SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL Escola de Educação Profissional SENAI Plínio Gilberto Kröeff MECÂNICA TÉCNICA

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1 SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL Escola de Educação Pofissional SENAI Plínio Gilbeto Köeff MECÂNICA TÉCNICA Pofesso: Dilma Codenonsi Matins Cuso: Mecânica de Pecisão São Leopoldo 2009

2 1 SUMÁRIO 1CÁLCULO APLICADO UNIDADES DE MEDIDAS SISTEMAS DE UNIDADES NOTAÇÃO CIENTÍFICA PREFIXOS SI TEOREMA DE PITÁGORAS TRIGONOMETRIA REGRA DE TRÊS Rega de Tês Dieta Rega de Tês Invesa SISTEMA DE EQUAÇÕES Método da Adição Método da Substituição ÁREA DE SUPERFÍCIES PLANAS VOLUME VETORES GRANDEZAS FÍSICAS CONCEITO DE VETOR VETORES IGUAIS E VETORES OPOSTOS ADIÇÃO DE VETORES Método do Paalelogamo Método do Polígono Casos paticulaes da adição de vetoes PROJEÇÃO DE UM VETOR NUM EIXO COMPONENTES DE UM VETOR ADIÇÃO DE VETORES PELO MÉTODO DAS PROJEÇÕES INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA VELOCIDADE MÉDIA ( v m ) ACELERAÇÃO MÉDIA ( a m ) LEIS DE NEWTON INÉRCIA... 43

3 2 4.2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍIPIO FUNDAMENTAL TERCEIRA LEI DE NEWTON - PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO FORÇA DE ATRITO FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO FORÇA DE ATRITO DINÂMICO INFLUÊNCIA DA RESISTÊNCIA DO AR PLANO INCLINADO EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL MOMENTO DE UMA FORÇA OU TORQUE CONCEITO CONVENÇÃO DE SINAIS DO MOMENTO BINÁRIO VÍNCULOS CLASSIFICAÇÃO DOS VÍNCULOS EFICÁCIA VINCULAR CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL EQUILÍBRIO DE UM CORPO EXTENSO CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO CÁLCULO DE REAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICA POR APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA REFERÊNCIAS... 76

4 3 1 CÁLCULO APLICADO 1.1 UNIDADES DE MEDIDAS Medi uma gandeza física significa compaá-la com outa gandeza de mesma espécie, tomada como padão. Este padão é a unidade de medida. Unidades de compimento Nome quilômeto hectômeto decâmeto meto decímeto centímeto milímeto Símbolo km hm dam m dm cm mm Unidades de Áea Nome quilômeto quadado hectômeto quadado decâmeto quadado meto quadado decímeto quadado centímeto quadado milímeto quadado Símbolo km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Unidades de Volume Nome quilômeto cúbico hectômeto cúbico decâmeto cúbico meto cúbico decímeto cúbico centímeto cúbico milímeto cúbico Símbolo km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ Nome quilolito hectolito decalito lito decilito centilito mililito Símbolo kl hl dal l dl cl ml

5 4 Unidades de Massa Nome quilogama hectogama decagama gama decigama centigama miligama Símbolo kg hg dag g dg cg mg 1.2 SISTEMAS DE UNIDADES Sistema Intenacional de Unidades No Basil, o sistema de unidades adotado oficialmente é o Sistema Intenacional (SI). De acodo com o SI, há sete unidades fundamentais, confome o quado abaixo. UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI GRANDEZA NOME SÍMBOLO compimento meto m massa quilogama kg tempo segundo s intensidade de coente elética ampèe A tempeatua temodinâmica kelvin K quantidade de matéia mol mol intensidade luminosa candela cd A pati das unidades fundamentais, deivam-se as unidades de outas gandezas, que ecebem, então, a denominação de unidades deivadas. No estudo da Mecânica, adota-se um subconjunto do SI conhecido como sistema MKS.

6 5 compimento M m (meto) SISTEMA MKS massa K kg (quilogama) tempo S s (segundo) Sistema CGS Na Mecânica também é utilizado o sistema CGS. compimento C cm (centímeto) SISTEMA CGS massa G g (gama) tempo S s (segundo) EXERCÍCIOS - CONVERSÃO UNIDADES DE MEDIDAS 1) Convete: a) 6,316 m cm b) 56 dm hm c) mm² m² d) 8,915 dam² dm² e) 1538,7 cm³ dm³ f) 6 dam³ m³ g) mm³ ml h) cl m³ i) 6,43 kg g j) 3817,3 dg dag 2) Convete paa o Sistema Intenacional de Unidades (SI) as unidades abaixo: a) 2,37 cm b) dm² c) 82 dam³ d) 34781,6 dg

7 6 3) Utilizando os fatoes de convesão das tabelas, convete: a) 50 in em cm b) 25 cm em in c) 75 kg em onça d) 240 lb em kg e) 40 kgf em N f) 6 atm em N/m² 1.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Uma maneia pática de escevemos númeos com gande quantidade de zeos é a notação científica, na qual se utilizam as potência de dez.qualque númeo eal pode se escito como o poduto de um númeo, cujo módulo está ente 1 e 10 (incluindo o 1), po outo, que é uma potência de dez com expoente inteio (10 x ). Notação Científica ( 1 N < 10 ). 10 x Exemplos: N = númeo compeendido ente 1 e 10 x = expoente inteio 1º caso: O númeo maio que = 3, O expoente do dez indica o númeo de vezes que devemos desloca paa a dieita a vígula. 2º caso: O númeo é meno que 1 0, = 4, O expoente negativo do dez indica o númeo de vezes que devemos desloca a vígula paa a esqueda. EXERCÍCIOS Coloque os númeos seguintes em foma de notação científica. 1) ) 0,0015 3) 0, ) ) ) 0, ) 8752,4 9) 265, )

8 7 1.4 PREFIXOS SI Nome Símbolo Fato de Multiplicação exa E peta P tea T giga G 10 9 mega M 10 6 quilo k 10 3 hecto h 10 2 deca da 10 deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 mico µ 10-6 nano n 10-9 pico p femto f atto a TEOREMA DE PITÁGORAS O quadado da hipotenusa é igual a soma do quadado dos catetos. Essa elação vale paa todos os tiângulos etângulos. hipotenusa a cateto b cateto c

9 8 Hipotenusa : lado maio do tiângulo etângulo a 2 = b 2 + c 2 EXERCÍCIOS 1) A diagonal "d" de um etângulo cujos lados medem 16 cm e 12 cm é: a) 17 cm b) 18 cm c) 19cm d d) 20 cm 12 cm e) 21 cm 16 cm 2) O valo de x do tiângulo abaixo é igual a: a) 3 b) 3 c) 4 d) cm 10 cm e) 5 3) Uma toe vetical é pesa po cabos de aço fixos no chão, em um teeno plano hoizontal, confome mosta a figua. Se A está a 15 m da base B da toe e C está a 20 m de altua, o compimento do cabo AC é:. x a) 15 m b) 20 m c) 25 m d) 35 m e) 40 m C A B

10 9 1.6 TRIGONOMETRIA C a c α A b B Hipotenusa lado maio do tiângulo etângulo = a Cateto adjacente ao ângulo α: lado que foma o ângulo α juntamente com a hipotenusa = b Cateto oposto ao ângulo α = c Relações Tigonométicas no Tiângulo Retângulo SENO DE UM ÂNGULO sen  = sen α = cateto oposto hipotenusa = a c sen  = seno do ângulo  sen α = seno do ângulo α ou CO-SENO DE UM ÂNGULO cos  = cos α = cateto adjacente hipotenusa = a b

11 10 TANGENTE DE UM ÂNGULO tg  = tg α = cateto oposto cateto adjacente = b c EXERCÍCIOS 1) Detemine o valo de X dos tiângulos etângulos abaixo. a) b) 20 cm X X 53º 30º 12 cm 2) Um fio vai se esticado do topo de um pédio até um ponto no chão, confome indica a figua. Consideando sen 37º = 0,6 ; cos 37º = 0,8 e tg 37º = 0,75, detemine o compimento do fio. 37º 42 m

12 11 3) Qual é a altua da igeja, sabendo-se que a distância do ponto A até o ponto B é 100 m. B A 37º 4) No tiângulo etângulo abaixo, é vedadeia a igualdade: a) sen α = t s t b) sen α = s c) cos α = t d) cos α = s e) tg α = s. t α 1.7 REGRA DE TRÊS Rega de Tês Dieta Exemplo: Em 12 m 2 de paede foam utilizados 540 tijolos. Quantos tijolos seão necessáios paa constui 20 m 2 de paede? Relação: mais m 2 de paede mais tijolos - Relação MAIS - MAIS

13 12 A elação Mais-Mais ou Menos-Menos caacteiza a ega de tês dieta. Na ega de tês dieta multiplicamos cuzado. 12 m tijolos 20 m 2 X X. 12 = X. 12 = X = X = 900 tijol.os Rega de Tês Invesa Exemplo: Uma casa é constuída po 20 pedeios em 30 dias. Em quantos dias seá constuída a mesma casa se o númeo de pedeios aumenta paa 50? Relação: mais opeáios menos dias A elação Mais - Menos ou Menos Mais caacteiza a ega de tês invesa. Na ega de tês invesa multiplicamos lada a lado. 20 opeáios 30 dias 50 opeáios X X = X = 600 X = 50 X = 12 dias EXERCÍCIOS 1) Uma máquina poduz 100 peças em 5 hoas. Quantas peças poduz em 2 hoas? 2) Uma ponte é feita em 120 dias po 16 tabalhadoes. Se o númeo de tabalhadoes fo eduzido paa 10, qual o númeo de dias necessáios paa a constução da mesma ponte? 3) Duas polias, ligadas po uma coeia, têm aios 20 cm e 50 cm. Supondo que a polia maio efetua 100 pm, qual a otação da polia meno?

14 SISTEMA DE EQUAÇÕES Método da Adição Elimina-se uma das incógnitas somando algebicamente a equação de cima com a equação de baixo. Exemplo 1-3X + Y = 14 4X Y = 8 Adicionando as equações membo a membo, temos: - 3X + Y = 14 4X Y = 8 X + 0Y = 22 X = 22 Achando X, podemos detemina o valo de Y na 1ª ou na 2ª equação. -3X + Y = 14 X = (22) + Y = Y = 14 Y = Y = 80 Exemplo 2 4X + 3Y = 6 2X + 5Y = -4 Nesse exemplo não adianta soma as equações, pois nem X nem Y seão cancelados. Devemos pepaa o sistema de modo que os coeficientes de uma das incógnitas fiquem siméticos, po exemplo X. Paa consegui que os coeficientes fiquem siméticos, podemos multiplica a 2ª equação po (-2). Obs.: Uma igualdade não se altea quando multiplicamos todos os seus temos pelo mesmo númeo

15 14 4X + 3Y = 6 2X + 5Y = -4 multiplicando todos os temos da equação po (-2), temos: 4X + 3Y = 6-4X - 10Y= +8 Somando-se as equações, encontamos: 14-7 Y = = 7Y = Y Y = -2 7 Substituindo-se o valo de Y na 1ª equação, tem-se: 12 4X + 3(-2) = 6 4X 6 = 6 4X = X = 12 X = 4 X = 3 Exemplo 3 2a + 4b = 9 3a - 5b = 7 Paa ajusta as equações paa que uma das incógnita se anule podemos multiplica a 1ª equação po -3 e a 2ª equação po 2. 2a + 4b = 9 x (-3) 3a - 5b = 7 x (2) - 6a - 12b = -27 6a - 10b = 14 0a - 22b = = 22b 13 b = a + 4b = 9 2a + 4( ) = 9 2a + = 9 2a =

16 a = a = a = Método da Substituição X + Y = 11 2X 4Y = 10 Escolhemos uma das equações, a 1ª equação, po exemplo, e isolamos uma das incógnitas. X + Y = 11 X = 11 - Y Tomamos a outa equação do sistema (2ª equação) e substituindo X pela expessão que obtivemos anteiomente, temos: 2X 4Y = 10 2 ( 11 Y ) 4Y = Y 4Y = Y = = 6Y = 6Y = Y 6 Y = 2 Substituindo-se Y pelo seu valo na equação X = 11 Y, encontamos: X = 11 Y X = 11 2 X = 9

17 16 EXERCÍCIOS Resolva os sistemas seguintes pelo método que acha mais conveniente X + 4Y = 3 6X 2Y = a + b = -4 3a + 6b = X + 3Y = 14 3X + 2Y = 11

18 ÁREA DE SUPERFÍCIES PLANAS A = a.b A = a 2 A= a.h 2 A = a.h A = ( B + b). h 2 A = D.d 2 A = π.r 2 α em gaus A = α. π. R α em adianos 2 α. R A = 2 A = π.(r 2 2 ) α em adianos 2 R A =.( α senα) 2

19 18 EXERCÍCIOS 1) Na figua AB = 2,0 cm; CF = 8,0 cm; DE = 5,0 cm; AF = 3,0 cm e FE = 3 cm. Detemine a áea do polígono ABCDE, em cm 2. C D B A F E 2) Um teeno tem a foma e as dimensões especificadas na figua abaixo. A áea desse teeno é: a) 1200 m² b) 1000 m² c) 600 m² d) 500 m² e) 360 m² 20 m 30 m 24 m 3) Calcule a áea das supefícies planas pintadas abaixo. Raio = 10 cm 18 cm A) B) 30 cm 10 cm 42 cm 34 cm

20 VOLUME a c a a a b V = a 3 V = a.b.c h V = π. 2. h V= d π. d 6 3 h h V= π. 2. h 3 π V =. h 2.( R R. ) 3 A b h h A b 1 h V =. Ab. h V=.( AB + Ab + AB. Ab ) 3 3 A B

21 20 EXERCÍCIOS 1) Quantos litos de água cabem num esevatóio que tem a foma de um bloco etangula com dimensões de 3 m x 1,5 m x 1,2 m. 1,5 m 3 m 1,2 m 2) O cilindo epesentado na figua tem aio de 3 m e altua igual a 4m. Detemine o seu volume. 3) Um cubo X tem 2 m de aesta e um cubo Y tem 1 m de aesta. Então, o volume do cubo X é igual a: a) duas vezes o volume de Y b) tês vezes o volume de Y a c) quato vezes o volume de Y d) seis vezes o volume de Y a e) oito vezes o volume de Y a

22 21 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Efetue as convesões: a) 12,781 m = cm b) 2595,4 dm 2 = dam 2 c) 126 hm 2 = m 2 d) mm 3 = cm 3 e) 28 cm³ = cl f) 135,1 mg = g g) 15 in = cm h) 40 lb = kg i) 40 kgf = N j) 6 atm = Pa 2) Convete paa o Sistema Intenacional de Unidades (SI) as unidades abaixo: a) 1,947 hm b) litos c) cm 2 d) 2456,9 dg 3) Esceva os númeos abaixo na foma de notação científica a) 0,0058 b) ) De acodo com os dados da figua, detemine a medida do segmento Y. 60c m 80 cm. Y 5) Qual é o valo da medida X no tiângulos abaixo. a) b) X 15 cm 30º 53º 30 cm X

23 22 6) Uma pessoa está distante 60 m da base de um pédio e vê o ponto mais alto do pédio sob um ângulo de 37º em elação a hoizontal. Qual é a altua do pédio? 7) Considee o tiângulo da figua. A 60º 45º B H C Dado AB = 20 cm, calcule a medida AC e AH 8) Tansfome: a) 150º em adianos b) 5 π/6 ad em gaus 9) Qual é a áea da figua? 5 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m

24 23 10) Calcule a áea das supefícies planas abaixo. a) b) 20 cm 14 cm 20 cm 30 cm 8 cm 11) O esevatóio da figua tem as seguintes dimensões intenas: 5 m de compimento, 2 2,4 m de altua e 1,5 m de lagua. Estando com água até os de sua capacidade 3 máxima, ele contém um volume de água coespondente a: a) 21 m 3 b) 12 m 3 c) 18 m 3 d) 8 m 3 e) 6 m 3 5 m 2,4 m 1,5 m 12) Calcula o volume de um paalelepípedo etângulo cujos lados são 40 cm, 30 cm e 20 cm. 13) Calcula o volume de um cilindo de diâmeto 20 cm e altua 30 cm. 14) O volume de um cubo é 27 cm³. Calcule a medida da aesta do cubo. a a a.

25 24 15) As aízes eais da equação 9x 2 3x - = 0, são 2 a) 0 ou -6 b) 1 ou 3 c) 0 ou 6 1 d) 3 ou 6 e) 2 ou Quais as aízes eais da equação 4x 2-3x - 1 = 0? 17. O sistema x - y = 5 tem como solução: 2x + 3y = - 55 a) ( - 8, ) b) ( -13, 4 ) c) ( - 4, -8) d) ( - 8, -13 ) e) (- 4, 8 ) 18) Dezesseis máquinas foam alugadas paa faze um seviço de teaplanagem em vinte dias. Poém seis dessas máquinas não pudeam se usadas po defeitos técnicos. Em quantos dias as máquinas estantes fizeam o mesmo seviço? 19) O lito de gasolina comum custava R$ 2,00. Houve um aumento de 10 % no peço. Após o aumento paa enche um tanque de 40 litos são necessáios: a) R$ 80,00 b) R$ 84,00 c) R$ 88,00 d) R$ 92,00 e) R$ 94,00

26 O pneu de um veículo, com 800 mm de diâmeto, ao da uma volta completa pecoe, apoximadamente, uma distância de: a) 2,51 m b) 5,00 m c) 25,10 m d) 0,50 m e) 1,51 m 21. O peímeto do etângulo em figua é 30 cm. Então x é igual a: 4 x a) 5 cm b) 2 cm c) 4,5 cm d) 10 cm e) 7,5 cm 3 x + 1

27 26 2 VETORES 2.1 GRANDEZAS FÍSICAS A tudo aquilo que pode se medido, associando-se a um valo numéico e a uma unidade, dá-se o nome de gandeza física. As gandezas físicas são classificadas em: Gandeza Escala: fica pefeitamente definida (caacteizada) pelo valo numéico acompanhado de uma unidade de medida. Exemplos: compimento, áea, volume, massa, tempo, tempeatua, etc. Gandeza Vetoial: necessita, paa se pefeitamente definida (caacteizada), de um valo numéico, denominado módulo ou intensidade, acompanhado de uma unidade de medida, de uma dieção e de um sentido. Toda a gandeza Física Vetoial é epesentada po um veto. Exemplos: Foça, velocidade, aceleação, campo elético, etc. 2.2 CONCEITO Veto: é um símbolo matemático utilizado paa epesenta o módulo, a dieção e o sentido de uma gandeza física vetoial. O veto é epesentado po um segmento de eta oientado. Módulo: é a medida do compimento do segmento de eta oientado que o epesenta. Dieção: ângulo que o veto foma com um eixo de efeência. Deteminada pela eta supote do segmento oientado. Sentido: oientação do veto. Exemplo 1 P O Módulo: F = 30 N ou F = 30 N Dieção: 90º com o eixo hoizontal X ou F = 30 N dieção Vetical Sentido : de O paa P ou Note X.

28 27 Módulo: v = 8 m/s Exemplo 2 P Dieção: 55º com o eixo hoizontal X v = 8 m/s Sentido: de O paa P O 55º X 2.3 VETORES IGUAIS E VETORES OPOSTOS Vetoes iguais: Dois ou mais vetoes são iguais quando têm o mesmo módulo, a mesma dieção e o mesmo sentido. Vetoes opostos: Dois vetoes são opostos quando têm o mesmo módulo, a mesma dieção e sentidos contáios. 2.4 ADIÇÃO DE VETORES Método do Paalelogamo Veto Resultante: Veto Resultante de váios vetoes é o veto que, sozinho, poduz o mesmo efeito que todos os vetoes eunidas. R = veto esultante ou S = veto soma Sejam dois vetoes F 1 e F 2, fomando ente si um ângulo α. O veto soma S, também chamado de veto esultante R, é indicado po S ou R = F 1 + F 2. F 1 F 2

29 28 Desenhamos os dois vetoes com suas oigens coincidentes. A pati da extemidade do veto F 1, taçamos um segmento de eta paalelo ao veto F 2. Em seguida, a pati da extemidade do veto F 2, taçamos um outo segmento paalelo ao veto F 1. O veto soma é obtido pela ligação do ponto de oigem comum dos vetoes ao ponto de intesecção dos segmentos de eta taçados. F 1 α R v F 2 O módulo do veto esultante é dado po: R R 2 = 1 2 F F + 2. F 1. F 2. cos α ou v v v v 2 2 = F + F +. F..cosα F2 Lei dos cossenos Exemplo - Dados os vetoes a e b abaixo, de módulos iguais a 5 unidades e 9 unidades, espectivamente. Sendo cos 60º =0,5, epesente gaficamente, pela ega do paalelogamo o veto soma S e calcule o seu módulo. a v S = 60º v a b 2 v + b 2 v v + 2. a. b.cosα a b S v 2 2 S v = cos 60º = , 5 = = 12,29 u

30 Método do Polígono A ega do polígono pode se utilizada na adição de qualque númeo de vetoes. Paa a sua utilização devemos coloca os vetoes de tal modo que a oigem do segundo veto coincida com a extemidade do pimeio; a oigem do teceio coincida com a extemidade do segundo; a oigem do quato coincida com a extemidade do teceio; e assim sucessivamente. O veto soma ou veto esultante é deteminado ligando-se a oigem do 1º veto à extemidade do último veto, confome mosta o exemplo abaixo. Ex. Dadas as foças F 1, F 2, F 3 e F 4, cujos módulos são, espectivamente, 30 N, 50N, 40 N e 20 N, detemine gaficamente (método do polígono) a foça esultante R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4. Escala: 1 cm = 10 N F 2 F 4 F 1 F 3 R 31 N F 4 F 3 F 1 F Casos paticulaes da adição de vetoes 1 ) Os vetoes tem a mesma dieção e o mesmo sentido ( α = 0º ) F 1 = 4 N F 2 = 3 N F 1 F 2 v v R = F 1 + F 2 R v = = 7 N v R = 7N

31 30 2º ) Os vetoes tem a mesma dieção e sentidos contáios ( α = 180º ) F 1 = 7 N v R = v F 1 F 2 F 2 = 3 N F 1 R v = 7-3 = 4 N v R = 4N F 2 3º) Os vetoes são pependiculaes ente si ( α = 90º ) R Tiângulo etângulo 1 Aplicando Pitágoas, temos: F F R 2 = ( F 1 ) 2 + ( F 2 ) 2 F 2 v R = v 2 2 F 1 + F2

32 PROJEÇÃO DE UM VETOR NUM EIXO Ex. 1 Y poj x F pojeção no eixo X da foça F F y =0 F = 30 N poj x F = F x = 30 N poj y F = F y = 0 F x X Ex. 2 Y F y poj x F = F x = 0 N F v = 60 N poj y F = F y = 60 N F x = 0 X CONVENÇÃO DE SINAIS PARA PROJEÇÕES DE VETORES - Eixo X - Oientação do veto paa a dieita positivo - Oientação do veto paa a esqueda - negativo - Eixo Y - Oientação do veto paa cima positivo - Oientação do veto paa baixo negativo

33 COMPONENTES DE UM VETOR Todo o veto pode se obtido a pati da soma de dois outos vetoes, pependiculaes ente si, chamados de componentes do veto dado. Assim, dado o veto F = 100N, ele pode se decomposto em dois outos vetoes, F x e F y, que ecebem o nome de componentes etangulaes ( ou componentes hoizontal e vetical ) do veto F. Y Y β F F y α X β α 2 F F x 1 X Cálculo de F x Cálculo de F y Tiângulo 1 Tiângulo 2 cos α = cateto adjacente/ hipotenusa cos β = cateto adjacente / hipotenusa cos α = F x F F y cos β = F cos α. F = F x F. cos β = F y F x = F. cos α F y = F. cos β

34 33 Cálculo de F y usando o seno - Tiângulo 1 sen α = cateto oposto / hipotenusa sen α = F Y Fy = F. sen α F Ex.1. Detemina os componentes hoizontal e vetical do veto F. Y F = 50 N F x = F cos α F x = 50. cos 37º F y 53º F x = 50. 0,8 = 40 N 37º F x X F y = F. cos β F y = 50.cos 53º F y = 50.0,6 = 30 N Ex. 2. Detemina as componentes hoizontal e vetical do veto v epesentado abaixo. Y v 60º X 2.7 ADIÇÃO DE VETORES PELO MÉTODO DAS PROJEÇÕES Quando o sistema é fomado po mais de dois vetoes concoentes e coplanaes, podemos detemina o veto esultante pelo método das pojeções de cada veto em dois eixos pependiculaes ( X e Y ).

35 34 Ex. Dadas as foças indicadas na figua, detemine o módulo, a dieção e o sentido da foça esultante R ( R v v v = F1+ F 2+ F 3 ) Y F 2 = 20 N 37º F 1 = 50 N X F 3 = 40 N 1º ) Resultante em X R x = Σ poj x F R x = poj x F 1 + poj x F 2 + poj x F 3 R x = cos 37º + 0 R x = ,8 R x = R x = 34 N 2º ) Resultante em Y R Y = Σ poj Y F R y = poj y F 1 + poj y F 2 + poj y F 3 R Y = cos 53º - 40 R Y = 20.0,6 40 = = 28

36 35 3º) Cálculo do módulo do veto esultante Y R v = Rx 2 + Ry 2 R X R Y θ R v X R v = R v = R v = 44,04 N Ry Dieção: tg θ = Rx 28 tg θ = = 0,823 θ 39º 34 Dieção: apoximadamente 39º com o eixo X, sentido sudeste EXERCÍCIOS - VETORES 1) Detemine a intensidade e tace, pelo método do paalelogamo, o veto soma S = a + b paa o caso abaixo. Dados: a = 10 cm, b = 8 cm, cos 60º = 0,5 b 60º a

37 36 2) Nos casos a segui, detemine a foça esultante que age sobe cada patícula, sabendo-se que a intensidade das foças F 1 e F 2 são, espectivamente, 20 N e 50 N. A) B) F 2 F 2 F 1 F 1 C) D) F 1 120º F 1 F 2 3) Paa os vetoes F 2 a e b e c v a segui, detemine gaficamente o veto S = a + b + c v a b c v 4) Em cada caso detemine as componentes etangulaes do veto a) Y b) Y. F = 40N F epesentado abaixo. F = 50N 37º X c) Y Y d) F = 30N F = 40N X. X 60 X

38 37 5) Detemine o módulo, a dieção e o sentido da foça esultante que age sobe a patícula. F 1 = 40 N F 2 = 30 N F 3 = 10 N F 4 = 50 N F 3 F 2 53º Y F 4 60º F 1 X EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Detemine paa os casos abaixo a intensidade da foça esultante e tace, pelo método do paalelogamo, a sua dieção e o seu sentido. a) b) 60 N 65º 100 N

39 38 2) Detemine, o módulo, a dieção e o sentido da foça esultante das figuas abaixo. a) 200 N 53º 300 N 37º 100 N b) Y F 2 = 30 N F 1 = 50 N 37º X F 3 = 60 N F 4 = 80 N

40 39 3 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA 3.1 VELOCIDADE MÉDIA ( v m ) t o t d = 0 d o d d v m = d t v m d d t t o o d = distância total pecoida t = tempo gasto no pecuso d o = posição inicial d = posição final t o = instante inicial t = instante final Unidades no SI d meto (m) t segundo (s) v - m/s

41 40 EXERCÍCIOS 1) Um automóvel, que tafega ao longo de uma odovia, passa pelo maco de estada 250 km às 7 h e pelo maco 400 km às 10 h. Detemine a velocidade escala média, em km/h e m/s, nesse intevalo de tempo. 2) Um veículo pecoe, inicialmente, 50 km de uma estada em 0,5 h. A segui pecoe mais 120 km em 1h e 30 min. Detemine a velocidade escala média do veículo, em km/h, duante todo o pecuso. 3) Um caminhão, em um techo inicial não-pavimentado da estada, desenvolve uma velocidade de 40 km/h, gastando um tempo de 2h neste pecuso. No techo seguinte (asfaltado), sua velocidade passa a se 70 km/h, sendo mantida duante um tempo de 1 h. a) Que distância total o caminhão pecoeu? b) Qual foi a velocidade média do caminhão nesta viagem? 3.2 ACELERAÇÃO MÉDIA ( a m ) Quando um movimento apesenta vaiação da sua velocidade, ao longo do tempo, o movimento é um movimento vaiado apesenta aceleação. Movimentos aceleados apesentam um aumento da velocidade e os etadados uma diminuição da velocidade. v v o v t o t

42 41 a m = v t a m = v v t t 0 0 v = vaiação da velocidade = v v o t = intevalo de tempo (vaiação do tempo) = t - t o v o = velocidade inicial v = velocidade final Unidades - no SI v m/s t s a m/s 2 Aceleação é a gandeza física que elaciona a vaiação da velocidade com o tempo gasto nessa vaiação. Ex.: a m = 5 m/s 2 significa que a velocidade está vaiando, em média, de 5 m/s em cada 1 segundo. EXERCÍCIOS 1) Patindo do epouso, um avião pecoe a pista e atinge a velocidade de 360 km/h, em 25 s. Qual o valo da aceleação escala média, em m/s 2? 2) Um móvel se movimenta sobe uma tajetóia etilínea e tem velocidade em função do tempo, indicada pela tabela. Detemine a aceleação média no intevalo de 0 a 10 s. t(s) v(m /s)

43 42 4 LEIS DE NEWTON 4.1 INÉRCIA A tendência natual dos copos de mante seu estado de epouso ou de movimento etilíneo e unifome denomina-se de inécia, potanto inécia consiste na tendência natual que os copos possuem em mante velocidade constante. Exemplo: Quando um ônibus aanca, o passageio po inécia tende a pemanece em epouso em elação ao solo teeste. Como o ônibus movimenta-se paa fente o passageio cai paa tás, confome figua. No caso de um ônibus fea buscamente os passageios tendem a mante-se no seu estado de movimento. Po isso as pessoas vão paa a fente do ônibus. Na ealidade, a mudança do estado de movimento é do ônibus. Os passageios tendem a mante-se como estavam, ou seja, em movimento e o ônibus não.

44 PRIMEIRA LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO DA INÉRCIA Todo o copo continua no seu estado de epouso ou de movimento etilíneo unifome, a menos que seja obigado a muda esse estado po foças impimidas sobe ele. Podemos conclui, que um copo live de ação de foças, ou com foça esultante nula, consevaá, po inécia, sua velocidade constante. Todo o copo em equilíbio mantém, po inécia, sua velocidade constante. Equilíbio de Repouso Equilíbio estático um ponto F = 0 v constante ou mateial MRU Equilíbio dinâmico Refeencial Inecial As noções de epouso, movimento, velocidade, aceleação, foça, etc. dependem do sistema de efeência. Refeencial Inecial é todo aquele que tona válida a lei da inécia, ou seja, um sistema de efeência que não possui aceleação em elação as estelas fixas. Paa a maioia dos poblemas de Dinâmica, envolvendo movimentos de cuta duação na supefície teeste, podemos considea um sistema de efeência fixo na supefície da Tea como inecial, emboa sabemos que a Tea não seja um pefeito efeencial inecial devido a seu movimento de otação. Quando o movimento em estudo é muito polongado, devemos considea inecial um sistema de efeência ligado as estelas fixas, que são estelas que apaentam mante fixas suas posições no céu após muitos séculos de obsevações astonômicas.

45 SEGUNDA LEI DE NEWTON OU PRINCÍIPIO FUNDAMENTAL Quando uma foça esultante atua num ponto mateial, este adquie uma aceleação na mesma dieção e sentido da foça, segundo um efeencial inecial. A esultante das foças que agem num ponto mateial é igual ao poduto de sua massa pela aceleação adquiida. F v = m. a v m = massa a = aceleação F = foça esultante As gandezas vetoiais F v e a v possuem mesma dieção e sentido. Unidades no SI m a v F v em quilogama (kg) em m/s² em newton (N) 1kg.1m/s² = 1 N Peso de um copo ( P ) É a foça de atação gavitacional sofida po um copo na vizinhança de um planeta ou outo gande copo. O peso de um copo na Tea é a foça de atação que a Tea exece sobe o copo, sendo essa foça diigida paa o seu cento. Devido às difeentes massas dos planetas do sistema sola, o peso de um copo seá difeente em cada um deles. Quanto maio fo a massa de um planeta, maio seá a foça gavitacional que o planeta exece sobe os copos. Quando um copo está em movimento sob ação exclusiva de seu peso P v, ele adquie uma aceleação denominada aceleação da gavidade g v.

46 45 Pelo pincípio fundamental da dinâmica, esulta: v v P = m. g A aceleação da gavidade (g), em nosso planeta, tem intensidade apoximada de 9,8 m/s². Em outos astos celestes, a aceleação da gavidade tem intensidade difeente, como po exemplo, na Lua g = 1,6 m/s² e em Júpite g = 26,5 m/s². Exemplo: A massa de uma pessoa é de 80 kg Detemine o peso da pessoa na Tea, na Lua e a sua massa na Lua. Peso na Tea P = m.g P = 80 kg.9,8 m/s² = 784 N Peso na Lua P = m.g P = 80 kg.1,6 m/s² = 128 N Massa na Lua m = 80 kg a massa é constante em qualque planeta.

47 TERCEIRA LEI DE NEWTON - PRINCÍPIO DA AÇÃO E REAÇÃO Se um copo A aplica uma foça F v A sobe um copo B, este aplica em A uma foça F v B de mesma intensidade, mesma dieção e sentido oposto. Exemplo 1 A foça que A exece em B e a coespondente foça que B exece em A constituem o pa ação-eação Exemplo 2 - Bloco apoiado numa mesa F v N P v No exemplo, o bloco é ataído pela Tea, execendo sobe a mesa uma foça de compessão. Pelo pincípio da Ação e Reação a mesa exece sobe o bloco uma foça de eação F v N de mesma intensidade, mesma dieção, poém de sentido contáio.

48 47 Exemplo 3 As foças de ação e eação possuem as seguintes caacteísticas: São foças tocadas ente dois copos; Não se equilibam e não se anulam, pois estão aplicadas em copos difeentes. Tem a mesma dieção e sentidos contáios. EXERCÍCIOS 1) Suponha que um bloco seja puxado com uma foça hoizontal F = 20 kgf sobe uma supefície hoizontal sem atito, adquiindo um movimento etilíneo com uma aceleação de 5 m/s 2. Qual é a massa do bloco? Considee 1 kgf = 9,8 N 2) Um bloco de massa 4 kg desliza sobe um plano hoizontal sujeito a ação das foças F v = 1 50 N e F v 2 = 26 N, confome indica a figua. Detemine a aceleação do copo e a eação do plano de apoio. Considee g = 9,8 m/s 2 F v 2 F v 1

49 48 5 FORÇA DE ATRITO Considee um copo apoiado sobe uma supefície hoizontal e ígida. Se o copo ecebe a ação de uma foça F, devido às ugosidades suge a foça de atito. As foças de atito são contáias ao movimento. A foça de atito ente os copos sólidos é devido às aspeezas das supefícies em contato e diminui com o polimento ou com uso de lubificantes. F Existem dois tipos de foças de atito. Foça de atito estática e foça de atito cinético. Quando a foça de atito impede que o copo deslize, ou seja, neste caso o copo está em epouso, dizemos que o atito é do tipo estático. Quando a foça de atito atua sobe copos que estão deslizando sobe alguma supefície, ou seja em movimento, dizemos que o atito é do tipo dinâmico.

50 FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO N F v F v ae P Admita um copo sobe uma supefície, confome figua acima, sendo solicitada a move-se pela foça F v. Enquanto o copo não desliza, à medida que cesce o valo de F v, cesce também o valo da foça de atito estática, de modo a equiliba a foça F v, impedindo o movimento. Quando a foça F v atingi um deteminado valo, o copo fica na iminência de desliza, e a foça de atito estática atinge o seu valo máximo. A pati desse instante, com qualque acéscimo que a foça F v sofa, o copo começa a desliza. A foça de atito estática é dada po: F ae = µ e.n N = foça nomal que o copo toca com a supefície de apoio. µ e = coeficiente de atito estático O coeficiente de atito µ é um númeo adimensional e depende do mateial dos copos em contato e do polimento das supefícies

51 FORÇA DE ATRITO DINÂMICO OU CINÉTICO N v v F v F v ad P Se o copo está escoegando na supefície de apoio, com velocidade v v, confome figua, significa que a foça de atito que age nele é dinâmico ou cinético e é dada po: F ad = µ d.n µ d = coeficiente de atito dinâmico ( depende das duas supefícies que estão em contato). N = foça nomal Obsevações: 1) Se alguém estive empuando um copo, mas este pemanece em epouso, a foça de atito que age nesta situação seá sempe igual a foça que a pessoa estive aplicando no copo. 2) A equação da foça de atito estático máximo seve paa detemina a foça máxima que a supefície pode aplica no copo paa mantê-lo em epouso. Depois deste valo a supefície deixa o copo enta em movimento. 3) A equação da foça de atito dinâmica só pode se usada paa detemina qual o valo da foça de atito aplicada pela supefície em copos que já estão movimentando-se. 4) A foça de atito de olamento é muito meno que no atito de deslizamento, aí esidindo a vantagem da invenção da oda.

52 INFLUÊNCIA DA RESISTÊNCIA DO AR O meio no qual o copo está imeso ( a ou líquido) ofeece também uma esistência ao deslocamento. Um copo abandonado do alto de um pédio adquie movimento aceleado po causa da ação da foça peso. Além dessa foça, atua no copo a foça de esistência do a, que tem mesma dieção e sentido contáio ao da foça peso. Essa foça de esistência do a é vaiável e depende da velocidade do copo, de sua foma e da maio secção tansvesal em elação à dieção do movimento. Exemplos: Um páa-quedas tem foma semi-esféica côncava (áea gande) paa aumenta a foça de esistência do a. Caos, aviões e peixes têm foma aeodinâmica (cotam o a e água) e áea da secção tansvesal muito pequena paa diminui a foça de esistência do a ou da água. EXERCÍCIOS 1) Um copo de massa 4 kg está sob a ação de uma foça F = 80 N e se desloca na dieção hoizontal. O coeficiente de atito cinético ente o copo e o apoio é igual a 0,5. Consideando a aceleação da gavidade local igual a 10 m/s 2, detemine: a) A foça nomal ( eação do apoio) F v a b) A foça de atito c) A aceleação adquiida pelo copo. 2) Paa inicia o movimento de um copo de massa 8 kg, apoiado sobe um plano hoizontal, é necessáia uma foça mínima de 50 N. Paa mante o copo em movimento unifome é peciso aplica ao bloco uma foça de 40 N. Detemine os coeficientes de atito estático e dinâmico ente o copo e o plano. Adote g = 10 m/s 2. F v 3) Um cao de 800 kg, andando a 108 km/h, feia buscamente e páa em 5 s. a) Qual a aceleação do cao? b) Qual o valo da foça de atito que atua sobe o cao?

53 52 4) Sistema da figua, os copos A e B têm massas m A = 3 kg e m B = 6 kg. Os copos estão ligados po um fio ideal que passa po uma polia sem atito, confome figua.. Ente o copo A e o apoio há atito, cujo coeficiente é 0,5. Consideando-se g = 10 m/s 2, detemine a aceleação dos copos e a foça de tação no fio. A B

54 53 6 PLANO INCLINADO Y N v a v F v a P v x β α X α P v P v y P x = P. sen α ou P x = P. cos β P y = P. cos α P = peso do copo N = eação nomal de apoio F a = Foça de atito P x > F a copo em movimento P y = N

55 54 EXERCÍCIOS 1) Um copo de massa 20 kg desce um plano hoizontal que faz um ângulo de 37º com a hoizontal. O coeficiente de atito ente as supefícies é 0,4. Consideando g = 10 m/s 2, detemine: a) a eação nomal de apoio b) a aceleação do copo. m α 2) Um copo de massa 5 kg move-se sobe um plano hoizontal pefeitamente liso, puxado po uma foça F v paalela ao plano inclinado, como indica a figua. F v 30º Sabendo que g = 10 m/s 2, calcule a intensidade da foça F v nos seguintes casos: a) o copo sobe o plano inclinado com uma aceleação de 2 m/s 2 b) o copo sobe o plano inclinado com velocidade constante.

56 55 3) No sistema da figua, o coeficiente de atito estático ente o bloco A e o plano vale 0,3 e o coeficiente de atito dinâmico vale 0,2. As massas de A e B são espectivamente iguais a 10 kg e 8 kg e o sistema é abandonado a pati do epouso. O fio e a polia são ideais e g = 10 m/s 2. a) Qual a intensidade da foça de atito ente o bloco A e o plano inclinado? b) Qual a aceleação do sistema? A B 30º

57 56 7 EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL Paa que um ponto mateial esteja em equilíbio é necessáio e suficiente que a esultante de todas as foças que nele agem seja nula. F = 0 Equilíbio estático - v = 0 v - ponto mateial em epouso em elação a um efeencial Equilíbio dinâmico - v = constante 0 v - o ponto mateial está em MRU ( movimento etilíneo e unifome ) F = 0 R x = 0 - Σ poj x F = 0 somatóio das pojeções em X de todas as foças é igual a zeo R y = 0 - Σ poj y F = 0 somatóio das pojeções em Y de todas as foças é igual a zeo. EXERCÍCIOS 1) Calcule a intensidade das tações nos fios ideais 1 e 2 nas situações abaixo. 30º 60º 53 a) b) P = 200 N P = 300 N

58 57 2 ) Detemine as foças de tação nos cabos AB e BC da figua a segui. Considee os cabos ideais. 60º 37º P = 50 N 3) A figua mosta o esquema de sustentação de duas cagas po meio de um cabo de aço. O cabo está fixo em A e passa po uma pequena oldana em B. O esfoço no cabo AC é 500 kgf. Calcula as cagas P e Q. Considee os fios ideais e despeze o atito. B C A 37º Q P 4) Detemine a foça de tação no fio AC e a compessão na baa AB da estutua a segui. Considee o fio e a baa ideais. C 30º B A 500 N

59 58 5) Considee uma esfea homogênea de peso 250 N suspensa po um fio e encostada a uma paede vetical, como ilusta a figua. A esfea está em equilíbio. Detemine: a) a foça tensoa no fio b) a eação oposta à esfea pela paede. 25º. 6) Calcule a intensidade da foça de tação no fio AB e a compessão na baa. AC da estutua abaixo. Despeze o peso do fio e da baa. B 40º A C 60º P = 200 N

60 59 8 MOMENTO DE UMA FORÇA OU TORQUE 8.1 CONCEITO O momento de uma foça é a capacidade dessa foça em faze gia um objeto. Consideemos uma foça de intensidade F, aplicada num ponto A de uma baa que pode gia livemente em tono do ponto O ( pólo), confome figua: F O d A intensidade do momento da F em elação ao ponto O (pólo) é dado po: MTO O F = F. d O momento da foça F, em elação a um ponto O fixo, é o poduto da intensidade da foça F pela distância d do ponto à eta supote da foça. Ponto O pólo do momento F = foça d = baço da foça distância da eta supote da foça ( linha de ação da foça) ao eixo de otação. Pependicula taçada da linha de ação da foça ao ponto (pólo). MTO O F = Momento da foça F em elação ao ponto O. No caso de uma foça que não seja pependicula ao segmento de eta que une o ponto de aplicação da foça ao pólo, podemos calcula o momento dessa foças de duas maneias: decompondo a foça ou calculando a medida do baço da foça.

61 60 Unidades no SI : F - em N (Newton) d - em m ( meto ) MTO - N.m Outas unidades do momento N.cm, N.mm, kgf.m, kgf.cm, kgf.mm 8.2 CONVENÇÃO DE SINAIS DO MOMENTO Rotação sentido hoáio MTO + Rotação sentido anti-hoáio MTO - EXERCÍCIOS 1) Calcula o momento de cada uma das foças, em elação ao ponto O, da baa em figua. F 1 = 80 N O F 2 = 50 N F 3 = 100 N 0,3 m 0,2 m

62 61 2) Detemina o momento esultante, em elação ao ponto C, da baa em figua. F 2 = 60 N F 4 = 70 N A B C D E F 1 = 50 N F 3 = 80 N 1 m 1 m 1 m 1 m F 5 = 100 N F 6 = 90 N 3) Detemine o momento esultante, em elação ao ponto O, da figua abaixo. F 1 = 50 N F 2 = 70 N F = 60 N 4 O F 3 = 40N 40 cm F 3 = 40 N 30 cm 4) Detemine o momento da foça F em elação ao ponto A. 20 cm A B 37º F = 100 N

63 BINÁRIO Denomina-se bináio o sistema constituído po duas foças de mesma intensidade, mesma dieção, sentidos opostos e aplicadas em pontos distintos. F A B sentido de otação F b OBS: Um bináio tende a poduzi apenas uma otação no copo em que é aplicado e só pode se equilibado po outo bináio, pois uma outa foça que atuasse no copo povocaia uma esultante R 0; Mto bináio = F.b A esultante de um bináio é nula. O momento do bináio é dado po: b = baço do bináio F = intensidade da foça EXERCÍCIOS Detemine o momento dos bináios das baas epesentadas abaixo. 1) F = 50N 0,3 m F = 50 N

64 63 2) F = 70N A 20 cm B 30º F = 70N 30º EXERCÍC IOS COMPLEMENTARES 1) Calcule a intensidade das tações nos fios ideais 1 e 2 nas situações abaixo. 40º 50º 60 a) b) P = 500 N P = 400 N 2) A figua mosta o esquema de sustentação de tês cagas po meio de cabos. Detemine os pesos N e P, sabendo-se que o peso Q é igual a 600 kgf. Considee os fios ideais. 30º N N P Q

65 64 3) Calcula a foça de tação no fio e a compessão na baa da estutua. Despeze o peso da baa e do fio. 45º P = 900 N 4) Detemine o momento esultante,em elação ao ponto C, das foças epesentadas a segui. Dados: F 1 = 10 N, F 2 = 50 N, F 3 = 60 N, F 4 = 100 N, F 5 = 50 N, F 6 = 20 N F 2 F 3 F 4 A B C D E F m 3 m 2 m 2 m F F 5 5) Detemine o momento da foça F em elação ao ponto B. B. 0,3 m A 60 F = 80 N

66 65 9 VÍNCULOS É todo elemento de ligação ente as pates componentes de uma estutua ou ente a estutua e o solo. Toda a condição geomética que limite a mobilidade de um copo chamase vínculo. Os vínculos devem impedi que a estutua peca sua foma e que se movimente, todavia pemitem as defomações elásticas das peças da estutua. 9.1 CLASSIFICAÇÃO DOS VÍNCULOS Os vínculos são classificados segundo os movimentos que impedem. Examinaemos aqui os vínculos no caso plano, lembando que uma baa possui no plano tês gaus de libedade: duas tanslações e uma otação. Vínculo de 1ª Classe : são os que impedem um único movimento da estutua Repesentação: Exemplo - Apoio simples F

67 66 Vínculo de 2ª Classe: São os que impedem dois movimentos da estutua Repesentação: Exemplo Movimento do cainho somente no eixo X Vínculo de 3ª Classe: São os que impedem os tês movimentos da estutua. Repesentação: Exemplo - Engaste 9.2 EFICÁCIA VINCULAR Paa que a vinculação seja eficaz é necessáio que a quantidade de vínculos seja suficiente paa impedi os movimentos da estutua e ainda que esses vínculos estejam coetamente distibuídos.

68 67 - Vinculação eficaz F 2 F 1 - Vinculação ineficaz F 2 F CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL Confome o númeo de vínculos a estutua pode se: 1º) Estutua Hipoestática O númeo de vínculos é insuficiente paa impedi os movimentos da estutua. F 2 F 1

69 68 2º) Estutua Isostática O númeo de vínculos é suficiente paa impedi os movimentos da estutua. F 2 F 1 3º) Estutua Hipeestática estutua. O númeo de vínculos é mais do que suficiente paa impedi os movimentos da F 2

70 69 10 EQUILÍBRIO DE UM CORPO EXTENSO 10.1 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Paa que um copo esteja em equilíbio é necessáio e suficiente que a esultante de todas as foças que nele agem seja nula e que o somatóio dos momentos de todas as foças, em elação a um ponto qualque da estutua, seja nula. F = 0 R x = 0 - Σ poj x F = 0 somatóio das pojeções em X de todas as foças é igual a zeo R y = 0 - Σ poj y F = 0 somatóio das pojeções em Y de todas as foças é igual a zeo. Essa condição implica que o copo não teá movimento de tanslação. Σ MTO A F = 0 O somatóio dos momentos de todas as foças, em elação a um ponto A qualque da estutua, é nula. Essa condição implica que o copo não teá movimento de otação CÁLCULO DE REAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICA POR APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA MECÂNICA. Paa o cálculo de eações, em estutuas isostática, utilizam-se as equações de equilíbio da mecânica vistas acima.

71 70 EXERCÍCIOS Detemina as eações nos apoios A e B das estutuas epesentadas abaixo. 1) 200 N 500 N A B 1m 3m 1m 300 N 200 N 500 N 2) A B 100 N 1 m 1,5 m 1,5 m 1 m 3) 500 N N A B 37 1 m 2 m 1 m 4) A 800 kgf 500 kgf/m B 2 m 2 m 4 m 2 m

72 71 5) O sistema da figua está em equilíbio estático. O ponto A epesenta uma aticulação em tono da qual a baa AB de compimento 3 m e peso N pode gia. Detemine: a) A intensidade da tação no cabo, consideando-o ideal. b) A intensidade das foças componentes (hoizontal e vetical) na aticulação A. 30 A C B 2 m 1 m F = N 6) Detemina a foça de tação no cabo 1 e as foças de eações hoizontal e vetical no apoio A da estutua abaixo. 5 kn/m 1 10 kn 53º A B 4 m 3 m 3 m

73 72 7) O guindaste da figua foi pojetado paa 5 kn. Detemina a foça atuante na haste do cilindo e eação hoizontal e vetical na aticulação A. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1) Detemine as eações nos apoios A e B das estutuas epesentadas a segui. a) 10 kn 15 kn 200 mm 350 mm 350 mm

74 N 300 N b) 200 Nm 1,5 m 1,5 m 37º 500 N c) 8000 N/m 2500 N 0,5 m 0,4 m 0,1 0,2 d) 4 kn/m 5 kn 3,0 m 1,5 m 1,5m e) 4 kn/m 6 kn/m 3 m 3 m

75 74 REFERÊNCIAS BONJORNO, José R. et al. Física fundamental: volume único. São Paulo: FTD, HIBBELER, Russel Chales. Mecânica estática. Rio de Janeio: Livos Técnicos e Científicos Editoa, [199?]. MELCONIAN, Sakis. Mecânica técnica e esistência dos mateiais. 14. ed. São Paulo: Éica, NICOLAU,Gilbeto; PENTEADO, Paulo; TORRES, Calos. Física: ciências e tecnologia. São Paulo: Modena, 2006.