JOÃO GILBERTO TEIXEIRA SILVA

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1 JOÃO GILBERTO TEIXEIRA ILVA ONTRIBUIÇÃO AO PROJETO DE ELEMENTO ETRUTURAI DE ONRETO ARMADO OM DEONTINUIDADE ATRAVÉ DO MODELO DE PAINÉI ENRIJEIDO. Dissetação apesentada ao Pogama de Pós- Gaduação em Engenhaia ivil da Univesidade Fedeal de Alagoas omo equisito paial paa a obtenção do título de Meste em Engenhaia ivil. MAEIÓ 00

2 JOÃO GILBERTO TEIXEIRA ILVA ONTRIBUIÇÃO AO PROJETO DE ELEMENTO ETRUTURAI DE ONRETO ARMADO OM DEONTINUIDADE ATRAVÉ DO MODELO DE PAINÉI ENRIJEIDO. Dissetação apesentada ao Pogama de Pós- Gaduação em Engenhaia ivil da Univesidade Fedeal de Alagoas omo equisito paial paa a obtenção do título de Meste em Engenhaia ivil. Áea de onentação: Estutuas Oientado: Pof. Douto eveino Peeia avalanti Maques. MAEIÓ 00 ii

3 ILVA, João Gilbeto Teixeia ontibuição ao pojeto de elementos estutuais de oneto amado om desontinuidades atavés do Modelo dos Painéis Enijeidos. Maeió, p Dissetação (Mestado) - Univesidade Fedeal de Alagoas. Pogama de Pós - Gaduação em Engenhaia ivil.. Painéis. Enijeidos Univesidade Fedeal de Alagoas. ento de Tenologia. Pogama de Pós-Gaduação em Engenhaia ivil iii

4 iv

5 Dedio este tabalho a meu pai João Rosendo ilva, ao meu filho João Víto e a todos o meus familiaes. Agadeço espeialmente à imone po te estado ao meu lado nesses dois últimos anos. v

6 Agadeimentos Agadeço a Deus pela vida e po te onseguido temina este tabalho. Ao pofesso D eveino Peeia avalante Maques pela oientação e dediação. A meu pai e minha esposa pelo apoio e inentivo. Á FAPEAL que finaniou este tabalho. Aos amigos do PPGE que me ajudaam dieto e indietamente neste tabalho. vi

7 umáio Agadeimentos... vi Lista de Figuas... x Lista de Tabelas... xiii Lista de ímbolos... xiv Resumo... xxii Abstat... xxiii apítulo.... Intodução..... onsideações iniiais..... Objetivos e elevânia..... Estutua da dissetação... apítulo Aspetos geais do Método dos Painéis Enijeidos Desição geal do método Base teóia do MPE ontibuição do tabalho e sua situação no ontexto geal... 0 apítulo.... Enijeedoes.... Intodução..... Matiz de igidez do enijeedo.... Relações onstitutivas Enijeedo taionado om oneto não fissuado Enijeedo taionado om oneto fissuado e sem esoamento da amadua Enijeedo taionado om oneto fissuado e amadua esoando.... Enijeedo ompimido sem esmagamento do oneto e sem esoamento da amadua... vii

8 ..5. Enijeedo ompimido om esmagamento do oneto e sem esoamento da amadua Enijeedo ompimido sem esmagamento do oneto e om esoamento da amadua.... Dimensionamento das amaduas dos enijeedoes... 7 apítulo Painéis Intodução Matiz de igidez do painel Relações de equilíbio Enegia Potenial omplementa do painel Deteminação da igidez do painel Dimensionamento das amaduas dos painéis Relação tensão - defomação não linea do painel Relações onstitutivas dos mateiais apaidade de tansmissão de tensão atavés das fissuas Poedimentos paa obtenção da tensão de isalhamento do painel na análise não linea... 7 apítulo Aspetos da Análise Estutual onsideações iniiais Tansfomações de oodenadas paa os enijeedoes Tansfomações de oodenadas paa os painéis Fomulação da análise não linea Estatégia de ontole da análise istematização dos poedimentos da análise Atualização da matiz de igidez dos elementos apítulo Exemplos Numéios onsideações iniiais aso de uma viga de seção T dotada de abetua etangula na alma Dimensionamento e análise ompaativa das amaduas... 6 viii

9 6... Diagamas aga-desloamento paa a viga de seção T ompaação ente esultados das análises linea e não linea aso de uma viga paede om efoços vetiais Dimensionamento e análise ompaativa das amaduas Diagamas aga-desloamento paa a viga paede ompaação ente esultados das análises linea e não linea aso de uma viga paede om uma gande abetua Dimensionamento e análise ompaativa das amaduas ompaação ente esultados das análises linea e não linea apítulo onsideações Finais e ugestões paa Tabalhos Futuos Refeênias Bibliogáfias... 0 Bibliogafia omplementa... 0 ix

10 Lista de Figuas Figua. - Defomação de uma seção loalizada em egião B... Figua. - Defomação de uma seção loalizada em egião D... uas om egiões B e D... ma estutua pelo MPE - Hoogenboom (998)... 7 Figua. - Esfoços atuantes nos painéis e enijeedoes... 7 Figua. - uvas aga-desloamento das análises linea (a) e não linea (b)... 8 Figua. - Exemplos de estutuas que podem se analisadas e pojetadas pelo MPE... 9 Figua.- Foças e desloamentos típios de um enijeedo... Figua. - Esfoços nomais atuantes em um enijeedo... Figua. - Pontos de integação de Gauss paa um enijeedo... 8 Figua. - Relação onstitutiva do enijeedo quando o esmagamento do oneto ooe depois do esoamento das amaduas... 6 Figua.5 - Relação onstitutiva do enijeedo quando o esmagamentodo oneto ooe antes do esoamento das amaduas... 6 Figua.- Geometia do painel e tensões atuantes... 8 Figua. - Ações e desloamentos nos pontos nodais do painel... 8 Figua. - Relação onstitutiva do painel... 5 Figua. - upeposição de esfoços em um elemento de membana... 7 Figua.5 - Tensões pinipais no elemento de membana em isalhamento puo... 9 Figua.6 - Equivalênia de tensões de tação nas amaduas... 0 Figua.7 - Tensões atuantes em uma seção ente fissuas e ao longo de uma fissua -Vehio & ollins (986)... Figua.8 - Tensões devidas ao intetavamento dos agegados -Vehio & ollins (986)... Figua.9 - Esquema ilustativo da áea efetiva... 7 Figua.0 - uva tensão defomação do painel... 9 Figua 5. - oodenadas loais de um enijeedo... 9 x

11 Figua 5. - Tansfomação de oodenadas loais (a) paa oodenadas globais (b) de um enijeedo Figua 5. - Relação ente as oodenadas loais (a) e as oodenadas globais (b) do painel Figua 6.- Viga de seção T om abetua na alma (medidas em meto)... 6 Figua 6. - Disetização utilizada paa a viga de seção T Figua 6. - Distânias ente eixos dos enijeedoes (em metos) Figua 6. - Distibuição e valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes Figua Amaduas da viga de seção T obtida pelo MPE Figua Amaduas da viga de seção T utilizadas po Tan et al (996) Figua Nova disetização paa a viga de seção T Figua Valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes da viga de seção T usando a disetização paa a disetização mostada na figua Figua Diagamas aga-desloamento da viga de seção T Figua Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua Figua 6. - Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua Figua 6. - Amaduas da viga de seção T obtidas atavés das análises não lineaes... 7 Figua 6. - Viga paede om mudança busa de espessua nas extemidades e no meio do vão Figua 6. - Disetização utilizada paa a viga paede Figua Distânias ente eixos dos enijeedoes (em metos) 76 Figua Distibuição e valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes Figua Amaduas da viga paede obtida pelo MPE Figua Amaduas da viga paede utilizadas po hayanfa et al. (997) Figua egunda disetização paa a viga paede Figua Teeia disetização paa a viga paede Figua 6. - Valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes paa a disetização mostada na figua xi

12 Figua 6. - Valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes paa a disetização mostada na figua Figua 6. - Amaduas da viga paede obtidas pelo MPE atavés da disetização da figua Figua 6. - Amaduas da viga paede obtidas pelo MPE atavés da disetização da figua Figua Diagamas aga-desloamento da viga paede... 8 Figua Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua Figua Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua Figua Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua Figua Amaduas da viga paede obtidas atavés das análises não lineaes das disetizações das figuas 6. e Figua Amaduas da viga paede obtidas atavés da análise não linea om uso da disetização mostada na figua Figua 6. - Viga paede om abetua póxima ao apoio Figua 6. - Disetização utilizada paa a viga paede om gande abetua Figua 6. - Distânias ente eixos dos enijeedoes (em metos)... 9 Figua 6. - Distibuição e valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes... 9 Figua Amaduas da viga paede obtida pelo MPE... 9 Figua Amaduas da viga paede utilizadas po hlaih et al. (987)... 9 Figua Nova disetização paa a viga paede om abetua... 9 Figua Valoes dos esfoços nomais e tensões isalhantes paa a disetização mostada na figua Figua Amaduas da viga paede obtidas pelo MPE atavés da disetização da figua Figua Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua Figua 6. - Diagama de esfoços nomais e tensões isalhantes paa a análise não linea obtido pela disetização mostada na figua xii

13 Figua 6. - Amaduas da viga paede obtidas atavés da análise não linea paa a disetização da figua Lista de Tabelas Tabela.- Paâmetos paa integação numéia de Gauss... 8 Tabela 6. - Popiedades dos mateiais da viga de seção T... 6 Tabela 6. - Quado das amaduas obtidas pelo MPE Tabela 6. - Quado das amaduas utilizadas po Tan et al. (996) Tabela 6. - Quado de amaduas paa os esfoços das análises não lineaes... 7 Tabela Valoes médios do esfoço nomal e tensões isalhantes paa a viga de seção T dotada de abetua etangula na alma... 7 Tabela Popiedades dos mateiais... 7 Tabela Quado de amaduas obtido pelo MPE Tabela Quado de amaduas utilizadas po hayanfa et al (997) Tabela Quado de amaduas obtido pela segunda disetização... 8 Tabela Quado de amaduas obtido pela teeia disetização... 8 Tabela 6. - Quado de amaduas paa os esfoços das análises não lineaes paa as disetizações mostadas nas figuas 6. e Tabela 6. - Quado de amaduas paa os esfoços da análise não linea paa a disetização mostada na figuas Tabela 6. - Valoes médios do esfoço nomal e tensões isalhantes paa a viga paede om efoços vetiais Tabela 6. Popiedades dos mateiais Tabela Valoes médios do esfoço nomal e tensões isalhantes paa a viga paede om uma gande abetua xiii

14 Lista de ímbolos Maiúsulos omanos. A A Áea da seção tansvesal de um enijeedo; Áea de oneto do enijeedo; A x ; A y Áeas de oneto nas dieções x e y; A Áea de aço do enijeedo; A sx ; A sy Áeas de aço nas dieções x e y; A P Áea supefiial do painel; p [ B ] Matiz que elaiona os desloamentos genealizados om os desloamentos loais do painel; [B e ] Matiz que elaiona os desloamentos genealizados om os desloamentos loais do enijeedo; Fação do tabalho total; onstantes definidas pela equação.0 a-d; D ; ; ; Relação ente a tensão e a defomação genealizada do painel; { D } o Veto de desloamentos da estutua segundo dieções globais obtido na análise linea; t { D } E Veto de desloamentos nodais da estutua nas dieções globais efeente ao passo inemental t-; Módulo de elastiidade do enijeedoes E E Módulo de elastiidade do oneto; Módulo de elastiidade do aço; { F } i Noma eulidiana do veto das foças desequilibadas na iteação i; { F } i Veto das foças desequilibadas no final da iteação i-; F ij oefiientes de flexibilidade do enijeedo; F R Resultante de foças na dieção pependiula ás fissuas; xiv

15 F s Matiz de flexibilidade do enijeedo F x ; F y Resultante de foças nas dieções x e y; * G H K Módulo de igidez tansvesal seante na oigem Vaiável que detemina o sinal do fato de aga na pimeia iteação; onstante de valo 0, paa baas nevuadas e 0,8 paa baas lisas; K onstante definida pela equação (.6); [ K e ] t- Matiz de igidez do elemento na última iteação do passo de aga t-; [ K gs ] Matiz de igidez do enijeedo elativa às oodenadas globais; [ K gp ] Matiz de igidez do painel elativa às oodenadas globais; [ K i ] Matiz de igidez da estutua, na iteação i-; [ K t ] i Matiz de igidez da estutua atualizada na iteação i [ K t ] o [ K p ] Matiz de igidez tangente iniial da estutua; Matiz de igidez do painel elativa às oodenadas loais; [K s ] Matiz de igidez do enijeedo; N N ;N N Esfoço nomal no enijeedo; Valo do esfoço nomal nas extemidades do enijeedo; Paela do esfoço nomal atuante no oneto quando σ f ; N Valo do esfoço nomal de tação que povoa a pimeia fissua no enijeedo; N d,max Valo de álulo do esfoço nomal de ompessão; t N d,max Valo de álulo do esfoço nomal de tação N Paâmeto dado pela equação (.7); N Paela do esfoço nomal atuante nas amaduas; xv

16 N t Esfoço nomal que pofoa o esmagamento do oneto N ( x ) Função do esfoço nomal de um enijeedo; N y Esfoço nomal nas amaduas quando o aço esoa; P Tabalho ealizado pelas foças extenas atuantes sobe o enijeedo; { R } Veto das agas de efeênia; { R } Veto de agas de pojeto; t { R } Veto de agas nodais da estutua segundo dieções globais efeente ao passo inemental t-; onstantes definidas pelas equações.0 e-h; ; ; ; { e } i Veto de esfoços intenos no elemento na iteação i t { e } { i Veto de esfoços intenos do elemento na última iteação do passo inemental t. t } Veto das ações nodais nos elementos otaionados na dieção das oodenadas globais paa a iteação i t { t } Veto das ações nodais nos elementos otaionados na dieção das oodenadas globais paa o passo de aga t- U Enegia de defomação omplementa total no volume. Minúsulos omanos. a b w d b e {e} Dimensão máxima do agegado gaúdo; Lagua do enijeedo; obimento das baas; Diâmeto das baas longitudinais; Desloamento genealizado do painel; Veto dos desloamentos genealizados do enijeedo; e ; Desloamentos genealizados do enijeedo; e { f } Veto das ações atuantes nas faes do painel; xvi

17 f Ações nas oodenadas loais, e espetivamente, do ; f; f ; f; f; f enijeedo; f Ações atuantes nas faes do painel; f f d Resistênia do oneto à ompessão Resistênia à ompessão ilíndia de álulo do oneto; f k Resistênia aateístia do oneto; f t Resistênia à tação do oneto; {f e } Veto de esfoços loais no enijeedo; {f eg } Veto de esfoços globais no enijeedo; f y Resistênia ao esoamento do aço f yd Tensão de esoamento de álulo do aço; f yx ; f yy Tensão de esoamento no aço nas dieções x e y; h h e k ; k ; k ; k Altua do elemento estutual; Altua do enijeedo; onstantes definidas pelas equações.5 a-d; k f onstate definida pela equação (.); l ;l ;l ; l ompimento do enijeedo; l Medidas dos lados do painel; n q ; ; ; Númeo de gaus de libedade da estutua; aegamento distibuído ao longo do enijeedo; onstantes definidas pelas equações.0 i-m; s Espaçamento máximo ente baas longitudinais; s mθ Distânia média ente fissuas; s mx : Distânia média ente fissuas na dieção x; s my Distânia média ente fissuas na dieção y; t Espessua do painel; {u e } Veto dos desloamentos loais do enijeedo; u(x) Desloamento axial em um ponto genéio de oodenada x; xvii

18 u Gaus de libedade do painel; ;u ;u ; u u Enegia de defomação espeífia omplementa; { u e } Veto dos desloamentos loais do enijeedo; u Desloamentos loais do enijeedo; e e e ;u ; u { u eg } Veto dos desloamentos globais do enijeedo; u ; u ; u ; u ; u Desloamentos globais do enijeedo; eg eg eg eg eg 5 { u p } Veto de desloamentos loais do painel; u Desloamentos loais do painel; p p p p ;u ;u ; u { u pg p } Veto dos desloamentos globais do painel; u ; u ; u ; u Desloamentos globais do painel pg v i pg pg pg v imax Máximo valo de v i ; Tensão de isalhamento devido ao intetavamento fomado pela ugosidade da supefíie fissuada; x ; x; x; x Valoes da oodenada x dos véties do painel; x i ; y; y; y Valo da oodenada x no i-ésimo ponto de integação numéia; y Valoes da oodenada y dos véties do painel; w: Tabalho total; w f w i Abetua média das fissuas; Valo do i-ésimo peso de integação numéia. Maiúsulos gegos. { D } i egunda paela do veto de inemento de desloamento na ietação i; { D } i Veto dos inementos de desloamentos na iteação i; { D} i Pimeia paela do veto de inemento de desloamento na ietação i; xviii

19 { D e } i Veto de inemento de desloamentos loais do elemento paa a iteação i { D } o Veto dos inementos de desloamento no passo de aga anteio ao passo de aga oente; { R } i Veto dos inementos de aga; { R } o Veto dos inementos de aga no passo inemental anteio; { e } i Veto de inemento de esfoços nos elementos na iteação i; { t } i Veto de inemento das ações nodais nos elementos elativos às oodenadas globais w Inemento de tabalho; Π Π Π Enegia de Defomação Potenial omplementa Total; Enegia de Defomação Potenial omplementa Total; Enegia potenial omplementa no painel po unidade de volume; F x omatóio de foças na dieção x; F y omatóio de foças na dieção y; M omatóio de momentos em elação á oigem do sistema de oodenadas. Minúsulos gegos α β Ângulo que define as dieções das tensões pinipais do painel; Tensão genealizada no painel; [ β ] Matiz de otação do enijeedo; [ β ] T Tansposta da matiz de otação do enijeedo; [ β p ] Matiz de otação do painel; [ β ] T p Tansposta da matiz de otação do painel; xix

20 γ Distoção no ento do painel; i i γ ; γ Distoção no ento do painel paa o nível de aga i e i-; γ xy Distoção do painel no plano xy; ε ε Defomação axial; Maio defomação de tação na áea efetiva; ε ;ε Defomações pinipais; ε Meno defomação de tação na áea efetiva ε Defomação axial no oneto quando σ f ; ε Valo da defomação assoiado à esistênia à tação do oneto; ε xx Defomação no plano pependiula ao eixo x na dieção do eixo x; ε yy Defomação no plano pependiula ao eixo y na dieção do eixo y; η Relação ente o módulo de elastiidade do aço e do oneto; θ ; θ; θ; θ Ângulos ente os lados do painel e o eixo x do sistema de efeênia atesiano adotado paa o painel; λ i : Fato de aga oespondente à iteação i; µ Valo absoluto da elação ente a intensidade de qualque aga não i nula atualizada e seu oespondente valo em { R } na iteação i; ν ξ oefiiente de Poisson paa o oneto não fissuado; Paâmeto que elaiona as igidezes do aço e do oneto; ρ ef Taxa efetiva de aço; ρ sx;ρ sy Taxas de amadua nas dieções x e y; σ σ ; Tensão nomal no enijeedo; σ Tensões pinipais no oneto; σ Tensão de ompessão no oneto; σ O mesmo que f t ; σ Tensão no aço; σ sx ;σ sy Tensões atuantes nas amaduas nas dieções x e y; xx

21 σ sx, ;σ Tensão na amadua na egião das fissuas na dieção x e y sy, espetivamente; σ x ;σ y Tensão atuante no painel nas dieções x e y; σ x ;σ y Tensões atuantes no oneto nas dieções x e y; τ ; ; Tensão isalhante média atuante no painel; τ ; τ τ τ Tensões de isalhamento atuantes nas faes do painel; τ Tensão de isalhamento no oneto; i τ ; τ Tensão de isalhamento no painel paa o nível de aga i e i-; i xy xy φ Diâmeto das baas. xxi

22 Resumo ILVA, JOÃO G. T. (00). ontibuição ao pojeto de elementos estutuais de oneto amado om desontinuidades atavés do. Dissetação (Mestado) - Univesidade Fedeal de Alagoas, Maeió, 00. A não apliabilidade da hipótese de Navie-Benoulli implia na não validade do uso da tadiional teoia de vigas no estudo de vigas paedes, onsolos utos, egiões om gandes abetuas ou mudança de inéia. Paa estutuas de oneto amado são feqüentemente utilizados poedimentos baseados na teoia das hapas, nos métodos dos elementos finitos e das bielas e tiantes. Neste tabalho, empega-se paa pojetos desses tipos de estutuas em oneto amado, um poedimento altenativo que eúne as vantagens do método de bielas e tiantes e do método dos elementos finitos. Atavés deste poedimento, denominado aqui omo Método dos Painéis Enijeidos (também onheido na liteatua inglesa omo tinge and painel model), a estutua é modelada omo um onjunto de painéis om ontonos enijeidos po baas. Admite-se que as baas tansmitem apenas foças nomais e os painéis apenas foças de isalhamento. As análises podem se feitas onsideando-se distibuição de tensões elástias, denominada de análise linea, ou levando em onta a edistibuição de tensões devido à fissuação do oneto. Os painéis utilizados na disetização das vigas são quadilateais quaisque. Alguns exemplos são analisados e os esultados enontados paa as amaduas são ompaados om os obtidos po outos métodos. Também é analisada a influênia do tamanho dos elementos no volume de aço obtido, além de se faze a ompaação dos diagamas aga-desloamento expeimental e teóio. Também é ompaado o volume de aço obtido om as análises linea e não linea. Palavas-have: oneto amado, egiões D, painéis, enijeidos, análise não linea xxii

23 Abstat ILVA, JOÃO G. T. (00). ontibution to the design of einfoed onete stutual elements with desontinuities using the tinges and Panel model. Maste iene Dissetation - Univesidade Fedeal de Alagoas, Maeió, 00. The taditional beam theoy annot be applied to study walls, obels and egions with holes o hange of inetia, beause the Navie-Benoulli s hypothesis annot be used to these ases. Poedues based in the plates theoies, the finite element method o tuss-and-tie method ae often used to study these type of einfoed onete stutues. In this wok, an altenative poedue that joins the advantages of tuss-and-tie method and finite element method is used to design the above mentioned types of einfoed onete stutues. Using this poedue, alled tinge and panel model, the stutues ae modeled as a goup of panels with thei edges stiffened by staight bas (stinges). It s supposed that the stinges tansmit only axial foes, while the panels, tansmit only shea foes. The analyses an be made onsideing the distibution of elasti stesses, alled linea analysis, o onsideing the edistibution of stesses due to the onete ak. Examples ae analyzed, and the esults fo the einfoement ae ompaed with the othe esults obtained by the use of othe methods. Element size effets on the einfoement volume ae analyzed and the theoetial load-displaement uves ae ompaed with the oesponding expeimental load-displaement uves. Finally, ompaison between the einfoement volumes obtained by the linea analysis and by the non linea analysis is made. analysis Keywods: Reinfoed onete, egions D, panels, stinges, non linea xxiii

24 apítulo Intodução.. onsideações iniiais Os pimeios modelos fomulados paa pojetos de estutuas de oneto amado sugiam no final do séulo XIX. omo exemplo, pode se itado aquele onheido po Analogia de Teliça poposto po Wilhelm Ritte (899) e melhoado po Emil Mösh (908). Tal modelo ainda hoje é utilizado omo base paa o dimensionamento de vigas submetidas a foça otante. egundo hoogenboom (98), na déada de tinta (do séulo passado), váios pesquisadoes omo.. Whitney e O. Bauumann desenvolveam a base do atual modelo empegado paa o dimensionamento à flexão das vigas usuais de oneto amado. As pates que onstituem as estutuas são feqüentemente lassifiadas omo egiões B ou egiões D. As hamadas egiões B são aquelas ujas seções tansvesais satisfazem a hipótese de Navie-Benoulli, ou seja, suas seções tansvesais apesentam uma distibuição linea de defomação, onfome mostado na figua.. ε ε t Figua. - Diagama de defomação de uma seção loalizada em egião B.

25 Ao ontáio, as hamadas egiões D são aquelas ujas seções tansvesais não obedeem a hipótese aima efeida, omo ilustado na figua.. Estas egiões são geadas po desontinuidades físias, omo foças onentadas e eações de apoio, e geométias, tais omo aquelas aateizadas pela pesença de fuos, mudança busa de dimensões e de dieção. omo exemplos de elementos que apesentam egiões D, podem se itados: vigas paede (om ou sem fuo), vigas fuadas, onsolos utos, nós de pótios, dentes Gebe, enonto de pila e fundação. ε ε t Figua. - Diagama de defomação de uma seção loalizada em egião D. Não existe uma maneia exata de se delimita as egiões D em uma estutua. Paa isso, utiliza-se na pátia uma ega baseada no Pinípio de aint-venant (Timoshenko & Gee, 970), a qual empega a medida da altua h da seção tansvesal omo paâmeto de delimitação, omo mostado na figua. paa tehos de estutuas dotadas de egião B (em bano) e egiões D (hahuadas).

26 h h h h h h h h h h h h h h Figua. - Rega de delimitação de egiões D Po volta da déada de inqüenta do séulo passado, om o desenvolvimento da omputação, sugiu o Método dos Elementos Finitos. Posteiomente, utilizando-se os oneitos desse método, desenvolveam-se apliações paa estutuas de oneto amado, tonando-se mais uma impotante feamenta no pojeto de estutuas dotadas de egiões D. Em 979 o alemão Jog hllaih omeçou a utiliza o Método de Bielas e Tiantes (stut-and-tie model) paa explia aos seus alunos o ompotamento de estutuas de oneto dotadas de egião D. Juntamente om seu olega Kut hafe, oganizou sistematiamente o método, genealizando suas apliações (hlaih et al.987). O Método de Bielas e Tiantes é onsideado omo um apefeiçoamento dos poedimentos empíios empegados em pojeto de estutuas de oneto amado e onsiste em uma extensão do modelo da Analogia de Teliça. Baseados nos oneitos desenvolvidos pelo pesquisado dinamaquês Mogens Pete Nielsen (Nielsen, 999), os holandeses Hoogenboom e Blaauwendad (Blaauwendaad & Hoogenboom, 996) lançaam o aqui hamado Método dos Painéis Enijeidos, denominado na liteatua inglesa omo tinge-panel Model. Tal método apesenta-se omo uma feamenta numéia altenativa paa o pojeto e análise de estutuas de oneto amado dotadas de egiões D.

27 .. Objetivos e elevânia O objetivo deste tabalho é a apesentação de um estudo voltado paa o pojeto de elementos estutuais de oneto amado om desontinuidades, tais omo vigas paedes e vigas om abetuas, onsolos utos, dentes Gebes, et, utilizando o Método dos Painéis Enijeidos (MPE). Elementos om desontinuidades (egiões D ) são muito feqüentes nos pojetos estutuais e não podem se analisados atavés de teoias baseadas na hipótese de Navie-Benoulli. Paa os pojetos e análises de tais elementos estutuais são bastante utilizados o Método de Bielas e Tiantes (MBT) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). O MPE apesenta-se omo uma feamenta altenativa paa análise e pojeto desses elementos om desontinuidades. Tal método ombina uma abodagem omputaional simila àquela empegada no Método dos Elementos Finitos, om as vantagens de apesenta failidade na disetização da estutua e simpliidade paa o detalhamento das amaduas. O Método de Bielas e Tiantes é um poedimento muito usado no pojeto de estutuas de oneto amado, apesentando omo uma desvantagem a neessidade de se onhee, paa efeito de disetização, as tajetóias das tensões pinipais, o que muitas vezes exige o empego de métodos numéios, tal omo o Método dos Elementos Finitos. Dois inonvenientes nomalmente enontados om o uso da fomulação em desloamento do MEF em pojetos de elementos de oneto amado onsistem na maio omplexidade paa a disetização da estutua e paa o detalhamento de suas amaduas... Estutua da dissetação A dissetação está estutuada em sete apítulos inluindo este, onde se apesenta uma intodução. No apítulo é feita uma explanação sobe o Método dos Painéis Enijeidos, ontendo uma desição geal do mesmo, seu embasamento teóio, os tipos de análises usados no pesente estudo e exemplos de estutuas que podem se analisadas.

28 No apítulo são apesentados os poedimentos paa montagem da matiz de igidez de um enijeedo, assim omo suas elações onstitutivas e os itéios usados paa o dimensionamento de amaduas quando neessáias. O apítulo tata da fomulação da matiz de igidez de um painel, omo também sua elação onstitutiva e dimensionamento de amaduas. O apítulo 5 apesenta os poedimentos numéios oespondentes às análises linea e fisiamente não linea empegados no estudo. No apítulo 6 são mostados esultados das análises de exemplos de estutuas, ompaando os valoes enontados pelo MPE om outos obtidos atavés de difeentes poedimentos. Finalmente, no apítulo 7, são apesentadas as onsideações finais. 5

29 apítulo Aspetos Geais do Método dos Painéis Enijeidos.. Desição geal do método Obsevando-se a ténia de ama vigas paedes, peebe-se que as amaduas onsistem, na maioia dos asos, de malhas otogonais dispostas nas poximidades das supefíies lateais da viga e de uma onentação de baas nas egiões póximas aos limites infeio e supeio da estutua e ao edo de fuos, quando estes existem. onsideando esta típia disposição de amaduas e tendo omo base teóia o Teoema do Limite Infeio, da Teoia da Plastiidade, desenvolveu-se o aqui denominado Método dos Painéis Enijeidos (tinge Panel Model), que onsiste em disetiza a estutua em um onjunto de elementos lineaes hamados enijeedoes que, quando taionados, ontém as amaduas pinipais, ontonando painéis om amaduas dispostas em foma de malha. Paa disetização de uma estutua pelo Método de Painéis Enijeidos (MPE) é neessáia a disposição de enijeedoes ao longo das bodas da mesma, ao edo de fuos eventualmente existentes, ao longo da linha de ação de eações de apoio e de agas onentadas. Os painéis são as egiões da estutua limitadas pelos enijeedoes, onfome mostado na figua.. 6

30 Painéis Enijeedoes Figua. - Disetização de uma estutua pelo MPE - Hoogenboom (998). Os enijeedoes são onsideados omo submetidos uniamente a esfoços nomais de ompessão ou de tação, enquanto que os painéis são admitidos omo soliitados apenas a esfoços de isalhamento ao longo de suas bodas, onfome mostado na figua.. Figua. - Esfoços atuantes nos painéis e enijeedoes. 7

31 No pesente estudo, dois tipos de análises são ealizados: análise linea e análise fisiamente não linea. No pimeio não se leva em onta a peda de igidez dos elementos que ompõem o modelo estutual, ou seja, admite-se que os mateiais que onstituem os enijeedoes e os painéis têm ompotamento elástio linea. Tal análise é nomalmente utilizada omo etapa pelimina paa o dimensionamento das amaduas. Depois de dimensionadas as amaduas, pode-se efetua uma análise fisiamente não linea na qual onsideam-se as mudanças de igidez dos elementos devidas à fissuação do oneto e ao esoamento das amaduas. Atavés desta análise obtêm-se onfiguações de equilíbio mais ealístias paa o modelo estutual idealizado, sendo inlusive utilizada paa a simulação do ompotamento aga-desloamento da estutua. A figua. mosta o diagama aga-desloamento de uma estutua utilizando os dois tipos de análises aima efeidos. Figua. - uvas aga-desloamento das análises linea (a) e não linea (b) 8

32 om o MPE é possível analisa e pojeta estutuas dotadas de egião D bastante omuns em pojetos estutuais tais omo aquelas mostadas na figua.. a) b) ) Figua. - Exemplos de estutuas que podem se analisadas e pojetadas pelo MPE: a) Viga paede; b) onsolo uto; ) Viga om mudança busa de igidez ineial... Base Teóia do MPE onfome já foi menionado, o MPE tem omo fundamentação teóia o Teoema do Limite Infeio (Lowe Bound Theoem), que pode se assim enuniado: e paa um dado aegamento atuante sobe uma estutua fo possível enonta uma distibuição de tensões estatiamente admissível e segua, então a aga atuante não povoa o olapso da estutua. Maioes detalhes e dedução podem se enontadas em Nielsen (999). om isso, idealizando-se a estutua omo sendo onstituída po uma assoiação de enijeedoes e painéis, se fo gaantido que existe uma distibuição de esfoços 9

33 intenos, atuantes nos mesmos, em equilíbio ente si e om as foças extenas e que, além do mais, tal distibuição seja segua, no sentido de que os elementos estão pojetados paa supota os esfoços intenos sem uptua, onlui-se pelo itado teoema que aquelas foças extenas não povoam o olapso da estutua. Vale essalta que o Teoema do Limite Infeio tem seu ampo de validade egido pelas hipóteses e leis da Teoia da Plastiidade e, assim sendo, somente pode se utilizado paa estutuas de oneto amado se estas atendeem a ondições de dutilidade que pemitam atingi a onfiguação de equilíbio idealizada sem antes enta em olapso. Esta limitação é omum a todos os poedimentos de análise de estutuas de oneto baseados na Teoia da Plastiidade, tal omo o Método de Bielas e Tiantes... ontibuição do tabalho e sua situação no ontexto geal. A efeênia Hoogenboom (998) apesenta uma fomulação do Método dos Painéis Enijeidos do tipo não linea inemental, onsideando-se os painéis omo submetidos a tensões nomais e de isalhamento. Tal efeênia onsiste na pinipal fonte bibliogáfia paa o desenvolvimento do pesente tabalho. Baseando-se em Hoogenboom (998), o pesente estudo apesenta, omo ontibuição, uma fomulação do MPE destinada à análise linea e não linea, inemental iteativa, implementada usando o ambiente MATLAB. Outa ontibuição do estudo aqui apesentado onsiste na apesentação de ompaações de esultados obtidos pelo MPE om outos oespondentes a difeentes poedimentos. 0

34 apítulo Enijeedoes.. Intodução Os enijeedoes são elementos lineaes que absovem apenas esfoço nomal, sendo onsideados omo despovidos de qualque igidez à flexão. Uma vez que os enijeedoes tansmitem somente esfoço nomal, tais elementos podem esta totalmente taionados ou ompimidos, ou apesenta tehos submetidos à tação e à ompessão. Paa o dimensionamento dos enijeedoes, supõe-se que os esfoços de tação são absovidos pelas amaduas de aço e, nas egiões ompimidas, que os esfoços nomais são absovidos pelo oneto ou, no aso de ompessão exessiva, também po amaduas de aço... Matiz de igidez do enijeedo Paa se detemina a matiz de igidez de um enijeedo empega-se o Pinípio da Mínima Enegia de Defomação Potenial omplementa (ve po exemplo hames, 989). omo definido na Meânia dos ólidos, em um deteminado ponto de um opo submetido a um estado uniaxial de tensão, a enegia de defomação espeífia omplementa é dada po: σ u ε dσ (.) 0 onde ε é a defomação axial e σ a oespondente tensão. Em um dado volume V do opo a enegia de defomação omplementa total é definida pela expessão:

35 U V u dv (.) ou ainda, usando a equação (.), U σ V 0 ε dσ dv (.) No aso de um enijeedo, admitindo que a seção tansvesal é onstante ao longo de seu eixo, a tensão nomal em qualque ponto é dada po N( x ) σ (.) A sendo N ( x) o valo do esfoço nomal atuante na seção tanvesal de áea A e definida pela oodenada x. ubstituindo-se (.) em (.) e onsideando-se que esulta dv Adx, U l N ( x) 0 0 ε ( N( x)) dndx (.5) onde l epesenta o ompimento do enijeedo. No modelo aqui apesentado, o enijeedo é suposto omo um elemento de baa submetido a foças onentadas f e f em suas extemidades e, espetivamente, e a foças unifomemente distibuídas q ao longo de seu ompimento, onfome mostado na figua.. Desta foma, o esfoço nomal vaia lineamente ao longo do enijeedo, omo ilustado na figua., om uma distibuição dada pela equação (.6). x x N ( x ) N + N (.6) l l

36 q Figua.- Foças e desloamentos típios de um enijeedo. Figua. - Esfoços nomais atuantes em um enijeedo. As gandezas N e N epesentam os valoes do esfoço nomal em x 0 x l, espetivamente. O tabalho ealizado pelas foças extenas atuantes sobe o enijeedo pode se obtido atavés da seguinte expessão: e l P fu + fu + q u(x)dx (.7) 0 endo u e u os desloamentos nas extemidades e, espetivamente, e u(x) o desloamento axial em um ponto genéio de oodenada x. Po onsideações de equilíbio, admitindo-se que esfoços nomais de ompessão são negativos e aqueles de tação são positivos, têm-se as seguintes elações ente as foças extenas e os esfoços nomais N e N : f - N (.8)

37 f N f q (N N )/l - (.9) (.0) Fazendo-se a substituição das equações (.8), (.9) e (.0) em (.8), tem-se então a seguinte expessão paa o tabalho das foças extenas: l P Nu + Nu + ( N N )u( x ) dx (.) l 0 Definindo-se o desloamento no ponto médio do enijeedo pela equação l u u( x ) dx (.) l 0 o tabalho das foças extenas pode se obtido em função dos desloamentos nodais pela seguinte expessão P N u + + (.) Nu ( N N ) u Assim, a enegia pontenial omplementa total em um enijeedo, Π U P, pode se expessa pela equação: l 0 N( x ) Π ε( N( x ))dndx + Nu Nu ( N N )u (.) 0

38 Apliando-se o Pinípio da Mínima Enegia de Defomação Potenial omplementa, tem-se Π 0 N Π 0 N (.5) (.6) om isso, usando-se a ondição (.5) e a equação (.), esulta Π N l 0 N( x ) d dn 0 [ ε( N( x ))] dndx + u u (.7) Usando-se a ega da adeia paa obtenção da deivada que figua no integando da equação (.7) e a expessão (.6), obtém-se d dn dε dn dε x ε (.8) dn dn dn l [ ( N( x ))] e daí, substituindo-se (.8) em (.7) e fazendo-se a integação em N(x), esulta Π N l 0 x ε( N( x ))dx + u l u 0 (.9) Desenvolvendo-se de maneia análoga a ondição (.6), hega-se na equação (.0). Π N l 0 x ε( N( x ))dx + u l u 0 (.0) 5

39 Definem-se omo desloamentos genealizados os valoes e e e dados po e u u (.) e (.) u u ou, em foma matiial, {} [ B]{} u e (.) onde {} e e e (.) {} u u u u (.5) 0 B (.6) 0 po Atavés de (.9) e (.0), os desloamentos genealizados podem se obtidos x e ε ( N( x )) dx (.7) l l 0 l x e ε ( N( x)) dx (.8) l 0 6

40 Os oefiientes de flexibilidade do enijeedo são definidos pela seguinte equação: F ij e i (.9) N j da qual, usando (.7) e (.8), esulta a matiz de flexibilidade de odem ( x ) dada a segui: F s l 0 x d [ ε( N( x )] dx l dn l x d [ ε( N( x )] dx l dn 0 l 0 x d [ ε( N( x )] dx l dn l x d [ ε( N( x )] dx 0 l dn (.0) ou, ainda, F s l 0 l x dε dx l dn 0 x x dε dx l l dn l 0 x x dε dx l l dn l x dε dx 0 l dn (.) Paa o aso patiula de um enijeedo elástio linea om igidez axial onstante EA, a matiz de flexibilidade é dada po l F 6 s (.) EA 6 Quando d ε / dn vaia ao longo do enijeedo, as integais que apaeem na equação (.) são esolvidas po integação numéia. Paa isto utilizam-se as elações onstitutivas apesentadas na seção. deste apítulo e a ega de Quadatua Gaussiana 7

41 om quato pontos de integação mostados na figua.. Na tabela. estão indiados os elementos usados paa ealiza a efeida integação numéia. Tabela.- Paâmetos paa integação numéia de Gauss Ponto de integação(i) x Peso w ) Esfoço Nomal ( N( x i ) ) i ( i 0,07l 0,5 0,9N + 0,07N 0,l 0,65 0,67N + 0,N 0,67l 0,65 0,N + 0,67N 0,9l 0,5 0,07N + 0,9N,,,,,,, Figua. - Pontos de integação de Gauss paa um enijeedo. om isso, os oefiientes de flexibilidade do enijeedo são alulados pelas seguintes expessões: F x i dε wi i l dn i (.) x x dε F (.) i i wi i l l dn i 8

42 F F (.5) xi dε wi i l dn i F (.6) O temo dε dn i dε india o valo de oespondente ao i-ésimo ponto de integação. dn onheida a matiz de flexibilidade do enijeedo, pode-se obte a matiz de igidez do mesmo atavés da equação: T [ K ] [ B] [ F ] [ B] s (.7) s então, paa o aso de um enijeedo elástio linea, intoduzindo (.6) e (.) em (.7), esulta a seguinte matiz de igidez 6 EA K s 6 6 (.8) l 6.. Relações onstitutivas... Enijeedo taionado om oneto não fissuado Paa qualque soliitação em que as tensões de tação atuantes no enijeedo não povoam fissuas, tanto o aço quanto o oneto são admitidos no egime elástio linea e, potanto, as foças atuantes em tais mateiais são dadas, espetivamente, po: N E Aε (.9) N E Aε (.0) 9

43 onde E - módulo de elastiidade do aço; E - módulo de elastiidade do oneto; ε - defomação axial do enijeedo; A - áea da amadua longitudinal de aço; A - áea da seção tansvesal de oneto. Assim sendo, o esfoço nomal N atuante ao longo do enijeedo pode se obtido pela seguinte equação: N ( E A E A )ε (.) + Intoduzindo-se o paâmeto paa a defomação axial Α Ε s s ξ em (.), esulta a seguinte expessão Ε Α N ε (.) E A ( ξ) +... Enijeedo taionado om oneto fissuado e sem esoamento da amadua Atavés da equação (.), o esfoço nomal N fissua do oneto de um enijeedo taionado pode se obtido po oespondente à pimeia N ε E A ( + ξ ) (.) onde ε india o valo da defomação assoiado à esistênia à tação do oneto f t, dada po (ollins et al. 996) 0

44 f ε E 0, f (.) t sendo f a esistênia do oneto à ompessão. Em (.) deve se usado MPa omo unidade de tensão. Intoduzindo (.) em (.), esulta a seguinte expessão paa o esfoço nomal de fissuação do oneto: N f A ( + ξ ) (.5) t om o oneto fissuado, ou seja paa N > N,a defomação média do enijeedo taionado vaia om o esfoço nomal atavés de uma elação não linea (Ghali & Fave 99). O Euoode (99) [at... (.8), p 7] sugee a seguinte expessão empíia, elaionando a defomação axial média e o esfoço nomal no enijeedo: N N ε (.6) E A N - onde o paâmeto N é dado po N N (.7) +ξ... Enijeedo taionado om oneto fissuado e amadua esoando Após o esoamento do aço e a fissuação do oneto, a peça teoiamente não apesenta apaidade paa esisti a aésimos de esfoço nomal. Assim sendo, neste egime de soliitação, o álulo da deivada d ε / dn leva a eos ou poblemas numéios no modelo omputaional. Baseando-se em Hoogenboom (998), a pesente fomulação utiliza a seguinte elação ente a defomação média e o esfoço nomal paa obtenção da efeida deivada:

45 N y y ε + (.8) E A N N y 0η( N N E A + E A ) onde E E η (.9) N A f (.50) y y Em (.50), o paâmeto f y india a esistênia ao esoamento do aço.... Enijeedo ompimido sem esmagamento do oneto e sem esoamento da amadua Paa o aso do enijeedo ompimido, adota-se a seguinte elação onstitutiva paa o oneto: ε ε σ f (.5) ε ε onde: ε - defomação do oneto oespondente à esistênia σ - tensão de ompessão no oneto. f Na equação (.5), admite-se que as defomações e as tensões de ompessão são negativas, enquanto que a esistênia do oneto à ompessão, f, é tomada omo positiva. É enontada na liteatua a seguinte elação paa avaliação da defomação oespondente ao ponto de tensão máxima:

46 f ε (.5) E O esfoço nomal atuante no enijeedo ompimido pode se obtido po N σ A + σ A (.5) ubstituindo-se a equação (.5) em (.5) e admitido que amadua não estive esoando, esulta a seguinte expessão: σ Eε quando a N ε ε f A + Eε A ε ε (.5) da qual obtém-se N ε ε + ξ - ( + ξ ) + (.55) f A..5. Enijeedo ompimido om esmagamento do oneto e sem esoamento da amadua Quando o oneto sofe esmagamento, todo o esfoço de ompessão é tansfeido paa o aço. Nesta situação, a amadua pode enta em egime de esoamento, não esistindo a aésimos de esfoço nomal. om isso, assim omo na situação desita no item.., o valo da deivada d ε / dn tendeá paa o infinito, geando eos ou poblemas numéios no modelo omputaional. Paa ontona tal situação, Hoogenboom (998) popõe o uso da seguinte expessão paa avaliação da defomação axial em função do esfoço nomal atuante no enijeedo:

47 0η ε ε + ( N Nt ) (.56) E A + E A onde N t é dado pelo maio dos valoes, em módulo, alulados pelas expessões abaixo apesentadas. N (.57) t f A ( + ξ ) N t f A A f (.58) y..6. Enijeedo ompimido sem esmagamento do oneto e om esoamento da amadua Nas egiões ompimidas do enijeedo, duas elações onstitutivas podem se utilizadas, a pimeia paa o aso em que o valo absoluto da defomação oespondente ao esmagamento do oneto é maio do que o valo absoluto da defomação de esoamento do aço e, a outa, paa o aso ontáio. Quando o aço enta em esoamento, admitindo-se que o mesmo tem um ompotamento elastoplástio pefeito, tem-se: σ f y (.59) Assim, usando as equações (.5) e (.59), esulta a expessão abaixo apesentada paa o esfoço nomal. ε ε N f A - - ε ε f y A (.60)

48 Resolvendo a equação (.60) paa ε, obtém-se: N + N y ε ε (.6) N sendo os temos N y e N dados pelas equações (.6) e (.6), espetivamente. N A f (.6) y y N f A (.6) Dependendo da elação ente a defomação de esoamento do aço e a defomação oespondente à esistênia do oneto ompimido, o enijeedo pode apesenta duas elações onstitutivas. Uma delas, mostada na figua., oespondente à situação em que o esmagamento do oneto aontee depois de ooido o esoamento da amadua. A outa, ilustada na figua.5, etata a situação invesa, ou seja, quando ooe o esmagamento do oneto antes do esoamento do aço. Paa ilusta, suponha um enijeedo onfeionado om um oneto de 0 MPa e amado om aço A-5 ( f y 50 MPa ). Neste aso, tem-se ε 0, 00 e ε y 0,009. Assim sendo, o aço enta em esoamento antes de ooe a uptua do oneto e, potanto, deve se utilizada a elação onstitutiva mostada na figua.5. e o enijeedo aima itado fosse amado om aço A-50 ( f y 500 MPa ), as defomações limites dos mateiais teiam os valoes ε 0, 00 e ε y 0, 00, impliando na neessidade do uso da elação onstitutiva epesentada na figua.5. 5

49 Figua. - Relação onstitutiva do enijeedo quando o esmagamento do oneto ooe depois do esoamento das amaduas. Figua.5 - Relação onstitutiva do enijeedo quando o esmagamento do oneto ooe antes do esoamento das amaduas. 6

50 .. Dimensionamento das amaduas dos enijeedoes O dimensionamento das amaduas nas egiões taionadas dos enijeedoes pode se feito admitindo-se que o oneto sob tação não ofeee esistênia ao esfoço nomal, sendo o mesmo absovido apenas pelo aço. Assim sendo, a áea de aço da amadua de tação é dimensionada pela seguinte expessão: t Nd,max A (.6) f yd onde t Nd,max - valo de álulo do esfoço nomal de tação; f yd - tensão de esoamento de álulo do aço. Em aso de pojeto estutual, os valoes de álulo aima efeidos são obtidos atavés da intodução de oefiientes de seguança eomendados pelas nomas de ações e seguança estutual. Paa o aso de egiões ompimidas, somente se faz neessáio o álulo de amadua quando o valo da tensão atuante supea a esistênia do oneto à ompessão. Em tal situação, a amadua ompimida é dimensionada paa absove a paela do esfoço nomal que exede a aquela que oesponde à esistênia da seção de oneto, onfome ilustado pelas equações (.65) e (.66). N f ( h b A ) + f. A (.65) d,max d e w yd A N d,max ( f yd - f d f h d e ) b w (.66) Nas expessões aima, tem-se: Nd,max - valo de álulo do esfoço nomal de ompessão; h e - altua do enijeedo; b w - lagua do enijeedo. 7

51 apítulo Painéis.. Intodução No modelo de painéis enijeidos (MPE) onsideado no pesente estudo, os painéis são admitidos om um fomato quadilateal qualque, tendo suas faes soliitadas apenas po tensões tangeniais, τ i, onfome mostado na figua.. Paa efeito de análise, são assoiados a ada painel gaus de libedade paalelos às suas espetivas faes, omo ilustado na figua. (Hoogenboom 998). Figua.- Geometia do painel e tensões atuantes Figua.-Ações e desloamentos nos pontos nodais do painel 8

52 .. Matiz de igidez do painel... Relações de equilíbio om base na figua., as elações de equilíbio do painel, expessas pelas nulidade das somas de foças nas dieções x e y e de momentos das mesmas em elação à oigem dos eixos, são dadas po F x 0 0 τ + (. a-b) tl osθ + τtl osθ + τtl osθ τtl osθ F y 0 0 τ + (. a-b) tl senθ + τtl senθ + τtl senθ τtl senθ M 0 0 τ tl osθ y + τ tl senθ x - τ tl osθ y + τ tl senθ x τ tl osθ y + τ tl senθ x - τ tl osθ y + τ tl senθ x - (. a-b) Os temos osθ i e sen θ i, que figuam nas equações aima, podem se obtidos em função das oodenadas dos véties do painel pelas seguintes equações: x - x os θ ; senθ l y - y l x - x y - y (. a-h) ; sen l os θ θ l 9

53 x - x os θ ; senθ l y - y l x - x os θ ; senθ l y - y l os quais quando substituídos em (. b), (. b) e (. b) esultam 0 - τ ( x - x ) + τ ( x - x ) + τ ( x - x ) + τ ( x x ) (.5) 0 τ ( y - y ) + τ ( y - y ) + τ ( y - y ) + τ ( y - y ) (.6) 0 - τ ( x y - x y ) + τ ( x y - x y ) + τ ( x y - x y ) + τ ( x y x y ) (.7) onde: t - espessua do painel; x; x; x; x - valoes das oodenadas x dos véties do painel; y ; y; y; y ;l;l; l - valoes das oodenadas y dos véties do painel; l - medidas dos lados do painel; τ ; τ - tensões de isalhamento atuantes nas faes do painel; τ ; τ ; θ; θ; θ ; θ - ângulos ente os lados do painel e o eixo x do sistema de efeênia (Fig.). Hoogenboom & Blaauwendaad (000) definem omo tensão genealizada β a gandeza dada po β ( τ + τ τ + τ )t (.8) que, juntamente om as equações de equilíbio (.5), (.6) e (.7), leva ao seguinte sistema de equações: 0

54 t / β τ τ τ τ (.9) onde os temos i, i e i são dados pelas onjunto de equações abaixo: x - x ; x - x ; x - x ; x x - y - y ; y - y ; y - y ; y y - y x - y x ; y x - y x ; y x - y x ; y x y x - (.0 a-m) Usando a ega de ame em (.9) paa detemina a tensão τ, tem-se t / t / β β τ (.)

55 ou, ainda, apliando a ega de Laplae paa álulo de deteminantes, t β τ (.) Em foma mais ompata, a equação (.) pode se expessa omo f k k t β τ (.) sendo f k k k k k (.) e k ; k k ; k (.5 a-d) Atavés da equação (.) e da figua., a foça que atua na fae oespondente ao lado l do painel pode se obtida pela expessão

56 f - k l β k (.6) f Analogamente, deteminam-se as foças f, f e f atuantes nas demais faes do painel po k l β f (.7) k f f - k (.8) k f l β k l β f (.9) k f Utilizando as equações (.6) a (.9), pode-se eseve a elação ente o veto das foças no painel, {f}, e a tensão genealizada, β, omo segue p T { } [ B ] β f (.0) onde T { f } {f f f f } p [ B ] [- k l k l - k l k l ] k f (. a-b)... Enegia Potenial omplementa do painel Na pesente fomulação o Pinípio da Mínima Enegia Potenial omplementa é utilizado paa a deteminação da matiz de igidez do painel. onsideando a figua., a enegia potenial omplementa do painel é dada pela equação

57 Π dap t τudl t τudl τudl t τu Π t dl (.) A p l l l l onde Π é a enegia potenial omplementa po unidade de volume e A p é a áea da supefíie do painel. As tensões τ, τ, τ e τ são onsideadas omo onstantes ao longo das faes do painel, enquanto que as omponentes dos desloamentos ao longo das mesmas, u,u, u e u, são assumidas om vaiação linea ao longo dos lados l,l,l e dado po l espetivamente. Desta última hipótese, esulta que a integal u idl i é u ili, onde u i é o valo de (.) pode se eesita na seguinte foma u i no meio da fae i do painel. om isto a equação l i Π t ΠdAp - tτul - tτul - tτul - tτul (.) A p ou, ainda, usando as equações (.6) a (.9), Π t Π da A p p kl β klβ + u - u k k f f + u kl k f β kl β - u k f (.) Intoduzindo a elação ente os desloamentos nodais do painel e a defomação genealizada, e, dada po e [ B p ]{ u p } (.5) em (.), obtém-se Π t Π dap - eβ A p (.6)

58 ... Deteminação da igidez do painel Usando a equação (.6) e apliando o Pinípio da Mínima Enegia Potenial omplementa, obtém-se a expessão: d ( t dβ Π dap ) - e Ap 0 (.7) de onde esulta a seguinte equação paa a defomação genealizada: d e t Π da p dβ A p (.8) A enegia de defomação omplementa po unidade de volume, áea sobe a uva τ γ da figua., ou seja, Π, é dada pela τ Π γ dτ (.9) 0 Figua. - Relação onstitutiva do painel 5

59 De aodo om a figua., a distoção no painel, γ, pode se elaionada ponto a ponto om a tensão τ, atavés do módulo de igidez tasvesal seante na oigem G *, pela equação τ γ * (.0) G Admitindo que o painel está submetido a uma tensão de isalhamento onstante e igual a t β, hega-se, atavés de (.8), (.8) e (.0), à seguinte expessão: β Ap d β e * dβ t dβ G 0 (.) β Assim, omo * é uma função de β, f ( β ), esulta de (.7) a elação ente a G tensão e a defomação genealizadas: * β tg D (.) e A p [ ] Usando (.8), (.5) e (.) obtém-se a seguinte elação ente a distoção do painel γ e o veto de desloamentos nodais {u p }: p p [ B ]{ u } γ (.) A p Da mesma foma que se fez paa os enijeedoes, a matiz de igidez do painel é alulada pelo tiplo poduto matiial mostado na equação (.). p T p [ KP ] [ B ] [ D ][ B ] (.) 6