JOSE DONIZETTI DE LIMA

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1 DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MATEMÁTICA Programa de Pós-Graduação em Egeharia de Produção e Sistemas (PPGEPS) JOSE DONIZETTI DE LIMA PATO BRANCO, 05 DE NOVEMBRO DE 2015

2 SUMÁRIO Capítulo 1 INTRODUÇÃO: PRINCÍPIOS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES Capítulo 2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES, COMPOSTO E CONTÍNUO 2.1 Regime de Capitalização Simples (Juros Simples) Regime de Capitalização Composto (Juros Compostos) Regime de Capitalização Cotíuo (Juros Cotíuos)...11 Capítulo 3 TAXAS DE JUROS 3.1 Taxa de juros omial Taxa de juros efetiva Taxa de juros equivalete Taxas proporcioais...17 Capítulo 4 SÉRIES DE PAGAMENTOS 4.1 Séries de pagametos uiforme Séries de pagametos ão-uiforme Séries perpétuas...26 Capítulo 5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 5.1 Itrodução Sistema de Amortização Costate (SAC) Sistema Price (ou Sistema Fracês) Sistema de Amortização Americaa (SAA) Carêcia Programado as carêcias em uma plailha eletrôica de cálculos...30 Capítulo 6 ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS (APS): ESTÁ NA HORA DE APREENDER + Listas de exercícios-problemas propostos para a revisão dos coceitos...32 Sugestão de avaliação...37 Referêcias...51 Motivação para a elaboração desse documeto: O cosagrado autor Abelardo de Lima Puccii (2011) a oa edição do seu livro Matemática Fiaceira: objetiva e aplicada, recohece: A maioria dos livros de Matemática Fiaceira costuma apresetar a matéria com uma simbologia complexa, e com o desevolvimeto de fórmulas para cada situação específica, criado, assim, um mito de dificuldade para o seu apredizado. Nesse cotexto, o presete texto busca itroduzir os coceitos básicos e os pricipais fudametos que orteiam o estudo da Matemática Fiaceira. A Matemática Fiaceira (MF) é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportameto do diheiro o tempo. Segudo Puccii (2011), a MF tem como objetivos pricipais: (i) a realização de cálculos em fluxos de caixa, com a correta aplicação de taxas de juros, para se levar em cota o valor do diheiro o tempo; (ii) a obteção da taxa itera de juros que está implícita os fluxos de caixa; e (iii) a aálise e a comparação de diversas alterativas de fluxos de caixa. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 2

3 Capítulo 1 PRINCÍPIOS, CONCEITOS E DEFINIÇÕES PRELIMINARES A Matemática Fiaceira ão é um cojuto de fórmulas exóticas para o cálculo de juros, mas sim um método de decisão etre alterativas de ivestimeto e de fiaciameto. (MORGADO et al., 2008). Itrodução (Adaptado de PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006) A Matemática Fiaceira (MF) estuda o comportameto do diheiro ao logo do tempo. Podemos iiciar o estudo sobre o tema com a seguite frase: Não devemos operacioalizar quatias em diheiro que ão estejam a mesma data Embora esta afirmativa, seja básica e simples, é absolutamete icrível como a maioria das pessoas esquecem ou igoram esta premissa. E para reforçar, as ofertas veiculadas as mídias reforçam a maeira errada de se tratar o assuto. Por exemplo, uma TV que à vista é vedida por R$ 1.500,00 ou em 6 prestações de R$ 300,00, acresceta-se a seguite iformação ou desiformação: total a prazo R$ 1.800,00. O que se verifica é que soma-se os valores em datas diferetes, desrespeitado o pricípio básico, citado ateriormete, e iduzido a se calcular juros de forma errada. Esta questão será melhor discutida os próximos capítulos. Pode-se coceituar os juros como sedo o pagameto pela oportuidade de se poder dispor de um capital em determiado período do tempo (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Uma palavra que é fudametal os estudos sobre Matemática Fiaceira (MF) é JUROS. Cada um dos fatores de produção é remuerado de alguma forma. Desta forma, os juros é o que se paga pelo custo do capital, ou seja, é o pagameto pela oportuidade de poder dispor de um capital durate determiado tempo. A propósito estamos acostumados com juros, lembrem dos seguites casos: compras à crédito, cheques especiais, prestação da casa própria, descoto de duplicata, vedas à prazo, fiaciametos de automóveis e empréstimos pessoais, por exemplo. Como podemos ver o termo é muito familiar se lembrarmos do osso dia a dia. Podemos até ão os importar com a questão, mas a perguta que se faz é: O quato pagamos por ão cosiderarmos adequadamete a questão? E cocluido, ota-se a correspodêcia etre os termos juros e tempo, que estão itimamete associados. A taxa de juros e a uidade de tempo cosideradas devem ser equivaletes, isto é, devem ter uma uidade comum. Assim, as variáveis taxa uitária ( i ) e úmero de períodos ( ) devem sempre estar a mesma uidade de tempo. Dica: Sempre trasforme a mesma uidade da i. Coceito de juro Ao se emprestar certa quatia à uma pessoa ou istituição, é justo que se receba com a quatia emprestada, mais outro valor que represeta o aluguel (ou prêmio ou recompesa) pago pelo empréstimo (capital emprestado). A esse aluguel pago pelo valor emprestado deomiamos juro. Matematicamete, podemos escrever: JURO = BASE X TAXA No próximo capítulo, veremos que essa base pode ser costate (juros simples) ou ser atualizada a cada período (juros compostos) ou aida ser corrigida cotiuamete (juros cotíuos). Por outro lado, a taxa de juros é, em geral, cosiderada como fixa. Pricípios Para a realização da aálise de viabilidade ecoômica de projetos de ivestimetos sejam eles tradicioais e/ou iovadores, algus pricípios fudametais devem ser observados: Cosiderar o valor do diheiro ao logo de um escala de tempo: Devemos levar em cosideração que o diheiro possui um valor depedete do tempo, isto é, receber hoje é diferete do que Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 3

4 receber o mesmo valor em outro período (o próximo ao, por exemplo). Portato, somete podemos cosiderar os métodos de fluxo de caixa descotados, ou seja, os que levam em cosideração o valor do diheiro o tempo. Segudo Souza e Kliema Neto (2012), para que a tomada de decisão seja realizada da forma mais correta possível, tageciado a realidade, a Egeharia Ecoômica susteta suas bases o coceito do valor do diheiro o tempo. Todas as quatias de diheiro devem ser referidas a uma data e somete poderão ser trasferidas para outra data cosiderado os juros evolvidos essa trasferêcia/trasação. (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Em outras palavras, ão se soma valores que ão estejam a mesma uidade de tempo e, é claro, a mesma uidade moetária sem ates realizar uma coversão adequada. Assim, ão é permitido, operar (somar ou subtrair, por exemplo) quatias de diheiro que ão estão a mesma data. O passaporte para viajar com o diheiro ao logo do tempo é a taxa de juros. Apeas as difereças etre as alterativas de ivestimetos são relevates. Exemplificado: em uma aálise para a aquisição de um tipo de motor, ão deve haver iteressa sobre o cosumo destes se forem idêticos. Cosiderar o custo do capital (próprio e/ou de terceiros) como precoiza a teoria do Valor Ecoômico Agregado (EVA Ecoomic Value Added). É importate ressaltar que, a aálise de um ivestimeto, o ivestidor também deve cosiderar outros aspectos além do ecoômico, tais como: velocidade de produção e ível de qualidade agregado ao produto fial, imprimido maior robustez ao processo produtivo. Siglas e coveções Usaremos as seguites siglas para represetar os elemetos da Matemática Fiaceira (MF): Siglas Sigificado Breve explicação: iglês J Juros Iterest VP Capital ou Pricipal Value Preset i Taxa de juros (taxa uitária) Iterest rate Número de períodos (tempo decorrido) Number of periods VF Motate (valor futuro) Value Future FC Prestação (parcela ou pagameto ou fluxo de caixa) Paymet ou Cash Flow TMA Taxa Míima de Atratividade ou Custo de Oportuidade Cost Oportuity Adota-se a coveção de que todos os acotecimetos fiaceiros realizados em um período são cosiderados como realizados o istate fial deste período. Assim, em geral, para a simplificação dos cálculos, sem perda de geeralidade, cosideramos que os pagametos e/ou recebimetos ocorrem o fial de cada período. Para efeito de cálculo cosidera-se, em geral: (i) ao comercial: 360 dias e; (ii) mês comercial: 30 dias. Na fórmula para o cálculo do motate ou Valor Futuro (VF), idepedete do regime de capitalização (simples, composto ou cotíuo) aparecem quatro variáveis: Valor Futuro (VF), Valor Presete (VP), Taxa de juros (i) e úmero de períodos (N). Podemos ecotrar qualquer uma delas, desde que se coheçam as outras três. Logica aáloga é utilizada os problemas que evolvem fluxo de caixa (FC), VF, i e N ou FC, VP, i e N. No próximo capítulo discutimos o que é juros simples, compostos e cotíuos. Nos próximos capítulos, outros potos importates em Matemática Fiaceira são retomados. Cotudo, é importate aalisarmos os pricipais pricípios desse ramo da Matemática. Questões que ão querem calar 1) O que é Fluxo de Caixa (FC)? Como um coceito geral, o Fluxo de Caixa (FC, em iglês, Cash Flow), é a relação (difereça) etre as etradas e as saídas de recursos fiaceiros em determiado Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 4

5 período (ao, mês ou dia, por exemplo), visado prever a ecessidade de captar empréstimo ou aplicar excedetes de caixa as operações mais retáveis. O fluxo de caixa pode ser defiido como o movimeto do diheiro que etra e sai de uma empresa, em decorrêcia de suas atividades. 2) O que diagrama do Fluxo de Caixa? É uma represetação gráfica do Fluxo de Caixa. A costrução do diagrama do fluxo de caixa permite a visualização gráfica dos resultados dos exercícios, isto é, explicita a difereça etre receitas e custos. 3) O que são idicadores ecoômico-fiaceiros? Os idicadores ecoômico-fiaceiros são valores quatitativos, ou seja, úmeros utilizados para idetificar a situação e o desempeho ecoômicofiaceiro da empresa ou de um projeto. 4) Custo/gasto/despesa: tratar todos como iguais? (i) Custo: dispêdio de recursos moetários ecessários; (ii) Gasto: Ver Boria, Kliema, UTFiova... Os custos são classificados em fixos, quado ão se alteram de acordo com a quatidade produzida e variáveis quado depedem do ível de produção. Juro? Custo do capital = custo do diheiro. Ao capital cabem juros. 5) Cosiderar/cotemplar diversos aspectos? (i) técico; (ii) ecoômico; (iii) fiaceiro; (iv) ambietal/sustetabilidade; e (v) impoderáveis. Aálise dos beefícios tagíveis. Aálise dos beefícios ão tagíveis (estratégico/ambietal/sustetabilidade/mdl). Prática: Exemplos didáticos para se calcular a taxa de juros em um período 1) Supoha que um determiado objeto tem como preço de etiqueta R$ 100,00 com as seguites opções para o comprador: R$ 50,00 de etrada + R$ 50,00 (em 30 dias) ou R$ 90,00 à vista. Perguta-se: Qual a taxa de juro mesal cobrada essa trasação comercial (compra)? Solução: Ao optar pela compra a prazo deixamos de desembolsar, o ato da compra, R$ 40,00 (R$ 90,00 R$ 50,00), sedo que por estes R$ 40,00 devemos pagar R$ 50,00 ao térmio de 30 dias, ou seja, devemos pagar R$ 10,00 de juros, o que represeta em relação a R$ 40,00 uma taxa de 25%. Portato, a taxa de juros é de 25% ao mês. Para os meos avisado a taxa é de 10% pois o valor se reduz de R$ 100,00 para R$ 90,00 em um período. Nota: Além disso, se atrasarmos o pagameto da prestação estaremos sujeito a cobraça de multa de 2% mais juros de 1% ao mês acrescido de atualização moetária. Além da possibilidade de iclusão do ome os cadastros dos Serviços de Proteção ao Crédito (SPC ou SERASA, por exemplo). 2) Supoha uma compra o valor de R$ 100,00, com as seguites opções: À vista R$ 80,00 ou duas vezes de R$ 50,00 (etrada + 30 dias). Qual a taxa de juro cobrada essa trasação comercial? Solução: R$ 80,00- R$ 50,00 R$ 30, 00 Assim, optado pela compra parcelada, deixamos (o ato da compra) de desembolsar R$ 30,00 e por estes devemos pagar R$ 50,00 em 30 dias. 1 a forma) Como a situação retrata apeas um período (1 mês) podemos fazer uso da seguite fórmula, deduzida o próximo capítulo: VF VP ( 1 i) em que: VP R$ 30,00, VF R$ 50,00, 1 e pretedemos (é claro) determiar a taxa (i). 50 i 1 30(1 ) 0, 6667 i ou i 66,67% 2 a forma) Poderíamos determiar a taxa simplesmete fazedo 50 1, 6667, ou seja, o aumeto é de 30 66,67% e como temos um período apeas, e só por isto, a taxa é de aproximadamete 66,67%. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 5

6 Capítulo 2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES E COMPOSTO Juros simples ou juros compostos? Segudo Albert Eistei, o juro composto é a maior iveção da humaidade, porque permite uma cofiável e sistemática acumulação de riqueza. 2.1 Regime de Capitalização Simples: Juros Simples No regime de capitalização simples, somete o capital (ou pricipal) gera juros. Assim, utilizado o coceito de que juros é o resultado do produto de uma base por uma taxa, esse regime a base é fixa (ou costate ou ão atualizável). Por outro lado, a taxa de juros é matida imóvel. Deomiado: VP : Valor Presete ou atual ou pricipal; VF : Valor Futuro ou motate; i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou uidade de tempo); e : úmero de períodos de capitalização. Objetivo: Estabelecer uma relação matemática etre VP, VF, i e, cosiderado uma base fixa, ou seja, costate (ou ão atualizável). Para tato, podemos utilizar o seguite diagrama: Vejamos a Tabela 1 o comportameto de um sistema de capitalização pelo regime de juros simples. Observamos que esta sistemática pode facilmete ser implemetada em uma plailha eletrôica de cálculos (MS-Excel, por exemplo). Tabela 1 Detalhameto do regime de capitalização simples Período (p) Juros (J) Valor Futuro (VF) Detalhameto do VF 0 =VP - 1 =VPi =VP(1+i) VP + VPi = VP (1+i) 2 =VPi =VP(1+i2) VP (1+i) + VPi = VP(1+2i) 3 =VPi =VP(1+i3) VP(1+2i) + VPi = VP(1+3i) j =VPi =VP(1+ij) =VPi =VP(1+i(-1)) =VPi =VP(1+ i) Assim, a relação matemática etre o Valor Presete (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros (i) e um úmero de período (), o regime de capitalização simples (juros simples), é dada pela equação (01): VF VP (1 i ) (01) Nota: A demostração completa ocorre por idução fiita (LIMA, 2012). A equação (01) apreseta os seguites desdobrametos (ou variações), para a determiação do Valor Presete (VP), da taxa de juros por período (i) e do úmero de períodos (), explícitos as equações (02), (03) e (04), respectivamete: VF VP (1 i ) (02) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 6

7 VF 1 i VP (03) VF 1 VP i (04) Em suma/sítese (fórmulas de operacioalização): VF VP (1 i ) VF 1 VF VP (1 i ) i VP VF 1 VP i Exemplo ilustrativo 1) Cosideremos: VP = R$ 100,00; VF = R$ 140,00; = 4 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama, temos: Caso 1: Dados VP, i e, determiar VF. Caso 2: Dados VF, i e, determiar VP. Caso 3: Dados VP, VF e, determiar i. Caso 4: Dados VP, VF e i, determiar. Estes casos estão implemetados em uma plailha eletrôica de cálculos, como o MS-Excel, coforme observamos a figura a seguir. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 7

8 2.2 Regime de Capitalização Composto: Juros Compostos No regime de capitalização composto, a base é atualizada o fial de cada período. Assim, utilizado o coceito de que juros é o resultado do produto de uma base por uma taxa e a base é atualizada periodicamete, os juros icidem sobre o capital mais os juros gerados os períodos ateriores. Por outro lado, a taxa de juros é matida costate detro do horizote de aálise. Deomiado: VP : Valor Presete ou atual ou pricipal; VF : Valor Futuro ou motate; i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou uidade de tempo); e : úmero de períodos de capitalização. Objetivo: Estabelecer uma relação matemática etre VP, VF, i e, cosiderado uma base móvel, ou seja, atualizada a cada período. Para tato, podemos utilizar o seguite diagrama: Vejamos a Tabela 2 o comportameto de um sistema de capitalização pelo regime de juros compostos. Observamos que esta sistemática pode facilmete ser implemetada em uma plailha eletrôica de cálculo (MS-Excel, por exemplo). Tabela 2 Detalhameto do regime de capitalização composto Período (p) Juros (J) Valor Futuro (VF) Detalhameto do VF 0 =VP =VPi =VP(1+i) VP + VPi = VP(1+i) 2 =VP(1+i)i =VP(1+i) 2 VP(1+i) + VP(1+i)i = VP(1+i) 2 3 =VP(1+i) 2 i = VP(1+i) 3 VP(1+i) 2 + VP(1+i) 2 i = VP(1+i) j =VP(1+i) j-1 i = VP(1+i) j =VP(1+i) -2 i = VP(1+i) -1 =VP(1+i) -1 i =VP(1+ i) Assim, a relação matemática etre o Valor Presete (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros (i) e um úmero de período (), o regime de capitalização composto (juros compostos), é dada pela equação (05): Nota: A demostração completa ocorre por idução fiita (LIMA, 2012). VF VP (1 i) (05) Essa é a pricipal fórmula da Aálise Ecoômica de Projetos (AEP). As demais são desdobrametos ou cosequêcias desta. A fórmula (05) apreseta os seguites desdobrametos (ou variações), para a determiação do Valor Presete (VP), da taxa de juros por período (i) e do úmero de períodos (), explícitos as equações (06), (07) e (08), respectivamete: Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 8

9 VP VF (1 i) (06) Em suma/sítese (fórmulas de operacioalização): Exemplo ilustrativo VF i 1 VP (07) VF log VP log 1 i (08) VF VP (1 i) VF VP (1 i) VF i 1 VP VF log VP log 1 i 1) Cosideremos: VP = R$ 100,00; VF = R$ 146,41; = 4 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama, temos: Caso 1: Dados VP, i e, determiar VF. Caso 2: Dados VF, i e, determiar VP. Caso 3: Dados VP, VF e, determiar i. Caso 4: Dados VP, VF e i, determiar. Estes casos estão implemetados em uma plailha eletrôica de cálculos, como o MS-Excel, coforme observamos a figura a seguir. Notas importates: 1 (1 i) ( 1 i) : fator de capitalização; e : fator de descapitalização. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 9

10 Exemplos ilustrativos 1) Os juros produzidos pela cadereta de poupaça são juros compostos, pois, após cada mês, os juros são icorporados ao capital. Salieta-se aida que a cadereta de poupaça é iseta do Imposto sobre as Operações fiaceiras (IOF) e do Imposto de Reda (IR). Vale salietar que parte dos recursos gerados com a captação de diheiro da cadereta de poupaça serve para fiaciar a costrução da cada própria, evideciado assim a importâcia da mesma. Nessas codições, qual o motate produzido por R$ 1.000,00, em 12 meses, aplicado a 0,5% ao mês. Solução: Portato, o motate é a ordem de R$ 1.061,68. Juros Simples (JS) x Juros Compostos (JC) 1 0,5% , 68 VF ) Supohamos que você teha aplicado a importâcia de R$ 100,00, pelo prazo de 4 aos, à taxa de 10% ao ao (matida costate). Baseado-se esses dados, preecher as tabelas a seguir: 1 a Tabela) Cosidere juros simples (base fixa), ou seja, juros ão recebe juros. Período Base de Cálculo Juros de cada período Motate = Capital + Juros 0 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00 1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 110,00 2 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 120,00 3 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 130,00 4 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 140,00 2 a Tabela) Cosidere juros compostos (base atualizada a cada período), ou seja, juros recebe juros. Período Base de Cálculo Juros de cada período Motate = Capital +Juros 0 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00 1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 110,00 2 R$ 110,00 R$ 11,00 R$ 121,00 3 R$ 121,10 R$ 12,10 R$ 133,10 4 R$ 133,10 R$ 13,31 R$ 146,41 2) Elabore um gráfico comparativo etre os crescimetos dos motates para os sistemas de capitalização: Juros Simples e Juros Compostos. Para isto cosidere um capital de R$ 100,00, uma taxa de 10 % ao período (ao, por exemplo), durate 12 períodos. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 10

11 2.3 Regime de Capitalização Cotíuo: Juros Cotíuos O regime dos juros cotíuos pode ser etedido como o pricípio de capitalização composta a um ível ifiitesimal de atualização/correção. Neste regime, a capitalização ocorre forma cotíua, em itervalos ifiitesimais de tempo. Segudo Motta e Calôba (2002) os juros cotíuos são empregados em mercados fiaceiros e substituição de equipametos. Deomiado: VP : Valor Presete ou atual ou pricipal; VF : Valor Futuro ou motate; i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou uidade de tempo, cosiderada ifiitesimal); e : úmero de períodos de capitalização. Objetivo: Estabelecer uma relação matemática etre VP, VF, i e, cosiderado uma base atualizada cotiuamete. Iicialmete, vamos cosiderar que estamos fazedo uma aplicação de uma quatia (capital ou pricipal) P 0 em uma istituição fiaceira (baco, por exemplo) e que a taxa de remueração/variação do ivestimeto (juros) futuro) em cada istate P () problema de ecotrar P () como o problema de valor iicial: dp/ d é proporcioal ao saldo (motate ou valor. Diate destas cosiderações/pressupostos, podemos descrever o dp P i d P( 0) P0 A resolução desta Equação Diferecial Ordiária (EDO) resulta em: P 0 P e i em que: e t 1 lim 1 t t ou seja: VF VP e i Dedução: Vamos fazer a demostração por meio da resolução de uma Equação Diferecial Ordiária (EDO) pelo método da separação de variáveis. dp d P i dp P i d 1 dp i P d 0 1 dp P 0 i d l P i 0 0 P l P l P i i e P 0 l 0 i P P 0 P P e o i Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 11

12 Exemplos ilustrativos 1) Quato tempo um ivestimeto leva para dobrar de valor se os juros auais forem de 12%, capitalizados cotiuamete? Solução: VF VP e i, VF 2VP e i 12% 0,12 Logo, 2VP VP e 0,12 2 e 0,12 l(2) le 0,12 l(2) l(2) 0,12l( e) 5,78 0,12 Se cosiderarmos = 5, o capital ão dobrará de valor. Portato, = 6 aos. 2) A Figura abaixo apreseta um breve comparativo etre os três regimes de capitalização (simples, composto ou cotíuo). Para um exemplo ilustrativo, cosideramos uma aplicação de R$ 100,00 a 10% ao período e um horizote de tempo de 12 períodos. Uma outra forma de demostração para a fórmula dos juros cotíuos Fazer a demostração também por limites (ver CASAROTTO FILHO e KOPPTIKE, 2010). Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 12

13 Capítulo 3 TAXA DE JUROS No capítulo aterior, mostramos que a relação matemática etre o Valor Presete (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros (i) e um úmero de período (), o regime de capitalização composto (juros compostos), é dada por: VF ) VP ( 1 i (09) Algumas adaptações a Fórmula (09) permitem abordarmos taxa de juros, seja a coversão etre duas taxas equivaletes ou a trasformação de uma taxa omial em uma taxa efetiva. Diferetes operações fiaceiras utilizam-se de diversos tipos de taxas. Existem taxas para descotos de duplicatas, taxas para cartões de créditos, taxas para fiaciametos de curto prazo, taxas para fiaciametos de logo prazo, taxas míimas de retoro exigidas para diferetes tipos de ivestimetos, etre outras. Tedo em vista que toda a Matemática Fiaceira tem, por base, como isumo, a taxa de juro, sua especificação rigorosa é fudametal para que se obteham os resultados corretos. Cotudo, qualquer que seja o tipo de operação fiaceira, a taxa de juro poderá ser especificada em uma das seguites formas: taxa omial ou taxa efetiva Taxa Nomial No regime de juros compostos, uma taxa de juros é chamada omial quado o período a que a taxa se refere ão coicidir com o período de capitalização (períodos em que são feitos os cálculos fiaceiros para a atualização do capital). Por exemplo, uma taxa de 24% ao ao com capitalização mesal é uma taxa omial porquato a taxa se refere ao período de um ao, mas a capitalização dos juros é realizada mesalmete. A taxa de juros omial é a mais comumete ecotrada os cotratos fiaceiros. Cotudo, apesar de sua larga utilização, pode coduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo fiaceiro da trasação, pois os cálculos ão são feitos com taxa omial. Ao se depararmos com uma taxa omial, para efeito de cálculo, a mesma deve ser covertida para taxa efetiva por meio da fórmula (10): Taxa omial Taxa efetiva = (10) Número de períodosde capitalização cotidos a taxa omial Desta forma, ecotra-se a taxa efetiva de 1 (um) período, levado-a em -períodos tem-se a taxa efetiva do período. Algus exemplos, a seguir, mostram a coversão de taxa omial para taxa efetiva. Exemplos ilustrativos 1) Qual a taxa efetiva associada à taxa de 24% ao ao com capitalização mesal? Solução: Coversão da taxa omial aual para a taxa efetiva mesal = 24%/12 * 2% ao mês. * Em um ao estão cotidos 12 meses. 2) Qual a taxa efetiva associada à taxa de 18% ao ao com capitalização trimestral? Solução: Coversão da taxa omial aual para a taxa efetiva trimestral = 18%/ 4 * 4,5% ao trimestre. * Em um ao estão cotidos 4 trimestres. 3) Qual a taxa efetiva associada à taxa de 12% ao semestre com capitalização trimestral? Solução: Coversão da taxa omial semestral para a taxa efetiva trimestral = 12% / 2 * 6% ao trimestre. * Em um semestre estão cotidos 2 trimestres. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 13

14 3.2. Taxa Efetiva Uma taxa de juro é deomiada efetiva se o período a que ela estiver refereciada for coicidete com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 3% ao mês com capitalização mesal é uma taxa efetiva. É comum o caso de taxas efetivas, ão se especificar o período de capitalização, ou seja, a taxa aterior poderia simplesmete ser especificada como uma taxa efetiva de 3% ao mês. A taxa efetiva é a taxa que deve ser utilizada os cálculos das operações fiaceiras. É importate otar que essa taxa apreseta, de forma bem objetiva, o verdadeiro custo da operação fiaceira realizada. Os exemplos a seguir ajudam a ilustrar como aplicar esse coceito. Exemplos ilustrativos 1) Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ao à taxa de 24% ao ao com capitalização mesal? Solução: Como mostrado ateriormete, 24% ao ao com capitalização mesal correspode a uma 12 taxa efetiva de 2% ao mês. 24% 12 2% ao mês VF 100(1 2%) 126, 82 R$ 126,82. Coclusão: Uma taxa omial de 24% ao ao com capitalização mesal, a verdade, represeta um custo efetivo do capital (taxa de juros efetiva) de 26,82% ao ao. 2) Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ao à taxa de 12% ao ao com capitalização aual (ou, simplesmete, 12% ao ao)? Solução: VF 100(1 12%) 1 112, 00 reais. 3) Qual a taxa efetiva associada a taxa omial de 96% ao ao com capitalização mesal? 12 Solução: 96% 128% ao mês VF 100(1 8%) 251, 82 J 251, , 82, ou seja, i 151,82%. 4) Qual a taxa efetiva associada a taxa de 12% ao semestre com capitalização trimestral? 2 Solução: 12% 2 6% ao trimestre VF 100(1 6%) 112, 36 J 112, , 36, ou seja, i 12,36% Taxa Nomial e Taxa Efetiva de Juros (Adaptado de: SHINODA, Carlos. Matemática Fiaceira. 2 ed. São Paulo: Atlas, p ) Etedemos por taxa efetiva (ou real, paga) de juros a taxa verdadeira que oera o tomador ou remuera o fiaciador. Já a taxa omial de juros é a taxa aparete, que é pactuada etre as partes, costado até mesmo em cotratos, podedo ser deomiada de taxa cotratual. Para que a taxa omial e a taxa efetiva sejam a mesma, ão pode haver ehuma outra codição ou cobraça de despesa adicioal aos juros da operação. Em geral, tem-se a relação matemática etre a taxa de juros omial e a taxa de juros efetiva, destacada a equação (10): Taxa e fetiva Taxa omial (10) A tributação do Imposto sobre Operações Fiaceiras (IOF), por exemplo, que é cobrada atecipadamete as operações de fiaciameto bacário, reduz o valor liberado, elevado a taxa efetiva para o tomador. A exigêcia de reciprocidade pela mauteção de um saldo médio também gera um ecarecimeto da operação para o tomador, pois reduz o valor dispoível, fazedo com que o tomador capte recursos acima do ível de ecessidade. Aalisemos a seguir uma forma de elevação da taxa efetiva de juros, que tem sido praticada as operações de fiaciametos bacários: Taxa de Abertura de Crédito (TAC): A cobraça de uma taxa de abertura de crédito se faz o ato da liberação de um fiaciameto, como uma porcetagem do capital ou um valor fixo. Tal cobraça eleva a taxa efetiva da operação devido a redução do valor Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 14

15 liberado e a mauteção do valor do motate. Vale ressaltar que o IOF e a TAC icidem sobre as operações de crédito para pessoas físicas e jurídicas. Coversão de uma taxa omial em efetiva 1) Qual a taxa efetiva aual equivalete a 15% ao ao capitalizados trimestralmete? Solução: Aaliticamete, temos: Em que m é o úmero de períodos em que haverá a capitalização. m iomial i efetiva 1 1 m (11) Para o osso exemplo ilustrativo, temos que m = 4, pois em 1 ao há 4 trimestres. Assim, vamos a: i efetiva i 1 m omial m 15% ,87% Obs.: Todos os cálculos de capitalização e descapitalização devem ser feitos com a taxa efetiva Taxas equivaletes Duas taxas de juros (i) são deomiadas equivaletes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital (VP), durate um mesmo período (), produzirem o mesmo motate ou valor futuro (VF). Matematicamete, temos: i procurada 15% 4 procurada 1 i cohecida ,87% cohecida 4 Em que é o úmero de períodos (prazo). Exemplos ilustrativos 1) Qual a taxa aual equivalete à taxa de 3% ao mês com capitalização mesal? 12 Solução: VF 100(1 3%) 142, 58 J 142, , 58, ou seja, i 42,58%. 2) Qual a taxa mesal equivalete à taxa de 16,50% ao ao com capitalização aual? 1 12 Solução: VF 100(1 16,50%) 101, 28 J 101, , 28, ou seja, i 1,28%. Coclusão: Para um ivestidor racioal deveria ser absolutamete idiferete etre fazer uma aplicação a 16,50% ao ao, por um período de 1 ao, ou fazer uma aplicação a 1,28% ao mês por um período de 12 meses, dado que ambas as aplicações produzem o mesmo valor futuro (valor de resgate). 3) Qual a taxa aual equivalete à taxa de 72% ao ao com capitalização mesal? 12 Solução: 72% 12 6% ao mês VF 100(1 6%) 201, 22 J 201, , 22 i 101,22%. Problema 1: Trasformar uma taxa mesal em uma taxa aual equivalete. Por exemplo: 1% ao mês é equivalete a que percetual ao ao? Solução: Aaliticamete e umericamete, temos: procurada 12 i % 1 procurada i cohecida cohecida 112,68% (12) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 15

16 Outra forma de resolução: Taxa mesal em Taxa aual: im = 1% a.m => VP = 1; VF = (1 + 1%) 12 => ia = VF VP => ia = (1 + 1%) 12 1 = 12,68%. Exemplo em uma plailha eletrôica de cálculo, como o MS-Excel: Problema 2: Trasformar uma taxa aual em uma taxa mesal equivalete. Por exemplo: 12% ao ao é equivalete a que percetual ao mês? i procurada procurada 1 1 i cohecida % ,95% cohecida Exemplo em uma plailha eletrôica de cálculo, como o MS-Excel: Outra forma de resolução: Taxa aual em Taxa mesal: ia = 12% a.a => VP = 1; VF = 1,12 => im = (1,12)^1/12 1 = 0,95% a.m. A Figura 1 mostra uma tela de um aplicativo escrito a plailha eletrôica de cálculos MS-Excel que permite a coversão etre duas taxas equivaletes. Por meio desse, taxas efetivas auais, semestrais, trimestrais, bimestrais, mesais e diárias podem ser covertidas etre si, sedo essas as opções oferecidas aos usuários. A Figura 2 ilustra a tela do aplicativo, também escrito o MS-Excel, o qual permite trasformar uma taxa omial em uma taxa efetiva. Para implemetar computacioalmete é mais fácil substituir m por p / q, coforme ilustra a equação (13), já apresetado um exemplo ilustrativo. Em que q é um divisor de p. A fução programada permite os seguites valores para o p: 360 (aual), 180 (semestral), 90 (trimestral), 60 Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 16

17 (bimestral), 30 (mesal) e 1 (diária). Já o q admite os valores: 180 (semestral), 90 (trimestral), 60 (bimestral), 30 (mesal) e 1 (diária). i efetiva i 1 omial p q p q % % ,68% (13) 3.4. Taxas Proporcioais Duas taxas de juros são deomiadas proporcioais quado se é idiferete quato se efetuar os cálculos fiaceiros em um período qualquer, usado-se uma taxa r, ou em um subperíodo k vezes meor que o aterior, usado-se uma taxa r / k, e repetido-se a aplicação por k subperíodos. Assim, a taxa proporcioal é muito comum quado se está trabalhado sob o regime de juros simples. Para exemplificar, o regime de juros simples, um capital (VP) aplicado por 1 ao a uma taxa de 24% ao ao ( r ) produziria o mesmo resultado quado esse mesmo capital (VP) fosse aplicado a uma taxa de 2% ao mês ( i k ) por 12 ( k ) meses (subperíodos), isto é: em que i k e r são taxas proporcioais. Exemplo ilustrativo i r 24% 2 k k 12 % ao mês 1) Compare o valor de resgate de uma aplicação de R$ 100,00, após 3 (três) aos, a uma taxa de 24% ao ao em regime de juros simples com uma aplicação de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 2% ao mês após 36 meses (juros simples). Solução: Cálculo com 24% ao ao Cálculo com 2% ao mês VF ( 1 i ) VF (1 3 24%) 172 VF ( 1 i ) VF (1 362%) 172 Coclusão: Como as duas aplicações, o regime de juros simples, produzem o mesmo motate após três aos (ou 36 meses) de imobilização moetária, pode-se afirmar que as duas taxas (24% ao ao e 2% ao mês) são proporcioais. Algumas taxas especiais utilizadas o Brasil e que iterferem em decisões sobre pessoas físicas e jurídicas são detalhadas a sequêcia. Taxa Referecial (TR): A TR foi criada o Plao Collor II, destiada a ser uma taxa básica referecial dos juros a serem praticados o mês iiciado e ão como um ídice que refletisse a iflação do mês aterior. Ela deveria fucioar como uma Libor ou Prime Rate. É utilizada como taxa média de remueração dos CDBs mesais e prefixados, praticada etre 30 bacos selecioados. Como a TR serve também para fiaciar imóveis, esta média é ajustada por um redutor de forma a adequá-la ao custo do Sistema Fiaceiro da Habitação (SFH). Texto desatualizado: pesquisem: Baco Cetral do Brasil. Taxa do Sistema Especial de Liquidação e Custódia do Baco Cetral (SELIC): É a taxa que reflete o custo do diheiro para empréstimos bacários, com base a remueração dos títulos públicos. Também é cohecida como taxa média do over que regula diariamete as operações iterbacárias. Cadereta de poupaça A cadereta de poupaça foi criada em outubro de Os juros produzidos pela cadereta de poupaça são juros compostos, pois, após cada mês, os juros são icorporados ao capital. A cadereta é uma das aplicações fiaceiras mais tradicioais o Brasil. Utilizada, em geral, por pequeos e médios Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 17

18 ivestidores, ela é cosiderada uma aplicação segura por ter garatia do govero federal. Além disso, ão tem icidêcia de algus ecargos tributários, como o Imposto de Reda (IR) e o Imposto sobre Operação Fiaceira (IOF). Essas peculiaridades, tora a poupaça mais atrativa e popular, pricipalmete etre as pessoas que ão gostam de correr risco (aversão ao risco). Vale salietar que parte dos recursos gerados com a captação de diheiro da cadereta de poupaça serve para fiaciar a costrução da cada própria, evideciado assim a importâcia da mesma. Em geral, a poupaça é uma aplicação com baixo redimeto se comparado a outras opções dispoíveis o mercado de ivestimetos, como é o caso das aplicações os fudos de reda fixa, fudos de ações, títulos do tesouro, imóveis e outros. Etretato, essas afirmações depedem do mometo ecoômico em que o país está iserido. O redimeto da poupaça já sofreu diversas alterações ao logo do tempo. Atualmete é utilizado uma metodologia mais ou meos variável, a qual a fórmula para cálculo do redimeto da poupaça pode ser diferete depededo do resultado taxa Selic. Veja abaixo como fucioa a regra para cálculo do redimeto da poupaça pela atual legislação. A atual taxa de remueração da cadereta de poupaça é defiida da seguite forma: Regra para remueração dos depósitos de poupaça: De acordo com a legislação atual, a remueração dos depósitos de poupaça é composta de duas parcelas: (i) a remueração básica, dada pela Taxa Referecial (TR), e; (ii) a remueração adicioal, correspodete a: (a) 0,5% ao mês, equato a meta da taxa Selic ao ao for superior a 8,5%; ou (b) 70% da meta da taxa Selic ao ao, mesalizada, vigete a data de iício do período de redimeto, equato a meta da taxa Selic ao ao for igual ou iferior a 8,5%. Em suma, se o valor da taxa básica de juros (SELIC) for meor ou igual a 8,5% ao ao, a remueração da cadereta de poupaça correspode a 70% da SELIC mais a Taxa Referecial (TR). Por outro lado, para taxas de juros (SELIC) superiores a 8,50% ao ao, o redimeto da poupaça é fixo em 0,5% ao mês mais taxa de referêcia (TR). Matematicamete, podemos escrever: TR 70% SELIC equivalete ao mês, se SELIC 8,5% aoao Poupaça TR 0,5% ao mês, se SELIC 8,5% aoao Data Base: Outra característica importate para ser cosiderada é que o redimeto da cadereta de poupaça ocorre de acordo com a data base, isto é, se a data base for dia 04/09/2013 e o ivestidor fizer o saque da poupaça o dia 03/10/2013, etão ão haverá ehum redimeto pois ão foi completado o período de 30 dias a partir da data base. Recomedamos cosultar a ítegra da fórmula o site do Baco Cetral: Taxa de Juros de Logo Prazo (TJLP): Defiida em ovembro de 1994 pelo Coselho Moetário Nacioal (CMN), sua fialidade é de estimular os ivestimetos os setores de ifraestrutura e cosumo e, ao mesmo tempo, ajudar a iverter a curva de redimeto que até 1994 sempre privilegiou os ivestimetos de curto prazo com juros maiores. Seu cálculo é feito a partir da média poderada de títulos da dívida extera federal com peso de 75% o máximo, e títulos da dívida pública mobiliária itera federal, com peso de 25% o máximo. Taxa Básica do Baco Cetral (TBC): A TBF foi criada para mudar a forma de cotrole dos juros o mercado aberto adotado a estratégia de apeas sializar o patamar míimo de juros, deixado que os bacos ajustem etre si as taxas do dia em fução da liquidez do mercado. Serve de parâmetro para as iterveções diárias das Autoridades Moetárias (AM) o mercado, além de corrigir todos os empréstimos de redescoto cocedidos às istituições fiaceiras detro do valor-base e desde que com garatias em títulos públicos federais livres, e, desta forma, ajuda a balizar o custo do fiaciameto diário das carteiras de títulos públicos. Seu valor é mesal e determiado pelo Comitê de Política Moetária (COPOM) ao fial do mês aterior ao de sua vigêcia. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 18

19 4.1 Séries de pagametos uiforme Deomiado: VP : Valor Presete; VF : Valor Futuro; Capítulo 4 SÉRIES DE PAGAMENTOS FC : Fluxo de Caixa, cosiderado costate, isto é, uma série uiforme de pagameto. FC represeta o valor de cada pagameto (ou prestação ou parcela); i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou uidade de tempo); : úmero de períodos (ou pagametos ou prestações ou parcelas); Objetivo 1: Determiar o Valor Presete (VP) de uma série de pagametos uiforme (FC), cohecedo a taxa de juros por período (i) e o úmero de períodos (). Para tato, utilizamos o diagrama exposto a Figura 1: Problema: Dados i, e FC, determiar VP, cosiderado uma série de pagameto uiforme. Represetado o diagrama do fluxo de caixa, temos: Solução: Do regime de capitalização composto, sabemos que: VF (1 i) VF VP (1 i) VP. Assim, podemos iterpretar que cada valor FC j FC (pois todos são iguais) represeta um valor futuro com posicioametos diferetes. Neste cotexto, podemos escrever: VP FC (1 i) FC (1 i) FC (1 i) FC (1 i) FC (1 i) FC (1 i) j 1 (11) Multiplicado a equação (11) por ( 1 i), temos: VP FC (1 i) FC (1 i) FC (1 i) FC (1 i) (1 i) FC (12) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 19

20 Subtraido, termo a termo a equação (12) da equação (11), vamos a: VP FC (1 i) FC (1 i) (1 i) FC FC [(1 i) (1 i) (1 i) VP FC VP i VP i 1] Desdobrametos/variações: Exemplos ilustrativos: VP FC [(1 i) i (1 i) 1] (13) VP i (1 i) FC [(1 i) 1] FC FC [(1 i) 1] log VP FC VP i i (1 i) log1 i i Processo umérico: (método Newto Raphso) Figura 2 Desdobrametos/variações da relação matemática etre VP e FC 1) Cosiderado: VP = R$ 614,46; FC = R$ 100,00; = 10 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama e implemetado em um plailha eletrôica de cálculos, temos: 2) VP =? se i = 10% ao período; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 100,00; FC3 = R$ 100,00; FC4 = R$ 100,00; FC5 = R$ 100,00; FC6 = R$ 100,00; FC7 = R$ 100,00; FC8 = R$ 100,00; FC9 = R$ 100,00; FC10 = R$ 100,00. Neste caso, podemos descapitalizar cada FCj e depois calcular a soma. Etretato, este trabalho é facilitado com a utilização de uma plailha eletrôica de cálculos, como o MS-Excel. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 20

21 Notas importates: Se a taxa de juros é ula, isto é: i = 0%, etão VP =. FC. Etretato, a prática a taxa de juros é diferete do valor ulo, justificado a utilização da fórmula deduzida ateriormete. Podemos reescrever a equação (11) como: Podemos reescrever a equação (12) como: FC VP j (1 i) (14) j1 1 FC VP (1 i) j (1 i) (15) A complexidade das relações etre FC e VP ou etre FC e VF reside a determiação da taxa de juros por período (i). Assim, ão é possível escrever a forma explícita: i = f(vp,fc,) e i = f(vf,fc,), isto é, ão existe solução algébrica para determiar a taxa de juros por período. Nesse caso, temos que trabalhar com a fução implícita e utilizar um processo umérico para determiar uma solução aproximada para essa taxa. Portato, precisamos recorrer à métodos de Cálculo Numérico, como o método de Newto-Raphso. A fórmula (13) é importate para a Egeharia Ecoômica (EE), pois permite distribuir o Valor Presete Líquido (VPL) em uma série de pagametos uiforme, gerado o Valor Presete Líquido Aualizado (VPLA), também cohecido como Valor Aual Uiforme (VAU). Desta forma, substituido VP por VPL e FC por VPLA e isolado o VPLA, vamos a: j 0 VPL i (1 i) VPLA (1 i) 1 (16) Em que i = TMA (Taxa Míima de Atratividade), melhor alterativa de ivestimeto desde que apresete baixo risco para a empresa propoete do projeto. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 21

22 Objetivo 2: Determiar o Valor Futuro (VF) de uma série de pagametos uiforme (FC), cohecedo a taxa de juros por período (i) e o úmero de períodos (). Represetado o diagrama do fluxo de caixa, temos: Problema: Dados i, e FC, determiar VF. Solução: Sabemos da equação (01), que: VF (1 i) VF VP (1 i) VP (17) Por outro, provamos a equação (13), que: FC [(1 i) 1] VP i (1 i) (18) Igualado as equações (17) e (18), vamos a: VF FC [(1 i) 1] (1 i) VF ( 1 i) i (1 i) i (1 FC [(1 i) i) 1] => FC [(1 i) 1] VF i (19) Desdobrametos/variações: FC [(1 i) VF i VF i FC [(1 i) 1] VF 1] log 1 i FC log1 i i Processo umérico: (método Newto Raphso) Figura 3 Desdobrametos/variações da relação matemática etre FC e VF Nota/aplicação: Geração de um fudo de reserva para a substituição de equipametos. Aplicar o valor da depreciação cotábil para isto? Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 22

23 Exemplos ilustrativos: 1) Cosiderado: FC = R$ 100,00; VF = R$ 1.593,74; = 10 períodos e i = 10% ao período. Em diagrama e em uma plailha eletrôica de cálculos, temos: 2) VF =? se i = 10% ao período; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 100,00; FC3 = R$ 100,00; FC4 = R$ 100,00; FC5 = R$ 100,00; FC6 = R$ 100,00; FC7 = R$ 100,00; FC8 = R$ 100,00; FC9 = R$ 100,00; FC10 = R$ 100,00. Neste caso, podemos que descapitalizar cada FCj e depois realizarmos a soma. Por fim, podemos trasferir este valor para o futuro. Etretato, este trabalho é facilitado com a utilização de uma plailha eletrôica de cálculo, como o MS-Excel. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 23

24 4.2 Séries de pagametos ão-uiforme Deomiado: VP : Valor Presete; VF : Valor Futuro; FC j : Fluxo de Caixa esperado para o período j.; i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou uidade de tempo); : úmero de períodos (ou pagametos ou prestações ou parcelas); Objetivo: Determiar o Valor Presete (VP) de uma série de pagametos ão-uiforme (FCj, j = 1, 2,..., j,..., -1, ), cohecedo a taxa de juros por período (i) e o úmero de períodos (). Para tato, utilizamos o diagrama abaixo: Assim, cada FCj (j = 1 até ) pode ser iterpretado como um VF. Nesse caso, fazemos: FC VP (1 i) 1 1 FC (1 i) 2 2 FC (1 i) 3 3 FC... (1 i) j j FC... (1 i) 1 1 FC (1 i) (20) Reescrevedo essa equação, utilizado a otação de somatório, temos: FC j VP j (1 i) (21) Nota: Para a série de pagameto uiforme, temos: FC1 = FC2 =... = FC = FC. Assim, podemos escrever: j1 j1 1 FC [(1 i) 1] VP FC j (1 i) ou VP i (1 i) (22) Na Aálise Ecoômica de Projetos (AEP) é mais comum ecotrarmos uma série de pagametos ão-uiforme. Assim, para calcular o VPL precisamos requer a equação (21). Por outro lado, cohecedo o VPL e queredo determiar o VPLA é preciso utilizar a equação (22). Exemplos ilustrativos: 1) VP =? se i = 10% ao período; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 200,00; FC3 = R$ 300,00; FC4 = R$ 400,00; FC5 = R$ 500,00; FC6 = R$ 600,00; FC7 = R$ 700,00; FC8 = R$ 800,00; FC9 = R$ 900,00; FC10 = R$ 1.000,00. Neste caso, podemos descapitalizar cada FCj e efetuar a soma. Etretato, este trabalho é facilitado com a utilização de uma plailha eletrôica de cálculos, como o MS-Excel. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 24

25 2) Dado VP e o valor de cada FCj e a quatidade deste represetado o, como determiar o i? No MS-Excel, devemos utilizar a fução TIR, como ilustra a Figura abaixo. Na HP-12C, temos que utilizar a fução IRR (Iteral Rate Retur, em iglês). Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 25

26 4.3 Séries Perpétuas Quado em uma série uiforme, de pagametos ou de receitas, o úmero de períodos é muito grade, pode ser coveiete cosiderá-la como ifiita (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Essa série é deomiada série perpétua, sedo também chamadas ifiita ou custo capitalizado. Tal é o caso dos fudos de aposetadorias, mesalidades de clubes, associações, TV a Cabo e obras públicas (PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006; MONTANHINI, 2008; CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Deomiado: VP : Valor Presete; FC : Fluxo de Caixa esperado para cada período e cosiderado costate; i : taxa de juros (efetiva ou real) por período (ou uidade de tempo); : úmero de períodos (ou pagametos ou prestações ou parcelas), cosiderado ifiito; Objetivo: Determiar o valor presete (VP) de uma série uiforme e ifiita, cohecedo a taxa de juros por período (i). Para tato, utilizamos o seguite diagrama: A Fórmula (22), deduzida ateriormete e reapresetada a seguir estabelece a relação etre as variáveis defiidas acima. VP FC [(1 i) i (1 i) 1] (22) Aplicado o limite para, temos: FC [(1 i) limvp lim i (1 i) 1] (23) [(1 i) 1] (1 i) 1 VP FC lim FC lim i (1 i) i (1 i) i (1 i) (24) VP FC lim FC 0 i i (1 i) i (25) FC VP i (26) e FC VPi (27) A fórmula (27) é bastate compreesível, pois mostra que uma série perpétua correspode aos juros da quatia devida. Uma pessoa que apeas paga os juros de uma dívida e ão amortiza ada, uca termiará de pagar a dívida (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 26

27 Exemplos ilustrativos: Equivalêcia etre um Valor Presete (VP) e uma série uiforme perpétua, a qual o úmero de termos tede a ifiito: 1) VP =? se i = 10% ao período; FC = R$ 100,00. Neste caso, utilizamos diretamete a Fórmula (26) deduzida ateriormete. Etretato, este trabalho é facilitado com a utilização de uma plailha eletrôica de cálculos, como o MS-Excel. Veja resolução as figuras abaixo. 2) Supoha que um ivestimeto de R$ ,00 gere retoros auais de R$ ,00. Para uma taxa míima de 20% ao ao, qual o Valor Presete Líquido (VPL) para uma vida: (a) de 10 aos; (b) de 50 aos; (c) de 60 aos; (d) de 70 aos; e (e) ifiita. Solução: Assim, temos para o item (a): VPL Ivestime tovp (28) [(1 20%) 1] VPL R$ 4.811, % (1 20%) Via plailha eletrôica, temos para todos os casos solicitados: ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS PELO PROFESSOR/TUTOR/MONITOR (APS): ESTÁ NA HORA DE APREENDER + 3) Quato devemos depositar em um fudo com a fialidade de receber para sempre a importâcia aual de R$ ,00 cosiderado uma taxa aual de juros igual a 10%? 4) Qual a meor quatia que um grupo empresarial deve cobrar hoje, para oferecer uma reda aual de R$ 6.000,00? Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 27

28 5.1 Itrodução Capítulo 5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO O valor de um fiaciameto ou um empréstimo é deomiado pela literatura como pricipal. Ao valor pricipal deverá ser acrescetado o reembolso do capital, isto é, o pagameto dos juros que icidirão sobre o saldo devedor. Assim, cada prestação correspoderá à soma da parcela de amortização da dívida com os juros decorretes do período. Nesse cotexto, a amortização de uma dívida pode ser defiida como um processo de sua extição por meio de pagametos periódicos para a istituição fiaceira cocessora. As formas de devolução do pricipal agregadas com os juros deomiam-se Sistemas de Amortização (CASAROTTO e KOPITTKE, 2011). De acordo com Casarotto e Kopittke (2011) os motivadores do estudo da amortização de dívidas reportam a determiar o estado atual da dívida e calcular o que já foi amortizado até o mometo atual. A amortização correspode à parcela da prestação que é descotada do pricipal (valor emprestado ou fiaciado). Segudo Pamploa e Motevechi (2006) para que um sistema de amortização seja adequado o valor presete das prestações, descotado à taxa de juros do fiaciameto, deve ser igual ao pricipal (valor fiaciado). Os pricipais sistemas de amortização vigetes o Brasil são: (i) Sistema de Amortização Costate (SAC), utilizado pricipalmete para fiaciametos de logo prazo. Nesse sistema, o valor da amortização é obtido pela razão etre o valor fiaciado (pricipal) e o úmero de prestações (N); (ii) Sistema Fracês de Amortização ou Sistema Price ou Sistema de Prestação Costate. Nesse sistema, as prestações são costates e correspodem a uma série de pagametos uiforme (exposto o capítulo 4, seção 4.1); (iii) Sistema de Amortização Americao. Nesse sistema, pagam-se somete os juros e o valor fiaciado é devolvido o último período; (iv) Sistema de Amortização Misto (SAM). Os pagametos são as médias dos sistemas SAC e Price; e (v) Sistema de pagameto úico. Esse sistema é utilizado pricipalmete para fiaciametos idustriais de capital de giro, sedo que os juros e o pricipal são devolvidos ao térmio do cotrato (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Ressalta-se que em todos os sistemas de amortização, cada pagameto é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor. Vejamos as Tabelas 4, 5 e 6 o comportameto de cada sistema amortização. Observamos que esta sistemática pode facilmete ser implemetada em uma plailha eletrôica de cálculo (MS-Excel, por exemplo). Para tato, cosideramos os seguites dados: SD = Saldo Devedor; J = Juros; AMT = Amortização; P = Prestação; = úmero de períodos e i = taxa de juros por período. 5.2 Sistema de Amortização Costate (SAC) Período (p) Amortização (AMT) Juros (J) Prestação (P) Saldo Devedor (SD) Observação: 0 =SD =SD0/ =SD0i =AMT1 + J1 =SD0 AMT1 AMT1 = SD0/ e J1 = SD0i 2 =SD0/ =SD1i =AMT2 + J2 =SD1 AMT2 3 =SD0/ =SD2i =AMT3 + J3 =SD2 AMT j =SD0/ =SDj-1i =AMTj + Jj =SDj-1 AMTj =SD0/ =SD-2i =AMT-1 + J-1 =SD-2 AMT-1 N =SD0/ =SD-1i =AMT + J =SD-1 AMT = 0 Tabela 4 Modelagem Matemática para o SAC Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 28

29 5.3 Sistema Price (Tabela Price) Período (p) Prestação (P) Juros (J) Amortização (AMT) Saldo Devedor (SD) Observação: 0 =SD0 1 =SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SD0i =P J1 =SD0 AMT1 P = SD0i (1+i) /((1+i) -1) 2 =SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SD1i =P J2 =SD1 AMT2 3 =SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SD2i =P J3 =SD2 AMT j =SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SDj-1i =P Jj =SDj-1 AMTj =SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SD-2i =P J-1 =SD-2 AMT-1 =SD0i(1+i) /((1+i) -1) =SD-1i =P J =SD-1 AMT = 0 Tabela 5 Modelagem Matemática para o PRICE 5.4 Sistema de Amortização Americaa (SAA) Período (p) Juros (J) Prestação (P) Amortização (AMT) Saldo Devedor (SD) Observação: 0 =SD0 1 =SD0i =J1 =0 =SD0 2 =SD0i =J1 =0 =SD0 3 =SD0i =J1 =0 =SD j =SD0i =J1 =0 =SD =SD0i =J1 =0 =SD0 =SD0i =J1 + SDo =SD0 =SD0 SD0 = 0 Tabela 6 Modelagem Matemática para o SAA A Figura 1 mostra uma tela de um aplicativo escrito a plailha eletrôica de cálculos MS-Excel que permite a costrução do quadro de amortização de fiaciametos para os três sistemas abordados ateriormete. Por meio desse, escolhe-se um etre os Sistemas PRICE, SAC e SAA, sedo essas as opções oferecidas aos usuários. 5.5 Carêcia Na prática diversos tipos de fiaciametos apresetam um período de carêcia, idepedete do sistema de amortização que foi adotado. Detro desse período pode haver o pagameto dos juros ou ão. Se houver o pagameto dos juros o saldo devedor é matido costate até o iicio da primeira parcela de amortização. Por outro lado, se ão há pagameto dos juros, etão o saldo devedor deverá ser atualizado pela taxa efetiva discrimiada o cotrato de fiaciameto. Cosidere para efeito de ilustração, um fiaciameto o qual é cocedido j períodos de carêcia para um horizote de plaejameto de N períodos. A tabela fiaceira do fiaciameto pelo SAC, com carêcia e pagameto dos juros icorridos esse período, pode ser desevolvida como apresetado a Tabela 7, sem o pagameto dos juros, isto é, atualizado o saldo devedor é posto a Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 29

30 Tabela 8. Desevolvimetos aálogos podem ser feitos para o sistema Price, sedo apresetados as Tabelas 9 e 10. Período (k) Amortização (Ak) Juros (Jk) Prestação (Pk) Saldo Devedor (SDk) SD Carêcia 1 0 = SDi = SDi = SD Carêcia 2 0 = SDi = SDi = SD Carêcia j 0 = SDi = SDi = SD 1 = SD/ = SDi = A1 + J1 = SD A1 2 = SD/ = SD1i = A2 + J2 = SD1 A r = SD/ = SDr-1i = Ar + Jr = SDr-1 Ar = N j = SD/ = SD-1i = A + J = SD-1 A = 0 Tabela 7 Modelagem Matemática para o SAC com período de carêcia e pagameto de juros Período (k) Amortização (Ak) Juros (Jk) Prestação (Pk) Saldo Devedor (SDk) SD Carêcia 1 0 = SDi 0 = SD(1+i) Carêcia 2 0 = SD(1+i)i 0 = SD(1+i) Carêcia j 0 = SD(1+i) j-1 i 0 = SD(1+i) j 1 = SD(1+i) j / = SD(1+i) j i = A1 + J1 SD1 = SD(1+i) j A1 2 = SD(1+i) j / = SD1i = A2 + J2 = SD1 A r = SD(1+i) j / = SDr-1i = Ar + Jr = SDr-1 Ar = N j = SD(1+i) j / = SD-1i = A + J = SD-1 A = 0 Tabela 8 Modelagem Matemática para o SAC com período de carêcia e sem pagameto de juros Período (k) Prestação (Pk) Juros (Jk) Amortização (Ak) Saldo Devedor (SDk) SD Carêcia 1 = SDi = SDi 0 = SD Carêcia 2 = SDi = SDi 0 = SD Carêcia j = SDi = SDi 0 = SD 1 = SDi(1+i) /((1+i) -1) = SDi = P1 J1 = SD A1 2 = SDi(1+i) /((1+i) -1) = SD1i = P2 J2 = SD1 A r = SDi(1+i) /((1+i) -1) = SDr-1i = Pr Jr = SDr-1 Ar = N j = SDi(1+i) /((1+i) -1) = SD-1i = P J = SD-1 A = 0 Tabela 9 Modelagem Matemática para o PRICE com período de carêcia e pagameto de juros Período (k) Prestação (Pk) Juros (Jk) Amortização (Ak) Saldo Devedor (SDk) SD Carêcia 1 0 = SDi 0 = SD(1+i) Carêcia 2 0 = SD(1+i)i 0 = SD(1+i) Carêcia j 0 = SD(1+i) j-1 i 0 = SD(1+i) j 1 = SD(1+i) j i(1+i) /((1+i) -1) = SD(1+i) j i = P1 J1 SD1 = SD(1+i) j A1 2 = SD(1+i) j i(1+i) /((1+i) -1) = SD1i = P2 J 2 = SD1 A r = SD(1+i) j i(1+i) /((1+i) -1) = SDr-1i = Pr Jr = SDr-1 Ar = N j = SD(1+i) j i(1+i) /((1+i) -1) = SD-1i = P J = SD-1 A = 0 Tabela 10 Modelagem Matemática para o PRICE com período de carêcia e sem pagameto de juros Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 30

31 5.6 Programado as carêcias em uma plailha eletrôica de cálculos Utilizou-se a carêcia até o período j, com as seguites cofigurações: (i) carêcia com pagameto dos juros, isto é, até o período j o saldo devedor permaece costate. A partir do período j+1 costrói-se o sistema de amortização SAC e/ou PRICE, coforme solicitado; (ii) carêcia sem pagameto dos juros. Nesse caso, o saldo devedor receberá um acréscimo por período igual a quatidade de juros do período. Isto deve ocorrer até o período j, a sequêcia costrói-se o sistema SAC e/ou PRICE, coforme solicitado. Veja a Figura 2, ilustrado as opções oferecidas aos usuários. Neste aplicativo, a amortização de dívidas o sistema fracês (tabela PRICE) e o sistema de amortização costate (SAC) podem ser facilmete calculadas, permitido aida que se especifique um período de carêcia e se este será com ou sem capitalização. Leitura complemetar recometada 1) Sistema de Pagameto Úico (CASAROTTO FILHO e KOPPITKE, 2010) 2) Sistema de Amortização Mista (SOUZA e CLEMENTE, 2000; PAMPLONA e MONTEVECHI, 2006; CASAROTTO FILHO e KOPPITKE, 2010) PAMPLONA, Edso de Oliveira. MONTEVECHI, José Araldo Barra. Apostila de Egeharia Ecoômica I, Dispoível em: < Acesso em: 18 ago Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 31

32 Capítulo 6 ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS (APS): Adaptadas de Souza e Clemete (2008) ESTÁ NA HORA DE APREENDER +. Eu acredito que só se apredi fazedo. Vamos colocar seu cohecimeto (fixar coceitos) em prática? NOTA: Sugere-se a costrução do diagrama do fluxo de caixa para todos os problemas. JUROS SIMPLES 1) Qual o valor de resgate, após 12 períodos, de um capital de R$ 200,00, aplicado a uma taxa de 5% ao período, o regime de juros simples? Resposta: R$ 320,00 2) Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros simples, após 20 meses, foi resgatado por R$ 120,00. Qual a taxa de juros implícita essa trasação comercial? Resposta: 10% ao mês 3) Um capital, aplicado a 5% ao mês sob o regime de juros simples, após 40 meses, foi resgatado por R$ 300,00. Qual o valor do capital aplicado? Resposta: R$ 100,00 4) Quatos meses de imobilização moetária serão ecessários para que um capital de R$ 100,00 aplicado a 4% ao mês, sob o regime de juros simples, seja resgatado por R$ 200,00? Resposta: 25 meses 5) Qual o tempo ecessário, em meses, para um capital (VP) dobrar de valor se o mesmo for aplicado a uma taxa de 5% ao mês em regime de juros simples? Resposta: 20 meses 6) Quato se deve depositar hoje, em uma istituição fiaceira que remuera o capital a 2,5% ao mês em regime de juros simples, para se poder retirar R$ 460,00 após seis meses e R$ 650,00 após 12 meses? Resposta: R$ 900,00 (R$ 400,00 por 6 meses e R$ 500,00 por 12 meses) 7) Qual o capital a 4% ao mês em regime de juros simples, para se poder retirar R$ 224,00 após três meses, R$ 620,00 após seis meses e R$ 680,00 após ove meses? Resposta: R$ 1.200,00 (R$ 200,00 por três meses, R$ 500,00 por seis meses e R$ 500,00 por ove meses) JUROS COMPOSTOS 8) Qual o valor de resgate, após 12 períodos, de um capital de R$ 200,00, aplicado a uma taxa de 5% ao período, o regime de juros compostos? Resposta: R$ 359,17 9) Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros compostos, após 20 meses, foi resgatado por R$ 120,00. Qual a taxa de juros implícita essa trasação comercial? Resposta: 5,65% ao mês 10) Um capital, aplicado a 5% ao mês sob o regime de juros compostos, após 40 meses, foi resgatado por R$ 300,00. Qual o valor do capital aplicado? Resposta: R$ 42,61 11) Quatos meses de imobilização moetária serão ecessários para que um capital de R$ 100,00 aplicado a 4% ao mês, sob o regime de juros compostos, seja resgatado por R$ 200,00? Resposta: 18 meses 12) Qual o tempo ecessário, em meses, para um capital (VP) dobrar de valor se o mesmo for aplicado a uma taxa de 3,52% ao mês em regime de juros compostos? Resposta: 21 meses Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 32

33 13) Quato se deve depositar hoje, em uma istituição fiaceira que remuera o capital a 2,5% ao mês em regime de juros compostos, para se poder retirar R$ 460,00 após seis meses e R$ 650,00 após 12 meses? Resposta: R$ 879,97 14) Quato se deve depositar hoje, em uma istituição fiaceira que remuera o capital a 4% ao mês em regime de juros compostos, para se poder retirar R$ 224,00 após três meses, R$ 620,00 após seis meses e R$ 680,00 após ove meses? Resposta: R$ 1.166,89 15) Sohe um pouco: Supoha que você faz uma aplicação de R$ 100,00 em uma istituição fiaceira que promete duplicar o seu capital a cada mês. Nestas codições, quado você ficará milioário, isto é, terá R$ ,00? Resposta: 14 meses TAXAS DE JUROS 16) Sabedo que o dólar em 14/12/2.001 estava cotado em R$ 2,38 e, em 14/12/2.002 a sua cotação era de R$ 3,68. Perguta-se: a) Qual a taxa de variação o período? Resposta: 54,62% b) Qual a taxa de variação média mesal? Resposta: 3,70% ao mês 17) Se cotratarmos um empréstimo a 18% a.a. com capitalização mesal, qual será: a) A taxa mesal de juros? Resposta: 1,5% b) A taxa efetiva aual de juros? Resposta: 19,56% 18) A cadereta de poupaça rede juros a 0,6% a.m. + T.R. (Taxa de Referêcia). Qual é o redimeto aual dessa aplicação, cosiderado uma T.R. ula? Resposta: 7,44% 19) Uma dívida é corrigida diariamete a 0,1%. Qual será o acréscimo desta dívida em 6 (seis) meses? Resposta: 19,71% 20) Supodo que os últimos doze meses, o IPC (Ídice de Preços ao Cosumidor) acumulado foi de 7,4%. Qual foi o IPC médio mesal? Resposta: 0,60% SÉRIE UNIFORME 21) Supoha que um determiado objeto tem como preço de etiqueta R$ 100,00 com as seguites opções para o comprador: 1. R$ 50,00 de etrada + R$ 50,00 (em 30 dias) 2. R$ 70,00 à vista Perguta-se: Qual a taxa de juro mesal cobrada essa trasação comercial (compra)? Resposta: i 150% ao mês 22) Um acadêmico deseja fazer depósitos ao fim de cada mês, de modo a obter um motate equivalete a R$ 5.000,00, para trocar seus móveis, daqui a 24 meses. Sabedo-se que ele vai depositar a cadereta de poupaça que tem remueração média esperada de 1% ao mês, perguta-se: quato ele deverá depositar mesalmete (sem etrada) para obter o valor desejado? Resposta: R$ 185,37 23) Uma pessoa pretede formar um fudo de R$ 1.729,34 por meio de depósitos iguais e sucessivos de R$ 100,00 em uma istituição fiaceira que remuera o capital a 2% ao mês. Se o primeiro depósito for feito daqui a um mês, quatos depósitos serão ecessários para costruir esse fudo? Resposta: 15 depósitos Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 33

34 24) Qual o valor futuro de uma série de 14 pagametos iguais e mesais de R$ 50,00 aplicado a taxa de 7% ao mês? Resposta: R$ 1.127,52 25) Uma loja vede um televisor 42 por R$ 1.000,00 à vista ou em 15 pagametos mesais e iguais (etrada + 14 vezes) de R$ 100,00. Tomado como base essas iformações, determie a taxa de juro mesal que a loja está embutido o preço a prazo? Resposta: 6,53% a.m. Valor obtido, por exemplo, via método de Newto-Raphso. 26) Uma loja de eletroeletrôicos vede um cojuto de som por R$ 300,00 de etrada e mais três parcelas mesais de R$ 400,00. O preço a vista desse cojuto de som é R$ 1.400,00. Qual a taxa de juro mesal que a loja está embutido o preço a prazo? Resposta: 4,48% a.m. Valor obtido, por exemplo, via método de Newto-Raphso. 27) Qual o valor presete do fluxo de caixa mesal exibido a figura a seguir. Cosidere uma taxa de juros de 18% ao ao com capitalização mesal? Resposta: R$ 1.254,08 28) Uma loja oferece as seguites codições de veda: a vista, com descoto de 25%, ou em 5 vezes (1 + 4), com prestações mesais e iguais. Calcule a taxa de juro mesal que a loja está cobrado. Resposta: 16,88%. Valor obtido, por exemplo, via método de Newto-Raphso. SÉRIE NÃO UNIFORME DE PAGAMENTOS 29) Qual o valor presete do fluxo de caixa mesal exibido a figura a seguir. Cosidere uma taxa de juros de 18% ao ao com capitalização mesal? Resposta: R$ 960,70 30) Qual o valor presete do fluxo de caixa mesal exibido a figura a seguir. Cosidere uma taxa de juros de 18% ao ao capitalizada mesalmete? Resposta: R$ 1.468,75 Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 34

35 31) Qual o valor presete do fluxo de caixa aual exibido a figura a seguir. Cosidere uma taxa de juros de 12% ao ao? Resposta: R$ 839,58 32) Qual a taxa de juros que relacioa o valor presete e os pagametos do fluxo de caixa exibido a figura a seguir: Resposta: 8,43% ao período. Valor obtido, por exemplo, via método de Newto-Raphso. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 33) Supoha que cotraímos um empréstimo o valor de R$ 5.000,00 com juros de 3% ao mês, para pagar da seguite maeira: Nos dois primeiros meses pagaremos apeas os juros (Sistema Americao) e os quatro meses seguites quatro parcelas iguais (Sistema PRICE). Preecha a plailha a seguir: Período Prestação Juro Amortização Saldo devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 5.000, a 2 a 3 a 4 a Total Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 35

36 34) Uma empresa adquiriu um imóvel subsidiado pela prefeitura muicipal como forma de icetivo a geração de emprego e reda por R$ ,00 com 20% à vista e o saldo restate em 8 prestações mesais, com juros de 2% ao mês. Preecher as plailhas a seguir, cosiderado os sistemas: a) PRICE Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0, Total b) SAC Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0, Total c) SAA Período Juros Prestação Amortização Saldo Devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0, Total Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 36

37 35) Um produtor rural pretede ivestir a costrução de um barracão para o armazeameto de máquias, equipametos e implemetos agrícolas. O valor total da costrução está estimado em R$ ,00, com 20% à vista. O saldo restate pode ser fiaciado em 5 prestações auais, com juros de 11% ao ao. Nesse período está cotemplado 2 aos de carêcia, sem capitalização do saldo devedor por meio do pagameto dos juros. Costruir a plailha de desevolvimeto do fiaciameto, preechedo os quadros a seguir para cada sistema de amortização (PRICE e SAC). PRICE Período Prestação (R$) Juro (R$) Amortização (R$) Saldo devedor (R$) 0 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1ª carêcia 2ª carêcia 1 a 2 a 3 a Total SAC Período Amortização (R$) Juro (R$) Prestação (R$) Saldo devedor (R$) 0 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1ª carêcia 2ª carêcia 1 a 2 a 3 a Total 36) Questões coceituais de revisão: (i) O que é juros? (ii) Qual a fórmula matemática para o cálculo dos juros idepedete do regime de capitalização? (iii) Qual(is) a(s) difereça(s) etre os sistemas de capitalização: simples, compostos e cotíuos? (iv) Eucie os pricípios da Matemática Fiaceira. Como você defie o coceito de juros? Juros Coceito: Defie-se juros como sedo a remueração do capital, a qualquer título (PUCCINI, 2011). Esse autor complemeta: Assim, são válidas as seguites expressões como coceitos de juros: (i) remueração do capital empregado em atividades produtivas; (ii) custo do capital de terceiros; (iii) remueração paga pelas istituições fiaceiras sobre o capital elas aplicado. O que é um orçameto? Orçameto é uma ferrameta fiaceira. É um istrumeto de cotrole da vida fiaceira (seja de pessoa física ou jurídica), o qual permite plaejar para alcaçar metas, iclusive reduzir gastos. Sítese: Receitas (gahos) Despesas (gastos). Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 37

38 Gabarito: Questão 33 Gabarito: Questão 34 Gabarito: Questão 35 Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 38

39 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DESEMPENHO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CÂMPUS PATO BRANCO 1ª Avaliação de Egeharia Ecoômica Prof. José Doizetti de Lima, Dr. Eg. Data: 07/08/2014 Acadêmico(a): Curso: AGRONOMIA Código: EE23G Na correção da avaliação serão cosideradas somete as questões que apresetarem os cálculos e, a resposta da mesma à caeta. A iterpretação dos problemas é parte costate da avaliação. 1) (1,0 poto) Defia COM SUAS PALAVRAS o pricípio básico da Egeharia Ecoômica. 2) (1,0 poto) Defia COM SUAS PALAVRAS o coceito e a fórmula básica/fudametal de juros, idepedete do regime de capitalização. Na sequêcia, diferecie juros simples de juros compostos. 3) (1,0 poto) Comete sobre a difereça etre uma taxa de juros omial e uma efetiva. Na sequêcia, explique qual(is) a(s) codição(ões) para que duas taxas efetivas de juros sejam equivaletes? 4) (1,0 poto) Determie a taxa efetiva semestral de juros de uma taxa omial de 7,50% ao ao com capitalização mesal? 5) (1,0 poto) Quato precisamos depositar hoje em um fudo de aplicação para a substituição de um implemeto agrícola, o valor de R$ ,00 daqui a 2 (dois) aos, se a istituição fiaceira remuera o capital a uma taxa de 0,56% ao mês? Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 39

40 6) (3,0 potos) Um produtor rural pretede costruir um barracão de máquias. O valor total da costrução está estimado em R$ ,00, com 20% à vista. O saldo restate pode ser fiaciado em 4 prestações auais, com juros de 11% ao ao. Costruir a plailha de desevolvimeto do fiaciameto, cosiderado os sistemas a seguir: (a) Sistema PRICE Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0, Total (b) Sistema de Amortização Costate (SAC) Período Amortização Juros Prestação Saldo Devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0, Total (c) Sistema de Amortização Americao (SAA) Período Juros Prestação Amortização Saldo Devedor 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0, Total 7) (2,0 potos) Qual o valor presete (VP) das séries de pagametos ão-uiforme apresetadas as Figuras a seguir. Cosidere uma taxa de juros (i) igual a 11% ao ao e um horizote de aálise () de 5 (cico) aos. (a) (b) 8) (EXTRA) Qual a importâcia/cotribuição da egeharia ecoômica para a agroomia ou para o desevolvimeto das atividades agroômica? Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 40

41 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DESEMPENHO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CÂMPUS PATO BRANCO 1) 1ª Avaliação de Egeharia Ecoômica Prof. José Doizetti de Lima, Dr. GABARITO PARCIAL É o estudo do comportameto do diheiro ao logo do tempo. Por esse pricípio ão podemos realizar operações elemetares (+,, x, ) com valores que ão estejam a mesma uidade de tempo. Para cotorar esse problema precisamos utilizar uma taxa de juros período. Avaliar o valor do diheiro ao logo do tempo. Estudar a relação etre o biômio: diheiro x tempo. Observar o valor do diheiro ao logo de uma escala de tempo. 2) Juros é a quatia que se paga pelo custo do capital, isto é, ao emprestarmos (ou tomamos emprestado) uma determiada quatia, seja de uma pessoa ou de uma istituição fiaceira, paga-se o valor do empréstimo acrescido de um percetual proporcioal ao capital emprestado (base), ao tempo e a taxa de juros. Juros, em outras palavras, pode ser cosiderado como um aluguel pago pelo valor emprestado. Juros é um custo adicioal cobrado além do emprestado, dispoibilizado, por algum órgão ou pessoa, é uma recompesa paga pelo empréstimo. Juros é uma taxa que se paga para poder ter acesso a um certo motate de diheiro por um determiado período de tempo, de uma forma simples é, dispoibilizar ou adquirir diheiro ou bes de uma outra pessoa física ou jurídica com um certo percetual de iteresse perate ao motate. Juro = Base x Taxa. Coceito: prêmio/recompesa/aluguel/redimeto. JS ão há variação ao logo de uma escala de tempo. 3) A difereça é que a taxa de juros omial o período da taxa ão coicide com a capitalização e a efetiva o período e a capitalização coicidem. Duas taxas são equivaletes quado aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo período de tempo produzir o mesmo motate. 4) 7,50% a.a. 12 meses 0,625% a.m 6 meses 3,81% =(1+0,625%)^6-1 Se im = 0,92%, etão: ia = 11,62% Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 41

42 5) ,00 VF 24 0,56% i ,45 VP = 80000/(1+0,56%)^24 7) 6) (a) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 42

43 (b) (c) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 43

44 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DESEMPENHO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CÂMPUS PATO BRANCO 1ª Avaliação de Egeharia Ecoômica Prof. José Doizetti de Lima, Dr. Eg. Data: 24/09/2014 Acadêmico(a): Curso: AGRONOMIA Código: EE23G Na correção da avaliação serão cosideradas somete as questões que apresetarem os cálculos e, a resposta da mesma à caeta. A iterpretação dos problemas é parte costate da avaliação. 1) (1,25 poto) Defia COM SUAS PALAVRAS o pricípio básico da Egeharia Ecoômica. 2) (1,25 poto) Defia COM SUAS PALAVRAS o coceito e a fórmula básica/fudametal de juros, idepedete do regime de capitalização. Na sequêcia, diferecie juros simples de juros compostos. 3) (1,25 poto) Comete sobre a difereça etre uma taxa de juros omial e uma efetiva. Na sequêcia, explique qual(is) a(s) codição(ões) para que duas taxas efetivas de juros sejam equivaletes? 4) (1,25 poto) Determie a taxa efetiva MENSAL e ANUAL de juros de uma taxa omial de 11% ao ao com capitalização mesal? Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 44

45 5) (3,0 potos) Um produtor rural pretede ivestir a costrução de um barracão para o armazeameto de máquias, equipametos e implemetos agrícolas. O valor total da costrução está estimado em R$ ,00, com 20% à vista. O saldo restate pode ser fiaciado em 5 prestações auais, com juros de 11% ao ao. Nesse período está cotemplado 2 aos de carêcia, sem capitalização do saldo devedor por meio do pagameto dos juros. Costruir a plailha de desevolvimeto do fiaciameto, preechedo os quadros a seguir para cada sistema de amortização (PRICE e SAC). PRICE SAC Período Prestação (R$) Juro (R$) Amortização (R$) Saldo devedor (R$) 0 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1ª carêcia 2ª carêcia 1 a 2 a 3 a Total Período Amortização (R$) Juro (R$) Prestação (R$) Saldo devedor (R$) 0 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1ª carêcia 2ª carêcia 1 a 2 a 3 a Total 6) (2,0 potos) Qual o valor presete (VP) das séries de pagametos ão-uiforme apresetadas as Figuras a seguir. Cosidere uma taxa de juros (i) igual a 11% ao ao e um horizote de aálise (N) de 5 (cico) aos. (a) (b) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 45

46 4) 11% a.a. 12 meses 0,92% a.m. (0,9167%) 12 meses 11,62% =(1+0, 0,92%)^6-1 11,0% 12 0,9167% 11,57% 11,5719% 5) GABARITO PARCIAL 6) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 46

47 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DESEMPENHO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CÂMPUS PATO BRANCO 1ª Avaliação de Egeharia Ecoômica Prof. José Doizetti de Lima, Dr. Eg. Data: 01/03/2015 Acadêmico(a): Curso: AGRONOMIA Código: EE23G Na correção da avaliação serão cosideradas somete as questões que apresetarem os cálculos e, a resposta da mesma à caeta. A iterpretação dos problemas é parte costate da avaliação. 1) (1,0 poto) Por que a Egeharia Ecoômica é importate para a Avaliação Ecoômica de Projetos Agropecuários? Cite exemplos. 2) (1,0 poto) Descreva as pricipais características dos sistemas de amortização PRICE e SAC. 3) (1,0 poto) Disserte sobre o período de carêcia que pode ocorrer os sistemas de amortização. Detalhe também os tipos de carêcias. 4) (2,0 potos) Qual o valor presete (VP) da série de pagametos ão-uiforme apresetada a Figura a seguir. Cosidere uma taxa de juros (i) igual a 12,75% ao ao e um horizote de aálise (N) de 5 (cico) aos. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 47

48 5) (2,0 potos) Cosidere uma taxa de juros de 12,75% ao ao com capitalização mesal. Nesse cotexto, determie o valor presete do fluxo de caixa aual exibido a Figura a seguir. 6) (3,0 potos) Um produtor rural pretede ivestir a costrução de um barracão para o armazeameto de máquias, equipametos e implemetos agrícolas. O valor total da costrução está estimado em R$ ,00, com 20% à vista. O saldo restate pode ser fiaciado em 5 prestações auais, com juros de 12,75% ao ao. Nesse período está cotemplado 2 aos de carêcia, com capitalização do saldo devedor pois ão haverá o pagameto de juros esse período. Costruir a plailha de desevolvimeto do fiaciameto, preechedo os quadros a seguir para cada sistema de amortização (PRICE e SAC). PRICE SAC Período Prestação (R$) Juro (R$) Amortização (R$) Saldo devedor (R$) 0 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1ª carêcia 2ª carêcia 1 a 2 a 3 a Total Período Amortização (R$) Juro (R$) Prestação (R$) Saldo devedor (R$) 0 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1ª carêcia 2ª carêcia 1 a 2 a 3 a Total Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 48

49 GABARITO PARCIAL 1) A Egeharia Ecoômica utiliza o pricípio de observar o valor do diheiro ao logo do tempo. Para verificar a viabilidade ecoômica de um Projeto de Ivestimeto (PI) em agroegócios é preciso poderar o retoro com o risco (a logo prazo). Serve para fazer a aálise de ivestimetos agropecuários: se é viável ou ão, do poto de vista ecoômico, executar um PI. Erro grave. Só falam/pesam o RETORNO e esquecem do RISCO. 2) PRICE: Prestação (costate); Juros (dimiui); Amortização (aumeta); Saldo Devedor (dimiui) SAC: Amortização (costate); Juros (dimiui); Prestação (dimiui); Saldo Devedor (dimiui) 3) Veja a teoria sobre sistemas de amortização 4) Taxa 12,75% Data Zero Desc. 1 R$ 100,00 R$ 88,69 2 R$ 200,00 R$ 157,32 3 R$ 300,00 R$ 209,30 4 R$ 400,00 R$ 247,51 5 R$ 500,00 R$ 274,40 Data zero Total R$ 977,23 5) imesal = 12,75%/12 = 1,0625% => iaual = (1+1,0625%) 12 1 = 13,52211% 1,0625% Tx. Jur. Ef. Mesal. 13,52211% Tx. Jur. Ef. Aual Usei exato Taxa 13,52% 1 R$ 100,00 R$ 88,09 2 R$ 150,00 R$ 116,40 3 R$ 170,00 R$ 116,21 4 R$190,00 R$ 114,41 5 R$ 210,00 R$ 111,39 6 R$ 190,00 R$ 88,78 7 R$ 170,00 R$ 69,97 8 R$ 150,00 R$ 54,39 9 R$ 100,00 R$ 31,94 Data zero Total R$ 791,58 Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 49

50 6) Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 50

51 REFERÊNCIAS ARAÚJO, M.M. de. Costrução de calculadoras de fiaciametos usado o Microsoft Excel: uma proposta de esio para a matemática fiaceira. Uiversidade Federal do Vale do São Fracisco. Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal (PROFMAT/UNIVASF), f. AYRES JUNIOR, F. Matemática Fiaceira: resumo da teoria, 500 problemas resolvidos. Tradução de Gastão Quarti Pito de Moura. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, COSER FILHO, M.S. Apredizagem de Matemática Fiaceira o Esio Médio: uma proposta de trabalho a partir de plailhas eletrôicas. Dissertação: Mestrado em Esio de Matemática - Uiversidade Federal do Rio Grade do Sul, Porto Alegre, Dispoível em: < Acesso em: 12 ago f. DURIGAN, P.L. Richard Price e a casa própria. Dispoível em: < Acesso em: 12 ago DURIGAN, P.L. SFH: a prática jurídica. E-book. Dispoível em: < Acesso em: 12 ago FRANCISCO, W. de. Matemática Fiaceira. 4 ed. Atlas, IEZZI, G.; HAZZAN, S.; DEGENSZAJN, D.M. Fudametos de Matemática Elemetar: matemática comercial, matemática fiaceira, estatística descritiva. São Paulo: Atual, v. 11., 1ª ed., TOZETTO, V. Educação Fiaceira o Esio Médio: Uma abordagem por meio da aálise de produtos fiaceiros com êfase em Cosórcios. Uiversidade Tecológica Federal do Paraá Câmpus Pato Braco, (Mestrado Profissioal em Matemática PROFMAT) f. LIMA, E.L. Curso de Aálise. 11 ed. v. 1. Rio de Jaeiro: IMPA, MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Fiaceira. São Paulo: Atlas, MORGADO, A.C.; WAGNER, E.; ZANI, S.C. Progressões e Matemática Fiaceira. 5 ed. Rio de Jaeiro: SBM. Coleção do Professor de Matemática, PAMPLONA, E. de O. MONTEVECHI, J.A.B. Apostila de Egeharia Ecoômica I, Dispoível em: < Acesso em: 18 ago PUCCINI, A. de L. Matemática Fiaceira - objetiva e aplicada. 9 ed. São Paulo: Saraiva, RASOTO, A.; GNOATTO, A.A.; OLIVEIRA, A.G. de; ROSA, C.F. da; ISHIKAWA, G.; CARVALHO, H.A. de; LIMA, I.A. de; LIMA, J.D. de; TRENTIN, M.G.; RASOTO, V.I. Gestão Fiaceira: efoque em iovação. Série UTFiova. Curitiba: Aymará, 2012, v p. SAMANEZ, C. P. Matemática Fiaceira. 2 ed. São Paulo: Makro Books, SAMANEZ, C. P. Matemática Fiaceira: aplicações à aálise de ivestimetos. 3. ed. São Paulo: Pretice-Hall, SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Matemática Fiaceira: Fudametos, Coceitos e Aplicações. 1 ed. São Paulo: Atlas, Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 51

52 SAVEPI Software de Aálise da Viabilidade Ecoômica de Projetos de Ivestimetos. Software olie. Dispoível em: < Acesso em: ov Seha Provisória: iic2015. Favor ão publicar/divulgar materiais e liks eviados... Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 52

53 LEITURA COMPLEMENTAR: RICHARD PRICE E A SEQUÊNCIA UNIFORME DE CAPITAIS Texto extraído a itegra de Iezzi et al. (2004, p. 76) Há dois tipos de problemas bastate frequetes em operações fiaceiras. O primeiro diz respeito ao cálculo da prestação de um fiaciameto em prestações iguais o regime de juros compostos, dados o valor fiaciado, a taxa de juros e o úmero de prestações. O segudo refere-se ao motate auferido por uma sucessão de depósitos iguais a juros compostos, dados o valor de cada deposito, a taxa de juros e o úmero de depósitos. Essa sucessão de valores iguais (pagametos e depósitos) é chamada de sequêcia uiforme de capitais ou de depósitos. Um dos pioeiros a utilização desses problemas o cálculo de aposetadorias e pesões foi o filósofo, teólogo e especialista em fiaças e seguros Richard Price. Nascido a Iglaterra em Tyto, Glamorga, em fevereiro de 1723, foi educado em sua cidade atal até a morte de seu pai, depois se mudou para Lodres em Nessa cidade, recebeu sólidos cohecimetos de matemática, e foi discípulo de Joh Eames. Permaeceu estudado até 1748, ao em que se torou miistro presbiteriao. Em 1758, publicou o livro Revisão das questões pricipais em moral, que causou grade impacto a coservadora sociedade britâica pela proposta de revisão das questões morais da época. Em 1766, publicou a Importâcia do cristiaismo, obra a qual está presete a rejeição às ideias tradicioais cristãs como pecado origial, castigo etero e purgatório. Três aos depois, a pedido da seguradora iglesa Sociedade Equitativa, Price publicou um trabalho a área de Estatística e Atuária chamado Tabelas de mortalidade de Northampto, que serviu para o cálculo das probabilidades de morte e sobrevivêcia de um idivíduo em fução da idade. Essas tabelas serviram de base para o cálculo de seguros e aposetadorias. Em 1771, publicou sua mais famosa obra da área fiaceira e atuarial ititulada Observações sobre pagametos reversíveis. Nessa obra, Price elaborou tabelas para o cálculo de juros compostos, explicou o fiaciameto por meio da sequêcia uiforme de pagametos, o motate gerado por depósitos em sequêcia uiforme, redas vitalícias em aposetadorias e cálculo de prêmio de seguros de vida. Em 1776, publicou Observações sobre a atureza da liberdade civil, os pricípios do govero, e a justiça e a política da guerra com a América, um sucesso de vedas a América e a Iglaterra (cerca de exemplares em poucos meses). Graças a essa obra e suas ideias, foi covidado pelo Cogresso dos Estados Uidos da América para exercer a fução de coselheiro a área fiaceira. Nos últimos aos de sua vida, em 1789, fez um de seus últimos discursos em defesa da Revolução Fracesa, Discurso sobre o amor pelo osso país, que provocou fortes reações a sociedade britâica coservadora. Price foi chamado de ateu pelo rei George III. Seus adversários ideológicos combateram suas ideias por meio de pafletos, chegado até a ser caricaturado como isao e ateu por James Gillray, famoso caricaturista da época. Price faleceu em Hackey, próximo de Lodres, em abril de 1791, aos 68 aos de idade. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 53

54 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA Fote: Trabalho forecido ao Só Matemática pelo Prof. Jea Pito-Goçalves em agosto de Itrodução É bastate atigo o coceito de juros, tedo sido amplamete divulgado e utilizado ao logo da História. Esse coceito surgiu aturalmete quado o Homem percebeu existir uma estreita relação etre o diheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam ormalmete a ideia de juros, pois se realizavam basicamete devido ao valor temporal do diheiro. As tábuas mais atigas mostram um alto grau de habilidade computacioal e deixam claro que o sistema sexagesimal posicioal já estava de loga data estabelecida. Há muitos textos desses primeiros tempos que tratam da distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados essas trasações. As tábuas mostram que os sumérios atigos estavam familiarizados com todos os tipos de cotratos legais e usuais, como faturas, recibos, otas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de veda e edossos. Há tábuas que são documetos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas. Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de várias tábuas. Das 400 tábuas matemáticas cerca de metade eram tábuas matemáticas. Estas últimas evolvem tábuas de multiplicação, tábuas de iversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de expoeciais. Quato a estas, provavelmete eram usadas, jutamete com a iterpelação, em problemas de juros compostos. As tábuas de iversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação. Os Juros e os Impostos Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações existetes a Terra. Um dos primeiros idícios apareceu a já a Babilôia o ao de 2000 a.c. Nas citações mais atigas, os juros eram pagos pelo uso de semetes ou de outras coveiêcias emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de semetes ou de outros bes. Muitas das práticas existetes origiaram-se dos atigos costumes de empréstimo e devolução de semetes e de outros produtos agrícolas. A História também revela que a ideia se tiha torado tão bem estabelecida que já existia uma firma de baqueiros iteracioais em 575 a.c., com os escritórios cetrais a Babilôia. Sua reda era proveiete das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu diheiro para o fiaciameto do comércio iteracioal. O juro ão é apeas uma das ossas mais atigas aplicações da Matemática Fiaceira e Ecoomia, mas também seus usos sofreram poucas mudaças através dos tempos. Como em todas as istruções que tem existido por milhares de aos, algumas das práticas relativas a juros têm sido modificadas para satisfazerem às exigêcias atuais, mas algus dos atigos costumes aida persistem de tal modo que o seu uso os dias atuais aida evolve algus procedimetos icômodos. Etretato, devemos lembrar que todas as atigas práticas que aida persistem foram iteiramete lógicas o tempo de sua origem. Por exemplo, quado as semetes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era lógico esperar o pagameto a próxima colheita - o prazo de um ao. Assim, o cálculo de juros em uma base aual era mais razoável; tão quato o estabelecimeto de juros compostos para o fiaciameto das atigas viages comerciais, que ão poderiam ser cocluídas em um ao. Coforme a ecessidade de cada época, foi se criado ovas formas de se trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário etc.). Há tábuas as coleções de Berlir, de Yale e do Louvre que cotêm problemas sobre juros compostos e há algumas tábuas em Istambul que parecem ter sido origialmete tábuas de a' para de 1 a 10 e para a = 9, 16, 100 e 225. Com essas tábuas podem-se resolver equações expoeciais do tipo a' = b. Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 54

55 Em uma tábua do Louvre, de cerca de 1700 a.c., há o seguite problema: Por quato tempo deve-se aplicar uma certa soma de diheiro a juros compostos auais de 20% para que ela dobre? Resolução: Via $AVE e MS-Excel O Valor e a Moeda Na época em que os homes viviam em comuidades restritas, tirado da atureza todos os produtos de que tiham ecessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comuicação etre as diversas sociedades. Mas com o desevolvimeto do artesaato e da cultura e em razão da desigual repartição dos diversos produtos aturais, a troca comercial mostrou-se pouco a pouco ecessária. O primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segudo a qual se trocam diretamete (e, portato sem a iterveção de uma "moeda" o setido modero da palavra) gêeros e mercadorias correspodetes a matérias primas ou a objetos de grade ecessidade. Por vezes, quado se tratava de grupos que etretiham relações pouco amistosas, essas trocas eram feitas sob a forma de um escambo silecioso. Uma das duas partes depositava, um lugar previamete estabelecido, as diversas mercadorias com as quais desejava fazer a troca e, o dia seguite, ecotrava em seu lugar (ou ao lado delas) os produtos propostos pelo outro parceiro. Se a troca fosse cosiderada coveiete levavam-se os produtos, seão retorava-se o dia seguite para ecotrar Itrodução à Aálise Ecoômica de Projetos: Pricípios e Práticas Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eg. Págia 55