regão não saturada ou etração do mesmo em meo oroso, este últmo roblema atualmente de grande nteresse na ndústra de etração de etróleo. Outro caso esecalmente nteressante consste dos roblemas de aeração em ambentes fechados, onde o conhecmento das regões de estagnação e os rncas ontos de nsuflamento são vtas ara o combate aos ncêndos. No caso geral, à comledade dos fenômenos físcos assocados a esses roblemas corresonde uma modelagem matemátca gualmente elaborada, comosta or equações dferencas arcas não-lneares, que requerem necessaramente o emrego de métodos numércos ara sua solução aromada. Por outro lado, artcularmente na engenhara, na físca e na matemátca alcada, o tratamento geral desses casos usualmente é substtuído ela adoção de modelos smlfcados, que vablzem sua solução e ao mesmo temo atendem às 363

2 necessdades rátcas. Isso é feto de acordo com o estabelecmento de ertnentes hóteses smlfcadoras tanto nos asectos físcos quanto geométrcos. Nesse trabalho, esecfcamente, desenvolve-se um modelo numérco lnear smlfcado baseado ara smular comutaconalmente a dstrbução do otencal e traetóras de lnhas de fluo em volumes de controle bdmensonas governados or equações que conugam os efetos da dfusão e da advecção, cua solução comleta é vablzada através do emrego do Método dos Elementos de Contorno (MEC). Equações Báscas de Governo O domíno físco, ortanto, comõe-se de um volume de controle bdmensonal (,y), dentro do qual atua um camo de velocdades e ressões e em cuas fronteras (,y) são rescrtas temeraturas (condções essencas) ou fluos (condções naturas). A fgura 1 lustra tas característcas. Assm sendo, consderando-se escoamentos ncomressíves homogêneos, em regme ermanente e com roredades sotrócas, a Equação da Contnudade [3] eressa-se or: v v y + = 0 Na equação anteror v e v y são comonentes do vetor velocdade V do escoamento, enquanto e y caracterzam as coordenadas globas do volume de controle. Não obstante o regme do escoamento ser ermanente, há um relaconamento entre as roredades locas das varáves de cada artícula em movmento com o sstema global de referênca, de modo que as dervadas totas da velocdade com relação ao temo são dadas or: dv V d V dy V V = + = v + v y () dt dt dt O mesmo ocorre com relação à temeratura T, de forma que: dt T d T dy T T = + = v + v y (3) dt dt dt Assm sendo, a Equação do Momentum [7], admtndo-se ausênca de forças de coro, escrevese como: V V ρ [ v + v y ] = + µ V (4) Onde ρ é a massa esecífca, é o camo de ressão no fludo e µ é a vscosdade. Por sua vez, consderando-se ausênca de forças de coro, a Equação da Energa [7] escreve-se como: C T T T T ρ v[ v + v y ] = K[ + ] (5) Onde Cv é o calor esecífco a volume constante e K é a condutvdade térmca do meo fludo. Nesta últma eressão, o lado esquerdo reresenta a arcela de energa advectva e o lado dreto eressa a orção de energa dfusva e, or essa razão, tal fórmula é conhecda como Equação da Dfusão-Advecção. No conunto, as equações (1), (4) e (5) comõem as equações de governo do roblema. (1) Modelo Darcyano da Equação de Momentum A equação do Momentum toma formas smlfcadas mortantes na descrção de alguns fenômenos de ndscutível nteresse rátco. No caso da convecção em meos orosos, desde 364

3 que se admta que a orosdade sea relatvamente baa no meo, vgora a denomnada Le de Darcy [5], de forma que as comonentes de velocdade são dadas como função eclusva do camo de ressões, ou sea: v v y K = (6) µ K = (7) µ Tas equações também se alcam ao estudo de secagem em cereas e outras materas orgâncos granulados. Nessas condções, substtundo-se as equações (6) e (7) na equação da contnudade (1) obtém-se a segunte eressão: K [ + ] = 0 µ Ou sea, o camo de ressão é harmônco e estando o roblema bem osto também na frontera do volume de controle, ode ser resolvdo e gerar o camo de ressões e velocdades em qualquer onto do domíno. De acordo com esse modelo, as temeraturas são determnadas através da equação de energa (5) dretamente, os o camo de velocdades do escoamento á está defndo. (8) Formulação do MEC na Equação de Lalace Consderando o modelo Darcyano, o roblema é governado or duas equações dferencas arcas, equações (5) e (8), que corresondem resectvamente a Equação da Dfusão- Advecção e Equação de Lalace. Consderando esta últma, a formulação dreta do MEC é bem conhecda [1] e ode ser resumda conforme se segue. O onto de artda ara a abordagem elo MEC consste do estabelecmento da equação de governo (1) numa forma ntegral, usando-se u*(ξ;,y) como função aular, resultando na segunte eressão, na qual foram omtdos os argumentos or smlcdade: + ]u * d = 0 [ Por ser um oerador auto-adunto, o Lalacano ermte a alcação do esquema de ntegração or artes duas vezes na equação anteror, de modo que se ode reescrevê-la como: (9) [ + ]u * d = [ + { [ u*] + [ u*]}d u * u * ]d u * u * { [ ] + [ ]}d + (10) Alcando-se o Teorema da Dvergênca na segunda e tercera arcelas do lado dreto da equação (10) chega-se a: [ + ]u * d = [ + u * u * ]d {q*}d + {vu*}d (11) Onde: 365

4 u * u * u * q* = + = (1) v = + = (13) A função aular u*(ξ;,y) é denomnada solução fundamental tradconal, que é a solução de um roblema correlato ela Equação de Posson, onde uma carga concentrada untára é alcada em um onto fonte ξ de um domíno esacal nfnto. A equação de governo nessas condções de smetra angular é eresso or: d u* 1 du* + = ( ξ;r) (14) dr r dr Onde (ξ;r) é a função Delta de Drac, sngular em r= ξ. Uma solução artcular da equação (14) é dada or: 1 u * ( ξ ;, y) = ln[r( ξ;, y)] (15) π Daí resulta: 1 1 q * ( ξ ;, y) = (16) π r( ξ;r) Devdo às roredades da função Delta de Drac, a substtução da equação (15) no rmero termo do lado dreto da equação (11) ermte transformar a equação ntegral de domíno orgnal em uma únca eressão consttuída de ntegras de contorno e uma função de onto, na forma: C ( ξ)( ξ) + {q*}d {vu*}d = 0 O coefcente C(ξ) está lgado ao osconamento do onto fonte ξ com relação ao domíno físco (,y). Para contornos suaves, se o onto fonte se stua sobre o contorno, C(ξ)=0,5. (17) Formulação do MEC na Equação da Dfusão-Advecção Estem formulações outras do MEC ara o tratamento de roblemas dfusvos-advectvos. Na mas tradconal delas a solução fundamental é a solução de um roblema convectvo correlato, no qual uma fonte concentrada é alcada num meo nfnto onde um camo de velocdades nterage com o meo dfusvo. Esta solução fundamental é mas comlea e o modelo resultante, embora matematcamente mas elegante, não ode ser alcado a camos de velocdade varáves. Neste trabalho fo escolhda a formulação do MEC com Dula- Recrocdade [4] ara o tratamento da equação da energa, os além de não mor restrções ao camo de velocdades, aroveta-se a smlcdade matemátca da formulação dfusva ara se resolver o termo advectvo, conforme rocedmento eosto a segur. Incalmente, multlca-se ambos os termos da equação (5) ela solução fundamental dfusva u* e ntegra-se o resultado or todo o volume de controle (,y): K T T + u * d = ρc v v T + v y T u Vê-se que no lado esquerdo da equação (18) fgura o mesmo oerador Lalacano, autoadunto, que ermte a alcação dos mesmos rocedmentos anterormente aresentados ara * d (18) 366

5 eressar a formulação ntegral do MEC eclusvamente em termos de valores de contorno. Dessa forma, toda a atenção será dada agora ao lado dreto da equação (18). De acordo com a FDR, admte-se ncalmente que o termo advectvo sea consderado tal como uma ação de domíno b(,y), ou sea: T T * * K v + vy u d = ρcv b(, y)u d y (19) Consdera-se então que a função b(,y) ode ser reresentada or uma combnação lnear de funções nterolantes F arbtráras, funções essas que ossuem rmtvas tas que: b(, y) α F (, y) = α Ψ, (, y) (0) A escolha dessas funções nterolantes F é conteúdo de mutas esqusas, mas a classe de funções mas fleível é a das funções radas de base, devdo à sua flebldade, nvarânca, entre outras roredades. Dentre essas, a mas comum é radal smles, dada ela dstânca eucldana entre ontos do contorno X e ontos nterolantes X, sto é: F (X;X ) 1/ = R(X;X ) = [( ) + (y y ) ] (1) Assm, a substtução da equação (0) no lado dreto da equação (19) ermte seam realcadas as mesmas transformações matemátcas que conduzram à arcela dfusva a ser reresentada uncamente em termos de valores de contorno, ou sea: * * ( ξ) Ψ ( ξ) + [ Ψ ( X ;X) q ( ξ;x) Ν ( X ;X) u ( ξ;x) ] bu d =α C.d () Sendo N é a dervada normal do otencal ψ, ou sea: Ψ Ν = (3) Dscretzação e Formação das Equações Matrcas O rocedmento de dscretzação com o método dos elementos de contorno é bastante conhecdo e muto smles. Dvde-se o contorno () em N elementos dscretos, nos quas a varável básca e dervada normal e a forma geométrca dos elementos, todos são aromados or funções tícas de nterolação. No caso da FDR, também as funções aulares de nterolação são aromadas ao longo dos elementos de contorno. No caso da Equação de Lalace, a equação (4) ode ser escrta ara cada elemento de contorno, ou sea, toma-se o onto fonte concdente com os ontos nodas dos elementos, gerando um conunto de equações que, na forma matrcal, escreve-se como: [ H] [ ] [ G] [ v] = 0 (4) No caso da Equação da Dfusão-Advecção, o rocedmento é smlar, mas mas elaborado, os a equação resultante não é homogênea: ρc v HT Gq = {HΨ GΝ} α = P (5) K Escolhendo-se um número de funções F gual ao número de nós de dscretzação, os coefcentes α odem ser substtuídos e escrtos em termos dos valores nodas de b(,y), que or sua vez deendem das velocdades e das dervadas da temeratura. Assm sendo: 1 [ ] P = HΨ GN F VT, (6) 367

6 As dervadas da temeratura T odem ser elmnadas através de uma smles nterolação; = β = (7) 1 T F T, F, F T A eressão fnal fca: [ ] HT - Gq = HΨ - GN F V F, F T = RT (8) -1-1 Ressalta-se que o camo de velocdades deve ser comletamente conhecdo nas fronteras do volume de controle; consderando que a equação (4) fornece aenas os valores das velocdades normas, as demas comonentes recsam ser calculadas, o que é feto emregando-se a equação ntegral her-sngular do MEC [6], que ara contornos suaves é dada or: ξ ξ v ( ξ ) = v d [ ( ξ)] d N N 1 e u *( ;X) e q*( ;X) tang e= 1 e t ( ξ) e= 1 e t ( ξ) (9) Alcação O eemlo escolhdo corresonde a um slo vertcal, onde se faz a smulação numérca do camo de ressão e temeraturas em seu contorno, vde fgura 1: Fgura 1: (a) característcas geométrcas; (b) condções de contorno do roblema de ressão; (c) condções de contorno do roblema térmco. Consderando o modelo de Darcy, o roblema é lnear e resolvdo em duas etaas dstntas, embora correlaconadas, nas quas resolve-se o camo de velocdades e deos determna-se a dstrbução de temeraturas e fluos. Na fgura são mostradas as curvas de ressão na arede vertcal dreta e velocdade tangencal na arede horzontal nferor. Na fgura 3 são aresentadas as curvas de temeratura nas aredes vertcal dreta e vertcal esquerda. Pressão Velocdade Tangencal Coordenada Vertcal Coordenada Horzontal Fgura - Gráfco à esquerda: dstrbução de ressão na arede vertcal dreta; gráfco à dreta: dstrbução das velocdades tangencas ao longo da arede horzontal nferor. 368

7 Temeratura Coordenada Vertcal Temeratura Coordenada Vertcal Fgura 3- Gráfco à esquerda: dstrbução da temeratura ao longo da arede vertcal dreta; gráfco à dreta: dstrbução da temeratura ao longo da arede vertcal esquerda. Conclusões Para os valores de velocdade de escoamento do fludo consderados, comatíves com város roblemas rátcos de grande mortânca na área de secagem e ventlação natural, em que os fenômenos dfusvo e convectvo atuam de manera equânme, os resultados numércos obtdos com o Método dos Elementos de Contorno foram muto bons, concordando com os valores obtdos na referênca, com dferenças menores do que 1%. Destacam-se também o temo comutaconal reduzdo e a facldade de ntrodução de dados e transorte desses do roblema dfusvo ara o dfusvo-advectvo, no caso das velocdades normas e tangencas. Referêncas 1. C.A. Brebba, The Boundary Element Method for Engneers, Pentech Press, London, O.C. Olvera, C.F. Loeffler, A. Bulcão, Esquema Flu-slne Alcado a Problemas Dfusvos, Anas do XX CILAMCE, São Paulo, M.N. Ozsk, Transferênca de Calor. Edtora Guanabara Koogan, Ro de Janero, P.W. Partrdge, C.A. Brebba, L.C. Wrobel, The Dual Recrocty, Boundary Element Method, Comutatonal Mechancs Publcatons and Elsever, London, P.A. Ramachandran, Boundary Element Methods n Transort Phenomena. Comutatonal Mechancs Publcaton and Elsever Aled Scence, London, J.C.F. Telles, A.A. Prado, Hyer-sngular Formulaton for -D Potental Problems, Cha 6 of Advanced Formulatons n Boundary Element Methods, Elsever, London (1993). 7. F.M.Whte, Flud Mechancs, McGraw-Hll Int., Sngaore,