Modelos Lineares Generalizados: uma aplicação à tarifação automóvel

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1 Modelos Leares Geeralzados: uma aplcação à tarfação automóvel Oretação: Professora Doutora Teresa Alpum Dssertação de Mestrado em Probabldades e Estatístca Caddato: Lcº Marco A.S. Costa Julho -

2 Agradecmetos A elaboração deste trabalho cotou com o empeho e ateção de mutas pessoas. Desde logo, o sempre presete apoo da Professora Doutora Teresa Alpum, à qual agradeço a oretação. Sem a sua dedcação e teresse este trabalho tera sdo bem mas dfícl de cocretzar. Para um maor equadrameto o cotexto dos seguros e da tarfação cote com os esclarecmetos da Drª Isabel Rbero, à qual estou sceramete agradecdo. Agradeço a todos os famlares e amgos a ateção e tolerâca pela meor ateção que lhes teha dedcado ao logo deste percurso. Um especal agradecmeto para os meus pas e rmã que sempre me acompaharam de bem perto.

3 Ídce Ídce. Itrodução 5. Modelos Leares Geeralzados (MLG) 7. Defção 8. Compoete aleatóra 9.. Dstrbução Normal ou Gaussaa 3.. Dstrbução de Posso 4..3 Dstrbução Bomal 5.3 Compoete sstemátca 6.4 Fução de lgação 7.4. Fuções de lgação admssíves para algumas dstrbuções 8.4. Algumas cosderações sobre as fuções de lgação caócas 9 3. Estmação os MLG 3 3. Método dos mímos quadrados 4 3. Método da máxma verosmlhaça Método teratvo Aplcação do método teratvo aos MLG Algumas cosderações Iferêca e Austameto Dstrbuções amostras Meddas de austameto Devace Auste 4

4 Ídce 4..3 Estatístca de Pearso geeralzada Selecção de modelos Testes de hpóteses Aálse de resíduos Austameto da fução de lgação A cartera de resposabldade cvl automóvel Noções geras e tarfação de resposabldade cvl automóvel Aálse Exploratóra dos Dados Aálse prelmar Estudo das varáves Modelação da Sstraldade Número ou demzações dos sstros Dstrbução e fução de lgação Aálse exploratóra versus modelação Implemetação das ferrametas estatístcas para a modelação Modelação Teste de austameto da fução de lgação Tarfa 87 Coclusões 97 Bblografa 99 Aexo Método de Newto-Rapso Aexo Resultado 3 Aexo 3 Verosmlhaça e parâmetros 4 Aexo 4 Tabela: Idade do Clete versus probabldade de sstro 5 Aexo 5 Tabela: Aos de Carta versus probabldade de sstro 6 Aexo 6 Tabela: Idade do Veículo versus probabldade de sstro 7 Aexo 7 Tabela: Cldrada versus probabldade de sstro 8 v

5 Itrodução Itrodução Nelder & Wedderbur um artgo de 97 referam que usado um processo teratvo poderado de regressão lear sera possível obter estmatvas de máxma verosmlhaça de parâmetros com observações dstrbudas de acordo com a famíla expoecal e com os efetos sstemátcos leares, depos de uma adequada trasformação. Até etão era usual assumr-se a ormaldade das observações por uma questão de smplcdade de resultados, amplamete cohecdos. Neste artgo Nelder & Wedderbur apresetam pela prmera vez a formulação teórca destes modelos a que chamaram de modelos leares geeralzados. A possbldade de um maor úmero de dstrbuções para os dados, leva a que estes modelos possuam uma grade versatldade e possam ser aplcados em stuações de váras aturezas. Neste trabalho é desevolvdo o estudo destes modelos com o obectvo da sua aplcação a tarfação de resposabldade cvl automóvel. Estudam-se os modelos leares geeralzados a sua expressão geeralsta, cocretzado-se para o estudo da cartera em aálse. No capítulo expõe-se a estrutura dos modelos leares geeralzados, aalsado cada uma das suas compoetes: aleatóra, sstemátca e fução de lgação. Faz-se ada referêca às fuções de lgação caócas, uma vez que estas proporcoam algumas vatages. 5

6 Itrodução O capítulo 3 é dedcado ao processo de estmação dos parâmetros desevolvdo por Nelder & Wedderbur. É feta a sua dedução e a aálse do processo teratvo bem como as estmatvas cas e regras de paragem. A ferêca estatístca e austameto de modelos é aalsada o quarto capítulo. Após a determação das dstrbuções amostras assmptótcas ecotram-se e defem-se meddas de austameto, duas delas á usuas os modelos leares geeralzados e uma tercera baseada o teste da razão de verosmlhaças. Depos da aálse dos resíduos geeralzados faz-se referêca a um teste de austameto da fução de lgação, Pregbo (98). O couto das observações segudo as quas se pretede costrur uma estrutura tarfára é apresetada o capítulo 5. Aqu é feta alguma aálse exploratóra. Neste capítulo são referdas prevamete oções e tarfação de resposabldade cvl automóvel, para uma melhor compreesão dos termos e atureza dos dados. A estrutura tarfára é obtda o capítulo 6 depos da modelação do úmero esperado de sstros. Nesta modelação fo utlzada a maora das ferrametas estatístcas desevolvdas os prmeros capítulos, desta vez cocretzadas. No fm fazem-se algus cometáros fas bem como algumas coclusões. 6

7 Modelo Lear Geeralzado (MLG) Modelo Lear Geeralzado (MLG) Os modelos leares geeralzados alargam o âmbto da regressão lear clássca a stuações ode as observações ão seguem uma dstrbução Normal ou a estrutura lear ão é uma característca do valor esperado da varável resposta, mas sm de uma fução deste. No etato, ao mesmo tempo permtem mater mutas das característcas da regressão lear ormal. No modelo lear ormal temos um vector de observações Y, e uma matrz de covaráves X. O modelo de regressão lear múltpla toma a forma ode E( Y) µ e é um vector de coefcetes de regressão. µ X (. ) Tpcamete assummos que os Y s são ormas e depedetes com varâca σ, deste modo estma-se mmzado a soma dos quadrados T ( Y µ ) ( µ ) SQ Y. Em certos casos é óbvo que a leardade ão é sufcete. O caso mas mportate e comum é quado cada Y e µ são lmtados, sto é, só tomam valores um subcouto da recta real, evetualmete, fto ou umerável. 7

8 Modelos Leares Geeralzados (MLG) Por exemplo, se Y represeta uma quatdade de uma substâca físca, etão temos que ter Y > e µ >. Por outro lado se Y é bára, Y se um amal sobrevve e Y caso cotráro, etão < µ <. O modelo lear (.) é adequado estes casos porque obrgara a uma lmtação (ão atural) do vector. Os modelos leares geeralzados como alteratva assumem uma relação ( µ ) X g (. ) ode g () é uma fução moótoa cohecda que actua sobre µ. Tpcamete g () é usada para trasformar a méda µ uma escala ode possa tomar quasquer valores, sto é, em toda a recta real. Por exemplo, podemos usar ( µ ) log( µ ) g se > µ ou ( µ ) log[ µ ( µ )] g se < µ <.. Defção Vamos agora passar a descrever matematcamete um modelo lear geeralzado. Um modelo lear geeralzado é caracterzado por uma estrutura composta por três partes dsttas:. uma compoete aleatóra ( y; µ ) estocástco da varável resposta Y ; f especfcado o comportameto. uma compoete sstemátca η X especfcado a varação da varável resposta em fução das covaráves, sto é, das varáves X ;. uma fução de lgação g ( µ ) η especfcado a relação etre o valor esperado da varável Y e a compoete sstemátca. Neste trabalho é assumdo que a compoete aleatóra ( y; µ ) f pertece à famíla expoecal, alás este fo um pressuposto dos prmeros resultados sobre os modelos leares geeralzados. Esta hpótese faclta o desevolvmeto dos métodos de estmação para os parâmetros de teresse pos estamos a trabalhar com dstrbuções que têm uma certa estrutura cohecda. Como veremos adate, o facto 8

9 Modelo Lear Geeralzado (MLG) de estarmos com dstrbuções da famíla expoecal faz com que possamos cohecer uma estatístca sufcete com respeto ao vector de parâmetros. Portato, de uma forma geral, procura-se uma dstrbução da famíla expoecal pela maor facldade em modelar os dados, embora ada mpeça que ão sea austada uma dstrbução ão pertecete a esta famíla. estrutura ode os Da compoete sstemátca surge o termo modelo lear caracterzado pela p x x s são varáves depedetes cuos valores são supostamete cohecdos e são parâmetros. Os s podem ser fxos (cohecdos) ou descohecdos e assm, requeredo estmação. Claro que, em geral, a prátca os s são descohecdos, sedo este caso muto mportates os métodos de estmação. A fução de lgação deve ser uma fução dferecável e moótoa. A mootoa em couto com a dferecabldade garate a ectvdade, uma propredade ecessára para o estudo destes modelos. Nos potos segutes descreve-se mas em pormeor cada uma das compoetes aqu referdas.. Compoete aleatóra Dados os vectores de covaráves x s, as varáves depedetes Y,,, são (codcoalmete) depedetes e têm uma dstrbução pertecete à famíla expoecal com esperaça (codcoal) ( Y x ) E µ e, possvelmete, um parâmetro de escala comum φ, ão depededo de. Isto é, têm fução desdade de probabldade (ou fução massa de probabldade, caso sea dscreta) da forma b( θ ) ( φ ) yθ fy ( y ; θ, φ ) exp c( y, φ ) (. 3) a 9

10 Modelos Leares Geeralzados (MLG) ode as fuções () a, b () e () c são especfcadas para cada dstrbução, podedo acotecer duas stuações: φ ser cohecdo e, este caso, a dstrbução pertece à famíla expoecal com parâmetro caóco θ ; φ ser descohecdo e, este caso, pode pertecer ou ão à famíla expoecal bparamétrca. O parâmetro φ pode ser cosderado um parâmetro perturbador como, por exemplo, a varâca σ da dstrbução ormal ou o parâmetro p da dstrbução gama. Para dados agrupados a fução ( φ ) a toma a forma a φ φ (. 4) ω ( ) ode ω é um peso e para dados ão agrupados ω (,, ) agrupados podem acotecer duas stuações: a varável resposta respostas dvduas Z, sto é, Y Z. No caso de dados Y é a soma das e, este caso, ω, com,..., h ; a varável resposta é a méda das respostas dvduas e, este caso, ω. Há autores que cosderam (.3) de uma forma mas geral, fy ( y, φ ) ( y ) θ b( θ ) a ( φ ) d θ exp c( y, φ ) ; cosderado que se d ( y ) y a dstrbução está a forma caóca. Ao logo deste trabalho é assumdo que as dstrbuções estão a forma caóca, o que acotece com as dstrbuções que aqu trataremos. Precsamos de ecotrar expressões para o valor esperado e para a varâca de Y. Ora, como uma característca dos modelos leares geeralzados é precsamete a de que a dstrbução subacete às respostas pertece à famíla expoecal, usado algus resultados cohecdos faclmete se obtem o preteddo como se mostra de seguda.

11 Estmação os MLG 3 Estmação os MLG Os métodos mas usuas em Estatístca para a estmação de parâmetros são o dos mímos quadrados e o método da máxma verosmlhaça. No método dos mímos quadrados ão é ecessáro assumrmos à partda a dstrbução subacete dos dados, sedo portato vataoso quado há uma grade dfculdade em austar uma dstrbução às observações. Mas como este método ão obrga a mutas hpótese cas tora-se dfícl fazer ferêca posterormete, tedo-se mas tarde de assumr algum cohecmeto sobre a estrutura probablístca em causa. Nos modelos leares geeralzados a estmação de parâmetros recorre usualmete ao método da máxma verosmlhaça. Nelder e Wedderbur (97) apresetaram um método teratvo para a obteção dos estmadores de máxma verosmlhaça de aplcado o método dos scores de Fscher, que como veremos a sub-secção 3..3 pode ser terpretado como um processo teratvo dos mímos quadrados re-poderados. Um outro método smples e muto fácl de mplemetar cosste em calcular g, sedo g () a fução de lgação defda em (.9), e proceder a uma estmação ( ) Y dos mímos quadrados da regressão lear múltpla tedo como respostas g ( Y ) e a matrz de plaeameto X. Note-se que este método em sempre é aplcável pos poderá haver y s que ão perteçam ao domío de ( ) g. 3

12 Estmação os MLG 3. Método dos mímos quadrados Como á fo referdo, o método dos mímos quadrados ão é ecessáro assumr-se a estrutura probablístca subacete às observações, pos apeas cosste em determar um vector de parâmetros que mmze a soma dos quadrados das dfereças etre os valores observados e os estmados, sto é, mmzar a soma dos quadrados dos erros. ode os Cosderem-se ( ) Y,...,Y varáves aleatóras com valores esperados ( Y ) E µ com,...,, µ s são fuções de um vector de parâmetros (descohecdos),.., com > p. p Na forma geral podemos escrever ode µ ( ) µ um ruído puramete aleatóro. Y µ ε para,...,,, sto é, é uma fução dos parâmetros descohecdos e ε represeta Assm, o método dos mímos quadrados cosste em determar o vector de parâmetros que mmza a soma dos quadrados dos ε s. Em termos aalítcos, pretede-se mmzar a fução ou em termos matrcas SQ com Y ( ) T e µ ( µ,..., ) T Y,...,Y [ Y ( )] µ, T ( Y µ ) ( µ ) SQ Y (3. ). µ Para mmzarmos SQ temos de resolver o sstema costtuído pelas equações SQ com,..., p, (3. ) supodo que a matrz das segudas dervadas parcas é defda postva para assegurar que se obtem o mímo de SQ. Podemos agora admtr que se tem mas formação sobre as observações podedo-se traduzr esta formação uma matrz de varâcas-covarâcas V, sto 4

13 Estmação os MLG é, poder-se-á admtr que as varáves seam correlacoadas. Neste caso (3.) pode-se escrever a forma T [ µ ( )] V Y [ Y µ ( )] SQ, fução que mmzada tem como solução os estmadores dos mímos quadrados poderados. uma matrz Se partcularzarmos para o caso da regressão lear sto é, p, tem-se Etão o sstema (3.) toma forma T ( Y X ) V ( Y X ) SQ. T ( Y X ) X V T µ X, com X X T V X X V Y. (3. 3) Como veremos adate, o método de estmação mas usado os modelos leares geeralzados cosste um processo dos mímos quadrados poderados do tpo de (3.3). 3. Método da máxma verosmlhaça Uma vatagem de assumrmos que a dstrbução dos Y s é cohecda é que podemos fazer a estmação dos parâmetros descohecdos usado essa formação sobre a sua estrutura probablístca através do método da máxma verosmlhaça. Atededo a (.7) a cotrbução de cada observação Y para a logverosmlhaça é dada pela expressão (, φ ) ode a costate adtva (,φ ) b( θ ) ( φ ) Yθ θ ; Y c, a ( Y φ ) c Y pode ser omtda dado que ão depede de θ. Como é suposto que os Y s são depedetes a log-verosmlhaça, é a soma das cotrbuções de cada observação Y, sto é, é dada por a φ b( θ ) ( ) Y θ. (3. 4) 5

14 Estmação os MLG As estmatvas de máxma verosmlhaça são obtdas maxmzado (3.4). Para sso, temos de gualar a zero os scores á defdos a capítulo como sedo as dervadas parcas U com,..., p sto é, tem de se resolver o sstema de equações U com,..., p que de uma forma geral ão são leares. Assm, há ecessdade de recorrer a um método teratvo. 3.. Método teratvo O método teratvo para a obteção das estmatvas de máxma verosmlhaça os modelos leares geeralzados tem por base o método teratvo de Newto- Raphso, ver aexo, cua t -ésma aproxmação é dada por b ( t ) ( t ) ( t ) b H U (3. 5) ode H é a matrz hessaa de com respeto ao vector, sto é, uma matrz com elemetos ( t b ) h k k com, k,..., p e U um vector de compoetes U,, U. p O ídce feror da matrz versa de H dca que esta é calculada com base a t -ésma aproxmação de, aalogamete para o ídce superor de U. Vamos utlzar um processo alteratvo desgado pelo método dos scores de Fscher que cosste em substtur a matrz hessaa pelo seu valor esperado, ou sea por E k que tem uma relação drecta com a matrz de formação I. 6

15 Estmação os MLG A matrz de formação I é defda como sedo a matrz de varâcacovarâca dos U s. Como sabemos que ( U ) sto é, uma matrz com elemetos do tpo I k E U T I E( UU ) E por (.5), vem que. ( ) U k E k Geeralzado os resultados (.5) e (.6), pode-se escrever que I k E E k k Assm, o método teratvo (3.5) toma a forma b. (3. 6) ( t ) ( t ) ( t ) b I U (3. 7) ode I b ( t ) é a matrz de formação versa calculada com o valor da t -ésma aproxmação de e de forma aáloga para ( t ) U. ( t b ) 3.. Aplcação do método teratvo aos MLG Vamos partcularzar o método teratvo (3.7) para os modelos leares geeralzados, usado as propredades daí decorretes. Podemos escrever U em fução de algumas compoetes do modelo, para sso comecemos por calcular aaltcamete a sua expressão. Em prmero lugar podemos ver que U com [ Yθ b( θ )] ( φ ). (3. 8) a Atededo a que θ θ ( ), µ µ ( η ) e que η η ( ) µ, aplcado a regra da cadea, dferecado em ordem a obtem-se 7

16 Estmação os MLG d dθ dθ dµ η dµ dη. (3. 9) Vamos agora calcular cada factor de (3.9) recorredo a expressões á determadas o capítulo ateror. Para o prmero factor dferecamos (3.8) em ordem a θ obtedo-se mas atededo a (.) temos d dθ a [ Y b ( θ )] ( φ ) d Y µ dθ a ( φ ) Para determarmos o segudo factor vamos ateder a (.) Como a relação etre a méda ( Y ) ( φ ) dµ Var. dθ a. (3. ) µ e o predtor lear η é dada pela fução de lgação o tercero factor será dferete para cada fução de lgação escolhda. Por últmo, faclmete se verfca que Podemos escrever (3.9) a forma, o que smplfcado fca η x Y µ Var a ( φ ) a ( Y ). ( Y ) ( φ ) Y µ dµ x Var dη dµ x dη com,..., e,..., p, assm, U Y µ dµ x Var( Y ) dη. (3. ) Agora vamos determar uma expressão para os elemetos I. Prmero veamos os elemetos h da matrz hessaa que têm a forma h k k k Y µ dµ x Var( Y ) dη e atededo a (.) podemos substtur Var ( Y ) obtedo-se 8

17 Estmação os MLG 9 ( ) k k x d d d d a Y h η µ µ θ φ µ ( ) k d d a Y x η θ φ µ dervado o produto ( ) ( ) I k k d d a Y d d a x η θ φ µ η θ µ φ. (3. ) Como o processo dos scores substtumos a matrz hessaa pelo seu valor esperado, calculemos o valor esperado de k h. Como ( ) Y E µ, temos que a esperaça de (3.) é dada por ( ) ( ) k k d d a x h E η θ µ φ ( ) k d d d d a x η θ η η µ φ ( ) k d d d d a x x η θ η µ φ ( ) k d d d d a x x η µ µ θ φ e atededo a (.) podemos obter a expressão ( ) k d d Y Var x x η µ. Por (3.6) os elemetos da matrz de formação de Fsher tomam a forma ( ) I k k d d Y Var x x η µ, (3. 3) com p k,...,, dode a matrz I pode ser escrta, sob a forma matrcal, da segute maera WX X T I (3. 4) ode W é uma matrz dagoal com elemetos ( ) d d Y Var w η µ com,...,.

18 Estmação os MLG O método teratvo (3.7) pode ada tomar a forma ( ) t t I ( t ) b I ( t ) b b b ( ) ( t ), (3. 5) esta é uma gualdade etre dos vectores p cuos elemetos podem tomar a forma p x p x k dµ ( ) x xk x t dµ dµ ( ) b ( ) k b k Var Y dη k Var Y dη dη se atedermos aos resultados (3.) e (3.3). U () ( Y µ ) t k Var( Y ) Repare-se que o segudo membro de (3.6) pode ser escrto a forma p k x Var ( Y ) dµ dη x k b () t ou sea, pode ser escrto a forma matrcal k X T WZ, x Var ( Y ) dµ dη ( Y µ ) dη, dµ ode W é a matrz defda em (3.4) e Z é um vector cuos elemetos são dados por z p x k k b () t ( Y µ ) k dη dµ (3. 6) com,...,. x b T () t ( Y µ ) dη dµ Desta maera podemos escrever (3.5) sob a forma X T WXb ( t) X T WZ (3. 7) com b ( t) T T ( X WX) X WZ X T WX e X T WZ calculadas para a t -ésma aproxmação de. Note-se que caso se estea com uma dstrbução com parâmetro perturbador φ este ão terfere o cálculo da matrz W pos este desaparece a teração segute. cal processo. Uma vez que se trata de um processo teratvo, temos de dcar uma estmatva ( ) b para o vector de parâmetros bem como crtéros de paragem do Segudo Nelder e Wedderbur(97) uma boa maera de calzar o processo cosste em admtr que µ y ou sea, µ y com,..., 3

19 Estmação os MLG podedo assm calcular em termos matrcas e assm uma estmatva para será η g ( ) y T η X g b ( y) ( ) T ( X ) g( y). Cotudo, este método de calzação pode ão ser efcaz podedo ter de sofrer alterações. Por exemplo, o caso da dstrbução de Posso, algus y s poderão ser ulos e para a fução de lgação caóca o η correspodete ão sera calculável, vsto esta ser a fução logarítmca. Uma solução para este tpo de valores extremos será somar ou subtrar aos valores em causa, tomado este caso y ; Outro método cosste em repetr o procedmeto sugerdo por Nelder e Wedderbur (97) mas agora assumdo µ y com,...,, pos este caso á ão teríamos problemas com o cálculo dos η s. Uma últma alteratva cosste em assumr que o termo depedete do predtor lear é gual a g ( y) e os restates parâmetros são ulos. trabalho. Isto equvale a tomar ( ) g( y) b ( ) b com,..., p. Como veremos mas adate, fo esta a estmatva cal utlzada este Para o processo termar teremos de defr à partda o crtéro de paragem ou a cougação de város. Um crtéro de paragem pode cosstr em parar o processo teratvo quado a dfereça etre duas aproxmações sucessvas pequea. Este crtéro pode ser mplemetado por ( t ) ( t ) b b () t δ ( t) b e ode δ é um quatdade pequea pré-fxada e a orma vectoral. b ( t ) b fôr sufcetemete 3

20 Estmação os MLG O crtéro mplemetado este trabalho atede a que se pretede determar as soluções do sstema Assm, quado a aproxmação ateror teremos que U com,..., p. ( t ) b estver próxma da solução do sstema U com,..., p e como podem tomar valores egatvos, o crtéro utlzado é parar o processo quado a soma dos quadrados dos para δ pequeo pré-fxado. U s a t-ésma aproxmação fôr pequea, sto é, () t [ ] δ p U Caso as dfereças sucessvas ( t) ( t ) b b aumetem, sto é, o processo dvergr, etão pode dcar que se tomaram más estmatvas cas ou ão exste estmatvas de máxma verosmlhaça o espaço admssível de. Pode acotecer caso o espaço admssível sea caócas, que pelo meos uma das compoetes de p IR, por exemplo para o caso das fuções de lgação ( t ) b teda para fto. Uma vez estudado um processo para a obteção dos estmadores de máxma verosmlhaça de, é mportate sabermos sobre a sua exstêca e ucdade. Com este propósto, fo publcado um artgo em 976, de Wedderbur, ode está pormeorzado o estudo das dstrbuções: Gaussaa, Posso, Gama e Bomal, para algumas fuções de lgação. Desse artgo pode-se coclur que para as váras dstrbuções estudadas, são as fuções de lgação caócas que oferecem maores garatas. Wedderbur, cocluu, que para as quatro dstrbuções referdas, a fução de lgação caóca garate a exstêca e ucdade dos estmadores, ão havedo problemas quato à solução do sstema. aterores. Foram também estudadas, outras fuções de lgação para as dstrbuções θ Para a dstrbução de Posso, as fuções de lgação do tpo g ( µ ) µ com <θ ão trarão problemas quato à solução do sstema; o caso da dstrbução θ Gama, ( µ ) µ g com θ < oferece as mesmas garatas que a própra fução 3

21 Estmação os MLG de lgação caóca. Para a dstrbução Bomal, as fuções de lgação logt, probt e complemetar log-log proporcoam a exstêca e ucdade dos estmadores Algumas cosderações Comparado (3.3) com (3.7) podemos coclur que o método para a obteção dos estmadores de máxma verosmlhaça os modelos leares geeralzados cosste um método baseado os mímos quadrados poderados. Note-se que os pesos são os elemetos da dagoal de W que depedem tato da varâca de bem como da forma fucoal etre a méda µ e o predtor lear η, sto é, depede drectamete da fução de lgação. Podemos ver que a matrz W dos pesos e o vector Z são fuções da estmatva () t b e são ecessaramete recalculados em cada teração, dode podemos dzer que o método de estmação do vector de parâmetros é um método dos mímos quadrados teratvamete re-poderados, Gree (984). Note-se que os modelos leares geeralzados com a fução de lgação caóca o método dos scores de Fsher cocde com o método de Newto-Rapso uma vez que, este caso e portato θ η Y dode a expressão (3.) reduz-se a k dθ dη ou sea, N I x a ( φ ) h E µ dθ k dη ( ) h dode se coclu que para a fução de lgação caóca os dos métodos cocdem. Para as dstrbuções com parâmetro de dspersão ou de escala φ temos de proceder à sua estmação. Mas desde á podemos otar que este parâmetro ão tem 33

22 Estmação os MLG uma grade relevâca em termos do valor esperado da varável Y, ao cotráro do vector de parâmetros que etra drectamete os cálculos. Iremos referr algus cometáros sobre a estmação de φ, uma vez que este trabalho a dstrbução utlzada fo a de Posso, pelo que à partda φ está fxo. Para obtermos o estmador de máxma verosmlhaça para φ teremos de dervar a fução de log-verosmlhaça em ordem a φ e gualar a zero, obtedo-se Yθ b( θ ) ( φ ) da ( φ ) c( Y, φ ) a dφ φ ão sedo possível obter de uma forma explícta uma expressão para o estmador. Podemos partcularzar para o caso da dstrbução Normal á estudada a secção.. obtedo-se que este caso ˆ φ µ ( Y ˆ ) ou sea, cocde com a varâca (ão corrgda). Desta forma podemos obter estmatvas de máxma verosmlhaça para φ, mas como é um processo que obrga, o caso geral a processo umércos e a mportâca do parâmetro por vezes é reduzda, exstem outros processos alteratvos para se obterem estmatvas. Estes processos recorrem a duas estatístcas, a devace e a estatístca de Pearso geeralzada. Como estas estatístcas vão ser defdas o capítulo segute aqu apeas se faz referêca à expressão de cálculo para a obteção da estmatva de φ. McCullagh e Nelder (983) propõem estes dos estmadores D φˆ ou ˆ χ φ p p ode D e χ deotam, respectvamete, a devace e a estatístca de Pearso geeralzada. Caso os dados esteam agrupados, atededo a (.4) o parâmetro de escala pode ser estmado por ˆ φ h h p ( Y ˆ µ ) Var( ˆ µ ) ode h é o úmero de classes e a dmesão da classe. 34

23 Modelo Lear Geeralzado (MLG) Cosdere-se a fução de log-verosmlhaça prmera dervada de em ordem a score e var ( U ) é chamada formação. e θ, sto é U, da varável θ. Aqu Y, e U a U é chamada Para qualquer dstrbução da famíla expoecal temos os resultados segutes, E U E θ E θ ( ) E θ (. 5). (. 6) Atededo a que a fução desdade de probabldade (fução massa de probabldade, para o caso dscreto) pode tomar a forma de (.3) vem que dode se pode obter (, φ ) log( f ( Y ; θ, φ )) b( θ ) ( φ ) Yθ θ ; Y c, a ( Y φ ) (. 7) e θ a [ Y b ( θ )] ( φ ) (. 8) Etão (.5) mplca que a θ ( φ ) b ( θ ). (. 9) E a [ Y b ( θ )] ( φ ) e cosequetemete E ( Y ) b ( θ ) dado que ( φ ) a (. ) U θ a µ ( ) ( Y ) φ Da expressão (.6), se substturmos por (.) vem a e atededo a que E( ) ( φ ) b ( θ ) µ obtemos Y E a Y ( ) ( ) φ. (. ) µ

24 Modelos Leares Geeralzados (MLG) a ( φ ) b e ada temos que ( Y E( Y )) ( θ ) a [ ] Var( Y ) E ( φ ) E ( ) b ( θ ) Var( Y ) a φ. Assm, por (.) podemos coclur que [( Y E( Y )) ] Var ( Y ) a ( φ ) dµ. (. ) dθ Como coclusão, a esperaça e a varâca da varável resposta, que se pode escrever a forma (.3) são dadas pelas expressões (.) e (.). Podemos agora partcularzar as expressões obtdas para o caso da famíla expoecal u-paramétrca, ( φ ) a, como é o caso do modelo de Posso que este trabalho va ser mas aprofudado. Podemos escrever a fução desdade a forma o que mplca que e dode se pode coclur que Y ( y ; θ ) exp{ y θ b( θ ) c( y )} f Y µ θ θ Var ( Y ) ( ) e Var( Y ) b ( θ ) µ b θ dµ. dθ Nos potos segutes vamos estudar em partcular algumas possíves dstrbuções para as varáves depedetes. As dstrbuções estudadas são a Normal ou Gaussaa, Posso, Bomal, e Beroull (como caso partcular), sobeamete cohecdas como pertecetes à famíla expoecal.

25 Modelo Lear Geeralzado (MLG).. Dstrbução Normal ou Gaussaa Aqu, supomos que a varável resposta Y segue uma dstrbução Normal (ou Var Y σ, sto é, Y ~ N( µ, σ ) a sua Gaussaa). Assumdo que E ( Y ) µ e ( ) fução desdade de probabldade é dada por com ( y; µ, σ ) y IR, µ IR e σ >. exp ( y µ ) f Y (. 3) πσ σ Agora vamos escrever a f.d.p. a forma (.3). Fazedo algumas operações algébrcas em (.3) obtem-se f Y ( y; µ, σ ) exp log( πσ ) ( y µ ) σ yµ µ y exp σ σ log ( πσ ) yµ µ exp σ y σ log ( πσ ) que á se ecotra a forma caóca. Assm podemos detfcar o parâmetro caóco θ como sedo µ e o parâmetro perturbador φ como sedo σ, sto é, podemos ada coclur que θ θ µ e a ( φ ) φ, y c. φ b ( θ ) e ( ) ( y, φ log πφ ) Com as expressões (.) e (.) podemos verfcar que como á esperavamos. E Var d dθ ( Y ) θ θ µ dµ dθ dµ dµ ( Y ) φ σ σ 3

26 Modelos Leares Geeralzados (MLG) Note-se que aqu assumu-se que a varâca é costate para todos os Y s, caso se teha Y N(, σ ) ~ µ, pode-se troduzr um factor multplcatvo a varâca, sto é, um peso ω dferete para cada Y, ode os ω s são cohecdos e tas que este caso teramos a σ σ, ω φ ω ( φ ) e Var( ) Y σ. ω.. Dstrbução de Posso Vamos supor agora que Y segue uma dstrbução de Posso de parâmetro λ, sto é, Y ~ P( λ) com y,,, e λ >.. A sua fução massa de probabldade é da forma ( y; λ) P Y e y λ y! λ (. 4) Note-se que o caso da dstrbução de Posso ão exste ehum parâmetro a φ. perturbador, pelo que se deverá ter ( ) Escrevamos (.4) a forma (.3) P que á se ecotra a forma caóca. λ ( Y y; λ ) exp{ λ y log λ log y! } { y log y log y! } exp λ Podemos detfcar o parâmetro caóco como sedo θ e. Tem-se ada que θ ( θ ) λ e e c( y) log y! b e, ovamete pelas expressões (.) e (.), podemos obter d θ θ E ( Y ) ( e ) Var( Y ) e λ. dθ θ log λ, sto é, 4

27 Modelo Lear Geeralzado (MLG)..3 Dstrbução Bomal Se cosderarmos a v.a. Y como sedo o úmero de sucessos em experêcas depedetes e todas com a mesma probabldade de sucesso p, Y segue uma dstrbução Bomal. Supohamos etão que Y B(, p) massa de probabldade tem a forma com ~, sedo cohecdo. Etão a sua fução ; (. 5) y y y ( y p) p ( p) P Y y,,,..., e < p <, sedo y!. y!( y)! Como é assumdo que é cohecdo, o parâmetro de teresse é a probabldade de sucesso p. Note-se que também este caso ão exste ehum a φ. parâmetro perturbador, dode ( ) Pode-se escrever (.5) a forma P y ( Y y; p) exp log y log p ( y) log( p) p exp y log p log ( p) log y que se ecotra a forma caóca. p exp y log log p p Obtemos assm que o parâmetro caóco é log y θ p e θ log e cosequetemete p. (. 6) θ p e Podemos, também, detfcar as fuções b ( θ ) e ( y) θ ( θ ) log( e ) b θ e θ e c da segute forma c y log y log e ( ) 5

28 Modelos Leares Geeralzados (MLG) Calculado a méda e a varâca θ e E θ e ( Y ) b ( θ ) p Assm, Var d dθ d dθ e θ ( Y ) ( p) p( p) e θ e θ e θ e µ p, dode se pode exprmr o parâmetro caóco de (.6) em θ. termos da méda da segute forma sto é, θ é uma trasformação logt de µ. µ µ θ log log, (. 7) µ µ Partcularzado agora para o caso da dstrbução de Beroull, sto é,, cosderado B( p) e Z ~ temos que θ log p p log µ µ e, cosequetemete, b e θ ( θ ), c ( y) θ e E ( Z ) p e Var( Z ) p( p)..3 Compoete sstemátca A compoete sstemátca tem orgem os modelos leares clásscos ode um vector de observações y tedo compoetes é assumdo como sedo a realzação de um vector aleatóro Y cuas compoetes são depedetemete dstrbuídas com vector de médas µ. Fcado portato, esta parte sstemátca defda pela especfcação do vector µ e dos parâmetros,, p. No caso dos modelos leares clásscos esta especfcação toma a forma p µ x (. 8) 6

29 Modelo Lear Geeralzado (MLG) ode os s, usualmete descohecdos, têm de ser estmados com base os dados. Cosderado um couto de observações podemos obter a parte sstemátca do modelo escrta a forma ( ) p E Y µ x,, o que a forma matrcal vem µ X ode µ é uma matrz, X é p e é p. Assm está defda a parte sstemátca do modelo lear clássco que serve de base ao modelo lear geeralzado. A dfereça etre a parte sstemátca dos dos modelos resde o facto de que os modelos leares clásscos a leardade é com respeto à esperaça da varável resposta equato que os modelos leares geeralzados é com respeto a uma fução desta, como veremos adate. No cotexto dos modelos leares geeralzados a compoete lear dá orgem ao predtor lear η dado por p η,,,. x.4 Fução de lgação É a fução de lgação que faz a pote etre o valor médo µ e a estrutura lear, dada pelo predtor lear η das varáves resposta. Assm, podemos escrever ( ) g µ η,, (. 9) ode g () é chamada fução de lgação. A fução de lgação pode ser qualquer fução dferecável e moótoa. A fução de lgação dz-se caóca ou atural se θ η ode θ é o parâmetro caóco defdo em (.3). Na sub-secção (.4.) faremos algumas cosderações sobre as fuções de lgação caócas. 7

30 Modelos Leares Geeralzados (MLG).4. Fuções de lgação admssíves para algumas dstrbuções Nos modelos leares clásscos a méda e o predtor lear são dêtcos, sto é, a fução de lgação é a fução detdade o que é acetável sob o poto de vsta de que ambos η e µ, podem tomar quasquer valores reas. Nem sempre sto acotece, vease o caso em que a varável resposta é uma cotagem com dstrbução de Posso. Nesse caso, teremos que ter µ > e como η pode tomar valores egatvos a fução detdade ão é acoselhável. Cada dstrbução da varável resposta admte uma varedade de fuções de lgação para relacoar a méda com o predtor lear. Na tabela segute mostram-se algumas das fuções de lgação váldas para algumas dstrbuções. Dstrbuções Fução de Lgação Beroull Gaussaa Gama Posso Logt * Probt * Complemetar log-log * Idetdade * * * Iverso * Logartmo * * Raíz quadrada * Quadro. Logt As fuções de lgação que surgem a tabela defem-se da segute forma: η log µ µ Probt η Φ ( µ ) ode ( ) Complemetar log-log η log [ log( µ )] Idetdade η µ Iverso η µ Logartmo η log µ Raíz quadrada η µ Φ é a fução dstrbução da Normal (,) 8

31 Modelo Lear Geeralzado (MLG) No Quadro. surge a dstrbução de Beroull e ão a dstrbução Bomal. Para a dstrbução Bomal recorde-se que o parâmetro caóco θ é dado pela expressão (.6) e cosequetemete de (.7) vem que a fução de lgação caóca da dstrbução Bomal é µ η log µ..4. Algumas cosderações sobre as fuções de lgação caócas Quado se faz modelação temos o obectvo de ecotrar um modelo que reflta a estrutura dos dados mas também que sea fácl de mplemetar as suas váras vertetes: parcmóa, estmação de parâmetros, austameto, ferêca e possvelmete prevsão. No cotexto dos modelos leares geeralzados a escolha da fução de lgação reveste-se de muta mportâca, tato pelo papel que desempeha bem como pelas propredades que certas escolhas podem proporcoar. Claro está, que em sempre algumas vatages suplatam as desvatages. Um dos potos á referdo aterormete é a admssbldade dos valores obtdos para a méda µ da varável resposta Y. Nesta questão a fução de lgação caóca assume mportâca pos assegura que os valores obtdos para a méda µ, seam sempre admssíves. A escolha da fução de lgação caóca smplfca os cálculos ecessáros para a estmação de parâmetros, como veremos o capítulo 3. Desta forma, tora mas fácl a mplemetação do algortmo correspodete. Como os modelos leares geeralzados estamos teressados em estmar o vector de parâmetros e posterormete fazer ferêca, o cohecmeto de uma estatístca sufcete para revela-se mprescdível. Se a fução de lgação fôr a caóca temos que θ η 9

32 Modelos Leares Geeralzados (MLG) dode se pode escrever a fução de log-verosmlhaça (.7) em termos do predtor lear η ( ) ( ) ( ) φ φ η η, Y c a b Y como T x x η vem ( ) ( ) φ φ, Y c x b x Y a. Assm a log-verosmlhaça das observações é dada por ( ) ( ) ( ) Y c x b a x a Y φ φ φ, ( ) ( ) ( ) Y c x b a x a Y φ φ φ, ( ) ( ) ( ) Y c x b a a x Y φ φ φ, dode se pode coclur que para a fução de lgação caóca a estatístca k - dmesoal ( ) ( ) ( ) p a x Y a x Y a x Y φ φ φ,,, é sufcete para o vector de parâmetros. Se cosderarmos que ( ) φ a é costate a estatístca sufcete é o vector dado pela forma matrcal Y X T. Wedderbur (976) cocluu a exstêca e ucdade dos estmadores de máxma verosmlhaça, que rão ser estudados o capítulo 4, para algumas dstrbuções e para algumas fuções de lgação. Se repararmos esse estudo, pode-se coclur que as fuções de lgação caócas são aquelas que proporcoam maores garatas dos estmadores para as dstrbuções Gaussaa, Posso, Bomal e Gama. Para as dstrbuções Gaussaa e Gama, Wedderbur, cocluu a exstêca e ucdade dos estmadores de máxma verosmlhaça de, sedo a fução de lgação caóca.

33 Modelo Lear Geeralzado (MLG) Para as dstrbuções Posso e Bomal a fução de lgação caóca garate a ucdade dos estmadores bem como a sua exstêca o espaço dos parâmetros. Até agora foram aqu expostas algumas vatages da escolha da fução de lgação caóca, o etato, apesar destas propredades, podem ser escolhdas outras fuções. A escolha da fução de lgação pode fcar depedete da preferêca de um modelo adtvo ou multplcatvo, e em sempre a fução de lgação caóca poderá preecher esse requsto. Resumdo as secções..,.. e..3 podemos obter as fuções de lgação caócas para as dstrbuções Normal, Posso e Bomal apresetadas a segute tabela. Dstrbução Fução de lgação caóca Gaussaa η µ Posso η log µ Bomal η log [ µ ( µ )]

34 Iferêca e Austameto 4 Iferêca e Austameto Nos capítulos e 3 defu-se o modelo e estmaram-se os parâmetros, mas aalsar dados baseados em modelos leares geeralzados é mas do que uma estmação dos parâmetros de um modelo. Neste capítulo vamos determar propredades assmptótcas dos estmadores e ecotrar ferrametas estatístcas para averguar a qualdade do austameto de um certo modelo. Cosequetemete, com métodos para quatfcar o austameto de um modelo podemos gualmete quatfcar o efeto do acréscmo ou elmação de varáves o modelo, levado-os a ecotrar um modelo parcmooso e com uma boa qualdade de austameto, sto é, vamos cosegur fazer selecção de modelos. Uma vez que supomos que as varáves são (codcoalmete) depedetes e têm uma dstrbução proveete da famíla expoecal, os modelos leares geeralzados satsfazem as codções de regulardades. Isto faclta a determação de dstrbuções assmptótcas, possbltado a costrução de tervalos de cofaça assmptótcos, bem como testes de hpótese, sem os quas ão sera possível uma modelação dos dados adequada. 35

35 Iferêca e Austameto 4. Dstrbuções assmptótcas As dstrbuções assmptótcas os modelos leares geeralzados advêm das propredades da famíla expoecal. As dstrbuções desta famíla respetam, de uma forma geral, as codções de regulardade ecessáras à obteção das dstrbuções lmte. No etato, as dstrbuções que se vão determar são exactas para o caso dos modelos leares com dstrbução ormal. Codções de regulardade Cosderado a fução de lgação g : M IR e os valores admssíves para e u ( g µ ), sto é, θ ( ) p B IR, o couto de todos u η regulardade que se supõem satsfetas, Fahrmer e Kaufma (985), são:. B é aberto em lgação caócas; T. g( M ), as codções de p IR e, adcoalmete, covexo para as fuções de X,,,...,, para todos os B ;. g respectvamete u, pertece a du η,,,..., ; C e d v. X X tem característca máxma para qualquer. T A codção. é ecessára para haver um modelo lear geeralzado para todo o. Para as fuções de lgação caócas, a covexdade de B garate a ucdade do estmador de máxma verosmlhaça, caso este exsta. A dferecabldade assumda de g é ecessára para garatr que as segudas dervadas da log-verosmlhaça são cotíuas. A codção v. e du dη asseguram que a matrz de formação é defda postva para todo o B. Como á fo defdo aterormete o score respetate ao parâmetro é a dervada parcal da fução de log-verosmlhaça em ordem a, e a sub-secção 3.. cocluímos que a matrz de varâcas-covarâcas dos U s é a matrz de formação de Fsher, I. Atededo a que ( ) E com,..., p U 36

36 Iferêca e Austameto e à versão multvarada do teorema lmte cetral podemos dzer que a dstrbução assmptótca dos scores é ormal, supodo que I ão é sgular. a U ~ N (, I) A partr da dstrbução assmptótca dos scores vamos determar uma dstrbução assmptótca para o estmador de máxma verosmlhaça ˆ. Aproxmado U ( ) pelo seu desevolvmeto em sére de Taylor de prmera ordem em toro de b ( ) U( b) H( b)( b) U (4.) ode H ( b) é a matrz hessaa da log-verosmlhaça. Está a assumr-se que a solução b é úca e gual ao verdadero valor. Por (3.6) podemos escrever I E ( H) dode para grades amostras podemos substtur H por forma ( ) U( b) I( b) U. I, assm (4.) assume a Mas como o vector b é a solução do sstema das equações de máxma verosmlhaça temos que o que smplfca a equação ateror para esperaça U ( b) ( b ) I U( ). Podemos agora estudar a dstrbução da varável ( b ) pos E ( U ) e assumdo que assmptotcamete cetrado. ( b ) E( I U) E I E( U). Calculado a sua I é costate. Cocluu-se que o estmador b é Calculemos agora a matrz de varacas-covarâcas do vector b Var T ( ) ( b ) E ( b )( b ) 37

37 Iferêca e Austameto E ( I U)( I U) ) T T ( I I ) E UU uma vez que I é smétrca, e assumdo que I é costate T e como ( ) I E UU vem I I. T ( ) I E UU Fcou mostrado que assmptotcamete a matrz de varâcas-covarâcas de b é a versa da matrz de formação. Assm, a dstrbução assmptótca é ou a forma alteratva a ~ b N (, I ) a ~ p T ( ) I( b ) χ b. (4. ) Com base esta dstrbução, pode-se escrever a dstrbução do estmador do parâmetro. Tem-se que ˆ em que ˆ I I é o elemeto ( ) a ~ N (,) ˆ ou I, da matrz versa de I. a ~ χ, (4. 3) Faclmete se obtem o tervalo de cofaça assmptótco para o parâmetro ˆ com ( ) % de cofaça ode I ˆ χ, χ I é o quatl χ da ormal padrozada. Atededo a (4.) pode-se examar as correlações etre os parâmetros, recorredo a I k corr(, k ). I I kk 38

38 Iferêca e Austameto 4. Meddas de Austameto Obtdo um modelo, é ecessáro averguar o seu austameto, sto é, se modela de uma forma satsfatóra os dados. Deve-se procurar um modelo com o meor úmero de parâmetros, mas que explque o feómeo em estudo. O modelo ecotrado deverá mostrar as varáves mas sgfcatvas, elmado a redudâca de formação. O modelo mas smples, modelo ulo, cotém apeas um parâmetro, represetado uma méda global de todas as observações, cosderado que toda a varação dos dados está eglobada a compoete aleatóra. No outro extremo, temos o modelo saturado, que cotém parâmetros, um para cada observação, e este caso, toda a varação é explcada pela compoete sstemátca do modelo. Nem o modelo ulo em o modelo saturado são coveetes, pos equato um é demasado smples o outro ão sumarza a formação. Mas como veremos, estes dos modelos vão servr de comparação com o modelo de teresse. É com base os modelos ulo e saturado, que se vão costrur duas meddas de austameto de um certo modelo. A devace compara o modelo saturado com o modelo em estudo, equato que o Auste (ome que este trabalho desga uma medda de austameto que rá ser explctada) compara este, com o modelo ulo. 4.. Devace A devace cosste uma razão de verosmlhaças etre as fuções de verosmlhaça do modelo saturado e do modelo em estudo. O modelo saturado é assumdo como tedo a mesma dstrbução do modelo de teresse, bem como a mesma fução de lgação. Para ambos os modelos podemos calcular os respectvos valores das fuções de verosmlhaça a partr das estmatvas b e b, obtedo-se L ( b ; Y) e ( b; Y) max max L, respectvamete. Com estas duas quatdades pode-se obter uma razão de verosmlhaças 39

39 Iferêca e Austameto L ( b max ; Y) L( b; Y) que va servr como medda de austameto. Se logartmzarmos a razão ateror obtemos a dfereça de log-verosmlhaças ( b ; Y) ( b; Y) max que tomará valores grades se o modelo em estudo tver um mau austameto e valores pequeos, caso cotráro. Nelder e Wedderbur(97) chamaram a a devace à escala. D Seam ˆ θ θ ( ˆ µ ) e θ θ ( Y ) ~ * ( Y µ ) [ ( b ; Y) ( b; Y) ] ; max as estmatvas dos parâmetros caócos para os φ φ ω e modelos em estudo e saturado, respectvamete. Supodo que a ( ) atededo à expressão (3.4), a devace à escala toma a forma com φ ω ~ ~ [ Y ( θ ˆ θ ) b( θ ) b( ˆ θ )] A expressão ateror pode ser escrta o quocete ode ( Y; µ ) D D( Y; µ ) φ ~ ~ ( Y ; µ ) ω [ Y ( θ ˆ θ ) b( θ ) b( ˆ θ )] D é a chamada devace do modelo de teresse e é uma fução que depede ucamete dos dados. Tem teresse determar a dstrbução assmptótca da devace para se poder testar algumas hpóteses. Vamos supor que o modelo em estudo tem p parâmetros, sto é, o vector tem dmesão p. A sére de Taylor até ao termo com dervadas de seguda ordem de ( ; Y) em toro de b é T T ( ; Y) ( b; Y) ( b) U( b) ( b) H( b)( b) (4. 4). 4

40 Iferêca e Austameto ode U ( b) e ( b) calculados com o vector b. H são o vector dos scores e a matrz hessaa de, respectvamete, Como U ( b), pela própra obteção de b, e como ( H) I E (ver subsecção 4.) podemos fazer a aproxmação I H( b). A expressão (4.4) pode ser reescrta como sedo T ( ; Y) ( b; Y) ( b ) I( b ) T ( b; Y) ( ; Y) ( b ) I( b ). Mas em (4.) á thamos determado uma dstrbução para o segudo membro, dode escala. ( b Y ) ( ; Y ) χ ~ ; p a. (4. 5) É este resultado que va servr de base à obteção da dstrbução da devace à A devace à escala á fo defda como sedo ( Y µ ) [ ( b ; Y) ( b; Y) ] e pode ser escrta como a soma de três parcelas D * * D ; max (4. 6) ( Y µ ) { [ ( b ; Y) ( ; Y) ] [ ( b; Y) ( ; Y) ] [ ( ; Y) ( ; Y) ]} ; max max max Faclmete se obtem a dstrbução de * D recorredo a (4.5). Ateda-se ao segudo membro da expressão ateror. A prmera parcela tem uma dstrbução χ, pos o modelo em causa é o saturado. A seguda parcela tem uma dstrbução χ p, uma vez que o modelo em estudo tem p parâmetros. A tercera parcela ão é aleatóra, é sempre postva e tão próxma de zero quato mas o modelo em estudo explcar tão bem os dados como o modelo saturado. Assumdo a depedêca das duas prmeras parcelas e que a tercera é aproxmadamete ula, cocluímos que. D a * ~ p χ (4. 7) A aproxmação assumda de que a tercera parcela é ula, só é válda se o modelo de teresse fôr bom, caso cotráro a dstrbução ão será a obtda. Tedo este caso, uma dstrbução aproxmadamete de um qu-quadrado ão-cetral. 4

41 Iferêca e Austameto A dstrbução ecotrada, pode ão ser uma boa aproxmação o caso geral, embora, para o caso da dstrbução ormal sea exacta. No caso geral, a devace à escala depede do parâmetro de escala, φ, ão sedo portato possível calcula-la drectamete dos dados. Sempre que ecessáro, este parâmetro é substtuído por uma sua estmatva cosstete. Este problema á ão se coloca para as dstrbuções sem o parâmetro perturbador, como é, por exemplo, a dstrbução de Posso. Nesta stuação, a devace e a devace à escala cocdem, sedo portato, fácl a costrução de tervalos de cofaça. 4.. Auste O Auste que se apreseta, é uma medda de austameto alteratva à devace. A dea base cotua a mesma: a comparação de dos modelos. A dfereça resde o facto de que vamos comparar o modelo em estudo com o modelo ulo, sto é, com o modelo mas pobre, aquele que apeas tem a méda das observações como parâmetro dexado a varabldade para a compoete aleatóra. Com o Auste pretede-se quatfcar o gaho do modelo de teresse relatvamete ao mas pobre, equato que a devace, quatfca-se a perda relatvamete ao modelo saturado. Todo o desevolvmeto é aálogo ao feto para a devace, pelo que, se apreseta resultados omtdo algus passos. Cotuado com a otação ateror, L ( b ; Y) e ( b; Y) valores das fuções de verosmlhaça com as estmatvas estmatvas de do modelo ulo e do modelo em estudo. A razão de verosmlhaças, este caso, é L L( b; Y) ( b ; Y) ulo ulo L represetam os b ulo e b, respectvamete 4

42 Iferêca e Austameto e a estatístca medda de austameto à escala, aqu desgada por Auste à escala e deotada por * RV é dada por RV * [ ( b ; Y) ( b ; Y) ]. ulo Aalogamete, ao que fzémos para a devace à escala, podemos escrever como sedo * RV RV φ desgado-se RV smplesmete por Auste. * RV Para a dstrbução assmptótca do Auste atede-se a uma teorema relatvo à razão de verosmlhaças (ver Kedall e Stuart (977), pág. 4). Por este teorema a estatístca de austameto desgada por Auste tem uma dstrbução assmptótca de um qu-quadrado com p graus de lberdade. Assm, tem-se que a ~ p RV χ. Para as stuações em que a dstrbução ão teha parâmetro perturbador, φ, * RV e RV cocdem, sedo smples a costrução de tervalos de cofaça, uma vez que a medda depede ucamete dos dados. Caso a dstrbução teho o parâmetro φ, este deve ser substtudo uma sua estmatva cosstete Estatístca de Pearso Geeralzada McCullagh e Nelder (983) propõem uma outra estatístca, amplamete usada em város domíos: a estatístca de Pearso geeralzada. Esta medda de austameto tem a forma X ( Y ˆ µ ) Var( ˆ µ ) tedo uma dstrbução assmptótca χ p, ode p é o úmero de parâmetros do modelo em estudo. A estatístca de Pearso tem uma dstrbução exacta de χ para varáves ormas. Nas restates dstrbuções deve-se ser bastate prudete quato à letura do 43

43 Iferêca e Austameto seu valor, pos estamos a supor que temos uma soma de qu-quadrados com um grau de lberdade e essa aproxmação está muto depedete da dstrbução em causa. Esta medda tem a vatagem de ter uma terpretação mas drecta do que a devace. 4.3 Selecção de Modelos A devace pode servr como um dcador sobre o austameto ou adequabldade de um certo modelo. Comparado a devace com o úmero de graus de lberdade da sua dstrbução assmptótca. Esta comparação apeas dá uma dcação do austameto, devedo-se utlzar outros métodos para a obteção de um modelo mas explcatvo do feómeo: para sso, dever-se-á fazer comparações etre modelos. Um processo usual para a selecção de modelos é aalsar a fluêca do acréscmo de um ou mas parâmetros, se o gaho fôr sgfcatvo opta-se pelo modelo com mas parâmetros, caso cotráro pelo modelo mas parcmooso. Temos pos, de desevolver uma estatístca para quatfcar a dfereça do austameto etre dos modelos e posterormete determar a sua dstrbução, pelo meos assmptótca. Vamos assumr que os modelos que se pretedem comparar apeas dferem o úmero de parâmetros. Têm a mesma fução de lgação, a mesma dstrbução e o couto dos parâmetros do modelo mas smples é um subcouto do couto dos parâmetros do modelo maor Testes de Hpóteses Por uma maor facldade, sempre que fôr referdo: devace ou Auste será sempre os valores à escala. 44

44 Iferêca e Austameto Cosderemos (,..., ) T e (,,..., ) T o q os vectores de,..., q q parâmetros de dos modelos que se pretedem comparar. O obectvo será testar se o gaho da trodução dos parâmetros sgfcatvo. Podemos cosderar o teste de hpóteses versus a hpótese alteratva com q < p <. H : para k { q,..., p} k { q p} H : k,..., tal que k p,..., q p é Deote-se por M e M os modelos correspodetes a H e a H, respectvamete. Podemos obter duas estatístcas de teste, utlzado a devace ou o Auste, ambas sobre o prcípo que se obtêm pela dfereça dos valores. devace. Veamos prmero o caso em que se escolheu para medda de austameto a Cosdere-se ( b ; Y) e ( b ; Y) M e, as log-verosmlhaças dos modelos M, respectvamete. Calculemos a dfereça das devaces dos dos modelos D D [ ( b ; Y) ( b ; Y) ] [ ( b ; Y) ( b ; Y) ] max max [ ( b ; Y) ( b ; Y) ]. A dfereça etre as devaces correspode ao dobro da dfereça etre as logverosmlhaças etre os dos modelos. Por (4.6) obtemos a dstrbução para esta dfereça. Por (4.6) podemos dzer que D a ~ q χ e D a ~ χ p admtdo a ecessára depedêca, podemos coclur que D a D ~ pq χ. A regão crítca do teste é costtuída por todos os valores superores ao quatl χ da dstrbução χ pq.caso o valor observado da dfereça das devaces perteça à regão crítca, reeta-se H, preferdo-se o modelo mas completo; caso cotráro aceta-se o modelo mas smples. 45

45 Iferêca e Austameto Segudo Dobso (99), a dstrbução assmptótca de D D é, em geral, melhor aproxmada por uma dstrbução de qu-quadrado que a própra devace, D. Como á fo referdo aterormete, para o caso das dstrbuções sem parâmetro perturbador, φ, ão há problemas com o cálculo da devace (à escala). Para os casos em que haa este parâmetro, podemos utlzar uma outra estatístca que ão depeda dele. Esta estatístca é dada por D D F p q D, p que sob a hpótese H, tem dstrbução assmptótca F de Sedcor, F p q, p. Caso se teha escolhdo para medda de austameto o Auste, o processo de obteção da estatístca de teste é aálogo. A estatístca de teste é a dfereça RV [ ( b ; Y) ( b ; Y) ] [ ( b ; Y) ( b ; Y) ] RV Nulo ulo [ ( b ; Y) ( b ; Y) ]. De uma forma aáloga à devace, podemos dzer que RV a RV ~ χ pq dode, se reeta H, caso o valor obtdo sea superor ao quatl χ da dstrbução χ pq Aálse de Resíduos A aálse dos resíduos é útl a obteção de um bom modelo. Os resíduos são valores cocretos, resultates dos dados orgas e das suas estmatvas calculadas a partr do modelo em estudo, portato têm em s mesmos formação sobre o austameto. Nos modelos leares ormas, os resíduos são defdos como sedo a dfereça etre a observação e o seu valor estmado que terá uma dstrbução ormal. e µˆ y 46