Óptica Moderna Fundamentos e aplicações. Sérgio C. Zilio

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1 Óptica Modena Fundamentos e aplicações Ségio C. Zilio

2 Pefácio Este é um texto destinado à intodução dos conceitos básicos da óptica modena, elaboado paa estudantes de física ou engenhaia elética. Seu enfoque pincipal está voltado paa a óptica física, onde fenômenos ondulatóios, tais como difação e intefeência, são abodados. Entetanto, no Cap. são intoduzidos alguns tópicos de óptica geomética, onde o caáte ondulatóio da luz é ignoado. A apesentação destes conceitos é impotante, pela analogia que histoicamente foi ealizada ente a equação de Schödinge e a equação das ondas eletomagnéticas, via óptica geomética. Na exposição do mateial admite-se que o aluno já tenha conhecimentos de eletomagnetismo e que possua algumas noções de física matemática. No final do Cap., quando se faz a analogia ente a óptica geomética e a mecânica clássica, são necessáios conhecimentos elativos ao fomalismo de Hamilton-Jacobi. Cada capítulo apesenta inicialmente os conceitos básicos, seguidos po uma lista de poblemas popostos. No capítulo final são sugeidas demonstações a seem ealizadas pelo pofesso paa a melho fixação das idéias apesentadas. Tais demonstações podem se ealizadas com um instumental elativamente baato, acessível a qualque instituição ministando cusos ao nível de gaduação. O texto começa fazendo uma intodução do desenvolvimento das idéias na áea de óptica. Isto é inteessante paa se localiza os tópicos que veemos nos capítulos subseqüentes dento de ceto contexto históico. Nos capítulo seguinte tatamos da popagação dos aios (óptica de aios), mas depois o texto detém-se no assunto cental, a óptica ondulatóia. Inicialmente discute-se no Cap. 3 a equação que desceve as ondas eletomagnéticas, suas soluções e popiedades. O Cap. 4 tata da fase do campo eletomagnético e alguns efeitos lidados a ela, poém sem exaui o assunto. O conceito de fase seá utilizado feqüentemente nos capítulos subseqüentes. No Cap. 5 daemos atenção à natueza vetoial do campo elético e intoduziemos o conceito de polaização. Ênfase é dada à dedução das equações de Fesnel pela sua utilidade e impotância históica. Em

3 seguida são apesentados váios dispositivos e técnicas que pemitem altea a polaização da luz e muitas vezes contola sua intensidade. Estes efeitos são de gande impotância em aplicações que envolvem o chaveamento da luz, como po exemplo, em comunicações ópticas. O fenômeno de intefeência é abodado no Cap. 6. Nele são discutidos o pincípio da supeposição, e as intefeências de dois feixes e múltiplos feixes. Intefeômetos de gande aplicação pática, tais como o de Michelson, Mach-Zehnde e Faby-Peot são discutidos em detalhes. Um outo assunto tatado, a teoia de películas, é de gande inteesse pático, pois pemite o cálculo do efeito de um conjunto de filmes finos dieléticos sobe o especto de tansmissão, ou eflexão, de espelhos multicamadas, filtos intefeenciais e evestimentos anti-efletoes. Paa a obsevação de padões de intefeência, faz-se em geal necessáio que haja coeência na luz utilizada. Este tópico é tatado no Cap. 7. O Cap. 8 efee-se ao fenômeno de difação. Inicialmente intoduzimos a fomulação matemática que esulta na fómula de Fesnel- Kichhoff. Os casos de difação de Faunhofe e Fesnel são discutidos e a aplicação em edes de difação é apesentada. Neste capítulo também pocuamos tata tópicos de inteesse pático tais como, micoscopia po contaste de fase e óptica difativa (óptica de Fouie). Estes oito capítulos compõem o núcleo cental de um cuso de óptica básico, que deve se conhecido po pofissionais que tabalham nesta áea. Nos capítulos finais pocuamos complementa alguns conceitos já intoduzidos e aboda tópicos mais específicos. Apesentamos no Cap. 9 um modelo clássico paa a inteação da adiação com a matéia, paa em seguida discuti os pincípios de funcionamento do lase. É apesentado o modelo semi-clássico da inteação da adiação com a matéia (Cap. ), discutimos cavidades ópticas (Cap. ), ação lase (Cap. ) e egimes de opeação de um lase (Cap. 3). Finalmente, intoduzimos alguns conceitos de óptica não linea (Cap. 4), óptica de cistais (Cap. 5) e guiamento de luz (Cap. 6).

4 Índice i. Uma visão históica. Consideações peliminaes.... Desenvolvimentos iniciais....3 Óptica ondulatóia vesus copuscula Ressugimento da teoia ondulatóia Ondas eletomagnéticas e luz A elatividade estita....7 A óptica quântica...3 Bibliogafia...4. Óptica de aios. Intodução...5. Popagação de luz em meios homogêneos Popagação de luz em meios não homogêneos A lei de Snell genealizada O pincípio de Femat....6 A equação dos aios A função eikonal Analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética Obtenção da equação de Schödinge O potencial óptico...38 Bibliogafia...4 Poblemas Ondas eletomagnéticas 3. Intodução ao conceito de ondas Ondas eletomagnéticas Ondas hamônicas unidimensionais Ondas planas e esféicas...5

5 ii 3.5 Ondas gaussianas Popagação do feixe gaussiano Fomulação maticial da óptica geomética Veto de Poynting. Intensidade...6 Bibliogafia Poblemas A fase da onda eletomagnética 4. Velocidades de fase e de gupo. Dispesão Efeito Dopple. Aplicações astonômicas Alagamento de linhas espectais Óptica elativística Modulação eleto-óptica de feqüência Auto-modulação de fase...8 Bibliogafia...84 Poblemas Polaização das ondas eletomagnéticas 5. Polaização linea Polaização elíptica Polaização cicula Lâminas de quato de onda e meia onda Obtenção de luz lineamente polaizada Equações de Fesnel Polaização po eflexão total intena Matizes de Jones Atividade óptica Efeito Faaday Isoladoes ópticos Efeito Pockels Efeitos Ke e Cotton-Mouton Chaveamento eleto-óptico...7 Bibliogafia...8 Poblemas...9

6 iii 6. Intefeência 6. Pincípio da supeposição Intefeência po divisão da fente de onda Intefeência po divisão de amplitudes Intefeômeto de Faby -Péot Analisado de especto óptico Teoia de películas...4 Bibliogafia...44 Poblemas Coeência 7. Intodução Coeência tempoal Resolução espectal de um tem de ondas finito Coeência espacial Medidas de diâmetos de estelas...58 Bibliogafia...59 Poblemas Difação 8. Pincípio de Huygens Fómula de Fesnel- Kichhoff Pincípio de Babinet Difação de Faunhofe Difação po uma abetua cicula Rede de difação Padões de difação de Fesnel Óptica de Fouie Micoscopia po contaste de fase Hologafia...89 Bibliogafia...9 Poblemas...9

7 iv 9. Inteação luz-matéia: tatamento clássico 9. Modelo do oscilado hamônico Dispesão comática do índice de efação Absoção Espalhamento Foças adiativas sobe átomos neutos...4 Bibliogafia...7 Poblemas...8. Inteação luz-matéia: tatamento semi-clássico. Intodução...9. Emissões espontânea e estimulada....3 A susceptibilidade atômica Os coeficientes A e B de Einstein O coeficiente de ganho....6 Alagamentos homogêneo e não homogêneo....7 Satuação de ganho em meios com alagamentos homogêneo e não homogêneo....8 Espectoscopia de satuação...6 Bibliogafia...8 Poblemas Cavidades ópticas. Intodução...3. Álgeba de cavidades ópticas Feqüências de essonância Pedas em cavidades ópticas...39 Bibliogafia...4 Poblemas Ação lase. Condição de limia Feqüências de oscilação Potência de saída do lase...46

8 .4 Consideações finais...5 Bibliogafia...5 Poblemas... 5 v 3. Regimes de opeação de um lase 3. Intodução Regimes multimodos e monomodo Regime de modos tavados Obtenção do egime de modos tavados Q-switching...63 Bibliogafia...68 Poblemas Óptica de cistais 4. Popagação de luz em meios anisotópicos Elipsóide de índices Popagação de uma onda plana num meio anisotópico Supefície nomal...75 Bibliogafia...8 Poblemas Guiamento da luz 5. Guias de ondas metálicos Guias de ondas dieléticos...89 Bibliogafia...94 Poblemas Óptica não linea 6. Intodução Modelo do oscilado não hamônico Apoximação da vaiação lenta da amplitude Geação de soma de feqüências...3 Bibliogafia...36 Poblemas...36

9 vi 6. Demonstações 6. Óptica geomética Ondas eletomagnéticas Polaização das ondas eletomagnéticas Intefeência...33 Bibliogafia...33

10 Uma visão históica Uma visão históica. Consideações peliminaes A áea de óptica é um campo de estudos fascinante. De maneia simplificada, podemos dize que ela é o amo da Física que estuda a popagação da luz e sua inteação com a matéia. Em muitas áeas da ciência e tecnologia, o entendimento de deteminados conceitos pode se difícil poque seus efeitos não são facilmente visualizados. Na óptica, entetanto, o simples uso de um lase pemite a visualização de um dado efeito como função de váios paâmetos, facilitando o apendizado. Isto se deve pincipalmente à coeência, monocomaticidade e colimação da luz poveniente deste instumento, que pemitem a obsevação de fenômenos tais como intefeência e difação, nos quais a natueza ondulatóia da luz se manifesta claamente. Entetanto, paa se chega ao desenvolvimento deste dispositivo, e de váios outos que são impotantes no nosso cotidiano, um longo caminho foi pecoido e este pecuso geou um históico bastante ico. Alguns aspectos que meecem destaque estão ligados às idéias sobe a natueza da luz e aos caminhos paalelos que a óptica e o eletomagnetismo tilhaam duante séculos. Paa se entende um pouco estes fatos, faemos, no tanscoe desta seção, uma beve evisão históica do desenvolvimento dos conceitos pincipais ligados à óptica. Um outo fato impotante paa o qual deve-se chama a atenção efee-se à analogia existente ente a óptica física e a mecânica quântica. No estado estacionáio, ambas são descitas pela mesma equação de ondas e assim, váios fenômenos que se obseva num laboatóio de óptica podem se usados paa um melho entendimento da mecânica quântica. Apenas como exemplo, o pincípio da inceteza de Heisenbeg pode se

11 Uma visão históica veificado num expeimento de difação de luz po uma fenda, como veemos no Cap. 8. Similamente, outos fenômenos nos quais a matéia compota-se de foma ondulatóia enconta seu análogo na óptica física. Desta foma, o apendizado da mecânica quântica tona-se mais simples com o auxílio da óptica.. Desenvolvimentos iniciais Antes do século XVII existia pouco embasamento teóico paa os fenômenos ópticos obsevados. Eam conhecidos alguns elementos tais como lentes e espelhos, mas a teoia descevendo seu pincípio de funcionamento não estava sedimentada. A pimeia gande evolução da óptica ocoeu duante o século XVII, quando houve um desenvolvimento significativo da sua fomulação matemática, possibilitando a explicação dos fenômenos obsevados até então. Nas duas pimeias décadas foam intoduzidos os sistemas ópticos que combinam duas lentes. O pimeio deles, o telescópio efativo, foi patenteado em 68 po Hans Lippeshey (587-69), um holandês fabicante de óculos. Seu dispositivo utilizava uma ocula côncava, confome esquematizado na Fig... Ouvindo fala desta invenção, Galileo Galilei (564-64) constuiu seu pópio telescópio e em 6 descobiu as luas de Júpite, os anéis de Satuno e a otação do Sol. Estas descobetas populaizaam este instumento óptico e a configuação que utiliza a ocula côncava leva hoje o nome de telescópio Galileano. O telescópio com ocula convexa, também mostado na Fig.., foi intoduzido po Johannes Keple (57-63), que o utilizou paa faze impotantes obsevações astonômicas, que se tonaam conhecidas como as leis de Keple. O telescópio Kepleiano tonou-se mais difundido po possibilita maio toleância na acomodação visual. telescópio Galileano (ocula côncava) telescópio Kepleiano (ocula convexa) Fig.. - Tipos de telescópios efativos.

12 Uma visão históica 3 O segundo tipo de sistema óptico que combina duas lentes é o micoscópio. Ele foi inventado povavelmente pelo holandês Zachaias Janssen (588-63) po volta de 69, na vesão possuindo ocula côncava. É inteessante nota que a invenção deste instumento ocoeu paticamente ao mesmo tempo que a do telescópio. O micoscópio com ocula convexa foi intoduzido logo a segui po Fancisco Fontana (58-656). Além do desenvolvimento tecnológico destes instumentos efativos de duas lentes, começou-se neste peíodo a elaboação da fomulação matemática que pemite o cálculo da popagação dos aios. Em seu livo Dioptice, de 6, Keple apesenta a lei de efação paa pequenos ângulos, estabelecendo que os ângulos de incidência e efação são popocionais. Esta apoximação, chamada de paaxial, possibilitou o tatamento matemático de sistemas ópticos simples, compostos de lentes finas. Neste mesmo tabalho, ele intoduz de foma pioneia o conceito de eflexão total intena. Apesa deste sucesso inicial, podemos dize que a maio contibuição paa o desenvolvimento da óptica nesta pimeia metade do século XVII deveu-se a Willebod Snell (59-66), que em 6 intoduziu a lei da efação (lei dos senos). O conhecimento desta lei deu oigem à óptica aplicada modena, pemitindo o cálculo de sistemas ópticos mais complexos, não tatáveis pela apoximação paaxial intoduzida po Keple. A lei de Snell foi deduzida pela pimeia vez em 637, po René Descates (596-65), que lançou mão de uma fomulação matemática baseada em ondas de pessão num meio elástico. Apaentemente, esta foi a pimeia vez em que a luz foi tatada como onda. Uma outa dedução inteessante da lei de Snell foi ealizada po Piee de Femat (6-665) em 657, utilizando o pincípio do tempo mínimo. Anteiomente a Femat, Heon, de Alexandia, havia intoduzido o pincípio da meno distância, que pevia que os aios andaiam sempe em linha eta, que é a meno distância ente dois pontos. Com o pincípio de Femat, existe a possibilidade do aio executa uma tajetóia cuva se o meio não fo homogêneo. Abodaemos este ponto com maioes detalhes no póximo capítulo, apesentando inclusive outas fomulações matemáticas além daquela baseada no pincípio de Femat.

13 4 Uma visão históica.3 Óptica ondulatóia vesus copuscula Na segunda metade do século XVII, descobetas inteessantes foam ealizadas e novos conceitos foam intoduzidos. O fenômeno de difação foi descobeto po Fancesco Maia Gimaldi (68-663), atavés da obsevação de bandas de luz na somba de um bastão iluminado po uma pequena fonte. Em seguida, Robet Hooke (635-73) efez os expeimentos de Gimaldi sobe difação e obsevou padões coloidos de intefeência em filmes finos. Ele concluiu, coetamente, que o fenômeno obsevado devia-se à inteação ente a luz efletida nas duas supefícies do filme e popôs que a luz oiginava-se de um movimento ondulatóio ápido no meio, popagando-se a uma velocidade muito gande. Sugiam assim as pimeias idéias da teoia ondulatóia, ligadas às obsevações de difação e intefeência que eam conhecidas no caso das ondas sobe uma supefície de águas calmas. Contibuições elevantes paa a óptica foam feitas po Isaac Newton (64-77). Em 665 ele ealizou expeimentos de dispesão num pisma, que o levou à conclusão da composição espectal da luz banca. Também intoduziu a teoia copuscula que afimava que a luz é composta de copos muito pequenos, emitidos po substâncias bilhantes. Esta sua afimação foi povavelmente baseada no fato de que aios de luz se popagam em linhas etas num meio homogêneo e daí a analogia com o movimento etilíneo que uma patícula desceve quando não existe foça agindo sobe ela. A teoia copuscula explicava, po exemplo, a fomação de sombas, de imagens geadas po uma lente, etc.. Nesta época Newton aceitava as duas teoias, tanto a copuscula como a ondulatóia. A dispesão de luz po um pisma ea explicada po ele com sendo devida à excitação de ondas no meio, po copúsculos de luz; cada co coespondia a um modo nomal de vibação, sendo que a sensação de vemelho coespondia às vibações mais longas, enquanto que o violeta, às mais cutas. Com o passa do tempo, Newton inclinou-se paa a teoia copuscula, povavelmente devido à dificuldade de se explica a popagação etilínea da luz atavés de ondas que se estendiam em todas as dieções. Newton também intoduziu o telescópio po eflexão em 668, paa contona os poblemas de abeação comática existentes nos telescópios po efação. Ele aceditava que estas abeações pesentes nas lentes jamais podeiam se evitadas, o que se povou não se vedade com a intodução do dubleto acomático no século XVIII.

14 Uma visão históica 5 Chistiaan Huygens (69-695), contempoâneo de Newton, inclinava-se paa a intepetação ondulatóia da natueza da luz. Esta concepção explicava cetos fenômenos, como po exemplo, a intefeência e a difação dos aios de luz. Ele estendeu a teoia ondulatóia com a intodução do conceito das ondas secundáias (pincípio de Huygens), com as quais deduziu as leis da eflexão e efação. Fez ainda váias outas contibuições impotantes, como po exemplo, estabelecendo que a velocidade de popagação da luz vaiava invesamente com uma popiedade do mateial, denominada índice de efação (v /n). A dupla efação da calcita também foi descobeta po ele. Independente da natueza copuscula ou ondulatóia da luz, um dado impotante a se obtido ea sua velocidade de popagação. Muitos aceditavam que ela se popagava instantaneamente, com velocidade infinita. Poém, em 676, Dane Ole Chistensen Röme (644-7) sugeiu a medida da velocidade da luz pela veificação do intevalo ente eclipses da lua Io, de Júpite, que se move paticamente no mesmo plano que este planeta se move em tono do Sol. A ealização destas medidas, baseadas no pincípio mostado na Fig.., demonstou que emboa muito gande, a velocidade da luz é finita. Obsevando-se o diâmeto apaente de Júpite, ea possível sabe como a distância deste à Tea, (t), mudava com o tempo. Como o intevalo ente duas eclipses consecutivas vaiava com o tempo, associou-se esta vaiação à velocidade de popagação finita da luz, de acodo com Δτ = Δ/c, de onde se obteve c.3x 8 m/s. Io (t) Óbita de Júpite Óbita da Tea Fig.. - Medida da velocidade da luz ealizada po Röme. As linhas pontilhadas definem o ângulo de visão de Júpite po um obsevado na Tea.

15 6 Uma visão históica Ao final do século XVII, ambas as teoias (copuscula e ondulatóia) eam aceitas. Duante o século XVIII acabou pevalecendo a teoia copuscula, pincipalmente devido ao gande peso científico de Newton, que havia se inclinado na dieção desta. Não houve gandes avanços da óptica naquele século, exceto pela constução do dubleto acomático em 758, po John Dollond (76-76)..4 Ressugimento da teoia ondulatóia O início do século XIX pesenciou o essugimento da teoia ondulatóia. Ente 8 e 83, Thomas Young (773-89) popôs o pincípio da supeposição e com ele explicou o fenômeno de intefeência em filmes finos. Devido ao peso científico de Newton e suas idéias sobe a teoia copuscula, Young foi bastante citicado pela comunidade científica inglesa devido a estes tabalhos. Desconhecendo os avanços ealizados po Young, já que a difusão de conhecimentos ea lenta naquela época, Augustin Jean Fesnel (788-87) popôs, 3 anos mais tade, uma fomulação matemática dos pincípios de Huygens e da intefeência. Na sua concepção, a popagação de uma onda pimáia ea vista como uma sucessão de ondas esféicas secundáias que intefeiam paa efaze a onda pimáia num instante subsequente. Esta poposição, chamada de pincípio de Huygens-Fesnel, também ecebeu muitas cíticas da comunidade científica fancesa, pincipalmente po pate de Laplace e Biot. Entetanto, do ponto de vista matemático, a teoia de Fesnel explicava uma séie de fenômenos, tais como os padões de difação poduzidos po váios tipos de obstáculos e a popagação etilínea em meios isotópicos, que ea a pincipal objeção que Newton fazia à teoia ondulatóia na época. Pouco tempo depois, Gustav Robet Kichhoff (84-887) mostou que o pincípio de Huygens-Fesnel ea conseqüência dieta da equação de ondas e estabeleceu uma fomulação igoosa paa o fenômeno de difação, como veemos no Cap. 8. Ao sabe que a idéia oiginal do pincípio da supeposição devia-se a Young, Fesnel ficou decepcionado, poém os dois acabaam tonando-se amigos e eventuais colaboadoes. Fesnel também colaboou com Dominique Fançois Jean Aago ( ), pincipalmente em assuntos ligados à polaização da luz.

16 Uma visão históica 7 Nos pimódios da teoia ondulatóia, pensava-se que a luz ea uma onda longitudinal, simila à uma onda sonoa popagando-se num meio tênue, poém com alta constante elástica, chamado éte. Tal meio pecisava se suficientemente tênue paa não petuba o movimento dos copos e a constante de mola deveia se elevada paa sustenta as oscilações de alta fequência da luz. Po outo lado, a dupla efação da calcita já havia sido obsevada po Huygens, que notou que a luz tem dois lados opostos, atibuídos à pesença do meio cistalino. Posteiomente, Étienne Louis Malus (775-8) obsevou que os dois lados opostos também se manifestavam na eflexão e que não eam ineentes a um meio cistalino, mas sim, uma popiedade intínseca da luz. Fesnel e Aago ealizaam uma séie de expeimentos visando obseva seu efeito no pocesso de intefeência, mas os esultados não podiam se explicados com o conceito de onda longitudinal aceito até então. Po váios anos, Fesnel, Aago e Young tentaam explica os esultados obsevados, até que finalmente Young popôs que a luz ea na vedade composta po ondas tansvesais (duas polaizações), como as que existem numa coda. A pati daí, Fesnel utilizou um modelo mecanicista de popagação de ondas tansvesais paa deduzi suas famosas equações de eflexão e tansmissão numa inteface dielética, paa as duas polaizações. Esta dedução está apesentada no Cap. 5. Em 85, a teoia ondulatóia já ea bastante aceita enquanto que a teoia copuscula tinha poucos defensoes. Até meados do século, foam ealizadas váias medidas teestes da velocidade da luz. Em 849, Amand Hippolyte Louis Fizeau (89-896) utilizou uma oda dentada otatóia (choppe) paa gea pulsos de luz e um espelho distante que efletia os aios de volta paa a oda. Vaiando a velocidade angula desta, vaiava-se o peíodo ente duas abetuas consecutivas e ea possível faze com que os pulsos passassem ou fossem bloqueados pela oda. A pati das equações do movimento etilíneo unifome, Fizeau deteminou a velocidade da luz como sendo 35.3 km/s. Outo conjunto de medidas visando a deteminação da velocidade da luz foi ealizado po Jean Benad Léon Foucault (89-868), com a utilização de um espelho otatóio desenvolvido em 834 po Chales Wheastone (da ponte de Wheastone) paa a medida da duação de uma descaga elética. Aago havia poposto o uso deste dispositivo paa a deteminação da velocidade da luz em meios densos, mas não conseguiu ealiza o expeimento. Entetanto, Foucault logou êxito nesta taefa e em 85 veificou que a

17 8 Uma visão históica velocidade de popagação da luz na água ea meno que no a. Isto ea contáio ao pevisto pela teoia copuscula de Newton e efoçou ainda mais a teoia ondulatóia..5 Ondas eletomagnéticas e luz Enquanto isso, a eleticidade e o magnetismo desenvolviam-se paalelamente à óptica. Em 845 foi feita a pimeia ligação ente o magnetismo e a luz po Michael Faaday (79-867). O efeito Faaday, que veemos com detalhes no Cap. 5, consiste na otação da polaização da luz quando esta passa po cetos tipos de mateiais submetidos a campos magnéticos intensos. Entetanto, o elacionamento completo ente a óptica e o eletomagnetismo só foi estabelecido po James Clek Maxwell (83-879). Inicialmente ele intoduziu a coente de deslocamento e e-esceveu, numa foma difeencial, as equações empíicas existentes na época. As expessões esultantes, hoje conhecidas como equações de Maxwell, foam combinadas e geaam uma equação de ondas paa o campo eletomagnético, cuja velocidade de popagação dependia das gandezas μ e ε (c = / ε μ ), que podiam se deteminadas com medidas de capacitância e indutância. Supeendentemente, o valo obtido ea numeicamente igual à velocidade da luz, já bem deteminada expeimentalmente. Com isto concluiu-se que a luz ea uma onda tansvesal, de natueza eletomagnética. Esta descobeta foi atificada pelo tabalho de Heinich Rudolf Hetz ( ), que em 888 poduziu e detectou ondas longas atavés de uma antena. Nós hoje sabemos que a luz visível é uma foma de onda eletomagnética, mas com compimento de onda estito ao intevalo que -5-5 vai de 4 x cm a 7. x cm, como mosta a Fig..3. A intuição na época é que paa uma onda se popaga ea necessáia a existência de algum meio que a supotasse, no caso, o éte. Assim, gande pate dos esfoços subsequentes foam na dieção de se detemina a natueza física e as popiedades do éte. Uma das questões elevantes na época ea se o éte estava ou não em epouso. A oigem desta questão estava ligada à obsevação da abeação estela, ealizada em 75 po James Badley (693-76). Neste fenômeno, ocoe um desvio da luz das estelas devido ao movimento de tanslação da Tea em tono do Sol. Ele podia se explicado facilmente pela teoia copuscula;

18 Uma visão históica 9 neste caso, seia equivalente à inclinação da tajetóia de gotas de chuva que um obsevado localizado num tem em movimento obseva, mesmo que elas estejam caindo na vetical paa um obsevado em epouso. Podia também se explicado pela teoia ondulatóia, desde que se consideasse o éte em epouso e a Tea passando sem petubações po ele. Com esta motivação, iniciou-se uma séie de estudos paa a deteminação do estado de movimento do éte. λ (Å) Micoondas e ondas de ádio Infavemelho 4 3 Visível Ultavioleta Raios X Raios γ - Fig..3 - O especto eletomagnético ( Å = -8 cm). Aago ealizou expeimentos mostando que fontes de luz teestes e exta-teestes tinham o mesmo compotamento, como se a Tea estivesse em epouso com elação ao éte. Paa explica estes esultados, Fesnel sugeiu que a luz ea pacialmente aastada pelo éte, confome a Tea passasse po ele. Esta hipótese de aastamento de Fesnel ea apaentemente confimada po expeimentos feitos po Fizeau, com a passagem de luz po colunas cheias de água em movimento e po Geoge Biddell Aiy (8-89), que em 87 usou um telescópio cheio de água paa obseva a abeação estela. Supondo que o éte estava em epouso absoluto, Hendik Antoon Loentz (853-98) desenvolveu uma teoia englobando as idéias de Fesnel, e que esultou nas conhecidas fómulas de Loentz. Maxwell sugeiu em 879, ano de sua mote, um esquema paa se detemina a velocidade com que o sistema sola se movia com elação ao

19 Uma visão históica éte. O físico ameicano Albet Abaham Michelson (85-93), na época com 6 anos, decidiu ealiza o expeimento poposto po Maxwell e esquematizado na Fig..4. A montagem expeimental faz uso de um intefeômeto de dois feixes, hoje conhecido como intefeômeto de Michelson, que seá discutido no Cap. 6. A luz poveniente de uma fonte é dividida po um espelho semi-tanspaente (diviso de feixes), é efletida po dois espelhos e etona ao diviso de feixes. Pate da luz chega ao obsevado e pate etona à fonte (Fig..4 (a)). Se a Tea estive andando paa a dieita com velocidade v e o éte estacionáio, os feixes hoizontal e vetical levaão tempos difeentes paa chega ao obsevado. De acodo com a Fig..4 (b), estes tempos são: t h = d + d = cd (.) c v c + v c v onde c é a velocidade da luz e d é a distância do diviso de feixes ao espelho. O pimeio temo epesenta o tempo que a luz demoa a i do diviso de feixes até o espelho da dieita e o segundo é o tempo de volta. Paa o feixe vetical temos: de onde se obtém t v = d / t v t v = d (.) c 4 v + ente os dois caminhos é dada po: Δ t = t h t v = d c c v, de foma que a difeença de tempos c v que coesponde a uma difeença de fase: c v dv 3 c (.3) πc πd v Δ φ = ωδt = Δt (.4) λ λ c onde λ é o compimento de onda da luz. Como as velocidades da luz e da Tea eam conhecidas, espeava-se medi uma vaiação de pelos menos /3 de fanja de intefeência quando o intefeômeto fosse odado 9 com elação à geometia da Fig..4. Entetanto não foi obsevada

20 Uma visão históica nenhuma vaiação e em 88 Michelson publicou os esultados povando que a Tea estava em epouso com elação ao éte. Estes expeimentos foam efeitos com maio pecisão em 887, com a paticipação de Edwad Williams Moley (838-93), e novamente obteve-se um esultado nulo. Fitzgeald e Loentz tentaam explica o esultado nulo do expeimento de Michelson e Moley admitindo que um copo se contai na dieção de seu movimento atavés do éte, na azão v / c. Este encutamento, conhecido como contação de Fitzgeald Loentz, igualaia os dois caminhos ópticos de tal maneia que não haveia qualque deslocamento de fanja. Entetanto, esta explicação ad hoc não ea muito satisfatóia, pois esta contação não ea passível de medição, já que qualque apaelho se contaiia junto com o objeto a se medido. espelho fonte espelho (a) obsevado espelho fonte espelho (b) obsevado v Fig..4 - Diagama simplificado do expeimento de Michelson-Moley: (a) intefeômeto e (b) caminhos ópticos.

21 Uma visão históica.6 A elatividade estita A obsevação da abeação estela não podeia se explicada pela postulação de um éte em epouso com elação à Tea. Os esultados obtidos po Michelson e Moley eam contáios a esta possibilidade e a explicação de Fitzgeald Loentz não ea convincente. Pode-se-ia admiti o caáte copuscula da luz e o efeito da abeação estaia explicado. Entetanto, a teoia ondulatóia já estava bem estabelecida e paticamente não foi questionada. Como explica então o fenômeno da abeação estela? Já em 9, Jules Heni Poincaé (854-9), baseado no expeimento de Michelson e Moley questionava a necessidade da existência do éte. Poém, apenas em 95, quando Albet Einstein ( ) intoduziu a teoia da elatividade estita, foi possível a explicação da abeação estela sem a necessidade de se postula a existência do éte. Como veemos no Cap. 6, com dois postulados simples, as tansfomações de Loentz, e o uso do poduto escala de quadivetoes, é fácil obte-se os efeitos Dopple longitudinal e tansvesal, bem como explica os fenômeno de abeação estela e da velocidade de aaste de Fizeau. Com isto chega-se à conclusão que a onda eletomagnética existe po si só, sem a necessidade de um meio paa se popaga. Em 95, Einstein também ealizou seu famoso tabalho sobe o efeito fotoelético, que lhe endeu o pêmio Nobel de 9. O desenvolvimento da elatividade estita havia dispensado a necessidade do éte e favoecia o conceito ondulatóio da luz. Paadoxalmente, no efeito fotoelético admitia-se a natueza copuscula da luz, a mesma defendida po Newton. Atualmente, entende-se que a luz tem uma natueza dual poque, devido aos tabalhos de quantização do campo de adiação eletomagnética, mencionados na póxima seção, concluiu-se que as ondas eletomagnéticas são constituídas po patículas elativísticas, chamadas de fótons. Potanto, cetos fenômenos, como intefeência, podem se descitos consideando-se o caáte ondulatóio e outos fenômenos, como o efeito fotoelético, consideando-se o caáte de patícula.

22 Uma visão históica 3.7 A óptica quântica Em 9, Max Kal Enst Ludwig Planck ( ) intoduz o conceito de quanta paa a explicação do especto da adiação emitida po copos aquecidos a uma dada tempeatua T, como po exemplo, fonos de fundição. Sugiu então a idéia de que a adiação ea absovida pelos átomos da cavidade de foma disceta, o que deu oigem à mecânica quântica. Foi intoduzida a constante de Planck e a enegia absovida po átomos com fequência de essonância ν como E ν = hν. Emboa Planck tivesse quantizado os átomos da cavidade, foi Einstein, que com a explicação do efeito fotoelético, quantizou a onda eletomagnética associando a ela uma patícula, que posteiomente foi denominada fóton. Com as idéias intoduzidas po Niels Boh e pelos cientistas da escola de Copenhagen, a mecânica quântica foi desenvolvida na sua quase totalidade até 97. O tabalho de Schödinge, que intoduziu a função de onda na descição de um sistema quântico, está fotemente baseada na analogia que existe ente a óptica geomética e a mecânica clássica, que seá evisada no póximo capítulo. Potanto, como já mencionamos, o entendimento dos fenômenos que ocoem na óptica ondulatóia auxilia bastante o apendizado da mecânica quântica. De acodo com o que foi explanado acima, podemos dividi o estudo da óptica em tês pates: a) óptica geomética - tata-se a luz como aios que se popagam em linha eta nos meios homogêneos, de acodo com a descição de Newton. Este tópico não seá tatado neste texto, mas o leito podeá enconta mateial a este espeito na Ref..3. b) óptica física - leva em conta a natueza ondulatóia das ondas eletomagnéticas e como conseqüência, temos a apaição de fenômenos tais como intefeência e difação. Esta pate da óptica está elacionada com o entendimento que Huygens tinha a espeito da natueza da luz, e seá apesentada nos capítulos de 3 a 8. c) óptica quântica - nesta pate quantiza-se o campo eletomagnético, apaecendo assim o fóton. Com esta teoia podemos tata da inteação ente fótons e átomos e explica detalhadamente o funcionamento do lase. Neste cuso estaemos inteessados pincipalmente em óptica física, emboa façamos uma beve evisão de óptica geomética. Veemos, no Cap. 3, a oigem da equação de ondas e sua solução paa em seguida

23 4 Uma visão históica abodamos poblemas ligados à polaização das ondas eletomagnéticas, tais como a geação de uma dada polaização e seu uso. Descevemos váios dispositivos que geam ou alteam uma dada polaização. No capítulo subseqüente, analisaemos o fenômeno de intefeência, discutindo váios tipos de intefeômetos e suas aplicações. No Cap. 7, veemos um tópico impotante paa a obtenção de intefeência, que é a coeência da fonte de luz utilizada. Também estudaemos a difação de luz e suas aplicações páticas, dente as quais se destaca a ede de difação. Este cuso cetamente seá mais bem apoveitado se fo acompanhado com demonstações dos váios tópicos abodados. Levando este fato em conta, incluímos no capítulo final, páticas demonstativas que ilustam e complementam os assuntos apesentados. Bibliogafia. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, a edição, G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, Inc, S. C. Zilio, Desenho e Fabicação Óptica, veja e-book no site:

24 Óptica de aios 5 Óptica de aios. Intodução Ao tatamos o tópico óptica de aios, também conhecido como óptica geomética, não levamos em consideação o caáte ondulatóio da luz, nem sua polaização. Nestas condições, efeitos tais como difação e intefeência não se evidenciam. Como veemos adiante, isto coesponde ao caso em que o compimento de onda tende a zeo (λ ), que é análogo ao limite clássico que se obtém da mecânica quântica ao tomamos h. Este aciocínio foi utilizado po Schödinge na obtenção da sua famosa equação, como mostaemos no final do capítulo. Entende-se como meio homogêneo aquele no qual o índice de efação não depende da posição, sendo, potanto constante. Note que o meio pode se simultaneamente homogêneo e anisotópico, caso comum em cistais, paa os quais o índice de efação tem valoes difeenciados paa distintas dieções de popagação da luz. Já no meio não homogêneo, o índice de efação é dependente da posição, em geal devido às flutuações de densidade, tempeatua ou composição química do mateial. Este capítulo inicia-se com uma beve exposição das popiedades de popagação de aios em meios homogêneos, com ênfase na sua efação ao atingi uma inteface dielética plana. Este é um tópico que seá evisto no Cap. 5, depois que abodamos os conceitos de polaização da luz e condições de contono do campo eletomagnético, necessáias à dedução das equações de Fesnel. Em seguida, tataemos de uma situação bem mais inteessante, a popagação de luz em meios não homogêneos. Mostaemos que os aios de luz podem desceve uma tajetóia cuva, difeentemente dos meios homogêneos, nos quais a popagação é etilínea. Seão apesentados quato tatamentos teóicos paa este tipo de poblema.

25 6 Óptica de aios Em paticula, faemos, no final do capítulo, uma analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética. Esta analogia seá impotante paa a obtenção da equação de Schödinge.. Popagação de luz em meios homogêneos Os tabalhos ealizados até a pimeia metade do século XVII estabeleceam que um aio de luz que se popaga obedece aos seguintes pincípios: a) nos meios homogêneos a popagação é etilínea e b) quando um aio (aio ) atinge a inteface que sepaa dois meios distintos temos uma fação efletida (aio ) e outa efatada (aio 3), confome mosta a Fig... n n 3 φ φ φ nomal Fig.. - Reflexão e efação de um aio luminoso numa inteface dielética. Como discutido po Huygens, cada meio é caacteizado po um paâmeto chamado índice de efação, n, que detemina a velocidade com que o aio se popaga naquele meio. A dieção seguida pelos aios e 3 não é abitáia. Demonstaemos na seção 5.6, usando as condições de contono paa o campo eletomagnético, que eles obedecem as seguintes egas: (i) os aios, e 3 estão todos num mesmo plano, chamado de plano de incidência, (ii) φ = φ e (iii) n sen φ = n sen φ (lei de Snell). Estas leis são muito impotantes paa o taçado dos aios ópticos na pesença de intefaces dieléticas. Note que pela expessão (iii), quando um aio peneta num meio de índice de efação maio ele se apoxima da nomal. Pela intepetação copuscula de Newton isto só seia possível se a componente de velocidade do aio paalela à nomal aumentasse. Mas isto é contáio à descobeta expeimental de Foucault, que constatou que

26 Óptica de aios 7 um aio de luz diminui sua velocidade ao adenta um meio de maio índice de efação, como apesentamos na seção.4. Em seguida tataemos o caso da popagação de luz em meios não homogêneos, paa o qual obviamente um meio homogêneo é um caso paticula. Atavés do pincípio do tempo mínimo, ou pincípio de Femat, vamos deduzi a lei dos senos. Apesentaemos ainda quato abodagens teóicas difeentes, que seão aplicadas a algumas situações específicas, em paticula ao caso em que o índice de efação depende de apenas uma coodenada..3 Popagação de luz em meios não homogêneos A motivação paa o estudo da popagação de aios em meios não homogêneos enconta-se nas divesas aplicações páticas e situações que ocoem no nosso cotidiano. Dente os váios exemplos que podem se citados, destacamos os seguintes: (i) tubulências atmosféicas ao olhamos paa as estelas numa noite de céu clao, notamos que elas temem ou piscam. Isto se deve às tubulências atmosféicas, tais como flutuações de pessão e densidade, que levam à fomação de coentes de vento e vaiações do índice de efação do a. Como conseqüência, o caminho pecoido pelo aio de luz não é estável, levando a dificuldades paa as obsevações astonômicas de copos celestes distantes, que obigam o uso de satélites, como po exemplo, o Hubble, ou o empego de óptica adaptativa. Na óptica adaptativa empega-se um lase de coante paa excita átomos de sódio existentes na camada supeio da atmosfea. Isto gea uma mancha cicula bilhante devido à luminescência do sódio, que devido às flutuações atmosféicas é vista de uma foma distocida pelo telescópio. Um sistema sevo-mecânico coige então a cuvatua de um dos espelhos do telescópio, de maneia a elimina estas distoções. O tempo de esposta deste sistema de coeção é da odem de. s. (ii) efeito miagem o aquecimento do a póximo à supefície da Tea modifica seu índice de efação e isto faz com que a luz execute uma tajetóia não etilínea. Este efeito é claamente obsevado nas tansmissões de coidas de caos pela TV. O a, aquecido pelo contato

27 8 Óptica de aios com o asfalto, ealiza um movimento convectivo ascendente fazendo teme as imagens dos caos, como se houvesse uma tênue fumaça diante deles. O efeito do desvio da luz é ainda mais evidente paa os aios asantes, como quando viajamos de cao e obsevamos a imagem do céu e nuvens efletidas no asfalto, dando a impessão de poças d água. Nesta situação, os aios asantes são desviados pelo a aquecido localizado póximo ao asfalto e atingem o olho do obsevado. Este efeito, conhecido como miagem, é comum em desetos, mas também pode ocoe no ma, só que neste caso, a água esfia o a e a imagem é invetida. (iii) comunicações ópticas na tansmissão de infomações com luz, o meio no qual o aio se popaga desempenha um papel impotante. Na tansmissão de micoondas po visada dieta, onde o sinal geado po uma antena paabólica é captado po outa, flutuações na atmosfea poduzem uído no sinal tansmitido, devido à instabilidade na tajetóia dos aios, que po vezes não atingem pefeitamente a antena eceptoa. Nas comunicações po fiba óptica, a luz geada po um lase semiconduto fica confinada pincipalmente no núcleo, que possui índice de efação maio que a casca. Assim, a vaiação do índice de efação novamente modifica a popagação dos aios. A pópia focalização de luz em fibas ópticas é muitas vezes ealizada po uma lente do tipo GRIN (gadient index), cujo índice de efação diminui adialmente, de foma contínua. A popagação de luz nestes meios do tipo lente seá discutida após intoduzimos as feamentas matemáticas necessáias. (iv) efeitos auto-induzidos ocoem quando um feixe de luz lase pecoe um meio do tipo Ke, cujo índice de efação depende da intensidade de acodo com: n(i) = n + n I, onde n é o índice de efação paa baixas intensidades e n é chamado de índice de efação não linea. O feixe de luz lase possui em geal um pefil tansvesal de intensidade do tipo gaussiano, que modifica o índice de efação na dieção adial, poduzindo o efeito de uma lente. A oigem de n pode te natueza témica ou eletônica, e sua deteminação constitui um assunto de pesquisa atual. Em comunicações po fibas ópticas, a pesença deste tipo de efeito pode compensa a dispesão da velocidade de gupo e da oigem a sólitons. Tataemos deste assunto bevemente no Cap. 4. Além dos exemplos citados acima, o estudo da popagação de luz em meios não homogêneos é impotante do ponto de vista históico, pois pemite entende como a mecânica ondulatóia foi intoduzida po Schödinge. Mesmo assim, o mateial elativo a este tópico está dispeso

28 Óptica de aios 9 em váios livos e atigos, e sua compilação justifica a existência do pesente texto. Do ponto de vista teóico, a popagação de luz em meios não homogêneos pode se tatada de quato maneias distintas, que conologicamente seguem a seguinte odem: a) lei de Snell genealizada, b) pincípio de Femat, c) equação do eikonal e d) limite clássico da equação de Schödinge. No estante do capítulo, desenvolveemos estas análises teóicas, com a aplicação a alguns casos paticulaes..4 A lei de Snell genealizada Como se tonaá evidente mais adiante, este tipo de abodagem se aplica ao caso unidimensional, ou seja, quando o índice de efação vaia em apenas uma dieção. Como exemplo desta situação, tomemos uma mistua não homogênea de água (n=.333) e álcool (n=.36), que apesenta uma vaiação de índice de efação como indicada na Fig... Vamos ainda supo que o aio de luz peneta nesta mistua a uma altua y, localizada na egião de tansição água-álcool, popagando-se ao longo do eixo z. Esta situação está esquematizada na Fig..3. Como a vaiação de n é pequena e ocoe numa egião elativamente gande (da odem de um centímeto), admitiemos que o desvio sofido pelo feixe é pequeno. Assim, o aio desloca-se-á pouco da altua y e o índice de efação pode se expandido em séie de Taylo, de acodo com: n(y) dn (y) = n + (y y ) (.) dy n y água álcool n al n ag n y Fig.. - Vaiação do índice de efação numa mistua não homogênea de água e álcool (n ág =.333 e n al =.36). y

29 Óptica de aios y índice maio i+ θ i- θ i i i- y índice meno z Fig..3 - Desvio de um aio de luz que incide na mistua água-álcool a uma altua y. A magnitude do desvio foi exageada paa melho visualização. onde n e dn/dy] y são espectivamente o índice de efação e seu gadiente na altua y. A segui, vamos utiliza a lei de Snell, que já ea conhecida expeimentalmente em 6. Paa isto, vamos imagina a egião de tansição água-álcool dividida num gande númeo de lâminas planas e paalelas, de espessuas tão finas quanto se queia, de foma que em cada uma delas o índice de efação pode se consideado constante. As lâminas são paalelas ao eixo z e, potanto pependiculaes à dieção em que n vaia. O paalelismo ente as faces de cada lâmina é motivado pelo fato de n vaia apenas ao longo de y. Podemos aplica a lei de Snell na inteface que sepaa duas lâminas consecutivas i e i-: n i- sen θ i- = n i senθ i, onde θi é o ângulo que o aio faz com o eixo y. Como o índice de efação é constante em cada uma das lâminas, o aio se popaga em linha eta até a póxima inteface, onde chega com o ângulo de incidência θ i. Novamente aplicamos a lei de Snell: n i senθ i = ni+ sen θ i+. Desta foma, o poduto nsenθ mantém-se constante confome o aio se popaga pelas difeentes lâminas. Tomando o limite em que as espessuas das lâminas tendem a zeo, obtemos a lei de Snell genealizada: n (y) sen θ(y) = constante (.) que estabelece que o ângulo θ vaia continuamente com y, confome n vaia. Podemos ainda tabalha com o ângulo β(y) que o aio faz com as

30 Óptica de aios faces das lâminas. Levando em conta que β é o ângulo complementa de θ e que o aio inicialmente popaga-se ao longo do eixo z (β(y ) = ), a lei de Snell genealizada fica: n (y) cosβ(y) = (.3) O aio desceve uma tajetóia cuva dada po y = y(z), cuja inclinação é: n dy senβ = tgβ = = dz cosβ cos cosβ β (.4) Usando as expessões de cosβ e n(y) dadas pelas equações (.3) e (.), temos: dy n dn = = (y y ) (.5) dz n n dy onde o temo quadático em dn/dy foi despezado. A eq. (.5) pode se facilmente integada esultando em: y dn y = y (.6) + z n dy y que epesenta a tajetóia paabólica do aio dento do meio. É possível se faze uma demonstação na qual se mede o desvio de um aio de luz lase ao pecoe ceta distância dento do meio. Isto possibilita a medida do gadiente do índice de efação como função da altua y. Devido ao fato deste gadiente não se constante, obsevamos a focalização (ou desfocalização) da luz do lase, como descito a segui. Consideemos um feixe de luz lase com diâmeto Δy, de tal foma que a pate infeio do aio peneta no meio a uma altua y e a pate supeio em y +Δy. Vamos ainda considea Δy suficientemente pequeno tal que o índice de efação seja apoximadamente o mesmo (n ) ao longo de todo o pefil tansvesal do feixe. A uma distância z no inteio do meio, a pate infeio do feixe satisfaá a eq. (.6), enquanto que a pate supeio executaá uma tajetóia descita po: ( y + Δy) + z n dy y + y dn y' = (.7) Δ

31 Óptica de aios e assim, o diâmeto do feixe, Φ = y -y, como função da distância de popagação, fica: Φ = Δy + n dn dy y+δy dn dy y z = Δ y + n d n dy y z (.8) Desta foma, o desvio sofido pelo feixe está ligado ao gadiente de n, enquanto que seu diâmeto fonece a deivada segunda de n. De acodo com a Fig.., póximo da água o feixe seá desfocalizado e na egião mais póxima do álcool haveá focalização..5 O pincípio de Femat Intoduzido em 657, o pincípio de Femat estabelece que a luz se popaga ente dois pontos no meno tempo possível, no caso em que ela não sofe eflexões. Consideemos um aio se popagando po meios com difeentes índices de efação, confome mosta a Fig..4. O tempo total paa ele ealiza o pecuso indicado é dado pela somatóia dos tempos gastos em cada meio: t N N N di = t i = = n idi v i i i c (.9) = = i= onde d i é a distância pecoida em cada meio, com velocidade v i = c/n i. c é a velocidade da luz no vácuo e n i é o índice de efação do i-ésimo meio. A somatóia [Δ] = Σn i d i é denominada de caminho óptico. Como c é constante, o tempo mínimo implica no meno caminho óptico possível. n n n 3 n 4 n 5 n 6 d d 3 d 4 d 5 d 6 d Fig..4 - Popagação de um aio po uma séie de meios homogêneos com índices de efação difeentes.

32 Óptica de aios 3 Uma aplicação simples do pincípio de Femat é a dedução da lei de Snell, que apesentamos a segui. Consideemos um aio que se popaga ente dois pontos fixos, P e P, localizados em meios com índices de efação distintos, n e n, confome mosta a Fig..5. As distâncias x e x são fixas, mas y e y podem vaia paa a minimização do tempo. Entetanto, como os pontos P e P são fixos, y+y = Y é constante. O caminho óptico seá dado po: n n P nomal d θ y θ d y P x x Fig..5 - Geometia utilizada na dedução da lei de Snell pelo pincípio de Femat. N [ Δ] = n id i = n d + n d i= (.) que de acodo com a geometia da Fig..5, [Δ] pode se expesso como: [ ] = n x + y + n x + y = n x + y + n x + (Y y ) Δ (.) A eq. (.) fonece a vaiação de [Δ] com y. Paa encontamos seu valo mínimo igualamos sua deivada a zeo: [ Δ] n y n ( Y y ) d dy = x + y x + (Y y ) = (.) De acodo com a geometia da Fig..5, as fações da eq. (.) coespondem aos senos de θ e θ, de foma que assim obtemos a lei de Snell: n sen θ n sen θ = (.3)

33 4 Óptica de aios Até agoa nossa apesentação do pincípio de Femat estingiu-se ao caso em que a luz se popaga atavés de váios meios homogêneos, poém com difeentes índices de efação. Queemos agoa analisa o caso em que a popagação ocoe num meio em que o índice de efação vaia continuamente ao longo do pecuso do aio. Neste caso, a somatóia da eq. (.9) deve natualmente se substituída po uma integal: P [ ] n(s) ds Δ = (.4) P onde s é distância pecoida pelo feixe ente os pontos P e P e n(s)ds é o caminho óptico elementa. O pincípio de Femat estabelece a existência de um caminho muito bem definido paa o aio i de P e P. Tata-se de um pincípio vaiacional que pode se colocado da seguinte maneia: P δ n(s) ds = (.5) P Quando um aio se popaga no espaço, ds é expesso em coodenadas catesianas como: ds & + & = dx + dy + dz = dz + x y (.6) onde x& =dx/dz e y& =dy/dz. Note que dz foi abitaiamente colocado em evidência, mas também podeíamos te escolhido dx ou dy. Assim, o pincípio de Femat fica: com: δ P P n(x, y,z) + x& + y& dz = δ f (x, y, x, & y,z)dz & = (.7) f (x, y, P P x, & y, & z) & + & = n(x, y, z) + x y (.8) onde supusemos que n pode vaia nas tês dieções. A solução da eq. (.7) já foi estabelecida no contexto da mecânica clássica, explicitamente ao se tata o pincípio da mínima ação: δ P P L (x, y,z, x, & y,z, & & t)dt = (.9)

34 Óptica de aios 5 onde L(x,y,z, x &, y,z & &,t) é a Lagangeana do sistema mecânico, x, y, e z são as coodenadas catesianas e t é o tempo. Compaando as equações (.7) e (.9), notamos que f(x,y, x &, y&,z) faz o papel da Lagangeana e z, o de tempo. Como já estudado na mecânica clássica, a solução da eq. (.7) leva a um conjunto de equações do tipo Eule-Lagange: d dz d dz f f = x& x f f = y& y (.a) (.b) Queemos agoa aplica estas equações na análise da tajetóia do aio se popagando na mistua de água e álcool. De acodo com a simetia do poblema, a tajetóia do aio está confinada ao plano yz e a função f independe de x e x&. Em geal, a análise de poblemas onde o índice de efação depende apenas de uma coodenada tona-se matematicamente mais simples se a coodenada tempo fo tomada na dieção em que n vaia. Assim, tomaemos ds = + z& dy, onde agoa dy foi colocado em evidência. Neste caso, a equação de Eule -Lagange tona-se: d dy f f = z& z = n(y) z& independe de z e potanto f / z = (.) onde f (z, & y) +. Isto simplifica a solução da eq. (.) pois f / z& seá constante. Desta foma, temos: f n(y)z& = = n (.) z& + z& onde a condição inicial β(y ) = foi usada. Note que tg β(y ) = dy/dz = paa z = (y=y). Potanto, z& = cotgβ = neste ponto e os z& do numeado e denominado da eq. (.) se cancelam. Elevando esta equação ao quadado obtemos: n (y)z ( z& ) & n + = (.3)