CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA PROF. SÉRGIO CARVALHO

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1 AULA 14 RESOLUÇÕES FINAIS DA LISTA DE QUESTÕES Olá, amigos! Espero que estejam todos bem! Apreseto-lhes, hoje, as vite e duas últimas resoluções da lista origial do osso Curso! Com elas, cocluímos o osso trabalho o tocate às aulas. E o tocate ao Fórum, vou tetar respoder as pergutas pedetes durate os dias seguites. Vou pedir à LuBSB que mateha o fórum o ar. Passemos às resoluções! Vamos a elas. ÚLTIMAS QUESTÕES PENDENTES DE RESOLUÇÃO 01. (Aalista fi. e cotrole GDF 94 CESPE) Um órgão fiaciador de projetos recebeu os últimos doze meses as seguites quatidades mesais de propostas de projetos:, 10, 8, 16, 0, 6, 30, 40, 4, 36, 8, 4. Assiale a alterativa que represeta o 1º quartil deste cojuto. a) 18 b) 0 c) d) 4 Sol.: A primeira coisa a ser feita esta resolução é colocar os dados brutos apresetados o euciado uma forma de rol. Ou seja, colocá-los em ordem crescete! Teremos: 8, 10, 16, 0,, 4, 6, 8, 30, 36, 40, 4 Feito isso, apredemaos que para ecotrar algum Quartil em um rol, ates temos que descobrir quem é a Mediaa do cojuto! Uma vez descoberta a Mediaa, dividiremos o cojuto origial em duas partes: a parte dos elemetos à esquerda da Mediaa, e a parte dos elemetos à direita da Mediaa. Até aqui, tudo bem? Vamos fazer isso! Teremos: 8, 10, 16, 0,, 4, 6, 8, 30, 36, 40, 4 Md=(4+6)/ Md=5 Quais foram os dois subcojutos que ficaram à esquerda e à direita da mediaa? Vejamos: {8, 10, 16, 0,, 4} e {6, 8, 30, 36, 40, 4} Pois bem! Agora é o seguite: o primeiro quartil Q1 será a Mediaa do cojuto da esquerda, equato o terceiro quartil Q3 será a Mediaa do cojuto da direita! Só isso! Como a questão quer saber o primeiro quartil, teremos: {8, 10, 16, 0,, 4} Md=(16+0)/ Md=18 Q1=18 Resposta! (AFC-94 ESAF) Para a solução da questão seguite, utilize a série estatística abaixo:

2 0. Os valores do 1º e do 3º quartil da série são, respectivamete: a) e 15 b) 5 e 1 c) 4 e 13 d) 4 e 1 e) 6 e 13 Sol.: Vamos seguir o mesmíssimo raciocíio da questão aterior! Aqui, os elemetos já estão em rol. Assim, descobriremos, por primeiro, quem é a Mediaa do cojuto! Teremos: {, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 11, 11, 1, 13, 13, 13, 13, 15} Md=7 Assim, excluido a Mediaa do cojuto, geraremos dois subcojutos, que são os seguites: {, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 1, 13, 13, 13, 13, 15} Daí, o primeiro e o terceiro quartil serão os seguites: {, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6} e {9, 11, 11, 1, 13, 13, 13, 13, 15} Q1=4 Q3=13 Daí: Q1=4 e Q3=13 Resposta! 03. Cosidere a seguite distribuição de freqüêcias: classes fi Total A moda da distribuição é: a) 1,5; dada a simetria da distribuição. d) igual à meor freqüêcia simples. b) Iferior à média aritmética e à mediaa. e) igual à média aritmética. c) Superior à média aritmética e à mediaa. Sol.: Vamos calcular as três medidas de posição para esta distribuição de freqüêcias. Comecemos pela Média. Teremos: classes fi PM (PM-,5)/5=Yi fi.yi ,5 7,5 1,5 17,5, Total = Y = = 1, Nosso deseho de trasformação da variável é o seguite: 1º)-,5 º) 5 Xi Yi Y = 1,7 º)+,5 1º)x5

3 Daí: 1,7 x 5 = 8,5 e 8,5 +,5 = 11,0 Média! Calculemos a Mediaa do cojuto! Teremos: (/)=50 classes fi fac Total =100 0 é 50? Não! 40 é 50? Não! 80 é 50? Sim! Faremos: 5 Limites da Classe: 10 Md 15 fac associadas: X Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações. A seguite: 5 x Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(5x10)/40 X=1,5 Fialmete, teremos: Md=10+1,5 Md=11,5 Calculado agora a Moda do cojuto, teremos: classes fi Total =100 Δa=0 Classe Modal! Δp=30 3

4 Aplicado a fórmula de Czuber, teremos: Δa Mo=lif+ h a p Δ + Δ. Mo=10+[0/(0+30)].5 Mo=1,0 Reuido os três resultados, teremos: Média=11,0 ; Mediaa=11,5 e Moda=1,0 Logo: a Moda é superior à Média e à Mediaa Resposta! 04. (IRB-Brasil Resseguros S.A. 004 ESAF) Na distribuição de freqüêcias abaixo, ão existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classe Freqüêcia Acumulada 19,5-139, ,5-149, ,5-159, ,5-169, ,5-179, ,5-189, ,5-199,5 100 Assiale a opção que correspode ao oitavo decil. a) 179,5 b) 189,5 c) 183,9 d) 184,5 e) 174,5 Sol.: Apredemos que o procedimeto usado para se calcular qualquer medida separatriz é o mesmo usado para o cálculo da Mediaa, mudado apeas a fração iicial! Assim, para o oitavo decil, temos que a fração será: (8/10). Sabedo que =100 (a última fac!), etão teremos: (8/10)=80 Fazedo as pergutas de praxe, descobriremos qual é a classe do D8. Faremos: Classe Freqüêcia Acumulada 19,5-139, ,5-149, ,5-159, ,5-169, ,5-179, ,5-189, ,5-199, é 80? Não! 1 é 80? Não! 6 é 80? Não! 46 é 80? Não! 7 é 80? Não! 90 é 80? Sim! Fazedo agora aquele mesmo deseho que apredemos para a Mediaa, só que agora trabalhado com a classe do oitavo decil, teremos o seguite: 4

5 10 Limites da Classe: 179,5 D8 189,5 fac associadas: X 8 18 Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações. A seguite: 10 x 18 8 Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(8x10)/18 X=4,44 Fialmete, teremos: D8=179,5+4,44 D8=183,9 Resposta! 05. (Técico de Plaejameto e Pesquisa IPEA 004 ESAF) Para uma amostra aleatória de determiado atributo ecotrou-se a seguite distribuição de freqüêcias. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcias Assiale a opção que correspode à melhor aproximação do oagésimo quito percetil. a) d) b) e) c) Sol.: Agora ão tem mais segredo!! Qual é a fração do P95? É a seguite: (95/100). Vamos descobrir o valor do? Teremos: 5

6 Assim, teremos que: (95/100)=380 Classes fi =400 Faremos, costruiremos a colua da fac e faremos as pergutas de praxe, a fim de descobrirmos a classe do P95. Teremos: Classes fi fac =400 Fazedo agora o deseho, teremos: 18 é 380? Não! 63 é 380? Não! 165 é 380? Não! 308 é 380? Não! 340 é 380? Não! 400 é 380? Sim! 000 Limites da Classe: 1000 P fac associadas: X Com esses quatro valores, formamos uma igualdade etre duas frações. A seguite: 000 x Multiplica-se cruzado, e teremos: X=(000x40)/60 X=1.333,33 Fialmete, teremos: P95= ,33 P95=13.333,33 Resposta! 6

7 06. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 00 / ESAF) Aplicado a trasformação z = (x - 14)/4 aos potos médios das classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários míimos. Assiale a opção que correspode ao desvio padrão dos salários ão trasformados. a) 6,0 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,0 e) 3,90 Sol.: A questão evolve uma trasformação da variável. O que faremos? Claro! Faremos o deseho de trasformação! Que é o seguite: 1º)-14 º) 4 Xi Zi Sz=1,10 º)+14 1º)x4 Vejam que já está do lado da variável trasformada Z a iformação adicioal do euciado, qual seja, que o desvio padrão de Z é Sz=1,10. Agora, a questão perguta qual o desvio padrão de X. Ora, basta percorrermos o camiho de volta, lembrado-os das propriedades do desvio padrão. Teremos: 1,10 x 4 = 4,40 A soma que se segue, o camiho de volta, ão será efetuada, uma vez que Desvio Padrão ão sofre ifluêcia em de soma em de subtração! Assim, passado direto pela soma, teremos, fialmete, que: Sx=4,40 Resposta! 07. (Aalista CVM - 000/ ESAF) Uma firma distribuidora de eletrodomésticos está iteressada em estudar o comportameto de suas cotas a receber em dois meses cosecutivos. Com este objetivo selecioa, para cada mês, uma amostra de 50 cotas. As observações amostrais costam da tabela seguite: Valor (R$) Freqüêcia de Março Freqüêcia de Abril 1.000, , , , , ,00-3 Assiale a opção que correspode a amplitude do itervalo iterquartílico, em reais, para o mês de março. a) 3.50,00 d) 6.000,00 b) 5.000,00 e).000,00 c) 4.000,00 Sol.: O itervalo iterquartílico, também chamada amplitude iterquartílica, é uma medida de memorização muito fácil. Seão, vejamos. O que sugere o ome iterquartílico? Sugere etre os quartis. Cocordam? E quais são os quartis mais distates etre si? São o primeiro e o terceiro: Q1 e Q3. Assim, a distâcia etre os quartis, ou a amplitude iterquartílica, ou aida o itervalo iterquartílico ada mais é que: Q3-Q1. Só isso! 7

8 Vamos começar ossa busca pelo primeiro quartil (Q1). Teremos: Valor (R$) fi 1.000, , , , ,00 4 =50 A fração do Q1 é (/4), coforme sabemos. Neste caso, temos que (/4)=1,5. Costruido a colua da fac e fazedo as pergutas de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000, , , , , =50 6 é 1,5? Não! 19 é 1,5? Sim! Assim, achamos que Q1=3.000,00 Para o terceiro quartil, sabemos que a fração correspodete é (3/4). Teremos, pois, que: (3/4)=37,5. Usado a perguta de praxe, teremos: Valor (R$) fi fac 1.000, , , , , =50 6 é 37,5? Não! 19 é 37,5? Não! 31 é 37,5? Não! 46 é 37,5? Sim! Uma vez descobertos os valores de Q1 e de Q3, resta-os aplicar a fórmula que correspode ao coceito de itervalo iterquartílico. Teremos que: Itervalo Iterquartílico = Q3 Q1 = = 4.000, Resposta! 08. (AFPS-00/ESAF) Uma estatística importate para o cálculo do coeficiete de assimetria de um cojuto de dados é o mometo cetral de ordem três μ 3. Assiale a opção correta. a) O valor de μ 3 é obtido calculado-se a média dos desvios absolutos em relação à média. b) O valor de μ 3 é obtido calculado-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. c) O valor de μ 3 é obtido calculado-se a média dos desvios positivos em relação à média. d) O valor de μ 3 é obtido subtraido-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos das observações. e) O valor de μ 3 é obtido calculado-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. Sol.: O euciado os pede, simplesmete, o coceito do terceiro mometo cetral, o que é siôimo de terceiro mometo cetrado a média. Ora, para acertar esta questão só é preciso cohecer a fórmula dos mometos! Apredemos isso em uma de ossas aulas! ( Xi X ) Teremos que o terceiro mometo é dado por: m3 = Traduzido: a média dos cubos dos desvios em relação à média Letra E Resposta! 8 3

9 09. (TCU-93) Os motates de veda a um grupo de clietes de um supermercado foreceram os seguites sumários: média aritmética = $1,0, mediaa = $0,53 e moda = $0,5. Com base estas iformações, assiale a opção correta: a) A distribuição é assimétrica à direita. b) A distribuição é assimétrica à esquerda. c) A distribuição é simétrica. d) Etre os três idicadores de posição apresetados, a média aritmética é a melhor medida de tedêcia cetral. e) O segudo quartil dos dados acima é dado por $0,5. Sol.: Uma questão muito fácil e recorrete! Aqui, precisaríamos lembrar a relação etre as medidas de tedêcia cetral média, moda e mediaa e a situação de assimetria de um cojuto! A melhor forma de memorizar esta teoria é por meio do deseho das curvas assimétricas, vistas por ós em aula pretérita do osso Curso. São as seguites: Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva): Moda < Mediaa < Média Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa): Média < Mediaa < Moda Distribuição Simétrica: Média=Mediaa=Moda 9

10 Uma vez que os dados da questão os revelam que a Média é maior que a Mediaa, e esta é maior que a Moda, estamos, idubitavelmete, diate de uma distribuição assimétrica à direita (ou de assimetria positiva)! Logo: Letra A Resposta! 10. (AFTN-98) Os dados seguites, ordeados do meor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada uma bolsa de valores iteracioal. A uidade moetária é o dólar americao. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 1, 1, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 3 Pode-se afirmar que: a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria egativa b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva c) a distribuição amostral dos preços é simétrica d) A distribuição amostral dos preços idica a existêcia de duas sub-populações com assimetria egativa e) ada se pode afirmar quato à simetria da distribuição amostral dos preços Sol.: Ora, estamos diate de um rol. Só precisamos cohecer o valor de duas medidas de tedêcia cetral, e já teremos codições de afirmar qual a situação de assimetria deste cojuto. No caso, mais rápido é descobrir quem são a Mediaa e a Moda. A Mediaa, iclusive, já havia sido objeto de uma questão aterior desta prova! Questão esta já resolvida por ós este Curso! Mas façamos de ovo, para ão perder a viagem. Temos que =50 elemetos. Logo, há duas posições cetrais: 1ª) /=5ª e ª) a viziha posterior: 6ª Os elemetos que ocupam estas duas posicoes cetrais são: 9 e 9. Assim, fazedo a média desses dois valores (o que ão é, absolutamete, ecessário!!), teremos: Md=9,0. Agora, para saber a Moda do cojuto, basta ver qual foi o elemeto que mais apareceu! Qual foi? Foi o elemeto 8. Logo: Mo=8,0. Assim, tedo que a mediaa é maior que a moda, já sabemos que o cojuto é assimétrico à direita, ou de assimetria positiva. (Vide deseho da curva de freqüêcia da questão aterior!). Logo: Letra B Resposta! 11. (AFTN-98) Pede-se a um cojuto de pessoas que executem uma tarefa maual específica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva para executar a tarefa. Assiale a opção que, em geral, mais se aproxima da distribuição amostral de tais observações. a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica e com duas modas os extremos. b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sio. c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retagular. d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda. e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triagular. Sol.: Essa questão foi a mais atípica já elaborada pela Esaf (ou por qualquer outra mesa)! Eu diria que foi uma grade viagem do elaborador... Saibam que esta questão foi causa de muita polêmica, e que uca mais, depois de 1998 (e em ates!), se viu algo parecido em prova. 10

11 Dêem uma olhadiha de ovo a curva assimétrica à esquerda: Agora imagie que a liha horizotal é a liha do tempo, e que a liha vertical é a produtividade que uma pessoa atige, uma tarefa maual específica que exige alguma habilidade. Vamos soltar a imagiação! (Isso é muito ecessário, diate de uma questão como esta!). Imagie que a atividade é fazer crochê. Você já deu us potos de crochê a vida? Possivelmete ão! Nem eu! Pois bem! Imagie que há um grupo de pessoas que uca fez crochê a vida, e que essas pessoas recebem um curso relâmpago de cico miutos. E cada uma começa o seu trabalho maual. Ora, diate desta situação, vocês imagiam que a maior parte destas pessoas vai levar pouco tempo ou vai levar muito tempo para desevolver um pouco mais a habilidade e, assim, alcaçar uma produtividade melhor? Obviamete que levará muito tempo. É o que está retratado a curva acima a assimétrica à esquerda. Vejamos: Esta área marcada em vermelho é a maior sob a curva, e represeta a maior parte das pessoas daquele grupo, as quais irão gastar mais tempo (vejam que a área está à direita do eixo horizotal) para atigir uma produtividade maior (maior altura da curva). Bem! Essa, pelo meos, foi a miha maeira de iterpretar a questão. Muita gete boa ão coseguiu acertar. E soube até de professores com PhD que tetaram aular esta questão, e ão coseguiram! Eu costumo dizer a meus aluos presecias que esta ão é uma questão para se preocupar. Por quê? Pela sua atipicidade! Cai uma vez em mil aos. Ok? Sigamos adiate! 11

12 1. (AFTN-94) Assiale a alterativa correta: Sol.: Vou cometar item por item. a) Toda medida de posição ou de assimetria é um mometo de uma variável aleatória. As medidas estatísticas que se cofudem com fórmulas de Assimetria são a Média Aritmética (que é igual ao primeiro mometo simples) e a Variâcia (que é igual ao segudo mometo cetrado a média aritmética). O item está, portato, errado!. b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja represetatividade idepede da variação da variável, mas depede do grau de assimetria da distribuição de freqüêcia. A média aritmética depede da variação da variável. Ou seja, se alguém modificar o valor de um só elemeto do cojuto, o valor da média já terá sido também alterado! Errado o item. c) Em qualquer distribuição de freqüêcia, a média aritmética é mais represetativa do que a média harmôica. Em algumas situações muito específicas, a média harmôica é, em tese, mais represetativa que a média aritmética. O item está errado! d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é ula. Errado! A soma dos quadrados é um valor míimo! e) A moda, a mediaa e a média aritmética são medidas de posição com valores expressos em reais que pertecem ao domíio da variável a que se referem. Correto! Traduzido o que diz este item: os valores da média, moda e mediaa estarão sempre variado etre o meor e o maior elemeto do cojuto! Só isso! 13. (AFTN-94) Idique a opção correta: Sol.: De ovo, cometarei cada item. a) O coeficiete de assimetria, em qualquer distribuição de freqüêcia, é meor do que o coeficiete de curtose. Não existe ehuma relação etre as medidas de assimetria e de curtose! Item icorreto! b) O coeficiete de assimetria, em uma distribuição de freqüêcia, é um real o itervalo [-3, 3]. Esta limitação iexiste. Item elaborado para pegar fraco-atiradores! Errado! c) O coeficiete de curtose, em uma distribuição de freqüêcia, é igual a três vezes o quadrado da variâcia da distribuição. Outro absurdo! O que ele sugere é que C=3.(S ). Sabemos que, a verdade: C=m 4 /S 4. d) O coeficiete de curtose é igual a três em uma distribuição ormal padrão. Correto! Esta é a iterpretação da fórmula do ídice mometo de curtose! E se for maior que 3, será leptocúrtica, e se for meor que 3 será platicúrtica! e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiete de curtose é ulo. Já foi dito a questão aterior: iexiste relação etre assimetria e curtose! 14. (AFTN-98) Assiale a opção correta. a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das observações relativamete à média for egativa, a distribuição amostral terá assimetria egativa. A soma dos desvios em relação à média jamais poderá ser egativa! Diz a propriedade da média que esta soma será sempre igual a zero! Item icorreto! 1

13 b) O coeficiete de variação é uma medida que depede da uidade em que as observações amostrais são medidas. O Coeficiete de Variação, CV, é adimesioal. Ou seja, idepede da uidade da variável. Item errado! c) O coeficiete de variação do atributo obtido pela subtração da média de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão ão está defiido. É a opção correta! O texto deste item é péssimo! Leva-se muito tempo até se atigir a compreesão perfeita do que é dito aqui. O item sugere uma trasformação da variável, em que as operações de trasformação são as seguites: 1ª) Subtrair da média; ª) Dividir pelo desvio padrão. O deseho de trasformação é o seguite: 1º)- X º) Sx Xi Yi Assim, se partirmos do lado da variável X com a média X, qual será a média a qual chegaremos a variável Y? Teremos: X X =0 0 Sx = 0 Ou seja, teremos que Y =0. Qual seria, etão, o valor do coeficiete de variação de Y? Temos que: CVy=Sy/Y Ora, já sabemos que o deomiador é ulo. Logo, o CVy ão está defiido! É isso que está sedo dito este item, que está, pois, correto! d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95% das observações amostrais estarão compreedidas etre a média meos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões. Há dois erros este texto. 1º) a propriedade visual do desvio padrão (de que trata este item) ão se aplica para qualquer distribuição. º) a referida propriedade trata apeas de uma aproximação, e ão de exatidão! e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresetam cauda pesada e curtose excessiva. Mesocúrtica é a situação itermediária de curtose. Quem apreseta cauda pesada e curtose excessiva é a curva platicúrtica! 15. (AFPS-00/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüêcias de um atributo X para uma amostra de tamaho 66. As observações foram agrupadas em 9 classes de tamaho 5. Não existem observações coicidetes com os extremos das classes. Classes Freqüêcias

14 Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamete 10. Assiale a opção que dá o valor do coeficiete de assimetria de Pearso que é baseado a média, a mediaa e o desvio padrão. a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610 b) 0,191 d) 0,603 Sol.: Precisaríamos aqui idetificar qual foi a fórmula pedida pelo euciado, para o cálculo da Assimetria! Ora, o euciado até que foi muito claro: tem que ser aquela fórmula a qual costarão a Média, a Mediaa e o Desvio-Padrão. Trata-se, obviamete, do º Coeficiete de Assimetria de Pearso, dado pelo seguite: A = 3 ( X Md ) Temos que o euciado já os foreceu o valor do deomiador (S=10). Resta-os, pois, calcular duas medidas: a Média e a Mediaa! Comecemos pela Média: Classes fi PM ( PM,5) 6 fi.yi = Yi , , , , , , , , , =13 S Calculado a Média da variável trasformada Y, teremos: 13 Y = = 3, 7 66 Daí, fazedo as operações do camiho de volta da trasformação da variável, teremos: 3,7 x 5 = 16,14 16,14 + 6,5 =,64 Daí: Média =,64 Passado ao cálculo da Mediaa, faremos: (/)=33. Costruiremos a colua da fac, e compararemos seus valores com o resultado da fração (33). Teremos: Classes Fi Fac é maior ou igual a 33? NÃO! é maior ou igual a 33? NÃO! é maior ou igual a 33? NÃO! é maior ou igual a 33? SIM!

15 Daí, faremos o deseho que os ajuda a formar a regra de três, para descobrirmos o valor da Mediaa. Teremos: 5 (=4-19) X 19 Md Daí, compodo ossa regra-de-três, teremos: 15 (=39-4) Daí: 5 X = 15 9 X=(5x9)/15 X=45/15 X=3,00 Daí: Md=,00 Agora, aplicado a equação da Assimetria, teremos: (,64,00) 3 = 10 A A=0,191 Resposta! AFRF 005 ESTATÍSTICA BÁSICA 16. Para dados agrupados represetados por uma curva de freqüêcias, as difereças etre os valores da média, da mediaa e da moda são idicadores da assimetria da curva. Idique a relação etre essas medidas de posição para uma distribuição egativamete assimétrica. a) A média apreseta o maior valor e a mediaa se ecotra abaixo da moda. b) A moda apreseta o maior valor e a média se ecotra abaixo da mediaa. c) A média apreseta o meor valor e a mediaa se ecotra abaixo da moda. d) A média, a mediaa e a moda são coicidetes em valor. e) A moda apreseta o meor valor e a mediaa se ecotra abaixo da média. Sol.: A ESAF cometeu dois egaos esta questão: 1º) A questão é de Assimetria e este assuto ão está mais presete o edital do cocurso de AFRF, e º) há duas alterativas corretas a questão. Vamos à solução! Numa distribuição assimétrica egativa temos a seguite relação etre as medidas da média ( X ), mediaa (Md) e moda (Mo). X < Md < Mo Verificado as alterativas B e C, cocluímos que ambas estão corretas! 15

16 17. Uma empresa verificou que, historicamete, a idade média dos cosumidores de seu pricipal produto é de 5 aos, cosiderada baixa por seus dirigetes. Com o objetivo de ampliar sua participação o mercado, a empresa realizou uma campaha de divulgação voltada para cosumidores com idades mais avaçadas. Um levatameto realizado para medir o impacto da campaha idicou que as idades dos cosumidores apresetaram a seguite distribuição: Idade (X) Freqüêcia Porcetagem 5 -ו ו ו ו Total Assiale a opção que correspode ao resultado da campaha cosiderado o seguite critério de decisão: σ se a difereça X - 5 for maior que o valor x, etão a campaha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumetou; caso cotrário, a campaha de divulgação ão alcaçou o resultado desejado. σ a) A campaha surtiu efeito, pois X -5=,1 é maior que x =1,53. σ b) A campaha ão surtiu efeito, pois X -5=0 é meor que x =1,64. σ c) A campaha surtiu efeito, pois X -5=,1 é maior que x =1,41. σ d) A campaha ão surtiu efeito, pois X -5=0 é meor que x =1,53. σ e) A campaha surtiu efeito, pois X -5=,5 é maior que x =1,41. Sol.: Para saber se a campaha surtiu efeito devemos efetuar o cálculo de duas medidas: X e σ x. Mas o que sigificam os símbolos X e σ x? A ESAF esqueceu de defii-los. O símbolo X já é bem cohecido osso, aparece em diversas provas e livros, ele sigifica a média aritmética. Mas o símbolo σ x, que ormalmete represeta o desvio padrão populacioal, ão é tão cohecido e a ESAF tiha o dever de iformar. Pela primeira vez a ESAF apresetou uma distribuição de freqüêcias em que as amplitudes das classes ão são todas iguais. A primeira classe tem amplitude 7, equato as demais têm amplitude 5. Isso iterfere um pouco a solução da questão, como mostraremos adiate. Vamos ao cálculo da média aritmética X. A média aritmética de uma distribuição de frequêcias com classes é dada pela fórmula: fi xi X =, ode: os x i são represetados pelos potos médios das classes (PM i ). os f i são as freqüêcias absolutas simples das classes. é o tamaho da amostra. 16

17 Nesta questão, já foi forecida a colua de freqüêcias fi. Desta forma, podemos imediatamete passar aos passos do cálculo da Média. 1) Faremos a colua dos potos médios (PM i ) Idade (X) f i x i (=PM i ) 5 -ו ,5 30 -ו ,5 35 -ו ,5 40 -ו ,5 Total 50 ) Neste passo, poderíamos aplicar a fórmula da média aritmética, porém a costrução da colua f i.x i exige multiplicações um pouco trabalhosas, assim usaremos a variável trasformada para facilitar esses cálculos. Além do mais, essa variável trasformada vai simplificar bastate o cálculo do desvio padrão. A obteção da variável trasformada ormalmete é feita pela subtração da variável X por um poto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da classe. Porém esta questão em todas as classes tem a mesma amplitude. Etão faremos somete a subtração por um poto médio da distribuição. Sempre é acoselhável escolhermos um poto médio de uma das classes itermediárias da distribuição, etão escolheremos o poto médio da seguda classe, e chamaremos a variável trasformada de Z. A colua z i será costruída abaixo. Idade (X) f i x i (=PM i ) z i =x i 7,5 5 -ו , ו , ו , ו ,5 10 Total 50 3) Faremos a colua do (f i.z i ) para obter a média Z. Idade (X) f i x i (=PM i ) z i =x i 7,5 f i.z i 5 -ו , ו , ו , ו , Total ) Efetuaremos o cálculo do Z : fi z Z =. i 0 Z = 50 Z =-0,4 5) Da relação etre Z e X, e do valor de Z, podemos obter X. A relação que estabelecemos etre Z e X o segudo passo foi a seguite: Z = X 7,5 17

18 A relação etre as médias de Z e X é obtida, simplesmete, substituido-se X por X e Z por Z, devido às propriedades da média aritmética. Teremos: Z = X 7,5 Isolado o valor de X e substituido o valor que ecotramos para Z = - 0,4, teremos: X = Z + 7,5 X = -0,4 + 7,5 X = 7,1 Já obtivemos a média aritmética X! Para sabermos qual é a alterativa correta, temos que calcular a difereça: ( X 5). Essa difereça é igual a: ( X 5) = (7,1 5) =,1 Com este resultado, somete as alterativas A e C podem estar corretas. Para descobrir a úica alterativa correta teremos que proceder ao cálculo do desvio-padrão da variável X. Vamos ao cálculo do desvio padrão populacioal ( σ ). x O desvio padrão é a raiz quadrada da variâcia. Desta forma, procederemos primeiramete ao cálculo da variâcia. Fórmula da variâcia populacioal: V x = 1 i f x i ( fi xi ) Assim como o cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável trasformada Z=X-7,5 para facilitar os cálculos da variâcia. Ou seja, primeiramete ecotraremos a variâcia de Z para depois obtermos a variâcia de X. Aproveitaremos a tabela feita o 3º passo do cálculo da média, acrescetado a colua f i z i que pode ser obtida pelo produto das coluas z i e f i z i. Idade (X) fi x i (=PM i ) z i =x i 7,5 f i.z i f i.z i 5 -ו , ו , ו , ו , Total Efetuaremos o cálculo da variâcia de Z (V Z ): V Z = 1 i f z i ( fi zi ) V Z = ( 0) V Z = [ 146] V Z = 9,4 18

19 A relação que estabelecemos etre Z e X foi a seguite: Z = X 7,5 Pela propriedade da soma e subtração da variâcia, temos que a variâcia ão se altera ao somarmos ou subtrairmos uma costate, daí a variâcia de X é igual a variâcia de Z: V X = 9,4 Ao ivés de calcularmos o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variâcia, é melhor elevarmos ao quadrado a seguite expressão dada o euciado: Elevado ao quadrado, teremos: σ x σ x = 4σ x O termo σ x que aparece o umerador é a própria variâcia, da qual já sabemos quato é seu valor. Assim, teremos: σ x = 4σ x = 4 9,4 50 =,34 Já sabemos que as possíveis alterativas corretas são a A e a C. A alterativa A afirma σ que x =1,53. Para que esta alterativa seja a correta é ecessário que o quadrado de 1,53 seja igual a,34. Vamos testar! (1,53) =,34 Teste positivo! Etão a alterativa correta é a alterativa A! 18. Cosiderado-se os dados sobre os preços e as quatidades vedidas de dois produtos em dois aos cosecutivos, assiale a opção correta. Ao Produto I Produto II P11 Q11 P1 Q a) O ídice de Laspeyres idica um aumeto de 50% o ível de preços dos dois produtos, equato o ídice de Paasche idica uma redução de 50%. b) Os fatores de poderação o cálculo do ídice de Laspeyres são 80 para o preço relativo do produto 1 e 40 para o preço relativo do produto. c) O ídice de Laspeyres idica um aumeto de 5% o ível de preços dos dois produtos, equato o ídice de Paasche idica uma redução de 75%. d) Os fatores de poderação o cálculo do ídice de Paasche são 40 para o preço relativo do produto 1 e 80 para o preço relativo do produto. 19

20 e) O ídice de Laspeyres idica um aumeto de 5% o ível de preços dos dois produtos, equato o ídice de Paasche idica uma redução de 5%. Sol.: Esta é um questão de Números Ídices que evolve o cálculo dos ídices de Laspeyres e Paasche de preço. Frequetemete a ESAF coloca o cálculo desses ídices em suas provas, etão esta questão ão deve ter sido surpresa para os cadidatos. As fórmulas de Laspeyres e Paasche de preço têm a mesma forma, mudado somete os subscritos das quatidades dos produtos. O ídice de Laspeyres é cohecido como método da época base, portato cosideraremos as quatidades da época base. O ídice de Paasche é cohecido como método da época atual, portato cosideraremos as quatidades da época atual. A época base é o ao 1 e a época atual é o ao, pois os ídices idicados as alterativas da questão mostram a evolução de preços do ao 1 para o ao. Fórmula de Laspeyres de preço: ( p q1) La = ( p q ) Fórmula de Paasche de preço: ( p q) Pa = ( p q ) Cálculo do Laspeyres de preço: preço de I o ao qde de I o ao 1+ preço de II o ao qde de II o ao 1 La= preço de I o ao 1 qde de I o ao 1+ preço de. II o ao 1 qde de II o ao 1 Substituido os valores forecidos a tabela detro da fórmula de Laspeyres, obteremos: La = = = = = 1,5 = 15% 3 4 Este resultado idica que houve um aumeto de preços de 5% (=15%-100%). Cálculo do Paasche de preço: preço de. I o ao qde de I o ao + preço de II o ao qde de II o ao Pa= preço de I o ao1 qde de I o ao + preço de. II o ao1 qde de II o ao Substituido os valores forecidos a tabela detro da fórmula de Paasche, obteremos: Pa = = = = = 0,75 = 75% 3 4 Este resultado idica que houve uma variação de preços de -5% (=75%-100%), ou seja, uma redução de 5%. De acordo com estes resultados dos ídices de Laspeyres e Paasche a alterativa correta é a alterativa E. 0

21 19. Para uma amostra de dez casais residetes em um mesmo bairro, registraram-se os seguites salários mesais (em salários míimos): Idetificação do casal Salário do marido (Y) Salário da esposa (X) Sabe-se que: Assiale a opção cujo valor correspoda à correlação etre os salários dos homes e os salários das mulheres. a) 0,7 b) 0,75 c) 0,68 d) 0,81 e) 0,78 Sol.: Esta questão é uma simples aplicação da fórmula do Coeficiete de Correlação (r) que é dada por: r = X i ( X i )( Yi ) X iyi ( X i ) ( Yi ) Yi Substituido os valores forecidos a questão detro da fórmula da correlação, teremos: r = ( 171)( 1) ( 171) ( 1) Resolvedo, vem: r = r = r = r = ,1 160,9 46,9 160, ,1 184,9 46,9 184, ,1 1

22 161 r 4565 Neste poto, temos que calcular a raiz quadrada de Vamos achá-la a base da tetativa: 100 = (< 4565) 00 = (< 4565) 10 = (< 4565) 0 = (> 4565) Daí, a raiz quadrada de 4565 é um valor etre 10 e 0. Usaremos esses dois valores para ecotrarmos o coeficiete de correlação (r): Usado o valor de 10 como raiz quadrada de 4565, teremos: 161 r = r = 0, Usado o valor de 0 como raiz quadrada de 4565, teremos: 161 r = r = 0, 73 0 A partir destes dois resultados, cocluímos que o coeficiete de correlação liear está etre 0,73 e 0,766, e, portato, a alterativa correta é a alterativa B. 0. Assiale a opção que expresse a relação etre as médias aritmética ( X ), geométrica (G) e harmôica (H), para um cojuto de valores positivos (X 1, X,..., X ): a) G H X, com G = H = X somete se os valores forem todos iguais. b) G X H, com G = X = H somete se os valores forem todos iguais. c) X G H, com X = G = H somete se os valores forem todos iguais. d) H G X, com H = G = X somete se os valores forem todos iguais. e) X H G, com X = H = G somete se os valores forem todos iguais. Sol.: Esta foi a questão mais fácil da prova, pois bastava cohecer a propriedade cojuta das médias aritmética, geométrica e harmôica para acertar a questão. Esta propriedade já havia sido exigida recetemete a prova de Fiscal da Bahia, elaborada pela FCC, mas a ESAF uca havia sido cobrada. E eu sempre aviso em sala de aula, que ão é importate saber as fórmulas da média geométrica e harmôica, pois uca foram objeto de prova, mas sim a propriedade cojuta dessas médias. A propriedade de que lhes falo é a seguite: Para um cojuto de valores positivos a média aritmética é maior ou igual a média geométrica que por sua vez é maior ou igual a média harmôica. E a igualdade só ocorre se os valores forem todos iguais. Portato, a alterativa correta é a D. 1. De posse dos resultados de produtividade alcaçados por fucioários de determiada área da empresa em que trabalha, o Gerete de Recursos Humaos decidiu empregar a seguite estratégia: aqueles fucioários com redimeto iferior a dois desvios padrões abaixo da média (Limite Iferior - LI) deverão passar por treiameto específico para melhorar seus desempehos; aqueles fucioários com redimeto superior a dois desvios padrões acima de média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe.

23 Idicador Freqüêcia -ו ו 0 6 -ו ו ו 8 10 Total 800 Assiale a opção que apreseta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerete de Recursos Humaos. a) LI = 4,0 e LS = 9,0 b) LI = 3,6 e LS = 9,4 c) LI = 3,0 e LS = 9,8 d) LI = 3, e LS = 9,4 e) LI = 3,4 e LS = 9,6 Sol.: Aqui ocorre mais um erro da ESAF, a ª classe da distribuição de freqüêcias -ו é 4 e -ו ão 6 como está escrito acima. Para ecotrarmos a alterativa correta devemos obter a média e o desvio padrão da distribuição. Usaremos a variável trasformada a obteção dessas duas medidas. Vamos ao cálculo da média aritmética X. A média aritmética de uma distribuição de frequêcias com classes é dada pela fórmula: fi xi X =, ode: os x i serão represetados pelos potos médios das classes (PM i ). os f i são as freqüêcias absolutas simples das classes. é o tamaho da amostra. Nesta questão, já foi forecida a colua de freqüêcias fi. Desta forma, podemos imediatamete passar aos passos do cálculo da Média. 1) Faremos a colua dos potos médios (PM i ) Idicador f i x i (=PM i ) -ו ו ו ו ו Total 800 ) Costrução da colua da variável trasformada Z. Como todas as classes possuem a mesma amplitude, etão faremos o cálculo usual da variável trasformada, ou seja, a variável trasformada Z é obtida pela subtração da variável X por um poto médio qualquer da distribuição e posterior divisão do resultado pela amplitude da classe. Sempre é acoselhável escolhermos um poto médio de uma das classes itermediárias da distribuição, etão escolheremos o poto médio da terceira classe. 3

24 Idicador f i x i (=PM i ) z i =x i -5 -ו ו ו ו ו Total 800 3) Faremos a colua do (fi.zi) para obter a média Z. Idicador f i x i z i =x i -5 f i.z i (=PM i ) -ו ו ו ו ו Total ) Efetuaremos o cálculo do Z : Z = f. z i i 610 Z = Z = 0, ) Da relação etre Z e X, e do valor de Z, obteremos o X. A relação que estabelecemos etre Z e X o segudo passo foi a seguite: Z = X 5 A relação etre as médias de Z e X é facilmete obtida, simplesmete substituido-se X por X e Z por Z, devido às propriedades da média aritmética. Teremos: Z = X 5 Isolado o valor de X e substituido o valor que ecotramos para Z =0,765, teremos: X =. Z + 5 X =. 0, X = 6,55 Acabamos de ecotrar a média aritmética X! Esta medida deve ser o poto médio do itervalo de limite iferior LI e limite superior LS. Por esse motivo, as alterativas C e D já podem ser descartadas. Passaremos ao cálculo do desvio padrão da distribuição. O desvio padrão é a raiz quadrada da variâcia. Portato, primeiramete procederemos ao cálculo da variâcia. Pelo euciado da questão otamos que a distribuição ão é uma amostra e, portato, usaremos a fórmula da variâcia populacioal: 1 V x = f x i i ( fi xi ) 4

25 Assim como o cálculo da média, aqui também utilizaremos a variável trasformada Z=(X-5)/ para facilitar os cálculos de obteção da variâcia. Ou seja, primeiramete ecotraremos a variâcia de Z para depois obtermos a variâcia de X. Aproveitaremos a tabela feita o 3º passo do cálculo da média, acrescetado a colua f i z i que pode ser obtida pelo produto das coluas z i e f i z i. Idicador f i x i z i =x i -5 f i.z i f i.z i (=PM i ) -ו ו ו ו ו Total Efetuaremos o cálculo da variâcia de Z (V Z ): V Z = ( 610) V Z = V Z = [ ,15] V Z = 484, A relação que estabelecemos etre Z e X foi a seguite: Z = X 5 Pela propriedade da soma e subtração da variâcia, temos que a variâcia ão se altera ao somarmos (ou subtrairmos) uma costate. E pela propriedade do produto e divisão, temos que ao multiplicarmos (ou dividirmos) uma distribuição por uma costate, a variâcia ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da costate. Daí, a relação etre as variâcias de X e de Z é a seguite: Segue-se que: V X = 4.V Z O valor de V X é igual a: V X = , V Z = V X () = 484,75 00 =,4 O desvio padrão de X é igual a raiz quadrada de,4. O valor desta raiz está etre 1,5 e 1,6, assim cosideraremos que o desvio padrão é aproximadamete 1,55. O limite superior, de acordo com o euciado da questão, é: LS = X +.dp Substituido os resultados que ecotramos, teremos: LS = X +.dp = 6, ,55 = 9,65 O limite iferior, de acordo com o euciado da questão, é: LI = X -.dp 5

26 Substituido os resultados que ecotramos, teremos: LI = X -.dp = 6, ,55 = 3,45 A alterativa que traz os valores corretos para os limites iferior e superior, com uma casa decimal, é a alterativa E!. Em uma determiada semaa uma empresa recebeu as seguites quatidades de pedidos para os produtos A e B: Produto A Produto B Assiale a opção que apresete os coeficietes de variação dos dois produtos: a) CV A = 15,1% e CV B = 1,3% b) CV A = 16,1% e CV B = 10,3% c) CV A = 16,1% e CV B = 1,3% d) CV A = 15,1% e CV B = 10,3% e) CV A = 16,1% e CV B = 15,1% Sol.: O coeficiete de variação é obtido pela divisão do desvio padrão pela média aritmética, ou seja: dp CV = X Essa é a terceira questão da prova em que precisamos efetuar o cálculo da média e do desvio padrão. Cálculo do CV do produto A. 1) Cálculo da média dos pedidos do produto A Usaremos a fórmula da média para um cojuto de valores: xi X = Daí, X A = = 34,4 7 ) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto A. Primeiro calcularemos a variâcia e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para ecotrarmos o desvio padrão. Subtrairemos os valores do produto A por uma costate, isso ão afetará o valor da variâcia e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor itermediário do cojuto para ser essa costate. Veja abaixo os valores do produto A em ordem crescete Subtraido todos os valores pela costate 33, obteremos: De acordo com o euciado, ão há dúvidas de que os dados apresetados são de uma amostra, e, portato, usaremos a fórmula da variâcia amostral: 6

27 x i. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA PROF. SÉRGIO CARVALHO 1 ( ) V x = xi xi 1 Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios: x i e X i X i Daí: V x = 1 6 ( 10) = 30,61 5,53. O desvio padrão é a raiz quadrada da variâcia. Daí, o desvio padrão é aproximadamete 3) Cálculo do CV A O CV A é dado por: dp CV A = X A A Substituido os valores da média e do desvio padrão, teremos: Resolvedo, vem: CV = 0,161 = 16,1% A CV A 5,53 = 34,4 Cálculo do CV do produto B. 1) Cálculo da média dos pedidos do produto B Daí, X B = = 47,9 7 ) Cálculo do desvio padrão dos pedidos do produto B. Primeiro calcularemos a variâcia e, após isso, tiraremos a raiz quadrada para ecotrarmos o desvio padrão. Subtrairemos os valores do produto B por uma costate, isso ão afetará o valor da variâcia e simplificará os cálculos. Escolheremos um valor itermediário do cojuto para ser essa costate. Veja abaixo os valores do produto B em ordem crescete Subtraido todos os valores pela costate 47, obteremos: Usaremos ovamete a fórmula da variâcia amostral: 7

28 x i. CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA PROF. SÉRGIO CARVALHO 1 ( ) V x = xi xi 1 Colocaremos esses valores em uma tabela, a fim de obtermos os somatórios: x i e X i X i Daí: V x = ( ) = 4,5 4,95. O desvio padrão é a raiz quadrada da variâcia. Daí, o desvio padrão é aproximadamete 3) Cálculo do CV B O CV B é dado por: dp CV B = X B B Substituido os valores da média e do desvio padrão, teremos: Resolvedo, vem: CV = 0,103 = 10,3% B CV B = 4,95 47,9 Resultados: O CV A = 16,1% e o CV B = 10,3% Resposta: alterativa B! As resoluções destas últimas questões, referetes à prova do AFRF 005, foram elaboradas cojutamete por mim e pelo prof. Weber Campos, com quem divido a parceria em diversos Cursos Olie e, agora também, o livro de Matemática Fiaceira. Como vocês puderam costatar, tratou-se de uma prova muitíssimo trabalhosa e, em miha opiião, covarde. Sim! Covarde por quê? Porque ão possibilitava o aluo resolvê-la o tempo hábil. É isso! Com estas questões de hoje, ós ecerramos os trabalhos do osso Curso! Não teho outras palavras a lhes dirigir, seão de um profudo agradecimeto e de desculpas pelas várias falhas cometidas! O ituito foi sempre o de acertar! Espero, siceramete, ter cotribuído o seu processo de apredizagem da Estatística Básica! E que esse cohecimeto seja revertido em sucesso absoluto os próximos cocursos! Nos veremos aida os próximos dias, as pergutas do Fórum. Ok? Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus! 8