A finalidade dos testes de hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores dos parâmetros populacionais.

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1 Prof. Jaete Pereira Amaor Itroução Os métoos utilizaos para realização e iferêcias a respeito os parâmetros pertecem a uas categorias. Poe-se estimar ou prever o valor o parâmetro, através a estimação e parâmetros ou poe-se tomar ecisões relativas ao mesmo, através e um teste e hipótese paramétrico (teste e sigificâcia). O teste e sigificâcia ou teste e hipóteses paramétrico cosiste em verificar se a ifereça etre um valor alegao e um parâmetro populacioal e o valor e uma estatística amostral poe ser razoavelmete atribuío a variabiliae amostral ou se a iscrepâcia é emasiaamete grae para ser ecaraa assim. A fialiae os testes e hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores os parâmetros populacioais. ipótese Estatística Uma hipótese estatística é uma afirmação que poe ou ão ser veraeira sobre o valor e um parâmetro ou sobre a istribuição e probabiliae e uma variável aleatória. Em estatística existem ois tipos e hipótese estatística. A ipótese ula é a hipótese coservaora sempre poe ser expressa por uma igualae a zero. Por exemplo: : ou :. A ipótese alterativa é qualquer hipótese que iferi e uma aa hipótese ula é a ipótese experimetal. Por exemplo: : ou : ou :. A ipótese ula é uma afirmação que iz que o parâmetro populacioal é tal como especificao (isto é, a afirmação é veraeira). A ipótese alterativa é uma afirmação que oferece uma alterativa à alegação (Isto é, o parâmetro é maior ou meor que o valor alegao) As hipóteses e são mutuamete excluetes, aceitao-se uma hipótese como veraeira, a outra, automaticamete, será rejeitaa. Portato eve-se tomar cuiao para ão ser cometio erros com relação aceitação e rejeição e e. 3 Tipos e Erro Quao se realiza um teste e hipótese, poe-se cometer ois tipos e erro: Erro tipo I: cosiste em rejeitar quao ela é veraeira. Poe ser limitao pela escolha o ível e sigificâcia que probabiliae e rejeitar quao essa for veraeira. Erro tipo II: Cosiste em aceitar, quao ela é falsa. O ível e sigificâcia o teste (probabiliae e rejeitar quao essa for veraeira) é fixaa ates a extração as amostras. Os valores mais comus para são:.,.5 e. ou %, 5% e %. Se por exemplo, ao eliear-se um teste, escolhe-se =.5 ou 5%, sigifica que em cerca e 5% rejeitar-se-ia erroeamete. O coeficiete e cofiaça, iicao por ( - ), é a probabiliae e que a hipótese ula ão seja rejeitaa quao e fato for veraeira e ão eve ser rejeitaa. Em termos e metoologia o teste e hipóteses, esse coeficiete represeta a probabiliae e

2 Prof. Jaete Pereira Amaor se cocluir que o etermiao valor o parâmetro que está seo testao para hipótese ula seja plausível. 4 Teste e ipóteses Uilateral e Bilaterais Depeeo a hipótese alterativa, os testes são classificaos como uilaterais e bilaterais. 4. Teste e hipóteses bilateral Os testes bilaterais se usam sempre que há ivergêcia crítica em ambas as ireções, tal como ocorreria a fabricação e roupas, oe camisas muito graes ou muito pequeas ão correspoem à etermiação o parão. Outro exemplo é o caso em que peças evem ajustar-se uma a outra, como o parafuso e porca. Uma variação excessiva ocasioará seja um ajuste muito frouxo, e moo que as peças ão permaecerão uias, ou um ajuste excessivo impeio a cojugação as peças. Assim por exemplo: : cotra : é um teste bilateral, esquematicamete: Valor tabelao também chamao e valor crítico, separa a região e aceitação (RA ) a região e rejeição (RR ). 4. Teste e hipóteses uilateral a ireita O teste uilateral a ireita é útil para testar se etermiao parão máximo ão foi exceio Como exemplo seria: teor máximo e gorura permitia em etermiao tipo e leite, raiação emitia por usias ucleares, úmero e passas efeituosas e uma remessa e certa mercaoria, quatiae e poluição atmosférica emitia por uma etermiaa fabrica. Assim por exemplo: : cotra, : ( é o valor suposto para o parâmetro) é um teste uilateral a ireita, esquematicamete:

3 Prof. Jaete Pereira Amaor 3 4. Teste e hipóteses uilateral a esquera O teste uilateral a esquera é útil para verificar se etermiao parão míimo foi atigio. Como exemplo seria: coteúo míimo e gorura o leite, peso líquio e pacotes e etermiao prouto, via e um prouto tal qual como especificao o certificao e garatia. Assim por exemplo: : é um teste uilateral a esquera, esquematicamete: 5 Proceimetos para Realização e um Teste e ipóteses Para realizar um teste e hipótese sugere-se seguir as seguites etapas: ) Formular as hipóteses; ) Ietificara a estatística o teste; 3) Determiar o ível e sigificâcia; 4) Calcular a estatística utilizao os valores amostrais; 5) Comparar as estatística calculaa com a estatística tabelaa; 6) Cocluir. 5. Teste e hipóteses para méia O objetivo o teste e sigificâcia para méias é avaliar afirmações feitas a respeito e méias populacioais. á basicamete três tipos e afirmação que se poem fazer a cerca as méias populacioais e caa tipo requer um tipo iferete e avaliação. Uma afirmação poe izer respeito a méia e uma úica população; a avaliação evolve etão um teste e uma amostra. Ou poe-se afirmar que a méia e uas populações são iguais; tem-se etão um teste e uas amostras. Fialmete poe-se afirmar que a as méias e mais e uas populações são iguais, o que evolve um teste e K amostras Aálise e Variâcia Teste e sigificâcia e uma amostra para uma méia amostral cotra um valor paramétrico De acoro com o teorema o limite cetral, se obtemos amostras graes ( > 3) (e qualquer população com qualquer istribuição), a istribuição as méias poe ser aproximaa por uma istribuição ormal. Seo assim, istribuição as méias amostrais será aproximaamete ormal com meia e esvio parão. Em um teste e hipóteses, o valor e correspoe a hipótese ula, e o valor o esvio parão populacioal eve ser cohecio. Se é escohecio e as amostras são

4 Prof. Jaete Pereira Amaor 4 graes ( 3, poemos usar o esvio parão amostral S em substituição σ, porque graes amostras aleatórias teem a represetar a população com istribuição ormal. Retira-se uma amostra e tamaho e calcula-se X. X Calcula-se o valor a estatística Z X c ou t c S Sob a hipótese ula, tem-se que Z c possui uma istribuição ormal parão.portato, Rejeita-se se Z c Z (isto é, se Z c < Z ou Z c Z ) ou Rejeita-se se tc t (isto é, se t c < t, ou t t,, Aceita-se se Z c Z (isto é, c Z Z Aceita-se se tc t, (isto é, c teste. ), ou t t, ) ), oe é o ível e sigificâcia o Ex: Um posto e saúe recebe perioicamete caixas com preservativos para istribuir a população o bairro. Sabe-se que caa caixa e um carregameto e 36 caixas segue uma istribuição ormal com = 5 e variâcia ( ) sempre igual a 4g. Se uma fiscalização for feita e uma as caixas apreseta-se uma méia amostral e X = 49 g, você euciaria o posto por roubo e material. Cosiere o ível e sigificâcia e %? Ex: Um fabricate afirma que seus cigarros cotém ão mais que 3 mg e icotia. Uma amostra e 5 cigarros forece méia e 3,5 mg e esvio parão e 3 mg. Ao ível e 5%, os aos cotraizem ou ão a afirmação o fabricate? Ex3: Numa amostra e sague 6 paciete obtiveram-se as meias para os seus íveis e urato (mg%) e ; ; ; 3; 4; 5. Teste as hipóteses µ =,5 vs µ,5, use um,5. Iterprete o resultao o teste. Teste e sigificâcia para a ifereça etre uas méias populacioais iepeetes Os testes e uas amostras são usaos para eciir se as méias e uas populações são iguais. Para a realização o teste exige que as uas amostras sejam iepeetes, uma e caa população. Duas amostras são iepeetes se a amostra extraía e uma as populações ão tem qualquer relação com a amostra extraía a outra. Esses testes são freqüetemete usaos para comparar ois métoos e esio, uas marcas, uas ciaes, ois istritos escolares, e outros casos aálogos. Ao testar as hipóteses para ifereça etre uas méias supõe-se que: As uas amostras são iepeetes

5 Prof. Jaete Pereira Amaor 5 O tamaho as uas amostras são graes > 3 e > 3 e/ou as variâcias são x x cohecias utiliza-se a estatística Z c. Quato às hipóteses temos que: A hipótese ula poe ser e que as uas populações tem méias iguais. : Equato que as alterativas poem ser: : ; : e : ote que: : é equivalete a : Ex: Um fabricate e cotrastes prouz ois tipos e cotrastes usaos em ecografia. Para o tipo A, = 5 oses, e para o tipo B, = 3 oses. O ospital XY testou 5 cotraste o tipo A e 4 o tipo B, obteo 4. oses e.6 oses e uração méia os respectivos tipos. Aotao-se um risco =4%, testar a hipótese e que ão existe ifereça etre a quatiae e oses os ois cotrastes. Teste e sigificâcia para a ifereça etre uas méias e populações epeetemete relacioaas Os resultaos e uas amostras costituem aos emparelhaos ou pareaos quao estão relacioaos ois a ois seguo algum critério que itrouz uma ifluêcia marcate etre os iversos pares, que supõe-se, porém ifluir igualmete sobre os valores e caa par. Seo assim, como os aos as uas amostras estão emparelhaos, tem setio calcular a ifereça i correspoete a caa par e valores, reuzio assim os aos a uma úica amostra e ifereças. Desta forma testa-se a hipótese e que a ifereça etre as méias as uas populações seja igual a um certo valor Δ equivale atestar a hipotese e que a meia e toas as ifereças (referete as populações) seja igual a Δ, o que ecorre as proprieaes a méia. Ou seja, testa-se simplesmete a hipótese : Δ cotra uma hipótese alterativa que poerá correspoer a um teste uilateral ou bilateral coforme seja o iteresse As otações para o teste e hipóteses para uas amostras epeetes correspoem; méia as ifereças para população e aos emparelhaos. = valor méio as ifereças i (x-y) para os aos amostrais emparelhaos é ao por i. S esvio parão as ifereças i para aos amostrais emparelhaos i i S. = úmeros e pares e aos. Seo assim, a equação para o teste é a por t c S

6 Prof. Jaete Pereira Amaor 6 Ex: Dez cobaias aultas foram submetias ao tratameto com certa ração urate uma semaa. Os aimais foram ietificaos seo matios em gaiolas iiviuais. Os pesos, em gramas, aotaos o iicio e o fial o experimeto, esigaos respectivamete, por x e y foram aotaos, seo estes: Cobaia x i (peso iicial) y i (peso fial) Testar a hipótese a % e que a ração ão cotribui para o aumeto e peso os aimais, cotra a hipótese alterativa o peso os aimais foi afetao pela ração (o peso iicial eve ser meor que o fial). Solução: : 9;% : t =,8 Cobaia x i (peso iicial) y i (peso fial) i Total i S t c ,5 6,5 6,6 6,94,34 48,7,96 6,94 Coclusão: Rejeita-se, ou seja, com 99% e cofiaça coclui-se que o uso a ração cotribui para o aumeto os pesos os aimais. 5.Teste e ipótese para proporção Os testes para proporções são aequaos quao os aos sob aálise cosistem em cotages ou freqüêcias e ites em uas ou mais classes. A fialiae e tais testes é avaliar afirmações sobre a proporção ou percetagem e uma população. Os testes se baseiam a premissa e que uma proporção amostral, isto é, x ocorrêcias em

7 Prof. Jaete Pereira Amaor 7 observações, ou x/, será igual a veraeira proporção populacioal. Os testes focalizam geralmete as ifereças etre um úmero esperao e ocorrêcias (supoo-se veraeira uma afirmação) e o úmero efetivamete observao. A ifereça é etão comparaa com a variabiliae prescrita por uma istribuição amostral baseaa a hipótese e que é realmete veraeira. Seja a proporção os elemetos e uma população que possuem uma etermiaa característica. Por exemplo, é igual a proporção ou percetagem os habitates, e uma etermiaa localiae, que possuem automóvel. Se quisermos testar a hipótese e que essa proporção é igual a etermiao valor, cotra a alterativa essa proporção ser maior e que o valor especificao, laça-se as hipóteses: : = Cotra uma as hipóteses alterativas: : > : : Um bom estimaor o parâmetro é a proporção amostral P, que para graes amostras segue uma istribuição aproximaamete ormal com méia e a variâcia ( ) ou seja, P ~ N (, ). Portato poe-se usar a variável ormal paroizaa. Z P ~ ( ) N (,) seo: P = x = úmero e tamaho sucessos a a amostra amostra proporção e sucesso a partir a hipótese ula Para proceer ao teste e hipóteses, como os casos ateriores, o valor e Z c. calculao eve ser comparao com o e Z ao em fução e, o ível e sigificâcia o teste. Ex: Um iustrial eseja certificar-se e que a fração e mercao que prefere seu prouto ao e seu cocorrete é superior a 7%. Para tato colheu uma amostra aleatória e 65 opiiões, as quais lhe foram favoráveis. Poe o iustrial ficar satisfeito com esse resultao, aotao o ível e sigificâcia e 5%? Exercícios. Os resíuos iustriais jogaos os rios, muitas vezes, absorvem oxigêio reuzio assim o coteúo o esse ecessário à respiração os peixes e outras formas e via aquática. Uma lei estaual exige o míimo e 5 ppm (partes por milhão) e oxigêio issolvio, afim e que o coteúo seja suficiete para mater á via aquática. Seis amostras e água retiraas e um rio, urate a maré baixa, revelaram os íices (em partes por milhão) e oxigêio issolvio. 4,9 5, 4,9 5,5 5, 4,7 Estes aos são eviêcia para afirmar que coteúo e oxigêio é meor que 5 ppm.teste cosierao 5% tc=,9; aceita-se

8 Prof. Jaete Pereira Amaor 8. A Debug Compay vee um repelete e isetos que alega ser eficiete pelo prazo e 4 horas o míimo. Uma aálise e 9 ites escolhios aleatoriamete acusou uma méia e eficiêcia e 38 horas. Teste a hipótese alegação a compahia, cotra a alterativa que a uração é iferior a 4 horas o míimo, com esvio parão amostral e 6 horas. Teste cosierao % tc=-; aceita-se 3. Um laboratório farmacêutico afirma que o meicameto Atchim, recetemete itrouzio o mercao, tem uma eficácia e 9% a cura e certa alergia. Numa amostra aleatória e pacietes sofreo essa alergia, registraram-se 6 curas. Avalie se aquela propagaa o laboratório é legitima. Use 3% Zc= -3,57; rejeita-se 4. Numa pesquisa sobre possuiores e vieocassete, ecotram-se as casas pesquisaas o bairro X e 4 as 5 resiêcias o bairro o bairro Y. á ifereça sigificativa etre a proporção e possuiores e víeo os ois bairros? Use %. 5. Uma experiêcia tem mostrao que 4% os estuates e uma Uiversiae reprovam em pelo meos 5 isciplias cursaas. Se 4 e 9 estuates fossem reprovaos em mais e 5 isciplias, poeríamos cocluir quato a proporção populacioal use % Zc=,77; aceita-se 6. Queremos testar as resistêcias e ois tipos e vigas e maeira, A e B. Tomao-se A = 35 vigas o tipo A e B = 4 vigas o tipo B, obtemos os valores a tabela a seguir. Testar a hipótese que as resistêcias méias os ois tipos e vigas são iguais, ao ível e sigificâcia e 5%. Zc=5,5; rejeita-se 7. Duas técicas platio e árvores para exploração e maeira são aplicaas por ois grupos e proutores: a técica A, por 3 proutores, e a técica B, por 35 proutores. Espera-se que a técica B prouza melhores resultaos que a técica A. Na época a extração a maeira, os proutores e A prouziram uma méia e 68 árvores a mais, com uma variâcia e 5, equato que os proutores e B prouziram uma méia e 76 árvores a mais com uma variâcia e 75. Testar, ao ível e sigificâcia e 5%, se a técica B é realmete melhor que a técica A. Zc=-4,6; rejeita-se 8. Duas espécies e um certo tipo e cereal estão seo testaas quato ao seu crescimeto. O experimeto foi feito escolheo blocos e terreo e platao em caa bloco muas e ambas as espécies. Os resultaos a seguir são as alturas meias ao fial o primeiro mês. Utilizar =,5

9 Prof. Jaete Pereira Amaor 9 9. Um méico está estuao o crescimeto e ois tipos e bactérias. Essas bactérias foram cultivaas em iferetes substratos. Como poe haver um efeito sigificativo o substrato, os ois tipos e bactérias foram cultivaos em caa substrato. Use =, e teste a hipótese e que a bactéria cresce mais que a bactéria.