Antonio Victorino Avila Eng.º Civil, MSc. Eng.ª Produção

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1 Atoio Victorio Avila Eg.º Civil, MSc. Eg.ª Produção Cursos de Egeharia Floriaópolis-SC 2012 Egª Ecoomica~Aulas~ docx 1-201

2 A958m AVILA, Atoio Victorio. Matemática fiaceira e egeharia ecoômica / Atoio Victorio Avila; Atôio Edésio Jugles. Floriaópolis. "Programa de Educação Tutorial da Egeharia Civil - UFSC", p.: il. color. ;24 cm Iclui Bibliografia. 1. Matemática fiaceira. 2. Egeharia ecoômica. 3. Juros. 4. Capital. I. Jugles, Atôio Edésio. II. Título. Catalogação a publicação por Graziela Boi CRB14/1191. CDU 624 Origial: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Versão ELETROSUL. Matemática Fiaceira E Egeharia Ecoômica Versão março de Copyright do autor Permitida cópia citada a fote. Egª Ecoomica~Aulas~ docx 2-201

3 O objetivo desta publicação é dispoibilizar ao aluo dos cursos de egeharia uma expressão documetal coerete com o coteúdo miistrado de modo que o mesmo possa acompahar as discussões realizadas em sala de aula. Visado o bom aproveitameto das aulas é imprescidível que o aluo dispoha da ultima versão atualizada deste coteúdo. Isto porque, cometários sobre a teoria, demostrações matemáticas e os exercícios a serem resolvidos estão ela atualizados. Recomeda-se ao iteressado cosultar a bibliografia apresetada, pois o coteúdo exposto ão esgota o assuto. Egº Civil Atoio Victorio Avila, MSc Egª Produção Egª Ecoomica~Aulas~ docx 3-201

4 ÍNDICE ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 1. Premissas e Coceitos Itrodução Remueração dos Fatores de Produção Premissas Nomeclatura das taxas de juros Composição da Taxa Real Defiições Matemática Fiaceira Itrodução Coceituações de Juros Juros Simples Defiição Equações Operações de descoto Relações etre Descotos e Taxas Tempo Exato e Comercial Exercícios Resolvidos Exercícios propostos Juros Compostos Defiição Fórmulas Básicas: Valor Presete e Valor Futuro Exemplos Correlação Etre Taxas de Juros Compostos Cuidados a observar Exercícios Relação etre as taxas omial e real Efeito da Iflação Relação etre taxas Iflação e Ídices Iflação Acumulada Fórmulas Básicas Atualização de valores moetários Aplicação Exercícios Séries de Capitais Itrodução Série Uiforme Postecipada Valor Presete ou Valor Atual da Série Postecipada Valor Futuro da Série Postecipada Exemplo Comparado Juros Simples e Compostos Auidade perpétua Coceituação Exercício Resolvido Série Uiforme Atecipada Valor Presete da Série Atecipada Valor Futuro da Série Atecipada Aplicação Série Diferida Metodologia Aplicação Série Ifiita Coceituação Aplicação Exercícios Amortizações de Dívidas Tipos de Sistemas Sistemas de Amortização Costate - SAC A metodologia Exemplo Sistemas de prestação costate Metodologia Exemplo O sistema americao Metodologia Exemplo Egª Ecoomica~Aulas~ docx 4-201

5 4.5 O sistema de amortização variável Metodologia Cometários Exemplo O sistema alemão Característica Relação etre Amortizações Determiação da Prestação Equivalêcia Fiaceira Exemplo O sistema de amortização crescete - SACRE O Sistema A metodologia Exemplo Cometários Correção do saldo devedor Procedimetos Metodologia Aplicação ao Sistema SAC Exercícios Egeharia Ecoômica Coceituação Aálise de Viabilidade Coceito de Viabilidade Premissas O Fluxo de Caixa Coceituação Diagrama de Fluxo de Caixa DFC Calculo do Fluxo de Caixa Valor Presete Valor de um Ativo Calculo do Valor Presete Líquido Diagrama de Valor Presete Exemplo de Aplicação A TMA Taxa de Míima Atratividade Coceito de TMA Defiição da TMA A TIR Taxa Itera de Retoro Previsão de Fluxo de Caixa Modelo de Procedimeto Iformações Gereciais Tributos e Depreciação Ifluecia dos Tributos Ifluecia da Depreciação Classificação dos Ivestimetos Pela Variação dos Fluxos de Caixa Dispoibilidade de Recursos O processo de decisão Exercícios Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Método do Valor Presete Coerêcia de resultados Projetos a mesma classe de risco A mesma taxa de descoto Projetos com idêtica vida útil Distiguir projetos de loga duração O Método do valor presete Icremeto de Riqueza Decisão Diagrama de valor presete Aálise de Sesibilidade - Risco Coceituação Domíio viável de produção Aplicação Equalização de tempos de projetos Reivestimeto em ativos semelhates Caso de Rigidez das Alterativas Caso de Outras Oportuidades Exercícios Método da Recuperação de Capital Itrodução Egª Ecoomica~Aulas~ docx 5-201

6 7.2 - Metodologia Valor Uiforme Equivalete Itrodução Decisão Metodologia Aplicação da Metodologia Procedimetos Resolução do Caso Caso de Reivestimeto Coceituação e Artifício Mauteção em Comissioameto Aálise Crítica Exercícios Exercício Resolvido Exercício Proposto Taxa Itera de Retoro Defiições Decisão Discutido a TIR e a TMA Utilização recomedada Caso de títulos mobiliários Caso de fiaciametos Caso de ivestimetos produtivos Calculo da TIR Fução Poliomial Processo da Bisseção Aplicação da metodologia Existêcia de múltiplas TIR Coceituação Exemplo Exercícios Métodos Algébricos Fórmulas de Karpi Caso de Prestações Costates O método Aplicação Caso de Prestações Crescetes O Método Aplicação Caso de Prestações Decrescetes O Método Aplicação Exercícios Comissioameto de Ativos Defiição Tipos de Comissioametos Metodologia Decisão Compra a vista Compra a prazo Aluguel com devolução do bem Aluguel sem devolução do bem Leasig-back Exercício ÍNDICES DE INFLAÇÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS - Casos e Trabalhos Aexo I Trabalhos I.1 Trabalho: Aálise de Fluxo de Caixa I.2 - Trabalho: Métodos de amortização I.3 Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas Aexo II- Casos em Egeharia Ecoômica II.1 Caso: Ampliação da Sede II.2 Caso: Fabrica de protedidos II.3 Caso: Implatação de Termelétrica Egª Ecoomica~Aulas~ docx 6-201

7 II.4 Caso: Viabilidade de costrução de pote II.5 Caso: Refiaria de petróleo II.6 Caso: Aquisição de presas II.7 Caso: Fiaciameto de residêcia II.8 Caso: Veda de Apartameto II.9 Caso: Plao de Costrução Egª Ecoomica~Aulas~ docx 7-201

8 1. Premissas e Coceitos 1.0 Itrodução. O objetivo deste capítulo é apresetar ao iteressado uma série de premissas, coceitos e defiições que amparam o processo de decisão fiaceira e os métodos de decisão utilizados a Matemática Fiaceira e a Egeharia Ecoômica. Matemática Fiaceira é defiida como sedo a área da matemática que descreve as relações etre o biômio tempo e diheiro ecessárias a amparar o calculo de decisões fiaceiras. 1.1 Remueração dos Fatores de Produção. A demada por fatores ecessários à produção de bes e serviços tais como: mão de obra; capital; terra; empresas; ou a capacidade técica, requer remueração. Coforme o caso, esta remueração recebe deomiação distita. Assim sedo, o capital é remuerado pelos juros; a terra pelo aluguel; a técica ou patetes pelos royalties; a empresa pelo lucro ou taxa de míima atratividade, TMA; a mão de obra pelo salário. Ver Fig.1.1 Remueração dos Fatores de Produção. Assim sedo, a matemática fiaceira estuda, basicamete, a formação dos juros, os motates de capital gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de dívidas. A Egeharia Ecoômica correspode ao cojuto de cohecimetos e metodologias que, amparadas a matemática fiaceira, permite realizar o processo de tomada de decisão quato a eleição ou a classificação de alterativas de ivestimetos fiaceiros. Esses ivestimetos podem ser referetes a: aplicação de capital em ações, reda fixa ou variável; aquisição de bes e equipametos; implatação de sistemas de produção ou de serviços, etc.. O objetivo desta obra será discutir a remueração do capital, ou seja, os juros. Egª Ecoomica~Aulas~ docx 8-201

9 E, os juros, tato podem se relacioar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao fiaciameto tomado a aquisição de bes ou a remueração do capital de sócios. O objetivo maior, etão, é dispor ao iteressado de um cojuto de metodologias que permitam a realização de um coerete processo de decisão quato à escolha de ivestimetos produtivos ou a aplicação de capital que ateda, corretamete, aos preceitos da Matemática Fiaceira e da Egeharia Ecoômica. 1.2 Premissas. A matemática fiaceira e a egeharia ecoômica, como istrumetos de apoio à tomada de decisão, se apoiam as seguites premissas: 1ª Premissa MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. O objetivo de utilizar a egeharia ecoômica e a matemática fiaceira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alterativa de ivestimetos que maximize o lucro, a riqueza dos proprietários, sempre. 2ª Premissa MOMENTO DA DECISÃO. As decisões sempre devem efocar o quato uma ação efetuada o presete resultará em termos de aumeto de riqueza o futuro. Assim, ao ser aalisado um empreedimeto já em curso, a decisão presete em cotiuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e ão em resultados passados. Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado já ocorreu e sobre ele ada há que decidir. Em relação ao futuro só temos expectativas. De modo que as decisões são sempre formadas sobre expectativas. A 2ª Premissa estabelece que o mometo da decisão seja sempre a data em que a mesma foi tomada. HOJE. Como se decide sobre expectativas futuras, há que se cosiderar a variação do valor aquisitivo da moeda o tempo para que haja cosistêcia quado se compara valores moetários. Isto porque, e é de etedimeto geral, mesmo de modo ituitivo que, com uma quatidade de moedas, a data de hoje, é possível adquirir uma quatidade de bes diferete daquela possível de adquirir em outra data, dispodo da mesma quatidade de moeda. ATENÇÃO! COERÊNCIA! SOMENTE SE SOMAM OU SE SUBTRAEM VALORES MONETÁRIOS CORRELACIONADOS À MESMA DATA. Sob essa cosideração, toda a operação efetuada com valores moetários, seja de adição de valores, quais sejam, etradas de caixa. Ou a dimiuição de valores, a exemplo de custos icorridos, ivestimetos realizados ou impostos devidos, deve ser correlacioada à data da tomada de decisão. Egª Ecoomica~Aulas~ docx 9-201

10 Dado o exposto, somete se somam ou se subtraem valores moetários fiaceiros quado correlacioados à mesma data, dada a variação do valor da morda o tempo. Como exemplo, seja um ivestidor dispodo de uma soma de capital equivalete a D$ ,00 e havedo a oportuidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ao, ao fial de um ao a importâcia iicial motará em D$ ,00. 3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. Fiaceiramete falado, uma soma de diheiro a data de HOJE, e sob determiadas codições, pode ser moetariamete equivalete a outra soma diferete, o tempo. Sob tal premissa, os critérios de decisão de ivestimetos devem recohecer o valor do diheiro o tempo e, como corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo do diheiro com o passar do tempo. R$1.500,00 O valor de R$ ,00, as codições relatadas é fiaceiramete equivalete ao valor iicialmete aplicado. Outro exemplo seja o caso do fiaciameto de um televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser quitado em cico prestações iguais, mesais e cosecutivas o valor de R$ 385,00. Sob o coceito de equivalêcia fiaceira do valor da moeda o tempo, o motate das cico prestações, a um custo de oportuidade de 8,94% ao período, é equivalete ao valor do fiaciameto. Ou seja: 1.500,00 R$ 5 385,00 R$. Ver Fig.1.1 Equivalêcia de valores , Fig. 1.2 Equivalêcia de valores Mês Para que um ativo mateha o seu valor aquisitivo e, cosequetemete, ão perca valor o tempo, há que ser aplicado com um retoro equivalete à taxa de oportuidade defiida pela empresa ou adotada pelo ivestidor. 4ª Premissa CUSTO DE oportunidade. O custo de oportuidade correspode à melhor remueração a ser obtida por um fator de produção que seria obtida por ele caso fosse aplicado em outra alterativa de ivestimeto, matida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & Attie, 1984). Como corolário da defiição acima, o custo de oportuidade correspode à maior taxa de descoto a ser adotada quado se compara a retabilidade de um dado projeto com a retabilidade da melhor alterativa já dispoível, cosiderado projetos situados a mesma classe de risco. A literatura existete trata o custo de oportuidade sob diversas deomiações, tais como: taxa de retabilidade, taxa Egª Ecoomica~Aulas~ docx

11 de oportuidade; taxa de retoro; taxa de atratividade; taxa de descoto ou taxa de míima atratividade - TMA. Esta última, TMA, será a adotada como omeclatura esta obra. Detro dessa premissa, um ivestidor que passa a ter a oportuidade de aplicar os seus recursos a X%, e os viha fazedo a taxa y% < X%, sua taxa de oportuidade passa a ser X%, pois esta é a melhor aplicação dispoível para seus ativos. Qualquer aplicação efetuada a taxa iferior que a de oportuidade reduz a realização ou a perspectiva de mater seus gahos um determiado patamar de lucratividade, o que cotraria a 1ª Premissa. Como exemplo, seja uma empresa que remuera seus ativos à taxa de 15% ao ao. Esta é a sua taxa de oportuidade e ela ão aceita em aplicar recursos á uma taxa iferior a ela. Porém, se coseguir remuerar a uma taxa mais elevada, tal como 18% ao ao, esta passará a ser a sua ova taxa de oportuidade. O coceito de cosiderar ou defiir a remueração do capital a ser ivestido como um custo de oportuidade parte do etedimeto de que ao ser aplicado um capital uma alterativa qualquer, a empresa estaria perdedo a oportuidade de aplicá-lo em alterativas mais retáveis a ocorrerem o futuro. 5ª Premissa DECISÃO & RESULTADO. É importate observar a difereça etre boas decisões e bos resultados, pois, em sempre, são diretamete proporcioais. Uma boa decisão é a melhor possível, cosiderado o cohecimeto dispoível sobre qualquer ação em julgameto, o mometo de sua realização. Havedo alteração do ceário previsto ou ocorredo azar, uma boa decisão pode redudar um mau resultado. É um fato a ser cosiderado. A recíproca, porém, dificilmete se mostrará verdadeira, ou seja, uma má decisão propiciado em bom resultado. Esta assertiva cotraria a lei de Murphi que diz: existido a probabilidade de algum feômeo dar errado, com certeza ele dará errado.... A ocorrêcia de uma boa decisão esta viculada a dispoibilidade de dados e iformações cofiáveis e que as alterativas reflitam as codições de mercado da época em que foram desevolvidas. São dados perfeitamete cotroláveis e depedetes da acuidade do decisor. Cabe ao aalista, elaborar um processo com a melhor qualidade possível, visado à fidedigidade dos resultados. Recomeda-se a realização de auditorias pós - decisão visado aalisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os resposáveis por decisões possibilitado avaliar o desempeho da orgaização Nomeclatura das taxas de juros. O mercado de capitais e o comércio utilizam uma omeclatura variada para defiir as taxas de juros praticadas, muitas vezes utilizado deomiação diferete para a mesma taxa. Visado o etedimeto das omeclaturas utilizadas, são apresetadas as seguites defiições: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

12 a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remueração do capital estabelecida por seu proprietário e medida em termos de moeda de poder aquisitivo costate. Moeda de poder aquisitivo costate é aquela cujo poder de compra se matém ialterada o tempo. Logo, esta taxa, ão está embutido o efeito da iflação. b) Taxa Real correspode à taxa básica acrescida de outros custos, tributos e do risco viculado ao tomador do recurso. c) Taxa Nomial correspode à remueração do capital expressa em termos de valores de moeda correte. Esta taxa egloba a taxa real e a iflação prevista. Também pode ser deomiada de taxa efetiva. Neste caso correspode à taxa empregada para a atualização e pagameto de valores moetários. e) Taxa Declarada é aquela declarada ou registrada omialmete os cotratos. Normalmete ela é a base para o cálculo do juro a ser pago em uma operação. A taxa declarada pode ser cosiderada como sedo a taxa omial quado expressamete estabelecida em cotrato. Ou, à taxa real quado o cotrato estabelecer, uma clausula a taxa de juros e, outra cláusula, o ídice de correção da iflação. f) Taxa Bruta e Taxa Líquida são aquelas referetes à remueração bruta ou líquida da iversão, respectivamete, ates ou depois da cosideração dos impostos, comissões, icetivos fiscais, etc. icidetes sobre a operação de empréstimo. Da defiição acima, pode-se cocluir que a taxa bruta pode correspoder à taxa efetiva de juros. d) Taxa Efetiva É a que correspode, exatamete, ao custo do diheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser defiida, também como aquela que icide sobre o capital efetivamete exposto ao risco. A Taxa Efetiva, etão, correspode à razão etre o custo do capital tomado e o valor efetivamete recebido. E, deve ser etedida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo tomador do recurso. CustodoCapital Σ{Juros + Ec argos} i EFETIVA = = Valor Re cebido ValorFiaciado g) Juros Descotados - os juros são ditos descotados quato pagos o ato da operação fiaceira que lhes deu origem. Cosiderado que os juros efetivamete pagos são calculados sobre o capital efetivamete recebido, a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso a situação é mais favorável ao forecedor do recurso. h) Juros Postecipados os juros são ditos postecipados quado pagos a data de vecimeto da operação fiaceira que lhe deu origem. Neste caso, os juros efetivamete pagos e pactuados são equivaletes, situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso. Pelo exposto este item, pode se costatar certo coflito ou icosistêcia etre algumas das defiições. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

13 Cabe ao tomador do recurso verificar o coceito ou a composição das taxa a ser estipulada em cada cotrato, pois pode haver etedimeto diferete etre istituições fiaceiras distitas. No trascorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão utilizadas como omeclatura, apeas, a taxa omial e a taxa real. Esta ultima, a maioria dos exercícios cosiderados este livro, com a cootação de taxa básica. 1.4 Composição da Taxa Real A taxa real de juros praticada o mercado fiaceiro ão é uma simples taxa que expressa a remueração desejada pelo capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e do risco icidetes sobre uma operação fiaceira. Resumidamete, correspode à soma da remueração básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma taxa suplemetar deomiada, o mercado fiaceiro, de spread. i R = i B + ( i F + i C + α IOF + i ρ ) No Brasil, o tributo icidete sobre operações fiaceiras é o IOF, cujas alíquotas são defiidas por lei e dispoíveis do site da Receita Federal. O valor da taxa de risco, i ρ, é defiido segudo a classificação do ível de risco atribuída ao tomador do recurso. Para tato são cosideradas as seguites variáveis: o histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as garatias reais que oferece e da vulerabilidade do mercado ode atua. A taxa básica de juros, i B, varia de país para país sedo determiada periodicamete pelos respectivos bacos cetrais. Como exemplos, o Brasil, ela é deomiada de SELIC e periodicamete estabelecida pelo Baco Cetral. Nos Estados Uidos é deomiada de Prime Rate e a Iglaterra de Libor. i R = i B + i SPREAD A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguites custos: comissões de corretagem, i F, (também deomiada flat); custos viculados ao processo da itermediação fiaceira, i C ; tributos sobre operações fiaceiras, α; e, uma taxa de remueração de risco, i ρ. Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguite expressão, sedo cada uma das variáveis relacioadas expressa em percetagem: 1.5 Defiições. Neste item são defiidos algus coceitos a serem utilizados esta obra. Eteder esses coceitos é importate para a gestão da orgaização, pois são comus a áreas do cohecimeto como a cotabilidade e ao cotrole de custos. Assim sedo, as tabelas 1.1 a 1.3 mostram modelos de balaço patrimoial e do demostrativo de resultados do exercício. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

14 a) Gastos e dispêdios correspodem à assução de qualquer compromisso fiaceiro a ser quitado à vista ou futuramete e que propicie saída de diheiro do caixa. Ivestimetos em bes móveis ou imóveis e a participação societária em outras empresas são apropriados o Ativo Não Circulate. b) Custo correspode a todo dispêdio efetuado com a produção de um bem ou serviço. São classificados como diretos e idiretos. Os diretos são os custos realizados o esforço de produção de um bem ou serviço. Os idiretos são alocados ao esforço de produção, comumete, por meio de algum processo de rateio. Cotabilmete, os custos são apropriados o DRE, ver Fig.1.1, o que permite a apuração do resultado do exercício. c) Despesa correspode a todo dispêdio que ão se idetifica com o processo de produção de um bem ou serviço. Elas são relacioadas aos gastos icorridos com a estrutura comercial e admiistrativa da orgaização. São apropriados o Ativo Não Circulate, também, direitos realizáveis em logo prazo e o itagível. e) Valor Ecoômico correspode ao valor ou soma de valores que ão cosideram a perda do valor aquisitivo da moeda o tempo. f) Valor Fiaceiro correspode ao valor ou soma de valores que cosideram a perda do valor aquisitivo da moeda o tempo. É iteressate otar que o balaço são apropriados valores ecoômicos. Cotabilmete, as despesas são apropriadas o DRE, ver Fig.1.1, visado à apuração do resultado do exercício. d) Ivestimeto correspode a qualquer dispêdio realizado com a aquisição de bes móveis, imóveis ou itagíveis que itegram os ativos da orgaização, bem como os isumos estocados visado cosumo futuro. Cotabilmete, os ivestimetos são apropriados em cotas do o Ativo, ver Fig.1.2, visado registrar o patrimôio, bes e direitos, dispoíveis pela orgaização o fial de cada exercício. Assim sedo, os valores de capital de giro e estoques são apropriados o Ativo Circulate. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

15 Juros Simples; Juros Compostos. 2. Matemática Fiaceira Itrodução Por defiição, a Matemática Fiaceira correspode à matemática que descreve as relações etre o biômio tempo e diheiro ecessárias a amparar o calculo de decisões fiaceiras. Neste capítulo, etão, serão discutidas essas relações e que permitem realizar a equivalêcia de capitais. 2.1 Coceituações de Juros Juro, também deomiado de iteresse, é defiido como a remueração efetuada tato a um diheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicação fiaceira. No caso dos juros se referirem a uma operação fiaceira, algus parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação: É importate ter em mete, sempre, que a taxa de juros efetivamete paga é aquela que icide sobre o capital efetivamete recebido ou dispoível para o próprio mauseio. É comum em operações fiaceiras existirem taxas de abertura de crédito quado se toma uma importâcia em bacos ou fiaceiras. Ou, os juros serem pagos atecipadamete ao haver uma operação de descote de título de crédito. Ou, aida, haver o pagameto de uma etrada o caso de fiaciameto de bes de cosumo. Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de juros acima mecioados, o pricípio a ser estabelecido é que a remueração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, serão sempre calculados sobre a importâcia efetivamete recebida. Observado esse pricípio, é possível verificar quado a taxa de juros pactuada e a efetivamete praticada são idêticas ou distitas. 2.2 Juros Simples Defiição A taxa de juros referete ao período da operação; As datas de pagameto ou vecimeto dos juros; O período de capitalização ou cotabilização dos juros. O sistema de remueração de capital sob a matemática de juros simples ocorre quado somete o pricipal rede juros durate o tempo em que foi pactuado o fiaciameto. A remueração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas, que diferem coforme a icidêcia dos juros sobre o capital: O sistema de juros simples é caracterizado por serem os juros gerados durate o período pactuado para a operação fiaceira computados a data do vecimeto desta operação. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

16 $ S = P + J O motate de juros gerados após um úico período de aplicação de um capital proporcioalmete equivalete à taxa de juros pactuada. Assim: J = P i No caso do capital for aplicado por períodos, o motate dos juros a serem pagos é diretamete proporcioal a esse umero de períodos. Etão: J = P i P Fig. 2.1 Diagrama tempo - diheiro O motate S a ser restituído ao aplicador o fial do período pactuado é costituído pela soma dos juros redidos o período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamete: E, esta data de vecimeto, ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados. Demostrado: S = P + J S = P + P i Equações Motate dos Juros Pagos. Defiido como P, o Pricipal ou o Capital iicialmete aplicado; i, a Taxa de juros expressa em porcetagem;, o úmero de períodos básicos correspodetes ao tempo total da aplicação; e, S, o Motate fial de aplicação, represetado a soma (P+J), em que J é o motate dos juros a serem pagos. Partido da defiição de juros simples, o motate de juros a serem pagos a data de quitação da operação fiaceira é igual ao produto do pricipal tomado, pela taxa pactuada e pelo úmero de períodos. S 1 = P + P i = P (1+i) S 2 = P + P i + P i = P (1+ i 2) S 3 = P + P i + P i + P i = P (1+ i 3) S = P + P i + P i + P i + + P i = P (1+ i) Geeralizado para períodos, obtém-se a expressão caôica do motate de um capital P corrigido a juros simples durate períodos: S = P (1 + i) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

17 Equivalêcia etre Taxas de Juros. Um dos questioametos decorretes da utilização de juros é defiir a proporcioalidade etre a taxa de juros correspodete a um período maior e àquela correspodete a frações iteiras desse mesmo período. Essas operações servem como fote de fiaciameto de curto prazo e são lastreadas em cheques pré-datados descotados por empresas de factorig; duplicatas e letras de câmbio egociadas ates da data do efetivo pagameto; e empréstimos ou vedas garatidos por otas promissórias. No caso dos juros simples, ocorre relação direta etre essas duas taxas de juros. Assim, adotado como T um dado período e f uma fração deste período. E, respectivamete, i T e i f, as taxas de juros coexas aos períodos cosiderados, a proporcioalidade etre estas duas taxas é expressa por: T = f Ateção quato à utilização do modelo acima. Ele somete poderá ser utilizado quado se adota a matemática dos juros simples. É coceitualmete errado utilizar este modelo quado se opera sob a égide dos juros compostos Operações de descoto Tipos de descoto. Uma operação fiaceira corriqueira o mercado é a deomiada de descoto ou deságio e efetuada em trasações de títulos de crédito. Os descotos ocorrem quado títulos são egociados em data aterior ao do efetivo vecimeto e correspodem aos juros pagos pelo serviço havido etre a data do descoto e a do efetivo pagameto. i T if O descoto ou deságio pode ser expresso em termos de porcetagem ou em valor moetário a ser descotado do valor de face do título egociado. O valor de face correspode ao motate expresso o averso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista a data aprazada e também expressa o título. Neste caso, a quatia a ser paga ao portador, isto é, àquele que está egociado o título, deverá ser iferior ao valor omial ou valor de face. Isto porque, a data de vecimeto do título, este deverá ser quitado pelo valor de face. O comprador do título, etão, o adquire por um valor iferior àquele discrimiado a face do documeto, de forma a remuerá-lo durate o período compreedido da data de sua egociação até a data do vecimeto. Iteressa etão, àquele que vede o título, saber qual o motate do descoto, ou deságio, a ser efetuado sobre o valor de face e qual o motate do capital que ira receber pela veda do título. Dois são os procedimetos realizados pelo mercado para calcular o valor do deságio e deomiados de: Descoto Racioal ou por Detro; Descoto Bacário, Comercial ou por Fora. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

18 Adotado como omeclatura: F = Valor de Face, importâcia escrita a face do título e a ser horada pelo emitete a data do respectivo vecimeto; P = Importâcia a ser paga ao vededor do título, quado egociado ates da data do vecimeto; i = taxa de juros praticados ou pactuados; t = úmero de períodos que atecedem a data de vecimeto; Dr = valor do descoto racioal. Dc = valor do descoto comercial. Como será visto o item 2.3.3, o valor de face, F, pode ser cosiderado como sedo o valor futuro do título, quado este é egociado ates da data do vecimeto ou a data de sua emissão. Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua face quado a data de seu vecimeto, isto é, em um mometo futuro determiado por esta data. Os procedimetos utilizados o descoto racioal são idêticos àqueles utilizados a matemática dos juros simples. Porém, deve ser registrado que, muitas empresas, vêm combiado procedimetos estabelecidos pela matemática dos juros compostos com os de juros simples. No caso de ocorrer essa superposição de procedimetos, ou seja, quado os juros são referidos à um período maior, a taxa básica de juros, efetivamete utilizada em períodos meores, é calculada segudo a matemática dos juros compostos. Obtida essa taxa básica, os procedimetos seguem àqueles estabelecidos para os juros simples, segudo o expresso a seguir. Defiido o descoto racioal, este correspode ao motate dos juros expresso em valor moetário, descotado do valor de face de um título dada a egociação do mesmo ateriormete à data de vecimeto. Matematicamete, o descoto racioal é defiido por: I - Descoto Racioal ou por Detro. O descoto racioal cosidera o valor da moeda o tempo. A taxa de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa omial havedo a previsão de iflação. Assim, o valor omial do título a data do efetivo pagameto expresso a face do mesmo é fiaceiramete equivalete ao valor do mesmo a data em que foi egociado. O valor do descoto e do motate a receber é calculado a partir do valor de face a data do vecimeto, atededo os procedimetos estabelecidos pela matemática fiaceira. D r = F P Da matemática dos juros simples pode-se correlacioar o valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, cosiderado ser o primeiro o motate dispoível o fial do período de aplicação e o segudo o pricipal aplicado. Logo: F F = P(1+ i t) P = r (1+ i t) Substituido P a equação acima, obtém-se o motate do descoto racioal. r Egª Ecoomica~Aulas~ docx

19 F Dr = F (1 + it) Fit Dr = 1+ it II - Descoto Bacário, Comercial ou Por Fora. A priori, é importate ressaltar que o descoto por fora é baseado uma coveção mais simples, ão se caracterizado por uma cobraça equivalete de juros. Mas, como a simples aplicação direta de uma taxa de descoto. Por defiição: Dc = F i C t Neste caso, o motate do descoto é obtido ao se miorar do valor de face, F, o valor a ser recebido, P. Logo: Tedo sido pactuada um taxa de descoto de 42% ao ao, solicitam-se, para os dois tipos de descoto, as seguites iformações: o valor de face do título; e o motate do descoto. (R: R$ ,09/ R$ ,30). b) Um Baco pratica operações de descoto de títulos cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguites iformações visado comparar o resultado do descoto racioal com o bacário: O deságio relativo à operação de descoto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ ,00, viceda em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$). O motate a ser recebido pelo iteressado a operação de descoto; Dc = F P Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor de face: Exercícios. F i C t = F P P = F (1 i C t ) F P = (1 ict) a) A importâcia de R$ ,00 foi recebida após a operação de descoto de uma ota promissória, viceda em 120 dias. Nota promissória Nº 07/09* R$ ,00 Vecimeto: 25 de abril de Ao(s) vite e cico dias do mês de abril de dois mil e dez, PAGAREI por esta úica via de ota promissória a Atoio de Souza ud Silva, CPF º , ou a sua ordem, a importâcia supra de doze mil e quihetos reais, em moeda correte do País. Pagarei em: Floriaópolis-SC. Emitete: Jose João Pedro... CPF º assiatura Rua Elfo dos Satos º Floriaópolis SC. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

20 Relações etre Descotos e Taxas resultar um mesmo valor a ser recebido, P, cosiderado terem sido praticados sistemas de descoto distitos Relações etre Descotos. DC DR Neste item é aalisada a correlação existete etre o motate do descoto por detro e o motate do descoto por fora, cosiderado que as taxas pactuadas os dois casos sejam idêticas, isto é i r = i C. Sedo iguais as taxas omiais pactuadas, a taxa real praticada o processo de descoto por detro, ou racioal, é iferior àquela praticada o descoto por fora, ou bacário. P Data de Negocia Data de Vecime Tal assertiva pode ser demostrada igualado as expressões dos descotos: Fit Dr = 1+ it E sedo, por coveção: Dc = F i t, Fig.2.2 Equivalêcia etre descotos A equivalêcia etre estas taxas é demostrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de descoto. Etão: Dc Dr = (1 + it) a) Cosiderado o descoto racioal tem-se: P = F Dr P = F (1 + i r t) Taxas Equivaletes. Um dos questioametos efetuados o mercado fiaceiro é quato à correlação etre as taxas praticadas o descoto comercial e o racioal. Por defiição, diz-se que duas taxas de descoto são equivaletes etre si quado, dado o mesmo valor de face, b) Cosiderado o descoto comercial tem-se: P = F DC P = F (1 I C t) Como o valor a ser recebido, P, por defiição é igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima. F (1 + i r t) = F (1 I C t) (1 I C t) (1 + i r t) = 1 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

21 ( 1- I Tempo Exato e Comercial C 1 t ) = (1+ i t) Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo pricipal, o redimeto ou motate dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramete superior àquele apurado em tempo real ou exato. Essa variação é devido à difereça do úmero de dias estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ao comercial, segudo coveção aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo teha 360 dias. O tempo exato segue o ao caledário com 365 dias. Deste modo, o redimeto i devido a uma aplicação P, durate um itervalo de tempo t tem-se, respectivamete, para o tempo comercial e o tempo exato: IComercial i = P t e 360 r = P t IExato i 365 Efetuado a relação etre as duas expressões, fica demostrado que a proporcioalidade existete etre o redimeto havido durate ao comercial e redimeto havido durate ao exato, é fução direta do úmero de dias em que os mesmos foram defiidos. Etão: I Comercial I Exato 365 = = 1,0139 I Comercial = 1,0139 I Exato Exercícios Resolvidos a) Você aplicou a importâcia de R$ ,00 a aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Trascorridos oito meses desta operação, resolveu veder o título. Qual o motate a ser recebido se a data da veda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.? S = P (1 + i ) S = ,00 (1 + 0,022 14) S = R$ ,60 DC = S i DC = ,60 0,029 (14-8) DC = R$ 2.549,03 VR = S DC VR = ,60 R$ 2.549,03 VR = R$12.100,57 a) Um veículo está sedo ofertado em duas codições: a vista por R$ ,00. Ou, a prazo, sedo 15% de etrada e o saldo dividido em quatro parcelas mesais, cosecutivas, corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. Nesta codição deseja-se saber: O valor de cada prestação; e o motate a ser desembolsado. Etrada = R$ 3.480,00 Fiaciameto de cada parcela: R = R$ 4.930,00 Taxa mesal de juros: i=42 12= 3,5% a.m. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

22 1º - Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 i ) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 1) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55) VF1 = R$ 2º - Calculo do valor da 2ª prestação: VF2 = R2 + (R2 i ) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 2) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10) VF2 = R$ 3º - Calculo do valor da 3ª prestação: VF3 = R3 + (R3 i ) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 3) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65) VF3 = R$ 4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: VF4 = R4 + (R4 i ) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 0,035 4) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20) VF4=R$ 5º - Calculo do valor do motate: VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4 VFM = R$ c) Uma duplicata cujo valor de face, VF, mota a R$ 8.500,00 foi emitida há 5 meses passados e tem data de vecimeto estipulada para daqui a 7 meses. Caso seja descotada esta data e se a taxa de descoto comercial for de 26,4% a.a. solicita-se determiar: O descoto comercial, DC O valor a ser recebido, VR. Por quato a duplicata foi egociada, se a data desta operação o juro comercial vigete era de 33,6% a.a. A taxa efetiva de juros o período referete à operação do descoto. 1º item - Descoto Comercial. DC = VF i DC = 8.500,00 ( 0, ) 7 DC = R$ 1.309,00 2º item Valor Recebido. VR = VF DC VR = 8.500, ,00 VR = R$ 7.191,00 3º item - Preço de compra = PC. VF = PC (1 + i ) 8.500,00 = PC (1 + 0,336 1) PC = R$ 6.362,27 4º item Taxa real ou efetiva Adotado a matemática dos juros simples e cosiderado que os juros são calculados sobre o valor efetivamete recebido: VF = VR (1 + i ) 8.500,00 = 7.191,00 (1 + i 7) 1,182 = 1 + 7i 0,182 = 7i i = 0,026 i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

23 Recomedação! d) A que taxa de remueração um capital aplicado sob juros simples triplicará o prazo de três aos? (R: 66,67% a.a.). Em estudos fiaceiros recomeda-se: 1º. Desehar SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa; 2º. Escrever as fórmulas dispoíveis; 3º. Visualizar a solução dos problemas, compatibilizado as fórmulas com os fluxos de caixa! Atededo à recomedação, este procedimeto facilita a adequada solução dos problemas de egeharia ecoômica! Exercícios propostos. a) Calcular, adotado a matemática dos juros simples, o motate a ser recebido após 4 meses quado um empréstimo de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). b) Um comerciate obtém um empréstimo de um milhão de dólares a juros de 33% ao ao, pactuado a juros simples. Quato pagará a ocasião do resgate se quitar o mesmo em cico ou em dezessete meses? (2,65/ 6, U$D). c) Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ao gerará em sete meses um motate de trezetos mil reais? (R: ,92 R$) e) Uma empresa descotou uma duplicata, o Baco da Esquia, à taxa de 84% ao ao. O descoto praticado foi o comercial, que motou a R$ ,00. Se a operação fosse de descoto racioal, o valor do descoto seria reduzido em R$ 1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descotada? (R: ,00 R$). f) Você deve a um baco a importâcia de R$ 1,900,00, a vecer em 30 dias, garatida por uma ota promissória. Como sabe que ão poderá quitar a importâcia a data aprazada, propõe que o pagará o prazo de 90 dias após o vecimeto previsto. Admitido que a taxa de descoto comercial praticada seja de 72% ao ao, qual será o valor de um ovo título a ser assiado? (R$ 2.317,00). g) O Bak of Squire pratica o descoto por fora à taxa de 3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ ,00, com prazo de vecimeto estabelecido para seis meses, quato o baco pagará pelo título? Qual será a taxa total de juros correspodete, sabedo que o baco aida cobra uma taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor do título? (R: 23,46% ao semestre). h) A fiaceira WACS pratica o descoto racioal à taxa de 4,35% ao mês. Ao efetuar o descoto de uma duplicata cujo valor de face mota a R$ 32 mil viceda em oveta dias, cobra uma taxa de admiistração o valor de R$ 155,00, ao efetuar a operação. Iforme qual será a taxa de juros mesal, efetiva, icidete sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) i) Determiar o valor de um título a ser resgatado o prazo de 120 dias ates de seu vecimeto, pactuado a uma taxa de Egª Ecoomica~Aulas~ docx

24 12,0% ao ao. Sabe-se que a difereça etre o valor do descoto comercial e o descoto racioal é de R$ ,08. (R: R$ 50 milhões). j) O Bak of Squire descota, atecipadamete e por fora, os juros a operação de um papagaio. Sedo uma operação de descoto lastreada uma ota promissória cujo valor de face mota a R$ 30 mil, viceda em oveta dias e pactuada à taxa de 7% ao mês, perguta-se qual será a taxa efetivamete paga por esta operação. (R: 8,86% a.m.) k) Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face mota a R$ 200 mil, vecível em 60 dias. Decida em qual baco deverá ser efetuada uma operação de descoto sabedo que: - o Baco A pratica o descoto racioal à taxa de 8,45% ao mês; - o Baco B procede ao descoto comercial à taxa de 7,90% ao mês. l) Você efetuou uma operação de descoto para um título vecível em 60 dias à taxa de 42% ao ao. Motado o valor do descoto em R$ 840,00. Perguta-se qual o valor de face do título os casos de ser adotado o descoto racioal ou o comercial? (R: ,00 / ,00R$ ) m) Você ecessita hoje da importâcia de R$ 50 mil e foi ao seu baco efetuar um empréstimo. O empréstimo é lastreado uma ota promissória vecível em 120 dias. O baco calcula o valor de face deste título adotado o descoto comercial à taxa de 4,5% ao mês. Além disto, cobra uma taxa de abertura de crédito de 0,55% sobre o valor de face do título e uma taxa de admiistração de R$77,00, ambos embutidos o valor fiaciado. Perguta-se, qual a taxa de juros efetiva icidete sobre esta operação? (R: 5,74% a.m.) ) Você resolveu quitar uma dívida, lastreada em ota promissória, sesseta dias ates do vecimeto. Qual será o valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% ao mês e o valor de face da ota mota a R$ ,00? o) Sua empresa previu a ecessidade de aquisição de um equipameto o valor de R4 50 mil e o deseja adquirir com recursos próprios. Cosiderado que, este mometo, dispõe da importâcia de R$ 20 mil e o Tesouro Nacioal esta remuerado as aplicações em 14% ao ao, perguta-se: em quato tempo poderá dispor do motate previsto? 2.3 Juros Compostos Defiição. O regime de juros composto, também deomiado de regime de capitalização ou aatocismo ( 1 ), é caracterizado pela icorporação ao capital dos juros gerados um período, ou seja, capitalizados, passado a gerar juros o período seguite. Estudos de aálise de viabilidade de ivestimetos são lastreados a matemática dos juros compostos, pois parte-se do pricípio que ivestidores e empresas reaplicam os lucros e os saldos de fluxos de caixa gerados a cada período, fato que cotribui para aumetar os lucros esperados futuros. ( 1 ) O ANATOCISMO vem do vocábulo latio "ANATOCISMUS" de origem GREGA que sigifica usura, prêmio composto ou capitalizado, obviamete cotagem ou cobraça de juros sobre juros. Alerta-se que a Súmula 121 do STF reza: É vedada a capitalização mesal dos juros, aida que expressamete covecioada. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

25 Pelo acima exposto, tora-se icosistete a adoção da matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e, além disto, vem de ecotro ao estabelecido a primeira premissa que estabelece a maximização do lucro dos proprietários Fórmulas Básicas: A pricipal idagação, esse sistema de capitalização, é quato ao motate a ser recebido pela aplicação de um capital, após certo úmero de períodos de tempo e cohecidos os juros pactuados. Visado calcular o motate a ser percebido, será adotada a seguite omeclatura:, represetado o úmero de períodos de capitalização pactuados; S = Motate a ser recebido após períodos de capitalização; P = Capital iicialmete aplicado ou pricipal; J = Motate dos juros a serem pagos; i = Taxa de juros pactuados. O motate após o primeiro período é calculado de forma idêtica ao dos juros simples. A partir desse primeiro período, os juros passam a icidir dobre o ovo motate, comumete deomiado de capitalizados. Etão, matematicamete se tem: S 1 = P + (P i) = P (1 + i) S 2 = S 1 + (S 1 i) = S 1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² S 3 = S 2 + (S 2 i) = S 2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ S 4 = S 3 + (S 3 i) = S 3 (1 + i) = P (1 + i) 3 (1 + i) = P (1 + i) 4... S = S -1 + ( S -1 i ) = S -1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) -1 ( 1 + i ) Geeralizado a expressão acima para períodos: S = P (1 + i) O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido aritmeticamete, depois de efetuada a difereça etre o motate a ser percebido e o capital iicialmete aplicado, também deomiado de Pricipal. Etão: J = S P Egª Ecoomica~Aulas~ docx

26 Resumido: ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Fórmula do Motate: S = P ( 1 + i ) Fórmula dos Juros: J = S P ou, J = P ( 1 + i ) - P A assertiva acima ocorre dado o etedimeto que ivestidores e empresas reaplicam os capitais dispoíveis, sedo o etedimeto ser esta a matemática mais adequada para aalisar ivestimetos. Para tato, ela se ampara o pricípio da equivalêcia de capital e operar dois coceitos largamete utilizados os estudos fiaceiros, quais sejam, o valor presete VP e o valor futuro VF equivalete a um dado motate e vice versa Valor Presete e Valor Futuro. Como cometado, a matemática dos juros compostos é adotada os estudos fiaceiros, a exemplo da determiação do valor de ativos produtivos, ivestimetos em ações, títulos de capitalização, etc. Assim sedo, dado esta data um pricipal expresso pelo seu valor presete, P=VP i%, após certo úmero de períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma fiaceiramete equivalete ou seu valor futuro: S=VF i%. (ver Fig.2.4 Equivalêcia: Valor Futuro). Deste modo, cosiderado o coceito de equivalêcia de capital pode-se escrever: VP i% VF i%. Fiaceiramete, etão, deomia-se VP i% de VALOR PRESENTE do motate de VF i%. De modo aálogo, VF i% é deomiado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP i%. VP=P Taxa 0... S = VF Período Valor Futuro - VF. Por defiição, o valor futuro VF correspodete a uma determiada importâcia P, aplicada durate um período, é equivalete a esta importâcia quado capitalizada a taxa de juros pactuada, i%. Fig.2.4 Equivalêcia - Valor Futuro A expressão do motate dos juros compostos capitalizados defie o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital, P, deomiado de VALOR PRESENTE, quado pactuado à taxa de descoto, i%, após períodos de redimeto. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

27 Sedo: S = P (1 + i), etão: VF VP (1 + i) Essa operação, comercialmete deomiada de capitalização, é utilizada em operações fiaceiras de título de capitalização, ou seja, de atualização moetária de capital. P VP VP 1 VF ( 1 + i) Taxa S VF A expressão (1+i) é deomiada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Pricipal, cuja represetação pode ser efetuada sob as seguites omeclaturas: 0... período VF = VP (1 + i) = VP s i% = VP s i Valor Presete VP. Em operação iversa, o VALOR PRESENTE VP, esta data, correspodete a uma determiada importâcia futura, VF, é equivalete a esta importâcia quado descotada durate certo período de tempo a taxa de juros pactuada, i%. Partido da fórmula do motate dos juros compostos, obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalete a um dado motate futuro, VF, quado descotado à taxa de juros i%, durate certo período,. Fig.2.5 Equivalêcia - Valor Presete Essa operação também é deomiada de descoto de um capital a valor presete e realizada quado se deseja cohecer o valor atual relativo a um capital o futuro. A expressão 1/(1+i) é deomiada de Fator de Descoto ou Fator de Valor Presete de um capital, cuja represetação pode ser efetuada sob as seguites omeclaturas: 1 VP = VF = VF (v i ) = VF v i ( 1 + i) Sabedo-se que VF VP (1 + i), a expressão da equivalêcia fiaceira de uma importâcia o presete, cohecido seu motate uma data futura é dada por: Exemplos. a) Seja defiir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês, gerou o motate de R$ 4.502,19? Egª Ecoomica~Aulas~ docx

28 1 P = S ( 1+ i) Utilizado tabela fiaceira: = S v i 3-240, , , , , , , ,19 s 7 6 = da Tabela Fiaceira P = s 7 6 = 4.502,19 x = 3.000,00 R$ Ou utilizado diretamete o fator de valor presete: 1 1 P = S , , 00R$ 6 ( 1+ i) = ( 107, ) = b) No caso iverso, seja um capital o valor de R$ 3.000,00, qual será o motate a ser recebido após seis meses quado aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? S = Ps j 6 S = Ps 7 E, sedo s 7 6 = 1,5007 da Tabela Fiaceira. S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ Correlação Etre Taxas de Juros Compostos. Ideticamete ao sistema de juros simples, um dos questioametos frequetes sobre juros compostos é quato a proporcioalidade existete etre a taxa de juros correspodete a um período maior com àquela referete a frações iteiras deste mesmo período. Como exemplo de fato que comumete ocorre em cotratos de fiaciameto ou empréstimos, tem-se o caso de taxa de juros pactuada em base aual e se deseja saber o valor da equivalêcia desta taxa em base mesal. No caso de juros compostos, ão há relação direta etre essas duas taxas de juros. P S1 S T = S F Ou etão: S = P (1+i) = (1,07) 6 =4.502,19 R$ O quadro a seguir mostra a evolução do motate, ou seja, a situação do saldo devedor o fial de cada período. Período Pricipal R$ Juros 7% Motate R$ , ,00 210, , , ,70 i F i T Fig.2.6 Equivalêcia - Taxas de Juros Egª Ecoomica~Aulas~ docx

29 Por defiição, duas taxas de juros são ditas equivaletes quado, sujeitas a diferetes períodos de capitalização, produzem iguais motates de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital. Adotado como omeclatura: T para o período total do fiaciameto ou empréstimo e F uma fração iteira deste mesmo período. E como i T e i F, respectivamete, as taxas de juros coexas aos períodos cosiderados. Demostra-se a proporcioalidade etre estas duas taxas ao serem igualados os motates devidos pelo tomador a data pactuada para a quitação do cotrato, coforme a defiição de taxas equivaletes. Ou seja: S T = S F O motate, S T, a ser pago pela utilização de um capital P cotratado por um período T e remuerado à taxa i T é: S T = P (1+ i T ) Por sua vez, o motate S F, a ser pago pela utilização do mesmo capital P cotratado por um úmero de períodos F, fração de T e remuerado à taxa i F é : S F = P (1+ i F ) F a) Cohecida a taxa de juros relativa ao período fracioário, deseja-se cohecer a taxa de juros correlata ao período total. Etão: i T = ( 1 + i F ) F 1 b) Cohecida a taxa de juros relativa a um período maior, deseja-se cohecer a taxa de juros correlata a uma fração iteira do mesmo. Etão: i F = F 1+ i T 1 Esta operação de calcular a taxa meor correlacioada a uma taxa maior é deomiada de pro rata tempore. Expressão comumete adotada em cotratos de fiaciameto ou aplicação de capital. Exemplificado: Seja calcular a taxa de juros trimestral, calculada pro rata tempore, icidete sobre uma aplicação fiaceira quado pactuada uma taxa de juros de 25% ao ao. Matematicamete: i = 4 1+ i 1 0, TRI ANO = Como S T = S F, pois os dois motates referem-se à mesma operação fiaceira, e sedo i F uma fração de i T, obtém-se a equação de equivalêcia de juros compostos fazedo: P (1 + i T ) = P ( 1 + i F ) F ( 1 + i T ) = ( 1 + i F ) F Como um ao dispõe de quatro trimestres, a taxa a ser cosiderada o pagameto dos juros é de 5,7371% ao trimestre, calculada utilizado a equação de equivalêcia de juros compostos. Da expressão acima surgem duas situações: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

30 Cuidados a observar. Nos estudos de viabilidade há que se observar algus cuidados ecessários a evitar a icidêcia em algum erro coceitual, fato que iviabiliza a cofiabilidade os resultados ecotrados: APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL Procedimetos: 1º Cosiderado que empresas, ivestidores, etc., costumam reivestir quatias geradas, ão se justifica a utilização de juros simples em estudos ecoômicos. 2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos, fazse ecessária a verificação de qual a efetiva taxa de juros praticada e que correspodete ao período básico de capitalização. É comum ão ser a taxa de referêcia expressa em cotrato a taxa de capitalização efetivamete empregada o cálculo dos juros. 3º Efetuar, sempre, um diagrama de fluxo de caixa visado visualizar, claramete, os procedimetos a serem observados. 4º Quado se trata da capitalização de aplicações, a matemática utilizada é a dos juros compostos. 5º Distiguir quado os juros são descotados e quado são postecipados. 1º. Abra uma cota correte em qualquer baco; 2º. Solicite ao gerete do baco cadastrar sua cota juto ao Tesouro Nacioal; 3º. O Tesouro Nacioal lhe eviará uma seha que o habilitará a efetuar a aplicação desejada; 4º. Realize sua aplicação, diretamete, através do site: 5º. O Tesouro Nacioal lhe eviará um iformado da aplicação realizada. 6º. Simultaeamete ao procedimeto aterior, o Tesouro Nacioal efetuará o débito em sua cota correte da importâcia aplicada. 7º. Na data aprazada, o Tesouro Nacioal creditará, diretamete em sua cota correte, o valor aplicado acrescido dos ecargos pactuados. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

31 Exercícios. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Exercícios Resolvidos. a) Um terreo foi vedido e faltam pagar duas parcelas de R$ 90 mil, vecíveis em 90 e 120 dias. Estas parcelas foram corrigidas à taxa de 152,00 % ao ao. Pergutase qual o valor de quitação das prestações a data de hoje? Exercícios Propostos a) Sedo o redimeto de uma cadereta de poupaça 8% ao trimestre, qual o seu retabilidade aual? (36,05% aa). b) Cosiderado ser a taxa de iflação aual de 54%, qual a taxa média mesal? (3,66% am). 1º - Defiido a taxa mesal de juros. i 1 1 i = 2 + A m ê s N O 1 = , 2 1 = 2º - Valor Presete das prestações HOJE. P1 VP = (1 + i) 3 P2 + (1 + i) a, % m VP = + = , , (1+ 0,08) (1+ 0,08) VP = ,59 R$ c) Um cotrato foi pactuado à taxa de 83,7337% ao ao. Cosiderado que ele será quitado em prestações mesais, iguais e cosecutivas, perguta-se qual deverá ser taxa de juros mesais, efetiva, a ser utilizada o cálculo das prestações. (R: 5,20% a. m.) d) Em quatos meses será possível triplicar uma aplicação fiaceira quado pactuada à taxa de juros de 2,37% capitalizados mesalmete? (R: 47 meses). e) Em quatos meses se pode levar uma aplicação o valor de R$ 45 mil ao motate de R$ 100 mil, quado capitalizados à taxa de 1,55% ao mês? ( R: 52 meses). f) Um comerciate obtém um empréstimo de um milhão de reais a juros de 33% ao ao, pactuado a juros compostos. Quato pagará a ocasião do resgate se quitar o mesmo em cico ou em dezessete meses? Compare os dados obtidos com exercício similar efetuado a juros simples. (R: 1,1262 / 1, R$ ) g) A empresa Alfa de Egeharia Ltda. Realizou um empréstimo para aplicação em capital de giro juto ao baco TDS a ser quitado em oveta dias. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

32 A importâcia da operação motou a R$ 750 mil pactuados a taxa de 1,5% ao mês (juros compostos), porém cobrados atecipadamete. Como será demostrado o item 2.4.2, a relação etre a taxa omial de juros, a taxa real e a iflação é dada, matematicamete, pela seguite expressão: Neste cotexto solicita-se: o motate dos juros a serem pagos; e qual a taxa efetiva da mesma. h) O baco TDS apreseta uma lucratividade de 30% ao ao. Em quato tempo os lucros gerados serão equivaletes ao capital aplicado pelos acioistas? (R: t = 2 aos e 8 meses) Relação etre as taxas omial e real Efeito da Iflação. A iflação é um fato de capital importâcia a ser cosiderado os estudos fiaceiros, especialmete quato a defiição da taxa de juros adotada o pagameto de prestações ou a quitação de empréstimos. Isto porque, a taxa de iflação determiará o valor da taxa omial de juros a ser utilizada o calculo do motate fial, também deomiada de taxa efetiva. A iflação correspode a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo. Assim sedo, a taxa omial será determiada fazedo icidir sobre a taxa real de juros pactuada a variação percetual da iflação ocorrida o período. i = f(i ; Φ) N R (1 + i N ) = (1 + i R ) (1 + Φ) Defiido etão estas três taxas que estabelecem o valor das prestações ou a remueração de um capital aplicado: I - A taxa real é defiida como sedo a efetiva remueração desejada por um ivestidor e é defiida em termos de moeda de poder aquisitivo costate. Nesta taxa ão esta cosiderada a icidêcia de iflação o período do empréstimo. II - A taxa omial é aquela empregada o calculo das prestações e pagametos. Ela é expressa em termos de moeda de valor correte e, matematicamete, equivale à taxa real acrescida da taxa de iflação ocorrida durate o período do empréstimo. III - A iflação correspode à perda do valor aquisitivo da moeda o tempo, sedo expressa em porcetagem. Uma expedita difereciação etre estas duas taxas é efetuada o seguite exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a taxa omial de juros ocorrida, cosiderado o fiaciameto relativo à uma importâcia P=R$ 1.000,00 e que após um determiado período teha gerado o motate de R$ 1.500,00. Costatou-se, este período a ocorrêcia de uma taxa de iflação de 40%? Egª Ecoomica~Aulas~ docx

33 P = $ ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA M 1 = R$ Ocorredo Iflação Por defiição, a taxa real é equivalete à taxa omial, porém em moeda de poder aquisitivo costate, isto é, descotado o efeito da iflação. Cosiderado ter a taxa de iflação comportameto equivalete a uma taxa de juros, tem-se: M 1 = (1 + Φ) M 0 M 0 = M 1 (1 + Φ) 0 1 M 0 = , 4 = 1.071,43 R$ I - Calculo da Taxa Nomial: Fig. 2.7 Efeito da iflação A taxa omial é defiida ao se efetuar a razão etre os juros pagos e o motate do pricipal sobre o qual rederam esses juros. Coceitualmete, ela mede o icremeto da moeda em termos de valor correte e expresso em percetual. A taxa omial será de 50% o período. Matematicamete: Assim sedo, M 1 M 0, ou seja, R$ 1.071,43 é equivalete à R$1.500 quado este valor é deflacioado à uma taxa de 40%. A taxa real de juros, etão, é medida pela razão etre o acréscimo de diheiro e o valor aplicado , i R = = 1 i R = 7,1430% Aalisado os resultados obtidos, a taxa omial foi calculada em 50% e a taxa real em 7,10%. i N M P M = i N = 1 P P Pelo exposto é possível verificar que, em face da iflação ocorrida o período 0 1, a taxa omial, i N, é muito superior à taxa real, i R i N = = 1 i N = 50,00 % II - Cálculo da Taxa Real: Ao eteder a correlação existete etre a taxa real e a taxa omial de juros pode o tomador de recurso fiaceiro, evitar o comprometimeto de sua capacidade de pagameto se o valor de sua reda evoluir a mesma proporção da iflação. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

34 2.4.2 Relação etre taxas. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA A seguir é demostrada a relação etre a taxa omial e a taxa real de juros, dada à iflação ocorrida em certo período. Da expressão acima se coclui que a taxa omial de juros correspode ao somatório da taxa real, da iflação o período e do produto da taxa da iflação pela taxa real. Adotado como omeclatura: i N = taxa omial de juros; i R = taxa real de juros; Φ = taxa de iflação o período; M 0 =motate a ser pago sem cosiderar a icidêcia da iflação; M 1 = motate a ser pago havedo a icidêcia da iflação; P = Pricipal ou capital tomado emprestado; Partido do item aterior (Ver Fig.3 Efeito da iflação), pode-se afirmar que: M 0 = P (1 + i R ) e que M 1 = (1 + Φ) M 0 Pode-se afirmar também, cosiderado ser um período úico e a icidêcia de uma taxa omial este período que: M 1 = P (1 + i N ) Substituido a expressão acima a variável M 1 em fução da sua expressão por M 0: (1 + Φ) M 0 = P (1 + i N ) (1 + Φ) P (1 + i R ) = P (1 + i N ) Simplificado a variável P em ambos os lados da igualdade chega-se a expressão que relacioa a taxa omial de juros com a taxa real e a da iflação. Fializado, pode-se determiar a iflação um dado período, a taxa real e a taxa omial de juros, a partir de um motate cohecido e do valor ivestido ou pricipal, através das seguites expressões: M0 1 + i R = e P M 1+ Φ = M 1 + = 1 0 M P i N 1 Como exemplo de aplicação, seja calcular a taxa de juros a corrigir o valor de um título vecido há trita dias, tedo sido pactuado que rederia juros de 2% ao mês acrescido da correção moetária o período, defiida em 1,5% este último mês. (1 + i N ) = (1 + i R ) (1 + Φ) (1 + i N ) = (1 + 0,02) (1 + 0,015) i N = 3,53% Iflação e Ídices. (1 + i N ) = (1 + i R ) (1 + Φ) i N = i R + Φ + i R Φ Iflação é defiida como a perda do valor aquisitivo da moeda o tempo. A iflação é expressa em porcetagem e defiida depois de cohecidos os ídices iflacioários atribuídos a cada período. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

35 Os ídices iflacioários represetam a evolução do custo de uma mercadoria, de um serviço por uidade de medida. Como exemplo destes ídices tem-se: o CUB, que mede o custo uitário básico para a costrução civil, medido em R$/metro quadrado; o INPC, que mede o custo para sustetar uma família, medido em R$/cesta de custo icorrido; ou a evolução do custo do aço, medida por R$/kg, todos esses ídices defiidos para determiado período ou mês. Adotado como omeclatura: Io para represetar o ídice da iflação o período defiido como data base e, I represetar o ídice de iflação medido em uma data futura qualquer. E, represetado por Φ a taxa de iflação ocorrida o período compreedido etre a data base e a data. I 0 Φ I Por defiição, a iflação havida o preço de um bem ou serviço medido um período de tempo equivale à razão etre o icremeto da evolução dos preços o período e o preço verificado o período iicial. Além disso, a taxa percetual de iflação ocorrida um período pode ser facilmete estabelecida através da utilização de ídices iflacioários, como os já citados, que expressam a evolução da perda do valor aquisitivo da moeda, medida a partir de uma determiada data, defiida esta como data base. Exprimido a defiição acima em termos matemáticos P tem-se que, Φ = ou, similarmete, cosiderado ídices P I0 iflacioários: Φ =. I 0 Defiido como I 0 o ídice de iflação atribuído ao iício de um período, ou seja, à data base e I o ídice de iflação estabelecido para o fial deste mesmo período, ao substituir o valor do icremeto a expressão acima pelos ídices que lhe deram origem tem-se: 0 Data base Data I Io Φ = I o I = I o 1 Fig.2.7 Iflação e ídices A seguir será discutida a metodologia do calculo da iflação passada, partido do cohecimeto de ídices iflacioários. Modelo este que mede a taxa de iflação acumulada e ocorrida etre os períodos de tempo zero e, e expressa em termos percetuais. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

36 Memorize! A taxa real de juros é utilizada quado ão é cosiderada a ocorrêcia de iflação. Neste caso, parte-se do pricípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo costate. Diheiro em moeda costate i real. A taxa omial de juros é utilizada quado existe a ocorrêcia de iflação. Neste caso, parte-se do pricípio da ocorrêcia de perda de valor aquisitivo da moeda, o tempo. Diheiro em moeda iflacioada i omial Tipos de Ídices Diversos são os tipos de ídices iflacioários utilizados o País. Cada um deles visado ateder a um fim específico e, portato, dispodo de distita metodologia em sua determiação. Ou, medir de modo mais específico, a exemplo de custo materiais elétricos, serviços de trasporte, do alumíio e do aço, do custo da costrução civil, o CUB, ou de qualquer outro segmeto idustrial. Existem publicações que tratam, especificamete, deste assuto tais como a revista Cojutura Ecoômica uma publicação da Fudação Getúlio Vargas FGV e a revista SUMA Ecoômica, mesalmete publicam uma coleção desses ídices. Ou sites da iteret a exemplo de No Brasil, o orgaismo resposável por acompahar e divulgar ídices oficiais de iflação é o IBGE Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a exemplo do INPC e do IPCA. O IBGE produz ídices que medem a iflação ocorrida em diversos segmetos sociais do Brasil bem como os preços por atacado, sedo os ídices adotados oficialmete pelo govero e pelos tribuais. No âmbito da costrução civil, o mais festejado é o CUB Custo Uitário Básico da Costrução, elaborado e publicado mesalmete pelo Sidusco Sidicato da Idústria da Costrução Civil de cada região, cujo objeto é medir a iflação ocorrida tato em edificações resideciais, como em galpões, lojas e adares abertos. Esses ídices podem ser destiados a medir a iflação de um modo geral, tais como o INPC Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor; o IPCA Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor Ampliado; o IGP Ídice Geral de Preços, todos destiados a medir a iflação icidete sobre o cosumo das famílias brasileiras ou do comércio em atacado. Fializado, faz-se um alerta quato a cuidados a serem observados ao serem utilizadas a taxa omial e a taxa real de juros, sob pea de cometer erro coceitual grave: A taxa real de juros é utilizada quado ão é cosiderada a ocorrêcia de iflação. Neste caso, parte-se do Egª Ecoomica~Aulas~ docx

37 pricípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo costate Fórmulas Básicas. A taxa omial de juros é utilizada quado existe a ocorrêcia de iflação. Neste caso, parte-se do pricípio da perda de valor aquisitivo da moeda, o tempo. 2.5 Iflação Acumulada. Iflação acumulada é aquela havida em determiado espaço de tempo. Geralmete, a cada período de tempo, ocorre uma taxa de iflação distita dos outros. Como já cometado, a iflação correspode a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo. E, assim sedo, a taxa de iflação acumulada deve ser calculada da forma idêtica à taxa de juros compostos. Neste item serão discutidos os modelos matemáticos ecessários para calcular a iflação acumulada utilizado as taxas periódicas havidas e os ídices de iflação. Adotado como omeclatura: P o = preço o tempo 0; P 1 = preço o tempo 1; P 2 = preço o tempo 2; P = preço o tempo ; ϕ o1 = taxa da iflação existete etre o tempo 0-1; ϕ o2 = taxa da iflação existete etre o tempo 0-2; Φ = iflação medida etre dois períodos quaisquer. A defiição da taxa de iflação ocorrida etre dois períodos cosecutivos pode ser cosiderada ideticamete como o caso de calculo de juros simples icorridos etre dois períodos cosecutivos. Etão, para defiir a iflação para diversos períodos tem-se: P 1 = P o + P o ϕ o1 = P o (1+ ϕ o1 ) P 2 = P o ( 1 + ϕ o1 ) ( 1 + ϕ 12 ) = P o ( 1+ ϕ o2 ) P 3 = P o ( 1 + ϕ o1 ) ( 1 + ϕ 12 ) ( 1 + ϕ 23 ) = P o ( 1+ ϕ o3 )... P = P o (1 + ϕ o-1 ) (1 + ϕ 1-2 ) (1 + ϕ 2-3 ) (1+ ϕ (-1)-) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

38 A expressão acima que permite atualizar moetariamete P, pode ser expressa sob a seguite otação, em que Φ represeta a taxa de iflação medida etre uma data base, deomiada zero, e uma data qualquer. Etão: P = P o ( 1 + Φ ) 0 Por exemplo, seja calcular a iflação acumulada da costrução civil, medida em CUB, havida etre os meses de juho de 2005 e março de Φ 0 = I março 2006 I o 1 = 894,68 860,43 1 Φ março 2005 = 3,98 % Ao serem igualadas as duas expressões acima pode-se escrever a taxa de iflação ocorrida etre um período iicial 0, também deomiado de data base, e um período qualquer, deomiado de período fial, em fução da taxa de iflação medida em cada período itermediário k. Assim: ( 1 + Φ ) = (1 + φ 0 1 )(1 + φ 1 2 )(1 + φ 2 3 ) L (1 + φ ( 1) ) ) 0 ( 1+ Φ) = 0 k = 0 (1+ φ ) Atualização de valores moetários. Basicamete, um valor corrigido, P, é equivalete ao valor iicial, P 0, multiplicado pela taxa omial de juros relativa a todo o período da atualização pactuado. P = P 0 (1 + i NT ) A taxa omial de juros, como ateriormete visto, é fução de dois fatores: a remueração real e periódica do capital, i R,e a correção moetária do período, Φ. Cosiderado que os ídices iflacioários, I, são cohecidos, pois mesalmete determiados e publicados, é possível calcular a taxa de iflação, Φ, ocorrida etre um período iicial, deomiado zero, e um período qualquer deomiado de. Como já visto a iflação ocorrida etre dois períodos quaisquer é dada por: P 0 i R (1 + i N ) = (1 + i R ) ( 1 + Φ ) i NT Φ 0 = I I o Fig.2.9 Atualização de Valores Egª Ecoomica~Aulas~ docx

39 Operacioalmete, a remueração do capital pode ser efetuada adotado a matemática dos juros simples ou a dos juros compostos. Substituido a expressão represetativa da taxa omial de juros, (1 + i NT ), pelas expressões do produto da taxa real de juros para cada período e da correção moetária, chega-se à expressão que permite a atualização de um valor moetário em se adotado a matemática dos juros simples. A correção moetária, ou seja, atualização moetária do valor é realizada segudo o ídice pactuado em cotrato, sedo cosiderada os dois casos da mesma maeira, como será aalisado abaixo. I. - Atualização adotado juros simples. A atualização do valor de P o, ou seja, P, é efetuada partido da expressão {(1+i N ) = (1+ i R ) (1 + Φ )}, geeralizada para períodos. Isto porque, a taxa de juros adotada a atualização de valores moetários é a taxa omial. E esta, a taxa omial, é fução da taxa real i R pactuada, e da iflação o período, porém abragedo todos os períodos. Etão, calculado a atualização moetária em fução da taxa omial de juros a ser aplicada para o úmero total de períodos, tem-se: P = P 0 (1 + i NT ) Sabedo-se que a expressão da correção moetária de um valor é dada por: P = P0 ( 1 + Φ) E que a expressão do motate dos juros simples pode ser expressa sob a seguite forma: P = P0 ( 1 + i 0 R ) P = P 0 ( 1 + Φ ) ( 1 + i II. - Atualização adotado juros compostos. 0 Adotado procedimeto idêtico ao aterior, defie-se a expressão que permite a atualização de um valor moetário em se adotado a matemática dos juros compostos. Sabedo-se que: P + = P 0 ( 1 ir ) E, utilizado à mesma fórmula da correção da iflação, chega-se à: = P0 ( 1 + Φ ) ( 1 ir ) 0 P + Voltado agora para o caso da relação das taxas de juros, coforme discutido o item e sabedo que: P = P 0 (1+ i NT ) Substituido a expressão de P a expressão aterior, têm-se o caso geral da taxa omial de juros a corrigir um pagameto úico durate períodos, cosiderado a icidêcia da iflação o período e da taxa de remueração do capital. R ) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

40 NT ) = ( 1 + Φ ) ( ir ) 0 (1 + i 1 + 1,2229 (1+ i ) = irt 1,012 1,009 1,011 RT = 18,39%a.t Aplicação a) Defiir a taxa real, trimestral, de juros relativos a uma aplicação de capital realizada pelo prazo de oveta dias. Os juros omiais pactuados foram de 123,6543% ao ao. E, a iflação o período foi, respectivamete, de: 1,2%; 0,9%; e 1,1% a cada mês da aplicação. Cosiderar a aplicação efetuada sob a matemática dos juros simples e juros compostos. I Juros Simples. i i = 4 123,6543 = 4 ANO NT = 30,9136%a.t. (1+ i ) = (1+ i N RT ) 3 = 1 (1+ φ 1, = (1 + i RT ) x {1,012x1,009x1,011} i RT = 26,81% a.t. ) 2.6 Exercícios. a) Um dos serviços compoetes de um cotrato de empreitada foi orçado em R$ ,00. O cotrato foi firmado em 10/maio/2005 e o serviço em questão cocluso em 10/outubro/2005. Pede-se calcular o preço a ser pago pelo serviço, sabedo-se que deverá ser corrigido pela variação mesal do CUB. b) Um título cujo valor de face mota a R$ ,00 veceu em 01 março de 2005 e ão foi quitado a data aprazada. Calcular o motate ecessário para quitar o título em 28 de fevereiro de 2006, sabedo que deverá ser corrigido pelo INPC, acrescido dos juros de 1,5% ao mês. Efetuar o solicitado utilizado a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. ( R$ ,36 e R$ ,15) II Juros Compostos. i 4 = T 1+ i 1 i = 1+ 1, = 22,29%a.t. NT ANO NT c) Um título o motate de R$ 7.800,00, vecido em , foi quitado em pelo valor de R$ 8.590,86. (1 + i N ) = (1 + i R ) (1 + Φ) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

41 saber: O valor motate a ser recebido o fial do período. E, A taxa omial de aplicação para o período completo? g) Uma dívida o valor de R$ 28 mil foi paga com atraso de 14 meses. Os juros pactuados eram de 10,5% ao mês. Calcule a difereça etre os juros pagos quado quitada sob a matemática dos juros simples e a do composto. Cosiderado que o valor do título foi atualizado moetariamete pelo INPC, calcule a taxa média mesal real de juros adotada para remuerar o capital. Seja adotado o calculo por juros simples ou compostos. (R: 1,9925/1,9356% a.m.) d) Um título o motate de R$5.700,00, vecido em , foi quitado em pelo valor de R$ 7.639,00. Verifique se a atualização dos valores esta correta, já que foi pactuada a correção pelo ídice do INPC e os juros em 2,2 % ao mês (compostos). Caso haja divergêcia calcule a taxa de juros aplicada. e) A importâcia de R$ mil foi capitalizada pelo prazo de quatorze meses, tedo sido pactuada uma taxa de juros bruta, pré-fixada em 45% ao ao. Após receber a importâcia devida, o aplicador descobriu que o período da aplicação ocorreu uma iflação média mesal de 3,22% ao mês. Perguta-se qual o gaho de capital o período. h) Você recebeu uma carta de cobraça relativa a uma compra efetuada a vite e dois meses e ão quitada. O valor cobrado motava a R$ 2.425,96, sedo que o total da ota fiscal de origem da dívida somava a R$ 1.350,00. Perguta-se: você cocorda com o valor cobrado e qual seria a sua proposta, dado seus cohecimetos sobre cobraça e a icidêcia de juros, visado quitar a dívida esta data? i) A importâcia de R$ 53 mil foi aplicada pelo prazo de seteta e sete dias, à taxa de 25,58% ao ao, calculada pro rata tempore. Qual o motate a ser recebido o fial do período quado os juros pactuados foram o composto? j) Defia qual o valor da taxa de descoto comercial é equivalete à da taxa de descoto racioal, quado se sabe que um baco pratica uma taxa real de 2,5%, acrescida da iflação, cosiderado operações de descoto de títulos pactuadas em oveta dias. E, o baco utilizou juros compostos. f) Um capital o motate de D$ ,00 foi aplicado por dois aos, tedo sido pactuada uma taxa real de juros capitalizada a taxa de 0,50% ao mês. Cosiderado que o primeiro ao da aplicação a iflação medida foi de 34% e, o segudo, 48%, deseja-se k) Você sabe que após 4 períodos vai ecessitar da importâcia de R$ 7.000,00. Calcular o Valor Presete - VP e o Valor Futuro - VF após oze períodos da data em cosideração, ao ser adotada uma taxa de descoto de 3% ao período. Respoder o mesmo questioameto caso ocorrer uma iflação de 2,3% a cada período. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

42 l) Uma imobiliária vede um terreo em duas prestações de R$ ,00 vecíveis em 180 e 270 dias da data do egócio. Cosiderado serem os juros arbitrados em 83,00 % ao ao e capitalizados trimestralmete, perguta-se qual o motate a ser pago, à vista, pelo terreo? m) Qual a taxa de juros real pactuada sobre uma aplicação fiaceira de 24 meses cuja taxa efetiva foi pactuada em 52% a.a., tedo ocorrido uma iflação de 35% o período da aplicação? ( 71,14% o período). ) Cosiderado a questão aterior, perguta-se se a taxa de 52% pode ser deomiada de taxa omial, efetiva ou bruta. Explique cada um dos coceitos. o) Uma aplicação fiaceira foi pactuada para um período de ove meses, capitalizados mesalmete, a uma taxa de juros de 27,5% ao ao. Sedo aplicados $ ,00, qual será a importâcia a ser recebida o fial do período pactuado? ( R$ ,46). p) Solicita-se calcular: - O valor percetual da iflação acumulada etre e , calculada pelo INPC; O crescimeto omial e real da ecoomia ocorrido etre 1995 e O crescimeto omial e real da ecoomia etre e ( Utilize o INPC-IBGE). Produto Itero Bruto Brasil Em R$ Ao Variação aual real Preços Em % Corretes , , , , , , , , , , , , ,2 2009(*) * Estimativa - O motate a ser recebido por uma aplicação de R$ 700,00, cotratada em , por um prazo de três aos, a juros de 7,5% ao ao e acrescido de correção moetária. Sedo sua a decisão, qual dos ídices você escolheria caso fosse o aplicador do recurso: o INPC ou o IGP-M? q) Cosiderado a iformação abaixo, iforme: r) Qual o tempo ecessário para triplicar um capital quado este for capitalizado à taxa de 1,33 % ao mês? ( 83 meses). s) Elaborar um úico gráfico mostrado a taxa de crescimeto omial e a taxa real do lucro de uma empresa, coforme abaixo, utilizado como ídice de correção moetária o Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor do IBGE: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

43 Ao Lucro 10³ R$ v) Defia em qual istituição fiaceira deverá ser descotada uma duplicata emitida pela empresa Rota Norte, viceda em 90 dias. Sabe-se que o baco Brother Ic. pratica uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês; e, o baco Fastmoey Ltda, uma taxa de juros compostos de 4,98 % ao mês. (Ver, a seguir, o citado título). (R$ ,00/23.139,27 R$). t) A caixiha dos fucioários do Braspel, criada para ateder rapidamete ecessidades fiaceiras de seus associados, empresta e aplica diheiro, praticado sempre a taxa de 8% ao período, para qualquer tipo de operação fiaceira. A política de gestão da caixiha é a seguite: Quado ela toma capital emprestado, paga os juros o vecimeto. Quado empresta aos associados, os juros são cobrados atecipadamete. Neste caso, o empréstimo tem como garatia um cheque pré-datado, a ser descotado o dia do pagameto. Assim, perguta-se: - Se José da Silva emprestar à caixiha a importâcia de R$ ,00 quato a ele será devolvido o fial de um mês? - Se José desejar retirar da caixiha, exatamete, a importâcia de R$ ,00, qual será o motate do cheque (pré-datado) a ser preechido como garatia do empréstimo? - Na hipótese aterior, defiir a taxa de juros efetivamete paga. u) O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em e capitalizado durate sete meses, tedo redido a importâcia de R$ 1.077,53 em juros. Perguta-se qual a taxa mesal de juros praticada. w) O motate de R$ 7.000,00 foi aplicado em 15/12/2004, capitalizado por cico aos e atualizado moetariamete pelo INPC. O valor resgatado foi de R$ ,65. Perguta-se qual a taxa real de juros, mesal, icidete esta operação fiaceira. x) O Baco STS S/A, lhe propôs uma aplicação em título de capitalização de R$ 800,00, pelo prazo de 12 meses, fido os quais lhe devolverá R$ 1.080,00. Cosiderado que a aplicação em títulos do Tesouro Nacioal remuera o ivestidor a taxa de % ao ao acrescido da correção moetária prevista para 5% o próximo exercício. Assim, deseja-se saber qual a taxa de juros embutida a proposta do STS. E, se é vatajoso aplicar o STS, ou melhor, se é uma operação de risco. y) Um cotrato de empreitada o motate de R$ 333,00 mil foi firmado em A última etapa executada e coclusa em , o valor de R$ 27,00 mil, ão foi quitada. O cotrato previa o pagameto e a correção das etapas durate a costrução segudo a variação mesal do CUB. Solicita-se seja calculado o valor do motate ecessário para quitar o título em , sabedo que o ídice adotado para a correção da divida é o INPC, acrescido dos juros de 1,2% ao mês. Efetuar o solicitado utilizado a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

44 A parte de imagem com idetificação de relação rid136 ão foi ecotrada o arquivo. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA z) Uma duplicata relativa à veda de material de costrução foi emitida com pagameto para 30/06/2006. No seu valor de face já estava embutida uma remueração do capital de 1,5% ao mês (juros compostos) e o pricipal sedo corrigido pela projeção da variação mesal do CUB. Motado o valor de face em R$ ,25, perguta-se qual seria o valor a ser pago visado a sua quitação sesseta dias ates de seu vecimeto. az) Uma empresa egociou uma dívida de R$ 10 mil juto a um baco, solicitado pagá-la em parcelas mesais de R$ 1.800,00. Sabedo-se que a taxa de juros cobrada em empréstimos deste tipo é de 32,52% ao ao, perguta-se: quatas parcelas serão ecessárias para quitar o débito? Uma empresa fez um ivestimeto iicial de R$ 100 mil com uma taxa de retoro o primeiro mês de 10%; o fial desse período, ecessitou fazer uma retirada de R$ 5 000,00. A empresa fez uma seguda aplicação do saldo a uma taxa de retoro de 8%. Em um terceiro período, a empresa reaplicou, por mais um mês, o saldo restate acrescido de R$ 7 000,00, agora a uma taxa de retoro de 10%. A movimetação fiaceira da empresa está represetada o fluxo de caixa abaixo. bz) Uma empresa egociou a aquisição de um equipameto o valor de R$ ,00, fiaciada pelo fabricate e dividido em seis parcelas mesais, iguais e cosecutivas, sedo a primeira delas quitada a data da assiatura do cotrato. Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas, sabedo que a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês. cz) Você, como gerete de uma empresa de egeharia, foi aos bacos BVC Ic. e Square Fiacial, egociar o descoto de um cojuto de duplicatas o valor global de 928 mil reais, vecíveis em 30, 60 e 90 dias. Você decidiu e realizou a operação com o BVC Ic. Com base a situação apresetada, o valor fial (VF) do ivestimeto da empresa será de: R$ ,00; R$ ,00; R$ ,00; R$ ,00; R$ ,00. Em reuião da diretoria da sua empresa, depois de realizada a operação de credito, você foi questioado(a) quato a operação realizada, pois os juros cobrados pelo BVC Ic. são superiores aos praticados pelo Square Fiacial. Dado o cotexto perguta-se: Qual a justificativa técica que amparou a sua decisão? dz) ENADE Egª Ecoomica~Aulas~ docx

45 ROTA NORTE Egeharia e Costruções Ltda. F A T U R A Valor R$ , Assiatura do Emitete Rua Do João VI º 1808 cj. 007 CGC/MF º / Isc. Estadual Iseto Bairro do Boaparte Rio de Jaeiro RJ Data de emissão: 20 de julho de VENCIMEN Para uso da Istituição D U P L I C A T A TO Fiaceira. Número Valor R$ Nº de Ordem , C/E Nota(s) Fiscal(is) º 2.322/ 2323/ Descoto de: Até Codições Especiais: a vista descoto de 5%. Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda. Edereço: Rua das Maitacas º 666. Muicípio: Rotuda Ária Estado: ST CEP: Praça de Pagameto: CGC ou CPF: / Isc.Est. º VALOR por exteso (vite mil reais) Recoheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Veda Mercatil, em pagameto parcelado a importâcia acima que pagarei (emos) à Rota Norte Egeharia e Costruções Ltda., ou a sua ordem, a praça e vecimeto idicados Data do aceite Assiatura do Sacado Egª Ecoomica~Aulas~ docx

46 3. Séries de Capitais 3.0 Itrodução. Por defiição uma série de capitais é caracterizada como sedo uma sequêcia de pagametos periódicos, cosecutivos e que apresetem alguma lei de formação. O estudo cotido este capítulo permite efetuar diversas operações com juros e pagametos realizados corriqueiramete o comércio, facilitado o cálculo das variáveis desejadas através da adoção de modelos matemáticos, primordialmete quato à aálise de: As variáveis a serem cosideradas o estudo de séries são: a taxa de juros pactuada, o úmero de períodos da operação, o valor presete, o valor futuro dos pagametos realizados e o valor da prestação. 3.1 Série Uiforme Postecipada. Uma série uiforme de pagametos é dita postecipada, quado ocorre uma sucessão de pagametos iguais, R, efetuados em itervalos regulares e costates, sedo o primeiro pagameto realizado cocomitatemete com o PRIMEIRO PERÍODO POSTERIOR à data da operação fiaceira que lhes deu origem. i. Formação de fudos de capitalização, a exemplo de depósitos programados em títulos de capitalização ou a formação de capital visado à aquisição futura de bes; ii. Amortização de dívidas, mediate o pagameto de prestações iguais e cosecutivas, tais como operações de crédito e compras a prazo; iii. Comparação dos resultados ecoômicos de operações fiaceiras ou aálise de decisão etre ivestimetos que redam dividedos periódicos. Diversos tipos de séries de pagametos podem ser adotados os empréstimos ou fiaciametos, este capítulo serão estudadas aquelas mais comumete utilizadas o comercio e o mercado de capitais brasileiro, a saber: 3.1. Série Uiforme Postecipada; 3.2. Série Uiforme Ifiita; 3.3. Serie Uiforme Atecipada; 3.4. Série Diferida. Tomado como exemplo de uma série uiforme postecipada o deseho acima, a série de pagametos iguais a R é iiciada após a pactuação do pricipal P, ocorredo o primeiro pagameto o primeiro período e, assim Egª Ecoomica~Aulas~ docx

47 sucessivamete, até que o ultimo pagameto seja realizado o período. Nos ites a seguir, será demostrado como calcular o Valor Presete, VP(SP), e o Valor, VF(SP), Futuro de uma série uiforme postecipada, cohecida a prestação R(SP), o úmero de períodos e a taxa de juros pactuada. E, também, como determiar a prestação quado cohecidas as demais variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vedas a prazo Valor Presete ou Valor Atual da Série Postecipada. Adotado como omeclatura, P k como sedo o valor presete associado a um pagameto sigular qualquer R k, e cosiderado que, por defiição, se dispõe de uma série uiforme de pagametos, iguais, periódicos e cosecutivos, têm-se que: R 1 = R 2 = = R = R. Matematicamete, o valor presete da série de pagametos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos valores presetes de cada pagameto sigular. Etão: VP = P 1 + P 2 + P P Sabedo que o valor presete de cada pagameto sigular é dado pela expressão: P k = R k (1+ i) -k e, relacioado o valor presete para cada P k, com k variado de 1 a, temse: P 1 = R 1 ( 1 + i ) -1 P 2 = R 2 ( 1 + i ) -2 P 3 = R 3 ( 1 + i ) P = R ( 1 + i ) - Ao ser somado os P k para k = 1, 2, 3,...,, obtém-se a expressão geral da soma de uma série de pagametos iguais e cosecutivos. VP(sp) = R(sp) (1 + i ) -1 + R (1+ i ) R (1+ i ) - VP(sp) = R(sp) {(1 + i) -1 + (1+ i) (1+ i) - } A série represetativa do segudo termo da expressão acima, colocada etre chaves, pode ser caracterizada como uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i) -1 e o primeiro termo a = (1 + i) -1. Cosiderado que a soma de uma progressão geométrica decrescete é dada pela expressão a (1 q ) S(PG) =, após 1 q serem substituídos seus termos pelos respectivos valores ( 1+ i) 1 fiaceiros, chega-se a: S(PG) =, expressão esta i ( 1+ i) deomiada de fator de valor presete. Substituido a expressão da soma da progressão geométrica decrescete, S (PG), a série acima, fica defiida a expressão do Valor Presete de uma série uiforme de pagametos R, o caso do primeiro pagameto ocorrer um período após o iício da operação fiaceira que lhe deu origem: ( 1 + i) 1 VP(sp) = R(sp) i ( 1 + i) O termo etre colchetes expressa um fator que defie o valor atual da série postecipada quado o valor da prestação é Egª Ecoomica~Aulas~ docx

48 a uidade. Por motivo de facilidade de otação, este fator de é grafado sob a seguite otação: ( 1 + i) 1 FVP i a i i ( 1 + i) Etão, dada a otação, o valor presete de uma série postecipada pode ser expresso como: VP(SP) = R FVP i = R(SP) a i i ( 1+ i) 1 FRC i a i ( 1+ i) 1 R(SP) = VP(SP) FRC i 1 As expressões FRC i e a i correspodem à otação resumida da expressão etre colchetes acima e são deomiadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de juros i para períodos. Ver Tabelas do Aexo-I. Tato FVP i como a i são deomiados de FATOR DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de pagametos. Ver tabelas do Aexo-I. Assim sedo, o fator de valor presete permite determiar o motate do valor presete de uma série postecipada, ou seja, o valor de um bem a data de hoje, quado cohecida a prestação a ser praga, o úmero de períodos evolvidos e a taxa de juros pactuada. De modo iverso, ao se deseja cohecer o valor da prestação a ser paga, quado cohecidos o capital a ser fiaciado, a taxa de juros, e o prazo de pagameto, a fórmula acima é utilizada sob a seguite forma: R (sp) i ( 1 + i) = VP(sp) ( 1 + i) 1 Escrevedo, por facilidade de otação: MEMORIZE! O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR AO DO PRIMEIRO PAGAMENTO Valor Futuro da Série Postecipada. O valor futuro de uma série de capitais postecipada correspode ao valor do somatório de todos os valores itegrates da série, iguais e cosecutivos, fiaceiramete cosiderados a data do ultimo período da série. Noutras palavras, correspode ao motate do capital dispoível a data do último pagameto da série, capitalizado fiaceiramete à taxa pactuada. Obtém-se o Valor Futuro equivalete a uma série postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do Egª Ecoomica~Aulas~ docx

49 Valor Presete, cosiderado como razão da progressão geométrica o fator q = (1+ i). A expressão da soma de uma progressão geométrica q 1 crescete é dada por: S(PG) = em que represeta o q 1 úmero de termos da progressão. Ao se proceder as devidas substituições e de modo idêtico ao caso do valor presete, chega-se a expressão do Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagametos iguais e cosecutivos. Assim: Valor Futuro: ( 1 + i) 1 S(sp) = R(sp) i i FFC i ( 1 + i) 1 Assim sedo, a expressão do valor futuro de uma série postecipada quado cohecida a prestação e, vice versa, a expressão da prestação quado cohecido o valor futuro de uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguite otação: S(SP) = R(SP) FVF i e, R(SP) = S(SP) FFC i O Fator de Valor Futuro, FVF i, permite estabelecer, por uidade de capital, qual será o motate S a ser dispoível em data futura, quado cohecidos: o valor das prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de juros, i. E, em decorrêcia o valor da prestação é dado por: Valor da Prestação: R (sp) = S(sp) ( 1 + i i) 1 Ideticamete ao caso do Valor Presete, as expressões etre colchetes são deomiadas, respectivamete, de Fator de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série postecipada. Por motivo de facilidade de otação, esses fatores podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam: ( 1 + i) 1 FVF i e, i A cultura das áreas ecoômica e do comércio de capitais adota a deomiação de taxa de capitalização para a taxa de juros i quado se deseja cohecer o valor dispoível após certo úmero de períodos de aplicação. Aalogamete, o Fator de Formação de Capital, FFC i, permite defiir qual o valor das prestações, iguais e cosecutivas, a serem capitalizadas para que, o fial de determiado período se obteha o motate S. Ideticamete ao ateriormete cometado, estes dois fatores podem ser calculados e, também, ecotrados em tabelas fiaceiras. Ver Aexo-I. Fializado, alerta-se que este caso de série postecipada de pagametos, o valor futuro da mesma é defiido coicidetemete com a data do último pagameto. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

50 MEMORIZE! ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE COINCIDENTEMENTE COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO. O fiaciameto do saldo foi pactuado para ser quitado em 12 parcelas, a juros de 7% ao mês. Pretede-se aalisar qual a forma de pagameto permite uma maior ecoomia para o comprador. Para tato será comparado se o fiaciameto deverá ser efetuado em parcelas iguais, mesais e cosecutivas, o que caracteriza juros compostos. Ou por pagametos crescetes, com cada parcela sedo atualizada pela matemática dos juros simples. a) Série Uiforme Juros Compostos Exemplo. Como exemplo, seja o caso de uma loja de varejo que vede um equipameto, a vista, por R$ 2.500,00. Deseja-se saber o valor do mesmo quado fiaciado em seis prestações iguais, mesais e cosecutivas, sabedo que a loja remuera seus ativos à taxa de 2% ao mês? Neste caso, o valor a ser fiaciado mota a R$ 45 mil e o valor da prestação será calculado cosiderado que os pagametos se comportam como uma série uiforme postecipada, com o primeiro pagameto ocorredo trita dias após a data do fiaciameto. R$ R (sp) = VP (sp) i ( 1 + i) ( 1 + i) 1 = , 02 ( 1 + 0, 02 ) ( 1 + 0, 02 ) ,52 R$/mês R (SP)= 2.500,00 0,1785 = 446,31R$ mês Comparado Juros Simples e Compostos. Seja o caso do fiaciameto de um automóvel ovo o valor de R$ 60 mil. Foi dado como etrada um veículo de mesma marca, usado, o valor de R$ , Egª Ecoomica~Aulas~ docx R (k) = VP (k) i ( 1 + ( 1 + i) i) 1 0,07 (1+ 0,07) = ,00 1 = (1+ 0,07) Rk R , 2 $

51 = R$ 837,24 b) Pagameto por juros simples. Neste caso o valor fiaciado, R$ ,00, será quitado em doze parcelas, mesais e cosecutivas o valor de R$ 1.250,00, corrigidas até a data do efetivo pagameto à taxa de juros pactuada: 1ª Parcela: 1.250,00 x (1+1 x 0,07) = 1.337,50 2ª Parcela: 1.250,00 x (1+2 x 0,07) = 1.425,00 3ª Parcela: 1.250,00 x (1+3 x 0,07) = 1.512,50 4ª Parcela: 1.250,00 x (1+4 x 0,07) = 1.600,00 5ª Parcela: 1.250,00 x (1+5 x 0,07) = 1.687,50 6ª Parcela: 1.250,00 x (1+6 x 0,07) = 1.775,00 7ª Parcela: 1.250,00 x (1+7 x 0,07) = 1.862,50 8ª Parcela: 1.250,00 x (1+8 x 0,07) = 1.950,00 9ª Parcela: 1.250,00 x (1+9 x 0,07) = 2.037,50 10ª Parcela: 1.250,00 x (1+10 x 0,07) = 2.125,00 11ª Parcela: 1.250,00 x (1+11 x 0,07) = 2.212,50 12ª Parcela: 1.250,00 x (1+12 x 0,07) = 2.300,00 Valor total:...r$ ,00 c) Aálise ecoômica. A comparação dos valores obtidos por aálise ecoômica mede, simplesmete, apeas a difereça dos desembolsos efetuados. Total dos desembolsos: Neste caso, fica demostrada uma ecoomia de R$ 837,24, caso os pagametos fossem realizados adotado a matemática dos juros simples Auidade perpétua Coceituação. Auidade perpétua, também deomiada série ifiita ou perpetuidade de uma série postecipada, é defiida como a sequêcia de pagametos R, iguais, periódicos e cosecutivos, cotedo um úmero muito grade de termos, pelo qual é cosiderada ifiita. Uma série estas codições é, matematicamete, cosiderada como ifiita porque a ifluêcia dos últimos termos da série o motate do valor presete passa a ser ulo ou irrisório. Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das aposetadorias, prestação da casa própria ou remueração dos fudos de pesão. Partido da expressão do valor presete de uma série postecipada formada por pagametos iguais, periódicos e cosecutivos, tem-se: VP(SP) = R(SP) FVP i Juros compostos = ,52 = R$ ,24 Juros Simples = Σ parcelas pagas = ,00 R$ Comparativo: =Juros compostos - Juros simples = R$ , ,00 Quado, tem-se: Como: Egª Ecoomica~Aulas~ docx VP(si) = R(sp) Lim FVP i

52 Lim FVP i ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ( 1+ i) 1 = Lim = i ( 1+ 1) 1 1 ( 1+ i) Lim i ( 1 + i) 1 ( 1 + i) ( 1 + i) Lim ( 1 + i) i ( 1 + i) = = i i a) Ao completar 10 aos, seu avo lhe abriu uma cadereta de poupaça programada e passou a depositar a importâcia de R$ 75 por mês de etão até a data de sua formatura, 15 aos depois. Cosiderado que o baco remuera este tipo de ivestimeto à taxa de 8% ao ao, capitalizados mesalmete, determie o motate dispoível a data formatura. i(ao) = 8% aa i(mês) = 0,66667% a.m. Deste modo, fica demostrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor Presete, VP(SI), de uma série ifiita de prestações iguais, periódicas e cosecutivas: VP (si) = R(si) i Aalisado as tabelas fiaceiras do Aexo-I, é possível verificar que o úmero de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser cosiderada como ifiita e isto, também, é fução direta da taxa de juros praticada. Deste modo, quato maior a taxa de juros, meor é o úmero de períodos ecessários a caracterizar a série como perpetuidade. Isto porque, qualquer prestação muito distate da data de iício, e coforme a taxa de descoto praticada produz um valor presete isigificate ou próximo de zero, ão ifluido sigificativamete o aumeto do motate do valor presete da série Exercício Resolvido. R(si) 75 P(si) = = = , 94R$ i 0, Dos dados obtidos fazem-se os seguites cometários: O motate de R$11.249,94 correspode ao valor, em termos de valor aquisitivo medido o mometo atual, da poupaça em termos de moeda de poder aquisitivo costate, já que descosiderada a iflação o período. Além disto, justifica-se o calculo do valor presete utilizado o coceito de perpetuidade, pois o horizote das prestações atige 180 meses e, assim sedo, as ultimas prestações tem reduzida ifluêcia o motate do mesmo. b) Você esta vededo um apartameto o valor de R$ ,00. Um comprador lhe fez duas propostas para a veda em prestações, as seguites codições: Proposta A: 40% de etrada. O saldo sedo pago em duas parcelas sem correção: A primeira equivalete a 40% do saldo, a ser quitada em 60 dias; A seguda, equivalete a 60% do saldo, a ser paga em 120 dias. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

53 A parte de imagem com idetificação de relação rid196 ão foi ecotrada o arquivo. A parte de imagem com idetificação de relação rid197 ão foi ecotrada o arquivo. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Proposta B: 30% de etrada e o saldo sedo quitado em quatro parcelas iguais, mesais e cosecutivas, sem correção, vecedo a primeira trita dias após o fechameto do egócio. Aalise qual das opções seria a mais vatajosa sabedo que você utiliza uma TMA = 3% ao mês. Os diagramas de fluxo de caixa a seguir mostram as codições propostas VP(A) = (1,03) (1,03) 2 = ,75R$ Como VB (B) > VP(A), a Proposta B é a mais vatajosa. 3.3 Série Uiforme Atecipada. Uma Série Uiforme Atecipada é defiida como sedo a sucessão de pagametos iguais, R, efetuada em itervalos regulares e costates, cujo primeiro pagameto ocorra a data da operação fiaceira que lhe deu origem. Como exemplo de aplicação deste tipo de série, tem-se os casos de: Calculado o valor presete para cada proposta tem-se: VP(A) = (1,03) (1,03) 2 = ,75R$ I. Aplicação em depósito programado, também deomiado de capitalização, quado é pactuado que uma determiada importâcia R será recolhida em períodos pré-determiados, a partir do mometo de pactuação da operação fiaceira e cujo motate VF será devolvido ao aplicador fido o período programado, um período após o pagameto da última importâcia, e; II. Aquisição de um bem o valor VP, a ser quitado em parcelas iguais e sucessivas iguais a R, sedo que a primeira parcela é quitada o mometo da compra. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

54 Efetuado o valor presete de cada um dos pagametos sigulares, VP K, pode-se escrever o valor presete da série de pagametos postecipada como: VP(SA) = VP 1 + VP 2 + VP 3 + VP VP Escrevedo cada termo da expressão acima em fução de suas variáveis tem-se: Tomado como expressão gráfica de uma Série Uiforme Atecipada o deseho acima, fica caracterizado que, este tipo de série de pagametos iguais, periódicos e cosecutivos, R, o primeiro pagameto ocorre a data da operação fiaceira que lhe deu origem. Ressalta-se que o primeiro pagameto da série ocorre coicidetemete com a data do pactuado. E, que valor futuro desta série, VF(SA), ocorre um período após o pagameto da ultima prestação. A seguir é demostrado como calcular o Valor Presete, VP(SA), e o Valor Futuro, VF(SA), da série atecipada de pagametos Valor Presete da Série Atecipada. VP 1 = R VP 2 = R (1 + i) -1 VP 3 = R (1 + i) 2 VP 4 = R (1 + i) 3... VP = R (1 + i) - Substituido o valor presete de cada pagameto idividual em fução do pagameto a ser realizado, tem-se o valor presete da série, VP(sa): VP(SA) = R + R (1 + i) -1 + R (1 + i ) -2 + R ( 1 + i ) R ( 1 + i ) - VP(SA) = R { 1 + ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + ( 1 + i ) ( 1 + i ) } Aalisado o termo etre colchetes, verifica-se ser este um somatório e que pode ser associado a uma progressão geométrica decrescete, cujo primeiro termo correspode ao valor 1, o segudo ( 1 + i ) - 1, o ultimo termo ( 1 + i ) sedo a razão de decrescimeto igual a (1 + i) -1. Como defiido ateriormete, a soma de uma progressão geométrica decrescete é dada pela expressão Egª Ecoomica~Aulas~ docx

55 a( 1 q ) em que, substituido pelos respectivos S(PG ) = 1 q ( 1 + i) 1 valores fiaceiros, chega-se a: S (PG) = 1 i ( 1 + i) Para tato determia-se, iicialmete, o Valor Futuro da Série Postecipada - S. Estabelecido o valor de S para o tempo t (-1), o Valor Futuro da Série Atecipada VF é defiido ao se levar o valor de S para o período t (). Substituido a expressão da soma da progressão geométrica, S(PG), a série acima, fica defiida a expressão do Valor Presete, VP(SA) de uma série de pagametos atecipados: VP (sa) ( 1 + i) 1 = R(sa) 1 i ( 1 + i) Ao se desejar cohecer o valor da prestação ou pagameto, R(SA), cohecido o motate do Valor Presete, VP(SA), parte-se da expressão acima. Etão: R (sa) 1 i ( 1 + i) = VP(sa) ( 1 + i) Valor Futuro da Série Atecipada. Por defiição, o valor futuro, VF(SA), de uma série de pagametos atecipada é defiido o primeiro período subsequete ao do último pagameto. A determiação do Valor Futuro da série atecipada poderá ser efetuada, de modo mais expedito, partido da expressão do Valor Futuro de uma série postecipada. Matematicamete, o valor futuro da série postecipada, é obtido ao se multiplicar o valor futuro da série atecipada, S, pelo fator de valor futuro de um pagameto úico. Etão: VF (sa) = S ( 1 + i) Isto porque, multiplicado por (1+i) cada termo de uma Série Atecipada, obtém-se o valor de cada termo da série o mometo seguite ao de sua realização, passado, etão, a se comportar como uma Série Postecipada, cuja soma já é cohecida. ( 1 + i) 1 S (sa) = R (sa) i Egª Ecoomica~Aulas~ docx

56 ( 1+ i) 1 VF(sa) = R(sa) ( 1+ i) i No caso iverso, ao ser cohecido o Valor Futuro de uma série atecipada, o valor da sua prestação, R(SA), é dado por: R(sa) = VF(sa) {( 1+ i) i 1} ( 1+ i) Aplicação. a) Você é um profissioal liberal e associado a uma cooperativa de crédito. A cooperativa oferece uma remueração de 1,25% ao mês para aplicação em ivestimetos programados em títulos de capitalização. Perguta-se, qual a importâcia a ser ivestida visado adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil o prazo de quatorze meses? i R = VF {(1 + i) 1} (1 + i) Recomeda-se cuidado a aplicação dessas fórmulas que evolvam o valor futuro da série atecipada, pois ele é medido um período após a coclusão do período de pagametos. Como exemplo deste caso, seja a aplicação em cadereta de poupaça programada ou em título de capitalização. O primeiro pagameto da série ocorre o mometo em que é pactuado o cotrato de aplicação. O ultimo mometo da série ocorre um período após o ultimo pagameto, já que este último pagameto deverá gerar juros por aida mais um período. MEMORIZE! 0, 0125 R = 5000 = 324, 97R$ 14 {( 1, 0125 ) 1} ( 1, 0125 ) b) Calcular o motate de capital propiciado pela aquisição de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao mês e cotratado por um período de dois aos, as seguites situações: A valores da data de fechameto da operação, ou seja, a data de hoje; E, o motate o fial do período. O valor da prestação cotratada foi de D$ 700,00 por mês. O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA É DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

57 24 ( 1, 02 ) 1 VF = 700 ( 1, 02 ) = 21, 721, 21 D $ 0, 02 = 24 meses Deste modo, a aplicação mesal de D$ 700,00 pactuada por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês, correspoderá à importâcia de D$ ,54 a data da aplicação e de D$ o fial do período. Ateção: sedo o caso em pauta associado a uma série atecipada, o úmero de período da série correspode à duração total pactuada para a operação, ou seja, 24 meses. Em que a devolução do capital ivestido ou o Valor Futuro da série ocorrerá um período após a realização do ultimo pagameto. I - Valor Presete: VP = R FVP (24; 2%) No fluxo de caixa represetativo da operação, ficam caracterizadas 24 prestações, pois a primeira delas ocorre a data de fechameto da operação fiaceira. A última prestação ocorre um mês ates do fial do período, ou seja, o 23º mês. 3.4 Série Diferida. Uma série de pagametos é dita diferida quado a primeira prestação ocorrer após o primeiro período. Ver Fig.3.4. ( 1+ i) 1 VP = R 1 i ( 1+ i) 24 ( 102, ) 1 VP = 700 = , 54D$ 23 0, 02 ( 102, + i) VP(0) 2º 1º passo R II - Valor Futuro: VF = R FVF (24;2%) ( 1 + i) 1 VF = R ( 1 + i) i k k+1 k+2... Fig.3.4 Modelo de Série Diferida Egª Ecoomica~Aulas~ docx

58 O processo de calcular seja o valor presete, valor futuro, como a prestação de uma operação fiaceira em que o primeiro pagameto é diferido, é um processo comum o comércio varejista. Qualquer tipo de série pode ser cosiderada diferida, seja ela uma série uiforme, uma série gradiete ou mesmo uma sequêcia qualquer de pagametos já que, em termos fiaceiros, diferir sigifica adiar a data do primeiro pagameto Metodologia. Ao se substituir a expressão de VP(k) acima, a expressão de VP(SD), chega-se a expressão geral do valor presete de uma série postecipada diferida. VP(SD) = R ( 1 + i) k FVP ( - k, i) È importate ressaltar que o mometo k correspode ao mometo zero da série uiforme, isto é, o período que precede o mometo em que se iiciam os pagametos. A determiação do Valor Presete de uma série diferida, VP(SD), é efetuada em dois passos: 1º passo - calcula-se o valor presete da série postecipada, VP(k), como ateriormete demostrado; Neste caso, o mometo iicial da série correspode a um mometo aterior ao do iício de pagametos; 2º passo dispoível o valor presete da série postecipada, VP(k), calcula-se o Valor Presete desejado, VP(SD). Para tato, leva-se o valor de VP(k), a valor presete o mometo zero, ou seja, VP(SD). VP(k) VP(SD) = k ( 1 + i) Por sua vez, sabedo-se que o Valor Presete de uma série uiforme postecipada composta por (-k) pagametos iguais e cosecutivos de valor R é dada por: VP(k) = R FVP (-k; i%) Aplicação a) Calcular o valor da prestação relativa à veda de um equipameto cujo preço mota a D$ 300 mil, egociado em sete prestações iguais, mesais e cosecutivas, vecedo a primeira delas ceto e vite dias após o fechameto do egócio. A empresa adota uma TMA de 7% ao mês. Como primeiro passo, deve-se elaborar o diagrama de fluxo de caixa do empreedimeto. O diagrama mostra que a série de pagametos iicia o mês 4, sedo seu mometo iicial referido ao mês 3. Como segudo passo, calcula-se o valor presete da série tedo como mometo iicial o mês 3. R mês Egª Ecoomica~Aulas~ docx ,0

59 A parte de imagem com idetificação de relação rid236 ão foi ecotrada o arquivo. A parte de imagem com idetificação de relação rid237 ão foi ecotrada o arquivo. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 588,00 VP(SD) = 5, 6014 = , 74R$ 1,0404 O terceiro passo correspode ao calculo do valor presete, como pagameto úico, tedo como mometo iicial a data da operação ou seja, a data zero = R 5, 3893 = R 5, , 8163 ( 1+ 0, 07)³ R = ,12 D$/mês b) A empresa Mercado Fácil oferta computadores a serem pagos em seis prestações iguais, mesais e cosecutivas o valor de R$ 588,00, sedo a primeira delas viceda em oveta dias. Qual o valor a ser pago a vista sabedo que a empresa pratica juros de 2% ao mês em seus fiaciametos? Série Ifiita Coceituação. Série ifiita, também deomiada série perpétua ou perpetuidade de uma série postecipada, é defiida como a sequêcia de pagametos R, iguais, periódicos e cosecutivos, cotedo um úmero muito grade de termos, pelo qual é cosiderada ifiita. Ver modelo a Fig.3.5. Uma série estas codições é, matematicamete, cosiderada como ifiita porque a ifluêcia dos últimos termos da série o motate do valor presete passa a ser ulo ou irrisório. Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das aposetadorias, prestação da casa própria ou remueração dos fudos de pesão. VP(SD) = R ( 1 + i) k FVP ( - k, i) 588, 00 VP (SD ) = FVP 2 ( 1 + 0, 02) ( 6, 2%) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

60 Assim, fica demostrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor Presete, VP(SI), de uma série ifiita de prestações iguais, periódicas e cosecutivas: VP (si) = R(si) i Partido da expressão do valor presete de uma série postecipada formada por pagametos iguais, periódicos e cosecutivos, tem-se: Quado, tem-se: VP(SP) = R(SP) FVP i VP(si) = R(sp) Lim FVP i Substituido a variável FVP i pela sua expressão matemática tem-se: Lim FVP i ( 1+ i) 1 = Lim = i ( 1+ 1) 1 1 ( 1+ i) Lim i ( 1 + i) 1 ( 1 + i) ( 1 + i) Lim ( 1 + i) i ( 1 + i) = = i i Aalisado as tabelas fiaceiras do Aexo-I, é possível avaliar qual o úmero de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser cosiderada como ifiita e, como se pode verificar isso também é fução direta da taxa de juros praticada. Deste modo, quato maior a taxa de juros, meor é o úmero de períodos ecessários a caracterizar uma série como perpetuidade. Isto porque, qualquer prestação muito distate da data de iício e segudo a taxa de descoto praticada, tal fato produz um valor presete isigificate ou próximo de zero, ão ifluido sigificativamete o aumeto do motate do valor presete da série Aplicação. a) Ao completar 10 aos, seu avo lhe abriu uma cadereta de poupaça programada e passou a depositar a importâcia de R$ 75 por mês de etão até a data de sua formatura, 15 aos depois. Cosiderado que o baco remuera este tipo de ivestimeto à taxa de 8% ao ao, capitalizados mesalmete, determie o motate dispoível a data formatura. i(ao) = 8% aa i(mês) = 0,66667% a.m. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

61 R(si) 75 P(si) = = = , 94R$ i 0, Dos dados obtidos fazem-se os seguites cometários: O motate de R$11.249,94 correspode ao valor, em termos de valor aquisitivo medido o mometo atual, da poupaça em termos de moeda de poder aquisitivo costate, já que descosiderada a iflação o período. Além disto, justifica-se o calculo do valor presete utilizado o coceito de perpetuidade, pois o horizote das prestações atige 180 meses e, assim sedo, as ultimas prestações tem reduzida ifluêcia o motate do mesmo. b) Qual o valor da prestação relativa à aquisição de um automóvel o valor de R$ ,00. A proposta de fiaciameto prevê pagameto em 7 (sete) parcelas iguais mesais e cosecutivas, vecedo a primeira a trita dias da aquisição do bem, mais uma etrada equivalete ao valor das prestações. Juros pactuados à taxa de 2,5% ao mês. R (sa) = Exercícios. R (sa) i ( 1 + i) = VP(sa) ( 1 + i) , , (, (, 2 ) 5 5 ) S(as) = ,00 x 0,1361 = 6.712,12 R$ a) - A empresa Semiovos Veículos Ltda. vede um automóvel, a vista, por R$ ,00. Qual será o valor da prestação cosiderado um plao de pagameto para ser quitado em 10 meses a juros de 7% ao mês? As prestações deverão ser iguais, mesais e cosecutivas. Cosidere: 1º) plao com etrada o valor de R$ 10 mil, vecedo a primeira em trita dias; 2º) plao sem etrada, vecedo a primeira em trita dias da operação; 3º) plao com o valor da etrada igual ao valor das dez prestações mesais. b) - O gerete da empresa Quick-Delivery Lted, empresa do ramo de atacado, propôs ao Cotroler da mesma os seguites plaos de pagameto visado à veda de lotes de televisores Telecor, coforme abaixo. Os lotes vêm sedo vedidos, atualmete, por D$ ,00, porém apresetado crescete dificuldade de comercialização, dado o laçameto de ovos produtos o mercado. Sedo o preço de aquisição dos televisores D$ ,00 qual será a decisão do Cotroler? Cosiderar uma taxa de descoto de 2,5% ao período. b.1. À vista com 20% de descoto. b.2. Dez pagametos, sem etrada, iguais e cosecutivos o valor de D$10.099,00 por mês, vecedo a primeira em trita dias da operação. b.3. Dez pagametos mesais e cosecutivos o motate de D$10.777,00 por mês, sem etrada, com o primeiro pagameto ocorredo após 120 dias cotados da data da compra. b.4. Etrada e mais dez pagametos mesais e cosecutivos, todos iguais e o valor de D$ 9.899,00 por mês. c) A empresa Só o Barato Varejão Ltda. aalisa a aquisição de um lote de televisores juto à Quick-Delivery Lted. Sabe-se que um lote cotém 230 televisores e o preço de cada aparelho Egª Ecoomica~Aulas~ docx

62 é de R$ 569,99. Esta empresa oferece cada lote de aparelhos as seguites codições: A vista com 20% de descoto; Fiaciameto sem etrada, pago em quatro prestações iguais, mesais e cosecutivas de R$ 179,99; Fiaciameto em cico parcelas iguais, mesais e cosecutivas o valor de R$ 95,95 cada, com a primeira parcela viceda em 90 dias após a veda. A empresa Sóobarato Varejão Ltda. prevê colocar o mercado sesseta uidades por mês. O custo de capital praticado pelo Varejão é de 15% ao ao e adota um mark-up de 33%. Sedo você o diretor fiaceiro do Varejão pergutase: qual dos plaos oferecido pela Quick-Delivery Lted será o escolhido? f) Um forecedor de computadores pessoais oferece o modelo BO-800, a vista, por US$ 1.175,00. Ou, a prazo, em pagametos iguais de US$ 80,00, sedo uma etrada e mais 20 pagametos mesais e cosecutivos. Verifique qual das duas situações lhe é mais iteressate. A taxa de juros a ser estabelecida é a sua taxa de oportuidade. g) Sua empresa ecessita da importâcia de $ ,00, o prazo de 15 meses, para ser aplicada um ovo projeto de ivestimeto. O baco ode operam oferece, para clietes istitucioais, uma taxa de juros de 3% ao mês para cotratos de capitalização programados. Quato deverá ser o valor da aplicação mesal, para que sua empresa dispoha da importâcia citada o mometo desejado? d) - Você vede um imóvel por D$ ,00, para receber as codições abaixo. Qual seria o valor a vista da cada proposta, cosiderado as abaixo eumeradas, e sabedo que você pratica um custo de capital é de 15% a.a.? Com parte à vista e 60% do total o prazo de trita dias. O 1º pagameto em 6 meses (50%) e o fial em um ao. Em 12 pagametos, iguais, mesais e cosecutivos de D$ 3.000,00. Em 8 pagametos iguais, mesais e cosecutivos de D$ 4.650,00. Cosidere as opções acima quado ocorrer uma iflação de 20,22% ao ao. e) Calcular o preço a vista de um produto, sabedo-se que o mesmo é ofertado para pagameto em 5 parcelas. A primeira equivalete a 30% do valor a vista, quitada o ato da compra; As outras quatro parcelas, iguais e cosecutivas, o valor de R$ 150,00 cada, vecíveis em 30/60/90/120 dias. Cosiderar um custo de capital de 2% ao mês. h) Você deseja adquirir um veículo cujo preço é de R$ ,00. Qual será a sua opção de egócio, etre as seguites situações: 1ª) Adquirir o veículo por fiaciameto através do pagameto de 14 prestações mesais, iguais e cosecutivas, com juros pactuados à taxa de 26,8242% ao ao; 2ª) ou, utilizado uma poupaça mesal, cujo prazo é idêtico à aterior, com taxa de oportuidade de 1,3% ao mês e adquirir o veiculo após dispor do capital ecessário? i) Verifique se sua empresa, efetuado uma poupaça mesal de US$ 2.500,00 aplicados à taxa de oportuidade de 1,20% ao mês e após dez meses, disporá de recursos próprios para adquirir um equipameto cujo valor de mercado, hoje, mota a US$ ,00? Egª Ecoomica~Aulas~ docx

63 j) Um veículo cujo valor de veda, esta data, é de R$ ,00, foi auciado para ser pago em dez prestações iguais, mesais e cosecutivas o valor de 2.796,00 R$, vecível a primeira em sesseta dias. O auciate proclama que os juros cobrados são de 1,5% ao mês, sem correção moetária. Verifique se isto é verdade. Sobre os gahos de fiaciameto ão icide o tributo acima; A empresa pratica um mark-up de 35%; Aplicações realizadas o mercado fiaceiro redem, em média, 1,1% ao mês. k) Aalise a difereça, mesal e total, dos juros pagos quado da quitação de uma dívida o motate de R$ 28 mil. Os juros foram pactuados em 3,5% ao mês, as seguites codições: Pagameto em seis prestações iguais, mesais e cosecutivas, com a primeira quitada a data da operação; A mesma situação aterior, porém sob a égide dos juros simples. l) Cosiderado os coeficietes defiidos o exercício aterior, perguta-se qual será o valor da prestação de um veículo cujo preço de tabela mota a R$ 36 mil, egociado as seguites codições: uma etrada equivalete a 30% do valor do bem e o saldo quitado em cico prestações iguais, mesais e cosecutivas, vicedo a primeira em sesseta dias? m) Aalise o iteresse da empresa varejista, defiida o exercício aterior, em promover a veda de seus produtos de modo fiaciado e desestimular as vedas à vista, sabedo-se que: A empresa ão oferece descotos para vedas a vista; Sobre o preço de vedas a empresa recolhe um tributo a ordem de 17% do valor agregado, recolhidos ao fisco o mês da operação fiaceira; ) Uma empresa varejista, visado orietar seus vededores, deseja estabelecer coeficietes multiplicadores para facilitar o calculo das prestações de seus produtos. É política da empresa dispoibilizar aos clietes vários plaos de fiaciameto, todos apresetado prestações em parcelas iguais, mesais e cosecutivas. Plao de Fiaciameto Prestação = k valor fiaciado Fia. Tipo Numero Prestações Data da 1ª Prestação Juros Ao Mês dias 1,50% dias 1,75% dias 2,00% dias 1,50% dias 1,75% dias 2,00% dias 1,50% dias 1,75% dias 2,00% Coeficiete Multiplicador Além disto, os clietes poderão optar pelo úmero de prestações e por várias datas de iício dos pagametos, segudo o plao de fiaciameto exposto o quadro abaixo. Cosiderado que as prestações deverão ser defiidas com a icidêcia de diversas taxas de juros que variam segudo a característica de cada tipo de fiaciameto, Egª Ecoomica~Aulas~ docx

64 solicita-se estabelecer os multiplicadores dado as codições abaixo. o) Uma vatagem da obteção de um diploma de curso superior é a perspectiva de melhores gahos futuros, em comparação com os que ão têm titulação. Existe a estima que a graduação em uma faculdade teha um custo equivalete de $ a preços da época da formatura. Há o etedimeto, também, que os beefícios de uma formação superior se farão setir durate quareta aos de vida profissioal e que, em comparação com outros profissioais ão titulados, o mercado vem praticado um salário de $3.000/ao superior, durate os dez primeiros aos após a coclusão do curso. Durate os dez aos subsequetes, dado o gaho de experiêcia, ocorre uma previsão de reda aual superior em $ a de profissioais ão graduados. E, durate os vite aos subsequetes o mercado vem apresetado um salário superior em $ acima daquele pago a pessoas ão graduadas. Admitido que estas estimativas estejam corretas, qual será a taxa itera de retoro prevista como resultado do ivestimeto em curso superior? p) Um veículo o valor de R$ 28 mil foi fiaciado em seis prestações iguais, mesais e cosecutivas, o valor de R$ 5.254,71 cada, sedo que a primeira foi quitada a data do fechameto do egócio. A taxa de juros pactuada para o fiaciameto foi de 3,5% ao mês. Se fosse pactuado a juros simples, deseja-se saber qual o valor da prestação a ser cobrada. q) Um título com valor de face de R$ 290,00, vecido em 31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor pago motou a R$ 1.066,91. Deseja-se saber qual a taxa efetivamete paga, bem como a taxa real de juros já que o mesmo foi corrigido pelo INPC. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

65 4. Amortizações de Dívidas prestação os empréstimos de logo prazo é composta de duas partes: os juros e a amortização. 4.1 Tipos de Sistemas. O modo de pagameto de dívidas ou empréstimos é fução do prazo, do motate e dos juros pactuado. Sob a ótica do prazo, podem ser classificados em: de curto, médio ou de logo prazo. Os empréstimos de curto e médio prazo geralmete saldados um prazo de até três aos são calculados coforme ateriormete discutido, quado adotados os sistemas de juros simples e compostos. Nestes casos, o capital tomado rede juros durate todo o prazo pactuado. Como exemplos desses empréstimos, podem ser citados: compras a prazo realizadas o mercado varejista de bes de cosumo durável e os empréstimos em cota correte realizados pelos bacos comerciais. Os empréstimos de logo prazo são aqueles realizados com prazos superiores a dois ou três aos, sedo as importâcias evolvidas mais vultosas do que as cosideradas os empréstimos ateriores. Esses empréstimos são, geralmete, adotados para o fiaciameto de bes de capital utilizados por empresas e da casa própria, sedo operacioalizados por istituições ou bacos de ivestimetos. Nos empréstimos de logo prazo, os juros icidem somete sobre o saldo devedor e uma parte de pricipal é devolvida a cada período. Assim, diferetemete do curto prazo, a PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS DO PERÍODO A amortização correspode à devolução do pricipal ou do capital tomado emprestado a cada período o que permite reduzir o motate devido. Os juros, por sua vez, são calculados período a período sobre o saldo devedor apresetado o período imediatamete aterior ao daquele em que se vai efetuar o pagameto de uma prestação qualquer. No Brasil, o procedimeto para amortização do saldo devedor é defiido por lei e deve ser efetuado em coformidade com o art. 6º, alíea c, da Lei º /64, que diz: c) ao meos parte do fiaciameto, ou do preço a ser pago, seja amortizado em prestações mesais sucessivas, de igual valor, ates do reajustameto, que icluam amortização e juros. Detro deste cotexto, o ovo saldo devedor somete deverá ser corrigido depois de amortizada parte da dívida existete aquele período. Deste modo, a amortização efetuada em determiado período abate parte do saldo devedor existete. Após esta operação é que será efetuada a correção do saldo devedor, gerado um ovo saldo devedor para o período subsequete. Existem diversas metodologias para a quitação dos empréstimos de logo prazo. E, elas são distitas segudo a forma de calcular os juros ou a amortização. A seguir são apresetadas quatro das metodologias mais utilizadas: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

66 Sistema de amortização costate - SAC Sistema de prestação costate - PRICE Sistema americao Sistema de amortização variável Sistema de amortização crescete SACRE/CEF. Coforme o cotrato pactuado etre as partes, os juros podem ser pagos, ou ão, durate o prazo de carêcia. Por prazo de carêcia é etedido como o período, ou períodos, em que ão ocorre o pagameto de amortizações. Fializado, um fator a ão ser meosprezado em fiaciametos é quato à cosideração de impostos, taxas e comissões, etc., aplicados sobre operações fiaceiras e que alteram a taxa real a ser paga pelo tomador do empréstimo. Eles reduzem o valor real dispoível pela empresa e podem alterar a atratividade de algum fiaciameto ou projeto de ivestimeto Sistemas de Amortização Costate - SAC Ocorredo a hipótese de ão haver pagameto de juros durate o prazo de carêcia, eles são icorporados ao pricipal. Nesse caso, o saldo a cada período fica acrescido dos juros vecidos e que são icorporados ao motate do fiaciameto. Sobre esse motate é que serão calculadas as prestações e as amortizações A metodologia No sistema de amortização costate, as prestações são decrescetes e a amortização proporcioal ao úmero de períodos pactuados para a devolução do pricipal ou do saldo devedor. A idividualização do valor da amortização e dos juros que compõem cada prestação é importate para a escrituração cotábil e da defiição do fluxo de caixa líquido de cada exercício. A amortização é laçada o balaço patrimoial como cota itegrate do ativo imobilizado, registrado o aumeto de patrimôio da empresa. No caso de avaliação do fluxo de caixa da empresa é cosiderada por seu valor itegral. Os juros são cotabilmete laçados como cota de despesa, itegrado as cotas de resultado do exercício. No fluxo de caixa da empresa seu valor é reduzido pela ifluêcia dos tributos que icidem sobre a reda. SaldoDevedor PeríododeAmortização Egª Ecoomica~Aulas~ docx a = Defiida a amortização, os juros são calculados, período a período, sobre o saldo devedor existete o iício do período, sob a égide da matemática dos juros simples. A prestação, fialmete, é obtida somado o valor dos juros à amortização ateriormete calculada. O sistema SAC permite o estabelecimeto de prazo de carêcia. Neste caso, os juros poderão, ou ão, serem pagos durate o prazo de carêcia. Quado ocorre a dispesa do recolhimeto de juros durate a carêcia eles são icorporados ao pricipal gerado

67 um ovo saldo devedor. E, é sobre esse ovo saldo devedor que a amortização deverá ser calculada. Prestação 5º. Calcula-se o ovo saldo devedor dimiuido-se do saldo havido o iício do período o valor da amortização; 6º. Repete-se sucessivamete esta operação até ser defiido o valor da ultima prestação Exemplo. JUROS AMORTIZAÇÃO 1... períodos O calculo da prestação, etão, segue a seguite metodologia: Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo o motate de D$ ,00 cujo prazo da operação foi estabelecido em seis aos. Para tato, foram pactuados juros de 10% ao ao e um prazo de carêcia de trita e seis meses em que os juros icorridos deverão ser pagos durate este prazo. Ao Saque Saldo Amortizaç Juros 10% Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Tot , , ,00 1º. Defie-se o motate a ser fiaciado. Em caso de carêcia, os juros poderão ser ou ão icorporados ao pricipal; 2º. Calcula-se o valor da amortização; SaldoDeved or a = PeríododeA mortização 3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 4º. A prestação do período é defiida somado-se o valor da amortização ao valor dos juros calculados; a m o r t o = Sistemas i de prestação costate z a ç Metodologia ã , 0 = , 0 0 D $ / a o Egª Ecoomica~Aulas~ docx

68 O sistema de prestação costate, também deomiado de Sistema Fracês tem como característica pricipal a costâcia do valor das prestações. As prestações são cosideradas como uma série uiforme de pagametos postecipados. Como o valor da prestação é defiido a priori, o resultado obtido já egloba o valor dos juros e da amortização. Neste caso, etão, os juros são defiidos, período a período, sobre o saldo devedor. E a amortização de cada período é obtida dimiuido do valor da prestação o motate dos juros calculados. Adotado como omeclatura: R(SP) = saldo devedor e R(SP) a prestação. E, sedo o valor da prestação defiido segudo a metodologia da série de pagametos postecipada, tem-se: R(SP) = S(SP) x FRC i Tedo sido pactuado prazo de carêcia, os juros poderão ser pagos durate este prazo ou etão icorporados ao pricipal, da mesma forma que o processo aterior. No sistema em pauta, o valor da amortização é crescete e o valor dos juros decrescete. Pelas próprias características do processo de cálculo, é possível ocorrer saldo devedor o fial do cotrato. Porém, como foram estabelecidas, em úmero e valor, as prestações devidas, a dívida é quitada cocomitatemete com o pagameto da última prestação, havedo ou ão ocorrêcia de saldo residual. A metodologia de calculo utilizada para defiir prestação e os seus parâmetros de amortização e juros é a seguite: 1º. Defie-se o motate a ser fiaciado. Em caso de carêcia, os juros poderão ou ão ser icorporados ao pricipal; 2º. Calcula-se o valor da prestação, cosiderado-a como uma série postecipada; 3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; (Juros) = i (Saldo Devedor) -1 4º. O valor da amortização é defiido ao se dimiuir do valor da prestação o valor dos juros do período. Amortização = Prestação Juros 5º. Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: S +1 = S A 6º. Repete-se a metodologia até se obter os valores da amortização e dos juros relativos à ultima prestação Exemplo. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

69 Seja calcular o valor da prestação, dos juros e da amortização referetes a um empréstimo o motate de D$ ,00 a ser quitado em cico aos, com juros pactuados em 10% ao ao, em que ão ocorre prazo de carêcia. É importate otar que as prestações correspodem à uma série de pagametos postecipada sedo eles iguais, auais e cosecutivos. O valor da prestação é dado por: R = S FRC(5 10%). Logo: R = ,00 0, = ,75 R$ c) A taxa de cálculo utilizada é proporcioal ao período da prestação, obtida a partir da taxa omial O sistema americao Metodologia. O Sistema Americao é caracterizado por ão ocorrer amortização durate o prazo do cotrato. Nestas codições, o pricipal é quitado jutamete com a quitação da ultima prestação. Per Saldo Prestação Amortização Juros R$ R$ R$ I=10% , , , , , , , , , , , , , , , , ,30 5 0, , , ,16 Σ , , , O Sistema Price. O sistema Price é uma variate do Sistema Fracês largamete utilizado o comércio e defiido com as seguites características: a) Taxa de juros cotratada em termos omiais, ormalmete referidas ao período de um ao. b) O pagameto das prestações comumete pactuado em base mesal. Como o método prevê o pagameto da ultima prestação em valor muito elevado, com os juros do período acrescido ao pricipal, aumeta o risco do tomador em coseguir quitar a mesma, fato que iibe sua adoção por parte de tomadores de crédito e por orgaismos fiaciadores. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

70 Ressalta-se que, tato o sistema fiaceiro brasileiro, como os orgaismos iteracioais de crédito, via de regra, ão adotam esse sistema. Os juros são calculados sobre o saldo devedor. E, em havedo prazo de carêcia, podem ou ão ser icorporados ao saldo devedor Exemplo. Como exemplo de aplicação do método americao, seja um empréstimo o motate de R$ 100 mil, pactuado por um prazo de quatro aos, a juros de 7,00% ao ao. Per. Saldo Devedor Amortização Juros 7% Prestação , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , , O sistema de amortização variável Metodologia. O Sistema de Amortização Variável é um sistema que difere dos ateriores, pois ão existe defiição de lei de formação a defiição das prestações ou da amortização. O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade de pagameto do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo projeto, visado o mater superavitário em todos os períodos. Nestas codições, tato as amortizações como as prestações podem variar a cada período. Pelo exposto, este é um sistema extremamete flexível, cujo objetivo é mater a capacidade de pagameto do tomador do recurso adequada às codições do fluxo de caixa, visado à estabilidade fiaceira da empresa. As prestações são determiadas segudo a metodologia: 1º Defie-se o motate a ser fiaciado. 2º O valor da amortização é estabelecido, para cada período, segudo a capacidade de pagameto do tomador; 3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; Egª Ecoomica~Aulas~ docx

71 (Juros) = i EFT (Saldo Devedor) -1 4º Defie-se o valor da prestação para o período: P = A + J 5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: S +1 = S A 6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima prestação Cometários. Como será visto o exemplo a seguir, o sistema de amortização variável utiliza a matemática dos juros simples, sedo utilizado em fiaciametos acioais ou iteracioais. Porém a taxa de juros efetiva, i EFT, adotada o calculo dos juros pode ser variável a cada período, fato que altera o valor previsto para a prestação. Nesses casos, é pactuada uma taxa de juros real acrescida de uma taxa básica de juros que pode ser variável a cada período. i EFT = i Real +i Basica A taxa básica de juros varia de país para país sedo determiada periodicamete pelos respectivos bacos cetrais. Como exemplos, o Brasil, ela é deomiada de SELIC, os Estados Uidos de Prime Rate e a Iglaterra de Libor. No Brasil, a data em que foi escrita esta obra, a taxa SELIC estabelecida pelo Baco Cetral estava o patamar de 14,25% ao ao. Qualquer istituição fiaceira que pactuasse, esta data, um empréstimo à taxa real de 12,50% ao ao, estaria praticado uma taxa efetiva de 22,75% ao ao Exemplo. Seja defiir as prestações, os juros e a amortização de um empréstimo o motate de D$ ,00, cotratado por prazo de dez aos, sedo dois de carêcia e havedo o pagameto dos juros relativos a este prazo. A taxa de juros foi pactuada em 10% ao período sedo as amortizações variáveis segudo proposta do tomador. O primeiro passo ecessário ao estabelecimeto do valor da prestação é estabelecer, período a período, o valor da amortização. Ressalta-se que este valor é defiido admiistrativamete segudo a ecessidade em mater positivo o fluxo de caixa da empresa. O valor dos juros é calculado sobre o saldo devedor existete o iício de cada período. A prestação, por sua vez, correspode à soma dos valores acima: P = A + J Per Saldo Amortização Juros 10% Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

72 , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Tot ,00 M O sistema alemão Característica. J 0 =p a J P = O sistema alemão, dado suas características, ão apreseta equivalêcia fiaceira etre o motate emprestado e as respectivas cotraprestações, dada uma taxa pactuada, A equivalêcia fiaceira ocorrerá a uma taxa de descoto maior do que a pactuada, assuto a ser discutido o item As características deste sistema são três: i) o pagameto dos juros vecíveis o período é atecipado, ocorredo o primeiro pagameto dos juros o mometo em que ocorre a operação fiaceira; ii) as demais prestações são iguais para todos os períodos; iii) ao ser paga a ultima prestação ocorre, apeas, a devolução do resíduo do saldo devedor, porém esse resíduo tem o mesmo valor das demais prestações pactuadas Relação etre Amortizações. Adotado como omeclatura: M correspodedo ao capital iicial ou motate emprestado; J e a, represetado, respectivamete, os juros e a amortização correspodete a cada período. E, P o valor da prestação, pode-se escrever as três pricipais características do Sistema Alemão: M = a1 + a2+ a3 + + a-1 + a P 0 = J 0 P1 = P2 = P3 = = P-1 = P Relacioado as prestações em fução de suas variáveis e sabedo que cada prestação correspode à soma dos juros e da amortização, tem-se: P = amortização + Juros P 0 = M i P 1 = a 1 + (M a 1 ) i P 2 = a 2 + (M a 1 -+ a 2 ) i P 3 = a 3 + (M a 1 a 2 - a 3 ) i Egª Ecoomica~Aulas~ docx

73 P-1 = a -1 + (M a 1 a 2 - a a -1 ) i P = a + (M a 1 a 2 a a -1 - a ) i = a Como as prestações são todas iguais, por defiição, pode-se escrever: P -1 = P etão; a -1 + (M - a 1 - a 2 - a a -1 ) i = = a + (M - a 1 - a 2 - a a -1 - a ) i a -1 = a - a i a -1 = a (1- i) a 1 a = (1 i) Determiação da Prestação. a a a a a a = a = a = a = a = a = a (1- i) (1- i) (1- i) (1- i) (1- i) Sabedo-se que o motate do fiaciameto correspode à soma das amortizações pode-se escrever, de modo matemático: M = a 1 + a 2 + a a -1 + a M= a + a (-1) 1 + a (-1) 2 + a (-1) a (- 1) -2 + a (-1) -1 A determiação do valor da prestação o Sistema Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. Da expressão acima, verifica-se que os valores das amortizações estão em progressão geométrica cuja razão é {(-1) -1 }. Escrevedo a progressão em ordem decrescete dos termos visado facilitar a demostração e os exprimido em fução do último termo, pode-se escrever a seguite série: Por característica e defiição do sistema alemão, a última amortização apreseta o mesmo valor da ultima prestação, ou seja, p = a. Assim a expressão acima pode ser escrita da seguite forma: M = p + a (-1) 1 + a (-1) 2 + a (-1) a (-1) -2 + a (-1) -1 Como os termos da amortização estão em progressão geométrica, o valor fiaciado M, correspode à soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (-1). Sabedo que a expressão da soma de progressão geométrica decrescete em que a correspode ao primeiro termo, q a razão e o úmero de termos da série, é dada por: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

74 A parte de imagem com idetificação de relação rid277 ão foi ecotrada o arquivo. A parte de imagem com idetificação de relação rid278 ão foi ecotrada o arquivo. A parte de imagem com idetificação de relação rid280 ão foi ecotrada o arquivo. A parte de imagem com idetificação de relação rid279 ão foi ecotrada o arquivo. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Substituido a expressão acima os valores da progressão geométrica, obtém-se a expressão que defie o valor da prestação o Sistema Alemão: recebido e correspode a uma série de pagametos postecipada. Etão: M - Mi = p FRC ( i REAL %) (1-i ) M = p FRC ( i REAL %) Exemplo Equivalêcia Fiaceira. Como já cometado ateriormete, o sistema alemão ão apreseta uma equivalêcia fiaceira quado se compara o valor do empréstimo com a soma das prestações pactuadas à taxa estabelecida. A defiição da taxa real ou efetiva de juros, este sistema, é efetuada de modo mais complexo. Para tato, recomeda-se utilizar a fórmula de Karpi, o método de Newto Raphso ou da bisseção, para a defiição da taxa real de juros, métodos a serem discutidos em capítulos posteriores. Seja determiar o valor das prestações de um empréstimo pactuado sob as seguites codições: motate cotratado de R$ 100 mil; taxa de juros pactuada, 5% por período; sete aos de duração, sem carêcia. Os procedimetos de cálculo devem ser realizados a seguite ordem: a) Calculo da Prestação: M-Mi p A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à Taxa Itera de Retoro do fiaciameto, já que o soma das prestações equivale, fiaceiramete, ao valor do motate b) Calculo das Amortizações: Sabe-se que a ultima amortização correspode à ultima prestação. Etão: a 7 = p 7 a 1 a = (1 i) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

75 a -1 = a (1-i) a 6 = a 7 (1-0,05) = ,06 R$ c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois modos. Fazedo icidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor ou dimiuido do valor da prestação o valor da amortização. O objetivo do sistema é permitir a amortização de parcela expressiva do empréstimo o meor tempo possível e, caso ocorra uma iadimplêcia do mutuário, reduzir o risco de perdas para a CEF. O valor da prestação o sistema SACRE é defiido pela soma de duas variáveis básicas, quais sejam: o ecargo mesal - EM e o seguro, atededo ao seguite modelo: Período Saldo Juros - Amortização Prestação 5% , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,82 828, , , ,82 0, , ,80 Total ,00 - Ateção! Visado correspoder à soma das amortizações, exatamete, ao motate tomado, foi efetuado um ajuste de R$ 0,02 o valor da amortização da ultima prestação. 4.7 O sistema de amortização crescete - SACRE O Sistema O SACRE, ou sistema de amortização crescete, é um sistema de fiaciameto criado pela Caixa Ecoômica Federal visado calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da casa própria. PM = (EM CES) + Seguro Uma característica do sistema é ter a prestação mesal calculada em fução do motate fiaciado e o seguro sobre o valor de avaliação do imóvel. O CES é um parâmetro referete ao Coeficiete de Equivalêcia Salarial, periodicamete atualizado pela CEF. Tato o CES como o seguro possui uma metodologia própria para sua defiição, porém fugido do escopo deste curso a sua aálise. O seguro, por sua vez, é dividido em seguro do imóvel e seguro pessoal, que abrage morte e ivalidez e são dois parâmetros a serem cosiderados o calculo da prestação. Pelas regras da CEF atualmete em vigor, o saldo devedor é atualizado aualmete pelo valor da TR, taxa referecial de juros utilizada o reajuste da poupaça. Nos dois primeiros aos do fiaciameto e pode a, partir do terceiro ao, ser feito trimestralmete, a critério da CEF. Fializado, para calcular o saldo devedor a cada período em que ocorre o reajuste da prestação, o sistema Egª Ecoomica~Aulas~ docx

76 utilizado é o de amortização costate. Porém, cosiderado a variação da TR, a amortização pode variar e mesmo dimiuir, quado o valor desta for baixo. imóvel; e MIP destiada a cobrir casos de morte ou de ivalidez do usuário. Seguro = DIF + MIP A metodologia. As prestações são determiadas adotado a seguite metodologia: 1º - Defie-se o Ecargo Mesal EM EM = juros + amortização EM = P 1 ( P i) + = P (i + ) Em que P correspode ao saldo devedor e o úmero de meses pactuados para amortizar o fiaciameto. 2º - Defie-se o parâmetro CES. O CES é fixado por circular da CEF. Para o exercício de 2006 foi estipulado em 1,12. 3º - Calcula-se o valor do seguro. O seguro, ou seja, a taxa do risco a icidir sobre o fiaciameto é composta pela soma de duas variáveis: uma destiada a cobrir daos físicos ao imóvel e a outra para cobrir o risco de morte ou de ivalidez do tomador. Assim sedo, estas taxas de seguro são deomiadas, respectivamete, de: DIF, visado cobrir daos físicos ao As taxas de seguro, por sua vez, são calculadas em fução do valor do imóvel, da taxa de risco e do CES. DIF = valor da avaliação taxa de risco CES MIP = valor da avaliação taxa de risco CES A defiição de cada taxa de risco deverá ser efetuada após cosulta à CEF. Ressalta-se que estas taxas variam segudo a categoria em que for classificado o imóvel. Para tato é leva do em cosideração o valor da avaliação do imóvel, a idade do tomador e o prazo de quitação. Como exemplo de taxas e cosiderado fiaciametos realizados após 1994, a Categoria de Risco 6 a taxa defiida para a DIF é 0,02402 % e para a MIP é de 0,14429%. 4º - Defie-se o valor da prestação mesal. Como já defiido, a expressão da Prestação Mesal é dada por: PM = (EM CES) + Seguro 5º - Calcula-se a amortização. P A = CES 6º - Atualização moetária do fiaciameto. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

77 É possível que teha sito pactuado que para o calculo de cada prestação o valor fiaciado deva ser atualizado moetariamete, fato a ser cosiderado quado da quitação das mesmas. 7º - Calcula-se o ovo saldo devedor Exemplo. SD +1 = SD Amortização do período Seja calcular a prestação mesal relativa ao fiaciameto de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil, dos quais R$ 300 mil serão fiaciados pela CEF. Os juros foram pactuados em 1,5% a.m. e o fiaciameto previsto para ser quitado em 60 meses. a) Calculo do ecargo mesal EM. EM = (0, /60) EM = 9.500,00 R$. b) Calculo dos seguros DIF = ,02402% 1,12 = 134,51 MIP = ,14429% 1,12 = 808, 02 Total do seguro = 942,53. c) Calculo do valor da prestação. PM = (EM CES)+ Seguro. PM = (9.500,00 1,12) + (134, ,02) PM = , ,53 = ,53 R$ Cometários O cálculo da prestação de um imóvel fiaciado é defiido pelo sistema de amortização escolhido o ato da compra. Das três opções oferecidas o mercado Sistema de Amortização Crescete (Sacre), Sistema Fracês de Amortização (Tabela Price) e Sistema de Amortização Costate (SAC), o Sacre tem se revelado o mais vatajoso para o mutuário. Embora comece com prestações mesais mais altas, se comparado à Tabela Price, o Sacre permite maior amortização imediata do valor emprestado, porque reduz simultaeamete a parcela de juros sobre o saldo devedor do fiaciameto. SD +1 = SD Amortização do período Pelo sistema, as prestações mesais matêm-se próximas da estabilidade. No decorrer do fiaciameto, seus valores tedem a decrescer. Muito utilizado pela Caixa Ecoômica Federal, o Sacre tem recálculo das prestações corrigido aualmete pelo baco, os dois primeiros aos do cotrato, podedo ocorrer trimestralmete a partir do terceiro ao. No fial de cada ao, a Caixa levata o saldo devedor e aplica a correção pela variação do ídice de reajuste dos depósitos a cadereta de poupaça da pessoa física (atualmete, a TR) acrescida as taxas de juros de 8%, 10,5% ou 12%, de acordo com a modalidade de fiaciameto obtida. Na Caixa, o prazo máximo de fiaciameto pelo Sacre é de 20 aos, só podedo ser comprometida 30% da reda familiar, o máximo. No fial do cotrato, pelo sistema, ão há os desagradáveis resíduos a serem pagos pelo comprador. O exercício deste item 4.6 costa do sitio da iteret Amortização pelo Sacre traz vatages ao mutuário. Em Egª Ecoomica~Aulas~ docx

78 4.8 Correção do saldo devedor Procedimetos. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Com o objetivo de repor o valor aquisitivo da moeda corroída pelo efeito da iflação, efetua-se a correção do saldo devedor existete, segudo a periodicidade pactuada. Essa correção é efetuada segudo algum ídice de previamete escolhido e atededo a procedimetos legalmete aceitos. O saldo devedor corrigido pela variação aual do INPC. Adotado como omeclatura: SD represetado o saldo devedor um período qualquer ; SC -1 exprimido o saldo devedor o período aterior ja corrigido segudo o ídice pactuado; a, sedo o valor da amortização;, o úmero de períodos a amortizar, J correspodete ao motate dos juros devidos o período ; e I o ídice pactuado relativo ao período, qualquer. Os procedimetos ecessários à determiação das prestações são os seguites: No Brasil, dada a jurisprudêcia vigete, a correção do saldo devedor é efetuada depois de quitada a prestação do período e efetuada a amortização do saldo devedor. Cosequetemete, o saldo devedor a reder juros o período seguite, SD, é defiido atualizado moetariamete o saldo devedor do período aterior, SC -1, apos ser abatido o valor de amortização do saldo devido esse período aterior Metodologia. SD = (SC -1 amortização -1 ) (1+Φ) Seja defiir o valor da prestação, dos juros e da amortização referetes a cada período de um empréstimo a ser quitado em cico prestações auais. Foram pactuadas as seguites codições: A taxa de juros estabelecida em 10% ao ao; O sistema de pagametos ocorrerá por amortização costate, SAC; 1º) Calcula-se o valor da amortização para o primeiro período: SC 1 a = per.amortizar 2º) Calcula-se o motate dos juros do primeiro período relativo ao capital tomado: J = i SC -1 3º) Defie-se o valor da prestação: P = a + J 4º) Calcula-se o ovo saldo devedor: SD = SC -1 - a 5º) Atualiza-se o ídice de correção e defie-se o fator de correção do saldo devedor. 6º) Corrige-se o saldo devedor: SC = SD I I 1 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

79 7º) Repete-se o procedimeto até ser obtida a ultima prestação. Os juros e a amortizações de qualquer período subseqüete são calculados tedo por base o saldo devedor corrigido Aplicação ao Sistema SAC. Como aplicação, seja calcular as prestações de um fiaciameto de um equipameto o valor de R$ 250 mil, a ser quitado em cico aos, com juros pactuados a 10% ao período, sob o sistema da amortização costate. O saldo devedor deverá ser corrigido segudo a variação aual do INPC ocorrida o período. INPC Período Exercício Ídice Fator de Correção , ,0573 1, ,3605 1, ,6056 1, ,7654 1, ,9050 1, Calculo do Saldo Corrigido Saldo Períodos Fator de Saldo Amortização Devedor a amortizar Correção Corrigido , , ,00 1, , , ,25 1, , , ,96 1, , , , , , ,87 1, Determiação das Prestações Per Saldo Saldo Amorti- Juros Amortizado Corrigido zação 10% Prestação , , , , , , , , , , , , , , , Por facilidade de etedimeto dos procedimetos efetuados a determiação das prestações expostos da tabela acima demostra-se, a seguir, os cálculos das três primeiras prestações. Solicita-se que o iteressado realize os cálculos das prestações faltates. 1ª Prestação: Na primeira prestação, tato os juros como a amortização são calculados sobre o capital iicial tomado, ou seja, R$ 250 mil. Não icide correção sobre este valor. Valor da 1ª prestação: P 1 = a 1 + J 1 P 1 = = ,00 R$ Amortização: SC , a1 = = = , 00R$ per.amortizar 5 Motate dos Juros: J 1 = ,00 0,10 = ,00R$. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

80 Saldo Devedor: SD 1 = SD 0 a 1 SD 1 = , ,00 = ,00 R$ Valor da 3ª prestação: P 3 = a 3 + J 3 P 3 = , ,79 = ,75 R$ Saldo Corrigido: I1 2, 0573 SC1 = SD1 = = , 00R$ I 18798, 2ª Prestação: 0 Valor da 2ª prestação: P 2 = a 2 + J 2 P 2 = , ,50 = ,75 R$ Amortização: SC ,00 a2 = = = , 25R$ per.amortizar 4 Motate dos Juros: J 2 = SD 1 i J 2 = ,00 0,10 = ,50R$. Saldo Devedor: SD 2 = SD 1 a 2 SD 2 = , ,25 = ,75 R$ Saldo Corrigido: I2 SC 2 = SD1 I1 SD 2 = ,75 1, = ,88 R$ 3ª Prestação. Amortização: SD ,88 a3 = = = , 96R$ per.amortizar 3 Motate dos Juros: J 3 = SD 2 i J 3 = ,88 0,10 = ,79 R$. Saldo Devedor: SD 3 = SD 2 a 3 SD 3 = , ,96 = ,92 R$ Saldo Corrigido: I3 SC 3 = SD2 I2 SD 3 = ,92 1, = ,55R$ 4.9 Exercícios. a) Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado em sete aos, com pagametos auais, a juros de 9% a.a. e carêcia de dois aos. Durate o prazo de carêcia, também ão ocorrerá o recolhimeto dos juros devidos. Calcular as prestações e os juros a serem pagos pelo credor cosiderado: O sistema de amortização costate; O sistema de prestações costates. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

81 b) Comparar o motate dos juros pagos, bem como o motate do valor das prestações, face os sistemas especificados para o calculo de cada fiaciameto cosiderado o exercício a. c) Uma costrutora cotraiu juto ao BNH um empréstimo de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações auais e cosecutivas. Qual será a composição da prestação aual, juros e pricipal, o Sistema Fracês quado os juros pactuados são de 8% ao ao? (Estabeleça a data da operação fiaceira). d) Partido dos dados especificados o exercício b, pede-se calcular as prestações devidas. O saldo devedor deverá ser atualizado aualmete, segudo a taxa aual de iflação abaixo. Período 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º Iflação 3,00 4,50 6,80 8,50 10,1 12,2 15,7 % e) Sua empresa deseja substituir um equipameto cujo valor de mercado é de R$ 125 mil, o prazo de 18 meses. Para tato, estuda duas hipóteses: 1ª Efetuar a aquisição utilizado recursos próprios, através de uma poupaça programada com juros pactuados de 1.25% ao mês. 2ª Utilizado fiaciameto de um baco de ivestimetos, que pratica o sistema Price a taxa de 22,0 % ao ao, fiaciáveis em dez aos, sem carêcia. Para ambos os casos defiir: o valor da prestação mesal e os juros. Sabe-se que a TMA da empresa é de 14% ao ao. e) Cosiderado a aplicação efetuada o item 4.7.2, recalcular as prestações adotado o sistema de prestação costate. f) Verifique se o calculo da prestação esta correto. O caso em questão refere-se a um cotrato de compra e veda de bem imóvel e mútuo com alieação fiduciária em garatia. Codições do cotrato: - Valor do bem fiaciado: R$ ,00; - Valor pago com recursos próprios: R$ ,00; - Valor fiaciado pela CEF: R$ ,00; - Valor da garatia fiduciária: R$ ,00; - Sistema de Amortização: SACRE. -Prazo Amortização: 240 Meses - Taxa Aual Nomial de Juros (%): 12,0000% - Taxa Aual Efetiva de Juros (%): 12,6825% - Ecargo Iicial prestação (a + j) = R$ 566,66 - Seguros = R$ 39,36 - Total a pagar = 39, ,66 = R$ 606,02 - Vecimeto: 09/07/ Atualização dos Ecargos: os dois primeiros aos as prestações de amortizações + juros + prêmios de seguros, serão recalculados a cada 12 meses, levado em cota a data iicial do cotrato (08/08/2001 a 08/08/2002 e 08/08/2003). A partir do 3º ao, tais valores poderão ser recalculados trimestralmete, o dia correspodete ao da assiatura desde cotrato, caso veha ocorrer o desequilíbrio ecoômico-fiaceiro deste cotrato. g) Efetuar a aplicação do item 4.7.2, cosiderado o caso de prestação costate. h) Uma empresa em fase de expasão obtém um fiaciameto o motate de R$ 4,8 milhões a ser liberado em três parcelas quadrimestrais, segudo o pactuado os ites I e II. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

82 Solicita-se: ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA As plailhas que demostrem o valor de cada prestação, os juros icorridos e a amortização a ser efetuada; O custo efetivo, mesal, do empréstimo; Efetue o diagrama de fluxo de caixa do fiaciameto. Tabela - I Critério de liberação das parcelas Valor em R$ 1ª parcela - assiatura ,00 2ª parcela - 1º quadrimestre ,00 3ª parcela - 2º quadrimestre ,00 Tabela - II Codições pactuadas Ecargos Taxa omial de juros 9% ao ao Período de capitalização Quadrimestral Comissão de abertura de crédito 0,5% o ato de liberação juto com sobre o valor total do fiaciameto. Imposto sobre operações fiaceiras IOF. Carêcia Juros durate a carêcia Prazo do fiaciameto Sistema de amortização Período de amortização a 1ª parcela. 1% sobre o total geral. Valor tomado, valor dos juros e da comissão de abertura de crédito. Quatro (4) quadrimestres. Serão pagos 5 aos SAC Quadrimestral h) Uma empresa visado implatar um ovo projeto de produção obteve um fiaciameto o motate de R$ 750 mil. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa associado ao empreedimeto, bem como o valor das prestações, da amortização e dos juros icorridos. Cláusulas pactuadas item Taxa omial de juros Período de capitalização Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do fiaciameto. Taxa de admiistração Codições Cotratuais 9 % ao ao Semestral. 0,5% do valor do cotrato cobrado o ato de adjudicação do cotrato de fiaciameto. 0,25% do saldo devedor, paga juto com a prestação. 1% sobre o total geral. Valor tomado, valor dos juros e da comissão de abertura de crédito. Imposto sobre operações fiaceiras IOF. Valor fiaciado juto com as prestações Carêcia Dois semestres. Juros durate a carêcia Serão pagos Prazo do fiaciameto 5 aos Sistema de amortização Prestação costate Período de amortização Semestral Saldo devedor O saldo devedor é reajustado semestralmete pela variação do INPC. g) Seja defiir o valor da prestação, dos juros e da amortização referetes a cada período de um empréstimo o motate de R$ 300 mil, a ser quitado em cico prestações auais. Foram pactuadas as seguites codições: A taxa de juros estabelecida em 10% ao ao; O sistema de pagametos ocorrerá por prestação costate; O saldo devedor corrigido pela variação aual do INPC. h) Calcular o valor das prestações dos fiaciametos abaixo qualificados. I Sistema de Amortização Costate SAC Fiaciameto sem carêcia com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete aos. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

83 SAC sem carêcia Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros 10% Prestação , Total 2. - Fiaciameto com carêcia de três aos e Juros NÃO quitados durate a carêcia. Operação de sete aos. SAC com carêcia Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros 10% Prestação , Total Egª Ecoomica~Aulas~ docx

84 3. Fiaciameto com três aos de carêcia. Juros de 10% ao ao ão quitados durate a carêcia. Prestação corrigida pela variação aual do INPC. Operação pactuada em jaeiro de Prestações auais. Per. Saldo Amortizado AS Ídice de Iflação SAC com correção moetária e carêcia Ídice de Saldo Corrigido Correção SC = AS x IC IC = Í N I 0 AMORTIZAÇÃO Juros - 10% aa 1/ , /01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total Metodologia: 1º Passo: 2º Passo: Prestação P = A + J 1º - Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo fiaciado; 2º - Defiir o valor dos juros; 3º - Calcular a prestação: P = A + J. 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Defiir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção moetária sobre o saldo amortizado; 1º - Para o 2º período calcular o valor da amortização sobre o saldo corrigido do 1º período.... Repetir o processo aterior. Obs: a amortização do período subsequete é sempre calculada sobre o saldo corrigido. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

85 II Método da Prestação Costate Fracês. 1 - Fiaciameto sem carêcia com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete aos. Sistema Fracês sem carêcia Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros 10% Amortização , Total 2. - Fiaciameto com carêcia de três aos. Juros NÃO quitados durate a carêcia. Operação de sete aos. Sistema Fracês com carêcia Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros 10% Amortização , Total Egª Ecoomica~Aulas~ docx

86 3. Fiaciameto de R$ ,00 com três aos de carêcia, com base em prestações auais. Juros de 10% ao ao, pactuados para ão serem quitados durate o prazo de carêcia. As prestações deverão ser corrigidas pela variação aual do INPC. Operação pactuada em jaeiro de Per. Saldo Amortizado SA Ídice de Iflação Prestação costate com atualização moetária Ídice de Saldo PRESTAÇÃO Correção Corrigido P IC = I N I 0 SC = AS x IC Juros - 10% AA J Amortização A = P - J 1/ , /01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total Metodologia: 1º Passo: 2º Passo: 1º - Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo fiaciado; 2º - Defiir o valor dos juros; 3º - Calcular a amortização: A = P - J 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Defiir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção moetária sobre o saldo amortizado; 1º - Para o 2º período calcular o valor da prestação sobre o saldo corrigido do 1º período.... Repetir o processo aterior. Obs: a prestação do período subseqüete é sempre calculada sobre o saldo corrigido do período aterior. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

87 5. Egeharia Ecoômica. 5. Qual a taxa de retabilidade de uma aplicação fiaceira. 5.1 Coceituação. Por defiição, a egeharia ecoômica correspode à área do cohecimeto cujo objeto é a decisão sobre alterativas fiaceiras de ivestimetos. Como premissa para a tomada de decisão é que este processo só ocorrerá havedo a existêcia de alterativas de ivestimetos possíveis de serem comparadas. Não havedo alterativas ão haverá decisão a tomar. As técicas da Egeharia Ecoômica baseiam-se a ciêcia deomiada Matemática Fiaceira que, com já visto, descreve as relações da equivalêcia de capital sob a ótica do biômio TEMPO E DINHEIRO. Para que qualquer alterativa seja cosiderada um processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, deste modo, respoder aos seguites questioametos: 1. Qual o icremeto de riqueza que uma alterativa propiciará sedo implemetada; 2. Qual o tempo de retoro do capital iicialmete aplicado; 3. Qual a máxima taxa de descoto possível de ser adotada e o projeto permaecer viável; 4. Qual a taxa de retabilidade adotada em proposta de ivestimeto. Cabe ao aalista de ivestimetos propor, desevolver e hierarquizar o cojuto de alterativas de ivestimetos dispoíveis. Porém, deve ter em mete que a decisão de eleger qualquer delas é prerrogativa do empresário, ou do decisor, a quem caberá a palavra fial sobre aquela a ser eleita e a melhor oportuidade em deflagrar esse processo. A T E N Ç Ã O Dada a assertiva acima, toda a metodologia de aálise de ivestimetos se apoia o sistema de juros compostos quado trata do estabelecimeto de padrões de comparação de capital ou a decisão quato à escolha da melhor das alterativas propostas de projetos de ivestimetos. 5.2 Aálise de Viabilidade Coceito de Viabilidade. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

88 Estudar a viabilidade de um projeto sigifica quatificar suas premissas, costruir a projeção dos fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumeto de riqueza Premissas. O capital de giro é represetado pelos recursos ecessários à operação quotidiaa do projeto. Ele compreede:os ivestimetos em: ecessidades míimas de caixa; salários e ecargos sociais ecessários para os primeiros períodos de operação do projeto; estoques de matérias primas, de produtos em elaboração e de produtos acabados; custos admiistrativos; fiaciameto de vedas; etc. As premissas que permitem aalisar a viabilidade de um projeto, geralmete, são as seguites: 1) O orçameto de ivestimeto; 2) As projeções operacioais; 3) O horizote do prazo do ivestimeto ou tempo de vida do projeto; 4) O custo de capital, ai cosiderado o capital próprio e o de terceiros; 5) As fotes de recursos dispoíveis Orçameto de Ivestimeto O orçameto de ivestimetos cosidera dois tipos de capitais: o ivestimeto em capital fixo ou Imobilizado e o ivestimeto em capital de giro. O ivestimeto em capital fixo ou imobilizado egloba todo aquele ivestimeto que ão etrará o giro dos egócios tais como: terreos, obras civis, equipametos, despesas de egeharia, motages, admiistração do projeto, despesas fiaceiras durate a costrução, etc. Cotabilmete, esse capital é apropriado o item Ativo Não Circulate do balaço patrimoial. Cotabilmete, esse tipo de capital é apropriado em cotas do ativo circulate. Exige cuidado a defiição do aporte de capital de ivestimetos, pois ocorre um comportameto distito o fluxo os dois tipos de ivestimeto durate a vida do empreedimeto. No caso do capital de giro, recomeda-se avaliar a oscilação do mesmo para cada ível de produção, pois ocorrerá uma exigêcia distita o ível de demada de capital de giro a cada ível de produção cosiderado Projeções Operacioais As projeções operacioais de um projeto de ivestimeto são costituídas pelas estimativas de: Demada do Produto; Preço de Veda do Produto; Custos de Produção a cada ível de demada. A demada do produto correspode à previsão da quatidade do mesmo a ser vedida a cada período de tempo. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

89 Normalmete, esta quatidade varia com o tempo. Ela, comumete, é crescete até alcaçar a quatidade máxima de produção istalada e, decrescete quado o produto fica tecologicamete ultrapassado ou prescidível pelos cosumidores. O preço de vedas pode ser estimado de dois modos: i) acompahado o preço praticado pelas empresas líderes de mercado; ii) ou, impodo o próprio preço ao mercado. Fializado, é importate aalisar o custo de produção a ser icorrido a cada ível de demada. Cosiderado que, em especial, os custos variáveis oscilam com a quatidade produzida, há de se observar e aalisar qual a quatidade ótima de produção que permite realizar o lucro máximo. E, para tato, observar quais as quatidades de produção que permitem ecoomia de escala e a quatidade ou poto ótimo de produção a partir do qual se etra um processo de desecoomia de escala Horizote do Ivestimeto. Embora as ações possam ser vedidas a qualquer mometo, o ideal é que o ivestidor participe este mercado com uma estratégia de gahar diheiro o logo prazo. Não covém aplicar hoje em ações o diheiro que será usado para pagar a prestação da casa própria amahã, por exemplo. Esta é uma recomedação atural para ivestimetos de maior risco. Também ão se deve comprar um imóvel sabedo que será ecessário vedê-lo em seis meses. É melhor esperar um mometo adequado, que pode ser de seis meses, mas também pode ão ser. É iteressate otar que, ao termio da vida do projeto, havedo Ivestimeto Fixo e/ou Capital de Giro residual, eles devem ser icorporados ao fluxo de caixa, como uma etrada de caixa, ao fial do mesmo O Custo de Capital O custo de Capital é, matematicamete, defiido como a taxa ï a ser adotada os estudos fiaceiros da empresa, para o descoto de seus projetos. Por defiição, horizote de ivestimeto, tempo de vida ou de operação de um projeto correspode ao espaço de tempo que se pretede operar um empreedimeto ou o tempo que o leva à obsolescêcia. Teoricamete, o horizote de ivestimeto de qualquer ativo fiaceiro ou de um ativo real depede do tempo estabelecido para obter um melhor retoro. Assim, quado se compra ações, regra geral, os aalistas recomedam ter um horizote de logo prazo. Esta taxa, deomiada de taxa de retabilidade, é taxa de remueração desejada pelos proprietários pela remueração do capital próprio aplicado. Pode receber, também, as deomiações de: taxa de míima atratividade, taxa de oportuidade, custo de oportuidade, taxa de descoto da empresa. Coceitualmete, a taxa de juros difere da Taxa de Oportuidade, mesmo que, matematicamete, o tratameto a ser dado a estes dois tipo de taxas possa ser idêtico. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

90 Isto porque, por defiição, a taxa de juros correspode à remueração do capital paga pela utilização de um capital de terceiros. A aálise da viabilidade fiaceira de ivestimetos é realizada realizado o estudo do fluxo de caixa projetado e associado a cada uma das alterativas desevolvidas. A Taxa de Oportuidade, por sua vez, é a taxa estabelecida para a remueração da aplicação de capital próprio. Ela correspode à meor taxa de remueração desejada por uma empresa, ou um capitalista, para a remueração de seus recursos, ao serem cosideradas alterativas que apresetem a mesma taxa de risco Fotes de Recursos. Cosideram-se fotes de recursos os forecedores dos capitais ecessários à implatação de um projeto e, basicamete, são: Capital Próprio; Capital de Terceiros. O custo do capital próprio correspode à remueração desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acioista pela utilização do capital empregado em qualquer projeto capital empregado. O custo de capital de terceiros correspode à remueração do aporte de capitais proveietes de empréstimos de curto prazo ou de fiaciametos de logo prazo. 5.3 O Fluxo de Caixa Coceituação. Coceitua-se fluxo de caixa, como uma série de pagametos e recebimetos de diheiro, distribuídos o tempo. O processo de aálise fiaceira e a elaboração do fluxo de caixa projetado podem ser realizados dispoíveis as seguites iformações: Avaliação da variação da demada do produto durate o horizote de projeto; Preço de Veda do Produto; Custos de Produção a cada ível de demada; Alíquotas dos tributos icidetes sobre o lucro e o faturameto; Utilização do capital próprio ou de terceiros; Valor residual dos ativos imobilizados a serem alieados; Taxa de míima atratividade ou de retoro do capital; Horizote do projeto Diagrama de Fluxo de Caixa DFC. O diagrama de fluxo de caixa é um istrumeto que permite visualizar clara e cocisamete uma série de fluxos de caixa. Graficamete ele é represetado em um gráfico cartesiao ode, em abscissas, fica determiada a liha dos tempos e, em ordeadas, o valor moetário de cada fluxo de caixa sigular. Ver Fig. 5.1 Diagrama de Fluxo de Caixa. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

91 Neste diagrama, receitas ou etradas de diheiro são represetadas por setas voltadas para cima, sial (+). Pagametos ou saídas de diheiro represetadas por setas voltadas para baixo, sial (-). O diagrama de fluxo de caixa, etão, expressa graficamete o resultado ou saldo das movimetações de caixa havidas em determiado período. A correta motagem dos diagramas de fluxo de caixa DCF exigem o cumprimeto das seguites premissas: i - O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica das etradas e saídas de caixa que ocorrem durate o mesmo. ii - Laçar como ivestimeto, apeas os capitais demadados pelo projeto; iii - A priori, ão há a cosideração de risco ou icerteza. iv - O motate de capital próprio empregado o projeto e o pagameto de dividedos; v - A etrada de capital de dívidas, juros e amortizações, ão viculados ao projeto; vi - O reivestimeto de fudos gerados pelos projetos. vii - Decisões fiaceiras realizadas ates do iício aterior do projeto em aálise. A represetação gráfica dos fluxos de caixa deve ateder às seguites coveções: Recomeda-se, especialmete ao iiciate o assuto, elaborar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em aálise visado facilitar o acompahameto e etedimeto do comportameto do fluxo associado a cada alterativa em aálise e realizar um adequado tratameto matemático ao processo de calculo. Seta voltada para cima represetado um fluxo de caixa superavitário ou positivo; Seta voltada para baixo represetado um fluxo de caixa egativo ou deficitário; Todo fluxo de caixa é laçado o diagrama o mometo fial do período em que teha ocorrido Calculo do Fluxo de Caixa Modelo do Fluxo de Caixa Premissas e Coveções. Cosiderado que um fluxo de caixa, F k, registra o somatório líquido do somatório das saídas e etradas de caixa havidos um período, k, geérico. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

92 Tedo por omeclatura: Alerta-se ao leitor que o coceito de fluxo de caixa trascede ao coceito de lucro. a) Receitas, Rec, que correspodem ao faturameto ou gahos a serem auferidos pelo projeto, motivo da razão social da empresa; b) Despesas, correspodedo ao somatório dos custos diretos, dos custos idiretos e dos tributos icidetes diretamete sobre o faturameto; c) Ivestimetos, correspodedo ao somatório das iversões realizadas em ativo imobilizado, sejam eles imóveis, equipametos ou veículos e em capital de giro; d) Deduções são os icetivos fiscais que podem ser cosiderados como despesas e que permitem reduzir o lucro ates da provisão para o imposto de reda e da cotribuição social sobre o lucro líquido. Especialmete o motate da depreciação dos ativos imobilizados ocorrida o período; e) Valor residual, VR, que expressa o motate do valor das desmobilizações ocorridas o fial do projeto devido à veda dos bes imobilizados e, também, ao retoro do capital de giro iicialmete ivestido. O valor do fluxo de caixa em dado período k é dado pelo modelo: O lucro represeta o resultado da dedução das despesas idiretas, custos de produção ou tributos pagos, o período, do valor das receitas havidas. Lucro = Σ Receitas Σ Despesas, Portato, pode ocorrer a existêcia de lucro em um determiado período e o fluxo de caixa ser egativo. Basta, para isto ocorrer, a realização de um grau de ivestimeto superior ao somatório do lucro, das deduções e do valor residual havidos o período. A costatação da assertiva acima pode ser efetuada pela aálise da expressão abaixo, ao se substituir a expressão geral do fluxo de caixa os somatórios das receitas e despesas pela expressão do lucro. Etão: F k = Lucro Iv + Ded + VR Do acima exposto e, especialmete, da aálise da expressão do fluxo de caixa, F k, pode-se deduzir: i) as deduções que reduzem o imposto a pagar e o valor residual, melhoram a dispoibilidade de caixa; ii) Pode ocorrer fluxo de caixa egativo, mesmo tedo sido apurado lucro o exercício, depededo do volume moetário aplicado em ivestimetos. F k = Σ Rec(k) - Σ Desp(k) Iv(k) + Ded(k) + VR(k) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

93 5.4 Valor Presete. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA pelo modelo abaixo, em que VP e VF correspodem, respectivamete, a uma úica saída ou etrada de caixa Valor de um Ativo. Defie-se, fiaceiramete, como sedo o VALOR de um ativo ao valor presete líquido do somatório dos fluxos de caixa descotados que ele for capaz de gerar, cosiderado o valor da moeda o tempo. Decorre dessa defiição que o VALOR PRESENTE LÍQUIDO de um ativo, ou de qualquer projeto de ivestimeto, é equivalete à quatidade de riqueza que ele poderá gerar, expressa em valores moetários e medida a data de sua aálise. VP 1 VF ( 1 + i) E,, represeta o úmero de períodos em que ocorrerá a etrada de caixa e i, a taxa de descoto ou TMA, pactuada. $ VF O Valor Presete Líquido, etão, é a metodologia proposta para medir o acréscimo, ou icremeto, de riqueza propiciada pela implatação de um projeto de ivestimeto. período VP(p) = RIQUEZA VP Fig.5.2 Valor Presete Fluxo Úico A metodologia leva esta deomiação de valor presete líquido, pois cosidera todas as etradas e saídas de caixa associadas ao projeto, fato que permite medir o icremeto de riqueza por ele propiciado e expresso em valor moetário Calculo do Valor Presete Líquido Valor Presete de Fluxo de Caixa Úico. Como já visto o item Valor Presete e Valor Futuro, o valor presete VP de um úico fluxo de caixa, VF, é dado Valor Presete de Múltiplos Fluxos de Caixa. No caso de se dispor de múltiplos fluxos de caixa, coforme Fig.5.1, o valor presete líquido associado a um projeto p correspode ao somatório dos fluxos de caixa idividuais. De modo sitético, pode ser expresso pela seguite expressão matemática caôica, em que, F 0, correspode ao Egª Ecoomica~Aulas~ docx

94 fluxo de caixa iicial o mometo zero e F k o fluxo de caixa previsto para ocorrer o período k: VP (p ) = Fo + F k k = 1 (1 + Ou, de forma extesiva, pelo poliômio: i) k O exemplo exposto a Fig.5.3, mostra o diagrama de um fluxo de caixa descotado a taxas de descoto que variam etre 4 a 20% e ode é evideciado o Valor Presete viculado à taxa de descoto de 4% ao período. Como será visto o Capítulo-6, dispoíveis os diagramas de valor presete das alterativas viculadas a um projeto, tora-se mais fácil e defiir adequadamete qual delas propicia o maior icremeto de riqueza. VP (p ) = Fo + F1 F 2 F L ( 1 + i) ( 1 + i) ( 1 + i) + F ( 1 + i) Alerta-se, ao ser aalisado qualquer projeto de ivestimeto ou um cojuto de alterativas de ivestimetos, para se e elaborar tato o diagrama de fluxo de caixa como o de valor presete de cada alterativa de projeto, o ituito de visualizar o comportameto de cada fluxo de caixa sigular. Tal procedimeto evita surpresas o processo de tomada de decisão, coforme será visto em capítulo posterior Diagrama de Valor Presete. Um importate istrumeto utilizado para a aálise do comportameto de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de Valor Presete. Este diagrama exprime, o eixo das abscissas as taxas de descoto ou TMA e, em ordeadas, o valor presete do fluxo de caixa descotado à taxa de i% ao período. É iteressate ressaltar que a curva represetativa da fução valor presete líquido, expressa a Fig.5.3, se comporta de modo decrescete, cotíua e covexa, quado referida a projetos de ivestimeto covecioais. Ivestimetos defiidos e classificados o item 5.6 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

95 Ao serem aalisadas alterativas de projetos de ivestimetos ão covecioais, ada se pode afirma a priori quato ao comportameto da curva. Ver Fig.5.4. Sob a ótica matemática, isto quer dizer que o poliômio represetativo da fução valor presete líquido pode apresetar diversas raízes reais. Isto porque, é possível ocorrer valores presetes egativos etre valores presetes positivos, fato que pode iduzir o aalista a erro ao elaborar suas recomedações. Nestes casos, recomeda-se elaborar graficamete o diagrama de valor presete visado amparar a aálise de decisão, e defiir corretamete as taxas de descoto que propiciem valores presetes positivos e as que propiciam valores egativos Exemplo de Aplicação. Seja, como exemplo de obteção de um diagrama de valor presete, um projeto represetado pelo seu fluxo de caixa: VP = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) 7 No diagrama da Fig.5.4, é possível verificar a existêcia de valores presetes positivos, ocorredo etre as taxas de zero a 6%. Etre as taxas de 6% a 12% ocorrem valores presetes egativos. Etre 12% a aproximadamete 19% ocorrem, ovamete, valores presetes positivos. A partir de 19%, os valores presetes são egativos. Pelo acima exposto, costata-se que o projeto expresso por um diagrama coforme o da Fig.5.4 é viável etre taxas de zero a 6% e de 12 a 19%. Sedo iviável para TMA s etre 6 e 12% e, acima de 19%. Resolvedo o poliômio acima para cada uma das seguites taxas de descoto: 0,0 %; 3%; 6%; 9% e 12%; obtém-se o valor presete líquido associado a cada uma das taxas, coforme disposto a tabela abaixo. Solicita-se preecher os dados faltates a tabela da Fig.5.5, o que permite defiir o valor presete do projeto para cada TMA especificada. Com os dados obtidos, segudo expresso a ultima liha da tabela da Fig.5.5: 1.120,00; 754,36; 449,67; 194,25; - 21,08; pode-se traçar o diagrama de valor presete líquido do fluxo de caixa, coforme diagrama expresso a Fig.5.6. Aalisado o diagrama do valor presete, é possível costatar que o projeto em questão passa a ser viável para Egª Ecoomica~Aulas~ docx

96 ivestidores que praticam taxas de descoto, ou seja, TMA s iferiores a 11,6%. Valores Presetes em R$ Per. i = 0% i = 3% i =6% i =9% 12% , , , , , , , , ,00 754,36 449,67 194,25-21,08 Fig.5.5 Tabela de Valores Presetes dos Fluxos de Caixa Para ivestidores que praticam Taxa de Míima Atratividade superior a 11,6%, o projeto tora-se iviável, já que o valor presete passa a apresetar valores egativos , ,00 800,00 600,00 400,00 200,00 0,00-200,00-400, ,00 754,36 449,67 194, Taxa de Descoto - i% -21, A TMA Taxa de Míima Atratividade Coceito de TMA. Por defiição, a Taxa de Míima Atratividade, TMA, correspode à meor retabilidade desejada para a remueração de um projeto. Ela é a taxa prevista para a remueração das alterativas de ivestimeto em aálise. Pelo exposto, ela é adotada como taxa de descoto, i, ao se calcular o Valor Presete Líquido - VP(p) associado às diversas alterativas do projeto. Ver Figura 5.7, ode é mostrada uma determiada TMA e o valor presete a ela correspodete. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

97 = 0+ ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VP (p ) = Fo + F k k = 1( Como já cometado, havedo diversas alterativas de ivestimetos propostas para a aplicação de um mesmo capital, deverá ser adotada a mesma TMA i para o calculo do valor presete líquido de cada uma delas. Isto porque, ão há setido fiaceiro comparar valores presetes associados à alterativas de ivestimetos descotados à taxas distitas ou, outras palavras, remuerados segudo parâmetros diferetes. i) k riqueza quer propiciam. Basicamete, a alterativa que apresetar o maior icremete de riqueza será cosiderada como a mais iteressate. A taxa Itera de Retoro TIR, correspode à taxa que zera fução valor presete líquido. Ou seja, é a raiz do poliômio represetado pelo respectivo fluxo de caixa Defiição da TMA. A TMA pode ser defiida sob a ótica do ivestidor ou da empresa. a) Se ivestidor: Neste caso, o ivestidor sigular determia, a seu talate, a taxa de remueração desejada para o capital dispoível a ser ivestido. b) Se empresa: No caso das empresas, a TMA correspode à remueração desejada pelos acioistas, sedo expressa pelo custo médio poderado do capital da empresa. (GITMAN, 2001). O custo médio poderado de capital expressa o custo de todos os capitais mobilizados para fiaciar a empresa, a saber: capital próprio, capital de terceiros e fiaciametos de curto e logo prazos. Obtidos os valores presetes de cada alterativa, as mesmas podem ser hierarquizadas segudo o aumeto de Matematicamete e partido dos balaços da empresa pode-se, também, defiir a TMA como: L T i P u M = L c A + F L P Egª Ecoomica~Aulas~ docx

98 Em que: o lucro é defiido pelo valor registrado o DRE; o PL, Patrimôio Líquido, correspode ao total do patrimôio líquido registrado o Passivo; e, o FLP, represeta o valor total dos fiaciametos de logo prazo registrados em cotas do exigível de logo prazo. Cosiderado o balaço de uma empresa expresso as Tabelas 5.1 e 5.3, o valor da TMA i, é dado por: = , , ,34 =0, ,36% Pelo exposto, o custo de capital ou taxa de descoto da empresa é de 12,36 %. 5.6 A TIR Taxa Itera de Retoro A Taxa Itera de Retoro TIR pode ser defiida sob duas óticas: a. Matematicamete, correspode àquela taxa que zera a fução Valor Presete Líquido. Logo, é a raiz da fução Valor Presete Líquido. b. Fiaceiramete, ela ídica a maior retabilidade que um projeto pode oferecer. 3 - DRE R$ 3.1 Receita Operacioal Bruta , Deduções à Receita (Tributos + Descotos) (-) , Tributos , Descotos 7.388, Receita Operacioal Líquida = , Custo de Produtos Vedidos (-) , Produto A , Produto B , Serviços Técicos , Lucro Operacioal Bruto = , Despesas Operacioais. (-) , Despesas com Vedas 1.237, Despesas Gerais e Admiistrativas , Lucro Operacioal Líquido - EBITDA , Depreciação Amortizações Resultado Fiaceiro Juros Recebidos (+) Juros Pagos (-) (-) 5.500,00 (-) 4.166,51 (-) 2.728, , , Lucro Operacioal = , Resultado Não Operacioal Receitas Não Operacioal Despesas Não Operacioal , ,01 (-) 2.000, Lucro Ates do Imposto de Reda - LAIR = , Provisão p/ o Imposto de Reda 15%+10% (-) , Cotribuição Social s/ o Lucro Líquido 9% (-) , Lucro Líquido do Exercício = ,60 Tab.5.1 Modelo de Demostrativo de Resultados do Exercício ( 2 ) EBITDA = Earigs before iterest, tax, depreciatio, ad amortizatio. Esta é a expressão utilizada em lígua iglesa para o lucro operacioal líquido. Ou seja, o lucro ates da icidêcia de juros, taxas, depreciação e amortização. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

99 1 - Ativo R$ Circulate Caixa e Bacos Recebíveis de Clietes Aplicações Fiaceiras , Prov. Devedores Duvidosos (-) 4.430, Impostos a Compesar 1.037, Estoques Produtos Acabados , Estoques de Produtos em Elaboração , Estoques de Matérias Primas , Adiatametos a Forecedores 9.663, Cotratos de obras , Não Circulate , Realizável em Logo Prazo , Créditos em Coligadas , Fiaciametos a clietes , Cotratos futuros , Ivestimetos , Empresa A , Empresa B , Imobilizado , Imóveis , Equipametos , Veículos ,00 (-) Depreciações , Itagível , Diferido , Patetes , Total do Ativo ,00 Tab.5.2 Modelo de Balaço Patrimoial Cotas de Ativo 2 - Passivo R$ Circulate , Bacos , Forecedores , Obrigações Fiscais a Recolher , Ecargos Sociais , Ecargos Trabalhistas , Outras Obrigações , Provisões 4.783, Exigível de Logo Prazo , Fiaciametos a Pagar , Débitos em Coligadas , Cotratos p/ Etrega Futura , Patrimôio Líquido , Capital Social Reservas de Capital , Reservas de Lucro , Lucros Acumulados o exercício , Total do Passivo ,00 Tab.5.3 Modelo de Balaço Patrimoial Cotas de Passivo Egª Ecoomica~Aulas~ docx

100 5.7 - Previsão de Fluxo de Caixa Modelo de Procedimeto. A defiição do fluxo de caixa a ocorrer em cada período vidouro é um processo de previsão dos recebimetos e pagametos futuros, ivestimetos a serem realizados, tributos a serem pagos, deduções fiscais e depreciação dos ativos; e do valor residual dispoível ao fial do projeto. Um modelo de procedimeto recomedável para a elaboração dos fluxos de caixa projetados é seguir modelo cotábil do DRE Demostrativo de Resultado do Exercício. O exemplo da Fig.5.8, mostra a composição dos fluxos de caixa projetados, relativos aos meses de agosto a dezembro de 2.011, e que permite aalisar, o fluxo de caixa projetado e, também, o ível de dispoibilidade de caixa a cada período. O objetivo, etão, é projetar: os recebimetos ou faturametos futuros, preferecialmete em fução da capacidade de produção prevista para cada exercício; os custos diretos de produção; as despesas idiretas sejam elas admiistrativas ou de vedas; os ivestimetos em ativos e em capital de giro; a depreciação e a os possíveis icetivos fiscais. Há que ressaltar que o valor residual dos ivestimetos resultate da veda dos ativos ao fial do projeto, acrescido do retoro do capital de giro devido ao ecerrameto da produção, ão costam do DRE. Porém, seu valor é cosiderado o ultimo período do fluxo de caixa. Fluxo de Caixa R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil Exercício Ago Set Out Nov Dez 1 - Recebimetos Vedas a vista Cotas a Receber Outros Tributos Custos de Produção Isumos Mão de Obra + ES Eletricidade Despesas Forecedores Hoorários Salários Aluguel Impostos Depreciação Lucro do Exercício Ivestimetos Equipametos Capital de Giro Fluxo Caixa Líquido Saldo Caixa Aterior Saldo Caixa - Fial Fig.5.8 Previsão de Fluxo de Caixa Aalisado o Fluxo de Caixa da Fig.5.8, verificam-se: fortes ivestimetos os quatro primeiros meses; dois fluxos Egª Ecoomica~Aulas~ docx

101 egativos os meses de agosto e outubro; mesalmete, um crescete ível de caixa Iformações Gereciais. Dispoível a previsão dos fluxos de caixa, o gestor dispõe de iformações para avaliar os saldos dispoíveis de caixa e, deste modo, ter codições para: i) Aalisar a viabilidade e o comportameto dos fluxos fiaceiros de projetos; ii) Verificar a ecessidade de ivestimeto em capital de giro quado a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a ocorrêcia de saldo egativo; iii) Estabelecer a época e a oportuidade de implatar ovos projetos ou aplicação de capital em havedo previsão de expressivo saldo de caixa. iv) Cohecer o saldo fial de caixa ao fim de cada período ao se somar o saldo de caixa existete em período aterior. O calculo do fluxo de caixa para cada período, k, em fução da quatidade a ser produzida, q, é realizado utilizado o seguite modelo matemático: F k = Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) Ivest. + Deduções + V. Residual tributos reduzem o valor do fluxo de caixa. E, a depreciação, ou qualquer outra dedução fiscal, aumetam o fluxo de caixa pois reduzem tributos a pagar Ifluecia dos Tributos. No Brasil, os tributos iflueciam o Fluxo de Caixa de dois modos: i) diretamete sobre o faturameto; ii) sobre o lucro do exercício LAIR. Recomeda-se aalisar o exposto o exemplo da Tab.5.1 Demostrativo do Resultado do Exercício, ode é mostrada a icidêcia dos tributos. Cometado a seguir a ifluecia dos tributos o fluxo de caixa: I Tributos sobre o faturameto. Os tributos mais comus icidetes sobre o faturameto são: o ISS, de competêcia muicipal; o ICMS, de competêcia estadual; o Pis/Pasep, o COFINS e o IPI, estes de competêcia federal. Cosiderado que esses tributos icidem diretamete sobre o faturameto, eles podem ser tratados a formação do fluxo de caixa como sedo uma despesa operacioal. 5.8 Tributos e Depreciação. A importâcia em cohecer a ifluêcia dos tributos e da depreciação a composição de um fluxo de caixa e, em cosequêcia o calculo do Valor Presete é porque os I Tributos sobre o lucro. Icide sobre o lucro operacioal o Imposto de Reda - IR e a Cotribuição Social Sobre o Lucro Líquido - CSLL. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

102 Geericamete e iexistido tributação, um fluxo de caixa é dado pelo seguite modelo: F k = Lucro Iv + Ded + VR Assim sedo, a depreciação, d, é dada pela razão etre o valor do bem coforme laçado a cota do Ativo Imobilizado e o tempo de vida do mesmo, coforme estabelecido a legislação fiscal do imposto de reda. Ao cosiderar o IR e a CSLL, eles atuam sobre o lucro e também sobre a depreciação, pois ela melhora o Lucro Líquido do Exercício. Deomiado a soma das alíquotas dos tributos icidetes sobre o faturameto de α FAT, o modelo acima pode ter a seguite otação: F k = Lucro - α FAT Lucro - Iv + α FAT Ded + VR F k = (1 - α FAT ) Lucro - Iv + α FAT Ded + VR F k = (1 - α FAT ) Σ Rec(k) - (1 - α FAT ) Σ Desp(k) Iv(k) + α FAT Ded(k) + VR(k) Ifluecia da Depreciação. A depreciação é uma dedução fiscal que permite abater a cada exercício fiscal, como se despesa fosse, um percetual do ivestimeto efetuado em ativos, a exceção de terreos. Este procedimeto permite reduzir o imposto de reda a pagar, fato que melhora o lucro do exercício. O valor da depreciação é fução do tempo de vida fiscal do bem, defiido pela legislação. Existem vários métodos de depreciação. Porém, será cosiderado o método comumete aceite pela Legislação Brasileira. d= Valor do Bem Tempo de Vida A depreciação participa da expressão do fluxo de caixa, F k, coforme modelo do item aterior, sedo o valor da depreciação do período multiplicado pela alíquota do Imposto de Reda icidete sobre o DRE da empresa. 5.9 Classificação dos Ivestimetos. Os ivestimetos podem ser classificados segudo a variação dos fluxos de caixa ou coforme a dispoibilidade dos recursos para ivestimetos Pela Variação dos Fluxos de Caixa. Segudo a variação do sial dos fluxos de caixa os ivestimetos podem ser divididos em: Ivestimeto Simples ou Empréstimo; Ivestimeto Covecioal; Ivestimeto Não Covecioal. a) Ivestimeto Simples ou Empréstimo. O ivestimeto simples ou empréstimo é caracterizado por apresetar uma úica variação de sial em seu fluxo de Egª Ecoomica~Aulas~ docx

103 caixa. Ver o projeto º S1 da Fig.5.9 Tipificação dos Fluxos de Caixa. Além disto, o primeiro fluxo de caixa deve ser caracterizado por uma saída de caixa, ou seja, um movimeto egativo, seguido por uma série de fluxos de caixa positivos. Este caso é o que comumete ocorre em operações de crédito pessoal ou empréstimos à pessoa física, tais como: aquisição de um bem de cosumo durável a exemplo de eletrodoméstico e automóvel fiaciado pelo comércio varejista; empréstimos pessoais realizados por bacos comerciais. Ivestimeto Simples ou Empréstimo Nº F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 S Ivestimeto Covecioal F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 C C Ivestimeto Não Covecioal F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 N N N Fig.5.9 Tipificação dos Fluxos de Caixa b) Ivestimeto Covecioal O ivestimeto covecioal é defiido como todo aquele em que ocorre, iicialmete, apeas fluxos de saídas de caixa (-) e, a seguir, períodos de etrada de caixa (+). Neste tipo de ivestimeto, a exemplo do aterior, ocorre apeas uma variação de sial o fluxo de caixa. Ver os projetos. º C1 e C2 da Fig.5.9. Como exemplo de ivestimeto covecioal tem-se a implatação de algum complexo fabril, quado o faturameto acotecerá após o período de implatação do mesmo, o que ocorre em projetos de hidrelétricas, siderúrgicos ou usias beeficiadoras de leite. c) Ivestimeto Não Covecioal O ivestimeto ão covecioal distigue-se dos ateriores por apresetar mais de uma variação de sial em seu diagrama de fluxo de caixa. Como exemplo de ivestimeto ão covecioal temse o projeto º N1 disposto a Fig.5.9 Tipificação dos Fluxos de Caixa, que apreseta cico variações de sial o fluxo de caixa. {-FO, -F1, - F2, +F3, +F4, - F5, - F6, +F7, + F8, +F9, - F10, - F11, + F12} Verificado os exemplos dados a Fig.5.7, os fluxos de caixa iiciais podem ser tato positivos como egativos. É uma situação muito comum de ocorrer a idústria da costrução civil, quado ocorrem ivestimetos pré e durate a fase de costrução, etremeados pela veda de uidades, sejam terreos ou apartametos. Fato que propicia a existêcia de fluxos de caixa egativos etremeados por positivos, o que exige cuidado quato à decisão e escolha de ivestimetos este setor. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

104 5.9.2 Dispoibilidade de Recursos. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Os ivestimetos podem ser classificados, também, segudo a restrição de capital o que permite aalisar a viabilidade de sua realização. São classificados em três categorias: Dois ivestimetos são ditos mutuamete exclusivos quado as receitas oriudas do primeiro cessarem, completamete, havedo a aceitação do segudo. Ou, quado for tecicamete impossível implatar um deles em havedo a decisão de executar o outro. Ivestimetos Idepedetes, Ivestimetos Depedetes, Ivestimetos Mutuamete Exclusivos. a) Ivestimetos Depedetes. Diz-se que uma proposta de ivestimetos é ecoomicamete depedete de outra quado os fluxos de caixa esperados da primeira proposta podem sofrer ifluêcia com a aceitação da seguda. b) Ivestimetos Idepedetes. Dois ivestimetos são cosiderados idepedetes quado é tecicamete viável realizar um deles, seja ou ão aceito o segudo. E, que as receitas líquidas esperadas do primeiro ão são afetadas pela aceitação ou rejeição do segudo ivestimeto. Havedo dispoibilidade fiaceira para a execução simultâea de dois projetos distitos, ão há ecessidade em compará-los. Mas, simplesmete, verificar se ambos promovem o aumeto de riqueza dos proprietários O processo de decisão. Todas as decisões sobre aálise de ivestimetos ou propostas de projetos de ivestimetos são tomadas a partir do desevolvimeto de propostas de alterativas de ivestimetos. Iexistido alterativas, ão há opção de escolha e, portato, ão há decisão a tomar. Quado se comparam alterativas de ivestimetos, apeas as difereças existetes etre elas é que são relevates para aálise. Como as alterativas competem etre si, uma serve de referêcia para a outra o processo de seleção. Ao ser cosiderada a competição de alterativas, o objetivo é defiir o projeto vecedor, aquele que mais aumeta a riqueza dos proprietários. Isto quer dizer que são comparados, apeas, projetos mutuamete exclusivos. Decisões separáveis devem ser tomadas separadamete. Não há por que cosiderar um processo de decisão projetos defiidos como idepedetes com aqueles mutuamete exclusivos. c) Ivestimetos Mutuamete Exclusivos É preciso mater a visão clara e ão etrar em comparações irrelevates e que perturbem um processo decisório. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

105 Os métodos discutidos este livro permitem amparar a tomada de decisão fiaceira ao estabelecer parâmetros capazes de permitir a comparação e hierarquização das alterativas de ivestimeto segudo o icremeto de riqueza proporcioado por cada uma das alterativas ou a retabilidade das mesmas. São eles: Calcular o Valor Presete e o Valor Futuro do projeto abaixo, represetado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. A Taxa de Descoto é de 10% por período. R$ 580 Valor Presete Líquido; Retoro do Capital ou Pay-Back; Custo Aual Equivalete ou Beeficio Aual Equivalete; Taxa Itera de Retoro. É muito possível que a adoção de um úico método, isoladamete, ão satisfaça as exigêcias de um bom processo decisório. Visado melhor amparar o processo decisório, recomeda-se ao aalista que elabore a hierarquização das alterativas cosiderado, cojutamete, vários dos métodos apresetados e ão se limitar a simples adoção de apeas um deles, procedimeto que vem a eriquecer a qualidade de sua aalise Exercícios Exercícios Resolvidos. a) Calculo do Valor Presete e Futuro. 1º - Calculo do Valor Presete. 1 VP = FVP % (1+ i) 1 (1+ i) VP = 580 0, ,7513 4,3553 = 2.082,66 $ 2º - Calculo do Valor Futuro. R$ 490,00/período per. VF = 580 (1+ 0,10) FVF (6; 10% ) VF = 580 1, ,7156 = 4.931,77 $ É importate lembrar, que o Valor Futuro é dado o 9º período, coicidetemete com o ultimo período do fluxo de caixa Exercícios Propostos. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

106 c. Calcular o valor presete e o valor futuro do projeto represetado pelo diagrama dos fluxos de caixa abaixo. Adotar a taxa de 10% ao mês como custo de oportuidade. aquisição fido o prazo do projeto. c) Calcular o valor presete de um projeto cujas características operacioais estão relacioadas a seguir. Sabe-se que: O tempo de vida do projeto foi estimado em sete aos; A taxa de míima atratividade adotada é de 15% ao ao; Os dados relacioados o Quadro 1 mostram o percetual de utilização da capacidade istalada em cada ao; A previsão de vedas evoluirá segudo as estimativas expressas o Quadro 2. b) Determiar o valor presete de um projeto com horizote de quatro aos, cujos dados estão relacioados o quadro abaixo. Idividualizar o que é receita, despesa ou ivestimeto. item Valor R$ mil Ivestimetos capital de giro 3.250,00 Salários diretores/mês 8.000,00 Salário pessoal da produção/mês ,00 Salário pessoal admiistrativo/mês 7.500,00 Previdêcia Social/mês 5.900,00 Material de cosumo/mês 900,00 Matérias primas p/ 4 meses ,00 Recebimetos diversos/mês 6.000,00 Veda de produtos/mês ,00 Veda de equipameto 3.400,00 Aluguel de Terreo/mês 4.000,00 Aquisição de Máquia 3.000,00 Ivestimetos em imobilizado podem ser vedidos por 25% do valor de Quadro 1 Iformações Cotábeis Valor R$ mil Ivestimeto iicial ,00 Salários diretores/ mês 8.000,00 Salário pessoal da produção/mês ,00 Salário pessoal admiistrativo/mês 3.500,00 Previdêcia Social - mês 3.900,00 Material de cosumo - mês 1.150,00 Matérias primas - mês 7.900,00 Veda de produtos c/ capacidade total mês ,00 Valor residual do item 1, Ivestimeto. 48% Quadro 2 - Previsão Aual de Faturameto sobre a Capacidade Istalada Total Ao a 7 Percet 40% 50% 60% 70% 100% d) Uma empresa remuera seus ativos a uma TMA de 12% ao período, esta aalisado um projeto de ivestimeto Egª Ecoomica~Aulas~ docx

107 represetado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Assim sedo deseja-se saber se a implatação deste projeto é viável para a empresa. Solicita-se, também, defiir o fator de valor presete associado e o valor presete associado a cada fluxo de caixa, bem como traçar o diagrama de valor presete. Havedo, simplesmete, a soma dos fluxos de caixa projetados, o projeto parece viável por se mostra positivo em R$ 765,00. Ao ser descotado o fluxo de caixa de cada período a TMA de 12%, verifica-se que o projeto é fiaceiramete iviável pois seu valor presete líquido é de (-) 940,37 R$. Período. Fluxo de Caixa $ 1 Valor Presete ( 1 + i) $ , , ,00 3 0, , , , , , ,00 (+)765,00 (-) 940,37 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

108 6. Método do Valor Presete. 6.1 Coerêcia de resultados. efim, o comportameto do mercado de cada uma delas, são muito distitos. Logo, estes projetos são icomparáveis. Assim sedo, a decisão sobre projetos de ivestimeto deve ser realizada comparado alterativas que possuam certa semelhaça. Ao se comparar alterativas de ivestimetos, os resultados obtidos devem ser compatíveis fiaceiramete. Para tato, os seguites procedimetos devem ser observados: Comparação projetos a mesma classe de risco; Adoção da mesma taxa de descoto; Comparação de projetos com idêtica vida útil; Distição dos projetos de loga duração ou grade vida útil com projetos, com os demais projetos. Estes procedimetos são aalisados a seguir Projetos a mesma classe de risco. A coerêcia dos resultados iicia-se ao se eleger para comparação projetos cujo risco seja equivalete, pois ão tem setido comparar alterativas muito distitas A mesma taxa de descoto. Ivestidores, sejam eles istitucioais ou pessoas físicas, adotam a TMA taxa de míima atratividade ou a TIR taxa itera de retoro como parâmetro de decisão e de descoto dos fluxos de caixa. A TMA geralmete adotada em processos de decisão relativos a ivestimetos produtivos e a TIR quado da aplicação em ivestimetos fiaceiros ou em aplicações bursáteis ( 3 ). Assim sedo, quado comparam projetos detro de uma mesma classe de risco adotam a mesma taxa de descoto como referecia. Seria ilógico adotar múltiplas taxas de retoro, ou seja, taxas distitas para cada projeto. Como exemplo, seja o caso de duas alterativas, a primeira, uma malharia situada o pólo têxtil de Sata Cataria - Brasil, a seguda, uma mia de ouro a Tazâia. Facilmete se depreede que os riscos associados a cada uma das alterativas acima citadas tais como: local do empreedimeto; política goverametal; tipo de gestão; cultura da mão de obra; a legislação trabalhista de cada país; Projetos com idêtica vida útil. Ao se proceder a comparação de alterativas com distitas durações, há que haver a compatibilidade temporal etre elas, ou seja, projetos com idêtica vida útil. ( 3 ) Bursátil, relativo a bolsas de valores ou de mercadorias. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

109 Não há setido fiaceiro comparar, simplesmete, um projeto que teha duração t igual a aos com outro que dispoha de t=k aos de duração, sedo k. A assertiva acima é amparada uma premissa da aálise de ivestimeto e o procedimeto de reivestimeto de recursos livres comumete adotados por ivestidores. E, a premissa em questão recomeda eleger a alterativa que propicie a maximização da riqueza dos proprietários em logo prazo. O logo prazo, esta situação de alterativas com distita duração, é etedido como sedo o fial do horizote de plaejameto, horizote este defiido pelo projeto de maior duração. Ivestidores, via de regra, ao disporem de recursos livres oriudos do térmio de outros ivestimetos, os reivestem em outras alterativas dispoíveis ou em alterativas semelhates. Assim sedo, só se pode comparar projetos que apresetem a mesma vida útil. (Soto Costa & Attie, 1984). No item 6.3 serão discutidos diversos procedimetos capazes de compatibilizar os horizotes de alterativas de projetos que apresetem distitas vidas úteis Distiguir projetos de loga duração. Projetos com previsão de vida útil demasiadamete loga, maior do que 15 ou 20 aos de duração, a exemplo de platas de fabricas de cimeto ou de usias elétricas e mesmo parte de seus equipametos como geradores e rotores, devem ter seus tempos de duração cosiderados de modo adequado. Carece de setido utilizar os procedimetos relatados o item 6.3, pois estes artifícios são adotados para projetos com meor horizote de vida útil. Justifica-se esta falta de setido, pois o tempo de exploração se mostra suficietemete logo. Nesta situação, fica muito difícil, o presete, de serem elaboradas cosiderações e defiidas premissas sobre outras oportuidades futuras de ivestimetos, dada a impossibilidade de prever, atecipadamete, o surgimeto de ovas tecologias, os iteresses dos proprietários ou o comportameto da ecoomia a ocorrer em futuro muito distate Assim sedo, se tora iverossímil qualquer previsão quato à reaplicação de recursos fiaceiros e cotiuidade de projetos sobre qualquer alterativa que será fializada um tempo logíquo. Ressalva-se que a aálise desta situação foge ao escopo deste curso, pela qual recomedamos cosultar a bibliografia complemetar. 6.2 O Método do valor presete Icremeto de Riqueza. O método do valor presete, também deomiado de valor presete líquido, cosidera o valor da moeda o tempo, medido a data em que foi realizada a aálise ou avaliação de um projeto. Utiliza-se, também, a deomiação de valor presete líquido, pois cada alterativa deve ser expressa em termos de todas as receitas, custos, ivestimetos e beefícios fiscais e tributos ela icidetes, ou seja, de todas as etradas e saídas Egª Ecoomica~Aulas~ docx

110 de caixa, permitido uma aálise sobre o icremeto de riqueza produzido. O processo, como o próprio ome diz, visa determiar o valor presete líquido associado a uma alterativa de projeto de ivestimeto, parâmetro que exprime o icremeto de riqueza propiciado a esta alterativa. A TMA, por sua vez, correspode àquela taxa que oferece a melhor remueração a ser obtida por um fator de produção. Matematicamete, o valor presete líquido do projeto, etão, é dado por: VP(p) = RIQUEZA Dado a coceituação acima, o método do valor presete é compatível com a 1ª e a 2ª das premissas adotadas em ivestimetos de alterativas de projetos e expostas o Capitulo 1, o que o tora este método extremamete atrativo como istrumeto de decisão. O método favorece a decisão quato à hierarquização de alterativas dispoíveis para ivestimeto de capital. E, especialmete recomedado para a decisão sobre ivestimetos produtivos. Efim, o método é recomedado para ser utilizada em qualquer tipo de decisão fiaceira, especialmete aquelas cujo objeto seja a implatação de ativos produtivos, a exemplo de: implatação de uidade fabril completa, icorporação de edificações, ova liha de produção, campaha publicitária, etc Decisão. Por defiição, o valor presete líquido de um projeto de ivestimeto qualquer p, correspode à soma algébrica dos valores presetes associados aos fluxos de caixa itegrates do projeto, quado descotados a uma taxa de descoto i, sedo i TMA. VP(p) = F 0 + k = 1( 1+ F TMA) Em que: F 0 represeta o fluxo de caixa o mometo em que é efetuada a decisão ou o fluxo de caixa iicial; F um fluxo de caixa geérico a ocorrer um mometo, qualquer; VP(p) correspode ao valor atual ou valor presete líquido associado ao projeto p; o úmero de períodos itegrates do projeto ou horizote de projeto; e, a TMA a taxa de descoto adotada pelo ivestidor como a retabilidade desejada. Estabelecidos os fluxos de caixa, o horizote do projeto e defiida a TMA pelo proprietário, depois de calculado o VP(p) Valor Presete Líquido utilizado o modelo acima podem ocorrer três situações: VP(P)=0; este caso ocorre o que se deomia de idifereça de projeto. O ivestimeto é remuerado à taxa tradicioalmete obtida, ão causado aumeto a riqueza do proprietário; VP(P)>0; este é o caso de projeto viável. O projeto aumeta a riqueza do proprietário em valor superior à remueração tradicioalmete obtida; Egª Ecoomica~Aulas~ docx

111 VP(P)<0; este é o caso de projeto iviável. Nesta situação, quado o projeto descotado à TMA apreseta um VP egativo, mostra que o projeto reduz o gaho tradicioalmete desejado. Critérios de Decisão VP(p) > 0 Projeto Viável VP(P) = 0 Projeto é Idiferete VP(p) < 0 Projeto Iviável. No caso de haver a aálise de um cojuto de alterativas mutuamete exclusivas, o critério de decisão deverá eleger a alterativa que apresetar o MAIOR valor presete líquido. Esse critério de decisão é coerete com o exposto a 1ª Premissa da matemática fiaceira, a que trata da maximização da riqueza. TMA% F O coceito de se adotar o método do valor presete líquido como medida do icremeto de riqueza, pode ser facilmete etedido ao se aalisar um projeto de ivestimeto qualquer, P, que dispoha, apeas, de um fluxo de saída de caixa iicial, F 0, e de uma úica etrada de caixa projetada, F. Ver Fig.6.1. Cometado as três situações possíveis de ocorrer: I - Quado VP(P)=0. Para que o valor presete líquido de um ivestimeto seja zero, há que ocorrer: k F VP (P) = F ( 1 + TMA) =. = 1 Nesta codição, o valor presete do retoro esperado é equivalete ao valor do capital ivestido. Esta situação cofigura um caso de idifereça fiaceira, pois, sob a ótica do ivestidor, a remueração oferecida pelo projeto é equivalete a que vem obtedo tradicioalmete para a remueração de seus ativos. Depreedem-se da assertiva acima dois fatos: F período 1º) a margem de retoro estabelecida, ou taxa de míima atratividade é matida sem haver acréscimo de riqueza além do habitualmete obtido; Fig.6.1 Valor Presete Líquido Egª Ecoomica~Aulas~ docx

112 2º) o projeto foi descotado à maior taxa de remueração que ele possa oferecer, taxa esta deomiada de TIR e que, este caso, é igual à TMA. Assuto a ser discutido o capítulo 9. Porém, ele ão aumeta a riqueza do ivestidor já que remuera o capital ivestido exatamete a porcetagem que o ivestidor vem obtedo tradicioalmete pela aplicação de seus recursos, ou seja, o valor da TMA de 18%. Visado um melhor etedimeto dos coceitos efetuados e uma aálise do resultado obtido, a seguir é efetuado um exemplo umérico do caso em questão, atribuido valores aos dois fluxos de caixa, F 0 e F. Seja, etão, uma empresa ou ivestidor que dispõe da importâcia de R$ 150,00 e que aalisa os seus ivestimetos adotado uma TMA de 18% ao período. 150,00=VP ,16 Ao ser aplicado este capital em um determiado ivestimeto produtivo pelo prazo de cico períodos, é previsto um retoro de R$ 343,16. Descotado este fluxo de caixa de R$343,16 a TMA de 18%, obtém-se um valor presete de R$ 150,00. Somado este valor ao ivestimeto iicial o resultado correspode ao valor presete líquido do ivestimeto efetuado, cujo valor é zero. Assim sedo, o ivestimeto ão propiciou um aumeto de riqueza maior do que o tradicioalmete obtido pelo aplicador Ver Fig. 6.2 Caso da Idifereça de Decisão. VP(P) = F F + ( 1+ TMA) 34316, = 150, ( 118, ) 0 = Aparetemete, como se pode costatar, o projeto é retável já que apreseta um retoro bem superior ao ivestimeto iicial de R$ 343, ,00 FIg.6.2 Caso da Idifereça de Decisão O ivestimeto em pauta, sob a ótica do aplicador que deseja uma remueração de 18% sobre o capital ivestido, simplesmete corrige o capital iicial a uma taxa igual a da TMA habitualmete praticada. Quado o valor presete líquido de uma alterativa de ivestimeto for zero, ão é o caso de abadoar pura e simplesmete a alterativa, pois ela pode ser a úica oportuidade detro da margem de risco desejada. Fializado, quado ocorre o caso de VP(P)=0, projeto pode ão propiciar um icremeto de riqueza, mas remuera os ativos ivestidos à taxa habitualmete praticada, a TMA. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

113 II - Quado VP(P)>0. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Cosiderado o modelo de calculo do Valor Presete: k F VP(p) = F + 0 = 1( 1+ TMA) Para que ocorra VP(P)>0, deve-se ter: F 0 < k = 1( 1+ F TMA) Fiaceiramete, sigifica que o valor presete do retoro previsto, descotado à TMA, é fiaceiramete superior ao valor do capital ivestido.. Logo, é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do projeto sedo o mesmo cosiderado viável, pois propicia um icremeto de riqueza em valor superior aquele que vem sedo tradicioalmete obtido. Ver Fig. 6.3 Caso da Aceitabilidade do Projeto. Exemplificado umericamete, seja um projeto que oferece uma projeção de retoro após cico períodos o motate de R$ 395,00. Quado descotado este valor à taxa de 18% ao ao obtêm-se um valor presete de R$172,66. O valor presete líquido do projeto é calculado em R$ 22,66. Matematicamete, o calculo do valor presete líquido do fluxo de caixa é dado por: VP(P) F 395, 00 = F0 + = 150, 00 + = + 22, 66R$ 5 ( 1+ TMA) ( 118, ) 172,66=VP 395,00 Como pode se costatar, o projeto é retável e aumeta a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital ivestido tedo como taxa de retabilidade a TMA. Assim sedo, deve ser cosiderado como viável. F 0 = -150, III - Quado VP(P)<0. Para que ocorra VP(P)<0, deve-se ter: Fig.6.3 Caso da Aceitabilidade do Projeto Nestas codições, fica caracterizado que o projeto produz um icremeto de riqueza em proporção superior ao habitualmete obtido. F 0 > k = 1( 1+ F TMA). Egª Ecoomica~Aulas~ docx

114 Nesta situação, o valor presete líquido do fluxo de caixa projetado descotado à TMA é iferior ao valor do ivestimeto iicial. VP(P) = F F 320, 00 + = 150, 00 + = 10, 13R$ 5 ( 1 + TMA ) ( 118, ) 0 Cofigura-se o caso de rejeição do projeto, pois ele ão remuera o ivestimeto iicial. Noutros termos, o retoro previsto do ivestimeto, do poto de vista fiaceiro, é iferior ao do ivestimeto iicial. Retomado o exemplo aterior e cosiderado uma projeção de retoro, após cico períodos, o valor de R$ 320,00, o valor presete deste fluxo de caixa é de R$ 139,87. Calculado o valor presete líquido do projeto, obtém-se um valor de ivestimeto R$ (-) 10,13. Ver Fig. 6.4 Caso da rejeição do projeto. 139,87=VP -150,00 320, períodos Fig.6.4 Caso da rejeição do projeto Mesmo sedo previsto um retoro superior ao ivestimeto iicial, ocorre uma perda fiaceira, pois ela ão remuera o ivestimeto efetuado, quado o retoro for descotado à taxa de míima atratividade, ou seja, 18%. Logo, sedo o valor presete líquido associado ao fluxo de caixa projetado de um ivestimeto um valor meor do que zero, ou seja, egativo, ele deverá ser cosiderado iviável. Os exemplos acima discutidos cosideraram o caso de um projeto isolado. Os resultados obtidos podem ser facilmete visualizados e etedidos. É iteressate otar que, os três casos aalisados, o gaho de capital é superior ao ivestimeto iicial. Porém, segudo a remueração desejada de 18% ao período pode ser ou ão iteressate ao aplicador realizar este ivestimeto de capital. Geeralizado o caso aalisado, quado se aalisa projetos que apresetem uma seqüêcia de fluxos de caixa, especialmete em projetos ão covecioais, tora-se o método do valor presete um forte istrumeto para amparar a tomada decisão. Isto porque, os resultados obtidos são de fácil iterpretação e levam em cosideração a dimesão fiaceira do ivestimeto ao ivés de, simplesmete, um gaho ecoômico. caixa: Efetuado o calculo do valor presete líquido do fluxo de Egª Ecoomica~Aulas~ docx

115 Com o diagrama traçado pode-se verificar, claramete, o comportameto do fluxo de caixa, a taxa de descoto equivalete à TIR e o campo de viabilidade do projeto Diagrama de valor presete Traçado do Diagrama. O diagrama de valor presete é um forte istrumeto para amparar a aálise de decisão de um projeto coforme modelo da Fig.6.5. VP 0 $ - Valor Presete Este poto defie a TIR, a maior taxa de remueração de um projeto viável. Ele exprime, em diagrama cartesiao, a curva do poliômio associado ao fluxo de caixa quato se determia em abscissas as taxas de descoto e em ordeadas o valor presete associado à cada taxa de descoto TMA i O diagrama permite visualizar o comportameto do fluxo de caixa, o valor da TIR, fato importate, pois há casos em que o fluxo de caixa apreseta mais do que uma TIR. Fato este em que a aálise do valor presete associado a uma determiada TMA deve ser aalisada com cuidado. Escrevedo a expressão do valor presete liquido sob forma poliomial tem-se: VP(P) = F0 + F 1 ( 1 + i) 1 F2 + ( 1 + i) 2 F3 + ( 1 + i) 3 F + L + ( 1 + i) O diagrama da Fig.6.5 é obtido ao descotar o fluxo de caixa a varias taxas i. Egª Ecoomica~Aulas~ docx Fig.6.5- Modelo de Diagrama Exemplo de Procedimeto. Seja determiar o diagrama de valor presete represetativo de um dado fluxo de caixa, seja o caso de um projeto A, defiido pelo seu cojuto de fluxos de caixa projetados, coforme abaixo. FC(A) = { ; 450; 400; 350; 300} A fução valor presete líquido deste fluxo de caixa, expressa em forma poliomial, é dada por:

116 A parte de imagem com idetificação de relação rid350 ão foi ecotrada o arquivo. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VP(A) = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) 4 Calculado o valor presete para a fução VP(A), cosiderado uma série de taxas de descoto préestabelecidas, obtêm-se os valores presetes expressos o quadro abaixo: item Taxa de Descoto i(%) Valor Presete Líquido ($) , , , , ,31 TIR 0, (-) 39,56 O diagrama de valor presete desta fução VP(A) é efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordeadas cartesiaas, em que o eixo das abscissas tem-se o domíio das taxas de descoto. E, o das ordeadas, o domíio do valor presete em expressão moetária. No exemplo, o valor presete do fluxo de caixa descotado à taxa i=3% é dado por: VP(A) = = 200, 78$ ( 103, ) ( 103, ) ( 103, ) ( 103, ) Laçado o par i(%) VP($), dispostos a tabela, em diagrama cartesiao, chega-se à curva coforme exposto a Fig Metodologia do VPL. A metodologia proposta para a elaboração de um diagrama de valor presete é a seguite: 1º - Calcula-se o valor presete à taxa i=0. Este procedimeto correspode a descosiderar o valor da moeda o tempo. Caso este valor seja igual ou meor do que zero, a alterativa deve ser descartada, pois ão apreseta retabilidade para qualquer taxa de descoto. Ela ão apreseta gaho fiaceiro em ecoômico; 2º - Arbitra-se uma taxa de descoto e descota-se fluxo de caixa à taxa arbitrada; Egª Ecoomica~Aulas~ docx

117 3º - Repete-se o processo defiido o item 2º tatas vezes quato o for ecessário, de modo a resultar em uma curva a mais cotíua e represetativa possível da fução poliomial desejada. 4º - O processo deve ser iterrompido ao ser obtido um valor presete meor do que zero. 5º - No poto em que a curva cortar o eixo das abscissas, fica defiida a taxa itera de retoro TIR. Esta é a maior taxa de descoto, ou de oportuidade, que um projeto pode apresetar equato viável Aálise de Sesibilidade - Risco. F1 F2 F3 F VP(p) = Fo L ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) F k =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) Ivest. + Valor Residual Partido do pricípio que cada ível de produção possa ser defiido como uma alterativa, a priori, pode ocorrer três situações: 1º. Produção sob capacidade máxima; 2º. Produção sob a quatidade mais provável; 3º. Produção realizada sob quatidade míima viável. Elaborado, um mesmo diagrama cartesiao, o gráfico de valor presete para cada uma das alterativas, pode-se estabelecer o campo de domíio fiaceiro do projeto. Ver Fig Coceituação. A aálise de sesibilidade é uma técica que possibilita verificar o domíio da viabilidade fiaceira de um projeto e, cosequetemete, realizar uma aálise do risco de sua implatação. Para tato, deve-se defiir a máxima e a míima capacidade ou quatidade de produção detro da qual um projeto possa ser fiaceiramete viável. A técica recomeda que se efetue o calculo do valor presete para cada situação limite, em fução da quatidade a ser produzida. Assim, como primeira alterativa, cosidera-se a produção sedo realizada sob capacidade máxima. Neste caso, adotase como quatidade máxima de produção a capacidade que correspoda à capacidade istalada do projeto ou a máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo. Como seguda alterativa, ou seja, a quatidade mais provável de ocorrer, o recomedável é adotar a quatidade de produção média historicamete utilizada pela idústria ode a empresa esta iserida. A terceira alterativa, relativa à quatidade míima de produção, deve correspoder àquela capacidade, q MIN, cujo valor presete líquido do fluxo de caixa ao ser descotado pela TMA seja zero. Matematicamete: VP f(q MIN ) = 0. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

118 Quatidad e ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA VP Corte p/ TMA Quatidade Máxima cosiderado diversas quatidades a serem produzidas, coforme exposta a Fig Como segudo passo, traçar a curva que cotemple o domíio das quatidades viáveis de produção, quado estabelecida uma TMA. Ver Fig VP f(q K ) Quatidade Míima i 1 TIR MIN i 3 i 4 i 5 Fig. 6.7 Campo de Domíio Fiaceiro q MIN q prov q MAX q K A particularidade desta última alterativa é que a sua TIR correspode à TMA da empresa. Noutras palavras, o valor do fluxo da caixa relativo à alterativa que adote a quatidade míima de produção e que viabilize fiaceiramete o projeto, quado descotado à TMA da empresa, é zero. E, esta situação, tem-se: TIR TMA Domíio viável de produção. O objetivo deste item é mostrar um procedimeto derivado do método do valor presete líquido que permite mostrar o domíio das quatidades de produção fiaceiramete viáveis, estabelecida uma TMA. O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de valor presete de uma alterativa de ivestimeto Fig. 6.8 Limites de viabilidade para determiada TMA. Para tato, deve-se efetuar um corte o campo de viabilidade de um projeto a altura da TMA desejada. E, com os dados obtidos traçar um gráfico quatidade versus valor presete, em coordeadas cartesiaas, mostrado a Fig.6.8. No citado gráfico da Fig.6.8, devem ser laçadas, em ordeadas, as quatidades a serem produzidas e em abscissas, o valor presete líquido de cada alterativa desevolvida, descotada à TMA previamete estabelecida. Da aálise da curva obtida depreede-se: a) O limite iferior da curva idica o limite de viabilidade correspode à quatidade míima viável de produção, q MIN, caso em que a TMA=TIR. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

119 b) O limite superior correspode à quatidade máxima de produção, q MAX, correspodete à capacidade istalada, quatidade esta em que o projeto oferece o maior valor presete líquido. c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção etre a máxima e a míima, apresetará um valor presete líquido maior do que zero. Logo, este é o domíio viável de produção. 6.4 Aplicação. Uma empresa está estudado a aquisição de um sistema destiado à cofecção de perfis moldáveis. A vida média do equipameto em aálise é de 10 aos e, vecido este período, poderá ser vedida a 10% do seu valor de aquisição. Como iformação orçametária, estima-se que ocorrerá um icremeto o custo admiistrativo e de vedas da empresa a ordem de R$ 1,1 milhão por ao. O custo direto de produção orçado em R$ 80,00 por uidade produzida. E, o ivestimeto em ativos imobilizados o valor de R$ ,00. Um levatameto efetuado o segmeto de mercado em pauta idicou que as empresas vêm operado, em média, com 83% da capacidade istalada. O equipameto em questão produz perfis com 6,00 metros de comprimeto sedo a capacidade istalada de produção prevista para 45 mil metros mesais. Dados dispoíveis: Item Valor Preço do sistema R$ ,00 Vida útil (aos) 10 Valor residual R$ ,00 Comprimeto da peça (m) 6 Custo operacioal (aual) R$ ,00 Isumos (uidade) R$ 80,00 Preço de veda (uidade) R$ 125,00 Produção média 83,00% Capacidade Máxima (uidades) Custo de oportuidade 14,00% ao ao Porém, existe campo da expasão dado a iexistêcia de produção similar a região. E, que o preço de comercialização do produto é de R$ 125,00 por uidade. Iformações oriudas da cotabilidade da empresa idicam que ela vem remuerado os seus ativos à taxa de 14% a.a. Dado o exposto solicita-se: a) A quatidade aual de produção, em metros, para que a aquisição seja viável; b) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto; c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza propiciado pelo projeto; d) A elaboração de um diagrama lucro/produção; e) A cofecção de um diagrama que mostre o campo de viabilidade do projeto. Cosiderado que se deseja cohecer a quatidade a ser produzida, deomiou-se de q, a variável respectiva. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

120 A parte de imagem com idetificação de relação rid353 ão foi ecotrada o arquivo. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Assim, o projeto será aalisado sob três íveis possíveis de produção: produção míima ou viável; produção máxima; e produção mais provável = 0 10 q = peças ( 125q 80q) FVP( 10;14% ) FVP( 10;14% ) ( 1 + 0,14 ) a) Fluxo de Caixa do Projeto: O comprimeto total dos tubos a serem produzidos é dado por: L = 6 q = metros/ao. c) Máximo acréscimo de riqueza: A máxima produção de riqueza ocorre sedo possível produzir uma quatidade igual à capacidade istalada, durate todo o tempo de vida do projeto. A expressão abaixo exprime, algebricamete, o exposto o deseho da Fig.6.9. VP MAX = FVP ( 10; 14% ) VP MAX = ,36 R$ ( ) FVP ( 10; 14% ) ( 1 + 0, 14) 10 Fig. 6.9 Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis b) Produção viável: A quatidade míima de produção que permita torar viável o projeto, quado descotado à TMA da empresa, é aquele que zera a fução valor presete líquido a ele associado. Nesta situação, o VP f(q MIN ) = 0. d) Mais provável acréscimo de riqueza: Esta situação ocorre em sedo possível produzir uma quatidade equivalete à capacidade esperada de produção durate o tempo de vida do projeto. Ou seja, 83% da capacidade istalada. Quatidade Esperada = ,83 = Egª Ecoomica~Aulas~ docx

121 VP MP = FVP ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA ( ) , 83 FVP( 1014 ; %) ( 1014 ; %) VP MP = ,55 R$ ( , ) 10 e) Campo de Viabilidade do Projeto. O diagrama de valor presete a seguir, Fig.6.10, mostra campo de viabilidade do projeto, com o desevolvimeto de cada alterativa de produção: em capacidade míima de produção, quado a maior taxa de retoro correspode à TMA; a capacidade mais provável; e a capacidade máxima, quado ocorre a utilização da capacidade istalada durate toda a vida do projeto. Cosiderado as curvas de máxima e míima quatidade de produção mostradas a Fig.6.10 e, traçado uma reta perpedicular à taxa de 14%, se obtêm o campo de variação dos valores presetes das possíveis quatidades viáveis de produção. Fig.6.10 Campo de Viabilidade do Projeto f) Diagrama Lucro Produção Dados de Produção Produção em peças Lucro VPL R$ , , ,36 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

122 O diagrama da Fig.6.11, derivado do diagrama da Fig. 6.10, relacioa as quatidades de produção viáveis e os respectivos valores presetes líquidos cosiderado uma mesma TMA. Ele exprime todo o cojuto de quatidades variado de um limite q MIN = ,44 uidades e um limite superior q MAX = uidades se mostram viáveis cosiderado a TMA de 14,00% ao ao. Implatado o projeto e as quatidades produzidas e vedidas oscilado etre o valor míimo e máximo citados, a empresa tem garatida a ocorrêcia de um positivo icremeto de riqueza Equalização de tempos de projetos. Como já cometado, para se comparar alterativas de ivestimetos com vidas úteis distitas, há que se adotar artifício que iguale os horizotes de projeto de todas as alterativas. O objetivo do artifício é suprir a lacua de iformações existetes quato a possíveis fluxos de caixa etre os fiais das alterativas, de modo lógico. Ver Fig Ao serem aalisados ivestimetos mutuamete exclusivos, três situações podem ocorrer, sedo distitas as premissas propostas para igualar os tempos de projeto: Valor Presete-R$10³ , , , Fig Quatidade de Produção x Valor Presete Caso de reivestimeto em ativos semelhates; Caso de rigidez das alterativas; Caso de outras oportuidades futuras Reivestimeto em ativos semelhates. Neste caso ocorre o pressuposto da cotiuidade de vida ou produção do ativo em aálise. Isto é, fido o período de vida do ativo, a firma reivestira em outro ativo com características semelhates à do ativo desmobilizado. O horizote de plaejameto será, etão, o míimo múltiplo comum das vidas das alterativas em comparação. A metodologia a ser utilizada o caso de reivestimeto em ativos semelhates será discutida o Capítulo 8 Valor Uiforme Equivalete, que mostra um método de fácil aplicação quado as equalizações dos horizotes dos projetos se Egª Ecoomica~Aulas~ docx

123 mostram muito grades, ou seja, muitos distates da data atual. impossibilidade de mauteção em operação do ativo em aálise, pois ão há setido ou possibilidade técica em cotiuar a exploração do ativo. FA(0) Projeto A FA(1) FA(2) FA(3) FA() Os exemplos clássicos desta situação são os ivestimetos em mias ou em poços de petróleo, quado esgotada a jazida os respectivos equipametos de exploração ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados FB(0) Projeto B FB(1) FB(2) FB(3) FB(-1) FB() z-1 z Fig Alterativas com vidas úteis distitas. Como o pricípio a ser matido é o de aumeto de riqueza do proprietário, a equalização dos tempos de vida das alterativas em aálise é feita cosiderado que, ao fim da vida útil de cada ativo, a firma reivestirá os lucros oriudos do projeto que apresetar a meor duração. Estes lucros serão aplicados em ativos que redam tato quato o valor da moeda o tempo até alcaçar o período do projeto de maior duração. O diagrama exposto a Fig. 6.13, mostra um modelo de diagrama de fluxo de caixa recomedado para o caso em aálise. Nesta situação, VF equivale à reaplicação dos lucros obtidos com o projeto, equivalete ao Valor Futuro dos lucros do projeto de meor duração o mometo, mometo em que ocorre o fim de utilização deste projeto. E, Pt, o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de meor duração o mometo t, mometo este coicidete com o térmio do projeto de maior duração Caso de Rigidez das Alterativas. É cosiderado haver rigidez a cotiuidade de alterativas de ivestimetos quado ão há previsão de mauteção a cotiuidade de um projeto ou a Etão: VF = Pj (1+i ) j, variado j de 1 até e sedo i a taxa de retoro adotada para o projeto. E, Egª Ecoomica~Aulas~ docx

124 Pt = (1+ i) (t-) Nestes casos duração de projetos com prazos rigidamete determiados, o processo de decisão deve ser efetuado através do método do valor presete, utilizado o artifício proposto Caso de Outras Oportuidades. Neste caso, fida a vida do ativo ou o iteresse em sua exploração, a firma tem iteresse de cosiderar outras oportuidades de ivestimeto dispoíveis o futuro, tais como a mudaça de sistema de produção, o laçameto de ovos produtos ou mesmo a mudaça de ramo. Ao aalista de ivestimetos, estes casos, recomedase criatividade e lógica ao utilizar a metodologia dispoível t-1 t P(-2) P(-1) P Pt -2-1 Período a t Esta recomedação visa alertar quato à possibilidade do processo de decisão trasceder a área da Aálise de Ivestimetos e haver ecessidade ou possibilidade, para maior sofisticação e cofiabilidade do processo decisório, do uso de algum processo de otimização. Assim sedo, recomedamos cosultar a bibliografia que trata especificamete do assuto, pois foge ao escopo deste curso. VF Fig Rigidez de Alterativas Alerta-se que, este caso, ão cabe a utilização do método do Beefício Aual Equivalete, pois o mesmo pressupõe a repetição dos projetos, fato que é obstado pela própria caracterização dos projetos em pauta. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

125 6.6 Exercícios. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA atratividade míima de 1,2% a.m., perguta-se: seria fiaceiramete iteressate a execução dos melhorametos? a) Cosiderado as seguites propostas de ivestimetos: Qual a mais iteressate? Adotar uma taxa de Descotos de 7% ao período. c) Você atua profissioalmete uma firma de assessoria e cosultoria técico-fiaceira e lhe coube aalisar a aquisição de um mesmo equipameto para dois clietes distitos. O equipameto em questão, ovo, custa 250 mil reais e tem codições de oferecer receitas líquidas mesais a ordem de R$ 5,10 mil. Dada à evolução cotíua da tecologia, há previsão de utilizá-lo por cico aos. É procedimeto de empresas que atuam o ramo, substituir o equipameto atigo e o utilizar como etrada para a aquisição de outro mais modero, de modo a mater o processo fiaceiramete viável. Sabe-se que equipametos com cico aos de uso custam o equivalete a 15% de um ovo. Aalise e comete o resultado do processo de aquisição para os seguites casos: - Cliete A, cujo custo de capital é de 7% ao ao; - Cliete B, cujo custo de capital é de 16% ao ao. (obs.: Calcule em período aual). b) José da Silva pesa alugar uma loja por R$ ,00 mesais. Porém, fazedo algus melhorametos o prédio poderá alugar por R$ ,00. Um orçameto de reforma apresetou um valor de R$ 600 mil. Sedo sua taxa de d) Explique porque é desecessário levar em cosideração o efeito iflacioário a aálise do valor presete de um ativo produtivo, cohecida a projeção dos fluxos de caixa futuros, do horizote de projeto e do custo de oportuidade. e) Uma empresa tomou emprestada uma importâcia o motate de R$ ,00 por 60 dias, à taxa de 12% ao mês. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

126 Ao receber o motate deste primeiro período aplicou 30% à taxa de 13,5% ao mês por 45 dias. O restate aplicou à taxa de 14% a.m., também por 45 dias. Deseja-se saber: Qual o fluxo de caixa (motar) desta operação? Qual o motate total destas duas últimas aplicações ao fial deste 2 o período? Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizado o método do Valor Presete. E, traçar em um úico gráfico, o diagrama de valor presete de cada alterativa. g) O executivo chefe de uma empresa distribuidora de cocreto usiado esta aalisado a moderização de uma das suas uidades. f) Você é o diretor de uma costrutora que atua a ível regioal e esta aalisado a realocação do escritório cetral da empresa, pois os custos operacioais estão crescedo muito, dado o icremeto de sua carteira de serviços. Para tato, foram desevolvidas alterativas situadas em quatro cidades distitas, cujos custos evolvem o preço de terreos, os custos de operação as ovas codições e a costrução de istalações de apoio e oficias ecessárias. Cidade Ivestimeto Redução Aual Valor Residual R$ de Custos R$ A 18,00 3,60 14,00 B 34,00 4,70 27,00 C 48,00 8,20 41,00 D 64,00 9,30 70,00 Valores em R$ 10 5 mil Ateção: cosiderar a redução aual de custos como uma etrada de caixa da empresa. Justifica-se este procedimeto, pois com a mudaça, esses recursos permaecerão o caixa. Além disso, foi previsto um horizote de 10 aos de utilização para as alterativas e os valores residuais dos ivestimetos realizados estão apresetados a tabela abaixo. Essa uidade vem apresetado uma queda de produtividade. Devido à idade dos equipametos, apresetam paralisações costates e uma crescete evolução dos custos com mauteção. Para tato, dois ovos processos de fabricação foram cosiderados e que propiciam íveis de faturameto semelhates. Sedo a taxa de oportuidade praticada pela empresa de 15% ao ao, deseja saber qual das alterativas é a melhor, cosiderado: Aquisição por compra a vista do equipameto; Aquisição por fiaciameto com juros de 8% ao ao e prazo de cico aos. Adotar o método da prestação costate. Ivestimeto Processo Alfa Processo Beta R$ R$ Equipametos , ,00 Custo Operacioal Aual , ,00 Custo de Mauteção Aual 2.100, ,00 Valor Residual do Projeto , ,00 Vida Estimada em aos Sedo a TMA praticada pela empresa estabelecida em 15% ao ao, defiir qual das alterativas é, fiaceiramete, a melhor. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

127 h) Dado o fluxo de caixa represetativo de um projeto, solicitase: Demostrar que, se praticada a taxa de descoto de 12% o projeto pode ser viável; Verificar se praticada a taxa de descoto 14,6439%, o projeto pode ser aprovado; Fluxo de caixa Valor R$ Situação Fo - 255,00 Ivestimeto iicial F1-95,00 Ivestimeto o 1º período F2 80,00 Fluxo de caixa líquido F3 100,00 idem F4 120,00 idem F5 140,00 idem F6 160,00 idem i) Deseja-se saber qual o míimo valor residual de um equipameto usado, para que possa ser dado como etrada a aquisição de um similar, porém ovo e que, fiaceiramete, o processo comercial seja viável. Para tato, dispõem-se das seguites iformações: - O mote o fluxo de caixa dos empreedimetos; - O calculo do Valor Presete (VP) de cada alterativa; - Decidir qual a alterativa a ser selecioada. DISCRIMINAÇÃO ADUTORA = 1,00 m. ADUTORA = 1,20 m. Custo Iicial (CI) R$ ,00 R$ ,00 7% 1% do Custo Iicial do Custo Iicial Custo mauteção aual (de 0 a 5 aos) Custo de mauteção aual (de 5 a 15 aos) Custo de revisão e mauteção periódica Receita (de 0 a 5 aos) Receita (de 5 a 15 aos) Período de cálculo (aos) Taxa de Míima Atratividade (TMA) 10% do Custo Iicial 10% do Custo Iicial o ao 5 25% do Custo Iicial 25% do Custo Iicial 2% do Custo Iicial 2% do Custo Iicial os aos 5, 10 e 15 16% do Custo Iicial 18% do Custo Iicial ,0% 12,0% Custo de capital da empresa: 15% ao ao; Vida útil do equipameto: 5 aos; Receitas auais líquidas: 7,00 mil reais; Preço do equipameto ovo: 30,00 mil reais. j) Você como diretor técico de uma empresa de egeharia deve decidir etre dois diâmetros de uma adutora ecessária à implatação de uma pública; Com base os dados apresetados o quadro a seguir, solicita-se: k) O diretor da MiksCorp, empresa atuate a idustria da telecomuicações e iformática, após pesquisa de mercado, cocluiu haver demada para absorver o laçameto de um ovo produto deomiado TI-struvspro, equipameto com capacidade de ateder a covergêcia digital dos diversos tipos de mídia, telefoia, GPS, tratameto de dados, etc. Dado o comportameto desse mercado, previu que um produto com as características do TI-struvspro teria uma vida comercial de sete aos. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

128 Como a empresa estava com os seus recursos empehados outros ivestimetos e ão teria capacidade fiaceira para ivestir este ovo produto, coseguiu suporte de um baco de ivestimetos. Assim sedo, verifique: 1º - a viabilidade do projeto dada as codições abaixo; 2º - o meor faturameto mesal possível, de modo a torar o projeto viável. Codições: A Mikscorp pratica um custo de capital de 15% ao ao; Equipametos do gêero podem ser vedidos, o fial da vida útil, a 18% do valor de um ovo; O diretor prevê receitas mesais a ordem de R$ 36 mil e despesas operacioais de R$ 25 mil por mês; A aquisição dos equipametos de produção requer ivestimetos iiciais o motate de R$ mil; A empresa dispõe de istalações físicas para istalação dos equipametos; O BDE, baco de ivestimetos, propôs as seguites codições de fiaciameto: aporte do capital ecessário à produção o fechameto do cotrato a ser realizado a data de fechameto do cotrato; prestações auais, costates e cosecutivas, pagas aualmete a juros de 8% ao ao; prazo de pagameto de seis aos sedo dois de carêcia. l) Numa aálise realizada em determiada empresa, foram detectados custos operacioais excessivamete elevados uma liha de produção, em decorrêcia da utilização de equipametos velhos e obsoletos. Os egeheiros resposáveis pelo problema propuseram à gerêcia duas soluções alterativas. A primeira cosistido uma reforma geral da liha, exigido ivestimetos estimados em $ , cujo resultado será uma redução aual de custos igual a $ durate 10 aos, após os quais os equipametos seriam sucatados, isto é, sem ehum valor residual. A seguda proposição foi a aquisição de uma ova liha de produção o valor de $ para substituir os equipametos existetes, cujo valor líquido de reveda foi estimado a $ Esta alterativa deverá proporcioar gahos de $ por ao, apresetado aida um valor residual de $ após dez aos. Sabedo-se que a empresa pratica uma TMA de 15% ao ao, qual das alterativas deve ser preferida pela gerêcia? (Cotribuição Dr. Egº Oscar Ciro Lopes). m) Uma empresa mieradora recebeu duas propostas visado à aquisição de dois equipametos de escavação ecessários à exploração uma jazida mieral até a levar a exaustão. Previsão dos Fluxos de Caixa Equipameto Opção A Opção B Ivestimeto Iicial , ,00 Ao 1 860, ,00 Ao 2 900, ,00 Ao 3 950, ,00 Ao , ,00 Ao ,00 - Ao ,00 - Valores em R$ 10³ Sabe-se que: - A previsão dos fluxos de caixa líquido, auais, de cada alterativa esta relacioada o quadro de previsão; Egª Ecoomica~Aulas~ docx

129 - O custo de oportuidade determiado correspode a 1, % ao mês; - Vecida a vida útil dos equipametos, eles serão repostos. Pede-se: - Qual sua recomedação quato ao melhor projeto sedo os fluxos de caixa defiidos em períodos auais; - Uma decisão quato ao melhor projeto, defiido os fluxos de caixa em períodos mesais; ) Aalise a viabilidade de ivestir em escritórios comerciais tedo por objetivo a cobraça de alugueis. Após levatametos efetuados o mercado imobiliário dispõem-se das seguites iformações: - As empresas costrutoras praticam um preço de vedas a ordem de 2,2 CUB/m². - Foram coletadas iformações de três coceituadas empresas que atuam o mercado de costrução e vedas de imóveis, expostas o quadro abaixo. o) Um ivestidor estudou detidamete várias compahias e suas ações ordiárias. Por sua aálise cocluiu que as ações de seis firmas são as melhores etre as muitas que examiou. Essas seis firmas represetam praticamete o mesmo risco, e assim, ele deseja determiar a firma em que aplicará seu diheiro. Ele plaeja coservar as ações durate quatro aos, e exige uma taxa míima de atratividade de 10% a.a. Que ações o ivestidor deve preferir (usar como método de decisão o VPL)? (Cotribuição Egº Oscar Ciro Lopes, Dr). Ações ordiárias Preço por Ações (em Reais) Dividedo aual por ação (em Reais) Preço estimado ao fial dos 4 aos (em Reais) Petrocisa 23,75 1,25 32 Bragati 45,00 4,50 45 Cauai 30,53 0,00 42 Eervale 33,48 2,00 40 Rechtam 52,55 3,00 60 Empresa Padrão Área Sala Custo Aluguel mesal m² CUB/m² R$ PrimeTop Alto 65,00 959,61 490,00 Norteco Médio 48,90 679,82 350,00 Belafote Baixo 36,95 604,88 270,00 - Como iformação adicioal, a taxa básica de juros estabelecida pelo BCB esta, a data da pesquisa, defiida em 14,25% e há o etedimeto o mercado que é adequada a remueração de 12% ao ao para imóveis alugados. p) Uma firma está estudado três alterativas mutuamete exclusivas como parte de um programa de melhorametos a produção. Para tato sabe-se que: O valor residual, ao fial da vida útil, é zero em qualquer uma das alterativas. Ao fial da vida útil, cada alterativa poderá ser reposta por outra que apreseta custos e beefícios idêticos. Sedo a taxa de míima atratividade defiida em 14% ao ao, qual será a alterativa que Você recomedará? (Cotribuição Dr. Oscar C. Lopes). Egª Ecoomica~Aulas~ docx

130 Projeto A B C Custo istalado - $ Beefício aual uiforme - $ Vida útil - em aos r) Um cliete solicitou sua ajuda para assessorá-lo a aquisição de um imóvel. Para tato, lhe iformou que, para adquirir a residêcia que hoje possui, foi ecessário cotrair uma dívida. Após o pagameto da terceira prestação, em 01/set/2001, Roberto após cosulta ao baco, está pesado reegociar o saldo devedor os seguites termos: - O saldo devedor pago em 20 Prestações mesais iguais. - Taxa de juros de 16 % ao ao, capitalizados trimestralmete. Seu amigo, sabedo que você está o último ao de egeharia e cohecedo a sua grade habilidade para equacioar este tipo de problemas (motar o fluxo de caixa), fez as seguites pergutas: Ele disse que, ao logo de um ao, com o objetivo de dar etrada a compra do imóvel, fizera três depósitos trimestrais uma cota de poupaça de um baco que remuerava os seus depósitos a uma taxa omial de 12 % ao ao com capitalização trimestral. Depósitos realizados as seguites datas: Data dos depósitos Valor (em R$) 01/set/ /dez/ /mar/ Dado a poupaça realizada deram etrada, o dia 01/ju/2001, a compra da residêcia. Disse, também, que o motate fial dos depósitos correspodeu a 40% do valor da casa tedo sido ecessário, portato, fiaciar o restate. A dívida foi cotraída as seguites codições: - Pagameto em 10 prestações mesais iguais. - Taxa de juros de 14% ao ao, capitalizados semestralmete. Qual a taxa efetiva aual que o baco pagou para os seus depósitos e quais as taxas efetivamete cobradas o fiaciameto? Qual o valor da dívida cotraída, ou seja, o valor fiaciado? Qual o valor do saldo devedor reegociado? Qual o valor das prestações da dívida origial e da dívida reegociada? s) O gerete de uma empresa produtora de tecidos de decoração e papeis de parede, a WPP Ltda., está egociado com um baco um empréstimo cujo objeto é o desevolvimeto de um ovo produto. Ele previu que, a época do laçameto do ovo produto a empresa poderá icorrer em custos com pesquisa e desevolvimeto equivaletes a US $ ,00 e supõe que este deverá ser o valor a ser cotratado. O baco propôs um fiaciameto a ser amortizado em parcelas semestrais ao logo de cico aos, adotado o Sistema de Amortização Costate e pactuada uma taxa de juro de 25% ao ao. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

131 É etedimeto da WPP Ltda. que o desevolvimeto do ovo produto abre a perspectiva de ocorrer maiores gahos futuros, em comparação com os produtos similares dos seus cocorretes. Etede, também, que os beefícios oriudos do laçameto do produto se farão setir durate quareta meses e que o produto, poderá ter uma reda superior em $30.000/mês em comparação com os dos cocorretes, durate os dez primeiros meses após o laçameto. Durate os dez meses subsequetes, a WPP Ltda. prevê uma reda mesal superior em $60.000,00. E, durate os vite meses restates, espera que o ovo produto teha coquistado uma parcela de mercado que apresete uma reda de $ acima dos cocorretes. Admitido que as estimativas da WPP Ltda. estejam corretas, iforme: Caso seja cotratado o empréstimo, qual o valor da primeira prestação? Qual o valor da sexta prestação e qual o saldo devedor imediatamete após o pagameto desta sexta prestação? Qual será a taxa itera de retoro prevista para o projeto? t) Elabore o estudo de viabilidade para o seguite projeto: Sedo VOCE diretor técico de uma empresa de costrução civil, o Diretor Presidete de sua empresa lhe comuicou ser iteressate aalisar a implatação de uma ova fabrica para a produção de peças protedidas para estruturas de potes. Para tato, deseja saber qual a quatidade mesal míima de produção para que o empreedimeto seja cosiderado viável. Além disso, lhe iformou que o BNDES esta fiaciado equipametos de forma vatajosa. Sua assessoria lhe foreceu as seguites iformações: 1) Ivestimeto em Imobilizado R$ Codições Terreos , Edificações , Estoques , Equipametos ,00 Juros de 8% ao ao. Fiaciameto em seis aos com dois de carêcia. Prestações costates. 2) Custos Operacioais R$ 2.1 Matérias Primas 3.500,00/ uidade 2.2 Mão de Obra Direta ,00/ mês 2.3 Vedas Adm. Cetral Custos Idiretos ,00/ mês 2.4 Eletricidade 3.950,00/ mês Embalages 90,00/ uidade 3) Iformações Gereciais Dados 3.1 Taxa Míima de Atratividade 1, % am 3.2 Tempo de vida do produto 10 aos 3.3 Preço de veda míimo/médio 6.380,00 R$/uidade 3.4 Impostos sobre a Reda 15,00 % 3.5 Depreciação da Edificação 20 aos 3.6 Depreciação dos Equipametos 5 aos 3.7 Impostos icidetes sobre o faturameto 10,50 % Egª Ecoomica~Aulas~ docx

132 4) Iformações Estratégicas & Comerciais 4.1 É pesameto estratégico do grupo veder as istalações após a vida do produto e ão reivestir em reformas ou up-grades idustriais. 4.2 Terreos situados a área idustrial, ode esta localizado o próprio da empresa, vem sofredo uma valorização real de 5% ao ao. 4.3 A perda de valor de edificações idustriais do gêero da projetada para ser implatada acusa um valor de 70% em dez aos. 4.4 Propostas das empresas forecedoras de equipametos daqueles em estudo iformam que seu valor comercial decresce a taxa de 7,5% ao ao. 4.5 Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ao. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

133 7. Método da Recuperação de Capital Isto porque, crescerá a icerteza associada à realização esperada dos fluxos de caixa futuros, exigido um adequado ível de cotrole visado a efetiva realização do plaejameto iicial Itrodução. O método do Período de Recuperação de Capital, MRC, é utilizado quado se deseja decidir a hierarquização de alterativas usado como parâmetro de decisão o meor tempo de retoro do capital ivestido. O método também é cohecido como Método de Recuperação da Capacidade de Ivestimeto ou sob a termiologia iglesa, pay-back. A iteção em adotar este método como parâmetro de decisão é eleger a alterativa de ivestimeto que propicie o retoro do capital ivestido o meor prazo possível, a fim de dispô-lo para aplicação em futuras oportuidades de ivestimeto. A metodologia adotada cosiste em verificar o tempo de retoro do capital iicialmete ivestido em cada alterativa dispoível, a partir da soma acumulada dos fluxos de caixa. O tempo de retoro idicara o grau de imobilização de um capital, sedo que a alterativa a ser eleita será aquela que apresetar o meor tempo de retoro. Noutras palavras, o meor grau de imobilização do capital. Justifica a adoção do método o etedimeto dos ivestidores que, quato maior for o tempo de retoro do capital ivestido, maior será o grau de maturação do empreedimeto e, em coseqüêcia, aumetará o risco associado ao projeto. Ao ser efetuada uma aálise de hierarquização de alterativas através do MRC, deve estar implícito que os fluxos de caixa estejam refereciados a uma moeda de poder aquisitivo costate. Sem esse cuidado, o resultado obtido poderá ser de parca utilidade. O MRC pode, também, servir como critério de desempate quado se efetua a hierarquização de alterativas e se utiliza o Método do Valor Presete Líquido. E, é de fácil etedimeto que, em duas alterativas apresetado o mesmo Valor Presete Líquido, aquela que propiciar um retoro mais rápido do capital ivestido deverá ser a escolhida. Deste modo, além de propiciar o mesmo retoro, o capital iicialmete imobilizado estará dispoível para outras aplicações futuras. Esta situação cofere ao MRC a atratividade de ser utilizado como critério de hierarquização e desempate etre alterativas, subsidiariamete ao método do valor presete líquido Metodologia. Pelo exposto, as alterativas de ivestimeto deverão ser hierarquizadas iiciado por aquela que apresetar o meor tempo de recuperação do capital ivestido. A metodologia proposta será exposta ao se aalisar o exemplo de dois projetos represetados pelos valores Egª Ecoomica~Aulas~ docx

134 presetes de seus fluxos de caixa segudo o quadro a seguir, visado à facilidade de etedimeto do leitor. Alerta-se que algus autores efetuam o somatório dos fluxos de caixa descosiderado o valor da moeda o tempo. Este autor, porém, etede que deva ser cosiderado o valor da moeda o tempo pois, em assim sedo, reduz-se a ifluêcia dos fluxos de caixa futuros que possam apresetar valores sesivelmete superiores aos iiciais e, também, maior risco em sua realização. No exercício da Tab.7.1, as coluas discrimiadas como Valor Presete dos Fluxos de Caixa, o valor aposto já expressa o valor presete de cada fluxo de caixa relativo ao período especificado, ambos descotados à mesma TMA. As coluas deomiadas Fluxo Acumulado, idicam o somatório acumulado dos dados idicados as coluas Valor Presete Fluxo de Caixa. No caso em pauta, para ambos os projetos ocorre a previsão dos dois projetos propiciarem idêtico icremeto de riqueza, pois o VPL mota a R$ 250,00. Adotado como critério de decisão o MRC, o projeto a ser escolhido deverá ser o A, dado apresetar um retoro do capital iicialmete ivestido durate o 7º período, em comparação com o projeto B cujo retoro acotecerá o 10º período. Assim sedo, realizado o Projeto - A, o ivestidor disporá do capital ivestido três períodos ates do que se adotar o Projeto B, fato que reduz a icerteza sobre a realização dos fluxos de caixa em períodos futuros. O ultimo fluxo acumulado idica o valor presete líquido dos dois projetos que mota a $250,00, e apresetam o mesmo valor. Período Valor Presete Fluxo de Caixa Projeto A Fluxo de Caixa Acumulado $ Valor Presete Fluxo de Caixa Projeto B Fluxo de Caixa Acumulado $ 0-180,00-180,00-180,00-180, ,00-280,00-100,00-280, ,00-320,00-40,00-320, ,00-275,00 +30,00-290, ,00-220,00 +30,00-260, ,00-135,00 +40,00-220, ,00-55,00 +40,00-180, ,00 +30,00 +50,00-130, ,00 +90,00 +50,00-80, , ,00 +50,00-30, , ,00 +60,00 +30, , ,00 +70, , , ,00 +50, , , , , ,00 VPL(A) 250,00 VPL(B) 250,00 Obs: os Fluxos de Caixa já estão represetados pelo seu valor presete Tab.7.1 Recuperação de Capital Pelo exposto, fica demostrado que o método do MRC adotado, em complemetação ao do VPL, permite ateder à exigibilidade do retoro do capital iicial. E, também, estabelecer como critério à tomada de decisão, a eleição de qual projeto produz o retoro do capital em meor tempo. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

135 8. Valor Uiforme Equivalete 8.1 Itrodução. A aplicação do método do valor uiforme equivalete é mais recomedada quado se decide sobre aquisição de equipametos cuja reposição seja efetuada periodicamete. Assim, o MVU é adequado para amparar decisões quato à aquisição, seja por compra, fiaciameto ou aluguel (leasig), de equipametos que executem idêtico trabalho. O método permite, também, estabelecer o tempo ótimo de comissioameto de equipametos. Neste caso cada período de tempo aalisado correspode a uma alterativa de ivestimeto distita. Em ambos os casos acima cometados, seja em aquisição ou defiição de tempo, o objetivo do processo é defiir qual alterativa apreseta o maior beefício ou o meor custo equivalete o período. Como exemplo de equipametos a serem periodicamete repostos cita-se: veículos itegrates de frota de serviços; equipametos de terrapleagem; maquias de solda; equipametos de iserção automática; moldes para ijeção, etc. É comum o processo ser expresso sob duas deomiações distitas, adotadas quado se aalisa custos ou faturameto em período aual. No caso da aálise evolver, predomiatemete, custos, a metodologia é deomiada de Custo Aual Equivalete - CAE. Caso se aalise, predomiatemete, faturametos ou o resultado do processo for expresso em termos de lucro, o método leva a deomiação de Beefício Aual Equivalete - BAE. Sob qualquer das deomiações acima citadas, o processo de decisão segue a mesma metodologia. Adotado como omeclatura: BAE(p) = Beefício Aual Equivalete associado a um projeto qualquer P; CAE(p) = Custo Aual Equivalete associado a um projeto qualquer P; VUE(p) = valor uiforme equivalete da série, seja ela expressa em termos de BAE ou de CAE. F 0 = fluxo de caixa iicial. S ou S 1 = serie de pagametos iguais; VP(p) = valor presete do projeto. P; P2 ou P3 = fluxos de caixa referetes a pagameto úico; VP(p) = somatório dos valores presetes dos fluxos de caixa associados ao projeto P, ou seja, o seu valor presete líquido; Σ Rec (p) K = somatório das receitas associadas ao projeto p o período k; Σ Desp (p) K = somatório das despesas associadas ao projeto p o período k; F k = fluxo de caixa associado ao projeto p o período k. I(p) K = ivestimetos associados ao projeto p, realizados o período k; VR = valor residual associado ao projeto p, ormalmete cosiderado o ultimo período de vida do projeto. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

136 A vatagem da adoção do MVU um processo de decisão em que as alterativas dispoíveis sejam repetidas periodicamete é quato à facilidade de aplicação do método. Isto porque, matematicamete, o valor da série equivalete ao fluxo de caixa origial ou a qualquer úmero de suas repetições é o mesmo. Basicamete, a metodologia do valor uiforme equivalete segue três etapas: 1º Estabelece-se o fluxo de caixa de cada alterativa dispoível; 2º Calcula-se o valor presete das alterativas; 3º Calcula-se a série uiforme equivalete relativa ao valor presete de cada alterativa. Ver Fig. 8.1 Alerta-se que a uidade da série represetativa do valor uiforme equivalete associado ao projeto p, VUE(p), é dada em uidade moetária por período. E, que ela expressa em termos moetários, o custo médio icorrido ou o beefício médio propiciado por cada alterativa a uidade de tempo, cosiderado a vida estimada da alterativa. Como equação dimesioal tem-se: [ ] VUE(p) = [ R$ ] [ período] Assim sedo, a uidade do VUE é dada em R$/mês, R$/ao, etc Decisão Dado um cojuto de alterativas em aálise, a hierarquização das mesmas ocorrerá quado comparados o valor da ecoomia ou do retoro das respectivas séries equivaletes. No caso de se efetuar uma aálise de custos, a melhor alterativa será aquela que apresetar o MENOR CUSTO PERIÓDICO EQUIVALENTE. A literatura que versa sobre o assuto, comumete, deomia o processo de custo aual equivalete CAE. No caso de estar em aálise, predomiatemete, a comparação de lucro ou faturameto propiciado pelas alterativas de ivestimeto, a melhor alterativa será aquela que apresetar o MAIOR BENEFÍCIO PERIÓDICO EQUIVALENTE. De modo idêtico ao efetuado o cometário aterior, a literatura que versa sobre o assuto, deomia, comumete, o processo de beefício aual equivalete BAE. A cofiabilidade do processo com a cosequete coerêcia de resultados será tato maior quato melhor for a apuração das receitas, despesas, ivestimetos, tributos e valores residuais associados a cada alterativa. O modelo matemático básico para a defiição do valor uiforme equivalete, seja ele expresso em termos de BAE ou de CAE, associado a um projeto P, qualquer, é dado por: VUE (p) i ( 1 + i) = VP(p) ( 1 + i) 1 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

137 Cosiderado a existêcia de duas alterativas de ivestimetos, X1 e X2, e estado em julgameto Beefícios Auais Equivaletes, sedo o BAE(X1) > BAE(X2), etão será escolhida como a melhor a alterativa X1, desde que recohecida a repetitividade do projeto. No caso de estar em pauta uma aálise de custos, sedo o CAE (X1) > CAE (X2), etão será cosiderada como alterativa mais iteressate a X2, dado que os custos praticados são meores que a de X1, desde que recohecida a repetitividade do projeto. 8.3 Metodologia. i ( 1 + i) VUE (p) = VP (p) ( 1 + i) 1 Como exemplo de aplicação, seja o projeto represetado pelo seu fluxo de caixa, coforme expresso a Fig. 8.1, composto por uma série de pagametos, iguais, periódicos e cosecutivos, S 1, e, também, outros dois fluxos represetados por pagametos úicos, P2 e P3. ΣFC( S P P A metodologia para determiar o valor da série uiforme equivalete, tato em termos de BAE como de CAE, segue os seguites procedimetos: 1º Passo: Elaborar o cojuto de fluxos de caixa do projeto; F F k =Σ Rec (p) K - Σ Desp (p) K I (p) K + VR(k) Valor Presete 2º Passo: Calcular o respectivo valor presete líquido; F1 F2 F3 F VP(p) = Fo L ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) 1 Beeficio Aual 6 t 3º Passo: Calcular ao valor da série periódica equivalete. Fig. 8.1 Metodologia da serie uiforme equivalete VUE(p) = VP(p) FRC( i%) Ou, em termos de variáveis características da série: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

138 Neste caso a série aual equivalete será expressa em termos de BAE, pois dispõe, predomiatemete, de etradas de caixa. 1º passo: defie-se o diagrama de fluxo de caixa de cada processo; 1º Passo Levar todos os fluxos de caixa a valor presete; P2 P3 VP(p) = FO + S1 FVP( 3;i%) ( 1 + i) ( 1 + i) 2º Passo efetuar o somatório dos valores presetes de todos os fluxos de caixa; VP(p) = Σ { - F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 3º Passo calcular o valor da serie uiforme equivalete, postecipada, relativa ao valor presete calculado o passo aterior. BAE(p) = VP(p) FRC(6 i%) = M R$/período. 2º passo: calcula-se a série uiforme equivalete ao fluxo de caixa iicial; 3º passo: calcula-se o valor presete de cada fluxo de caixa; 4º passo: calcula-se a série aual equivalete associada à soma dos valores presetes dos fluxos de caixa defiidos o passo aterior. Neste caso, o resultado do processo se dará em termos de Beefício Aual Equivalete - BAE, já que são cosideradas etradas e saídas de caixa associadas a cada processo. 5º passo: a decisão, etão, elegerá o processo que apresetar o maior beefício aual equivalete Resolução do Caso Novo Produto. 8.4 Aplicação da Metodologia. Neste item é apresetada a aplicação da metodologia do VUE ao caso de produção de um ovo produto. Para tato, o processo de decisão cosidera duas alterativas de projetos que apresetam características de ivestimeto e de custos operacioais distitos Procedimetos. A aplicação da metodologia do Valor Uiforme Equivalete ao caso segue os seguites procedimetos: Uma empresa está estudado a produção de um ovo produto. Para tato dispõe de dois processos alterativos de produção cujas características estão abaixo especificadas. Os equipametos a serem utilizados são previstos para serem repostos periodicamete, dado o desgaste cotíuo e o alto valor do custo de mauteção e operação. Cosiderado o custo de capital da firma de 7% a.a., calcular os custos auais equivaletes. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

139 item PROCESSO A PROCESSO B Ivestimeto Iicial R$ , ,00 Valor Residual 0, ,00 Retoro Aual R$ , ,00 Custo aual de Operação Fixo R$ ,00 Variável Ver diagrama Vida útil: 4 aos 6 aos Resolvedo o problema: I Processo A a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi motado laçado, diretamete a escala de tempo, as etradas e saídas de caixa previstas. b) Calculo do Beefício Aual Equivalete BAE. Ao se aalisar o fluxo de caixa deste processo, verificase que, pra a determiação do fluxo de caixa aual equivalete tora-se mais imediato calcular a série aual equivalete associada ao ivestimeto iicial e somar esta, diretamete, aos demais fluxos de caixa, já que são uiformes. - Ivestimeto Iicial: Cosiderado que o ivestimeto iicial correspode à uma saída de caixa, será defiido o seu custo aual equivalete. CAE(A) = P FRC ( 7%,4 ) CAE(A) = ( ) 0,2952 CAE(A) = R$/ao. Como se pode verificar o diagrama de fluxo de caixa, Fig. 5.7, ão há ecessidade em calcular os valores presetes dos custos auais ou das receitas, pois já expressos em valores iguais, o que caracteriza uma série uiforme. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

140 Com os dados acima, pode-se calcular a série uiforme, aual, equivalete do Projeto A, expressa em teros de beefícios BAE. Item BAE em R$/ao Ivestimeto Iicial (-) ,00 Custo Operacioal (-) ,00 Receitas (+) ,00 Beefício Aual Equivalete do Projeto A (+) 812,00 R$/ao variáveis e o valor residual, em termos de série aual equivalete visado possibilitar a soma de todos os valores e defiir o BAE do Processo B. II - Processo B a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo B. Os valores do fluxo de caixa relativos aos custos auais de operação deste processo, que foram previstos como variáveis e crescetes, foram laçados diretamete o diagrama de fluxo de caixa. Neste caso, o procedimeto de calculo seguido foi o de exprimir, tato o ivestimeto iicial, como os custos auais b) Cálculo do Custo Aual Equivalete do Projeto B: b1) Capital Iicial: P i = x FRC (7%,6) P i = - ( ) P i = ( ) R$/ao b2) Valor Residual: R = S x FFC ( 7,6 ) = x ( 0,1398 ) R = R$/ao b3) Custo Operacioal: - Valor Presete S = FC i V i S = ( 0,9346 ) ( 0,8734 ) ( 0,8163 ) ( 0,7029 ) ( 0,7130 ) ( 0,6663 ) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

141 S = - ( ) S = R$/ao - Série Uiforme Equivalete: Este processo de série aual equivalete, seja em termos de BAE ou de CAE, é recomedado para decisão quado se aalisa projetos repetitivos. P o = FFC (7,6) = = (0,2098) P o = ,00 R$/ao b4) Calculo do Beefício Aual Equivalete. O beefício aual equivalete do Processo B é obtido ao se proceder a soma dos valores das séries auais equivaletes associadas a cada tipo de custo ou retoro aual equivalete (faturameto). Etão: Item BAE em R$/ao Ivestimeto Iicial (-) ,00 Valor Residual (+) 4.194,00 Custo Operacioal (-) ,00 Receitas (+) ,00 Beefício Aual Equivalete (+) 3.919,00 R$/ao Projeto repetitivo é defiido como aquele que, fido seu período de vida previsto, o ivestimeto iicial, ou parte dele, deverá ser reposto visado mater o processo em fucioameto. Como exemplo de projeto repetitivo tem-se: aquisição de ôibus empregados por empresas cocessioárias de serviços públicos; de camihões para serviços de terrapleagem; aálise do tipo de peu a ser utilizado em um mesmo veículo; tipos de escorameto ou formas utilizadas em serviços de cocretagem sejam em obras pré-fabricadas ou moldadas o local; etc.. No caso de se comparar projetos produtivos que apresetem períodos de vida distitos e que sejam ão repetitivos, recomeda-se efetuar o processo de decisão atededo as cosiderações realizadas o capítulo 5. III Aálise de decisão: Pelo acima exposto, o Beefício Aual Equivalete - BAE relativo ao Processo A é de 812,00 R$/ao e ao Processo B de 3.919,00 R$/ao. Assim, a alterativa que apresetou o maior Beefício Aual Equivalete foi a Alterativa B. Logo, a mais iteressate a ser adotada. Alerta-se, este poto, que, como as alterativas apresetam períodos de vida distitos, há que se ter cuidado a comparação de alterativas Caso de Reivestimeto Coceituação e Artifício. Neste caso existe a pressuposição da cotiuidade de utilização de um ativo ou a mauteção do bem em produção, expirada a vida útil do projeto origial. Para tato, fido o período de vida de um ativo, se pressupõe uma imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em um ovo ativo com características semelhates à do ativo desmobilizado. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

142 Havedo diversas alterativas de ivestimeto, o horizote de plaejameto previsto para aálise cosidera que a equalização dos tempos de vida de cada alterativa seja equivalete ao míimo múltiplo comum, MMC, de suas vidas úteis. Vide Fig. 8.5, que mostra a repetição dos fluxos de caixa dada a mauteção e cotiuidade do uso do ativo, ou de um sistema de produção. Ao ser adotado o míimo múltiplo comum das vidas úteis das alterativas como horizote de aálise do projeto, o processo de cálculo pode se torar complexo e trabalhoso pela grade úmero de fluxos de caixa evolvidos. O objetivo é defiir qual destes dois projetos, represetados por seus fluxos de caixa é o mais lucrativo, sedo adotada uma TMA de 10% ao ao. Período Projeto A Projeto B Valores em 10 4 R$ Para cotorar essa complexidade, o método do VUE tora-se um artifício de fácil e rápida aplicação, pois permite efetuar o processo cosiderado o tempo de cada alterativa sem haver repetição. Isto porque, o valor da série equivalete de uma alterativa de ivestimeto, seja qual for o úmero de repetições realizados, será sempre o mesmo Fig. 8.5 Cotiuidade de Utilização de Ativo Mauteção em Comissioameto. Este caso discute a aálise de decisão de alterativas quado há a previsão de cotiuidade de produção. O caso em questão diz respeito a uma empresa que esta comparado duas alterativas de projeto visado a istalação de um processo produtivo e que visam à produção de um mesmo bem. Esses processos são represetados por seus fluxos de caixa e apresetam tempos de vida útil, distitos. Havedo a pressuposição da cotiuidade de produção, a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a equalização dos tempos de vida dos projetos utilizado o míimo múltiplo comum dos períodos em cosideração. a) Decisão por Valor Presete. Como o Projeto A apreseta quatro aos de vida útil e o Projeto B três aos, o míimo múltiplo comum dos tempos é de doze aos. Assim sedo, o Projeto A deverá ser repetido Egª Ecoomica~Aulas~ docx

143 três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus períodos de vida sejam equalizados. escolha de qual dos dois é que mais aumeta a riqueza dos proprietários. O quadro da Fig.8.6 mostra o procedimeto de repetição relativo ao Projeto A. Ressalta-se que o ivestimeto iicial da 2ª repetição e subsequetes, deve ocorrer durate o último período da repetição aterior. Este procedimeto visa evitar a ocorrêcia de solução de cotiuidade o processo de produção. Calculado o valor presete líquido de cada alterativa tem=se: VP (A) = 126,84 x 106 R$ e VP (B) = 91, R$. Como o projeto A, apreseta um aumeto de riqueza de R$ 126,84 x 106 R$ sedo, cosequetemete, superior ao icremeto propiciado pelo projeto B, é o recomedado a ser realizado. Projeto A Valores em 10 4 R$ Fluxo ª Rep ª Rep ª Rep Fial Fig.8.6 Procedimeto para Repetição de Ivestimeto - A Somado os fluxos de caixa de cada repetição, dispõem-se do fluxo de caixa fial do projeto equalizado. Repetido o mesmo procedimeto para o Projeto B, chega-se à solução abaixo que apreseta os fluxos de caixa dos projetos equalizados. Exemplo a Fig.8.6. Fluxo de Caixa Fial dos Projetos Valores em 10 4 R$ Tempo Projet o A Projet o B Fig.8.6 Procedimeto para Repetição de Ivestimeto - B Realizada a equalização dos tempos, pode-se calcular o valore presete líquido de ambos os projetos, o que permitirá a b) Decisão por Valor Uiforme Equivalete. O artifício fiaceiro de calcular os Beefícios Auais Equivaletes de cada projeto, sem efetuar a repetição dos fluxos, isto é, de simplesmete apeas comparar os BAE s dos projetos origiais, facilita o processo de decisão. Como já cometado, ao ser calculado o BAE de um projeto tomado o seu fluxo de caixa origial e o BAE deste mesmo projeto repetido, o valor a ser obtido em ambos os casos é o mesmo. Voltado ao exemplo acima, a obteção do Beefício Aual Equivalete relativo a cada projeto segue os procedimetos: 1º - Determia-se o valor presete líquido do projeto origial VP(A) = = 59, 01R$ ( 110, ) ( 110, ) ( 110, ) ( 110, ) 2º - Calcula-se o Beefício Aual Equivalete - BAE Egª Ecoomica~Aulas~ docx

144 BAE (P) = VP(P) FRC (; i) BAE (A) = 59,01 FRC (4 10%) = 18,62 R$/ao Repetido o mesmo procedimeto para o projeto B, obtém-se os valores idicados o quadro abaixo que demostra, mesmo utilizado ao processo do Beeficio Aual Equivalete, a superioridade do projeto A sobre o projeto B. BAE (B) = 33,35 FRC (3 10%) = 13,41 R$/ao. Projeto Período origial de cada projeto A VP(A) = 59,01 R$ B VP(B) = 33,35 R$ A BAE(A) = 59,01 0,3155 = 18,62 R$/ao B BAE(A) = 33,35 0,4021 = 13,41 R$/ao Aálise Crítica. No exercício 8.5.1, coicidiu que os resultados obtidos segudo a aplicação dos dois métodos, valor presete líquido e beefício aual equivalete, demostraram uma superioridade do projeto A sobre o projeto B. O leitor ão pode geeralizar o resultado obtido o exercício quado compara alterativas de ivestimetos, viculado, ecessariamete, a obteção de um maior presete líquido a um maior valor periódico equivalete. Projeto Míimo Múltiplo Comum de 12 Aos A VP(A) = 126,84 R$ B VP(B) = 91,38 R$ A BAE(A) = 126,84 0,1468 = 18,62 R$/ao B BAE(B) = 91,38 0,1468 = 13,41 R$/ao Uma alterativa pode apresetar um maior valor presete líquido em relação às outras e ão, ecessariamete, o maior valor periódico equivalete, seja ela calculada em termos de BAE ou de CAE. Os resultados depederão dos valores fluxos de caixa e da duração de cada projeto. Como regra geral, a priori, ada se pode iferir. Com o objetivo de demostrar a obteção de igual resultado o calculo do valor periódico equivalete, aplicado o método, simplesmete, ao projeto iicial ou a um úmero qualquer de repetições, será vista a situação de se cosiderar o horizote de projeto de doze aos, às duas alterativas. Prazo este equivalete ao míimo múltiplo comum do tempo de vida de cada uma das alterativas em cosideração. Ao se calcular o valor presete do projeto repetido cosiderado o horizote de doze aos, obter-se-á os seguites valores presetes: VP(A) = 126,84 R$ e VP(B) = 91,38 R$. A seguir, calcula-se o Beefício Aual equivalete para cada alterativa, defiido a série equivalete pelo prazo de doze aos. Partido do caso geral tem-se: BAE (k) = VP(k) FRC ( i%) BAE (k) = VP(k) FRC (12 10%) BAE (A) = 126,84 FRC (12 10%) = 18,62 R$/ao BAE (B) = 91,38 FRC (12 10%) = 13,41 R$/ao Egª Ecoomica~Aulas~ docx

145 Dos resultados ecotrados fica a costatação que os diversos BAE associados a um mesmo projeto são sempre iguais, idepedetemete do úmero de períodos de repetição utilizados, situação que facilita o processo de tomada de decisão. Fializado, ão se deve esquecer que o BAE idica o acréscimo de riqueza médio gerado por um projeto a cada período de sua vida útil. Ao se desejar saber qual o acréscimo de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será explorado, há que ser calculado o Valor Presete do mesmo, para o tempo origialmete estabelecido. 8.6 Exercícios. Estabelecido o custo de capital da firma em 7% a.a., calcular o beefício aual equivalete, associado a cada alterativa. O método de decisão a ser adotado quato à escolha da melhor alterativa é o do Custo Aual Equivalete dada às razões: a) Há previsão de produção cotiuada. Esgotada a vida útil dos ativos, eles deverão ser repostos, situação que recomeda a adoção do método proposto; b) Sedo equivaletes os faturametos previstos para os dois processos, pode-se efetuar a aálise cosiderado apeas custos. O processo que apresetar o meor custo deverá ser o recomedado Exercício Resolvido. Uma empresa idustrial está estudado a produção de um ovo produto. Item PROCESSO A PROCESSO B Ivestimeto Iicial R$ , ,00 Valor Residual ,00 Faturameto R$ , ,00 Custo de Operação R$ ,00 - Fixos Ao1 = ,00 Ao2 = ,00 Ao3 = ,00 Ao4 = ,00 Ao5 = ,00 Ao6 = ,00 Vida útil Quatro aos Seis aos A metodologia adotada seguirá os seguites passos: 1º Defiição do Valor Presete de cada processo, isoladamete; 2º De posse do Valor Presete, calcular a série relativa ao Custo Aual Equivalete; 3º Dispoíveis os valores dos CAE de cada processo, comparar os resultados e recomedar para implatação o que apresetar o meor Custo Aual Equivalete. I - Processo A. Para tato, dois processos idustriais estão em aálise duas propostas cujas características estão expostas a tabela acima. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

146 a) Custos Operacioais: CO(A) = R$/ao. b) Custo Aual Equivalete do Projeto A: Ivestimeto Iicial: CAE(II) = P FRC (7%,4 ) CAE(II) = ,2952 CAE(II) = R$/ao c) Custo Aual Equivalete Processo A CAE(A) = CAE(II) + CO(A) CAE(A) = , ,00 = ,00 R$/ao II - Processo B a) Capital Iicial: Pi = x FRC (7%,6) = Pi = = R$/ao b) Valor Residual: R = S x FFC (7%,6) = ,1398 R = 4.194,00 R$/ao c) Custo Operacioal: VPCO(B) = P i V i VPCO(B) = , , , , , ,6663 VPCO(B) = = ,00 R$/ao. d) Série Uiforme Equivalete do Custo Operacioal: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

147 COE(B) = VPCO(B) FFC (7%,6). COE(B) = FFC (7%,6) = ,2098 COE(B) = ,00 R$/ao. e) Custo Aual Equivalete - Processo B: CAE(B) = Ivest. Iicial + Custo Operacioal - Valor Residual CAE(B) = , , ,00 CAE(B) = ,00 R$/ao Os valores de mercado de equipametos usados e os custos auais de mauteção estão apresetados o quadro abaixo. Como premissas do problema, cosiderar o custo de capital da empresa estipulado em 15% a.a.; Além do acima solicitado, elabore uma curva tempo custo para melhor visualizar os resultados obtidos. III Recomedação. Sedo o CAE(A) = R$/ao e o CAE (B) = ,00 R$/ao; recomeda-se como o mais iteressate a ser implatado o Processo-B, já que apreseta o meor Custo Aual Equivalete. Se, este exercício, o objetivo fosse o cálculo do Beefício Aual Equivalete, o faturameto o valor aual de R$ ,00 deveria ser somado às séries de custo aual. Tempo de uso Valor de Mercado US$ Mauteção Aual US$ 1 ao , ,00 2 aos , ,00 3 aos , ,00 4 aos , ,00 5 aos , ,00 6 aos , ,00 7 aos 8.000, ,00 Os resultados seriam: BAE (A) = 812,00 R$/ao e BAE(B) = 3.919,00 R$/ao. A decisão, como ão poderia deixar de ser, seria a mesma da aterior e icliada ao Processo-B, por apresetar o maior Beefício Aual Equivalete Exercício Proposto. Qual o tempo ótimo de mater comissioado um equipameto de terraplaagem cujo catálogo de especificação defie sua vida útil em 7 (sete) aos e o valor de aquisição de uma uidade ova esta orçada US$ 20 mil? Egª Ecoomica~Aulas~ docx

148 9. Taxa Itera de Retoro Defiições. a) Do poto de vista fiaceiro, a TIR correspode à maior taxa de retabilidade oferecida por um projeto a partir da qual ele passa a ser atiecoômico. d. Do poto de vista matemático, a TIR i* é defiida como a taxa de descoto que zera a fução valor presete líquido. O método da Taxa Itera de Retoro - TIR exige a descrição de qualquer proposta de alterativa de ivestimeto em termos do fluxo de caixa projetado, ode sejam exterados os custos e as receitas a ele associados, levado-se em cosideração a previsão dos mometos em que os mesmos efetivamete ocorrerem. Valor Presete - $ F1 F2 F3 F VP(A) Fo L ( 1 + i*) ( 1 + i*) ( 1 + i*) ( 1 + i*) = = 0 Noutras palavras, a TIR I* correspode às raízes do poliômio expresso pela fução valor presete. Ver Fig.9.1. TMA Valor Presete descotado pela TMA i* =TIR i Decisão Quado se dispõe de várias alterativas de ivestimeto em julgameto, o processo de decisão adotado a TIR como parâmetro de decisão deve ateder a duas premissas: 1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer projeto sigular, a TIR deverá superar a taxa de míima atratividade, a TMA. Taxa esta que recebe, também, as deomiações de: custo de capital da empresa, taxa de oportuidade, custo de oportuidade da empresa ou taxa de descoto do projeto. Fig. 9.1 Caracterização da TIR e da TMA. A TIR pode ser defiida sob duas óticas: a fiaceira e a matemática. Neste caso, ocorrem três situações, quais sejam: I) Quado a TMA apresetar valor iferior à TIR, o projeto é cosiderável como viável. Fiaceiramete falado, a maior taxa de retabilidade que um projeto pode apresetar supera a taxa de atratividade exigida pelo ivestidor; Egª Ecoomica~Aulas~ docx

149 II) Quado as duas taxas se equivalerem, ocorre uma situação dita de idifereça fiaceira. 9.3 Discutido a TIR e a TMA O projeto, esta situação, cotiua sedo viável. Porém, este caso, a maior taxa de remueração que um projeto possa apresetar a TIR, equivale à TMA do ivestidor. III) No caso da TMA apresetar valor superior à TIR, o projeto é cosiderável iviável. Nesta situação, o valor presete das alterativas de ivestimeto passa a ser egativo o que sigifica, também, que o valor da TIR é iferior à taxa de atratividade tradicioalmete adotada pelo ivestidor para remuerar os seus ivestimetos. DECISÃO Alerta-se que, fiaceiramete, a TIR e a TMA, expressam coceitos distitos. A TMA correspode à remueração desejada em ivestimetos produtivos. Ela pode ser estabelecida de dois modos: Por defiição dos ivestidores para a remueração de seus ativos. Ou, a partir do desempeho da empresa. Neste caso é calculada do seguite modo: TMA < TIR Projeto viável TMA = TIR Idifereça Fiaceira TMA > TIR Projeto iviável 2ª Premissa: o caso de haver a comparação etre diversas alterativas de ivestimeto mutuamete exclusivas, aquela que apresetar a MAIOR TIR será defiida como a melhor alterativa a ser eleita. Justifica-se a adoção das duas premissas como parâmetro de decisão, pois ambas vem ao ecotro do pricípio do aumeto da riqueza dos proprietários, já que: 1º) a TIR correspode a maior remueração possível para que um projeto seja viável; 2º) sedo a TIR superior à TMA, o valor presete líquido de qualquer alterativa de projeto será superior a zero, ao ser adotada esta taxa como parâmetro de decisão. Lucro TMA i = PL + ELP No modelo acima, PL correspode ao patrimôio líquido médio e ELP ao exigível de logo prazo, cosubstaciado o motate dos recursos que a empresa tomou visado o fiaciameto de suas operações. Ambos os valores expressos passivo do balaço patrimoial da empresa. A TIR, por sua vez, correspode à maior remueração possível, oferecida por uma alterativa de ivestimetos, a partir da qual passa a ser fiaceiramete iviável. Ver Fig Distição etre a TIR e a TMA. 9.4 Utilização recomedada. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

150 O método da taxa itera de retoro é recomedado para os seguites casos: Pelo lado do aplicador, quado realiza aplicações fiaceiras o mercado de títulos mobiliários ou bursáteis ( 4 ); Pelo lado do tomador, a determiação da efetiva taxa de juros praticadas o fiaciameto de bes; Na defiição da maior taxa de remueração possível propiciada por um projeto de ivestimeto produtivo. Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa, o preço e a retabilidade da mesma e estabelecida ao ser cohecida a política de dividedos, de boificações regularmete pagas sobre o capital ivestido e do valor de vedas previsto. Neste caso, etede-se que o preço a ser pago pela ação seja equivalete ao somatório dos valores presetes dos dividedos, das boificações e do valor de vedas previsto para ocorrer em determiado futuro. Nos ites seguites serão aalisadas as codições de aplicação dos casos acima citados Caso de títulos mobiliários O método é adequado para ser utilizado pelo ivestidor o mercado mobiliário ao desejar cohecer a retabilidade de sua aplicação fiaceira. A TIR demostra, o caso da aplicação em títulos mobiliários, a remueração a ser obtida pelo capital aplicado e a equivalêcia quato aos retoros previstos. E, o caso de fiaciameto, a equivalêcia etre o capital tomado e os pagametos a serem efetuados. Pelo exposto, verifica-se ser a TIR um istrumeto adequado para aálise da retabilidade de projetos quado utilizada pela ótica do ivestidor ou tomador de empréstimo. Adotado como omeclatura: VC = valor de compra da ação; VV = valor previsto para veda de uma ação; B k = valor da boificação referete ao período k, com k variado de um a ; D k = valor do dividedo referete ao período k; = o úmero de períodos previstos para mater a ação em carteira; i* = valor da taxa itera de retoro, TIR. O valor da ação é dado por: B VC = + D k k k k ( i*) + = 1 1+ ( 1 VV = i*) Por sua vez, o valor da tir=i* é aquele que resolve o poliômio: Como exemplo de aplicação o mercado imobiliário, tem-se o caso da compra de ações. Bk + D VC k= 1 ( 1+ i*) k k VV + ( 1 = i*) = 0 ( 4 ) Relativos à bolsa de valores. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

151 Caso de fiaciametos. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Neste segudo caso, o método é recomedado para defiir a taxa de juros efetivamete adotada em projetos de ivestimetos simples ou empréstimos, correspodedo a uma série postecipada, em que os pagametos sejam iguais, periódicos e cosecutivos. A taxa de juros, etão, é defiida sob a ótica do tomador do recurso. Para o tomador do recurso, a TIR correspode à taxa de juros que faz a equivalêcia etre o valor do motate fiaciado e o valor das prestações pactuadas. Ver. Fig Como exemplo cita-se o fiaciameto de eletrodomésticos ou veículos vedidos a prestação. VB VB FVP(,i * %) ou, ( 1 + i*) 1 VB VB = 0 i * ( 1 + i*) Valor presete da série Valor fiaciado Há o etedimeto, etão, que valor presete das prestações correspode ao valor do bem adquirido, fiaceiramete falado. A taxa itera de retoro, em decorrêcia, exprime a taxa de juros efetivamete paga pelo tomador. Dado o etedimeto acima, pode-se escrever a seguite expressão matemática: Valor do Bem Σ das Prestações a Valor Presete {Valor do Bem} - {Σ das Prestações a Valor Presete} = zero Cosiderado que a série de pagametos, coforme visto a figura 9.2, correspode a uma série de pagametos postecipada, a expressão acima toma a seguite forma: Em operações de fiaciameto, como é cohecido o valor do bem, VB, a fiaciar e pactuado o úmero de prestações, ao se resolver a expressão acima tem-se o valor da TIR i*. No Capítulo 10 - Métodos Algébricos, serão apresetados algus métodos de calculo da TIR Caso de ivestimetos produtivos Recomedações. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

152 Quado se aalisa um cojuto de alterativas de ivestimeto em projetos produtivos, recomeda-se adotar o valor presete líquido como parâmetro de decisão, procedimeto que garate o atedimeto da premissa de maximização da riqueza. A partir da Itersecção de Fischer, o valor presete do projeto B passa a superar o do projeto A. Nestas codições fica demostrado que, para distitos valores da TMA, a decisão pelo método do valor presete pode diferir do método da TIR, sedo que este pode iduzir o decisor a erro de julgameto. Tal recomedação visa resguardar a cosistêcia do processo decisório, pois a assertiva que deva ser eleita a alterativa que apresetar a maior TIR pode ão ser sempre verdadeira e levar à decisão cotrária daquela recomedada pelo Método do Valor Presete Líquido. Isto porque a decisão quato à escolha da melhor alterativa, dado um cojuto delas, visado a implatação de algum ivestimeto produtivo é realizada com o objetivo de escolher a alterativa que propicie o maior icremeto a riqueza do ivestidos ou proprietário. Ou seja, o maior valor presete líquido. Para tato, o fluxo de caixa de cada alterativa em aálise é descotado à taxa de míima atratividade, a TMA. Ao serem traçados os diagramas de fluxos de caixa, das alterativas em aálise, e aalisado o que exprime a Fig. 9.3, é possível verificar que, para um cojuto de valores de taxas de descoto, a decisão de adotar a TIR como úico parâmetro de decisão pode iduzir a erro. Da figura tem-se que: ao se cosiderar um valor da TMA etre zero e a defiida pela Itersecção de Fischer( 5 ), o valor presete do projeto A supera o do projeto B Exemplo. Sedo dados dois projetos de ivestimetos produtivos represetados pelos respectivos diagramas de fluxo de caixa, coforme Fig.9.3. Utilizado, uicamete, a TIR como fator de decisão, pode o aalista ser iduzido a erro ao recomedar o projeto B como sedo mais retável que o projeto A, sem efetuar uma aálise mais acurada, ao verificar que a TIR(B) = 29% supera a TIR (A) = 22%. Há que se cosiderar que empresas, ao ivestir seus recursos em projetos produtivos, o fazem visado obter o maior icremeto de capital e, para tato, utilizam o método do valor presete líquido dos fluxos de caixa projetados para medir tal icremeto. E, descotam os citados fluxos de caixa adotado a TMA como taxa de descoto. No caso em pauta, os fluxos de caixa descotados a uma TMA = 8%, apresetem os seguites valores presetes: VP (A) = R$ 153,00 e VP(B) = R$ 110,00. Resultado que idica ser o projeto A superior ao projeto B. Logo, o projeto A deve ser o eleito para implatação, fato que cotraria a decisão efetuada utilizado exclusivamete a TIR como parâmetro de decisão. Do deseho, verifica-se que os fluxos de caixa ( 5 ) A itersecção de Fischer correspode ao poto de itersecção dos descotados a uma TMA = 15%, apresetem os seguites diagramas de valor presete de dois projetos de ivestimetos distitos. Neste poto, para um mesmo valor de TMA, os projetos apresetam igual valores presetes: VP (A) = R$ 37,00 e VP(B) = R$ 44,00. valor presete líquido. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

153 153, , 00 VP-$ 8 12 ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Itersecção de Fischer Projeto A Projeto B i% em julgameto, pode ocorrer mais de duas soluções, fato que requer uma aálise criteriosa do decisor. Fializado, cabe ao aalista se precaver quado julga diversas alterativas possíveis destiadas à realização de um ivestimeto produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro de decisão. Visado mater a cosistêcia de sua aálise, recomeda-se efetuar um deseho ode coste o diagrama de valor presete de cada alterativa dispoível e, deste modo, se certificar do campo de domíio de cada uma delas. 9.5 Calculo da TIR. TIR A= Fig Cosistêcia TIR e VPL. TIR B = 29% Esse resultado idica ser o projeto B superior ao projeto A, fato que coicide com a decisão quato se tem a TIR como parâmetro de decisão. Aalisado os dois diagramas expostos a Fig. 9.3, verificase que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de descoto iferiores àquela defiida pela iterseção de Fischer, isto é, de zero a 12%. Já o projeto B é superior ao projeto A para taxas situadas etre a iterseção de Fischer, 12%, e a TIR (B), 29%. Pela aálise acima efetuada, costata-se a possibilidade de ocorrer duas soluções tedo como poto limite a taxa de descoto coexa à itersecção de Fischer. A aálise em questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor presete. Havedo um cojuto de alterativas de ivestimeto Fução Poliomial. Como visto, matematicamete, a taxa itera de retoro é aquela taxa que iguala a zero a fução valor presete líquido associado aos fluxos de caixa de um projeto. Cosiderado que a fução valor presete líquido pode ser represetada por um poliômio de grau equivalete ao do úmero de períodos do fluxo de caixa, a TIR correspode às raízes desta fução poliomial. F1 F2 VP(A) = Fo + + ( 1+ i) ( 1+ i) 2 F3 + ( 1+ i) 3 F + L + ( 1+ i) Da teoria dos poliômios, sabe-se que, um poliômio dispõe de tatas raízes quato for o seu grau. Logo, um poliômio do -ésimo grau dispõe de raízes. Etão, quado ocorrer o caso de i* = TIR, o valor da fução poliomial passa a ser zero. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

154 E, sedo a TIR uma raiz da fução poliomial que expressa o fluxo de caixa, pode-se igualar este poliômio a zero. Deste modo pode-se escrever: k = 0 F k + F (1 + i*) = 0 0 K F1 F 2 F 3 F VP (A ) Fo L ( 1 + i*) ( 1 + i*) ( 1 + i*) ( 1 + i*) = Egª Ecoomica~Aulas~ docx = 0 Como exemplo de fução poliomial associada à um fluxo de caixa, seja um projeto represetado pelo seguite cojuto de fluxos de caixa projetados: FC(A) = {-1.200; 450; 400; 350; 300} A fução valor presete líquido é dada por: VP(A) = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) A solução deste tipo de poliômio pode ser efetuada por diversos métodos: o Processo da Bisseção, metodologia iterativa; pelas fórmulas de Karpi que permitem defiir a TIR de modo algébrico, cujo resultado é obtido de modo aproximado, fórmulas essas recomedadas para serem utilizadas quado os fluxos de caixa apresetem uma lei de formação coforme modelo pré-determiado; o Método de Newto- Raphso e o método de Wild, ambos permitido a obteção da TIR de forma algébrica Processo da Bisseção. É o processo de mais fácil aplicação, com o icoveiete de ser muito trabalhoso, pois iterativo. 4 O processo de tetativa e erro é iiciado ao ser arbitrado um valor qualquer para a taxa ï e, a seguir, calculado o Valor Presete do fluxo de caixa para essa taxa. Sedo este primeiro valor positivo (+), arbitra-se um ovo valor para a taxa de descoto, maior que o aterior, e calcula-se, ovamete, o Valor Presete. Tal operação deve ser repetida, iterativamete, até ser ecotrado um valor presete egativo. Ao ser ecotrada uma taxa i em que o Valor Presete seja meor que zero, volta-se ao procedimeto iicial. Ou melhor, procura-se uma taxa i com valor meor que a ultima ecotrada e cujo valor presete seja positivo. O processo em questão deve ser repetido até se obter um valor presete zero ou isigificate. Como recomedação para acelerar o processo de cálculo pode-se adotar o processo da bisseção. Justificam a assertiva duas situações: a primeira dado a TIR correspoder à maior remueração possível para que um de projeto seja viável; a seguda, pois sedo a TIR superior à TMA, o valor presete líquido da alterativa de projeto será superior a zero e, por coseguite, ocorrerá o aumeto da riqueza dos proprietários. Em havedo a comparação etre dois ou mais ivestimetos, o que apresetar a mais alta TIR deverá ser cosiderado o ecoomicamete mais iteressate. Porém, como já cometado, para projetos de ivestimetos produtivos e que ão itegrem o mercado mobiliário, essa assertiva pode ão ser sempre verdadeira.

155 Neste processo, para cada ova taxa de descoto a ser utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética obtida etre as seguites taxas: aquela ultima taxa cujo valor presete teha sido egativo e aquela cujo ultimo valor presete teha se apresetado como positivo. i ova im(vp < 0 ) + i(vp > 0) = 2 Repetido o processo tatas vezes quatas forem ecessárias, ter-se-ão valores de i que propiciam valores presetes cada vez mais próximos de zero. O processo de iteração como ser dado como cocluído ao se obter uma taxa de descoto associada a um valor presete líquido irrisório ou, fiaceiramete, próximo a zero. A bibliografia, comumete, idica o processo da tetativa bisseção para o cálculo da TIR. É possível, porém, calcular algebricamete a TIR, utilizado os métodos discutidos o Capítulo 10. Ressalta-se que os métodos apresetados permitem defiir, apeas, uma das raízes do poliômio, ou seja, uma das TIR associadas ao projeto de ivestimeto. Recomeda-se, assim, que seja elaborado um diagrama de valor presete para que, graficamete, seja verificado se um apreseta mais de uma úica TIR. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

156 9.5.3 Aplicação da metodologia ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA i i + i = = = 11 Seja determiar a TIR associada à seguite fução de valor presete: VP(A) = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) O processo da bisseção é um procedimeto iterativo e segue os procedimetos abaixo. Ver, também, a Fig.9.4. Viabilidade Iicia-se verificado a viabilidade do projeto para alguma taxa de descoto. Para tato, faz-se i=0. Sedo VP>0, o projeto é viável e o processo pode prosseguir. Caso ocorra VP<0, o projeto é iviável para qualquer TMA e deve ser abadoado. 1ª iteração Arbitra-se uma taxa de descoto. Nesta primeira iteração foi adotada uma taxa de descoto i=10%. Calculado o valor presete obteve-se VP = +7,53R$. 2ª iteração Como a iteração aterior obteve-se VP>0, arbitra-se uma taxa maior visado obter um VP<0. Nesta iteração foi adotada uma taxa de descoto de i=12%. Calculado o valor presete chegou-se a VP = -39,56R$. 3ª iteração A próxima taxa de descoto adotada, utilizado a metodologia da bisseção, correspode ao resultado da média aritmética defiida etre as taxas que apresetaram, respectivamete, o meor valor presete positivo e o maior valor presete egativo: 4 Calculado o valor presete, chega-se a: VP= -16,41 R$. 4ª iteração - A taxa de descoto a seguir adotada correspode à média aritmética etre as duas ultimas taxas que apresetaram, respectivamete, o meor valor presete positivo e o maior valor presete egativo. Etão: i1 + i i 4 = = = Calculado o valor presete, chega-se a: VP= -4,54 R$. 5ª iteração Cosiderado que a iteração aterior obteve-se um VP= - 4,54, repete-se o procedimeto efetuado. Logo: i1 + i , 50 i 5 = = = 10, Calculado o valor presete, chega-se a: VP= +1,47 R$. 6ª iteração - A taxa de descoto a ser adotada esta iteração correspode à média aritmética etre as duas ultimas taxas que apresetaram, respectivamete, o meor valor presete positivo e o maior valor presete egativo. Ou seja, i 4 = 10,50 e i 5 =10,25. Etão: i4 + i5 10, , 25 i 6 = = = 10, Calculado o valor presete, chega-se a: VP= -1,54 R$. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

157 Eésima iteração - repetido o procedimeto exposto por -vezes, chega-se ao valor da TIR = 10,3110%. iteração Taxa de descoto i% VP R$ viável 0, , ,00 +7, ,00-39,56 3 (10+12)/2 = 11-16,41 4 (10+11)/2 = 10,50-4,54 5 (10+10,50) = 10,25 1,47 6 (10,50+10,25) = 10,3750-1,54 7 (10,25+10,3750)/2 = 10,3125-0, (10,25+10,3125)/2 = 10, , (10, ,28125)/2=10, , TIR 10,3110 0, Existêcia de múltiplas TIR Coceituação. Quado se utiliza a TIR como parâmetro de decisão, é recomedável a verificação de que ela seja ÚNICA, caso cotrário poderá o aalista icorrer em erro de avaliação. Esta uicidade de TIR é garatida quado o poliômio represetativo do projeto se apreseta como uma fução cotíua, decrescete e covexa, a exemplo dos diagramas mostrados a Fig Tal situação ocorre quado o projeto é do tipo de ivestimeto covecioal. No caso de projetos tipo ão covecioal, pode ocorrer a existêcia de diversas TIR, ada se podedo afirmar a priori. Justifica-se a assertiva acima já que a fução valor presete associada a um fluxo de caixa pode ser represetado por uma fução poliomial do eésimo grau. Assim, apreseta um úmero de raízes igual ao do grau do poliômio. Como o úmero de raízes é igual ao do grau do poliômio, existe um úmero de TAXAS INTERNAS DE RETORNO correspodete ao do grau do poliômio associado ao fluxo de caixa. Porém, sedo a maioria delas múltiplas ou ão pertecetes ao cojuto dos úmeros reais. Deste modo, um projeto pode apresetar uma ou várias TIR segudo o comportameto do fluxo de caixa. E, o que defie o comportameto do fluxo de caixa é o úmero de variações de sial que ele apreseta. Como exemplo deste tipo de fluxo de caixa pode-se ter um fluxo que apresete três variações de sial como o cojuto apresetado acima, caso que pode decorrer a existêcia de um diagrama de fluxo de caixa similar ao represetado a Fig.9.5, ode fica evideciada a existêcia de múltiplas TIR. Ao apresetar diversas variações de sial, o valor presete da fução fluxo de caixa pode ser egativo para algumas taxas de descoto. No diagrama da Fig. 9.5, pode-se verificar, graficamete, a assertiva acima quato a existêcia de um cojuto de valores presetes egativo associados à taxas de descoto que se situam etre a TIR1 e a TIR2. { -F 0 ; -F 1 ; +F 2 ; + F 3 ;+ F 4 ; -F 5 ;-F 6 ;-F 7 ;+F 8 ;+F 9 ;+F 10 ;+F 11 ;+F 12 } Egª Ecoomica~Aulas~ docx

158 Cosiderado que um projeto pode ser defiido como covecioal ou ão covecioal e esta defiição é expressa pelo úmero de variações de sial do fluxo de caixa. E, sedo viável o projeto, tem-se: a) Ivestimeto do tipo covecioal ou empréstimos apreseta apeas uma TIR. O comportameto de sua fução se apreseta de modo decrescete, cotíua e covexa, o que leva à existêcia de apeas uma raiz real. Ver diagrama da Fig b) Ivestimeto do tipo ão covecioal pode apresetar mais de uma variação de sial o fluxo de caixa. Deste modo o projeto pode dispor de um úmero de taxas iteras de retoro igual ao úmero de variações de sial. (De Faro, 1980). Tomado como exemplo o diagrama da Fig.9.5, qualquer empresa que descote seus ivestimetos à TMA s situadas etre os valores da TIR-1 e da TIR-2, pode icorrer em erro se cosiderar apeas a taxa itera de retoro como parâmetro de decisão. Pois, como visto, ela poderá ão ser úica! Pelo exposto e quado houver o iteresse em cohecer ou aalisar um projeto do tipo ão covecioal adotado a TIR como parâmetro de decisão, recomeda-se ao aalista fiaceiro efetuar o diagrama de valor presete de modo a visualizar o comportameto da fução. Esse procedimeto evita icorrer em equivoco durate seu processo decisão, especialmete quado em aálise de empreedimetos produtivos. Valor Presete - $ Valor Presete descotado p/ TMA i =TIR1 TMA2 Esta situação ão é corriqueira, mas pode ocorrer em empreedimetos produtivos, especialmete aqueles ligados à costrução civil e à de mieração, quado grades ivestimetos são realizados e ocorrem períodos ode os fluxos de caixa são egativos, especialmete a fase de captação de recursos. Ou, em projetos ode se prevê etapas sucessivas de aumeto de produção que demadem, para tato, ovos ivestimetos. i Exemplo TMA i=tir2 Fig.9.5 Existêcia de múltiplas TIR Como exemplo de fluxo de caixa que apreseta mais de uma TIR, seja o projeto de ivestimeto que apreseta o seguite fluxo de caixa: {-100; 230; -132}. A expressão do valor presete líquido é dada por: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

159 VPL = ( 1+ i) ( 1+ i) VPL - $ 2 b) Calcular a taxa de juros embutida os projetos de fiaciameto represetados pelos seguites cojutos de fluxos de caixa: FC(A) = {-1.200; 500; 450; 400; 350; 300} TIR 1 TIR 2 FC(B) = {-350; -480; 0; 155; 248; 320; 340; 365; 395} c) Detre os cico projetos de ivestimetos abaixo, qual deles VOCÊ escolheria para ser implatado? Justifique a sua opiião! O diagrama de fluxo de caixa deste ivestimeto, Fig.9.6, evidecia a existêcia das duas TIR. 9.7 Exercícios. Fig.9.6. Exemplo de projeto a) Comparado os projetos represetados pelos cojutos de fluxo de caixa solicita-se: os poliômios represetativos dos mesmos; o diagrama do valor presete dos dois projetos represetados em um úico diagrama cartesiao e, aquele a ser recomedado para implatação, sabedo que a empresa pratica uma TMA=15% ao período. P(A) = [-100, 16, 20, 30, 45, 55, 100] e P(B) = [-35, - 45, 35, 45, 55, 55, 45] i Projeto V. Presete Líquido Pay Back TIR - % 10³ R$ aos A ,00 22,07 7,20 B ,99 19,44 6,40 C ,78 19,00 5,00 D ,99 29,56 4,10 E ,90 31,44 6,90 c) Qual a difereça coceitual etre TMA e TIR? d) Quado se deve utilizar, um processo de decisão ou de comparação de alterativas, cada uma delas? e) Você é um dos diretores de uma empresa quado, em reuião de diretoria, foi discutida a ampliação e implatação de mais uma liha de produção. Para tato quatro alterativas de ivestimetos foram apresetadas. Sabe-se que apeas um dos projetos será escolhido, pois os recursos dispoíveis são limitados. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

160 O aalista fiaceiro recomedou a adoção do projeto GAMA! Ele justificou seu poto aexado o memorial de calculo da TIR dos projetos, cujo resultado costa do quadro abaixo. Você cocorda com a opiião do aalista? Justifique. Projeto Taxa Itera de Retoro Alfa 36,9432 Beta 34,5678 Gama 39,0298 Delta 35,7554 f) Um ivestimeto produtivo cujo horizote de projeto foi previsto para quize aos, esta sedo aalisado sob duas codições: 1ª) o ivestimeto dos ativos produtivos poderá ser realizado com a utilização de capital dos acioistas, a ser suprido com aumeto de capital da empresa realizado pelos sócios; 2ª) utilização de capital oriudo de um baco de ivestimetos. Como codições de fiaciameto, a proposta do baco previa quitação em dez parcelas iguais, auais e cosecutivas defiidas pelo sistema SAC, dois aos de carêcia e juros de 8,5% ao ao. O aalista de ivestimetos elaborou os respectivos fluxos de caixa e os descotou à taxa de remueração do fiaciameto, ou seja, 8,5% ao ao. Perguta-se: VOCE cocorda com a adoção da taxa citada? Justifique a sua assertiva. g) Você, como Diretor Técico de uma empresa de egeharia que atua a área de terrapleagem, detém a resposabilidade de aalisar a aquisição de cico equipametos de compactação de solos. Tal equipameto pode ser forecido por três empresas. Para julgameto das propostas recebidas, VOCE dispõe das iformações costates do quadro abaixo. E, sabe também, que sua empresa pratica uma taxa de atratividade o valor de 15% aa. Justifique, coceitualmete e á luz de seus cohecimetos, qual será a sua decisão! Equipameto uidade Empresa Prefax Terrapac Complus Modelo 5 PCM-32 TCON-K9 CP-X5 Preço - Compra 10³ R$/u Vida Útil aos 7,0 5,0 9,0 TIR % 27,99 30,68 36,40 BAE 10³ R$/ao Mauteção 10³ R$/ao Valor Presete 10³ R$/ao 3.511, , ,72 h) Você, como Diretor Técico de uma empresa de egeharia que atua o setor de terrapleagem, detém a resposabilidade de aalisar a aquisição de cico equipametos de compactação de solos. Tal equipameto pode ser forecido por três empresas. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

161 Visado subsidiar o julgameto das propostas, foi elaborado o quadro de iformações abaixo. Além disso, Você sabe que sua empresa adota uma TMA o valor de 17,7% aa. Justifique, coceitualmete e á luz de seus cohecimetos, qual será a sua decisão! equipametos fiaciados ão são cosiderados o fluxo de caixa o mometo de sua aquisição. Todas as assertivas acima são icorretas. Todas as assertivas acima são corretas. Especificações Empresa uidades Equipameto Prefax Terrapac Complus Modelo 5 PCM-32 TCON-K9 CP-X5 Preço de Compra 10³ R$/u 420,0 340,0 495,0 Vida Útil aos 7,0 5,0 9,0 TIR % 27,99 30,68 36,40 BAE 10³ R$/ao 844,0 844,0 798,0 Mauteção 10³ R$/ao 76,0 64,0 45,0 Valor Presete 10³ R$/ao 3.511, , ,72 i) Assiale as afirmativas corretas: A taxa de descoto adotada a aálise de viabilidade de alterativas de projetos produtivos deve ser a mesma adotada para a quitação dos fiaciametos dos projetos. A aálise de viabilidade de projetos produtivos, quado compara alterativas de projetos de loga duração, deve descosiderar as distitas vidas úteis das mesmas. É irrelevate a elaboração dos diagramas de valor presete quado se aalisa alterativas de projetos de ivestimetos produtivos ão covecioais. A TIR é a taxa de descoto tecicamete recomedável a ser adotada a aalise de viabilidade de projetos ão covecioais. Sempre que se realiza a aalise de viabilidade de projetos de ivestimetos produtivos, os valores dos imóveis e Egª Ecoomica~Aulas~ docx

162 10. Métodos Algébricos. Neste capítulo são apresetados algus métodos destiados a calcular algebricamete uma das possíveis TIR associadas a um dado fluxo de caixa. ocorre a operação fiaceira, seguida por uma série de etradas de caixa. No caso das formulas de Karpi ocorre uma exigêcia complemetar para que possam ser aplicadas é que os pagametos apresetem uma lei determiada de formação. Logo, fica vedada sua aplicação para séries que apresetem pagametos distitos. Não se pretede esgotar este assuto, mas forecer ao iteressado uma metodologia capaz de solucioar a maioria dos problemas desta área de cohecimeto. Para projetos de ivestimeto do tipo simples ou covecioal, cujo fluxo de caixa se comporta segudo determiada leis de formação, a TIR pode ser determiada utilizado uma metodologia deomiada Fórmulas de Karpi. Os projetos de ivestimeto do tipo ão covecioal, a TIR pode ser determiada utilizado os algoritmos de Wild ou de Newto-Raphso Fórmulas de Karpi As fórmulas de Karpi facilitam o calculo, de modo expedito, da Taxa Itera de Retoro de projetos de ivestimetos tipo empréstimo. Ressalta-se que projeto tipo empréstimo é defiido como aquele em que ocorra apeas uma úica saída de caixa seguida de tatas etradas de caixa quatos forem os períodos de pagameto. E, que a primeira etrada ocorra o período imediatamete subsequete ao da saída de caixa. É oportuo ressaltar que o resultado obtido pela utilização da fórmula de Karpi é aproximado e, para que o resultado seja compatível com o real, os juros deverão ser calculados, exclusivamete, sobre a importâcia a ser fiaciada. O calculo da TIR utilizado as fórmulas de Karpi, como já cometado, é recomedado para utilização em projetos de ivestimetos que atedam as seguites codições: i) Seja uma operação do tipo empréstimo ou fiaciameto liberado em úica vez; ii) E, que os pagametos atedam a uma lei de formação pré-defiida. A operação do tipo empréstimo é defiida como aquela em que ocorre uma úica saída de caixa o mometo em que Isto quer dizer que evetuais etradas ou sial de egócio devam ser abatidos do motate do bem fiaciado. Três serão os casos de prestações a serem apresetados: Egª Ecoomica~Aulas~ docx Prestações costates; Prestações crescetes; Prestações decrescetes.

163 Como omeclatura, este capítulo será adotado: R, correspodedo ao valor da prestação; VB, o valor do bem fiaciado;, represetado o úmero de prestações. Estabelecedo a seguite omeclatura: S correspodedo ao valor a ser fiaciado; Q represetado a prestação; e, o umero de prestações Caso de Prestações Costates O método. O modelo proposto é recomedado para utilização em projetos covecioal tipo fiaciameto ou empréstimo com retoros costates, correspodedo a uma série postecipada, e destiado a defiir a taxa de juros sob a ótica do tomador do recurso. E, cosiderado um projeto de fiaciameto represetado por deu fluxo de caixa: Ou, em forma poliomial, VP(P) Projeto: {-VB, R 1, R 2, R 3,..., R } R (1 + i) R (1 + i) R (1 + i) = VB L R + (1 + i) Em que, por defiição: R 1 = R 2 = R 3 = = R = R O processo de obteção da TIR ocorre em duas etapas: 1º Etapa Defie-se uma costate deomiada a : RN VB a = VB 2º Etapa Calcular-se a TIR: RN = VB 1 Dispoível o valor da costate a, pode-se determiar a TIR, utilizado o modelo abaixo. Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de aquisição de bes de cosumo realizado o comércio varejista, quado os pagametos realizados à prestação costate. 2a ( 3 + a) TIR(P) 2a + 3 ( + 1) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

164 Aplicação. ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA Seja calcular a taxa de juros embutida o fiaciameto de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.800,00, a ser pago em dez prestações iguais, mesais e cosecutivas o valor de R$ 195,00. RN a = 1 = 1 = 0,08333 VB 1800 Rj R j = q R j-1 q = > 1 Rj 1 De modo similar ao caso aterior, a defiição da taxa itera de retoro também é obtida em duas etapas: 2a( 3 + a) 2 0, ( 3 + 0, 08333) TIR (P) = = 0, a + 3( + 1) , ( ) Pelo exposto, o valor da TIR(P) = 1,48% ao mês Caso de Prestações Crescetes O Método. Neste caso, as prestações são crescetes e variam segudo uma taxa costate. O fluxo de caixa, etão, se comporta como uma série em progressão geométrica que cresce à razão q. Sedo R j um termo qualquer do fluxo de caixa represetado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, etão, por defiição, e sedo esse um dos termos de uma progressão geométrica, a razão da progressão, ou seja, da série crescete de prestações é dada por: 1ª Etapa Defie-se uma costate deomiada de a, defiida em fução do úmero de prestações, do coeficiete de variação das prestações, do valor da 1ª prestação e do valor fiaciado, coforme o modelo abaixo: a = 2º Etapa: Calcula-se a TIR: R1 qvb qvb R1 = 1 qvb Dispoível o valor do parâmetro a, calcula-se a TIR utilizado o modelo. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

165 TIR (P) ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA 2a( 3 + a) q a + ( + ) 10.4 Caso de Prestações Decrescetes Aplicação. Seja calcular a taxa de juros embutida o fiaciameto de um bem cujo preço ofertado mota a R$ 1.800,00, a ser pago em dez prestações mesais, crescetes e cosecutivas, cuja taxa de crescimeto foi determiada em 1% ao mês. A primeira prestação foi pré-determiada em R$ 180, O Método. Neste caso, as prestações são decrescetes e variam segudo um valor costate. 1ª Etapa: Calculo do parâmetro a: R , a = 1= 1= 1= 0,0726 q VB 1, , ª Etapa: Determiação da TIR TIR(P) TIR(P) 2a(3 + a) q a 3( 1) (0,0726) (3,0726) 1, (0,0726) 3 (10 1) + + 0,4461 TIR (P) 1, = 0, ,4520 Neste caso, a TIR correspode a 2,31% ao mês. O fluxo de caixa, etão, pode ser cosiderado como uma série em progressão aritmética decrescete a um valor costate k. Há, porém, para que o modelo possa ser aplicado, verificar se a primeira prestação atede à seguite codição. Sedo a primeira prestação iferior ao valor de R 1, coforme codição, a aplicação deste modelo de determiação da TIR fica iviabilizada: VB R 1 = + ( k) Egª Ecoomica~Aulas~ docx

166 Etão, sedo Rj um termo qualquer do fluxo de caixa represetado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, etão, por defiição e sedo esse um dos termos de uma progressão aritmética, ele é defiido por: R j = R j-1 - K e, K = R j-1 - R j decorridos trita dias da data da operação. As prestações decrescedo em R$ 2,66 por mês. 1ª Etapa: Codição da Primeira Prestação. O modelo de cálculo da TIR somete será coerete se o valor da prestação calculado, R1, for igual ao valor pactuado para a primeira prestação. Para que seja valida a aplicação do modelo, o primeiro termo da série de pagametos, ou seja, a primeira prestação deve ateder a codição defiida: VB R 1 = + ( K) Atedida a codição estabelecida para a primeira prestação da série de pagametos pode, etão, ser calculada a Taxa Itera de Retoro utilizado a seguite expressão: TIR (P ) K VB Ressalta-se que, em a primeira prestação ão ateder a codição acima, o modelo ão pode ser aplicado, cabedo ao iteressado utilizar outra metodologia para a defiição da TIR. Neste caso, a igualdade existe, o que tora viável a aplicação do modelo. Caso cotrário, a aplicação do modelo se mostraria icosistete. VB 1800 R 1 = + ( K) = + (10 2,66) = 206,60R$ 10 2ª Etapa: Determiação da TIR. K 10 2,66 TIR (P) = = 0,0148 VB 1.800,00 Neste caso de prestação decrescete a TIR apreseta uma taxa de juros de 1,48% ao mês Exercícios Aplicação. Seja calcular a taxa de juros embutida o fiaciameto de um bem cujo preço ofertado mota a R$ 1.800,00, a ser pago em seis prestações mesais, decrescetes e cosecutivas, iiciado a primeira, o valor de R$ 206,60 e. Um equipameto é vedido, à vista, por R$ ,00. Calcular as taxas de juros cobradas sob as seguites codições: Fiaciameto realizado em 10 prestações iguais e cosecutivas o valor de R$ ,00 mesais; Egª Ecoomica~Aulas~ docx

167 Em 10 pagametos iguais, mesais e cosecutivos, com a primeira prestação o valor de R$ ,00 e as demais apresetado uma variação crescete segudo um coeficiete de 10% ao mês; Em dez prestações decrescetes, mesais e cosecutivas, pactuadas segudo a sequêcia abaixo: R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 R$ ,00 b) Calcular a TIR viculada ao fiaciameto de um automóvel as seguites codições de pagameto e veda. Preço do Veículo: R$ ,00 Etrada: R$ 5.000,00 Em trita dias (1º pagameto): R$ 3.000,00 Saldo: cico prestações mesais, iguais e cosecutivas o valor de R$ 5.987,00. c) Uma empresa varejista oferta uma geladeira tipo Gelmax em dez prestações iguais, mesais e cosecutivas, o valor de R$ 599,90, vecedo a primeira delas 30 dias após a data de aquisição. O preço a vista do produto é de R$ 5.999,00, e a empresa ão pratica descoto algum sobre este valor. Assim sedo, perguta-se: O motate do lucro realizado; O custo do produto, CD. Para o calculo do preço, você dispõem dados gereciais abaixo. A empresa fixa seu preço adotado o seguite modelo matemático: P = CD( 1+k ) e, k =ML + TR + DI. Taxa de fiaciameto a clietes 26,6750% ao ao Margem de lucro = ML 15% Tributos = TR 22,50% Despesas admiistrativas idiretas = DI 4,4% d) Assiale qual, ou quais, opções são válidas: Sempre que a TIR for maior que a TMA um projeto produtivo pode ser cosiderado como viável. Quado a TIR for igual à TMA um projeto produtivo deve ser abadoado por ser iviável. Quado comparados dois projetos produtivos, o que apresetar a maior TIR deve ser defiido como o mais atrativo. Ao serem comparados dois projetos repetitivos, a exemplo da reposição de equipametos, e que apresetem tempos de vidas distitos, o método do valor presete ão é o mais adequado para ser adotado o processo de decisão. No caso de um projeto apresetar uma TIR igual a TMA, quato maior for o valor da TIR, meor é o tempo de retoro do capital ivestido. A TIR é um método iadequado para defiir a taxa de juros embutida em fiaciameto de bes o curto prazo. Quado comparados dois projetos de fiaciameto de curto prazo, o que apresetar a maior TIR deve ser rejeitado. A TIR e a TMA sempre exprimem o mesmo coceito ou seja, taxa de oportuidade. A matemática dos juros simples é a legalmete defiida para ser adotada em estudos de viabilidade. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

168 O método do valor uiforme equivalete ão é o mais adequado para ser adotado em aálise de viabilidade de projetos produtivos. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

169 11. Comissioameto de Ativos Defiição. Este Capítulo trata do comissioameto de ativos e do leasig-back. No cotexto em discussão, comissioar sigifica colocar um processo de produção um bem ou equipameto destiado a cumprir determiada fução ou serviço por um determiado período de tempo. O comissioameto pode se realizar sob as seguites alterativas: Compra a vista; Compra a prazo ou fiaciameto; Aluguel com devolução, ou leasig; Aluguel sem devolução; E, o leasig-back. O leasig-back, é uma modalidade de fiaciameto de ativos, a partir da aquisição de um bem da própria empresa tomadora do fiaciameto. Neste caso a empresa vede um ativo de sua propriedade para a fiaciadora que, imediatamete, lhe aluga ou fiacia o mesmo. A aálise de ivestimetos permite icluir o processo de decisão da escolha de equipametos a dimesão fiaceira. Dimesão esta que possibilita estabelecer uma política de aquisição, comissioameto e alieação de ativos e que trascede à aálise técica ou ecoômica dos mesmos. Cosiderado, comumete, que as alterativas aalisadas os estudos de comissioameto são destiadas a comparação de equipametos que realizarão um mesmo serviço é comum aalisar somete os custos a serem icorridos, esses casos. Assim sedo, pode-se cosiderar, apeas, os custos associados a cada alterativa, procedimeto que facilita e agiliza o processo de tomada de decisão Tipos de Comissioametos Metodologia Decisão. O processo de decisão adotado para aplicação a escolha da melhor das alterativas acima elecadas é o método do valor presete líquido. Para tato, devem ser defiidas as seguites variáveis: O valor do bem, ou seja, o seu preço de aquisição; A T.M.A. da empresa; A vida útil do bem ou equipameto; O valor residual; A taxa de juros do fiaciameto; O valor do aluguel. A decisão será efetuada segudo a alterativa que apresetar o melhor Valor Presete Líquido - VPL. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

170 E, o valor presete líquido e os fluxos de caixa das alterativas são calculados segudo o modelo abaixo: VP (p ) = Fo + F k k = 1(1 + Em que o valor do fluxo de caixa F K, geérico, é defiido pelo seguite modelo: F k = Σ Rec Σ Desp - Ivest + Deduções + Valor Residual Ou, F k = Lucro Ivestimetos + Deduções + Valor Residual i) k Na compra a vista, o fluxo de caixa deve cosiderar o ivestimeto iicial correspodedo ao valor do bem adquirido e todas as etradas e saídas de caixa propiciadas pela operação do bem. Um exemplo de fluxo de caixa desta operação é exposto a Fig Além disso, deve cosiderar a vida útil do bem, ou seja, o tempo em que o mesmo estiver em comissioameto. Para tato há que se cosiderar os tributos e taxas icidetes, custos e despesas ecessárias à operação do mesmo, taxas e a depreciação legal, esta última, que melhora o fluxo de caixa. Alerta-se que, o calculo do valor presete de cada alterativa, a taxa de descoto i correspode à TMA da empresa iteressada. Nos ites a seguir serão discutidos os diagramas de fluxo de caixa típicos de cada uma das modalidades de comissioameto elecadas o item A decisão da escolha da melhor alterativa, como já cometado, deverá ser realizada utilizado o método do Valor Presete Líquido Compra a vista. A compra a vista é recomedável quado a empresa dispõe de caixa suficiete para a aquisição do bem e ão prejudicar o ível do capital de giro. Ao fial da vida útil do projeto, o bem pode ser vedido e, deste modo, haver uma melhoria o ultimo fluxo de caixa, fato que pode vir a beeficiar sesivelmete o projeto. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

171 Compra a prazo. Na compra a prazo, ou fiaciameto, o bem também é cosiderado, para efeitos legais, como propriedade da empresa. O fluxo de caixa associado a uma compra a aprazo deve levar em cosideração: o valor da prestação, ai especificado o motate dos juros a serem pagos e o valor da amortização a cada período. Deve-se adicioar ao fluxo de caixa, também, os tributos e taxas icidetes, bem como a depreciação legal. Ver modelo de fluxo de caixa de compra a prazo a Fig Neste caso, coforme já cometado o capitulo amortização de dívidas, o pagameto das prestações do fiaciameto deve ser decomposto a parcela dos juros e a de amortização. Prestação = Juros + Amortizações. Isto porque, os juros são cosiderados como despesas do exercício e susceptíveis à ação do imposto de reda. E, os valores das amortizações cosiderados como ivestimeto. Cotabilmete itegram o ativo da empresa. A atratividade das alterativas de compra a prazo e, também, de aluguel é a possível dispoibilidade do bem sem ocorrer a ecessidade de descapitalização. Além disso, este caso de fiaciameto ou aluguel sem a devolução do bem o fial do período cotratual, o pagameto do bem ocorre a medida em que vai sedo realizado o fluxo de receitas da empresa Aluguel com devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel com a devolução do bem o fial do período de locação, operação comumete cohecida como leasig, o custo do aluguel ocorre durate toda a vida do projeto. No fial do período o bem retora à posse do locador. Neste caso o bem é cosiderado como propriedade do locador e o custo do aluguel cotabilmete tratado como despesa do exercício. Ver modelo de fluxo de caixa a Fig Egª Ecoomica~Aulas~ docx

172 O valor do aluguel é defiido por uma série uiforme postecipada, com prestações iguais, mesais e cosecutivas Aluguel sem devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel sem a devolução do bem, o custo do aluguel ocorre durate toda a vida do projeto. E, durate o período de locação, o valor da mesma é cosiderado como despesa do exercício. Após expirar o cotrato de aluguel, porém, o bem passa a itegrar o patrimôio da empresa locatária avaliado pelo valor residual do mesmo. Neste caso pode haver uma operação de compra ou, simplesmete, a doação do bem pela arredadora à empresa fiaciada. Ver Fig Em decorrêcia deste fato, ao fial do projeto, há que se cosiderar o valor do mesmo como uma etrada de caixa, segudo o valor previsto para aquela época Leasig-back. O leasig-back é uma operação de leasig fiaceiro em que o próprio cliete atua, também, como forecedor. Ele vede um ativo de sua propriedade para a empresa arredadora que, em seguida, lhe arreda o bem. Ao fim do cotrato, o cliete recompra o bem pelo valor residual garatido - VRG( 6 ). O valor residual garatido correspode a uma porcetagem do valor de aquisição, segudo codições ou parâmetros cotratualmete estabelecidos. ( 6 ) Fote: acesso em Egª Ecoomica~Aulas~ docx

173 Na prática, o leasig-back fucioa como um modo simples e rápido de obteção de capital de giro de logo prazo com garatia real e sem icidêcia de Imposto sobre Operações Fiaceiras, IOF. A empresa vede um bem do seu ativo imobilizado sem perder o uso do mesmo e o recompra cocluída a operação de leasig. Além disso, possibilita à empresa a realização de plaejameto fiscal e tributário, pois o cliete utiliza-se das vatages cotábeis e fiscais do leasig fiaceiro para bes ateriormete icorporados ao seu ativo imobilizado Exercício O Diretor Fiaceiro da MORSA Costruções & Egeharia esta estudado a substituição e padroização de sua frota de automóveis, pois deseja adquirir dez ovas uidades. Estude, aalise e recomede qual será a ação fiaceiramete mais iteressate de comissioameto possível. Para tato, estão dispoíveis as seguites iformações: O fluxo de caixa para aálise desta operação deve cosiderar como etrada de caixa o valor de veda do bem o mometo da operação. E, como saídas de caixa: os custos do aluguel/leasig; as possíveis despesas de mauteção; e o valor de recompra o fial do período. Ver Fig A vatagem este tipo de operação fiaceira é que ela possibilita o alogameto do perfil do edividameto de curto para logo prazo. A MORSA adota uma TMA de 15% ao ao; O preço de um veículo ovo é de R$ ,00. O mesmo veículo com cico aos de uso pode ser egociado a 20% do valor do ovo; A istrução ormativa º 162 da Receita Federal permite depreciar um automóvel em 5 (cico) aos; Taxas e imposto sobre propriedade de veículos motam a 3% ao ao sobre o valor do mesmo, variado segudo o tempo de uso a uma taxa decrescete de 20% ao ao; O Diretor dispõe de uma proposta de leasig o valor de R$ 1.888,00 mesais, por veículo. A empresa Pro-leasig substitui os veículos a cada dois aos, com devolução do bem alugado; A Fightwell, empresa coligada à cocessioária de veículos, se propõe a fiaciar os veículos pelo prazo de 5 aos, ao custo de ,72 R$, aual, por veículo. Juros pactuados Egª Ecoomica~Aulas~ docx

174 de 28,32% ao ao ou 2,1% ao mês. Tributos, taxas e mauteção suportados pelo cliete. Uma aálise dos custos auais de mauteção de veículos da empresa mostra que evoluem, aualmete, sedo de: 4% do valor do veículo ovo o primeiro ao, 5% do valor do veículo ovo o segudo ao; e crescedo 1% a cada período. Após o quito ao é política da empresa aliear seus veículos. A soma das alíquotas dos tributos icidetes sobre o lucro, imposto de reda e cotribuição social sobre o lucro líquido, motam a 24%. Leasig: Proleasig ,28 R$ Fiaciameto: Fightwell ,52 R$ Comparado os valores presetes obtidos, a compra a vista é a que oferece o meor custo. Porém, há que se verificar se a MORSA dispõe de caixa, ou ão vai se descapitalizar, para adotar esta alterativa. Caso ão dispoha de recursos, a alterativa a adotar será realizar o comissioameto da frota utilizado o processo de fiaciameto do bem através da Fightwell. O leasig se mostrou como sedo a alterativa que apreseta o maior custo. I Defiição do método de decisão e resultado. Sedo política da empresa em aliear veículos a cada cico aos, pode-se cosiderar uma substituição total de frota o fial deste período, sem haver a cosideração da reposição com ativos idêticos aos alieados. O estudo de decisão será realizado para apeas um veículo, já que todos os veículos serão similares. Foram aalisadas três alterativas de comissioameto: 1º. Compra a vista; 2º. Leasig cotratado com CV-leasig; 3º. Fiaciameto cotratado com a Fightwell. Foi adotado como método de decisão o valor presete líquido, tedo sido obtido para cada alterativa aalisada os seguites motates: Compra a vista ,92 R$ II Fluxos de Caixa Sigulares. O valor dos tributos e da mauteção a ser cosiderado o Fluxo de Caixa é fução de custo aual de mauteção multiplicado por (1-α), sedo α o somatório das alíquotas do Imposto de Reda e da CSLL, icidetes sobre o lucro do exercício. Neste caso: (1-α) = ( 1-0,24) = 0,76. A - Calculo dos Tributos Auais. Ao Valor Desvalor. Base Alíquota Tributo do Bem % Calculo % R$ ,00 1, , , ,00 0, , , ,00 0, ,00 0,03 869, ,00 0, ,60 695, ,60 0, ,88 556,65 Tributo Valor para (1-α) R$ Fluxo Caixa ,00 1,032, ,20 826, ,76 0,76 661, ,80 528, ,65 423,05 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

175 F 5 F F k o k (, 5 ) ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA ENGENHARIA ECONÔMICA V p F k P ( ) = + k 1 i = k 1 = ( + ) 1 = k B - Calculo dos Custos de Mauteção. Ao Valor % Mauteção Custo Aual Mauteção (1-α) Valor para Fluxo Caixa 1.377,12 1 0, ,00 2 0, , , ,00 0, ,00 0, ,68 4 0, , ,96 5 0, , ,24 c) Calculo da depreciação aual. Valor a Depreciar= ,00 5 =9.060,00R$/ao Depreciação = α x = 0,24 x = 2.174,40 R$/ao III Compra a Vista - Valor Presete. O valor presete do fluxo de caixa relativo à compra a vista do bem é defiido pelo modelo a seguir, sedo α = 0,24 o valor da soma das alíquotas do Imposto de Reda e da CSLL icidetes sobre o lucro da MORSA: F k = (1-α) {Σ Rec. - Σ Desp.} - Ivest. + α Dep. + V. Resid. E, o valor presete líquido dos fluxos de caixa descotados à TMA de 15% a.a., é defiido pelo modelo: C Fluxo de Caixa Compra a Vista F0 F1 F2 F3 F4 F5 Valor Bem ,00 Maute , , , , ,24 Tributos 1.032,84 826,27 661,02 528,81 423,05 Deprecia , , , , ,40 V.Resid ,00 Flx. Caixa ,00-235,56-373,27-552,30-764, ,31 Calculado, etão, o valor presete dos custos icorridos cosiderado uma compra a vista, tem-se: Egª Ecoomica~Aulas~ docx

176 VP CV = ,15 1,15 1,15 1, ,15 VP(CV) = ,92 R$ IV - Leasig Empresa Proleasig. Neste caso, o leasig é realizado com a devolução do bem egociado. O fluxo de caixa o leasig pode ser associado ao de uma série uiforme postecipada. E, o valor presete descotado à TMA de 15%, adotada pela MORSA, calculado segudo o modelo abaixo: VP Pro = P P = (1-α) x 1.888,00 x 12 = ,56 VP Pro = ,56 1,15 1 0,15 1,15 = VP(Pro) = ,28 R$ V- Fiaciameto - Fightwell. No caso de fiaciameto, o bem fiaciado passa a itegrar o ativo da empresa fiaciada e, em cosequêcia, os custos de operação e tributos suportados por ela. Quato à cosideração dos valores das prestações a serem laçados os fluxos de caixa ha que se tomar, separadamete, os valores dos juros e os das amortizações. Nesta situação, somete os juros sofrem a ifluecia do imposto de reda. Assim, os juros a itegrar cada fluxo de caixa aual correspoderão aos juros do fiaciameto cotratado multiplicado por 0,76. O valor da amortização, sedo ivestimeto, é laçado o fluxo de caixa pelo seu valor itegral. Ver quadro D, que mostra os valores dos juros e das amortizações previstos para cada período. Egª Ecoomica~Aulas~ docx

177 D - Calculo dos Juros e Amortizações Fiaciameto Ao Saldo Juros Prestação Aual 28,32% a.a. Amortização , , , , , , , , , , , , , , , , ,85 5 0, , , ,36 O fluxo de caixa da alterativa de fiaciameto é defiido, etão, como estabelecido o Quadro-E e represetado o diagrama do fluxo de caixa exposto o deseho V. Alerta-se que os valores dos juros foram laçados o quadro E - Calculo dos Fluxos de Caixa, já cosiderado o redutor de 0,76, relativo ao Imposto de Reda e da CSLL. Com os dados do fluxo de caixa expostos o quadro E, pode-se calcular o valor presete associado a esta alterativa de fiaciameto coforme a seguir: F 5 F V p F k F k o 0 P ( ) = + k 1 i = + k k 1 11 k 1 ( + ) (, 5 ) = VP CV = ,15 1,15 1,15 1,15 1,15 VP(CV) = ,52R$. = E - Calculo dos Fluxos de Caixa Fiaciameto item F1 F2 F3 F4 F5 Juros 9.750, , , , ,75 Amortiz , , , , ,36 Maute , , , , ,24 Tributos 1.032,84 826,27 661,02 528,81 423,05 Deprecia , , , , ,40 V.Residu ,00 Flx. Caixa , , , , ,00 Egª Ecoomica~Aulas~ docx

178 ÍNDICES DE INFLAÇÃO Egª Ecoomica~Aulas~ docx

179 2008 Ídice Nacioal de Preço ao Cosumidor INPC (IBGE) Valores referidos ao 1º dia de cada mês. Poderação das despesas da família: Tipo de Gasto Peso % do Gasto Alimetação 33,10 Despesas pessoais 13,36 Vestuário 13,16 Habitação 12, Trasportes e comuicação 11,44 Artigos de residêcia 8,85 Saúde e cuidados pessoais 7,56 Total 100,00 % Egª Ecoomica~Aulas~ docx