Criptografia em Sistemas de Comunicação INTRODUÇÃO À CRIPTOGRAFIA. Aplicações em Sistemas de Comunicação. Terminologia

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1 INTRODUÇÃO À CRIPTOGRAFIA Termnologa Crptografa em Sstemas de Comuncação Segurança e prvacdade das nformações transmtdas através dos sstemas de comuncação de dados. Proteção de nformações (confdencas) entre orgem e destno. Crptografa Arte de escrta secreta, convenconal, por meo de snas, cfras e abrevaturas. (gr.: krpto = secreto, grapho = escrta) Crptograma Texto redgdo em escrta cfrada. Crptógrafo Equpamento de crptografa (cod./decod.). Crptoanalsta Profssonal especalsta em crptografa. Cfragem Codfcação de mensagens crptográfcas. Decfragem Decodfcação de mensagens crptográfcas. Aplcações em Sstemas de Comuncação Segurança em redes de computadores. Segurança em transmssões de dados ponto a ponto (modems, rádo dgtal). Sglo em transações bancáras. Autentcação e assnatura eletrôncas. Servços por assnatura (Pay-TV, etc.). Internet Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 1 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 2

2 Meddas de Segurança em Redes Concetos Báscos da Cfragem de Dados Assocada a cada lnk de comuncação: Processo de codfcação/decodfcação é realzado entre cada 2 nós. Chave Ek Gerênca de Chaves Chave Dk Vantagem: A dentfcação do orgnador e do destnatáro são protegdas. Desvantagem: Os nós devem ter acesso restrto. Texto Claro M (mensagem transmtda) Cfragem E Texto Cfrado C Decfragem D Texto Claro M (mensagem recebda) Ponto a Ponto: Processo de codfcação/decodfcação é realzado somente pelo gerador/destnatáro. Vantagem: Um usuáro pode usar um esquema de cfragem sem afetar os demas. Desvantagem: As dentfcações do orgnador e do destnatáro não podem estar cfradas. Processo de Cfragem: A função da chave de cfragem E k é realzar alguma operação matemátca sobre o texto em claro, de modo a transformá-lo em texto cfrado. onde M texto em claro, E k chave de cfragem C texto cfrado. C = Ek ( M ) Processo de Decfragem: O algortmo de cfragem precsa ser nversível, sto é, deve exstr uma chave de decfragem D k tal que o texto cfrado submetdo a esta é convertdo em texto em claro. M = Dk ( C) Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 3 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 4

3 Tpos de Sstemas de Cfragem Sstemas Crptográfcos Smétrcos Sstema Crptográfco Smétrco: E k = D k. Cfragem por Transposção: Rearranjo de cada caractere do texto em claro de modo a produzr o texto cfrado. Sstema Crptográfco Assmétrco: E k D k. Transposção Reversa: Característcas Desejáves: texto em claro: texto cfrado: SEGURANÇA DE UMA REDE LOCAL AÇNARUGES ED AMU EDER LACOL O algortmo de cfragem/decfragem deve ser smples de mplementar. O tempo de cfragem/decfragem deve ser relatvamente pequeno, permtndo altas taxas de transmssão dos dados. tempo necessáro para a quebra das chaves deve ser probtvamente grande quando comparado ao valor da nformação que está sendo protegda. A teora de obtenção do par de chaves sem autorzação do propretáro é denomnada CRIPTOANÁLISE. Transposção por Padrão Geométrco: Ex.: Arranjo bdmensonal ou matrz (3 x 4). texto em claro: CRIPTOGRAFIA matrz 3 x 4: C R I P T O G R A F I A texto cfrado pela letura das colunas : ROFPRACTAIGI Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 5 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 6

4 Transposção de Colunas: O texto em claro é colocado segundo a dreção vertcal. As colunas são rearranjadas segundo uma ordem preestabelecda e o texto cfrado é obtdo pela letura dos caracteres na dreção horzontal. Ex.: matrz 5 x 6, arranjo {3,5,2,4,6,1}. M: CIFRAGEM POR MATRIZ BIDIMENSIONAL C G R I I I I E M Z M O F M A B E N R P T I N A A O R D S L R I G I I C M M E Z O I A E M B N F T N P I A R R S O D L A C: RIGIIC MMEZOI AEMBNF TNPIAR RSODLA Para uma matrz com n colunas, estas podem ser arranjadas de n! maneras dferentes. Para o exemplo, exstem 6! = 720 possbldades. Permutação Peródca: Consttu um método smples e efcente que realza a permutação dos caracteres do texto em claro de período d. Se f é a função de permutação de um bloco de d caracteres, então, a chave de cfragem depende de f e do período d. Para o texto em claro: M m, m,, m, m,, m, = 1 2 d d + 1 2d onde m são os caracteres. O crptograma resultante é dado por: C = E ( M) = m, m,, m, m +, m +, k f ( 1) f ( 2) f ( d) d f ( 1) d f ( d) Ex.: d = 5; f() = {3,5,1,4,2}; M = "FLAMENGO CAMPEÃO" C = "AEFML OANCG EOMÃP" Permutação Peródca Bnára: Posções Orgnas Permutações Posções Fnas d = 8; f() = {3,5,4,7,2,8,1,6} Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 7 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 8

5 Cfragem por Substtução: Troca de caracteres do texto em claro por outros caracteres, de forma reversível. Substtução Smples: Cada caractere da mensagem é trocado por um caractere correspondente; o mapeamento escolhdo assoca o crptograma à mensagem. Substtução Homofônca: Cada caractere da mensagem é cfrado em uma varedade de caracteres; é usado um mapeamento que assoca crptogramas dferentes a uma únca mensagem. Ex.: Cfrador de César (substtução smples) mapeamento: A D B E Y B Z C M = "JULIUS CESAR" C = "MXOLXV FHVDU" Substtução Polalfabétca: São usados múltplos alfabetos de cfragem; é usado um mapeamento que assoca um únco crptograma a uma dada mensagem, porém, este mapeamento pode varar com o tempo. Para deslocamentos ncas do alfabeto dferentes de 3, obtém-se outros esquemas de substtução. A análse estatístca do crptograma quebra, faclmente, a chave deste esquema de cfragem. Substtução Polígrama: Este método permte a substtução arbtrára de um grupo de caracteres do texto em claro smultaneamente. Os esquemas de cfragem por substtução, em geral, utlzam este método, pos, tem a vantagem de destrur a freqüênca de caracteres. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 9 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 10

6 Ex.: Substtução homofônca Ex.: Cfrador de Vgenère (polalfabétco) As letras do alfabeto são mapeadas em números de 00 a 99. Cada letra é assocada a mas de um número. A J S B K T C L U D M V E N W F O X G P Y H Q Z I R M = "PRESERVE A NATUREZA" A chave K é especfcada por uma sequênca de caracteres: K = k 1 k 2 k n onde cada k forma um cfrador de César dferente. K = "CRIPT "; C = "VVFIH" M = "TEXTO" Para o caso em que a chave tem comprmento nfnto, este cfrador é denomnado de Vernam. Este sstema, apesar de ser nefcente (tamanho da chave, sncronzação), é bastante seguro, sendo utlzado na lnha vermelha entre Washngton e Moscou. C = " " Para uma dada mensagem exstem város crptogramas assocados. O prmero uso da cfragem homofônca ocorreu na correspondênca entre o Duque de Mântua e Smeone de Crema em Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 11 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 12

7 Ex.: Cfrador de Playfar (Polígramo) Fo nventado por um amgo de Lyon Playfar, Charles Wheatstone, e fo usada pelos ngleses na Segunda Guerra Mundal. A chave consste de uma matrz 5 x 5, contendo todas as letras do alfabeto exceto o J : H A R P S I C O D B E F G K L M N Q T U V W X Y Z Cfragem de Produto: Envolve tanto permutações como substtuções para produzr um crptograma. Uma cfragem de produto consste na aplcação sucessva de uma seqüênca de n funções de cfragem f 1, f 2,...,f n, onde cada f pode ser uma cfragem de permutação P, ou uma cfragem de substtução S. Ex.: Cfragem de produto aplcado a um conjunto de 12 bts, dvddos em 4 blocos de 3 bts, cada um submetdo a um processo de substtução. Os 12 bts resultantes são embaralhados por um bloco de permutação, sendo entregues novamente para uma fase de substtução. Cada par de caracteres m 1 m 2 é cfrado de acordo com as seguntes regras: a) Se m 1 e m 2 estverem em lnhas e colunas dferentes, então c 1 e c 2 formam um retângulo em conjunto com m 1 e m 2. Além dsso, m 1 está na mesma lnha de c 1. b) Se m 1 e m 2 estverem na mesma lnha, então os caracteres cfrados c 1 e c 2 são justamente os caracteres à dreta de m 1 e m 2, onde a prmera coluna é consderada à dreta da últma. c) Se m 1 e m 2 estverem na mesma coluna, então os caracteres cfrados c 1 e c 2 são justamente os caracteres abaxo de m 1 e m 2, onde a prmera lnha é consderada estar abaxo da últma. d) Se m 1 = m 2, a letra X é nserda no texto em claro para evtar este problema. e) Se o texto em claro tver um número ímpar de caracteres, a letra X é adconada ao fnal do texto. M = "SOSSEGO" SO-SS-EG-O SO-SX-SE-GO C = "RBRZHLQG" Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 13 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 14

8 Padrão DES - "Data Encrpton Standard" A fgura abaxo lustra o as funções do sstema DES em forma de dagrama de blocos: Crado em 1971 pelo Natonal Bureau of Standards dos EUA. Converte blocos de texto em claro de 64 bts em crptogramas também de 64 bts. Chave únca (cfragem/decfragem) de 56 bts + 8 bts de pardade. Após uma permutação ncal, são realzadas 16 terações de uma função que combna substtução e transposção (cfragem de produto). O crptograma é obtdo após uma últma permutação que é o nverso da permutação ncal. Entrada 64 bts Permutação Incal 16 terações Cfragem 64 bts 48 bts Gerencamento das Chaves 16 seleções 64 bts Chave Pré-saída 64 bts Permutação Inversa Round 64 bts Saída Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 15 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 16

9 Processo de Cfragem DES Incalmente é realzada uma permutação ncal (IP) sobre um bloco de 64 bts de entrada T, fornecendo T 0 = IP(T). A prmera teração consste em realzar a segunte operação de substtução: L = R 1 0 R = L f ( R, K ) Posção orgnal dos bts Permutação Incal IP Nova posção dos bts onde o símbolo representa a operação soma módulo-2 (ou-exclusvo) bt a bt, e K 1 é uma chave de 48 bts escolhda a partr da chave geral de 56 bts As demas 15 terações seguem a mesma flosofa da prmera, sto é L = R 1 R = L f ( R, K ) 1 1 onde O bloco permutado T 0 é dvddo em 2 blocos de 32 bts: L 0 e R 0, onde L R 0 0 = t = t t t t t t 16 8 t 15 7 A função f(r -1, K ) denota a relação funconal composta por uma tabela de expansão de 32 para 48 bts, E-table, uma caxa de substtução, S-box, e uma tabela de permutação, P-table. L bts 32 bts R bts E 48 bts + 48 bts S 32 bts P 32 bts + 32 bts L R K 48 bts Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 17 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 18

10 O bloco R -1 é permutado e expanddo de 32 para 48 bts, gerando o bloco E(R -1 ), conforme a tabela a segur. Note que alguns bts se repetem. Posção fnal dos bts E-Table Posção ncal dos bts Em seguda é feta a adção módulo-2 entre E(R -1 ) e K, e o resultado é organzado em 8 blocos de 6 bts: ( ) E R K = B B B Cada bloco B j de 6 bts é transformado em um bloco de 4 bts, usando a função de substtução S j. Consdere o bloco B 1 = b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 usado para seleconar S 1. O ntero correspondente aos bts b 1 e b 6 seleconam uma lnha na tabela, enquanto que o ntero correspondentes aos bts b 2, b 3, b 4, e b 5 seleconam uma coluna na tabela. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 19 Por exemplo, se B 1 = , então S 1 retornará o valor na lnha 3 e coluna 8, que neste exemplo é o ntero 5, que é representado pela seqüênca bnára Assm, b1 b6 j j = j S ( B ) S ( b b b b ) S S S S S S S S Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 20

11 A segur os 8 blocos de 4 bts são justapostos, resultando em um únco bloco de 32 bts que é, então, permutado segundo a P-Table. Posção orgnal dos bts P-Table Nova posção dos bts Fnalmente, o resultado é somado à L -1 para se obter R. Todo o procedmento anteror de permutação e substtução é repetdo por 16 vezes, e ao fnal, após a obtenção de L 16 R 16, que totalza 64 bts, é realzada a permutação fnal IP -1, que é justamente a nversa de IP. Posção orgnal dos bts Permutação Fnal IP -1 Nova posção dos bts Seleção de Chaves Intermedáras As chaves ntermedáras K de 48 bts são dervadas da chave mestra K de 64 bts, que na realdade dspõe de 56 bts útes, mas 8 bts de pardade nas posções 8, 16,, 64. O bloco Permuted choce-1, PC-1, realza uma verfcação dos bts de pardade, e caso haja confrmação, estes são elmnados, restando os 56 bts efetvos da chave mestra. Então, o bloco de 56 bts sofre o processo de permutação PC-1, dvdndo-o em dos blocos de 28 bts, C 0 e D 0, segundo a tabela: Posção orgnal dos bts PC-1 Nova posção dos bts da chave Bloco Esquerdo C Bloco Dreto D Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 21 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 22

12 Os blocos Left-shft realzam um número de deslocamentos à esquerda, dependendo do índce da chave parcal a ser obtda, nos blocos C -1 e D -1. Como resultado são obtdos os novos blocos C e D. Número da Número de teração deslocamentos à esquerda Cada bloco justaposto C D, é permutado através da tabela PC-2, fornecendo, assm, cada uma das chaves parcas K. Posção orgnal dos bts PC-2 Nova posção dos bts das chaves Resumo do Algortmo DES 1. Especfque 56 bts, que adconados a 8 bts de pardade formam a chave mestra K. 2. Construa a partr de K as 16 chaves ntermedáras: K 1, K 2,, K Receba um bloco de 64 bts a ser cfrado (decfrado). 4. Usando a permutação ncal IP, obtenha os blocos L 0 e R Faça = Para 1 16, expanda R -1 para 48 bts através da seleção E. 7. Faça B = E(R -1 ) K. (Para a decfragem use K 17- ) 8. Dvda B em blocos de 6 bts e use as funções S, de modo a gerar um novo bloco A de 32 bts. 9. Faça a permutação P(A). 10. Obtenha R = P(A) L Defna L = R Faça = + 1. Se 16, volte ao passo 6. Senão, contnue. 13. Use a nversa da permutação ncal IP -1, gerando o crptograma C de 64 bts. 14. Enquanto houver dados a serem cfrados (decfrados), retorne ao passo 3. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 23 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 24

13 Crptografa Seqüencal Concetualmente, a crptografa seqüencal deal consttu-se em um cfrador de Vernam bnáro, onde cada bt de entrada m é modfcado através de uma operação de adção módulo-2, com uma sequênca aleatóra de comprmento nfnto k. Ex: Para o regstro de deslocamento lnear abaxo, qual é a seqüênca de saída resultante, consderando o estado ncal (x 4, x 3, x 2, x 1 ) = ( )? x 4 x 3 x 2 x 1 + k m + c Solução: k A sequênca de estados de saída é obtda a partr da recorrênca: No entanto, a geração de seqüêncas verdaderamente aleatóras, sncronzadas no transmssor e receptor, não é fácl de se mplementar na prátca. Uma solução alternatva é a utlzação de seqüêncas pseudo-aleatóras (PN). Geradores PN são faclmente construídos através de regstros de deslocamento bnáros. Um gerador de 2 n - 1 bts, requer n estágos (flp-flops). Se uma seqüênca PN é mplementada através de um regstro de deslocamento de 50 estágos, comandado a uma taxa de clock de 1 MHz, a seqüênca resultante se repetrá a cada mcrosegundos, ou seja, a cada 35 anos. Com o advento dos crcutos ntegrados LSI, tornou-se possível usar 100 estágos ou mas, o que faz com que a seqüênca se repta apenas a cada anos! Logo, x ( ) = x ( 1) k = 1, 2, 3 k k +1 x ( ) = x ( 1) x ( 1) x 4 x 3 x 2 x 1 = k Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 25 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 26

14 Segurança do Cfrador Seqüencal PN O esquema crptográfco que usa um regstro de deslocamento lnear para gerar a seqüênca chave é bastante vulnerável a ataques. Um crptoanalsta precsa de apenas 2n bts de texto em claro e, do texto cfrado correspondente, para determnar as conexões de realmentação, o estado ncal do regstro, e toda a seqüenca do códgo. Em geral, 2n é um número muto pequeno em relação à 2 n -1. Para o nosso exemplo anteror, magne que um crptoanalsta não sabe nada sobre as conexões nternas do regstro de deslocamento, porém obtém 2n =8 bts da mensagem cfrada e o texto em claro correspondente, onde o bt mas a esquerda é o mas recente: M = C = O crptoanalsta soma as duas seqüêncas, módulo-2, e obtém um segmento da seqüênca chave: K = Devdo a estrutura lnear do regstro de deslocamento, sabemos que g4x4 g3x3 g2x2 g1x1 = x5 onde x 5 é o bt realmentado para a entrada, e g (= 0 ou 1) defne se a -ésma conexão de realmentação exste. K = Então, podemos montar o sstema de equações, relaconado aos quatro nstantes mostrados na fgura acma: g g g g g g 1 g g = 1 = 0 = 1 g 1 = 0 cuja solução é g 1 = 1, g 2 = 1, g 3 = 0 e g 4 = 0, que corresponde exatamente as conexões do regstro de deslocamento do nosso exemplo. t 4 t 3 t 2 t 1 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 27 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 28

15 Para um sstema maor o crptoanalsta pode montar o sstema de equações matrcalmente: e resolvê-lo por x = Xg g = X A nversão da matrz X requer, no máxmo, n 3 operações e é faclmente realzada por um computador para qualquer valor razoável de n. Por exemplo, para n = 100, n 3 = 10 6, e supondo um tempo de 1 µs por operação, o computador levara apenas 1 segundo para quebrar o códgo! 1 x Sstemas Crptográfcos Assmétrcos Prmera proposta de Sstema Crptográfco Assmétrco ou de Chave Públca fo feta em 1976 por Dffe e Hellman. Sstemas Assmétrcos 2 chaves dferentes: Chave de Cfragem Chave de Decfragem A obtenção de uma chave a partr da outra é um problema dfícl. A vulnerabldade do sstema é causada pela lneardade do sstema. A utlzação de realmentações não lneares no regstro de deslocamento torna a tarefa do crptoanalsta muto mas dfícl de ser realzada. C = K B {M} Cfragem e Decfragem Chave Públca K B k B Chave Secreta M = k B {C} Termnal A -1 K = k B B Termnal B Processo de Cfragem: Processo de Decfragem: C = K { M} B { } { } M = k C = k K [ M] B B B Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 29 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 30

16 Característcas necessáras para um sstema crptográfco assmétrco: Autentcação 1. O cálculo do par de chaves deve ser smples. Chave Secreta ka Chave Públca K A C = k A {M} M = k A {C} 2. O transmssor A deve realzar a operação de cfragem faclmente, sto é, C = K B {M}. Termnal A -1 K = k A A Termnal B 3. O receptor B deve realzar a operação de decfragem faclmente, sto é, M = k B {C}. 4. A obtenção da chave secreta k B a partr da chave públca K B deve ser um problema de dfícl solução. 5. Apesar do conhecmento do par (K B, C), anda assm a decodfcação da mensagem M deve ser muto dfícl. Processo de Autentcação: C = k { M} A { } { } M = K C = K k [ M] A A A Se a mensagem M decfrada pelo termnal B é "coerente", sgnfca que esta só pode ter sdo gerada pelo termnal A, detentor da chave secreta. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 31 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 32

17 Fundamentos Matemátcos Tpos de Complexdade dos Problemas Soluconáves Teora da Complexdade Polnomal (P) Algortmo: Problemas: É uma seqüênca fnta de passos que resolvem algum problema. Exstem problemas soluconáves e nsolúves. Problema Soluconável Algortmo A função de complexdade é um polnômo de n: t( n) = a n b Não Polnomal (NP) A função de complexdade não é um polnômo de n: Complexdade: É medda pelo número de operações báscas necessáras no algortmo para se obter a solução do problema. t( n) = a b n Complexdade NP >> Complexdade P para um dado n. Problemas Soluconáves: Realzáves e Não Realzáves. Os problemas não realzáves são aqueles que demandam recursos e/ou tempo de solução abusvamente grandes para se obter a solução. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 33 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 34

18 Problemas Matemátcos com Interesse em Crptografa Multplcação Dados 2 números nteros. Qual o valor de seu produto N? Fatoração Complexdade P. Dado um número ntero N. Descobrr os seus fatores. Números Prmos Introdução à Teora dos Números p > 1 Z é prmo se e somente se 1 e p são os seus úncos dvsores. Os dez prmeros números prmos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. A quantdade de números prmos é nfnta e a freqüênca de ocorrênca ca à medda que n. Complexdade NP. MDC (Máxmo Dvsor Comum) O melhor algortmo apresenta complexdade obtda por [ [ ]] t( n) = exp ln( n) ln ln( n) Algortmos báscos para a fatoração de nteros: Curva Elíptca de Lenstra Classes de Grupos de Schnorr-Lenstra Seve Lnear de Schroeppel Seve Quadrátco de Pomerance Seve da Lsta de Resíduos de Coppersmth, Odlyzko e Schroeppel Fração Contínua de Morrson Brlhart Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 35 O maor dvsor em comum de dos nteros a e b, mdc(a,b), vale d, onde d é o maor ntero que satsfaz: d a e d b. Se mdc(a,b) = 1 a e b são prmos entre s. MMC (Mínmo Múltplo Comum) O menor múltplo em comum de dos nteros a e b, mmc(a,b), vale m, onde m é o menor ntero que satsfaz: a m e b m. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 36

19 Teorema Fundamental da Teora dos Números Qualquer ntero pode ser fatorado na forma p e Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 37 e N e f Sejam a = p e b = p, então mdc( a, b) = mmc( a, b) = mn( e, f ) max( e, f ) mdc( a, b) mmc( a, b) = a b Ex.: Calcule o mdc e o mmc de 21 e 14. Solução: Fatorando os dos nteros, temos Logo, p p a = 21 = b = 14 = mdc( 21, 14) = = mmc( 21, 14) = = 42 mdc( 21, 14) mmc( 21, 14) = 294 = a b Algortmo de Eucldes Sejam a e b N, b a. Temos que então, Como d a e d b d a e d (b - a) mdc( a, b) = mdc( a, b a). b = q a + r 0 r a, onde q é o quocente da dvsão de b por a, e r é o resto. Logo, mdc( a, b) = mdc( a, r) Ex.: Calcule o mdc(220, 33) usando o algortmo de Eucldes. Solução: Aplcamos o algortmo de Eucldes sucessvamente, até encontrarmos o resto da dvsão gual a zero: 220 = = = 2 mdc( 220, 33) = Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 38

20 Artmétca Modular Dz-se que a é congruente à b módulo n, sto é a b mod n se e somente se, para algum k ntero ou seja, Ex.: e, portanto a = b + k n n ( a b) 29 = mod 9 9 (29-2). Se a b mod n, b é denomnado resíduo de a módulo n. O conjunto de resíduos módulo n formam um anel comutatvo para o qual as propredades assocatva, comutatva e dstrbutva são váldas: ( a ± b) mod n ( a mod n ± b mod n) mod n ( a b) mod n ( a mod n b mod n) mod n Ex.: O número é dvsível por 9? Solução: Note que a soma dos dígtos do número é gual a 45, cuja soma também é dvsível por 9. A explcação da Regra dos Noves-Fora resde no fato que representando um número por seus dígtos decmas então, (a m-1 a m-2... a 0 ) mod 9 m 1 m 2 ( m 1 m 2 1 0) a = a 10 + a a 10 + a mod 9. Através das propredades, obtemos que m 1 [( m 1 mod 9) ( 10 mod 9) ( 1 mod 9) ( 10 mod 9) ( 0 mod 9) ] a a + + a + a Notando que então, 10 n mod 9 1, ( ) a a + a + + a + a mod. m 1 m Desta forma, verfca-se que qualquer número cuja soma dos dígtos é um múltplo de 9 é, também, dvsível por 9. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 39 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 40

21 Exercíco: Cre uma regra para saber se o número é dvsível por 11. Exponencas As exponencas são funções relatvamente fáces de serem calculadas. Ex.: 12 2 ( ) 6 3 mod 7 3 mod 7 mod 7 2 mod 7 1 mod 7 6 Logartmos Ao contráro das exponencas, os logartmos são problemas dfíces de serem resolvdos. Ex.: Encontre x para as expressões modulares. a) 3 x 4 mod 13. Como 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 2 =9, 3 3 =27; não exste solução. b) 2 x 3 mod 13 Como 2 0 = 1, 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16 4; portanto x = 4. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 41 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 42

22 Cálculo de Inversas Ao contráro da artmétca comum dos números nteros, a artmétca modular às vezes tem nversa, sto é ( a x) mod n 1, a e x { 0, 1,, n 1} Se mdc(a,n) = 1, exste um elemento a -1, tal que a a 1 1 mod n Prova: O conjunto de resíduos de (a) mod n é uma permutação de {0, 1,, n-1}, de modo que sempre exste para um dado a, um elemento a -1 tal que aa -1 mod n. Ex.: (3x) mod 10 1 Por tentatvas podemos obter que x = 7. Se a e n são prmos entre s, sto é, mdc(a, n) = 1, então ( a ) mod n ( a j) mod n, 0 j < n Assm, neste caso, (a.) mod n é uma permutação de {0,1,,n-1}. Ex.: É fácl constatar que (3) mod 7 = {0, 3, 6, 2, 5, 1, 4} para = 0,,6. Quando o mdc(a, n) 1, sto não é verdadero: A função de Euler, φ(n), é defnda como o número de elementos do conjunto completo de resíduos que é prmo de n. Ao conjunto destes elementos denomnamos de conjunto reduzdo de resíduos. Ex.: Determne o conjunto reduzdo de resíduos e o valor da função de Euler para n = 10. Solução: Para n = 10, dos elementos {0, 1,,9}, somente os elementos {1, 3, 7, 9} são prmos de 10, consttundo, assm, o conjunto reduzdo de resíduos e, neste caso, φ(10) = 4. (2) mod 6 = {0, 2, 4, 0, 2, 4} para = 0,,5. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 43 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 44

23 Se n é prmo, então φ(n) = n - 1. Ex.: Para n = 5, dos elementos {0,1,,4}, todos são prmos de 5, exceto o 0. Logo, φ(5) = 4. Algortmos para se Obter Inversas 1. Se mdc(a, n) 1, procure em todo o conjunto dos resíduos qual o elemento é o nverso, se é que ele exste. Teorema Generalzado de Euler: Se mdc(a, n) = 1, então n a φ( ) mod n 1 2. Se φ(n) é conhecdo e mdc(a, n) = 1, então através do teorema de Euler: φ( n) φ( n) 1 a mod n 1 a a mod n 1 e, obtemos o elemento nverso através da congruênca 1 φ( n) 1 a a mod n Teorema de Fermat: Se p é prmo e mdc(a, p) = 1, então 3. Se φ(n) é desconhecdo podemos usar uma extensão do algortmo de Eucldes. a p 1 mod p 1 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 45 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 46

24 Ex.: Calcule x, tal que 5x 1 mod 23 Solução: a) Através do teorema de Euler: Exercíco: Calcule x, tal que 3x 1 mod 17, usando o teorema de Euler. Refaça o problema através do algortmo de Eucldes. 1 φ( 23) 1 x = 5 5 mod 23 φ( 23) = 22 (23 e prmo) ( ) ( ) x 5 mod 23 5 mod 23 5 mod 23 mod 23 3 x 17 mod mod 23 Logo, x = 14. b) Através do algortmo de Eucldes: 3 = = = 5 1( ) = = = ( ) ( ) = ( 9) 3 Logo, 5 ( 9) 1 mod 23 x = 9 Mas 9 ( ) mod 23 = 14 mod 23 E, assm x = 14. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 47 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 48

25 Algortmo para Resolver Equações Para se obter x, tal que ax b mod n, prmero resolva a nversa ay 1 mod n, e então, encontre Ex.: 5x 9 mod 23 Resolvemos prmero x (yb) mod n. 5y 1 mod 23 y = 14 (exemplo anteror) Em seguda computamos x (14 9) mod 23 = 126 mod mod 23 E, assm, obtemos x = 11. Se mdc(a,n) = g, e g b, então a equação ax b mod n tem g soluções: bx x g o n t n n g + mod g mod para t = 0,, g-1 onde x o é solução de a g x n 1 mod g Caso contráro não há solução. Ex.: Resolva a equação 9x 6 mod 12. Observamos que g = mdc(9, 12) = 3 e que 3 6. Portanto exstem 3 soluções. Precsamos resolver prmero que resulta em x o = 3. Assm, as 3 soluções são: 3x o 1 mod 4 sto é, x = 2, 6 e 10. x = ( 6 mod 4) + 4 t, t = 0, 1, 2 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 49 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 50

26 Sejam p 1, p 2,, p r prmos dos a dos. Defna n = p 1 p 2 p r. Então, f ( x) mod n 0 se e somente se f ( x) mod p 0 = 1,, r. Teorema Chnês do Resto: Sejam p 1, p 2,, p r prmos dos a dos. Defna n = p 1 p 2 p r. Então o sstema de congruêncas x x mod p = 1,, r tem uma em comum no ntervalo {0, 1,, n - 1}, e exste um y, tal que Portanto, neste caso, para resolver ax b mod n é mas fácl resolver o sstema de congruêncas: ax b mod p = 1,, r. e n p y 1 mod p n p y p j p n 0 mod j e j p De modo que r n x = p y x = 1 mod n satsfaz as congruêncas, pos n x = p y x x mod p Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 51 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 52

27 Ex.: Obtenha 7-1 mod 65, ou seja, resolva 7x 1 mod 65. Solução: Observamos que 65 possu dos fatores (65 = 13 5) e, assm, temos que resolver: 7x 1 mod 5 x = 3 7x 1 mod 13 x = 2 Usando o teorema chnês do resto para descobrr qual x satsfaz as duas equações abaxo: x = x 3 mod 5 E obtendo em seguda y 1 e y 2 : 1 x = x 2 mod O Problema da Mochla (Knapsack) O problema da mochla é um problema clássco: Uma mochla é preenchda com város objetos de pesos dferentes e conhecdos. Dado o peso líqudo total da mochla, determnar quas os objetos estão dentro da mochla sem abrí-la. Exercíco: Dados 6 objetos com pesos {1, 2, 5, 10, 22, 45} [Kg] e sabendo que o peso total da mochla é de 37 Kg. Quas os objetos que estão dentro da mochla? 65 y1 = 13y1 1 mod 5 y1 = y2 = 5y2 1 mod 13 y2 = Fnalmente, Portanto, x = x1y1 + x2y2 = = 28 mod mod 65 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 53 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 54

28 O problema anteror é relatvamente fácl de resolver por dos motvos: 1) O número de ítens é pequeno. 2) A soma dos pesos dos objetos mas leves é sempre menor que o próxmo objeto mas pesado (vetor superaumentado). A solução do problema da mochla, quando a condção 2 acma é satsfeta, pode ser sstematzada. Defnmos um vetor de pesos a = a, a,, e, um vetor de dados bnáro 1 2 x = x, x,, 1 2 O peso da mochla é a soma de um subconjunto de pesos defndo pela presença ou ausênca dos dversos ítens, sto é a n x n Ex.: Dados a = 171, 197, 459, 1191, 2410, 4517 e S = 3798, encontre x. Solução: Aplcando a regra anteror, obtemos S = 3798 < a = 4517 x = S a x = = 3798 > a = 2410 x = ( ) = 1388 > a = 1191 x = ( ) = 197 < a = 459 x = ( ) = 197 = a = 197 x = ( ) = 0 < a = 171 x = 0 Logo, o vetor de dados obtdo é x = [ ] n S = a x = ax onde x = 0, 1 = 1 A solução do problema é obtda, começando com x n = 1 se S a n, e contnuando usando a segunte regra: x 1 = 0 se n S x a a caso contraro j j j= + 1 onde = n - 1, n - 2,,1. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 55 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 56

29 Sstemas de Cfragem de Chave Públca Desvantagem dos Sstemas Smétrcos: Número grande de chaves a serem mantdas e admnstradas. Os sstemas smétrcos, como o DES, são satsfatóros quando temos comuncação ponto a ponto. Uma rede com N usuáros requer N ( N 1) 2 pares de chaves dferentes. Cada usuáro deve armazenar N - 1 chaves de cfragem / decfragem correspondentes a todos os demas usuáros. Problema de segurança no sglo das chaves: - a partr de certo usuáro, sera possível obter as chaves de acesso aos demas usuáros. Vantagem dos Sstemas Assmétrcos: Gerênca das chaves smplfcada. Os sstemas crptográfcos de chave públca se caracterzam por duas chaves dferentes: uma usada para a cfragem e outra para a decfragem. A chave de cfragem é tornada públca através de um arquvo de acesso rrestrto na rede de comuncação. Cada usuáro mantém apenas a sua chave de decfragem secreta. A obtenção da chave de decfragem a partr da de cfragem é dfícl. O número necessáro de chaves a ser armazenado no arquvo públco (catálogo) é gual ao número N de usuáros da rede, muto menor do que no sstema smétrco. C = K B {M} k B Chave Secreta M = k B {C} Termnal A Termnal B Catálogo Usuáro Chave Públca A K A B K B N K N Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 57 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 58

30 Esquema Crptográfco RSA Crado por Rvest, Shamr e Adleman. Utlza dos problemas de dfícl resolução: - fatoração e cálculo de logartmos em corpos fntos. As mensagens, os crptogramas e as chaves pertencem ao conjunto de nteros módulo N, onde N = pq com p e q prmos. Geração do Par de Chaves RSA Substtundo a expressão da mensagem cfrada na expressão de decfragem obtemos ( ) K C = M mod N k M C mod N K k kk 1 M M mod N M 1 mod N Cfragem: Decfragem: C = K { M} M mod N X K X M = k { C} C mod N X k X Se escolhermos o par de chaves satsfazendo o teorema de Fermat, então, as chaves podem ser obtdas através de kk 1 mod φ( N ) para N formado pelo produto de dos números prmos p e q, tal que φ( N ) = ( p 1)( q 1 ). onde K X é a chave públca do usuáro X, e k X é a chave secreta do usuáro X. Também, pode-se mostrar que o par de chaves pode ser obtdo, mas faclmente, computando-se onde kk 1 mod γ( N ) γ( N ) = mmc( p 1, q 1) pos, esta equação possu um módulo menor que a anteror. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 59 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 60

31 Ex.: Obtenha um par de chaves para o esquema de cfragem RSA, com p = 11 e q = 7. Solução: Observando que p e q são prmos e N = pq =77, temos que γ( 77) = mmc( 11 1, 7 1) = mmc( 10, 6) = 30 Escolhendo, aleatoramente, a chave públca como K = 17, obtemos a chave secreta resolvendo a equação 17k 1 mod 30 cuja solução pode ser obtda, por exemplo, pelo método de Euler: φ( 30) 1 k = 17 mod 30 como 30 consste no produto dos fatores prmos 2, 3 e 5, temos que Logo, φ( 30) = ( 2 1)( 3 1)(5 1) = 8 k = 17 7 mod 30 k = 23 Para o esquema RSA, o par N = 77, K = 17 será tornado públco, enquanto que k = 23 será mantdo em sglo. Ex.: Consdere que o termnal A deseja envar uma mensagem para o termnal B, cujo prmero caractere é M 1 = 33, e a chave públca de B é aquela escolhda no exemplo anteror. Qual será o prmero crptograma envado por A? Mostre que o termnal B recupera a mensagem corretamente. Solução: O termnal para cfrar o prmero caractere da mensagem realzará a operação: C M K = = mod Esta exponencal é relatvamente fácl de se calcular: 3317 mod 77 [( 334 ) 4 33] mod 77 [( 444 mod 77) 33] mod 77 ( 44 33) mod mod 77 Logo, o crptograma envado é C 1 = 66. De forma smlar, o termnal B resolve a exponencal com auxílo da chave secreta recuperando M 1 = 33. M 23 1 = 66 mod 77 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 61 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 62

32 Exercíco: Consdere um esquema RSA com p = 5 e q = 7. a) Determne a chave públca K consderando que a chave secreta k = 11 fo escolhda prevamente. b) Calcule os crptogramas correspondentes à mensagem M = {17, 2, 6}, e mostre como o destnatáro é capaz de recuperá-la. Segurança do Esquema RSA Ataques Convenconas: 1. Fatorar N. Após ter fatorado N, calcular γ(n) e a chave secreta k. 2. Conhecendo-se o par (K, C), determnar a mensagem M através de logartmo. Os dos problemas têm complexdade NP. Ataque Iteratvo (Smmon e Norrs): Conhecendo-se a trpla (N, K, C) é possível gerar a seqüênca: onde C 0 = C. C = C mod N =, K 1 1 Se exstr um elemento C j, j 0 tal que C j = C, então M = C j-1. Se p - 1 e q - 1 contverem grandes prmos como fatores e N for um número grande, a probabldade de quebra do códgo é pequena. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 63 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 64

33 Ex.: Faça um ataque teratvo ao esquema RSA com N = 77, K = 17 e C = 66. Como C C C 1 K = C = mod 77 K = C = mod 77 = C M = C1 = 33 Crptogramas Iguas às Mensagens No sstema RSA, algumas vezes o crptograma é gual à mensagem. Ex: Compute o crptograma correspondente a M = 2, para K = 31 e N = 77. C = 2 31 mod 77 = 2 De fato, para K = 31, qualquer crptograma resulta gual à mensagem, caracterzando um caso extremo. Note também que os caracteres 0 e 1 sempre geram crptogramas dêntcos às mensagens para qualquer N. Para K = 17 e N = 77, exstem nove crptogramas guas às própras mensagens. Isto é explcado porque, neste caso: K C = M M mod N e, como N = pq, podemos reescrever: K M = M mod p K M = M mod q Para K ímpar, ambas congruêncas apresentam pelo menos 3 soluções: {0, 1, -1}. Assm, exstem 9 combnações que satsfazem smultaneamente às duas congruêncas anterores. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 65 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 66

34 Ex.: Descubra os 9 crptogramas dêntcos às mensagens, que ocorrem para qualquer K ímpar, quando N = 7 11 = 77. Solução: K A prmera congruênca, M M mod 7, tem como soluções {0, 1, 6}. A segunda, M K M mod 11, fornece {0, 1, 10}. O conjunto das 9 mensagens que não são alteradas é obtdo através do teorema chnês do resto: [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] [ mod, mod ] 0 = = = = = = = = = Número de Crptogramas Iguas às Mensagens: Para o esquema RSA, para N = pq, e uma dada chave públca K, exstrão σ crptogramas guas às mensagens, obtdo por: [ 1 mdc( K 1, p 1) ][ 1 mdc( K 1, q 1) ] σ = + + Como decorrênca da expressão acma, deduzmos que se a chave públca K for escolhda da forma K = γ( N ) + 1 = mmc( p 1, q 1) + 1 então todos os crptogramas gerados serão guas às mensagens, pos, neste caso e, portanto, teremos ( p 1) ( K 1) e ( q 1) ( K 1) σ = ( 1+ q 1)( 1+ p 1) = N. Algumas conclusões podem ser tradas para que não exstam mutos crptogramas dêntcos às suas mensagens: Se K = 2, ou se K - 1 for prmo de p -1 e de q - 1, sto é, mdc(k - 1, p - 1) = mdc(k - 1, q - 1) = 1, então exstrão 4 mensagens guas aos seus crptogramas. Se K - 1 tver apenas o 2 em comum com p - 1 e q - 1, ou seja, mdc(k - 1, p - 1) = mdc(k - 1, q - 1) = 2, então teremos 9 mensagens dêntcas aos crptogramas. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 67 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 68

35 Conclusões sobre o Sstema RSA Se p - 1 e q - 1 tverem grandes fatores prmos em sua composção, evta-se o problema de exstrem mutas mensagens guas aos crptogramas. Se usarmos para p e q números com comprmento superor a 100 casas decmas, levando-se em conta o poder computaconal atual, o sstema crptográfco RSA será bastante seguro. A complexdade de quebra do sstema RSA, equvale à dos problemas da fatoração e do logartmo em corpos fntos: t( N ) = exp ln N ln( ln N) Uma estmatva para o tempo necessáro para a quebra do RSA em função do número de casas decmas de N e supondo que cada operação demore 0,1µs, é fornecda abaxo: log 10 N t(n) tempo 50 1, ,7 mn. 75 9, ,4 das 100 2, ,4 anos 129 7, anos 200 1, , anos 300 1, , anos 500 1, , anos Não se deve desprezar a velocdade com que a tecnologa dos computadores avança! Em 1977 Rvest anuncou na revsta Scentfc Amercan a cração de um número RSA-129, que na época levara 40 quatrlhões de anos para ser fatorado. Em 1994 Lenstra anuncou a quebra do RSA-129. Para consegur esta proeza, ele recrutou 600 voluntáros pela Internet para ajudá-lo na empretada. Abaxo apresentamos o número RSA-129 e seus dos fatores: = Apesar da operação de exponencação consttur-se em um problema de complexdade polnomal, anda assm o tempo gasto na execução de exponencas em torno de 200 casas decmas lmta a taxa de bts, atualmente, na ordem de dezenas de klobts por segundo. Em mutos casos este patamar é nsufcente para atender as demandas emergentes dos novos servços de comuncação. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 69 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 70

36 Sstema Msto RSA / DES O padrão DES é capaz de cfrar uma seqüênca de bts a uma taxa da ordem de dezenas ou mesmo centenas de megabts por segundo, pos realza operações elementares com bts. No entanto, a gerênca das chaves é complexa e nsegura, devdo ao sstema ser smétrco, requerendo que se defna uma chave de cfragem/decfragem por par de usuáros. Já no sstema RSA as operações de cfragem e decfragem são relatvamente lentas, porém a gerênca das chaves é smplfcada. Uma solução que tem sdo usada é um sstema crptográfco msto: O termnal A querendo estabelecer comuncação com o termnal B, requer o envo de uma chave DES. Uma chave DES é sorteada por B e envada para o termnal A, crptografada com auxílo da chave públca RSA de A. O termnal A decfra a chave DES através de sua chave secreta RSA, sendo A o únco elemento na rede capaz de fazê-lo. O termnal A nca a transferênca de dados, crptografandoos com a chave DES recebda. Por sua vez, o termnal B realza a decfragem através da mesma chave. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 71 Esquema Crptográfco DH Sstema crptográfco crado por Dffe e Hellman em 1976, sendo o prmero esquema de chave públca proposto. Utlza somente o problema do logartmo em corpos fntos: Utlza um elemento prmtvo g pertencente a um corpo de Galos GF(N), onde N é um número prmo. Por elemento prmtvo se entende o elemento que é capaz de gerar todos os N elementos de GF(N). O elemento prmtvo g e o prmo N são tornados públcos. Escolhe-se duas chaves secretas k A e k B, e então calculamse suas chaves parcas que são tornadas públcas: y = A g mod N A k y = B g mod N B k Os usuáros A e B calculam uma chave secreta K em comum: k B ( ) k A ( ) A K = ( y ) = g mod N B k B K = ( y ) = g mod N A k Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 72 k A k B

37 Cfragem: O processo de cfragem é dêntco ao do RSA. K C = M mod N Decfragem: A chave de decfragem k é dstnta da chave secreta k X do usuáro receptor X. Ela é calculada de forma a ser complementar à chave de cfragem K, através da congruênca: kk 1 mod ( N 1) Para decfrar os crptogramas o receptor calcula, usando a chave de decfragem: k M = C mod N Observa-se que no sstema DH é fácl se obter a chave de cfragem K a partr da decfragem k, e vce-versa. Nem por sso o sstema é smétrco, do ponto de vsta da chave secreta k X, nem a segurança do sstema fca comprometda. Uma vantagem deste sstema é que além da cfragem das mensagens, o esquema DH garante a autentcdade da orgem das mesmas. Ex.: Consdere o sstema DH com o número prmo N = 47 e um elemento prmtvo g = 23. Suponha que os usuáros A e B escolham suas chaves secretas k A = 12 e k B = 33. Qual será o crptograma envado de A para B correspondente à mensagem M = 16. Como B consegue decfrar o crptograma? Solução: Os usuáros A e B obtêm as suas chaves parcas, que são tornadas públcas: y y A B k A = g = 23 mod 47 = 27 k B = g = 23 mod 47 = 33 Em seguda, A e B calculam a chave secreta de cfragem: A B K = ( y ) = ( y ) 33 mod mod 47 = 25 B k A k e, também, a chave secreta de decfragem que é a nversa de K: 25k 1 mod 46 k = 35 Para crptografar a mensagem M = 16, o termnal A utlza a chave de cfragem: C = M K mod 47 = 21 O termnal B restaura a mensagem recebda através da chave de decfragem: M = C k mod 47 = 16 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 73 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 74

38 Exercíco: Consdere o sstema DH do exemplo anteror, sto é, N = 47 e g = 23. O objetvo é envar e receber uma mensagem secreta de um companhero. Escolha sua chave secreta k X < N e calcule a chave parcal y X. Em seguda dvulgue a sua chave parcal ao seu colega e vce-versa. Agora, cada um em separado deve calcular as chaves de cfragem K e decfragem k. Escolha uma mensagem M < N e gere o crptograma com auxílo da chave de cfragem e nforme ao seu companhero. Também, receba o crptograma do colega e decfre-o. Ao fnal, compare os resultados. Segurança do Esquema Crptográfco DH Para descobrr a chave secreta do usuáro A, k A, um crptoanalsta dspõe de y A, g e N. Ele deve obter a chave resolvendo y = g mod N A k A que é um problema de logartmo em corpos fntos, que tem a mesma complexdade do problema da fatoração. Portanto, supondo que cada operação gaste 0,1 µs de processamento, teremos a mesma estmatva para o tempo de quebra do sstema DH em função do número de dígtos de N, como mostrado anterormente na tabela para o esquema RSA. Para o mesmo número de dígtos adotado, o sstema DH tem a desvantagem de ser um pouco mas complexo que o RSA, pos é precso calcular um par de chaves cada vez que se comunca com um usuáro dferente. No entanto, o sstema DH apresenta a vantagem de embutr a autentcação da orgem. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 75 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 76

39 Esquema Crptográfco MH Este sstema crptográfco fo crado por Merkle e Hellman em 1978, utlza o problema da mochla com vetores não superaumentados e, por sso, é dfícl de quebrar. A mensagem de n bts a ser cfrada corresponde ao vetor de dados bnáro do problema da mochla: M = ( m1, m2,, m n ) Cada usuáro cra um vetor W = (w 1, w 2,,w n ) superaumentado, que cra as condções para que tenhamos um problema da mochla de solução trval, sto é w > 1 w Além dsso, escolhe um número prmo q maor que o peso máxmo da mochla, e também um multplcador r entre 1 e q. Assm n q > w e 1 < r < q = 1 j j A chave públca K = (k 1, k 2, k n ) será um vetor de comprmento n, cujos elementos são calculados através de k = ( w r) mod q O vetor W, o prmo q e o multplcador r são mantdos secretos, enquanto que o vetor K é tornado públco. Cfragem: O processo de cfragem é bastante smples. C = n = 1 m k Note que, como K não é um vetor superaumentado, decfrar o crptograma sem conhecmento adconal, consttu-se num problema da mochla não trval, portanto, dfícl. Decfragem: O processo de decfragem é realzado pelo receptor a partr da obtenção do peso da mochla: n n 1 1 = 1 = 1 C = C r mod q = m k r mod q = m w mod q Como o vetor W fo escolhdo superaumentado, do ponto de vsta do receptor, o lado dreto da expressão é um problema da mochla trval. O receptor resolvendo-o, então, decfra a mensagem envada. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 77 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 78

40 Ex.: Consdere um sstema MH com n = 6. Suponha que o termnal B seleconou o vetor W = (171, 197, 459, 1191, 2410, 4517), o prmo q = 9109 e o multplcador r = Determne o vetor chave públco de cfragem K B e o crptograma envado de A para B correspondente à seqüênca de bts de mensagem M = (0, 1, 0, 1, 1, 0). Como o termnal B decfra o crptograma recebdo? Solução: A chave públca do termnal B é calculada, como a segur: Logo, k k k k k k = ( ) mod 9109 = 2343 = ( ) mod 9109 = 6215 = ( ) mod 9109 = 3892 = ( ) mod 9109 = 2895 = ( ) mod 9109 = 5055 = ( ) mod 9109 = 2123 K B = (2343, 6215, 3892, 2895, 5055, 2123) O crptograma envado por A pode ser, então, faclmente computado: 6 C = m k = = = 1 O termnal B ao ter escolhdo r = 2251, também terá calculado, prevamente, r -1, sto é r 1 mod 9109 Através do algortmo de Eucldes, obtemos: Logo, r -1 = = = = = = = = = = = = O peso da mochla é, portanto C = ( ) mod 9109 = 3798 O termnal B usa, então o vetor secreto W = (171, 197, 459, 1191, 2410, 4517), e recupera a mensagem soluconando o problema da mochla, agora trval: M = (0, 1, 0, 1, 1, 0). Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 79 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 80

41 Exercíco: Assuma que as partes A e B concordam em usar vetores de comprmento 5. O termnal B escolheu um vetor W dado por: W = ( w1,, w5 ) = ( 2, 3, 6, 12, 25) w = 48 Anda, B fez a escolha de um número prmo q = 53 > 48, e um multplcador r = 46. Determne o crptograma envado por A correspondente à mensagem M = (1, 1, 1, 0, 1). Decfre o crptograma recebdo por B. Segurança do Esquema Crptográfco MH Schroeppel e Shamr craram em 1982 um algortmo que resolve o problema da mochla com um número de computações da ordem de t( n) = 2 2 A segur estão lstados o número de computações e o tempo gasto para quebrar o esquema de Merkle e Hellman em função do número de bts do bloco de mensagem, n: n n t(n) tempo 50 3, ,3 s 75 1, ,2 mn 100 1, ,17 anos 150 3, , anos 200 1, , anos Podemos observar que o esquema MH atnge patamares de confabldade maores que os sstemas RSA e DH quando usamos números com n 200. No entanto, a desvantagem resde no fato de que, se n = 200 o vetor públco K será composto, de 200 números com 200 bts, sto é, em torno de 40 Kbts por usuáro. Além dsso, os crptogramas são maores que as mensagens. Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 81 Introdução à Crptografa - JSGP - Inatel 82