Codificação de Canal

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1 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal Quando nformação dgtal é envada através de um canal de transmssão, ruído e nterferênca nerentes a qualquer canal prátco degradam o snal de forma que os dados recebdos contêm erros. O usuáro do sstema de transmssão dgtal geralmente estabelece uma taxa de erro máxma acetável uma 6 6 mensagem errada em mensagens recebdas, por exemplo (.e., uma taxa de erro de ) acma da qual os dados recebdos não são consderados utlzáves pelo usuáro. Esta taxa de erro máxma acetável depende da nformação que transta pelo canal. A título de comparação, a taxa máxma de erro permtda para transmssão de voz através de telefona celular é muto maor do que a taxa exgda para transmssão de dados, por exemplo. Até porque, na por das hpóteses, mesmo sob uma alta taxa de erro e conseqüente dstorção, o sstema audtvo humano é capaz de compreender o sgnfcado das frases pelo contexto da conversa, o que já não acontece quando dos computadores trocam dados. O Codfcador de Canal é o responsável em um sstema dgtal por manter a taxa de erro dentro de um lmte máxmo acetável pelo usuáro. A possbldade do uso de codfcação para controlar com efcênca a taxa de erro de um sstema de comuncação dgtal fo demonstrada por Shannon [Shannon] em 948 através do denomnado Teorema Fundamental de Shannon: Se a taxa ( velocdade) de transmssão R [ s] [ s] bts da nformação a ser envada pelo canal é menor que uma quantdade C bts denomnada de Capacdade do Canal, então a comuncação através do canal pode ser estabelecda com uma probabldade de erro tão baxa quanto se deseje através do uso de um códgo adequado para correção de erro. Em essênca, o Teorema Fundamental de Shannon estabelece que a potênca do snal transmtdo, a potênca de ruído no canal e a largura de banda do canal estabelecem um lmte máxmo na taxa de transmssão R. Codfcação de Canal

2 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro No caso específco de o únco agente degradante do canal ser ruído η ( t) com dstrbução de probabldade Gaussana (canal Gaussano), a Le de Shannon-Hartley, decorrente do Teorema Fundamental de Shannon, estabelece que a capacdade C deste tpo de canal é dada por P B é a largura de banda do canal em Hz, C B log 2 + [ bts s] (4.) onde: P é a potênca do snal transmtdo e N N é a potênca do ruído Gaussano adconado ao snal no canal. Outra nterpretação é a de que P é a potênca do snal recebdo no receptor e N é a potênca do ruído na entrada do receptor. A Le de Shannon-Hartley apresenta duas mportantes mplcações: - Ela dá um lmte superor para a velocdade (taxa) de transmssão confável através de um canal Gaussano. 2- Para uma Capacdade de Canal C especfcada, ela defne o compromsso entre a largura de banda B do canal e a relação snal-ruído SNR P N (SNR Sgnal To Nose Rato) no mesmo. Apesar de (4.) somente ser válda para canal AWGN (AWGN Addtve Whte Gaussan Nose), sto é, o ruído adtvo η ( t) do canal é Gaussano e descorrelaconado (.e., espectralmente branco - whte), a Le de Shannon-Hartley é de utldade prátca por duas razões: - Em geral a maora dos canas físcos são pelo menos aproxmadamente AWGN. 2- Demonstra-se que o resultado obtdo para um canal AWGN provê um lmte nferor para a performance de um sstema dgtal operando com um canal não AWGN. Em geral, como a densdade espectral de η ( t), dada por I{ η ( t) } 2, é uma constante η 2 dentro do ntervalo de freqüênca B f B, o ruído pode ser consderado ruído branco [Taub] e a potênca do ruído pode ser aproxmada por η B, sendo bts. I {} o operador Transformada de Fourer [Carlson], e (4.) pode ser reescrta como C B log 2 [ s] ηb + P N Codfcação de Canal 2

3 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Lmte de Shannon Quando a largura de banda B do canal é aumentada ao nfnto, a Capacdade do Canal resulta em P C B e η P η log [ s] bts (4.6) A Equação (4.6) é conhecda como Lmte de Shannon. O Lmte de Shannon defne a máxma taxa de transmssão para um canal cuja largura de banda seja sufcentemente grande, tal que não apresente qualquer atenuação ao espectro do snal que transporta a nformação a ser transmtda. Infelzmente, o Teorema Fundamental de Shannon apenas demonstra que se R C exste um códgo corretor de erro tal que a nformação pode ser transmtda através do canal com uma taxa de erro arbtraramente baxa, mas não especfca como construr tal códgo corretor. Talvez a maor utldade prátca do Teorema Fundamental de Shannon seja demonstrar que para R > C não é possível transmtr nformação sem erro através do canal, mesmo que se utlze o mas poderoso códgo corretor de erro que se possa conceber. É mportante salentar que, não raro, o maor valor possível para a taxa de transmssão R é dado não por C, mas sm, pela complexdade computaconal do códgo corretor necessáro para que aquele valor de R possa ser alcançado. Codfcação de Canal 3

4 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro 4. Códgos Corretores de Erro Vmos que o Teorema Fundamental de Shannon estabelece a exstênca de um códgo corretor de erro tal que a nformação pode ser transmtda através do canal de comuncação com uma taxa de erro arbtraramente baxa, caso a s bts s. taxa de transmssão R [ bts ] seja menor ou gual à capacdade do canal C [ ] Estudaremos agora como construr tas códgos. Especfcamente, estudaremos os membros mas mportantes de duas grandes classes de códgos para correção de erro: os códgos de bloco e os códgos convoluconas. É mportante lembrar que o processo de correção de erros através de codfcação/decodfcação é realzado no Codfcador/Decodfcador de Canal. Algumas vezes este processo é referdo como: FEC (FEC Forward Error Correcton) procura nferr e medatamente corrgr erros pelas característcas do snal recebdo; ARQ (ARQ Automatc Repeat Request) smplesmente detecta a exstênca de erros no receptor e solcta ao transmssor que enve a nformação orgnal novamente. Isto mplca na exstênca de um canal de feedback do receptor para o transmssor, de modo que o processo ARQ não é muto utlzado exceto quando o objetvo são baxíssmas taxas de erro [Taub]. Codfcação de Canal 4

5 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro 4.2 Códgos de Bloco Podemos consderar um códgo de bloco de manera semelhante àquela que adotamos para os códgos compressores por entropa vstos no Capítulo III. Ou seja, um códgo de bloco pode ser consderado como um operador θ {}, tal que C θ{ X}, onde X { x } { x, x, L, xm } é o conjunto de M possíves mensagens x a serem codfcadas e C { c } { c, c, L, cm } é o conjunto de M possíves palavras-códgo c resultantes da codfcação, com,, L, M. O operador θ {} efetua um mapeamento unívoco entre cada mensagem x e a respectva palavra-códgo c. O conjunto de caracteres do códgo ou alfabeto do códgo é o conjunto Α { a, a, L, ad } composto por D elementos, de cuja composção são formadas cada mensagem e sua respectva palavra-códgo. No contexto de códgos corretores de erro: Cada mensagem X componentes x A, j k, k 2, L,,. j x é consderada como um vetor x [ x x L x x ] k ) ( k 2) ( de k Vsto que os k componentes da -ésma mensagem x pertencem ao alfabeto A, é válda a relação de k pertnênca A. x Da mesma forma, cada palavra-códgo c C é consderada como um vetor c [ c ( ) c ( ) L c c ] de n componentes c A, j n, n 2, L,,. n n 2 Vsto que os n componentes da -ésma palavra-códgo c pertencem ao alfabeto A, é válda a relação n de pertnênca A. c j Por exemplo, a palavra-códgo bnára, de 4 4 c, A n bts, é representada pelo vetor [ ] c, {, } Α. Codfcação de Canal 5

6 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro b Para um códgo D áro, com D sendo uma potênca ntera de 2 (.e. D 2, onde b é um ntero postvo), cada caractere D áro terá uma representação bnára equvalente formada por uma seqüênca de b bts. Portanto, um tal códgo D áro cujo tamanho da palavra-códgo é de N caracteres D áros pode ser mapeado em um códgo bnáro cujo tamanho da palavra-códgo é n bn. b Como, em geral, D 2 em sstemas prátcos, neste estudo focalzaremos os códgos bnáros ( Α {, } ), vsto que a qualquer nstante o códgo D áro pode ser mapeado no códgo bnáro equvalente e vce-versa. Exemplo 4.: Determne o códgo bnáro equvalente ao códgo θ {} abaxo. Mensagem x Palavra-códgo c assocada a x por c θ{ } x Codfcação de Canal 6

7 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Solução: O códgo orgnal é quaternáro ( D 4 ). O número de caracteres quaternáros utlzado na representação das palavras-códgo do códgo quaternáro é N 2. Exstem M 8 mensagens quaternáras, logo o códgo bnáro equvalente necessta k log M 2 3 bts em cada mensagem bnára para representá-las. Assm, ao mapear o conjunto de M O número de bts necessáros a cada Portanto o códgo bnáro equvalente mensagens quaternáras no conjunto de palavra-códgo bnára equvalente é ao códgo quaternáro é (Tab. 4.): M mensagens bnáras, obtemos: n bn, onde b log 2 D 2. Logo n bn Assm, ao mapear o conjunto de M palavras-códgo quaternáras no conjunto de M palavras-códgo bnáras, obtemos: Mensagem Mensagem Bnára Palavra-Códgo Palavra-Códgo Mensagem x Palavra-códgo c Quaternára Equvalente de Quaternára Bnára Equvalente de de k 3 bts de n 4 bts k 3 bts n 4 bts assocada a x por c θ{ x } Codfcação de Canal 7

8 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro 4.3 Códgos de Bloco Bnáros k Um códgo de bloco bnáro θ {} mapea um conjunto X { x } { x, x, L, xm } de M 2 mensagens bnáras, cada uma delas com k bts, em um conjunto C { c } { c, c, L, c } de M palavras-códgo bnáras, cada uma delas com n bts, onde n > k. M Um códgo de bloco θ {} bnáro cujas mensagens a serem codfcadas apresentam k bts e são mapeadas n,k θ n,k. em palavras-códgo de n bts é representado pelo operador θ ( ){} ou smplesmente ( ) Um códgo θ ( n, k ) é sstemátco quando cada palavra-códgo de n bts é formada pelos k bts da respectva mensagem assocada, acrescdos (por justaposção) de r bts adconas destnados ao controle e correção de erros, denomnados de bts de pardade. Portanto, em um códgo sstemátco cada mensagem contendo k bts de nformação é expandda em uma palavra-códgo de n k + r bts onde r é o número de bts representatvos da nformação redundante adconada vsando o controle e correção de erro. Um códgo θ ( n, k ) é não-sstemátco quando nas palavras-códgos de n bts não aparecem explctamente representados os k bts de nformação da respectva mensagem assocada. Na Seção veremos como converter um códgo não-sstemátco em um códgo sstemátco. Em função dsto, ncalmente restrngremos nossa atenção aos códgos sstemátcos. Por exemplo, o códgo θ ( 4,3) da Tabela 4. é sstemátco porque cada palavra-códgo c de n 4 bts é formada pela justaposção de bt de pardade aos k 3 bts de nformação da mensagem x assocada. Observe que, como n > k, no conjunto de todas as 2 n n k possíves palavras-códgos de n bts exstem 2 2 k elementos que não são assocados a qualquer elemento do conjunto X { x } { x, x, L, xm } de M 2 mensagens bnáras de k bts. Por exemplo, para o códgo bnáro θ ( 4,3) da Tabela 4. exstem 2 n k elementos no conjunto de n todas as possíves palavras-códgos de 4 bts sem assocação com qualquer mensagem do conjunto X {,,,,,,, }. Codfcação de Canal 8

9 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Em geral é desejável que o tempo nτ s de duração de uma palavra-códgo seja gual (dealmente menor ou gual) ao tempo de duração kτ x de uma mensagem, onde τ s representa a largura (duração) dos bts em uma palavra-códgo e τ representa a largura dos bts em uma mensagem. n Assm, se s R k n τ τ. c τ kτ x, então a razão de codfcação c s x x R de um códgo de bloco é O peso de uma palavra-códgo é defndo como o número de dígtos "" nela presentes. O conjunto de todos os pesos de um códgo consttu a dstrbução de pesos do códgo. Quando todas as M palavras-códgo têm pesos guas, o códgo é denomnado de códgo de peso constante. Por exemplo, o peso da palavra-códgo [ ] c é 2. Codfcação de Canal 9

10 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro O processo de codfcação/decodfcação de um códgo de bloco basea-se na propredade algébrca de que o conjunto de palavras-códgo C { c } { c, c, L, cm } pode ser mapeado em um conjunto de polnômos C p C p, C p, L, C p. { ( )} { ( ) ( ) ( )} M Os componentes do vetor c [ c c L c c ] n ) ( n 2) C p ( que representa a -ésma palavra-códgo correspondem n n 2 c p + c p + L + c p + c aos coefcentes do polnômo ( ) n ) ( n 2) ( assocado à palavra-códgo. A mesma propredade algébrca pode ser aplcada sobre o conjunto de mensagens { x } { x, x, L, xm } este também pode mapeado em um conjunto de polnômos { X ( p) } { X ( p), X( p), L, X M ( p) }. Os componentes do vetor x [ x k ) x ( k 2) L x x ] n n 2 coefcentes do polnômo X ( p) X ( k ) p + c ( k 2) p + L + c p + c assocado à mensagem. X de modo que ( que representa a -ésma mensagem correspondem aos Por este motvo os códgos de bloco são também denomnados de códgos polnomas. Por exemplo, a representação polnomal do códgo da Tabela 4. é mostrada na Tabela 4.2. Tabela 4.2: Representação polnomal do códgo da Tabela 4.. Mensagem Polnômo Palavra-códgo c Polnômo x X ( p) assocada a x por C ( p) c θ{ x } p + p 2 p + p + 2 p + p 2 3 p p + 2 p + p 3 + p p + p p 3 + p p + p + p 3 + p 2 + p + Codfcação de Canal

11 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro O processo de codfcação/decodfcação envolve operações artmétcas de adção e multplcação realzadas sobre o conjunto de polnômos { C ( p) } { C( p), C( p), L, CM ( p) } que representam as palavras-códgo, conforme veremos. Um códgo corretor de erro deve ser tal que o conjunto { C ( p) } e as operações artmétcas sobre ele defndas obedeçam a determnadas restrções, caso contráro a uncdade e o custo computaconal do processo de codfcação/decodfcação resultarão prejudcados. Especfcamente, os coefcentes dos polnômos em { C ( p) } devem pertencer a um tpo especal de conjunto denomnado de campo algébrco (feld) [Chen]. Um campo algébrco é uma entdade matemátca estudada em Álgebra Lnear. Codfcação de Canal

12 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Campo Algébrco Um campo F é um conjunto de elementos que permte duas operações sobre seus elementos adção e multplcação e que satsfaz aos seguntes axomas (propredades): Adção - O conjunto F é fechado sob adção,.e., se a, b F então + b F a. 2- A adção em F é assocatva,.e., se a, b, c F então a ( b + c) ( a + b) + c 3- A adção em F é comutatva,.e., se a, b F então a b b + a O conjunto F contém um únco elemento denomnado zero, representado por, que satsfaz a condção a + a, a F. 5- Cada elemento em F tem o seu elemento negatvo (smétrco). Se b F então seu smétrco é denotado por b tal que b + ( b). Se a F então a subtração a b entre os elementos a e b é defnda como a + ( b). Multplcação - O conjunto F é fechado sob multplcação,.e., se a, b F então F ab. 2- A multplcação em F é assocatva,.e., se a, b, c F então ( bc) ( ab)c a. 3- A multplcação em F é comutatva,.e., se a, b F então ab ba. 4- A multplcação em F é dstrbutva sobre a adção,.e., se a, b, c F então a ( b c) ab + ac O conjunto F contém um únco elemento denomnado dentdade, representado por, que satsfaz a condção a a, F a. 6- Cada elemento de F, exceto o elemento, possu um elemento nverso. Assm, se b F e b então o nverso de b é defndo como b tal que bb. Se a F então a dvsão a b entre os elementos a e b é defnda como ab. Por exemplo, o conjunto R dos números reas é um campo algébrco com nfntos elementos, assm como também o é conjunto dos números complexos C. Estes dos conjuntos obedecem aos axomas acma. Codfcação de Canal 2

13 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Um campo algébrco fnto com D elementos é denomnado de Campo de Galos (Galos Feld) e é desgnado por GF (D). Nem para todos os valores de D é possível formar um campo. Em geral, quando D é prmo (ou uma potênca ntera de um número prmo) é possível construr o campo fnto GF (D) consstndo dos elementos {,, L, D }, desde que as operações de adção e multplcação sobre GF (D) sejam operações módulo D [Clark]. Nota: Uma operação op é módulo D quando pode ser representada por ( a b) mod D operador que resulta no resto da dvsão x y. op, onde x mod y é o Por exemplo, a operação de soma módulo 5 entre os números 4 e 3 resulta em 2 vsto que mod 5. ( ) 2 Codfcação de Canal 3

14 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Por exemplo, o Campo de Galos GF (2) é formado pelo conjunto {, } e pelas operações módulo 2 de soma e multplcação dadas pelas Tabelas 4.3 e 4.4 Note nas Tabelas 4.3 e 4.4 que: Tabela 4.3: Soma sobre GF (2) Tabela 4.4: Multplcação sobre GF(2) +. a soma entre dos elementos a e b pertencentes a GF (2) é mplementada pela operação lógca a b (ou a XOR b ) e que a multplcação entre dos elementos a e b pertencentes a GF (2) é mplementada pela operação lógca b a. (ou a AND b ). Por sto é usual os códgos corretores serem construídos em GF (2) dada a facldade de mplementação com portas lógcas AND e XOR. Assm, um códgo corretor de erro bnáro ( Α {, } ) é tal que os coefcentes dos polnômos em { C ( p) } pertencem a GF ( 2) Α {,} e as operações artmétcas realzadas sobre o conjunto de polnômos { C ( p) } { C( p), C( p), L, CM ( p) } (ou, equvalentemente, sobre o conjunto de palavras-códgo C { c } { c, c, L, c }) durante o processo de codfcação/decodfcação obedecem às Tabelas 4.3 e 4.4. M Codfcação de Canal 4

15 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro 4.3. Capacdade de Detecção e Correção de Erro Suponhamos que c e c j sejam duas palavras-códgo quasquer do códgo θ ( n,k ). Uma medda da dferença entre as duas palavras-códgo é o número de bts em posções correspondentes que dferem entre s. Esta medda é denomnada de Dstânca de Hammng e é denotada por d j. Por exemplo, sejam c [ ] e [ ] Observe que d j sempre satsfaz a condção n bts (por defnção, em um códgo θ ( n,k ), c j O menor valor no conjunto { } j c. Então 3 j < d j n, j c e j d. j, para duas palavras-códgo c e c j, ambas de com j ). k d,, j,, L, M, j, M 2 é denomnado dstânca mínma do códgo e é denotado como d mn. Por exemplo, d mn 2 para o códgo θ ( 4,3) da Tabela 4. A Dstânca de Hammng d j é uma medda do grau de separação entre duas palavras-códgo c e c j. Assm, o grau de correlação temporal entre dos snas modulados v () t e v j ( t) gerados no modulador de um transmssor dgtal em decorrênca de c e c j é mplctamente assocado à d j [Proaks]. Portanto, d mn está assocado à capacdade do códgo θ ( n,k ) em dentfcar palavras-códgo demoduladas no receptor quando estas são recebdas em erro, como conseqüênca do ruído e nterferênca presentes no canal. Em outras palavras, quanto maor d mn maor a capacdade de um códgo θ ( n,k ) detectar e corrgr erros. Codfcação de Canal 5

16 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Demonstra-se que [Ash][Proaks]: Seja θ ( n,k ) um códgo corretor bnáro; seja d o número máxmo de erros que θ ( n,k ) é capaz de detetar; seja t o número máxmo de erros que θ ( n,k ) é capaz de corrgr; seja d mn a dstânca mínma de θ ( n,k ); então: d d mn (4.7) t d mn 2 (4.8) d mn n k + (4.9) sendo. o operador que resulta no ntero mas próxmo e menor que o argumento. Por exemplo, d 2 para o códgo θ ( 4,3) da Tabela 4.. mn Daí, de (4.7) e (4.8), temos que d d 2 e d mn mn t. Portanto o códgo ( ) 4,3 θ da Tabela 4. detecta no máxmo erro por palavra-códgo mas não tem capacdade de correção. De fato, este códgo é um smples códgo party-check. Codfcação de Canal 6

17 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro A Matrz Geradora de um Códgo θ ( n, k) Seja a -ésma mensagem de um códgo bnáro θ ( n,k) representada pelo vetor [ x x x ] x L e seja a -ésma palavra-códgo de ( n,k) ( k ) vetor [ c c c( n ) ] c L, onde,, L, M, k M 2. O processo de codfcação da mensagem [ x x x ] palavra-códgo [ c c c( n ) ] θ representada pelo x L ( k ) na respectva c L efetuado por um códgo bnáro θ ( n,k ) pode ser representado em forma matrcal por onde a matrz k n c x G (4.) G é denomnada de matrz geradora do códgo ( n,k ) G g g g M ( k ) g g g M ( k ) L L L g g g ( n ) ( n ) M ( k )( n ). θ e é dada por (4.) Codfcação de Canal 7

18 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Podemos nterpretar a matrz G como um conjunto de k vetores-lnha tal que G g g g M ( k ) g g g M ( k ) L L L g g g ( n ) ( n ) M ( k )( n ) g g g M ( k ). g,,,, k j (4.2) j L, Desta manera, de c x G (4.) e (4.2), cada palavra-códgo [ c c c ] c L ( n ) é smplesmente uma combnação lnear dos vetores j g com coefcentes da combnação determnados pela mensagem assocada x [ x x L x( k ) ], sto é: c x g + x g + L + x ( k ) ( k ) g (4.3) É possível demonstrar que [Clark][Peterson][Costello], o conjunto C de θ n,k é um sub-espaço vetoral de dmensão k. de um códgo ( ) k 2 palavras-códgo Logo, os k vetores-lnha g j que formam a matrz G devem ser lnearmente ndependentes para que possam, conforme estabelece (4.3), gerar o sub-espaço C em k dmensões. Em outras palavras, o conjunto de vetores g j é uma base para o sub-espaço C. Codfcação de Canal 8

19 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal 9 Exemplo 4.2: Verfque se a matrz G é a matrz geradora do códgo ( ) 4,3 θ da Tabela 4.. Solução: Cada palavra-códgo [ ] ) ( n c c c c L de 4 n bts é gerada através de (4.) a partr da respectva mensagem [ ] ) ( k x x x x L de 3 k bts. No total, exstem 8 2 k palavras-códgo em ( ) 4,3 θ. Assm, x c x G x c x G [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Portanto G é geradora de ( ) 4,3 θ.

20 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Qualquer matrz geradora G de um códgo θ ( n,k ) pode, através de operações elementares em suas lnhas e permutações em suas colunas, ser reduzda à forma sstemátca quando, então, o códgo gerado é sstemátco. Uma matrz geradora G encontra-se na forma sstemátca quando L p p L p (4.4) ( n k onde I k é a matrz dentdade k k e P é [ ] L p p L p( n k G I k P uma matrz k ( n k) que determna os M M M M M M M n k bts de pardade na palavra-códgo c L p( k ) p( k ) L p( k )( n de n bts, a partr dos k bts da mensagem x. Por exemplo: x Mensagem de k 3 bts Palavra-códgo c de n 4 bts assocada a x por c θ{ }. x A matrz geradora do Exemplo 4.2 (reproduzdo ao lado), G, está na forma sstemátca e o códgo θ ( 4,3) gerado é um códgo sstemátco,.e., cada palavra-códgo de n bts é formada pelos k bts da respectva mensagem assocada, acrescdos (por justaposção) de n k bts de pardade. Codfcação de Canal 2

21 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro No contexto de comuncação dgtal, as palavras-códgo passam por um processo de modulação no trasmssor e são envadas através de um canal com ruído/nterferênca. Dos códgos que dferem somente na ordem (arranjo) de suas palavras-códgo, apresentam a mesma probabldade de erro de decodfcação no receptor, porque as dstâncas de Hammng entre as palavras-códgo são as mesmas [Peterson]. Tas códgos são denomnados equvalentes. Especfcamente, o códgo θ e ( n, k ) é equvalente ao códgo ( n, k) ( n k ) e, θ se a matrz geradora G e de θ puder ser obtda através da permutação de colunas da matrz G geradora de θ( n, k) de operações elementares realzadas entre as lnhas de G. ou através Uma operação elementar em GF(2) entre duas lnhas de uma matrz consste em permutar as lnhas ou em substtur uma lnha pela soma dela com outra lnha. Assm sempre podemos transformar uma matrz G qualquer para a forma sstemátca por (4.4), mantendo a equvalênca entre os respectvos códgos gerados. * G dada Codfcação de Canal 2

22 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal 22 Exemplo 4.3: Dada a matrz geradora G, colocá-la na forma sstemátca * G. Verfque se * G gera um códgo equvalente ao gerado por G. Solução: Vsto que a matrz geradora é uma matrz 4 3 G, então o códgo gerado será um códgo ( ) 4,3 θ. * G pode ser obtda pelo segunte conjunto de operações elementares feto sobre as lnhas de G : Operação Elementar Matrz G alterada L 2 L ( ) L L L + ( ) 2 L L L + * G

23 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal 23 O códgo gerado por G é x c x G x c x G [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] O códgo gerado por * G é o mesmo códgo gerado no Exemplo 4.2. Portanto os códgos gerados por * G e G são equvalentes, porque dferem apenas na ordem (arranjo) de suas palavras-códgo.

24 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro A Matrz de Pardade de um Códgo θ ( n, k) Seja um códgo θ ( n,k) com matrz geradora G dada na forma sstemátca, sto é, G [ I P] (4.9) k Conforme dscutmos na Seção 4.3.2, a -ésma palavra-códgo c [ c c L c( n ) ] relacona-se com a respectva mensagem x [ x x L x( k ) ] através de c G. Já que G encontra-se na forma sstemátca, a palavra-códgo onde Vsto que 4.3), então [ x a ] x c pode ser decomposta em c (4.2) a x P é um vetor-lnha que contém os n k bts de pardade de c. a x P, e consderando que a soma em (2) x P que pode ser escrta matrcalmente como + a I [ ] x a n k GF é uma operação módulo 2 (ver Tab. (4.2) P (4.22) Codfcação de Canal 24

25 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Defnndo sendo H T P I n k [ x ] temos, de a c H T T I P n k T T [ ] [ P ] T T P T H ( H ) P ( I n k ) I I n k n k (4.22) que (4.23) (4.24) T Portanto, de c H (4.23), nfere-se que cada palavra-códgo do códgo ( n,k ) Codfcação de Canal 25 T θ é ortogonal a cada lnha da matrz H (se u v então os vetores u e v são ortogonas [Chen]). θ são geradas por G, então Em conseqüênca, como as palavras-códgo do códgo ( n,k) T GH (4.25) Observe que a matrz H pode ser usada no receptor dgtal para detectar e localzar em qual bt da palavra-códgo recebda ocorreu erro como conseqüênca da degradação mposta pelo canal de transmssão. Sempre que a palavra-códgo y T recebda no receptor dgtal resultar y H então y apresenta erros. Por este motvo, H ( n k ) n é denomnada de matrz de pardade. Dscutremos esta propredade na Seção

26 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal 26 Exemplo 4.4: Determne a matrz de pardade H do códgo ( ) 4,3 θ do Exemplo 4.3 e verfque se T GH e se T c H. Solução: A matrz geradora de ( ) 4,3 θ na forma sstemátca é [ ] I 3 P G. De (4.24) temos [ ] [ ] k n P T I H (4.26) T GH (4.27)

27 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal 27 Verfcando se T c H : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

28 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Decodfcação pela Mínma Dstânca (Decodfcacão MLD - Maxmum-Lkelhood Decodng) Nesta seção estudaremos como os erros nas palavras-códgo são detectados e corrgdos no receptor dgtal. No receptor dgtal, os n bts provenentes do demodulador, correspondentes à -ésma palavra-códgo y recebda são entregues ao decodfcador do códgo θ ( n,k ). O decodfcador compara y k com as M 2 possíves palavras-códgo c j de θ ( n, k), j,, L, M, e decde em favor daquela palavra-códgo (portanto, em favor da mensagem assocada) que é mas próxma da palavra-códgo recebda em termos da Dstânca de Hammng. Matematcamente esta operação pode ser expressa por { } j H onde c j C, { c } { c, c, L, c } C e M θ y arg mn c j y c (4.29) y c j denota a Dstânca de Hammng entre H y e c j. Codfcação de Canal 28

29 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro A decodfcação com base na dstânca mínma é ótma no sentdo de que resulta na mínma probabldade de erro de decodfcação se: a) As palavras-códgo do conjunto { c } { c, c, L, c } C M apresentam dstrbução de probabldade unforme (.e., as palavras-códgo são equprováves). b) O canal de transmssão não altera esta dstrbução de probabldade. Um decodfcador baseado no crtéro de dstânca mínma é denomnado de Decodfcador de Máxma Verossmlhança ou Decodfcador ML (ML - Maxmum-Lkelhood). Em geral, pelo menos uma das duas condções, (a) ou (b), não pode ser obedecda na prátca. Nesta stuação, o decodfcador ótmo passa a ser o Decodfcador MAP (MAP - maxmum a posteror), muto embora este não seja encontrado com muta freqüênca na mplementação de sstemas de comuncações dgtas. Um decodfcador MAP leva em conta a dstrbução estatístca das palavras-códgo e toma a decsão sobre qual palavra-códgo fo recebda com base em Estatístca Bayesana [Proaks]. Na prátca, decodfcadores MAP não são muto utlzados porque sua operação depende do conhecmento exato da dstrbução de probabldade das palavras-códgo e da varânca de ruído no canal, nformação quase sempre não dsponível. A maora dos sstemas dgtas utlza decodfcadores ML ao nvés de decodfcadores MAP prncpalmente devdo à nsgnfcante melhora obtda com o uso de um decodfcador MAP às expensas de um consderável aumento da complexdade computaconal do decodfcador [Messerschmtt]. Focalzaremos nossa atenção, portanto, em decodfcadores ML. Codfcação de Canal 29

30 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro θ y arg mn y c (4.29), exste uma Embora a decodfcação ML possa ser realzada através de { } j H manera mas efcente de mplementar um decodfcador ML, aprovetando as propredades da matrz de pardade H ( n k ) n de um códgo θ ( n,k ), denomnada de Decodfcação por Arranjo Padrão (Standard Array Decodng). A desvantagem de (4.29) é a necessdade de calcular palavra-códgo recebda. Veremos a segur como reduzr este número de dstâncas calculadas para Arranjo Padrão, já que, na prátca, usualmente n k < k. c j k M 2 Dstâncas de Hammng para decodfcar a n k 2 utlzando o conceto de Codfcação de Canal 3

31 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Arranjo Padrão Seja c a palavra-códgo transmtda pelo transmssor dgtal através do canal de transmssão e seja y a palavra-códgo recebda resultante na saída do demodulador do receptor dgtal. Devdo à degradação do snal no canal em conseqüênca de ruído/nterferênca, a palavra-códgo y recebda pode conter erros, de modo que y pode ser expressa por y c + e (4.3) onde e é o vetor-lnha de n bts que representa o padrão de erro (.e., os bts errados em y ) resultante da degradação do snal no canal. Note que o peso do padrão de erro é a Dstânca de Hammng entre y e c. Pós-multplcando (4.3) por y T H obtemos T T T T ( c + e) H c H + eh eh T H (4.3) Defne-se o vetor n k dmensonal s, denomnado síndrome do padrão de erro, ou smplesmente síndrome, como s T eh (4.32) É mportante enfatzar que o conjunto de síndromes { s} é determnado pelo conjunto de padrões de erro { e } mas não pelo conjunto C de palavras-códgo transmtdas, como podemos nferr de (4.3). Codfcação de Canal 3

32 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Anda, vsto que e é um vetor de n bts (.e., e é um vetor n dmensonal em GF (2) ) então exstem 2 n e e possíves padrões de erro no conjunto { } s é um vetor de n k bts e, portanto, exstem n k 2 possíves síndromes no conjunto { s }. Em conseqüênca, s T eh (4.32) mapea dferentes padrões de erro e na mesma síndrome s. O Arranjo Padrão (AP) resulta em uma tabela, denomnada Tabela de Síndromes, a qual é mplementada em ROM (ROM - Read Only Memory) no receptor dgtal. A Tabela de Síndromes é consultada pelo decodfcador ML para dentfcação e correção de erro em cada palavra-códgo y recebda. (Veremos como construr a Tabela de Síndromes no Exemplo 4.6. Por enquanto, focalzaremos nossa atenção na construção do AP, vsto que a capacdade de detecção/correção de um códgo pode ser detalhadamente obtda a pertr do AP.) Codfcação de Canal 32

33 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro O AP também é uma tabela que possu síndromes. n k 2 lnhas, cada uma delas assocada a uma das n k 2 possíves k O número de colunas do AP é 2, correspondendo ao número de palavras-códgo do códgo θ ( n,k). Quando mplementado manualmente, a lnha superor do AP recebe a desgnação de L e a coluna mas à esquerda recebe a desgnação C. A Tabela 4.5 mostra a forma geral de um AP, o qual, portanto, é formado de n k k n células. Tabela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c k C C C2 L C( 2 ) L L2 2 e e e e2 c 2 c L c k ( 2 ) c + c 2 + e L c k ( 2 ) + e c + c 2 + e2 L c k ( 2 ) + e2 M n k L( 2 ) M M M M e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c2 + e ( 2 n k ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) Codfcação de Canal 33

34 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Tabela 4.5: Forma geral de um Arranjo Padrão L e c k C C C2 L C( 2 ) L L2 2 e e e e2 c 2 c L c k ( 2 ) c + c 2 + e L c k ( 2 ) + e c + c 2 + e2 L c k ( 2 ) + e2 M n k L( 2 ) M M M M e ( 2 n k ) + e( 2 n k ) c c2 + e ( 2 n k ) L c k ( 2 ) + e n k ( 2 ) Na lnha L do AP são lstadas, da esquerda para a dreta, as delas representada por um vetor n dmensonal em GF (2). k 2 palavras-códgo de ( n,k) θ, cada uma A palavra-códgo c pertencente à célula dentfcada pela ntersecção da coluna C com a lnha L (célula L C ) obrgatoramente deve ser aquela representada pelo vetor. Na coluna C, abaxo da palavra-códgo, são lstados, de alto a baxo, os 2 n k relatvos à palavra-códgo c. padrões de erro Prmeramente são lstados todos os n padrões de erro de peso, sto é, todos os padrões de erro que resultam de uma Dstânca de Hammng untára entre a palavra-códgo y recebda e c. n k Se 2 > n, então lsta-se a segur em C todos os possíves padrões de erro de peso 2. Codfcação de Canal 34

35 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Em seguda lsta-se em C todos os possíves padrões de erro de peso 3, e assm sucessvamente até que n k todas as 2 células de C estejam preenchdas. Neste contexto, e c representa o padrão de erro de peso, sto é, representa a não-ocorrênca de erro. n k Nota: Vsto que cada lnha do AP necessta corresponder a uma únca síndrome dentre as 2 possíves síndromes, devemos ter o cudado de, na construção de C, assegurar que dstntos padrões de erro de peso maor que em C correspondam a síndromes que são dstntas entre s e que são smultaneamente dstntas daquelas que correspondem a padrões de erro de peso. Então, dando prossegumento à construção do AP, adconamos o padrão de erro contdo na -ésma célula de C à palavra-códgo na célula L C e colocamos o resultado na -ésma célula em C. Em seguda, adconamos o padrão de erro contdo na -ésma célula de C à palavra-códgo na célula L C2 e colocamos o resultado na -ésma célula em C2, e assm sucessvamente até completar a últma coluna C( 2 ) k, mas à dreta do AP, sendo nk,,2,,2 L. Observe que a -ésma lnha L do AP assm construído (nclundo L) representa o conjunto das 2 k k possíves palavras-códgo y c + e, j,, L,2, que serão recebdas caso a degradação do canal gere o padrão de erro e contdo na célula j j L C. Cada lnha L do AP é denomnada de coset e a célula L C é denomnada líder do coset. Portanto, um coset é o conjunto de todas as palavras-códgo possíves de serem recebdas quando o canal mpõe o padrão de erro defndo pelo líder do coset. Codfcação de Canal 35

36 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Exemplo 4.6: Seja o codfcador de canal no transmssor de um sstema de comuncação dgtal que utlza o códgo de bloco gerado por G. a) Determne um possível AP para este códgo e a Tabela de Síndromes assocada, vsando o projeto do decodfcador no receptor. b) Suponha que o transmssor dgtal enve a palavra-códgo c [ ] através do canal. O canal degrada o snal de forma que o demodulador no receptor enva para o decodfcador a palavra-códgo y [ ] (erro no bt b 3 ). Verfque a capacdade do decodfcador em detectar e corrgr este erro. c) Suponha que o ruído/nterferênca no canal seja alto de forma que o demodulador no receptor enva para o decodfcador a palavra-códgo y [ ] (erro no bt b e no b 3 ). Verfque a capacdade do decodfcador em detectar e corrgr este erro duplo. Solução: a) Vsto que G k n G 2 5, o códgo em questão é θ ( 5,2). k As palavras-códgo de θ ( 5,2) gerado por G são obtdas de (4.): c [ ] [ ] G c c [ ] [ ] G [ ] [ ] 2 G c [ ] [ ] 3 G Codfcação de Canal 36

37 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro A matrz geradora não necessta ser transformada por permutação de colunas ou por operações elementares em lnhas vsto que já encontra-se na forma sstemátca, sto é, [ I P]. G 2 H ( n k ) n n k. Daí, de (4.24) temos que [ PT I ] Para determnar os padrões de erro da coluna C do AP precsamos verfcar quas as síndromes resultantes dos n 5 padrões de erro de peso para que não ocorra gualdade com as síndromes resultantes dos padrões de erro de peso maor que. Os padrões de erro de peso são: [ ],[ ],[ ],[ ] e [ ]. Verfcando as síndromes resultantes dos padrões de erro de peso : e H T e s [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] [ ] [ T ] H [ ] Obvamente a síndrome resultante do padrão de erro de peso (nexstênca de erro) é [ T ] H [ ]. Codfcação de Canal 37

38 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro n k 5 2 O AP a ser construído possu lnhas (correspondentes às 2 n k síndromes). Já determnamos n + 6 síndromes. Anda faltam determnar 2 n k ( n + ) 8 (5 + ) 2 síndromes. Estas 2 síndromes faltantes devem obrgatoramente ser dstntas entre s e dstntas das n + 6 síndromes já determnadas. Tendo esta condção em mente, verfca-se na tabela acma que elas são as síndromes [ ] e [ ]. Os padrões de erro que resultam nestas 2 síndromes (que estamos buscando determnar para formar a coluna C do AP) devem ser padrões de erro de peso 2, vsto que já esgotamos os possíves padrões de erro de peso e de peso. Se expressarmos o padrão de erro por e [ b4 b3 b2 b b ], onde b representa a ordem do bt, e T consderando que s eh (Equação (4.32)), temos que para a síndrome [ ] : [ ] [ b b b b ] b o que resulta no segunte sstema de equações em GF (2) : b + b b b + b b b b b 3 + b b3 b b 4 + b3 + b b2 + + b + + b b2 + b + b onde b representa a negação do valor lógco do bt b. Um possível padrão de erro de peso 2 que obedece às equações acma é e [ ]. Portanto este será o padrão de erro que assocaremos à síndrome [ ]. Codfcação de Canal 38

39 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Codfcação de Canal 39 Para a síndrome [ ] temos que: [ ] [ ] b b b b b o que resulta no segunte sstema de equações em ) (2 GF : b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Um possível padrão de erro de peso 2, dstnto do anteror, que obedece às equações acma é [ ] e. Portanto este será o padrão de erro que assocaremos à síndrome [ ].

40 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro De posse destes resultados, o AP é construído como: Arranjo Padrão: C C C2 C3 L [ ] [ ] [ ] [ ] L [ ] [ ] [ ] [ ] L2 [ ] [ ] [ ] [ ] L3 [ ] [ ] [ ] [ ] L4 [ ] [ ] [ ] [ ] L5 [ ] [ ] [ ] [ ] L6 [ ] [ ] [ ] [ ] L7 [ ] [ ] [ ] [ ] Codfcação de Canal 4

41 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro E a Tabela de Síndromes para mplentação do decodfcador é: Tabela de Síndromes (mplementada em ROM): Síndrome s Padrão de Erro e [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Codfcação de Canal 4

42 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro T T T b) De (4.3) temos que y eh s s yh. Consultando a Tabela de Síndromes verfca-se que o padrão de erro correspondente é e [ ]. De (4.3), c y + e [ ]. Portanto o decodfcador detectou e corrgu o erro smples. H. Dado [ ] y, então [ ] T T T c) De (4.3) temos que y eh s s yh. Consultando a Tabela de Síndromes verfca-se que o padrão de erro correspondente é e [ ]. De (4.3), c y + e [ ]. Portanto o decodfcador detectou o erro mas não corrgu o erro duplo. H. Dado y [ ], então [ ] A mpossbldade deste códgo corrgr todos os padrões de erro com peso maor que pode ser também verfcada bastando consultar a coluna C do AP. Por nspeção da coluna C conclue-se que este códgo corrge todos os 5 padrões de erro de peso possíves e somente 2 padrões de erro de peso 2, quas sejam, e [ ] e e [ ]. Em geral o projetsta do códgo escolhe os padrões de erro de peso w que corrgem w erros de modo ncompleto com base em alguma peculardade do sstema dgtal. Por exemplo, no Exemplo 4.6 o número total de padrões de erro de peso 2 é dado pela combnação de n 5 bts tomados m 2 a m,.e. Comb ( n, m) Comb( 5,2), onde Comb( n, m) n! [ m! ( n m)!]. No entanto, na construção do AP fo possível utlzar apenas 2 deles: e [ ] e e [ ]. A razão da escolha destes dos padrões podera ser, por exemplo, o fato de que o bt b 4 é um bt crucal à supervsão e controle do sstema (supondo que o códgo seja sstemátco) e que, em menor grau, o b 3 também o seja. Codfcação de Canal 42

43 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Códgos Estenddos θ pode ser estenddo, sto é, a partr da matrz de pardade H de θ ( n, k) a matrz estendda H E é obtda de H, conforme segue: Qualquer códgo ( n, k) H E H L M (4.33) Demonstra-se que a dstânca mínma de um códgo estenddo é gual à dstânca mínma do códgo não-estenddo acrescda de, sto é, d E d [Clark]. mn mn + Codfcação de Canal 43

44 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Prncpas Códgos de Bloco Bnáros Há uma extensa coleção de códgos de bloco bnáros (e não bnáros). Entre eles ctamos: Códgos de Hadamard θ, caracterzados por d m, onde m é um número ntero. m ( n, k) θ( 2, m + ) mn + Em geral, os Códgos de Hadamard apresentam baxa razão de codfcação m Rc k n τ s τ x ( m +) 2, onde τ s representa a largura (duração no tempo) dos bts em uma palavra-códgo e τ x representa a largura dos bts na respectva mensagem. Portanto, como τ s τ x é pequeno, o uso de um Códgo de Hadamard mplca em um consderável aumento na banda-passante do sstema, e, por sso, não é muto utlzado. Códgo de Golay θ ( 23,2), caracterzado por d mn 7, o que sgnfca: mn 7 - uma capacdade de correção de até t d erros smultâneos e - uma capacdade de detecção de até d d 7 6 erros smultâneos. mn Este códgo é pecular porque ele é o únco códgo conhecdo de 23 bts capaz de corrgr até 3 erros smultâneos [Taub]. Codfcação de Canal 44

45 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Códgos de Hammng θ m m ( 2,2 m), bastante populares por serem caracterzados pela extrema facldade de construção alada a uma dstânca mínma d mn 3 [Peterson][Proaks] (detecta até 2 erros smultâneos e corrge até erro), sendo m n k um ntero postvo. Por exemplo, se m 3, obtemos um Códgo de Hammng θ ( 7,4). Em geral, a construção de um códgo de bloco θ ( n,k) consste em defnrmos a sua matrz de pardade H e, a segur, a partr de H (e de G [ I P] k G k n. M ( n k ) n M M L L L M p p p M ( k ) p p p M ( k ) L L L p p p ( n k ) ( n k ) M ( k )( n k ) ), obtermos a sua matrz geradora A matrz H de um Códgo de Hammng caracterza-se pelas suas n 2 m colunas serem formadas por todos os vetores dstntos m dmensonas em GF (2), exceto o vetor. Por exemplo, um códgo θ ( 7,4) é um Códgo de Hammng com 3 m em que a matrz H é formada pelos n 7 vetores colunas [ ] T, [ ] T, [ ] T, [ ] T [ ] T, [ ] T e [ ] T., Codfcação de Canal 45

46 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro 4.4 Códgos Reed-Solomon Os Códgos Reed-Solomon consttuem uma sub-classe de uma ampla classe de códgos cíclcos denomnada de Códgos BCH (Bose Chaudhur Hocquenghem). Os Códgos Reed-Solomon (RS) encontram-se entre os códgos mas poderosos no que dz respeto à capacdade de correção de erro, sendo largamente utlzados em mutos sstemas dgtas como: Dspostvos de armazenamento (Fta Magnétca,CDs, DVD, códgos de barra, etc.). Comuncações Móves e wreless (Telefona celular, lnks de mcroondas, etc.) Comuncações va Satélte. Televsão Dgtal Vmos anterormente que um códgo de bloco bnáro θ ( n, k) codfca mensagens de k bts em palavras-códgo de n bts, podendo corrgr até d t mn 2 bts errados. Um Códgo Reed-Solomon θ ( n,k), representado por ( n,k) RS, codfca mensagens de k símbolos em palavras-códgo de n símbolos, sendo capaz de corrgr até símbolos errados. t n k 2 Codfcação de Canal 46

47 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro Cada símbolo em uma palavra-códgo (ou em uma mensagem) de um códgo RS ( n,k) é um bloco de m bts. Daí, portanto, o poder de correção de erro de um códgo RS ( n,k) : Mesmo que todos os m bts de cada um dos t símbolos recebdos estejam errados, o códgo RS ( n, k) efetua a correção não mportando a localzação dos símbolos na palavra-códgo. Anda, não mportando o número e a posção dos bts errados em cada símbolo, o códgo RS ( n, k ) corrgrá até t símbolos e, caso o número de símbolos errados ultrapassar t, o códgo RS ( n, k ) detectará esta stuação. No contexto do codfcador de canal de um sstema de comuncações dgtas esta característca é extremamente vantajosa porque permte a correção de um surto de m t bts sequencas recebdos em erro (error burst correcton). Se o número de erros ultrapassar t, então o códgo ( n,k ) todos os erros. RS avsa o sstema de que não fo capaz de corrgr Codfcação de Canal 47

48 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro É de especal nteresse o caso em que m 8, quando cada símbolo representa byte. Um byte representa um bloco de 8 bts, que é o menor bloco de nformação usualmente encontrado em sstemas mcroprocessados. Por exemplo, consderemos um códgo RS ( 2,6) com m 8 de k 6 bytes: Suponhamos que queramos codfcar a mensagem O códgo RS ( 2,6) adcona n k 4 bytes de pardade e codfca a mensagem acma na palavra-códgo em forma sstemátca abaxo: Observe que nenhum símbolo é maor do que 255, valor máxmo decmal para byte. 8 Observe também que as operações entre polnômos são todas executadas em GF( 2 m ) GF( 2 ) GF( 256). Foge ao escopo deste texto o estudo da álgebra de polnômos em GF ( 2 m ), e, portanto, não nos aprofundaremos na teora dos Códgos Reed-Solomon. Codfcação de Canal 48

49 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro 4.5 Códgos Convoluconas Decodfcador de Vterb Um códgo convoluconal é gerado pela combnação lnear em GF (2) das saídas de um shft-regster de K estágos. A seqüênca de bts a ser codfcada é aplcada na entrada do shft-regster, e este executa a convolução em GF (2) entre a seqüênca de entrada e a resposta ao mpulso da máquna de estado (state machne) representada pelo shft-regster. A saída da máquna de estado consttu, portanto, a seqüênca codfcada. K O número de estados da máquna de estado de um codfcador convoluconal é 2, sendo K o número de estágos do shft-regster. No contexto de códgos convoluconas K recebe o nome de constrant length [Taub]. A razão entre o número de entradas da máquna de estado e o número de saídas da mesma defne a razão de codfcação R c do codfcador. Como uma máquna de estado construída a partr de um shft-regster apresenta um conjunto fnto de transções permtdas entre estados, quando a seqüênca a ser codfcada é a ela submetda, mplctamente fcarão restrngdas as transções da seqüênca codfcada em sua saída. Se o receptor conhecer a tabela de transções permtdas, então os erros gerados por degradação do snal no canal de comuncações poderão ser dentfcados e corrgdos. Codfcação de Canal 49

50 PUCRS FENG EComp Redes de Comuncação Sem Fo 26/I Capítulo 4 Codfcação de Canal Mara Crstna Felppetto De Castro A Fgura 4.2, abaxo, mostra um codfcador convoluconal com K 2 ( 2 K 4 estados) e R 2. c A seqüênca de bts a ser codfcada é representada por u e a saída do codfcador é a seqüênca de bts v. Vsto que R 2, para cada bt de u são gerados dos bts em v. c O estágo D transfere o valor lógco em sua entrada para a sua saída medatamente após a ocorrênca da borda de descda do pulso de clock (não representado na fgura). De forma dêntca opera o estágo D. Representando a saída do estágo D por D e representando a saída do estágo D por D, então o par de bts D D dentfca um dos estados da máquna de estado. Codfcação de Canal 5