ESTUDO DO ESPAÇO DE FASE DO MOVIMENTO ORBITAL DE UM SATÉLITE NA VIZINHANÇA DE UMA RESSONÂNCIA

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1 ESTUDO DO ESPAÇO DE FASE DO MOVIMENTO ORBITAL DE UM SATÉLITE NA VIZINHANÇA DE UMA RESSONÂNCIA RELATÓRIO FINAL DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA (PIBIC/CNPq/INPE) Juan Galvaino Ceda Balcaza (FEG-UNESP, Bolsista PIBIC/CNPq) (de Maço/005 a Julho/005) D Antônio F Betachini de A Pado (DMC/INPE, Oientado) pado@deminpeb COLABORADOR DOthon Cabo Winte(FEG/UNESP) ocwinte@fegunespb Maio de 006

2 SUMÁRIO CAPÍTULO I INTRODUÇÃO TEÓRICA I- O poblema de dois copos II- O potencial devido ao achatamento III- Satélites Sínconos de Telecomunicação e GPS CAPÍTULO II METODOLOGIA I- Fomulação Matemática II- Feamenta Computacional e Obtenção de Dados CAPÍTULO III RESULTADOS E ANÁLISES CAPÍTULO IV CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS CAPÍTULO V REFERENCIAS

3 INTRODUÇÃO Satélites sínconos em óbitas ciculaes ou elípticas tem sido de foma bem ampla, tanto paa o uso de missões militaes, abangendo desde localização de soldados, até envio de mísseis intecontinentais, quanto paa o uso civil, em navegação, localização po GPS(Global Positioning System, sigla em inglês), satélites de telecomunicação, etc Desde a década de 60, a união Soviética vem colocando em óbita muitos satélites de comunicação, da seie Molniya, com óbitas altamente excênticas Os satélites sínconos são do ponto de vista dinâmico os mais complexos, devido aos hamônicos tesseais do geopotencial que poduzem múltiplas essonâncias que inteagem povocando movimentos consideavelmente não-lineaes quando compaados às óbitas não essonantes Neste tabalho é poposto leva em consideação efeitos dinâmicos ente dois copos, a Tea e um satélite atificial (Geoestacionáio e GPS), onde o potencial da Tea seá consideado não esféico Isso é feito consideando-se algumas condições iniciais, bem como paâmetos da geometia do sistema A essonância consideada é a :, o satélite ealiza uma evolução enquanto a Tea ealiza uma otação, e a :, o satélite ealiza duas evoluções enquanto a Tea ealiza uma otação, consideando os hamônicos zonal e tesseal no desenvolvimento do geopotencial

4 I - INTRODUÇÃO TEÓRICA I PROBLEMA DE DOIS CORPOS O poblema de dois copos que desceve a inteação gavitacional ente dois pontos de massa, pode se esolvido analiticamente e a solução é a equação geal das cônicas No entanto, o caso paticula mais simples e talvez mais impotante do poblema de N copos é o caso em que N=, efeente ao poblema de tês copos Mesmo assim nem esse caso possui uma solução analítica fechada Equação do movimento Considea o movimento de dois copos de massas m e m, com seus espectivos vetoes de posição e segundo a oigem no ponto zeo, no espaço inecial O veto que elaciona a posição elativa ente a massa m e m é o = +, e como a foça gavitacional é a conseqüência da aceleação das massas, teemos: F F mm m = G = () e mm m = G = () Onde G é a constante univesal gavitacional e seu valo e G=6,6760x0 - Nm Kg -, com isso podemos esceve: Integando duas vezes, teemos: m + = 0 m () m + m = a (4) m + = at + b m Onde a e b são constantes vetoiais devido à integação Considea R como o veto posição do cento de massa de m e m, teemos: (5)

5 Onde podemos esceve: m m m m + R = (6) + R a = (7) + m e m m m at + b R = (8) + Isso implica em que o cento de massa se move unifomemente em uma eta com velocidade constante Agoa vamos considea o movimento de m em elação à m, simplificando o poblema e mosta a sua pate mais impotante Com isso a equação e, intoduzi-las na equação + =, teemos a seguinte equação: d dt + µ = 0 (9) Figua Diagama de foças agindo sobe as massas m e m, com a posição dos vetoes

6 Considea µ =G(m + m ) como a constante gaussiana Como podemos obseva que está equação vetoial apesente deivadas de segunda odem, paa esolvemos ela pecisaemos obte seis constantes, com isso obte a óbita elativa e obte como o aio vaia com o tempo Como o campo gavitacional é consevativo, ou seja, tanto a enegia do sistema como o momento angula se consevam Paa a consevação da enegia do sistema, teemos: = 0 µ (0) + Multiplicando po, teemos: Aplicando s seguintes definições algébicas: + µ = 0 () = vv Teemos a seguinte equação: Onde podemos obte: vv = vv = v v + µ = 0 Onde: e v v dv + µ = 0 v + µ dt dv v dt = d dt v d dt

7 Onde: µ d dt = d dt µ d v µ = 0 dt Com isso podemos conclui, depois de intega a equação acima, que: v µ ε = = cons tan te () Chama-se enegia mecânica especifica esta equação, pois ela é uma constante do movimento Paa a consevação do momento angula(h) gandeza física obtida pelo poduto da massa inecial de um copo po sua velocidade Podemos defini como massa inecial como a azão ente a foça aplicada a um copo pela sua aceleação, na física Newtoniana, isso e povado fazendo o poduto vetoial de pela equação do movimento nulo ( ) = 0 µ + Lembando que o poduto vetoial de dois vetoes de mesma dieção poduz o veto = 0 dt ( ) = + d d dt ( ) = 0 v = h = cte () O temo ente paênteses é uma constante, que é definida pelo poduto vetoial ente e v, ao plano que contém e v Como e v se mantém pependicula no mesmo plano, significa que h é constante 4

8 Figua Visualização dos espectivos vetoes v, e h Consideando uma tansfomação de coodenadas etangulaes paa polaes, teemos nosso novo sistema (, θ ), efeente a uma oigem no cento de massa m e abitáio paa a coespondente de θ =0 Podemos nota que há um movimento o cento de massa de m e m no plano inecial, enquanto que o efeencial linea pemanece fixo Considee ^ e θ^ vetoes unitáios de dieção ao longo da tajetóia do espectivo veto dieção, teemos a seguinte elação: ^ ^ = ; θ ^ = + θ ; = ^ ^ d + θ θ θ dt (4) 5

9 Figua Movimento elativo de duas massas, no plano inecial e giante ^ Substituindo a expessão = h po h = θ z, onde é um veto unitáio z^ pependicula ao plano da óbita Pela ega da mão dieita, os dois vetoes unitáios fomam um tiangulo, com isso teemos: h = θ (5) Consideando o movimento das duas massas m e m duante um intevalo δ t, onde o tempo inicial é t=0, tem as seguintes coodenadas polaes (, θ ), com o espectivo δ t, essas coodenadas se tonam ( + δ, θ +δθ ) Com isso a áea de vaedua do veto em elação ao tempo δt é : δa ( + δ) senδθ δθ Realizando algumas alteações, apoximações e faze δ t 0, nos teemos a seguinte equação: (6) da d = θ (7) = h dt dt Onde h é uma constante, implicando que a áea vaida pelo veto é dietamente popocional ao tempo decoido, ou seja, a velocidade de vaedua é constante, como Keple pode constata em seus estudos de um modelo planetáio 6

10 Posição e velocidade de uma óbita Nos podemos obte a equação escala do movimento elativo substituição a equação paa ṙ a pati equação 4 na equação abaixo d dt + µ = 0 (8) e compaando as componente ^ nos obtemos: θ = (9) µ No podemos esolve esta equação e enconta um em função de θ, fazendo a substituição po µ = eliminando o tempo e fazendo uso da constante h = θ Paa difeencia com o espectivo tempo, nos obtemos: du du θ θ = h d dθ (0) = u d u = h d e d u θ θ = h u dθ E com isso nos podemos eesceve desta foma: d u µ dθ u = h () + () Esta é uma equação difeencial de segunda odem com a seguinte solução geal: µ [ + ( θ ϖ )] u = e cos h () Onde e é a amplitude e ω é a fase, onde são duas constantes de integação e substituindo ela po teemos: p = + ecos ( θ ϖ ) Esta é a equação geal das cônicas em coodenadas polaes, onde e é a excenticidade e p é o semilatus ectun, com isso teemos: (4) p = h µ (5) 7

11 As possíveis fomas de cônicas: - Ciculo e = 0 p = a - Elipse 0< e< p = a( e ) - Paábola e = p = q - Hipébole e > p = a(e - ) Onde a é semi-eixo maio da cônica Podemos pecebe que dependendo do ângulo que o plano cota o cone, há a fomação de cetas cônicas, po exemplo, paa um ciculo o plano cota o cone pependicula ao eixo do cone Lembando das seguintes elações algébicas : b = a (-e ) Substituindo b no semi-eixo meno teemos: a( e ) = + ecos ( θ ϖ ) Na mecânica celeste e costume o uso de temo em longitude quando efeimo-nos a qualque ângulo que esta sendo medido com o espectiva linha de efeencia no espaço inecial, com isso o ângulo θ é chamado de anomalia vedadeia Substituindo de π, com isso ela se tona: (6) f = θ ϖ na equação 6, teemos uma função peiódica, de peíodo a( e ) = + e cos Usando as coodenadas catesianas do sistema cental do cento de massa com os pontos no peicento, as componentes de posição vetoial se tonam: x = cos (f) e y = sen(f) Em uma óbita de peíodo e áea vaida po um veto adial tem a expessão de áea igual a A=π ab, paa a elipse Paa a equação 7, a áea é igual a ht/a, e com isso ( f ) teemos que h = µ a(-e ), com isso desenvolvendo, teemos: T = 4 π a µ (7) (8) 8

12 II O POTENCIAL GRAVITACIONAL DEVIDO AO ACHATAMENTO As equações do movimento são as seguintes(matins Laa e Antonio Elipe, 00): x ϖ y = Ω (9) x y + ϖ x = Ω y z = Ωz Onde a função que desceve o potencial total devido ao achatamento é: ϖ * Ω = ( x + y ) γ ( x, y, z ) onde ν que é a pate da que é a enegia devido ao potencial gavitacional ( x, y, z) com o efeito do achatamento µ α γ = + C x y C z,,0 Sendo µ é a constante gavitacional, = x + y + z é o aio da óbita do satélite, α é o aio equatoial da Tea e os coeficientes hamônicos são C = -0,0860x0 - e, 0 C =0,84964x0-5 (Depit e López,996),, Sendo que a enegia total do sistema, que é uma constante, pois é um poblema de dois copos, é : (0) (0) () () C = Ω (ẋ + ẏ + ż ) () III SATÉLITES SÍNCRONOS DE TELECOMUNICAÇÃO E GPS Sabemos que a Tea não é edonda, há um achatamento de apoximadamente 0 Km na egião dos pólos esse achatamento causa mudanças no seu potencial gavitacional, tonando-o mais complexo paa a efetua cálculos de óbitas ao edo daquele, po isso levamos em consideação esse fenômeno GPS é um sistema de abangência global como o nome sugee tem facilitado todas atividades, tanto militaes quanto civis, que necessitam de posicionamento, pemitindo que concepções antigas e que de ceta foma ficaam estagnadas e até esquecidas no tempo, pudessem se colocadas em pática Um exemplo disto é o que vem ocoendo com a 9

13 agicultua de pecisão, um conceito estabelecido po volta de 99, que só agoa vem sendo colocado em pática, gaças à integação de váias geotecnologias, dente elas o GPS, que além de melhoaia da vida, ajuda nas pesquisa de divesas áeas como a geológica,ambientais, e outas mais áeas de pesquisa A concepção do sistema GPS pemite que um usuáio, em qualque ponto da supefície teeste, ou póximo a ela, tenha sempe a disposição de pelo menos 4 satélites paa seem asteados, pemitindo navegação,tanto aeoespacial quanto naval, em tempo eal, sob quaisque condições meteoológicas O pincípio básico de navegação pelo sistema GPS é elativamente simples, consiste na medida das distâncias ente o usuáio e cada um dos satélites asteadoes Conhecendo as coodenadas dos satélites em um sistema de efeência, é possível calcula as coodenadas da antena do ecepto em tea, no mesmo sistema de efeência dos satélites, do ponto de vista geomético, apenas tês distâncias, não petencentes ao mesmo plano, seiam suficientes paa se detemina o posicionamento do usuáio Neste caso, o poblema se eduziia à solução de um sistema de tês equações a tês incógnitas, uma quata medida é necessáia em azão do não sinconismo ente os elógios dos satélites e dos eceptoes em pode dos usuáios, devido a foça gavitacional, que causa uma fenômeno de lentidão do tempo devido a esta, compovada pela teoia da elatividade geal, o que adiciona um incógnita ao poblema O GPS disponibiliza dois tipos de seviços, conhecidos po: SPS (Standad Positioning Sevice Seviço de Posicionamento Padão) e PPS (Pecise Positioning Sevice Seviço de Posicionamento Peciso) O SPS é um seviço de posicionamento e tempo padão que está disponível a todos usuáios do globo, sem cobança de qualque taxa O PPS popociona melhoes esultados, mas é estito ao uso milita e a usuáios autoizados O funcionamento do GPS é supotado po tês segmentos pincipais: o segmento espacial, constituído pela constelação de satélites e toda a tecnologia de comunicação de dados a pati dos mesmos; o segmento de contole, fomado po um conjunto de estações teestes onde funciona toda a inteligência e contole do Sistema; e, o Segmento de usuáios,constituído pelos eceptoes GPS e todos as técnicas e pocessos, empegados pelos usuáios em suas aplicações 0

14 II - METODOLOGIA O objetivo deste estudo é a obtenção de mapas que tonam possível a visualização das egiões caóticas e essonantes de uma deteminada óbita, neste caso tataemos de óbitas de satélites atificiais do tipo GPS e Geoestacionáio, no que envolve um planeta não esféico, neste caso a Tea Óbitas essonantes causam uma seie de poblemas, devido a sua complexidade em enconta uma solução paa um sistema não-linea de equações, pois a sua essonância causa esse tipo de eação na óbita Paa este estudo, consideamos a seguinte configuação Figua Condição inicial A pati de agoa vamos considea algumas condições iniciais, o satélite sendo lançado na posição no ponto p, tendo como demais condições iniciais pontos póximos a ele, um x E consideando o sistema contendo uma dada enegia, tendo I FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Paa a analise do poblema e necessáio o calculo do aio obital do satélite GPS, Geoestacionáio, suas espectivas velocidades e enegias Paa o calculo do aio obital teemos: T = π (4) G 4 ( m + m ) a t sat

15 Como Como o m t >> T m T sat, podemos faze a seguinte apoximação: T 4π T G( m ) a t = (5) = =, teemos a seguinte elação: Geo GPS T mt 4π G = a, paa o Geoestacionáio; T G 6π mt = a, paa o GPS Paa está elação veemos que a 0, 6 GPS a Paa a obtemos as velocidades, vamos utiliza o poblema cicula de dois copos, onde: v = µ a Como a, podemos esceve : µ v = a Paa a obtenção da Enegia do sistema, vamos utiliza a fómula do atigo(matins Laa e Antonio Elipe, 00),onde: C = Ω Onde Ω e a componente do potencial gavitacional levando-se em consideação o achatamento da Tea Paa tanto devido a complexidade do poblema e as limitações da Seção de Poincaé, vamos basea nosso estudo duas dimensões, X e Y, consideando plano 0z, com isso as equações do movimento, consideando = x + y + z, teemos: x ϖ y = Ωx y + ϖ x = Ω y Desenvolvendo as deivadas teemos: v Geo

16 ( C 4C ) C µα x( x y ) µ x xµα,0, 5, x ϖ y = ϖ α + (6) 7 (,0, ), ( ) µ x yµα C + 4C 5C µα y x y y + ϖ x = ϖ α + (7) 7 Com os seus espectivos coeficientes, ao qual os valoes estão na intodução teóica São essas as equações que seão intoduzidas na otina de integação paa obtemos os valoes desejados II FERRAMENTA COMPUTACIONAL E OBTENÇÃO DE DADOS A técnica estudada paa se usada no pojeto foi a seção de Poincaé, ela é uma ilustação das egiões egulaes e caóticas de um poblema de N copos, ela funciona da seguinte maneia, há uma óbita, ela passa po váios planos, mas escolhemos um plano paa analisa, po exemplo, X X Como estamos inteessados em analisa um plano (neste caso o plano nos eixos X e na sua espectiva velocidade), o método paa isso é uma otina numéica, onde o objetivo e analisa se o satélite cuza o espectivo plano Figua Repesentação atística dos que ocoe com uma óbita, bidimensional E com esses pontos analisa a caacteística de cada mapa apesenta Paa isso é utilizadas a linguagem FORTRAN e a otina modificada CROSSaF O pogama funciona da seguinte maneia:

17 Ele ecebe de um aquivo de entada os dados iniciais: Enegia do Sistema, leta de identificação, númeo de pontos po condição inicial, númeo de condições iniciais e as condições iniciais Depois ele ealiza uma seie de simulações numéicas, onde temos integações e métodos paa acha os pontos mais póximos ao plano desejado Descaega à infomações num aquivo de chamado es####&dat, onde #### é a Enegia do Sistema e & a leta de identificação, ele conte o tempo, a velocidade em X e o espaço em X, sepaadas po colunas 4 Outo aquivo fonece um elatóio sobe o andamento da otina, se alguma iegulaidade ocoe, po exemplo, o satélite se apoximou muito da Tea, ou se afastou muito, ele paa as integações e fonece nesse aquivo o que ocoeu, o nome desse aquivo é fea####&dat 5 Se gea o gáfico de X X, paa analisá-lo e estuda as egiões de caos e não-caos III RESULTADOS Nesta abodagem, entamos na otina com as condições iniciais dadas da seguinte maneia, paa o aio obital do satélite geoestacionáio, onde esse aio é de apoximadamente 464 Km= UA, enquanto que outos paâmeto como oα (aio equatoial) α =678 Km=0,5 UA, ω =0, o µ = e os demais paâmetos são os mesmo, como C,, C, 0 Com esse paâmetos pudemos calcula a enegia do sistema, atavés da fomula, e com isso, pudemos confecciona tabelas com o valo das enegias: Tabela : Resultados dos cálculos da Enegia do Sistema paa o Geoestacionaio Resultado paa o Geoestacionaio X Y Z Vx Vy Vz Raio C 0,97 0,000 0,000 0,000,05 0,000 0,97,978556E+00 0,98 0,000 0,000 0,000,00 0,000 0,98, E+00 0,99 0,000 0,000 0,000,005 0,000 0,99,99068E+00 0,000 0,000 0,000,000 0,000,000050E+00,0 0,000 0,000 0,000 0,995 0,000,0,00E+00,0 0,000 0,000 0,000 0,990 0,000,0,008575E+00,0 0,000 0,000 0,000 0,985 0,000,0,079669E+00 4

18 Tabela : Resultados dos cálculos da Enegia do Sistema paa o Geoestacionaio Resultado paa o GPS X Y Z Vx Vy Vz Raio C 0,6 0,000 0,000 0,000,9 0,000 0,6,067856E+00 0,6 0,000 0,000 0,000,80 0,000 0,6,055455E+00 0,6 0,000 0,000 0,000,70 0,000 0,6, E+00 0,6 0,000 0,000 0,000,60 0,000 0,6,984070E+00 0,64 0,000 0,000 0,000,50 0,000 0,64,979549E+00 0,65 0,000 0,000 0,000,40 0,000 0,65,960569E+00 0,66 0,000 0,000 0,000, 0,000 0,66, E+00 Depois de efetuados os cálculos, intoduziu-se esse paâmeto na otina, paa pode avalia o tipo de óbita que se fomaia, não ocoeu nada, ouve uma vaiação muito gande de enegia, causando a paada das integações, com isso esses paâmetos foam ecalculados, chegando no mesmo esultado, e mesmo assim, nada ocoeu Tento em vista que nada que se intoduzia na otina ocasionava algum esultado, apenas po cuiosidade o aumento da enegia do sistema, de alguma foma que não podeia te acontecido, mas ocoeu, as otinas não apesentaam mais essa vaiação busca de enegia, podendo possegui com as otinas, mas isso foi muito estanho, pois o eo paa a difeença na Enegia do sistema é póximo a 50%, um eo, muito absudo O inteessante é que os esultados deveiam se paecidos com esses obtidos, mas devido a essa vaiação de enegia, isso não é possível, houve algum eo que não pode se detectado Logo abaixo uns mapas, um de Geoestacionáio e outo do GPS 5

19 Figua Gáfico da Seção de Poincaé paa um Satélite Geoestacionáio Figua Gáfico da Seção de Poincaé paa um Satélite GPS 6

20 Figua Gáfico da Seção de Poincaé paa um Satélite GPS IV - CONCLUSÃO E RESULTADOS FUTUROS O estudo aqui sugeido tata-se de algo cotidiano, havendo outos estudos anteioes que, no qual, podemos adquii alguma infomação paa a melhoia deste tabalho Os esultados apesentados nesse elatóio não foam satisfatóios, havendo poblemas em alguns pontos desta pesquisa, havendo muitas incoeências com elação aos dados obtidos, ou seja, as Seções de Poincaé foam obtidas, mas não a enegia do sistema coeta, ele teve de se aumentada paa paâmetos que chegam a se absudos, com eo de mais de 40%, e com a enegia do sistema as, mas com uma pequena alteação na otina, paa ela ignoa a enegia contida no sistema, houve esultados mais absudos De uma maneia geal, pode-se conclui que os esultados aqui obtidos não são nada satisfatóios e pomissoes, tendo em vista paa a continuação desta pesquisa um estudo tidimensional das óbitas paa tia conclusões mais satisfatóias, e descobi o que ocoeu paa esse tipo de esultado te ocoido 7

21 V - REFERENCIAS - Muay, CD and Demot, SF:999 Sola System Dynamics Cambidge Univesity Pess pp Winte, OC and Muay, CD: 994 Atlas of the Plana, Cicula, Resticted Thee-Body Poblem I Intenal Obits, Queen May and Westfiel College 994-9ºEscola de Veão Dinâmica Obital & Planetologia UNESP-Guaatinguetá - Neto, AGS:005 Estudo Numéico de Óbitas Ressonantes no Movimento de Satélites Atificiais 4 º Congesso Temático de Dinâmica, Contole e Aplicação - Laa, M and Elipe, A: 00, Peiodic Obits Aound Geostationay Positions 8