a ± g Polícia Rodoviária Federal Física Aula 2 de 5 Prof. Dirceu Pereira MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO

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1 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de MOVIMENTO VETIL NO VÁUO O moimento etical de um copo póimo ao solo é chamado de queda lie quando o copo é abandonado no ácuo ou se considea despezíel a ação do a. O lançamento etical difee da queda lie somente pelo fato de apesenta uma elocidade inicial etical. s funções hoáias seão as mesmas paa ambos. aceleação do moimento etical é chamada de aceleação da gaidade e é indicada po g. É consideada constante e, potanto, detemina um MUV. o níel do ma, na latitude de 45º, a aceleação da gaidade é g = 9,8665 m/s². queda lie moimento aceleado ( > ) lançamento etical moimento etadado ( < ) N a figua 14, a medida que um copo é lançado paa cima, sua elocidade escala decesce em módulo até se anula na altua máima. Neste instante, ocoe mudança de sentido do moimento e o móel passa a desce em moimento aceleado. aceleação da gaidade atua sempe na dieção etical com sentido de cima paa baio. Desta foma, temos: - g tajetóia positia oientada paa cima + g tajetóia positia oientada paa baio a conta do ponto de lançamento, a posição e o instante do enconto dos móeis. dote g = 1 m/s² e despeze a esistência do a. Oientemos a tajetóia paa cima (a = - g). O móel foi lançado no início da contagem dos tempos (t = s). ssim, após t segundos, ele teá andado duante t segundos e em sua função compaece a aiáel t. O móel pate s depois. pós t segundos, andou duante (t - ) segundos, pois patiu depois. Logo, nas funções do móel apaeceá (t - ) em luga de t. Os móeis e são lançados do mesmo ponto, mas estão ilustados sepaados paa melho compeensão. equação hoáia é: g t s = s + t om s =, = 15 m/s e g = - 1 m/s², em: móel s = 15 t 5 t 1 (t ) móel s = 15 (t ) No instante de enconto: s = s Igualando as equações hoáias de e, temos: 1 (t ) 15 t 5 t = 15 (t ) esolendo, tiamos que t =,5 s Substituindo o alo de t encontado em qualque uma das equações s ou s, deteminamos o ponto de enconto. s = s = 6,5 m esposta: o enconto ocoe,5 s depois do lançamento de e a 6,5 m do ponto de lançamento. (figua 14) s equações que egem a queda lie são as mesmas do MUV, bastando substitui nestas, a aceleação pela aceleação da gaidade. a ± g EXEÍIOS ESOLVIDOS 1) Dois móeis e são lançados eticalmente paa cima, com a mesma elocidade inicial de 15 m/s, do mesmo ponto. O móel é lançado no instante t = s e o móel é lançado s depois. Detemine, 13) Uma peda é lançada eticalmente paa cima a pati do solo, com elocidade de 4 m/s. Simultaneamente, na mesma etical, outa peda é abandonada a pati do epouso do alto de um edifício com 8 m de altua. Despezando a esistência do a e adotando g = 1 m/s², detemine: a) o instante em que as pedas colidem; b) a altua, elatiamente ao solo, em que ocoe a colisão. a) paa equaciona os dois moimentos é necessáio adota paa ambos a mesma oigem e a mesma oientação da tajetóia. Escolhendo a oigem no solo e oientando a tajetóia paa cima, teemos: peda : g = - 1 m/s² ; = + 4 m/s ; s = peda : g = - 1 m/s² ; = ; s = 8 m Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 1

2 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 pela soma etoial da elocidade hoizontal, que pemanece constante, e da elocidade etical, cujo módulo aia, pois a aceleação da gaidade tem dieção etical. ssim, no lançamento hoizontal, à medida que o móel se moimenta, o módulo de sua elocidade cesce em itude do aumento do módulo da componente etical. Da equação hoáia das posições s temos que: s = 4 t 5 t e No instante de enconto: s = s. Então: 4 t 5 t = = s 8 5 t t = s s + = 8 5 t g t t b) Paa detemina a posição de enconto, substituímos o alo do instante de enconto numa das equações hoáias e obtemos s = s = 6 m esposta: a) t = s b) s = 6 m.5.5. LNÇMENTO HOIZONTL NO VÁUO Galileu popôs o pincípio da simultaneidade ou da independência dos moimentos simultâneos. Se um móel apesenta um moimento composto, cada um dos moimentos componentes se ealiza como se os demais não eistissem e no mesmo intealo de tempo EXEÍIOS ESOLVIDOS 14) pós uma enchente, um gupo de pessoas ficou ilhado numa egião. Um aião de salamento, oando hoizontalmente a uma altua de 75 m e mantendo uma elocidade de 5 m/s, apoima-se do local paa que um pacote com medicamentos e alimentos seja lançado paa as pessoas isoladas. que distância, na dieção hoizontal, o pacote dee se abandonado paa que caia junto às pessoas? Despeze a esistência do a e adote g = 1 m/s². O pacote cai e ao mesmo tempo aança hoizontalmente. Esse aanço hoizontal se dá po inécia, acompanhando o moimento do aião. ssim, o pacote dee se abandonado numa posição tal que, no intealo de tempo que lea paa cai, ele pecoa a distância hoizontal necessáia paa chega junto às pessoas. alculamos o tempo de queda como se o pacote caísse liemente na dieção etical. Quando um copo é lançado hoizontalmente no ácuo, ele descee, em elação à Tea, uma tajetóia paabólica, como mosta o gáfico abaio. De acodo com o pincípio da simultaneidade, esse moimento pode se consideado como composto de um moimento de queda lie associado a um moimento hoizontal. Já estudamos o moimento de queda lie. g t s = 1 t 7 = t = 1 s (figua 15) O moimento hoizontal, po sua ez, é um moimento unifome, pois não eiste nenhuma aceleação na dieção hoizontal; o móel o ealiza po inécia, mantendo a elocidade com que foi lançado. Em cada ponto da tajetóia, a elocidade esultante do móel, cuja dieção é tangente à tajetóia, é dada Duante esses 1 s, o pacote aança com moimento unifome na dieção hoizontal e com elocidade constante =5 m/s. ssim: = t = 5 1 = 6 m esposta: o pacote dee se abandonado quando o aião estie a 6 m do gupo, medidos na dieção hoizontal. 15) Uma esfea ola com elocidade constante de 1 m/s sobe uma mesa hoizontal. o abandona a mesa, ela fica sujeita eclusiamente à ação da gaidade (g = 1 m/s²), atingindo o solo num ponto situado a 5 m do pé da mesa. Detemine: a) o tempo de queda; b) a altua da mesa em elação ao solo; c) o módulo da elocidade da esfea ao chega ao Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes

3 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 solo. a) o abandona a mesa, a esfea apesenta, na dieção hoizontal, moimento unifome com elocidade inicial =1 m/s. ssim: MOVIMENTO VETIL (MUV) onsidee o gáfico na figua 16, onde demonstamos somente o moimento etical em sepaado. = t 5 = 1 t t =,5 s Esse tempo é também o tempo de queda, cujo moimento é simultâneo. b) Simultaneamente ao moimento hoizontal, a esfea cai de uma altua s em queda lie: g t s = 1 s = (,5 ) s = 1,5 m c) o chega ao solo, a elocidade etoial da esfea pode se consideada esultante da composição da elocidade hoizontal que se mantém constante e da elocidade etical, cujo módulo é dado po: = + g t, sendo =, g = 1 m / s e t =,5 s = + 1,5 = 5 m / s plicando o teoema de Pitágoas ao tiângulo etângulo destacado na figua, obtemos o módulo da elocidade etoial da esfea ao chega ao solo: esposta: a) t=,5 s b) s=1,5 m c) =11, m/s.5.6. LNÇMENTO OLÍQUO NO VÁUO = onsidee um copo sendo lançado com elocidade numa dieção que foma com a hoizontal um ângulo θ (ângulo de tio). Despezada a esistência do a, o móel fica sob a ação eclusia de seu peso e sujeito apenas, potanto, à aceleação da gaidade. Em elação à Tea, a tajetóia também seá uma paábola. + = 1 + (,5 ) = 11,m / s (figua 16) Se pojetamos a elocidade de lançamento na dieção do eio, obteemos a elocidade inicial etical, cujo módulo é dado po: o = o senϑ Sob a ação da gaidade, o módulo da elocidade etical diminui à medida que o copo sobe, anula-se no ponto mais alto e aumenta, com o eto no sentido contáio, à medida que o copo desce. s equações do MUV são álidas, substituindo-se a aceleação pela aceleação da gaidade, com o sinal apopiado. taés da equação de Toicelli, fazendo = H e =, encontamos a equação paa calcula a altua máima do lançamento H. H = sen ϑ g MOVIMENTO HOIZONTL (MU) onsidee o gáfico na figua 17, onde demonstamos somente o moimento hoizontal em sepaado. lcance () distância hoizontal que o copo pecoe desde o lançamento até o instante em que etona ao níel hoizontal de patida. ltua máima (H) máimo deslocamento etical do móel no sentido paa cima. O moimento descito pelo copo pode se consideado como esultado da composição de dois moimentos simultâneos e independentes: a) um moimento etical unifomemente aiado, cuja aceleação é a da gaidade, e b) um moimento hoizontal unifome, pois, como já imos, na hoizontal não há aceleação. (figua 17) Se pojetamos a elocidade de lançamento na dieção do eio, obteemos a elocidade inicial etical, cujo módulo é dado po: = o cosϑ Difeentemente do moimento etical, no moimento hoizontal, como já imos anteiomente, não há Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 3

4 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 aceleação pesente e, potanto, a elocidade é constante ao longo da tajetóia. Substituindo a equação hoáia do MU na equação hoáia das elocidades do MUV, podemos detemina a equação de alcance em função do ângulo de tio: = ϑ sen g Da fómula acima, temos o alcance máimo possíel quando senθ = 1. Potanto, o ângulo θ que possibilita o alcance máimo é: sen ϑ = 1 ϑ = 9º ϑ = 45º Nessa condição (θ = 45º), podemos obte uma elação simples ente o alcance máimo e a altua máima H: ma = 4 H Potanto, no lançamento com θ = 45º, o alcance ma é quato ezes maio que a altua máima H do lançamento. Lembando que, sendo o moimento esultante paabólico, a elocidade do pojétil é sempe dada pela soma das componentes e. = + elocidade é sempe tangente à tajetóia do móel. No ponto mais alto, =. elocidade seá igual a neste ponto. o etona ao níel hoizontal de lançamento, o pojétil teá a elocidade escala igual à elocidade inicial com que foi lançado EXEÍIOS ESOLVIDOS 16) Um copo é lançado obliquamente no ácuo com elocidade inicial =1 m/s, numa dieção que foma com a hoizontal um ângulo θ tal que senθ=,8 e cosθ=,6. dotando g=1 m/s², detemine: a) os módulos das componentes, hoizontal e etical, da elocidade, no instante de lançamento. b) o instante em que o copo atinge o ponto mais alto da tajetóia. c) a altua máima atingida pelo móel. d) o alcance do lançamento. O gáfico abaio simula a tajetóia do móel descita pelo poblema. a) Do tiângulo etângulo fomado pelos etoes com os eios e, tiamos: = cosϑ e = senϑ o o omo = 1 m/s, senθ =,8 e cosθ =,6, em: = 1,6 = 6 m / s = 1,8 8 m / s = b) No ponto mais alto da tajetóia, =. Do MUV, temos que = + a t Mas sabemos que a = - g = - 1 m/s². Daí em: = 8 1 t 1 t = 8 t = 8 s a t c) Substituindo t = 8 s em = + t + e sendo = H, = e a = - g = - 1 m/s², em: 1 64 H = 8 8 = 64 3 H = 3 m d) O tempo total do moimento é t T = t = 8 = 16 s. Paa o moimento hoizontal = t, temos =, quando t = 16 s e = 6 m/s. Potanto: = 6 16 = 96 m Também podeíamos te esolido os itens c e d ataés das equações do alcance máimo e altua máima de lançamento. esposta: a) = 8 m / s ; = 6 m / s b) t = 8 s c) H = 3 m d) = 96 m 17) Um pojétil é lançado obliquamente com elocidade que foma com a hoizontal um ângulo θ, atingindo a altua máima de 7, m. Sabendo que no ponto mais alto da tajetóia a elocidade escala do pojétil é 1 m/s, detemine: a) o intealo de tempo paa o móel chega ao ponto mais alto de sua tajetóia (tempo de subida). b) o tempo total do moimento. c) a elocidade de lançamento e o ângulo de tio θ. d) o alcance hoizontal do lançamento. O gáfico abaio simula a tajetóia do móel descita pelo poblema. o a) Temos = H = 7, m e =. plicando a equação Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 4

5 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 de Toicelli, em: = = Substituíndo em = 1 1 t 1 t = 1 t = 1, s + a a = g = 1 m / s 7, = = 144 g t = 1 m / s b) O tempo de subida é igual ao tempo de descida. Logo, o tempo total do moimento seá: t t T T = t t =,4 s T = 1, c) elocidade de lançamento é obtida a pati da soma etoial de suas componentes e. plicando-se o teoema de Pitágoas ao tiângulo etângulo fomado pelos etoes com os eios e no gáfico, obtemos: Po tan to, = = 15,6 m / s omo + = 1 1 = 15,6 cosθ cosθ = cosθ,64 15,6 Ou, ainda, = senθ. Logo : 1 = 15,6 senθ senθ = ssim : θ 5,3º sendo = cosθ, em : = 1 m / s e 1 15,6 = 44 = 1 m / s senθ, 77 d) Paa obte o alcance =, substituímos t T =,4 s em = t. ssim: = 1,4 = 4 m esposta: a) 1, s b),4 s c) 15,6 m/s e 5,3º d) 4 m UNIDDE 3 PINÍPIOS DE DINÂMI Na inemática, estudamos os moimentos sem nos peocupamos com as causas que os poduziam ou modificaam. Vamos, agoa, estuda a Dinâmica. Dinâmica é a pate da Mecânica que estuda os moimentos e as causas que os poduzem ou os modificam. Em Dinâmica, passamos a considea que o ponto mateial, ou patícula, possui massa, ainda que continuemos a despeza suas dimensões. Massa é uma gandeza física escala que define a quantidade de matéia de um copo. massa de um copo é inaiáel no espaço, pelas leis da Mecânica. ssim, um copo na Tea ou na Lua teá sempe a mesma massa. unidade de massa no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o quilogama (kg), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos. oça é uma gandeza física etoial deendo se, potanto, caacteizada po um módulo, uma dieção e um sentido. pimeia noção de foça está associada ao esfoço muscula ou mecânico. Quando empuamos um objeto, eecemos foça sobe ele. Poém, temos outos tipos de foça tais como a foça da ação do ento, a foça de atação ente cagas eléticas, a foça gaitacional, etc. unidade de foça no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o Newton (N), sendo pemitido o uso de seus múltiplos e submúltiplos. foça de 1 N é aquela necessáia paa impimi à um copo de massa 1 kg uma aceleação de 1 m/s². ssim: m 1N = 1kg s classes ou natueza das foças, quanto ao modo como são eecidas, são diididas em foças de contato e foças de campo. (figua 1) s foça de contato eiste quando dois copos estão em contato; o contato pode se de cuta, média e longa duação. (figua ) 3.1. S LEIS DE NEWTON PIMEI LEI DE NEWTON (Pincípio da Inécia) foça de campo é eecida sem contato dieto ente os copos, sendo eemplos a foça magnética, foça gaitacional, foça elética, etc. Um ponto mateial isolado está em epouso ou em moimento etilíneo unifome. Um ponto mateial é dito isolado quando não eistem foças atuando sobe ele ou quando as foças aplicadas ao ponto têm soma etoial nula. ssim, um ponto mateial isolado pode esta em equilíbio estático (epouso) com elocidade igual a zeo, ou esta em equilíbio dinâmico (moimento etilíneo unifome) com elocidade constante. aplicação de uma foça, ou de um sistema de foças com esultante não nula, poduz alteação no estado de moimento de um ponto mateial. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 5

6 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 ssim, temos o conceito dinâmico de foça: foça é a causa que poduz num copo aiação de elocidade e, potanto, aceleação. inécia é a popiedade da matéia de esisti a qualque aiação em sua elocidade. Potanto, um copo tende a mante o seu estado de moimento. o altea o estado de moimento, estamos encendo a inécia do copo. Daí, a Pimeia Lei de Newton se também conhecida po Pincípio da Inécia. Os efeenciais em elação aos quais ale o pincípio da inécia são chamados de efeenciais ineciais. Todo efeencial em epouso ou em moimento etilíneo unifome em elação a um efeencial inecial é também inecial SEGUND LEI DE NEWTON (Pincípio undamental da Dinâmica) esultante das foças aplicadas a um ponto mateial é igual ao poduto de sua massa pela aceleação adquiida: = m a Isto significa que a foça esultante poduz no ponto mateial de massa m, uma aceleação a com a mesma dieção e mesmo sentido da foça esultante, sendo suas intensidades popocionais. igualdade = m a é conhecida como equação fundamental da Dinâmica, álida num efeencial inecial. Da equação fundamental da Dinâmica, concluímos que, se aplicamos em copos de massas difeentes a mesma foça esultante, o copo de maio massa adquiiá meno aceleação de meno módulo, isto é, o copo de maio massa esiste mais a aiações em sua elocidade. Po isso, a massa é a medida da inécia de um copo. Um caso paticula da foça é o peso de um copo, que é a foça de atação que a Tea eece sobe ele. Todos os copos de massa m estão sujeitos a foça gaitacional da Tea que impime sobe estes uma aceleação constante chamada de aceleação da gaidade (g) cuja dieção é etical e sentido de cima paa baio, aplicado no cento de gaidade (baicento) do copo. ssim, peso e aceleação da gaidade, sendo etoes, possuem a mesma dieção, mesmo sentido e intensidades popocionais. Podemos epimi a foça-peso ataés da equação: = m a P = m g Em módulo, as duas equações seão: = m a P = m g Deemos distingui cuidadosamente as gandezas massa e peso. massa é uma popiedade inaiáel do copo enquanto o seu peso dependeá do alo da aceleação da gaidade atuando sobe este. Eoneamente, quando subimos em uma balança, dizemos que o nosso peso é kg. Na edade, nossa massa é kg e o peso coespondente seá.g N TEEI LEI DE NEWTON (Pincípio da ção-e-eação) Toda ez que um copo eece uma foça num copo, este também eece em uma foça tal que essas foças têm a mesma intensidade em módulo, a mesma dieção, sentidos opostos e a mesma natueza. = = e = Um copo póimo à supefície da Tea é ataído po ela: a Tea eece sobe ele a foça peso P. Pelo pincípio da ação-e-eação, o copo também eece na Tea uma foça de mesma intensidade e de mesma dieção, mas de sentido contáio P. No entanto, como a massa do copo é muito meno que a da Tea, o deslocamento daquele é consideáel, despezando-se o deslocamento desta. s foças de ação-e-eação, neste caso, não se equilibam, pois estão aplicadas em copos difeentes. (figua 3) Tea atai o copo com peso P e o copo atai a Tea com a foça P. s foças P e P têm a mesma intensidade, mas sentidos opostos e estão aplicadas em copos difeentes. Supomos agoa, que um copo esteja apoiado numa supefície hoizontal de uma mesa, confome a figua abaio. (figua 4 - a) (figua 4 - b) Nesse caso, além da ação de campo da Tea, o copo tem ação de contato com a mesa. eação do peso do copo continua na Tea (fig. 1). taído pela Tea, o copo eece na mesa a foça de intensidade, N Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 6

7 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 enquanto o apoio eece no copo outa foça, de sentido contáio, mas de igual intensidade N (fig. ). Desse modo, no copo atuam duas foças: P (ação da Tea) e N (ação da mesa). eação do peso P está aplicada no cento da Tea e a eação da foça N está aplicada na mesa. (figua 4 - c) s foças N e P podem equiliba-se, pois estão no mesmo copo e não são um pa ação-e-eação. foça de contato N, po se pependicula à supefície de contato, é chamada de foça nomal ou eação nomal de apoio. onsideemos agoa um copo de peso P suspenso po um fio inetensíel de peso P cuja etemidade esteja ligada ao teto. Sendo assim, num fio ideal, as foças de contato em seus etemos têm a mesma intensidade T e são chamadas foças de tação no fio, pois tendem a alongá-lo EXEÍIOS ESOLVIDOS 1) Uma patícula de massa,5 kg ealiza um moimento etilíneo unifomemente aiado. Num pecuso de 4, m, sua elocidade aia de 3, m/s a 5, m/s. Qual é o módulo da foça esultante que age sobe a patícula? Utilizando a equação de Toicelli, podemos detemina a aceleação escala: = + a s a =, m / s ( 5, ) = ( 3, ) + a ( 4, ) Pela equação fundamental da Dinâmica, calculamos o módulo da foça esultante: = m a,5, = 1, N esposta: a foça esultante é de 1, N. ) Uma patícula de massa, kg é submetida à ação das foças mostadas na figua. Detemine a aceleação da patícula. (figua 5) No copo eistem duas foças: o peso P, foça de campo da Tea, e T 1, foça de contato com o fio. Se o copo está em equilíbio: P = T 1 (pois a esultante dee se nula) Vamos chama de T a foça que o fio eece no teto. ssim, no fio há tês foças: o peso do fio P, a foça de contato T1 (deida ao copo) e a foça de contato T (deida ao teto). omo o fio está em equilíbio, decoe: a = = P + T = T P + T = T Se o peso do fio inetensíel fo despezíel, isto é (fio ideal), esultaá: 1 T = T 1 = T 1 P dotando a solução gáfica, encontamos a foça esultante do sistema de foças aplicado à patícula. = 1 3 = 5 = 3 N = = = N 4 Desta foma, a esultante seá na dieção hoizontal no sentido positio de, uma ez que em, a esultante foi zeo. aceleação da patícula é dada po: = a = 15 m / s = m a a = = m 3, esposta: Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 7

8 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 a aceleação seá de 15 m/s² na dieção hoizontal, no sentido positio do eio. 3) No aanjo epeimental da figua, os copos, e têm, espectiamente, massas iguais 5 kg, kg e 3 kg. aceleação da gaidade é 1 m/s². Os fios são inetensíeis e de inécia despezíel; não há atito ente os fios e as polias; o plano hoizontal é pefeitamente liso. Detemine: a) a aceleação do sistema de copos. b) as tações nos fios. Obseação: paa um cálculo ápido da aceleação podeíamos aplica a equação fundamental da Dinâmica ao conjunto de copos de massa total m + m + m, obseando que o peso P tem o mesmo sentido da aceleação e o peso P se opõe. = m a P a = m / s P 5 3 = ( ) a = 1 a = ( m + m esposta: a) m/s² b) T 1 = 4 N e T = 36 N + m ) a 4) Detemine a foça que o homem dee eece no fio paa mante em equilíbio estático o copo suspenso de 1 N. Os fios são consideados inetensíeis e de massas despezíeis; ente os fios e as polias não há atito. s polias são ideais, isto é, não tem peso. a) O peso de é anulado pela eação nomal do apoio; poém os pesos P e P são foças etenas atias. P é maio que P : m = 5 kg P = m g P = 5 1 P = 5 N m = 3 kg P = m g P = 3 1 P = 3 N Se o sistema pati do epouso, o copo moe-se da esqueda paa a dieita, pois o peso de é maio que o de. Vamos analisa cada copo sepaadamente. No caso, há duas tações, pois temos dois fios: Paa hae equilíbio, a esultante das foças dee se nula. No copo suspenso, a tação é igual ao peso P = 1 N, pois não há aceleação. distibuição de tações nos fios é: equação fundamental da Dinâmica aplicada a cada copo fonece: opo : opo : opo : P 1 T1 T T1 = m a 5 T = 5 a (1) T = m a T1 T = a () P = m a T 3 = 3 a (3) esolendo o sistema de equações (1), () e (3), em: 5 3 = (5 a = m / s ) a = 1 a b) Da equação (1) em: 5 T = 5 a 5 T1 = 5 T1 Da equação () em: 3 = 3 a T 3 = 3 T 1 = T = 4 N 36 N Pela figua acima, decompondo o peso inicial de 1 N em cada polia, chegamos a uma tação final no fio de 15 N. Obsee que o homem equiliba o peso de 1 N, eecendo uma foça de intensidade bem meno; po isso, na pática, são muito utilizadas as associações de polias como se êem em guindastes. esposta: T = 15 N 3.. OÇS DE TITO foça de atito é uma foça eatia que suge ente dois copos em contato, sujeitos a algum esfoço, sendo Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 8

9 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 deida a ugosidade e as foças de adesão ente as moléculas destas supefícies. Temos dois tipos de atito: dinâmico e estático TITO DINÂMIO Quando há moimento ente dois copos em contato, ou escoegamento, a epeiência mosta que a intensidade da foça de atito, dento de uma boa apoimação, é popocional à intensidade da foça nomal n, dada pela seguinte elação: = µ at d Nesta fómula, µ d é uma constante de popocionalidade chamada de coeficiente de atito dinâmico. É adimensional e é função da natueza dos sólidos em contato e do estado de polimento das supefícies. Pode aia de aloes baios (,) a aloes eleados (1,). n Neste caso, a componente P t tende a aasta o bloco paa baio, sendo equilibada pela foça de atito, at com a mesma intensidade e sentido contáio, de foma que o copo fique em epouso. foça de atito estático é dado pela elação: at = µ e n onde µ e é o coeficiente de atito estático. Imagine agoa, que o ângulo θ seja aumentado gadualmente. Haeá um instante em que o bloco estaá na iminência de moimento. Isto ocoe deido a uma diminuição na foça nomal n, deido à diminuição na componente Pn, e ao aumento coespondente no alo da componente P t, geando um desequilíbio de foças. pati deste instante, passamos a te atito dinâmico. Veja na figua 1, que o peso do copo sobe o plano inclinado, poduz duas componentes: uma pependicula ao plano inclinado, Pn, e outa paalela a este, Pt. componente P n poduz uma foça de eação nomal n pependicula ao plano inclinado, de mesma intensidade e com sentido contáio. o moimentamos o copo com a foça, suge a foça de atito at, que juntamente com a componente P t, eagem ao moimento. Paa que este ocoa, deeá se maio do que a soma de e. at foça de atito dinâmico independe da elocidade com que o copo desliza sobe a supefície e também independe da áea de contato ente o copo e a supefície TITO ESTÁTIO onsideemos agoa, que o bloco da figua 1 esteja em epouso, confome indica a figua. Pt tabela 1 apesenta alguns aloes de coeficiente de atito estático e dinâmico paa difeentes mateiais em contato. oeficientes de Mateiais atito Estático Dinâmico ( µ e ) ( µ d ) aço com aço,74,57 alumínio com aço,61,47 cobe com aço,53,36 boacha com asfalto seco 1,,8 boacha com asfalto molhado,3,5 (tabela 1) EXEÍIOS ESOLVIDOS 5) No aanjo epeimental da figua, os copos, e têm, espectiamente, massas iguais 5 kg, kg e 3 kg. aceleação da gaidade é 1 m/s². Os fios são inetensíeis e de inécia despezíel; não há atito ente os fios e as polias. O coeficiente de atito dinâmico ente o bloco e a mesa é,. Detemine: a) a aceleação do sistema de copos. b) as tações nos fios. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 9

10 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 T 3 = 3 a T 3 = 3 1,56 T 34 7, N ompae os esultados obtidos no eecício 3. Vamos agoa esole o mesmo eecício 3 consideando que eiste atito dinâmico ente o bloco e a mesa. a) O peso de poduz uma eação nomal e, po conseguinte, uma foça de atito dinâmica: at = µ d n at =, 1 at = 4,4 N Os pesos P e P são foças etenas atias. P é maio que P : m m = 5 kg P = 3 kg P = m = m g P g P = 5 1 P = 3 1 P = 5 N = 3 N Se o sistema pati do epouso, o copo moe-se da esqueda paa a dieita, pois o peso de é maio que o de. Vamos analisa cada copo sepaadamente. No caso, há duas tações, pois temos dois fios: Obseação: paa um cálculo ápido da aceleação podeíamos aplica a equação fundamental da Dinâmica ao conjunto de copos de massa total m + m + m, obseando que o peso P tem o mesmo sentido da aceleação e o peso P se opõe. = m a P a = 1,56 m / s P 5 3 4,4 = ( ) a 15,6 = 1 a at = (m + m + m ) a Se aumentamos o coeficiente de atito ou o peso do bloco, podeemos atingi a condição em que a aceleação seá zeo e o copo ficaá em equilíbio estático. esposta: a) 1,56 m/s² b) T 1 = 4, N e T 34,7 N 6) O bloco de massa m = 3, kg está apoiado num plano inclinado que foma uma ângulo θ em elação a hoizontal. O bloco está na iminência de escoega paa baio. Detemine, nessas condições, o peso do bloco. O coeficiente de atito estático ente o bloco e o plano é µ e =,5. Dados: sen θ =,6; cos θ =,8; g = 1 m/s². onsidee o fio e polia ideais. equação fundamental da Dinâmica aplicada a cada copo fonece: opo : = m a P T1 = m a 5 T1 = 5 a (1) opo : = m a T1 T at = m a T1 T 4,4 = a () opo : = m a T P = m a 3 = 3 a (3) T Vamos inicialmente calcula as componentes P t e P n do peso P do bloco : P P t n = P = P senθ P t cosθ P n = 3 1,6 P t = 3 1,8 P n = 18 N = 4 N Na figua abaio, epesentamos as foças que agem em cada bloco. Obsee que a foça de atito at, que o plano eece em, tem sentido paa cima, pois o bloco está na iminência de escoega paa baio. esolendo o sistema de equações (1), () e (3), em: 5 3 4,4 = ( ) a = 1 a a = 1,56 m / s b) Da equação (1) em: 5 T = 5 a 5 T1 = 5 1,56 T1 Da equação (3) em: 1 = 4, N Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 1

11 Polícia odoiáia edeal Pof. Diceu Peeia ísica ula de 5 Estando os blocos em equilíbio, podemos escee: bloco : T = P bloco : T + at = P t Potanto: P + at = P t omo o bloco está na iminência de escoega, temos = = µ = µ P. Logo: P P at + µ P e = 6 N n t MX = P t esposta: P = 6 N P e n e n +,5 4 = ESISTÊNI DO E VELOIDDE LIMITE Um copo em moimento estaá sujeito a uma esistência deido ao atito com o a que seá dada po: = k V O sistema adquie elocidade limite quando a esistência do a P se iguala ao peso total P. omo = k.v² e P = m.g, temos: k V L = m g V Sabemos que: L = m g k N s k = 4, m = 1 kg e g = 1 m / s m ssim, 1 1 VL = V 4 V = 18 km / h L esposta: 18 km/h L = 5 V L = 5 m / s onde k é uma constante de popocionalidade obtida po estudos epeimentais (túnel de ento, po eemplo) e que depende da foma do copo e da maio áea da secção tansesal deste, pependicula à dieção do moimento. unidade da constante de popocionalidade k no Sistema Intenacional de Unidades (SI) é o Newton ezes segundo ao quadado diidido po meto ao quadado (N.s²/m²). onsidee agoa, um copo em queda lie no a. Este tendeá ao moimento unifomemente aiado com aceleação constante g. Poém, a foça-peso P seá esistida pelo atito com o a, confome a equação = P ssim, à medida em que a elocidade aumenta, aumenta a foça esistia no quadado da elocidade, diminuindo a aceleação esultante sobe o copo até que esta se anule tendendo a foça esultante a zeo. Neste ponto, o copo atinge a elocidade limite e passa a te moimento unifome (aceleação nula). condição paa se detemina a elocidade limite é que a foça seja consideada zeo. Potanto, temos que: = P k V P k V = EXEÍIOS ESOLVIDOS 7) Um homem e seu páa-quedas têm massa total de 1 kg. esistência do a tem constante de popocionalidade k, medida em ensaios eecutados peiamente, de 4 N.s²/m². onsideando g = 1 m/s², detemine a elocidade limite de queda. Neste cuso os melhoes alunos estão sendo pepaados pelos melhoes Pofessoes 11