TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS

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1 TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO Secretaria-Geral de Cotrole Extero Secretaria-Aduta de Fiscalização TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS ADFIS/SEGECEX 00

2 TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO egócio Cotrole extero da admiistração pública e da gestão dos recursos públicos federais Missão Assegurar a efetiva e regular gestão dos recursos públicos, em beefício da sociedade Visão Ser istituição de excelêcia o cotrole e cotribuir para o aperfeiçoameto da admiistração pública MIISTROS Humberto Guimarães Souto, Presidete Atoio Valmir Campelo Bezerra, Vice-Presidete Marcos Viicios Rodrigues Vilaça Iram de Almeida Saraiva Adylso Motta Walto Alecar Rodrigues Guilherme Gracido Soares Palmeira Ubirata Diiz Aguiar Beami Zymler MIISTROS-SUBSTITUTOS Licol Magalhães da Rocha Augusto Sherma Cavalcati Marcos Bemquerer Costa MIISTÉRIO PÚBLICO Lucas Rocha Furtado, Procurador-Geral Jatir Batista da Cuha, Subprocurador-Geral Paulo Soares Bugari, Subprocurador-Geral Ubaldo Alves Caldas, Subprocurador-Geral Maria Alzira Ferreira, Procuradora Marius Eduardo Vries Marsico, Procurador Cristia Machado da Costa e Silva, Procuradora

3 TRIBUAL DE COTAS DA UIÃO Secretaria-Geral de Cotrole Extero Secretaria-Aduta de Fiscalização TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Brasília, março de 00

4 Tribual de Cotas da Uião Iteret: SAFS Q 04 Lt Brasília (DF) Secretário-Geral de Cotrole Extero: Luciao Carlos Batista Secretário-Aduto de Fiscalização: Cláudio Souza Castello Braco Aalistas de Fiaças e Cotrole Extero - Área de Cotrole Extero: Carlos Alexadre Amorim Rocha (Semag Redação) Fábio Herique Graa e Barros (Secob Revisão) Flávio Marcos Godoy Krecke (Semag Revisão) Marcelo Cardoso Soares (Seprog Revisão) Márcio Emmauel Pacheco (Secex-RJ Revisão) Paula de Biase Damasceo (Secex-RJ Revisão) Brasil Tribual de Cotas da Uião B83t Técicas de amostragem para auditorias / Tribual de Cotas da Uião -- Brasília : TCU, Secretaria-Aduta de Fiscalização, p Auditoria I Título Ficha Catalográfica elaborada pela Divisão de Documetação do TCU

5 APRESETAÇÃO Este documeto complemeta orietações costates do Maual de Auditoria de atureza Operacioal desta Corte As técicas ora tratadas procuram orietar as equipes de auditoria sobre os coceitos e procedimetos elemetares requeridos pelas amostrages probabilísticas, bem como sobre os beefícios que elas podem proporcioar É ítida a importâcia do presete trabalho, pois á se observa uma demada por técicas de amostragem as avaliações de programas públicos, as fiscalizações de obras e a obteção de subsídios para os pareceres auais sobre as cotas prestadas pelo Presidete da República o ituito de torar mais claros e acessíveis os temas abordados, este documeto cotém vários exemplos e, quado possível, as rotias do Microsoft Excel que permitem obter os resultados deseados Ademais, covém frisar que este trabalho ão apeas descreve as técicas de amostragem mais tradicioais (ie, aleatória simples, estratificada e por coglomerados), empregadas em diversos campos do cohecimeto, como também resume uma técica específica para auditorias cotábil-fiaceiras, qual sea: a amostragem por uidade moetária Dessa forma, acreditamos que o presete documeto cotribuirá para torar mais efetiva a atuação do TCU, aprimorado a sua capacidade para apurar tempestivamete os resultados e as evetuais falhas sistemáticas presetes a admiistração pública federal aturalmete, é de suma importâcia a apresetação de críticas e sugestões por todos que utilizarem este documeto, pois somete isso permitirá o seu aperfeiçoameto O tópico Folha de Sugestões, icluído o fial desta brochura, explica como e a quem eviar quaisquer cometários Fialmete, a codição de Secretário-Geral de Cotrole Extero, parabeizo os dirigetes e servidores cuo esforço resultou a materialização do presete trabalho Luciao Carlos Batista Secretário-Geral de Cotrole Extero

6 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS iv

7 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS vii LISTA DE TABELAS ix LISTA DE EXEMPLOS x ITRODUÇÃO COCEITOS BÁSICOS 5 Iferêcia Estatística 5 Pricipais Tipos de Amostragem Probabilística 6 Itrodução à Amostragem Aleatória Simples 6 Itrodução à Amostragem Aleatória Estratificada 7 3 Itrodução à Amostragem Aleatória por Coglomerados 8 3 Plao Amostral 9 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS Medidas de Tedêcia Cetral Medidas de Variação 3 3 Relação etre a Média e a Mediaa 5 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE7 3 Modelos de Distribuição Discreta 7 3 Distribuição Biomial 8 3 Distribuição Hipergeométrica Distribuição Biomial egativa 3 34 Distribuição de Poisso 3 3 Modelos de Distribuição Cotíua 33 3 Distribuição ormal 34 3 Distribuição Expoecial 39 4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 4 4 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais 4 4 Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais Amostragem em Populações Fiitas 48 5 ESTIMAÇÃO 49 5 Estimativa do Itervalo da Média com σ Cohecido 50 5 Estimativa do Itervalo da Média com σ Descohecido 5 53 Estimativa do tipo Bootstrappig Estimativa do Itervalo para Proporções Determiação do Tamaho da Amostra Médias Proporções Amostragem em Populações Fiitas Estimativa do Itervalo para Totais 6 58 Estimativa do Itervalo para Difereças 6

8 6 VARIATES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES65 6 Amostragem Aleatória Estratificada 65 6 Estimação de Médias, Totais e Proporções a AAE 65 6 Determiação do Tamaho da Amostra a AAE 68 6 Amostragem Aleatória por Coglomerados 69 6 Estimação de Médias, Totais e Proporções a AAC 69 6 Determiação do Tamaho da Amostra a AAC 7 7 AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA73 7 Metodologia da Amostragem por Uidade Moetária 75 7 Aplicação da Amostragem por Uidade Moetária 80 8 TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM83 8 Efeitos da ão-resposta 84 8 Métodos de Redução da ão-resposta 87 8 Call-Backs 88 8 Subamostras Métodos de Compesação da ão-resposta 90 AEXO I: ROTIAS DO MICROSOFT EXCEL93 AEXO II: DISTRIBUIÇÕES ORMAL PADRÃO & "t" DE STUDET07 AEXO III: BREVIÁRIO DE FÓRMULAS7 AEXO IV: FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGES POR UIDADE MOETÁRIA 7 AEXO V: APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UIDADE MOETÁRIA GLOSSÁRIO 37 BIBLIOGRAFIA 4 FOLHA DE SUGESTÕES 43 vi

9 LISTA DE FIGURAS Amostragem Aleatória Simples6 Amostragem Aleatória Estratificada 7 3 Amostragem Aleatória por Coglomerados 8 Propriedades dos Dados uméricos Relação etre a Média, a Mediaa e a Moda 5 3 Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades 7 3 Distribuição Biomial com 5 e p 0,59 33 Distribuição Biomial com 5 e p 0,30 34 Distribuição de Poisso com λ 0,53 35 Distribuição de Poisso com λ Fução Desidade de Probabilidades33 37 Probabilidade de Variáveis Aleatórias Cotíuas34 38 Distribuição ormal Efeitos de Variações em σ e µ (σ A > σ B e µ C > µ B ) Padroização da Distribuição ormal 37 3 Obteção de Probabilidades [P(Z)] Dado um Valor ormal Padroizado (Z)38 3 Obteção de um Valor ormal Padroizado (Z) Dada uma Probabilidade [P(Z)] Distribuição Expoecial40 4 Medida ão-viesada 4 4 Medida Eficiete 4 43 Medida Cosistete Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais43 45 Exemplo do Impacto de em Amostras Extraídas de Populações Distribuídas ormalmete44 46 Teorema do Limite Cetral Aplicação do Teorema do Limite Cetral46 48 Distribuição de Proporções Amostrais 47 5 Elemetos de uma Estimativa Probabilística 49 5 Itervalos de Cofiaça das Médias Amostrais 50 vii

10 53 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Cohecedo-se o Desvio- Padrão Populacioal 5 54 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Descohecedo-se o Desvio-Padrão Populacioal53 55 Aplicação da Tabela t de Studet54 8 Tipos de Erro em Amostragem 84 A Dados Hipotéticos95 A Geração de Estatísticas Descritivas 95 A3 Estatísticas Descritivas Geradas 96 A4 Agrupameto de Dados (Etapa de 4)97 A5 Agrupameto de Dados (Etapa de 4)97 A6 Agrupameto de Dados (Etapa 3 de 4)98 A7 Agrupameto de Dados (Etapa 4 de 4)98 A8 Dados Agrupados98 A9 Seleção de Amostras Aleatórias Simples com Reposição 00 A0 Amostra Aleatória Simples Selecioada00 A Estimação do Itervalo de Cofiaça para Médias com Desvio-Padrão Cohecido 0 A Itervalo de Cofiaça Estimado0 viii

11 LISTA DE TABELAS 3 Aplicações da Distribuição Biomial 9 5 Tamaho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Proporções de Sucesso (Z,96) 59 6 Resumo dos Dados Coletados a Aplicação da Amostragem por Coglomerados 70 7 Ídices de Cofiabilidade para Várias Quatidades Previstas de Erros e íveis de Cofiaça 73 7 Ídice de Cofiabilidade para Vários Erros Observados a Amostra75 73 Seleção dos Elemetos Amostrais78 74 Fatores de Ampliação do Itervalo de Precisão ( F AP ) Difereças Observadas a Amostra8 8 Itervalos de Cofiaça para Várias Proporções de Sucesso e Ídices de ão- Resposta (Z,96 e 000)86 8 Tamaho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Ídices de ão-resposta (Z,96 e p 0,5)87 83 Eficácia de Três Tetativas de Cotato 88 A Obteção da Amplitude Semi-Iterquartílica e da Meia Amplitude Semi- Iterquartílica 99 A Estimação de Itervalos de Cofiaça0 A3 Determiação do Tamaho da Amostra 03 A4 Estimação do Itervalo de Cofiaça para Totais04 A5 Estimação do Itervalo de Cofiaça para Difereças05 ix

12 LISTA DE EXEMPLOS 3 Aplicação da Distribuição de Poisso 3 3 Aplicação da Distribuição Expoecial39 4 Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais 45 4 Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais 48 5 Aplicação da Estimativa do Itervalo da Médias com σ Cohecido 5 5 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Médias com σ Descohecido54 53 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Proporções56 55 Cálculo do Tamaho da Amostra para Estimar Duas Proporções Cálculo do Tamaho da Amostra para Estimar -Proporções59 57 Cálculo Simplificado do Tamaho da Amostra para Estimar -Proporções60 58 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Totais 6 59 Aplicação da Estimativa do Itervalo para Difereças 63 6 Aplicação da Estimativa de Médias a Amostragem Estratificada 66 6 Aplicação da Estimativa de Totais a Amostragem Estratificada Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções a Amostragem por Coglomerados 70 7 Cálculo do Ídice de Cofiabilidade 74 7 Aplicação da Tabela de Ídices de Cofiabilidade Cálculo do Tamaho da Amostra a AUM77 74 Seleção dos Elemetos Amostrais a AUM77 8 Cálculo da Quatidade de Questioários90 x

13 ITRODUÇÃO É cada vez mais comum o uso de técicas de amostragem pelos órgãos brasileiros de cotrole das fiaças públicas, merecedo destaque os esforços da Secretaria Federal de Cotrole SFC A adoção dessas técicas pelos órgãos em questão é uma decorrêcia do processo de reforma do Estado, o qual, sem preuízo das várias formas de cotrole urídico, observa-se uma demada crescete por cotroles gereciais, preocupados com a tempestiva apuração de resultados e com a idetificação de falhas sistemáticas que, idepedetemete de evolverem ou ão práticas ilícitas, possam requerer a adoção, em tempo hábil, de medidas corretivas de atureza político-admiistrativa o âmbito do TCU, há uma tedêcia em favor do uso dessas técicas de amostragem em avaliações de programas públicos, em fiscalizações de obras e até mesmo a obteção de subsídios para os pareceres auais sobre as cotas prestadas pelo Presidete da República Dessa forma, o presete documeto deve ser compreedido como uma complemetação do Maual de Auditoria de atureza Operacioal Este trabalho tem como obetivo permitir que os AFCEs-CE tomem cotato com os pricipais coceitos e métodos empregados pelas moderas técicas de amostragem, para que possam estruturar melhor os trabalhos de campo cuo propósito sea determiar, p ex, se os cadastros ou sistemas de cotrole das uidades urisdicioadas são cofiáveis, se as políticas públicas federais estão alcaçado os resultados que lhe deram origem ou se as evetuais isuficiêcias de desempeho são aleatórias ou sistemáticas Isso ão sigifica, etretato, que este documeto bastará para que os membros do corpo técico do TCU se torem especialistas em amostragem uma disciplia por demais vasta e que, por ser emietemete aplicada, precisa lidar com uma grade variedade de situações cocretas a verdade, raramete os cadastros apresetam o mesmo grau de cofiabilidade É igualmete pouco comum que as populações apresetem o mesmo ível de dispersão ou o mesmo ídice de ão-respodetes recalcitrates Esses fatores geram difereças etre os estimadores empregados pelos estudos amostrais, torado-os, de certa forma, úicos Com este trabalho, pretede-se que os AFCEs-CE possam cumprir as tarefas mais simples e, ate situações mais complexas, formular questões que possam ser respodidas com obetividade por especialistas em atividade o próprio TCU ou em outras etidades, públicas ou privadas Os iteressados em se aprofudar um pouco mais esse tema deverão recorrer a textos especializados, tais como as obras Curso de Estatística, Estatística Aplicada à Admiistração e, em especial, Elemetary Survey Samplig (vide o tópico Bibliografia ) Ressalte-se que, para que este documeto fosse o mais útil possível para os membros do corpo técico, os cico primeiros capítulos baseiam-se em rotias do Microsoft Excel, pertecete à plataforma de softwares do TCU A pricipal fote para esses capítulos

14 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS foi a versão de 997 da obra Statistics for Maagers Usig Microsoft Excel Cabe registrar o osso agradecimeto a um dos seus autores, Profº David M Levie, da City Uiversity of ew York, por os ter permitido acessar o material didático derivado desse livro, especialmete as apresetações do Microsoft PowerPoit preparadas pelo Profº Joh McGill O presete trabalho represeta o resultado de seis aos de iiciativas idividuais, de treiametos promovidos pela Assessoria de Relações Iteracioais (Arit) e pelo Istituto Serzedello Corrêa (ISC), e de recursos alocados pela extita Secretaria de Auditoria e Ispeções (Saudi) e pelas atuais Secretaria-Aduta de Fiscalização (Adfis), Secretaria de Macroavaliação Goverametal (Semag), Secretaria de Cotrole Extero o Estado do Rio de Jaeiro (Secex-RJ), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimôio da Uião (Secob) e Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Govero (Seprog) As fases do trabalho foram: participação o TCU Auditig Semiar, miistrado, em ovembro de 995, pelos auditores Roger Adams e Richard Regal, da Associatio of Certified Chartered Accoutats, com 60 horas de duração; mauteção de cotatos com auditores da Ispetoria-Geral do Departameto da Defesa dos EUA, como parte do curso Executive Developmet Program i Performace Maagemet, miistrado, em uho de 996, pelo Virgiia Polytechic Istitute ad State Uiversity e pela Fudação Getúlio Vargas, com o auxílio da atioal Academy of Public Admistratio; participação o curso Estatística Aplicada e oções de Amostragem, miistrado, em maio de 997, pelo Profº George vo Borries, com 0 horas de duração; participação a disciplia Delieameto e Aálise de Amostras do mestrado em Estatística da Uiversidade de Brasília, miistrada o º semestre de 997; elaboração deste documeto o período de setembro de 998 a março de 999; orgaização do módulo Técicas de Amostragem, miistrado em abril de 999, com 5 horas de duração, do curso Itrodução à Auditoria do Programa de Formação de 999 para AFCEs-CE; revisão de uma versão prelimiar deste documeto pelos participates do módulo citado acima, o que permitiu a supressão de várias imprecisões; participação, em decorrêcia de covêio firmado pelo TCU e pela Embaixada Britâica em março de 998, a disciplia Estatística do mestrado em Ecoomia da Lodo School of Ecoomics ad Political Sciece, miistrada em setembro de 999; complemetação deste trabalho em março de 00; revisão fial o âmbito da Adfis e por servidores desigados pelo Memorado-Circular º 09 Adfis, de 5/05/00, o período de abril a ulho de 00; participação o curso Técicas de Amostragem com o Auxílio do Software SAS, miistrado, em uho de 997, pela Profª Édia Shisue Miazaki, com 36 horas de duração;

15 ITRODUÇÃO fialização deste trabalho em setembro de 00, icorporado-se quase todas as sugestões apresetadas pelos revisores Iegavelmete, trata-se de um período de maturação logo A publicação de um documeto como este, etretato, somete tem setido quado há uma demada ítida por esse tipo de trabalho, como é o caso atualmete O texto é composto por oito capítulos: a) o primeiro discorre sobre algus coceitos básicos que devem ser fixados desde o primeiro istate; b) o segudo revê e exemplifica as propriedades dos dados uméricos; c) o terceiro trata dos modelos de distribuição de probabilidade; d) o quarto aborda as propriedades das distribuições amostrais; e) o quito discute os problemas e técicas elemetares de estimação, os quais se cofudem com a amostragem aleatória simples; f) o sexto estede os coceitos do capítulo aterior, discorredo sobre as versões básicas das amostrages aleatórias estratificada e por coglomerados; g) o sétimo discute as características da amostragem por uidade moetária, empregada em auditorias cotábil-fiaceiras; h) o oitavo, por fim, trata dos erros em amostragem, em especial do problema da ão-resposta Em todos os capítulos, recorreu-se a exemplos o ituito de torar mais claros os temas tratados A bibliografia, por sua vez, foi dividida em pricipal e complemetar para que os leitores teham mais opções para cosulta, aida que somete o primeiro grupo teha sido ostesivamete cosultado aturalmete, compete ao redator a resposabilidade pelas falhas remaescetes 3

16 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 4

17 COCEITOS BÁSICOS Em auditoria, as técicas de amostragem visam coletar e avaliar evidêcias uméricas das etidades admiistrativas o ituito de determiar e relatar o grau de adequação das iformações obtidas a critérios previamete defiidos Isso se deve à atureza atiecoômica das auditorias que pretedam ivestigar todo o uiverso visado As técicas em questão, por se basearem em pricípios estatísticos demostráveis, apresetam as seguites vatages: a) o tamaho da amostra e o erro amostral podem ser estimados prévia e obetivamete; b) as amostrages coduzidas por auditores diferetes podem ser combiadas; c) os cesos, além de serem demorados, podem coter mais erros ão-amostrais do que as amostras; d) os resultados amostrais são obetivos e, por extesão, defesáveis; e) os resultados da auditoria podem ser avaliados com seguraça e extrapolados para toda a população Iferêcia Estatística A crescete demada por dados uméricos observada ao logo da história está estreitamete relacioada com o desevolvimeto da estatística descritiva UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO FERRAMETAS/AÁLISE DE DADOS (VIDE FIGURAS A A3, AEXO I ) gera estatísticas descritivas de um couto de observações Moderamete, porém, é graças ao desevolvimeto da iferêcia estatística, partido de extesões da teoria da probabilidade, que a estatística passou a ser amplamete empregada por todo tipo de pesquisa A relevâcia dos métodos de iferêcia estatística deve-se ao fato de que as técicas de amostragem toraram-se idispesáveis, pois o crescimeto populacioal torou excessivamete oerosa, demorada e complexa a coleta de dados sobre toda a população Decisões relacioadas com as características da população devem se basear em iformações extraídas de amostras, com a teoria da probabilidade forecedo o elo etre ambas mediate a defiição da probabilidade de que os resultados amostrais espelhem os parâmetros populacioais Covém frisar que, para que a aálise estatística sea útil ao processo de tomada de decisão, os dados coletados devem ser apropriados, ou sea, livres de vieses, ambigüidades ou outros tipos de erro, pois essas deficiêcias dificilmete poderão ser compesadas, mesmo pelos mais moderos métodos estatísticos

18 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Pricipais Tipos de Amostragem Probabilística Há dois tipos de amostrages: ão-probabilísticas e probabilísticas As amostras por quotas e por ulgameto do pesquisador são ão-probabilísticas, equato que as amostras aleatórias simples, estratificadas e por coglomerados são probabilísticas, uma vez que seus elemetos são selecioados com base em probabilidades cohecidas Em estudos uméricos, somete as amostrages probabilísticas permitem a correta geeralização para a população dos resultados amostrais as amostras probabilísticas, as iferêcias podem ser formuladas por itermédio de estimadores simples, do tipo razão ou do tipo regressão Os primeiros se baseiam uicamete os dados referetes à variável acerca da qual se desea gerar iferêcias, equato que os outros também recorrem a variáveis auxiliares, supostamete relacioados com o feômeo estudado Este documeto, cotudo, somete tratará de estimadores simples, pois os demais evolvem um ível maior de sofisticação matemática Itrodução à Amostragem Aleatória Simples Embora a amostragem aleatória simples ão sea, ecessariamete, a estratégia amostral mais eficiete e ecoômica, ela fucioa como base para as estratégias mais sofisticadas As suas pricipais características costam da Figura Figura : Amostragem Aleatória Simples Cada elemeto da população tem a mesma chace de ser selecioado População Média, µ, é descohecida Amostra Propriedades Admite o uso de tabelas de úmeros aleatórios ou sistemas ãoviesados de sorteio Ilustração Amostra Aleatória Média X 50 A seleção de um elemeto ão iterfere a seleção dos demais Coclusão Estou 95% cofiate que µ está etre 40 e 60 6 Fote: McGill, 997 O elemeto-chave de qualquer estratégia amostral é a obteção e mauteção de um cadastro atualizado (ie, sistema de referêcia ou, a lígua iglesa, frame ) de todos

19 COCEITOS BÁSICOS os ites ou idivíduos que compõem a população da qual será extraída a amostra (ie, população-alvo) Caso algus grupos de ites ou idivíduos ão seam adequadamete cotemplados pelo cadastro, a população-alvo e a verdadeira população diferirão Dessa forma, as estimativas geradas pelas amostras aleatórias serão válidas para a população-alvo, mas viesadas para a verdadeira população As amostras aleatórias podem ser selecioadas com ou sem reposição de populações fiitas ou ifiitas O método empregado deve ser idicado claramete, pois as equações usadas as iferêcias estatísticas variam com os métodos Covém otar que as amostrages aleatórias simples com reposição de populações fiitas e sem reposição de populações ifiitas geram estimadores cuas equações são idêticas Itrodução à Amostragem Aleatória Estratificada Quado os elemetos da população puderem ser agrupados em coutos homogêeos (ie, estratos), pode-se utilizar a amostragem aleatória estratificada, selecioado-se uma amostra para cada estrato Os tamahos das amostras e as estatísticas estimadas são idepedetes Ao se combiar as estimativas de cada estrato, obtém-se uma estimação para toda a população a estratificação da população, cada elemeto deve costar de um úico estrato, ou sea, os estratos ão podem possuir iterseções, equato que o couto de elemetos de um estrato deve ser o mais homogêeo possível em relação à característica que se pretede examiar, como ilustrado pela Figura Figura : Amostragem Aleatória Estratificada Dividir a população em subgrupos: mutuamete excludetes; exaustivos; com ao meos uma característica relevate em comum Selecioar uma amostra aleatória de cada subgrupo ão-residetes Todos os Uiversitários Amostra Residetes Fote: McGill, 997 7

20 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS A amostragem estratificada apreseta as seguites vatages: a) com relação à amostra aleatória simples, supodo-se que haa um acréscimo o volume de iformação acerca da população em decorrêcia da estratificação (p ex, o desvio-padrão observado em cada um dos estratos é substacialmete iferior ao desvio-padrão do couto da população): obter precisão semelhate com uma amostra total meor; obter maior precisão com uma amostra total igual; b) obter estimativas para cada estrato, se essas estimativas forem úteis; c) dar maior ateção a certos grupos detro da população que têm uma propesão muito alta ou muito baixa a apresetar a característica examiada A estratificação pode ser útil também se os custos de auditoria são diferetes para cada estrato (p ex, etrevistas de cotato direto em algus casos e questioários eviados pelo correio em outros) 3 Itrodução à Amostragem Aleatória por Coglomerados Quado os elemetos da população podem ser agrupados em coutos semelhates, mas iteramete heterogêeos (ie, coglomerados), pode-se usar a amostragem aleatória por coglomerados essa técica, as amostras são obtidas por meio ão da seleção aleatória de algus de seus elemetos, mas sim de algus dos coglomerados que a compõem Uma vez selecioados os coglomerados, todos os seus elemetos são examiados para que as estatísticas deseadas seam obtidas, como ilustrado pela Figura 3 Figura 3: Amostragem Aleatória por Coglomerados Dividir a população em coglomerados Se os trabalhadores são os elemetos amostrais, etão as compahias são os coglomerados Coglomerados (Compahias) Selecioar coglomerados aleatoriamete Pesquisar todos os trabalhadores do coglomerado selecioado ou uma amostra aleatória deles Amostra (Trabalhadores das Compahias Selecioadas Fote: McGill, 997 8

21 COCEITOS BÁSICOS Quado os coglomerados são compostos por uma grade quatidade de elemetos, etretato, pode-se estimar as estatísticas referetes a cada coglomerados por meio da amostragem aleatória simples Essa técica é deomiada de amostragem aleatória por coglomerados em dois estágios, que também ão será examiada este documeto em fução do ível de sofisticação matemática 3 Plao Amostral O poto de partida de toda amostra é o plao amostral, o qual documeta os passos e os procedimetos evolvidos a utilização de técicas de amostragem, devedo evolver as etapas defiidas a seguir: a) estipular os obetivos do uso de técicas de amostragem, explicado-se o porquê da ão-utilização de um ceso; b) defiir os elemetos da população, ou sea, os idivíduos ou obetos acerca dos quais serão feitas estimativas; c) defiir o tamaho da população, recorredo-se, se ecessário, a estimativas; d) examiar o cadastro da população ou, caso ão estea dispoível, a descrição dos ites relevates para a seleção; e) descrever a técica de amostragem a ser utilizada e ustificar a escolha; f) descrever os procedimetos seguidos a execução do trabalho; g) estabelecer o ível de cofiaça; h) determiar o tamaho da amostra e a precisão deseada, o que freqüetemete requer uma amostra prelimiar; i) escolher as técicas de coleta, armazeameto e aálise dos dados O maior ou meor sucesso dos estudos amostrais, idepedetemete do seu tipo, costuma guardar relação direta com a melhor ou pior observâcia dessas etapas 9

22 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 0

23 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS Em geral, os pesquisadores procuram desevolver istrumetos destiados a obter respostas obetivas para pergutas acerca de vários tipos de feômeos ou características (ie, variáveis aleatórias) Os dados coletados represetam maifestações das variáveis aleatórias, podedo diferir de resposta para resposta Essas maifestações podem ser: categóricas ou uméricas UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO DADOS/RELATÓRIO DE TABELA DIÂMICA (VIDE FIGURAS A & A4 A8, AEXO I) gera estatísticas agrupadas por uma variável categórica Com relação aos dados uméricos, as suas pricipais propriedades, ilustradas pela Figura, são: tedêcia cetral, variação e forma Figura : Propriedades dos Dados uméricos Tedêcia Cetral (Posição) Variação (Dispersão) Forma Fote: McGill, 997 Medidas de Tedêcia Cetral As medidas de tedêcia cetral são média aritmética, mediaa, moda, meia amplitude e meia-amplitude semi-iterquartílica, que podem ser defiidas da seguite maeira:

24 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS a) Média Aritmética Populacioal (µ) e Amostral ( X ): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, µ ou X é defiida pelo somatório do valor de todas as observações dividido por, ou sea: X X + X + X X i µ X + X + X X i X X i i ; UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: MÉDIA(úm;úm;) b) Mediaa (Md): dada uma seqüêcia ordeada de observações X, X, X 3,, X, Md é defiida pelo valor que divide a seqüêcia em dois coutos com a mesma quatidade de observações Caso sea ímpar, a mediaa é dada pelo + valor correspodete à -ésima posição da seqüêcia Caso sea par, a mediaa é dada pela média dos valores correspodetes às e + - ésimas posições UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: MED(úm;úm;) c) Moda (Mo): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, Mo é defiida pelo(s) valor(es) mais freqüete(s) etre todas as observações UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: MODO(úm;úm;) d) Meia Amplitude (Ma): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, Ma é defiida pela média do meor e maior valores observados, ou sea: X míimo + X Ma máximo UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (MÁXIMO(úm;úm;)+MÍIMO(úm;úm;))/ e) Meia Amplitude Semi-Iterquartílica (Mq): dada uma seqüêcia ordeada de observações X, X, X 3,, X, Mq é defiida pela média dos valores correspodetes ao primeiro e terceiro quartis (Q e Q 3 ) 3, ou sea: Q + Q Mq 3 Caso toda a população sea abragida pelas observações, deve ser substituído por 3 O segudo quartil (Q ) correspode à mediaa (Md)

25 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS + O primeiro quartil (Q ) é defiido pelo valor correspodete à - 4 ésima posição da seqüêcia, o qual separa os primeiros 5% das observações dos 75% restates + O terceiro quartil (Q 3 ) é defiido pelo valor correspodete à 3-4 ésima posição da seqüêcia, o qual separa os primeiros 75% das observações dos 5% restates + + Se (+) ão for múltiplo de 4, as equações e 4 3 ão 4 gerarão úmeros iteiros esse caso, há três possibilidades: i caso sea múltiplo de 4, o quartil deseado será dado pela posição imediatamete iferior ao úmero obtido; ii caso (+) sea múltiplo de 4, o quartil deseado será dado pela posição imediatamete superior ao úmero obtido; iii caso (+3) sea múltiplo de 4, o quartil deseado será dado pela média dos valores correspodetes às 4 UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I Medidas de Variação + 3 e -ésimas posições 4 Já as medidas de variação são amplitude, amplitude semi-iterquartílica, variâcia, desvio-padrão e coeficiete de variação, que são defiidas como idicado abaixo: a) Amplitude (A t ): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, A t é defiida pela difereça etre o maior e meor valores observados, ou sea: A X X t máximo míimo UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (MÁXIMO(úm;úm;)-MÍIMO(úm;úm;)) b) Amplitude Semi-Iterquartílica (D q ): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, D q é defiida pela difereça etre o terceiro e o primeiro quartis, ou sea: D q Q 3 Q UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A, AEXO I c) Variâcia Populacioal (σ ) e Amostral (S ): dado um couto cotedo observações X, X, X 3,, X, σ e S correspodem ao somatório do 3

26 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS quadrado da difereça etre cada observação e a média (µ ou X ) dividido, respectivamete, por (observações abragem toda a população) ou por (-) (observações abragem apeas uma amostra), ou sea: ( X i µ ) X i µ ( X µ ) + ( X µ ) + ( X 3 µ ) + + ( X µ ) i i σ UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VARP(úm;úm;) ( X X ) + ( X X ) + ( X 3 X ) + + ( X X ) S ( ) ( X X ) i X i X i i UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: VAR(úm;úm;) ( ) ( ) d) Desvio-Padrão Populacioal (σ) e Amostral (S): dado um couto cotedo observações X, X, X 3,, X, σ e S correspodem, respectivamete, à raiz quadrada da variâcia populacioal (σ ) e amostral (S ), ou sea: 4 σ σ i X i µ UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: DESVPADP(úm;úm;) S S i X i X ( ) UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: DESVPAD(úm;úm;) e) Coeficiete de Variação (CV): dado um couto de observações X, X, X 3,, X, CV mede a variação relativa das observações em toro da média (µ ou σ S X ): CV populacioal 00% ou CV amostral 00% µ X UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: (DESVPADP(úm;úm;)/MÉDIA(úm;úm;)) CV populacioal (DESVPAD(úm;úm;)/MÉDIA(úm;úm;)) CV amostral 4 O desvio-padrão e a variâcia têm como obetivo medir a distribuição das observações em toro da média Quato mais próximas de zero, maior a cocetração 4

27 PROPRIEDADES DOS DADOS UMÉRICOS 3 Relação etre a Média e a Mediaa A curva de freqüêcia de um couto de observações X, X, X 3,, X pode exibir uma forma simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda Isso pode ser costatado comparado-se a média (µ ou X ) e a mediaa (Md) esse caso, há três possibilidades: a) µ ou X > Md forma assimétrica à direita (mais de 50% das observações cocetra-se à esquerda da média); b) µ ou X Md forma simétrica (a média separa os primeiros 50% das observações dos 50% restates); c) µ ou X < Md forma assimétrica à esquerda (mais de 50% das observações cocetra-se à direita da média) Covém otar que a aálise aterior pode ser estedida às modas, como mostra a Figura Figura : Relação etre a Média, a Mediaa e a Moda Left-Skewed Symmetric Right-Skewed Assimétrico à Esquerda Simétrico Assimétrico à Direita Mea Media Mode Mea Media Mode Mode Media Mea Média Mediaa Moda Média Mediaa Moda Moda Mediaa Média Fote: McGill, 997 5

28 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS 6

29 3 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE As variáveis aleatórias uméricas podem ser descritas por itermédio de distribuições de probabilidades, as quais devem cotemplar todas as possíveis maifestações do feômeo examiado e as respectivas probabilidades ou freqüêcias relativas Esses dados são obtidos por meio de cadastros, os quais se classificam em: a) teóricos, gerados por modelos matemáticos que represetem, com graus variados de sucesso, os feômeos examiados; b) empíricos, elaborados com base as freqüêcias efetivamete observadas; c) subetivos, que reflitam as covicções do pesquisador acerca das freqüêcias O primeiro tipo de cadastro permite defiir fuções de distribuição de probabilidades, com bases as quais são calculadas com precisão a probabilidade de ocorrêcia de qualquer possível maifestação da variável aleatória Por essa razão, somete esse tipo de cadastro será aalisado este documeto Os modelos de distribuição de probabilidade apresetam características específicas coforme as variáveis aleatórias uméricas seam discretas ou cotíuas 3 Modelos de Distribuição Discreta Um exemplo clássico de distribuição discreta correspode ao resultado do arremesso de duas moedas, como mostrado a Figura 3 Figura 3: Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades Experimeto: arremessar duas moedas e cotar a quatidade de coroas Distribuição de Probabilidades Valores, X i Probabilidades, P(X i ) 0 /4 0,5 /4 0,50 /4 0,5 Cadastro: {(0; 0,5), (, 0,50), (, 0,5)} P(X) 0,50 0,5 0,00 Gráfico 0 X Tabela Qtde de f(x i ) Cotagem P(X i ) Coroas 0 0,5 0,50 0,5 Fote: McGill, 997

30 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Os modelos de distribuição discreta mais importates são: a biomial, a hipergeométrica, a biomial egativa e a de Poisso 3 Distribuição Biomial As pricipais propriedades da distribuição biomial são: a) as amostras podem ser selecioadas a partir de populações ifiitas sem reposição ou fiitas com reposição; b) as observações selecioadas podem ser classificadas em uma de duas categorias mutuamete excludetes e coletivamete exaustivas, usualmete chamadas sucesso e fracasso ; c) as probabilidades de que uma observação sea classificada um sucesso (p) ou um fracasso (-p) são costates e complemetares; d) as observações são mutuamete idepedetes A variável aleatória discreta ou o feômeo estudado que segue uma distribuição biomial é a que trata da quatidade de sucessos observados em uma amostra Cohecedo-se a quatidade de observações cotidas a amostra e a probabilidade p de "sucesso", a distribuição biomial é represetada pela seguite equação: P ( X )! X ( ) ( ) ( X ) 4 p 4 p X! X! probabilid ade de uma seqüêcia quatidade de possíveis seqüêcias em particular Ode: P(X) probabilidade de que seam observados X sucessos, dados e p; X quatidade de sucessos a amostra {X 0 X }; tamaho da amostra; p probabilidade de sucesso ; (-p) probabilidade de fracasso USADO MICROSOFT EXCEL: DISTRBIOM(úm_s;tetativas;probabilidade_s;cumulativo) Ode: úm_s X; tetativas ; probabilidade p; VERDADEIRO para calcular a probde X ou meos "sucessos"; cumulativo FALSO para calcular a probde X "sucessos" 3 A distribuição biomial apreseta iúmeras aplicações, como mostra a Tabela 8

31 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Tabela 3: Aplicações da Distribuição Biomial Gêero Aplicações X p P(X) Jogos de Azar Cotrole de Qualidade Educação Fiaças Probabilidade de que, em 0 tetativas, 5 ou mais resultados da roleta seam vermelhos? Probabilidade de que, em uma amostra de 0 peus, ehum sea defeituoso dado que 8% de todos os peus seam defeituosos? Probabilidade de que um aluo sea aprovado em um exame com 0 questões, cada questão com quatro opções, caso o aluo tete adivihar todas as questões? Probabilidade de que o valor de uma ação aumete por 0 dias cosecutivos dado que os preços das ações efetivamete oscilem aleatoriamete? > 4 0 0,50 0, ,9 0,89 > 4 0 0,5 0, ,50 0,00 A fução biomial de distribuição de probabilidades é simétrica quado p 0,5 e assimétrica quado p 0,5 Quato mais próximo p for de 0,5 e quato maior for, meor será o viés, como mostrado as Figuras 3 e 33 Figura 3: Distribuição Biomial com 5 e p 0,5 P(X) 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 Fote: McGill, X 9

32 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 33: Distribuição Biomial com 5 e p 0, P(X) 0,60 0,40 0,0 0,00 Fote: McGill, X A média e o seu desvio-padrão são obtidos, respectivamete, por meio das seguites equações: a) Média: µ E(X) p; σ p p b) Desvio-padrão: ( ) 3 Distribuição Hipergeométrica A distribuição hipergeométrica, a exemplo da distribuição biomial, trata da quatidade de sucessos observados em uma amostra com observações A difereça etre ambas reside o método de seleção empregado Equato que a biomial as observações são selecioadas com reposição de populações fiitas ou sem reposição de populações ifiitas, a hipergeométrica as observações são selecioadas sem reposição de populações fiitas Portato, a probabilidade p de sucesso esse caso ão é costate A equação da distribuição em questão é: P ( X ) X! A! ( A X )! ( A)! ( X )![( A) ( X )]!!! A A X X ( )! Ode: P(X) probabilidade de que seam observados X sucessos, dados e p; A quatidade de sucessos a população {X 0 X }; X quatidade de sucessos a amostra {X 0 X Mi[, A]}; tamaho da amostra; tamaho da população 30

33 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE USADO MICROSOFT EXCEL: DISTHIPERGEOM(exemplo_s;exemplo_úm;população_s;úm_população) Ode: exemplo_s X; exemplo_úm ; população_s A; úm_população 33 Distribuição Biomial egativa A distribuição biomial egativa é usada para determiar a probabilidade de ocorrêcia de uma certa quatidade de fracassos ates que outra quatidade de sucessos ocorra A sua equação é: P ( ) ( )! ( X )![( ) ( X ) ]! p X ( ) ( X ) X ( ) ( p p p X ) X USADO MICROSOFT EXCEL: DISTBIEG(úm_f;úm_s;probabilidade_s) Ode: úm_f ( X); úm_s X; probabilidade_s p 34 Distribuição de Poisso Há um processo de Poisso quado evetos discretos podem ser observados em uma área de oportuidade (ie, um itervalo cotíuo de tempo, de superfície, de comprimeto, etc) de tal modo que, se essa área for suficietemete reduzida, o seguite ocorrerá: a) a probabilidade de que sea observado um úico sucesso é estável; b) a probabilidade de que mais de um sucesso sea observado é ula; c) a probabilidade de ocorrêcia de um sucesso em qualquer itervalo é estatisticamete idepedete da probabilidade observada os demais itervalos A equação correspodete é: P ( X ) λ e λ X! X Ode: P(X) probabilidade de que seam observados X sucessos, dado λ; X quatidade de sucessos por uidade da área de oportuidade; λ quatidade esperada de sucessos ; e, úmero de Euler, base do sistema de logaritmos eperiaos 3

34 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS USADO MICROSOFT EXCEL: POISSO(X;média;cumulativo) Ode: média λ; VERDADEIRO para calcular a probabilid ade de X ou meos "sucessos"; cumulativo FALSO para calcular a probabilidade de X "sucessos" O Exemplo 3 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de Poisso Exemplo 3: Aplicação da Distribuição de Poisso Supoha-se um baco que atede 80 clietes em um período de hora Toda chegada de um cliete é um eveto discreto em um determiado istate de um itervalo cotíuo de tempo Partido-se o período de hora em 3600 itervalos de segudo, tem-se: a) a quatidade esperada (ou média) de clietes atedidos por segudo é 0,05; b) a probabilidade de que mais de um cliete sea atedido em um dado segudo é quase ula; c) o atedimeto de um cliete em um dado segudo ão afeta o atedimeto dos demais clietes os demais segudos As Figuras 34 e 35, a seu tempo, mostram os efeitos do parâmetro λ sobre o formato do gráfico da distribuição de probabilidades Figura 34: Distribuição de Poisso com λ 0,5 P(X) 0,60 0,40 0,0 0,00 Fote: McGill, X 3

35 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Figura 35: Distribuição de Poisso com λ 6 P(X) 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00 Fote: McGill, X Covém otar que a distribuição de Poisso ão apeas represeta vários feômeos (p ex, telefoemas recebidos em uma mahã, acidetes de trâsito observados em uma semaa, greves havidas em um ao, etc), como também pode fucioar como uma aproximação da distribuição biomial quado for grade e p pequeo, com (p) 7 esse caso, tem-se: λ p 3 Modelos de Distribuição Cotíua A represetação matemática da distribuição de uma variável aleatória cotíua é deomiada fução desidade de probabilidades (FDP), cua equação-geral e pricipais características costam da Figura 36 Figura 36: Fução Desidade de Probabilidades Equação que defie os valores, X, e a FDP, f(x) Propriedades: b a f ( X ) dx (Área sob a curva) f ( X ) 0, a X b FDP (Valor, FDP) f(x) a b X Valor Fote: McGill,

36 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Quado um feômeo cotíuo (p ex, altura, peso ou tempo) é represetado por um modelo matemático, a probabilidade de que os valores da variável aleatória correspodete perteçam a um dado itervalo pode ser calculada, como mostra a Figura 37, porém a exata probabilidade de um valor específico é ula Figura 37: Probabilidade de Variáveis Aleatórias Cotíuas f(x) Probabilidade Área sob a curva P( c X d) f ( X ) dx c d c d X 34 Fote: McGill, 997 Os modelos de distribuição cotíua mais importates são: a ormal e a expoecial 3 Distribuição ormal Etre os modelos de distribuição cotíua, a mais utilizada é a distribuição ormal, uma vez que: a) iúmeros feômeos cotíuos parecem seguir essa distribuição; b) essa distribuição pode fucioar como uma aproximação de várias distribuições discretas de probabilidade; c) essa distribuição fucioa como a base da iferêcia estatística clássica em decorrêcia da sua relação com o Teorema do Limite Cetral Essa distribuição possui as propriedades teóricas idicadas a seguir, ilustradas pela Figura 38: a) o formato é simétrico, semelhate a um sio; b) as medidas de tedêcia cetral (média, mediaa, moda, meia amplitude e meia amplitude semi-iterquartílica) são iguais; c) o itervalo semi-iterquartílico, compreededo a 50% das observações, correspode ao itervalo µ σ; µ + σ 3 3 ; d) a amplitude da variável aleatória represetada é ifiita {X X + }

37 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Figura 38: Distribuição ormal a forma de sio e simétrica f(x) Média, mediaa, moda são iguais Dispersão Média é,33σ Variável aleatória tem amplitude ifiita Média Mediaa Moda X Fote: McGill, 997 a prática, a fução de distribuição de probabilidades de muitos feômeos observados apeas se assemelha à distribuição ormal Isso ocorre quado a distribuição de probabilidades da população é aproximadamete ormal ou quado a amostra selecioada ão cotém as características teóricas esperadas Dessa forma, freqüetemete tem-se: a) polígoos quase simétricos; b) medidas de tedêcia cetral ligeiramete diferetes; c) itervalo semi-iterquartílico ligeiramete diferete do itervalo µ σ; µ + σ 3 3 ; µ 3 σ; µ + 3 σ 6 d) amplitude fiita, geralmete correspodedo ao itervalo [ ] o presete cotexto, a FDP é defiida pela seguite equação: 6 Uma restrição comum é a ão observação de valores egativos 35

38 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS f ( X ) X µ σ π σ e Ode: π 3,459; 7 e º de Euler; X variável aleatória; µ média populacioal; σ desvio-padrão populacioal USADO MICROSOFT EXCEL: DISTORM(x;média;desv_padrão;cumulativo) calcula a probabilidade de que seam observados valores meores do que X Ode: média µ; desvio-padrão σ; cumulativo VERDADEIRO fução de distribuiç ão cumulativa; FALSO fução de distribuiçãode massa IVORM(probabilidade;média;desv_padrão) calcula o valor X correspodete a uma dada probabilidade acumulada Como e e π são costates matemáticas, a FDP [f(x)] depede uicamete da média e do desvio-padrão populacioais (µ e σ) Cada combiação desses parâmetros gera uma distribuição de probabilidade distita, como mostrado pela Figura 39 Figura 39: Efeitos de Variações em σ e µ (σ A > σ B e µ C > µ B ) f(x) B A C Fote: McGill, 997 µ A µ B µ C X o ituito de torar desecessário o uso da equação exposta acima e em face da impossibilidade de que se elaborem ifiitas tabelas de probabilidades, a variável aleatória (X) deve ser ormalizada, ou sea, covertida em uma variável aleatória ormal padroizada (Z) mediate a seguite trasformação, ilustrada pela Figura 30: 7 π radiaos 80 graus 36

39 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE µ Z X σ USADO MICROSOFT EXCEL: PADROIZAR(x;média;desv_padrão) Figura 30: Padroização da Distribuição ormal Distribuição ormal σ Z X µ σ Distribuição ormal Padroizada σ µ X µ 0 Z Uma tabela para CADA combiação de µ e σ Uma ÚICA tabela Fote: McGill, 997 A ova variável tem média ula (µ 0), desvio-padrão uitário (σ ) e FDP defiida pela seguite equação: f ( Z ) Z e π USADO MICROSOFT EXCEL: DISTORMP(z) calcula a probabilidade de que seam observados valores meores do que Z IVORMP(z) calcula o valor Z correspodete a uma dada probabilidade acumulada Portato, todo couto de dados distribuídos ormalmete pode ser trasformado de tal modo que as probabilidades correspodetes podem ser obtidas a partir da tabela da distribuição ormal padroizada (vide Aexo II), como ilustrado pelas Figuras 3 e 3 37

40 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 3: Obteção de Probabilidades [P(Z)] Dado um Valor ormal Padroizado (Z) Tabela da Distribuição ormal Padrão (Trecho) Z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0, 0,0793 0,083 0,087 0,3 0,79 0,7 0,55 Qual é o valor de P(Z) dado Z 0,7? µ 0 Probabilidades σ 0, 0,0478 Z Área sombreada superdimesioada Fote: McGill, 997 Figura 3: Obteção de um Valor ormal Padroizado (Z) Dada uma Probabilidade [P(Z)] Qual é o valor de Z dado P(Z) 0,7? σ Tabela da Distribuição ormal Padrão (Trecho) 0,7 0,0 Z 0,00 0, 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 µ 0 0,3 3 Área sombreada superdimesioada Z 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0, 0,0793 0,083 0,087 0,3 0,79 0,7 0,55 38 Fote: McGill, 997

41 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Covém otar que o valor de uma observação selecioada aleatoriamete tem, em toda distribuição ormal, uma probabilidade de 68,6% de estar cotido o itervalo σ µ + σ µ 3 σ; µ + 3 σ [ µ ; ] e de 99,73% de estar cotido o itervalo [ ] 3 Distribuição Expoecial A distribuição expoecial é amplamete utilizada em teoria das filas para estimar o período de tempo etre dois sucessos (p ex, chegadas, partidas, atedimetos, etc) O seu comportameto é defiido por um úico parâmetro: a quatidade média de sucessos por uidade de tempo (λ) A probabilidade de que o período de tempo etre dois sucessos sea igual ou meor a um valor X é dada pela seguite equação: P λ X ( itervalo etre"sucessos" X ) e USADO MICROSOFT EXCEL: DISTEXPO(x;lambda;cumulativo) Ode: lambda λ; cumulativo VERDADEIRO fução de distribuiç ão cumulativa; FALSO fução de desidade de probabilid ade O Exemplo 3 ilustra uma típica aplicação da distribuição expoecial Exemplo 3: Aplicação da Distribuição Expoecial Supoha-se um baco que atede, em média, 0 clietes por hora Qual é a probabilidade de que o itervalo etre dois atedimetos sea, o máximo, de 6 miutos ou 0, hora? 00, Dados λ 0 e X 0,, tem-se: P ( itervalo etre "sucessos" 0,) e 0,8647 Portato, há uma probabilidade de 86,47% de que o próximo atedimeto ocorrerá detro de 6 miutos A Figura 33, por sua vez, mostra os efeitos do parâmetro λ sobre o formato do gráfico da distribuição expoecial 39

42 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS Figura 33: Distribuição Expoecial Distribuição Expoecial Descreve itervalos de tempo ou distâcia etre evetos Fução Desidade f ( x) e x λ λ Parâmetros µ λ, σ λ f(x) f(x λ 0,5 λ,0 X Probabilidades P( x a) e ( x a λ ) e a λ a x Fote: McGill,

43 4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS As aálises de dados têm como um de seus pricipais obetivos o uso de estatísticas como a média e a proporção amostrais para estimar os parâmetros populacioais correspodetes Desse modo, uma pesquisa sobre iteção de voto tem os resultados amostrais apeas uma forma de obter estimativas acerca das iteções de todos os eleitores, equato que uma auditoria fiaceira poderá usar a média amostral para estimar o valor total de todas as operações costates de um cadastro Do poto de vista prático, uma úica amostra com uma quatidade predetermiada de observações é extraída da população com o auxílio de um gerador de úmeros aleatórios, que pode ser tato uma tabela preparada previamete, como uma rotia de computador UTILIZADO O MICROSOFT EXCEL: OPÇÃO FERRAMETAS/AÁLISE DE DADOS (FIGURAS A, A9 & A0, AEXO I) selecioa uma amostra aleatória simples com reposição; ALEATÓRIOETRE(iferior;superior) gera um úmero etre os valores míimo (iferior) e máximo (superior) especificados, admitido repetições; ALEATÓRIO gera um úmero distribuído uiformemete o itervalo [0; [ Do poto de vista teórico, cotudo, a estimação de parâmetros populacioais por meio de estatísticas amostrais deveria evolver o exame de todas as possíveis amostras Se esse exame fosse efetivamete feito, a distribuição dos resultados obtidos correspoderia à distribuição amostral ote-se que a quatidade de possíveis amostras correspode: a) o caso de amostras com reposição, ao total de arraos com repetição de, a : AR ;, b) o caso de amostras sem reposição, ao total de combiações de, a :! C,!( )! USADO MICROSOFT EXCEL: COMBI(úm;úm_escolhido) Ode: úm ; úm_escolhido 4 Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais A medida de tedêcia cetral mais amplamete usada é a média aritmética o caso de populações cua distribuição de probabilidades sea ormal, a média apreseta as seguites propriedades matemáticas, ilustradas pelas Figuras 4, 4 e 43:

44 TÉCICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS X i i a) ão-viesada: a média de todas as possíveis médias amostrais (, ode m m é dado por AR,, o caso de amostras com reposição, ou por C,, o caso de amostras sem reposição) é igual à média populacioal (µ); 8 Figura 4: Medida ão-viesada m f( X) ão-viesado Viesado A C Fote: McGill, 997 µ X b) eficiete: comparado-se amostras, costata-se que a média é a medida de tedêcia cetral mais estável, proporcioado, em geral, as melhores estimativas para a média populacioal; Figura 4: Medida Eficiete f( X) Distribuição da Média Amostral B Distribuição da Mediaa Amostral A Fote: McGill, 997 µ X c) cosistete: aumetado-se o tamaho da amostra, observa-se uma redução a variação das médias amostrais em toro da média populacioal 8 Assim, aida que ão se coheça o quato uma dada média amostral aproxima-se da média populacioal, sabe-se, ao meos, que a média de todas as possíveis médias amostrais é igual à média populacioal 4