Matemática e suas Tecnologias Matemática Alexmay Soares, Cleiton Albuquerque, Fabrício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico

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1 Univesidade Abeta do Nodeste e Ensino a Distância são macas egistadas da Fundação Demócito Rocha É poibida a duplicação ou epodução deste fascículo Cópia não autoizada é Cime Matemática e suas Tecnologias Matemática Alexmay Soaes, Cleiton Albuqueque, Fabício Maia, João Mendes e Thiago Pacífico 6

2 Cao Estudante Na Áea de Matemática e suas Tecnologias, após uma análise estatística dos Objetos do Conhecimento abodados desde a ciação do Novo Enem, tatamos de seleciona cuidadosamente os assuntos que listamos agoa, tabalhados nos fascículos anteioes: Razões e Popoções, Pocentagem, Rega de Tês Simples e Composta, Popocionalidade na Geometia, Função Afim, Função Quadática, Funções Exponenciais e Logaítmicas, Tigonometia e suas aplicações, Análise Combinatóia, Pobabilidade e Estatística Paa finaliza, neste fascículo, abodamos as Sequências e Pogessões, Pocentagem e Juos e, finalmente, Volumes e suas aplicações Chegamos ao final do Pojeto Enem 0 com este fascículo númeo 6, cetos da enome contibuição que popocionamos ao seu apendizado que seá taduzido na sua apovação no cuso desejado Sucesso! Objeto do Conhecimento Sequências e Pogessões Intodução Quem obseva e identifica padões pode faze afeições com maio pecisão e agilidade Po exemplo, meu filho Matheus, no dia 0/junho/0, quinta-feia, completou 4 anos Obsevando que de 7 em 7 dias temos o mesmo dia da semana, podemos afei que ele nasceu no dia 0/junho/997, numa segunda-feia ( dias antes de quinta-feia) Pecebeu? Se não, veja: sendo 4 (65 dias) uma quantidade de dias múltipla de 7, voltando no tempo essa quantidade, chegamos no mesmo dia da semana do dia 0/junho/0 (quinta-feia) A pati daí, devemos volta na semana apenas os dias elativos a 9 de feveeio de 008, 004 e 000 (anos bissextos do peíodo em questão) Algumas sequências, dente elas as pogessões aitméticas e geométicas, apesentam padões definidos que estudaemos a segui Com ceteza, o conhecimento de tais padões seão de gande utilidade no enfentamento de situações-poblema que contemplem sucessões numéicas Sequência Po definição, uma sequência de n elementos é uma função f de N * = {,,, n} em R: n Po conveniência, epesentaemos uma sequência apenas po suas imagens (a, a, a,, a n, ), que podem se deteminadas atavés da Lei de ecoência ou da Lei de fomação da espectiva sequência Lei de ecoência Consiste em uma lei que nos pemite enconta qualque temo (a n ) da sequência ecoendo a temo(s) anteio(es) Note que, na Lei de ecoência, é conveniente se conhece o pimeio temo (a ), caso contáio, não podemos ecoe ao temo anteio paa enconta os demais temos Na sequência (,, 6, 4, ), po exemplo, cada temo (a n ), a pati do segundo, é obtido multiplicando-se o temo anteio (a n ) po ( n), onde n indica a posição do temo Veja: (,, 6, 4, 0, ) x( ) x( ) x( 4) x( 5) Assim, os temos da sequência podeão se deteminados atavés da Lei de ecoência: a = a n = n a n, onde n Note que o pimeio temo (a = ) sendo conhecido, a lei a n = n a n, n, fonece o estante dos elementos da sequência: n = a = a = a = n = a = a = ( ) a = 6 n = 4 a 4 = 4 a = 4 6 a 4 = 4 Lei de fomação ou temo geal Consiste em uma lei que nos pemite enconta qualque temo (a n ) da sequência em função da sua posição n Na sequência (5, 8,, 4, ), po exemplo, podemos obte o seu temo geal (Lei de fomação) dando valoes a = 5 sucessivos a n na sua Lei de ecoência a n = a n +, paa n Veja: a = 5 a a = a a = a 4 a = a n a n = (n ) igualdades 4

3 Somando membo a membo, essas n igualdades e cancelando os temos, obtemos: a n = 5 + (n ) Daí, a Lei de fomação (temo geal) da sequência é: a n = n + Assim, po exemplo, o 00 o temo seá a 00 = 0 Pogessão Aitmética Toda sequência numéica em que cada temo, a pati do segundo, é igual à soma do temo pecedente (anteio) com uma constante chama-se pogessão aitmética (P A), ou seja, P A é uma sequência deteminada po uma fómula de ecoência do seguinte tipo: a = a (dado) a a, n, n * n = n + N A constante é chamada de azão da pogessão aitmética e pode se obtida atavés da difeença ente dois temos consecutivos quaisque da PA, isto é: Razão da PA = a a = a a = = a n a n- = Assim, se tês temos (a, b, c) estão em pogessão aitmética, o do meio é a média aitmética dos extemos, uma vez que temos: a + c Razão da PA = b a = c b b = Temo geal da PA Considee a PA (a, a, a,, a m, a m +,, a n, ) de azão Sendo a m e a n dois temos dessa pogessão, podemos elacioná-los Paa isso, obseve que: a m + a m = a m + a m + = a m + a m + = a n a n = Contando os índices (númeos natuais) de m + até n, obsevamos n (m + ) + = n m igualdades acima Somando, membo a membo, todas essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos, obtemos: a n a m = ( ), ou seja: a n = a m + (n m) (n m) vezes Em paticula, paa m =, temos que: a n = a + (n ), paa n Considee a seguinte situação-poblema: Em um techo de sea de km de uma odovia foi implantada a Opeação Descida Um dos pocedimentos dessa opeação consiste em bloquea a subida de veículos e pemiti a descida da sea po mais faixas Paa isso, são colocados 6 cones sinalizadoes ao longo do techo, sendo que a distância ente dois cones consecutivos quaisque é constante e que o pimeio e o último ficam exatamente no início e no fim do techo, espectivamente Queendo descobi qual deve se a distância ente dois cones consecutivos, podemos utiliza a fómula do temo geal de uma PA Veja: Como km = 000 m, o pimeio cone ficaá na posição a = 0 m e o último, na posição a 6 = 000 m Sendo R a distância (constante), em metos, ente dois cones consecutivos, as posições dos cones fomaão uma PA de azão R Daí: a 6 = a + 60R 000 = 60R R = 50 m Assim, a distância ente dois cones consecutivos quaisque deve se 50 m Soma dos temos equidistantes dos extemos de uma PA Considee a k e a p dois temos que ficam, espectivamente, a igual distância dos extemos a e a n de uma PA de azão R, isto é, considee a seguinte PA: +R +R +R +R +R +R (a ; a ; ; a k ; a k ; ; a p ; a ; ; a ) p + n Equidistantes dos extemos Sendo m o númeo de azões que devemos soma ao pimeio temo a paa a obtenção de a k, m também seá o númeo de azões que devemos soma ao temo a p paa a obtenção do extemo a n, uma vez que a k e a p são equidistantes dos extemos a e a n Daí: a k = a + mr, onde m = k a n = a p + mr, onde m = n p Isso deixa evidente dois fatos: º) A soma dos índices de dois temos equidistantes dos extemos é igual à soma dos índices dos extemos Veja: m = k = n p k + p = + n º) Numa PA, a soma de dois temos equidistantes dos extemos é igual à soma dos extemos Veja: Na PA mr = a k a = a n a p a k + a p = a + a n, po exemplo, temos que a + a 7 = a + a 6 = a + a 5 = a 4 + a 4 = 64 Note a soma dos índices igual a 8 em cada adição Univesidade Abeta do Nodeste 4

4 Soma dos n pimeios temos de uma PA Considee a PA (a, a, a,, a n, a n, a n ), onde a e a n são os extemos e a e a n, a e a n etc são equidistantes dos extemos Temos que: S n = a + a + a + + a n + a n + a n e, como a odem não altea a soma, S n = a n + a n + a n + + a + a + a Somando, agoa, membo a membo, essas duas igualdades, ficamos com: S n = (a + a n ) + (a + a n ) + (a + a n ) + + (a n + a ) Obsevando que: a + a n = a + a n = a + a n = = a n + a (temos equidistantes dos extemos), temos: S = (a + a ) + + (a + a ) n n n n vezes S n ( a + a n ) n = onde: a é o pimeio temo somado; a n é o último temo somado; n é a quantidade de temos, em PA, somados Considee a seguinte situação-poblema: Deseja-se pinta com tintas de P A P A P coes peta e amaela, altenadamente, um disco no qual estão macados cículos concênticos, cujos aios estão em PA de azão meto Pinta-se, no pimeio dia, o cículo cental do disco, de aio meto, usando 0,5 L de tinta peta Em cada dia seguinte, pinta-se a egião delimitada pela cicunfeência seguinte ao cículo pintado no dia anteio Se a tinta usada, não impotando a co, tem sempe o mesmo endimento, podemos descobi a quantidade total de tinta amaela gasta até o º dia, em litos, da seguinte foma: I O aio do pimeio cículo (meno), em meto, é = e foma, com os demais aios, uma PA de azão Assim, em metos, as medidas desses aios são =, =,, a = II As áeas pintadas de amaelo são aquelas pintadas em dias paes (segundo, quato,, vigésimo dia), cujas áeas, em m, são espectivamente: A = p p A = p A = p 4 p A = 7p A = p 6 p 5 A = p A 4 = p 8 p 7 A 4 = 5p (Uma PA de azão R = 4p, cujo décimo temo, A 0, é a áea pintada no vigésimo dia) Assim, A 0 = A + 9 R, ou seja, A 0 = p + 9 (4p) = 9 p e a soma das áeas pintadas de amaelo, em m, seá: (A + A 0) 0 (π + 9 π) 0 S0 = S0 = = 0π, III No pimeio dia, foam usados 0,5 L de tinta peta paa pinta p = p m do disco Como os endimentos das tintas são iguais e 0p m = 0 (p m ), foam utilizados 0 0,5 L = 05 L de tinta amaela Pogessão Geomética Toda sequência numéica em que cada temo, a pati do segundo, é igual ao poduto do temo pecedente (anteio), po uma constante q chama-se pogessão geomética (PG), ou seja, PG é uma sequência deteminada po uma fómula de ecoência do seguinte tipo: A constante q é chamada de azão da pogessão geomética e pode se obtida atavés do quociente ente dois temos consecutivos quaisque da PG, isto é: a a a n Razão da PG = = = = = q a a a n Assim, se tês temos (a, b, c) estão em pogessão geomética, o do meio ao quadado é igual ao poduto dos extemos, uma vez que temos: b c Razão da PG = = b = ac a b A sequência (, 6,, 4, 48,, a n, ), po exemplo, é uma pogessão geomética de azão q =, ou seja, nela, cada temo, a pati do segundo, é o seu temo anteio, vezes Podemos dize também que, nessa sequência, o quadado de cada temo, a pati do segundo, é igual ao poduto do temo anteio com o posteio Temo geal da PG Considee a PG (a, a, a,, a m, a m +,, a n, ) de azão q Sendo a m e a n dois temos dessa pogessão, podemos elacioná-los Paa isso, obseve que: a m + = a m q a m + = a m q a m + = a m + q a n = a n q Contando os índices (númeos natuais) de m + até n, obsevamos n (m + ) + = n m igualdades acima Multiplicando, membo a membo, todas essas igualdades e cancelando os fatoes iguais, mas em membos opostos, obtemos: a n = a m (q q q q), ou seja: (n m) vezes a n = a m q n m Em paticula, paa m =, temos que: a n = a q n, paa n 44

5 Considee a seguinte situação-poblema: Paa analisa o cescimento de uma bactéia, foam inoculadas 000 células a um deteminado volume de meio de cultua apopiado Em seguida, duante 0 hoas, em intevalos de hoa, ea medido o númeo total de bactéias nessa cultua Os esultados da pesquisa estão mostados no gáfico a segui No gáfico, o tempo 0 coesponde ao momento do inóculo bacteiano Obsevando que a quantidade de bactéias pesentes no meio, medida a cada hoa, segue uma pogessão geomética até 5 hoas, inclusive, o númeo de bactéias encontado no meio de cultua, hoas após o inóculo, pode se obtido da seguinte foma: I a 0 = 000 (númeo de bactéias na hoa zeo) e a 5 = 4000 (númeo de bactéias na 5ª hoa) são temos de uma mesma pogessão geomética Daí: { 0 a = 000 a a 4000 Então: = a q 4000 = 000 q = = = = 5 5 q 4, isto é, q (Aqui, é conveniente considea o pimeio temo a 0 = 000, o índice indicando a hoa, e não a = 000) II Queemos o númeo de bactéias na teceia hoa (a ): a = a q a = 000 a = Soma dos temos de uma PG finita Considee a PG de azão q (a, a, a,, a n ) cuja soma dos temos é S n = a + a + a + + a n Temos que: I q S n = q (a + a + a + + a n ) q S n = a + a + a q a n II S n q S n = (a + a + a + + a n ) (a + a + a q a n ) S n ( q) = a q a n S n a q a = q n Podemos, agoa, substitui a n = a q n na fómula anteio e obte: n a a q Sn = e daí: S q n q = a q, onde q n Númeo de células, Tempo (hoas) Soma dos temos de uma PG infinita convegente Quando a azão q de uma PG infinita é tal que < q <, isto é, q <, dizemos que a PG é convegente Isso significa dize que quando n tende a mais infinito, a n e q n tendem a zeo (convegem paa zeo) Na pática, substituindo q n = 0 na fómula anteio, obtemos: Obsevação: a Dizemos que S = é o limite da soma dos q infinitos temos da PG de azão q, onde q < (PG infinita convegente) Considee a seguinte situação-poblema: Uma bola é lançada, na vetical de enconto ao solo, de uma altua h Cada vez que bate no solo, ela sobe até 80% da altua de que caiu O compimento total pecoido pela bola em sua tajetóia, até toca o solo pela quinta 80 4 vez, pode se obtido, obsevando que 80% = = = 80% e 00 5 que, saindo de uma altua h, a bola pecoe: S = h + h + h + h + h subindo descendo (e bate no solo) subindo descendo (e bate no solo) Daí, somando os temos iguais, obtemos: descendo (e bate no solo) S = h + h + h + h + h Assim, até toca o solo pela quinta vez, a bola pecoeá h mais a soma dos quato pimeios temos da PG, isto é: q 4 5 S = h + a S = h + h q Logo: S = h 65 Podemos também calcula o compimento total pecoido pela bola em sua tajetóia, até atingi o epouso Paa isso, é só obseva que h + h + h + h é a soma dos infinitos temos de uma PG convegente ( < q = < ) Assim, até paa, a bola pecoeá a distância total S, tal que: 4 h a 5 8h 5 = + = + = + = q S h S h h S 9 h Univesidade Abeta do Nodeste 45

6 Questão Comentada C-H, H Moedas idênticas de 0 centavos de eal foam aumadas sobe uma mesa, obedecendo à disposição apesentada no desenho: uma moeda no cento e as demais fomando camadas tangentes Consideando que a última camada é composta po 84 moedas, a quantia, em eais, do total de moedas usadas nessa aumação é igual a: a) 49,60 b) 54,0 c) 58,60 d) 6,0 e) 67,60 Solução comentada: Chamando a camada cental de camada um e o seu númeo de moedas de a =, os númeos de moedas das camadas que se sucedem fomam uma pogessão aitmética de azão 6 Veja: em cada camada, ligue os centos das moedas fomando um hexágono egula Os hexágonos fomados são tais que o da camada de númeo n tem n moedas em cada lado, sendo que as moedas dos vétices (6 moedas) petencem a dois lados simultaneamente Assim, sendo a n o númeo de moedas da camada de númeo n, temos: a = a = 6 6 = 6 a = 6 6 = a 4 = = 8 a n = 6 n 6 = 84 Daí, devemos te: I 6 n 6 = 84 n = 5 II Total de moedas utilizadas= + ( ) Assim, nº de moedas = Total 4 temos em PA (6 + 84) 4 S = + = 6 A quantia, em eais, seá de 6(0,0) = 6,0 Resposta coeta: d Paa Fixa C-H 0 Miste MM, o Mágico da Matemática, apesentou-se diante de uma plateia com 50 pessoas que ecebeam, espectivamente, 50 fichas numeadas de a 50 Miste MM pediu que cada espectado escevesse um númeo no veso de sua ficha e a escondesse A única exigência feita po Miste MM foi: o númeo a se escito em cada ficha, excetuando-se a ficha pimeia e a última, deve se a média aitmética do númeo da anteio com o da posteio A segui, Miste MM pediu paa ve as fichas de dois voluntáios e foi atendido pelos espectadoes que potavam as fichas 6 e Obsevando que as fichas que lhe foam mostadas apesentavam os númeos 0 e 58 escitos nos espectivos vesos, paa delíio da plateia, Miste MM adivinhou o númeo escito no veso da última ficha Miste MM podeia também adivinha o númeo escito no veso de qualque outa ficha Nos vesos da pimeia e da última ficha estavam escitos, espectivamente, os númeos: a) 5 e 5 b) 5 e 4 c) 50 e d) 49 e e) 48 e C-H 0 Bungee jumping é um espote adical paticado po aventueios coajosos, que consiste em salta paa o vazio amaados, nos tonozelos, a uma coda elástica O Guinness infoma que o maio salto comecial de bungee jumping é feito da Bloukans Rive Bidge, uma ponte a 40 km ao leste de Plettenbeg Bay, na Áfica do Sul O salto é dado de uma platafoma sob a ponte e a altua de lá até o chão do vale é de 6 m <wwwwikipediacomb> (com adaptações) Considee que um aventueio, ao salta dessa ponte, na pimeia descida, ele atinja um ponto P que fica a 0 m do ponto de patida, que após cada descida, devido a pedas enegéticas po conta da esistência do a, ele sobe apenas metade da distância pecoida na descida anteio, que em todas as descidas, independentemente do ponto de patida, ele atinge o mesmo ponto P e que esse movimento de sobe e desce continua indefinidamente e sempe ocoe na vetical Nesse caso, o aventueio pecoeá uma distância: a) infeio a 650 m b) supeio a 650 m e infeio a 680 m c) supeio a 680 m e infeio a 70 m d) supeio a 70 m e infeio a km e) supeio a km Fique de Olho a NatUEZa Em FIBoNaccI A sequência (,,,, 5, 8,, ), chamada de sequência de Fibonacci, é tal que seus dois pimeios temos são iguais a e cada temo, a pati do teceio, é a soma dos seus dois temos imediatamente anteioes Em outas palavas, os númeos de Fibonacci fomam uma sequência definida ecusivamente pela lei: F = F = Fn = Fn + F n, paa n Os númeos de Fibonacci ligam-se facilmente à natueza É possível encontá-los no aanjo das folhas do amo de uma planta, nas copas das ávoes ou até mesmo no númeo de pétalas das floes, no copo humano, nas fomas de alguns animais A segui, temos situações onde é possível identifica a sequência de Fibonacci 46

7 Acompanhe a ilustação abaixo que nos taz a evolução da quantidade de coelhos Númeo de casais º mês: (jovem) º mês: (maduo) º mês: Pecebeu a sequência de Fibonacci na pimeia figua? Se não, obseve os númeos seguintes indicando as medidas dos lados dos espectivos quadados Esses mesmos númeos também indicam as medidas dos aios dos acos de cicunfeências que fomam a citada figua 5 5 Esta belíssima sequência foi descobeta com a esolução do clássico poblema dos coelhos, poposta pelo matemático italiano Leonado de Pisa, conhecido como Fibonacci (que que dize filho de Bonacci ) O poblema dos coelhos é o seguinte: Quantos casais de coelhos teemos ao final de um ano, se patimos de um único casal imatuo no º mês, que amaduece no º mês e gea um novo casal de filhotes no º mês e, a pati daí, continua paindo mensalmente, indefinidamente? Leve em conta que os novos casais geados também passam pelo mesmo pocesso descito anteiomente e considee que nenhum coelho vai moe (maduo) (jovem) (maduo) (maduo) 4º mês: (jovem) 5 5º mês: Note que, paa n, o númeo total de coelhos do mês n, Fn, é também o númeo de casais maduos do mês seguinte (mês n ) Como cada casal maduo do mês n gea um novo casal no mês n (mês seguinte), Fn também indica o númeo de casais imatuos (ecémnascidos) do mês n Sendo assim, os casais do mês n são os casais do mês anteio (mês n ) mais os ecém-nascidos do mês n, ou seja: Fn = Fn + Fn, paa n Agoa, fica fácil ve que a sequência epesentativa das quantidades de casais, mês a mês, é a sequência de Fibonacci (,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44, ), na qual o décimo segundo temo é 44 Após um ano ( meses), são 44 casais Objeto do Conhecimento Pocentagem e Juos Intodução Daqui a 0 anos (60 meses), quando se aposentaá, João Victo petende esgata um montante de milhão de eais de sua conta poupança Paa isso, ele depositaá, mensalmente, a pati de hoje, uma mesma quantia (x), cujos endimentos médios estão estimados em % ao mês Queendo detemina essa quantia (x) a se depositada mensalmente, João Victo chegou à seguinte equação, cujo pimeio membo é uma soma de temos em pogessão geomética: x + x (,0) + x (,0) + + x (,0)60 = Nessa equação, x (,0)60 é o montante geado pelo pimeio depósito e x, o geado pelo último Adicionando os temos em PG, João Victo chegou na equação equivalente: Se não, leia com atenção a teoia seguinte, pincipalmente a pate elativa a juos compostos Pocentagem Chama-se pocentagem ou pecentagem a poção de um dado valo que se detemina sabendo-se o quanto coesponde a cada 00 p% = Po exemplo: De um gupo de 00 jovens, 8 paticam natação Isso significa que 8% (lê-se 8 po cento ) dos jovens paticam natação A pocentagem de um númeo a em elação a outo b é dada pela azão Exemplos: na qual, utilizando-se a apoximação (,0)6 6, o valo apoximado de x é 85,70 eais Você entende poque o montante geado po cada pacela (x) depositada, após n meses, é dado po x (,0)n? p (lê-se p po cento) 00 a b 50 =,5 = 00 = 50%, isto é, é 50% de 7,5 8 = 0,75 = 00 = 7,5%, isto é, é 7,5% de 8 Univesidade Abeta do Nodeste 47

8 Assim: p p% de c = p% c = c 00 Após um aumento de p% sobe c, passamos a te: p p c + c = + c Após um desconto de p% sobe c, passamos a te: p p c c = c Após n aumentos sucessivos de p% sobe c, passamos a te: n p + c 00 Em geal, paa obte um esultado p% maio que ceto valo x, devemos multiplica x po ( + p%) Veja: x ( + p%) = x + p%x aumento valo inicial (Enem) O consumo total de enegia nas esidências basileias envolve divesas fontes como eleticidade, gás de cozinha, lenha etc O gáfico mosta a evolução do consumo de enegia elética esidencial, compaada com o consumo total de enegia esidencial, de 970 a 995 Consumo de Enegia (x0 6 tep) enegia total enegia elética *tep = toneladas equivalentes de petóleo Fonte: valoes calculados atavés dos dados obtidos de Veifica-se que a paticipação pecentual da enegia elética no total de enegia gasto nas esidências basileias cesceu ente 970 e 995, passando, apoximadamente, de: a) 5% paa 5% b) 40% paa 80% c) 0% paa 40% d) 0% paa 60% e) 0% paa 60% Solução: Em 970, o consumo de enegia elética ea ceca de,5 0 6 tep, de um total apoximado de tep, isto 6,5 0 tep é, 6 = = 0 = 0% Já em 995, o pecentual 5 0 tep tep 5 ea ceca de = = 0,65 = 6, 5 = 6,5% Logo, 6 0 tep 8 00 apoximadamente, o consumo de enegia elética passou de 0% paa 60% Resposta coeta: d Luco Chamamos de luco (L), em uma tansação comecial de compa e venda, a difeença ente o peço de venda (V) e o peço de custo (C) Assim, podemos esceve: Luco = peço de venda peço de custo, isto é: Obsevação: L = V C Caso essa difeença seja negativa, ela seá chamada de pejuízo Podemos expessa o luco na foma de pocentagem, em elação ao peço de custo ou em elação ao peço de venda, das seguintes maneias: LUCRO Pecentual do luco sobe o custo = PREÇO DE CUSTO LUCRO Pecentual do luco sobe a venda = PREÇO DE VENDA João compou uma bicicleta po R$ 80,00 e a vendeu po R$ 6,00 Nesse caso, temos: Luco (L) de João na tansação: L = V C L = 6 80 L = 6 eais A pocentagem do luco sobe o peço de custo: LUCRO L C = PREÇO DE CUSTO = 6 80 = 0, L C = 0 00 = 0% A pocentagem do luco sobe o peço de venda: L V = LUCRO PREÇO DE VENDA = 6 6 0,0 L V 00 = % Juo simples Suponhamos que uma pessoa deseje compa uma geladeia e não disponha de dinheio suficiente paa pagamento à vista Nessas condições, ela pode efetua a compa a pazo ou tenta um empéstimo em um banco Em qualque um dos casos, a pessoa gealmente paga uma quantia além do peço da geladeia a título de juos O valo desses juos é justificado pelo pazo obtido paa o pagamento ou pelo aluguel do dinheio empestado Suponhamos agoa que, sobe uma quantia, devam se calculados juos simples, a uma taxa fixa po peíodo, duante ceto númeo de peíodos Isso significa que os juos coespondentes a cada um dos peíodos seão sempe calculados sobe a quantia inicial e só seão incopoados a ela ao final do último peíodo Sendo assim, paa um capital inicial C o, empestado à taxa i, todos os aumentos da dívida seão iguais a: aumento = i C 0, não impotando a época do aumento Lembe-se: taxa i significa a pocentagem de aumento 48

9 Em geal, paa um capital inicial C o aplicado à taxa i, em egime de juo simples, temos: póximo aumento C n + = C n + i C 0 constante montante atual póximo montante Assim, a sequência de montantes (C o, C, C, C,, C n, ) é uma PA de azão R = i C o, pois cada temo é o anteio mais uma constante Daí, usando a fómula do temo geal da PA, obtemos: C n = C 0 + (n 0) R Cn = C0 + n i C0 Onde: C n é o montante (total da dívida) após n aumentos; C o é o capital inicial; n é o númeo de aumentos; i é a taxa de juos (pocentagem de aumento) Obsevação: i C o são os juos pagos em um aumento e J = n i C o são os juos pagos em n aumentos Potanto: Montante = Capital inicial + Juos Um comeciante contaiu de um amigo um empéstimo de R$ 400,00, compometendo-se a paga a dívida em 5 meses, à taxa de juo simples de 6% ao timeste Assim, temos: C = n = = 5 (númeo de aumentos) Taxa timestal em 5 meses, teemos cinco aumentos i = 6% ao timeste Substituindo os valoes em C n = C 0 + n i C 0, tem-se: aumento 6 C 5 = C 5 = = 0 eais 00 5 aumentos Ao final dos 5 meses, o comeciante pagaá um montante de R$ 0,00, sendo R$ 70,00 de juos Juo Composto O tipo de juo mais usado nas tansações financeias é o juo composto Paa entende esse tipo de juo, obsevemos o exemplo seguinte Aplicando R$ 00000,00 duante meses, à taxa de juo de 0% ao mês, qual o juo composto poduzido? Calculemos: Mês Capital Juo Montante º R$ 00000,00 R$ 0000,00 R$ 0000,00 º R$ 0000,00 R$ 000,00 R$ 000,00 º R$ 000,00 R$ 00,00 R$ 00,00 Potanto, o juo composto poduzido foi de R$ 00,00 (montante final menos capital inicial) Note que, em cada mês, a pati do segundo, a taxa de juo incide sobe o montante acumulado no mês anteio Po isso, esse tipo de endimento é chamado de juo composto Quando os juos são compostos, cada aumento é calculado sobe o espectivo montante Assim, um capital C o, aplicado à taxa i, gea, após n aumentos, um montante C n tal que: póximo aumento C n + = C n + i C n montante atual póximo montante Daí: C n + = C n ( + i) constante = ( + i) Concluimos, pois, que a sequência de montantes (C o, C, C, C,, C n, ) é uma PG de azão q = ( + i), pois cada temo é o anteio vezes uma constante Usando a fómula do temo geal da PG, obtemos: C n = C o q n o C n = C o ( + i) n Onde: C n é o montante após n aumentos; i é a taxa de juos (pocentagem de aumento); C o é o capital inicial; n é o númeo de aumentos Questão Comentada C5-H A aianha (mamífeo encontado em egiões pouco desbavadas da Amazônia e do Basil Cental) e o mico-leão-douado são espécies em extinção no Basil Com o objetivo de peseva essas espécies, foam eunidas, numa eseva floestal, 60 aianhas e 40 micos-leões-douados Constatou-se, após alguns anos, que o cescimento da população de aianhas foi de 5% ao ano e que a população de micos cesceu à taxa de 0% ao ano Em quanto tempo, após a eunião desses animais na eseva, o númeo de micos deve chega ao dobo do númeo de aianhas? Dados: log = 0,477; log,047 = 0,09 a) 7 b) 9 c) d) e) 5 Solução comentada: Sendo t o númeo de anos passados, temos: População de aianhas A t = 60( + 5%) t População de micos M t = 40( + 0%) t Queemos que: M t = A t 40 ( + 0,) t = 0( + 0,05) t 40 (,) t = 0 (,05) t t,0 (,) t = (,05) t =,05 (,047) t log(,047) t log Assim, t log(,047) log t 0,09 0,477 t 5 Resposta coeta: e Univesidade Abeta do Nodeste 49

10 Paa Fixa C-H5 0 Alguns especialistas ecomendam que, paa um acesso confotável aos bebedouos po pate de cianças e usuáios de cadeias de odas, a boda desses equipamentos esteja a uma altua de 76, cm do piso, como indicado na figua a segui 76, cm boda do bebedouo piso Um bebedouo que tenha sido instalado a uma altua de 9,4 cm do piso à boda excedeu a altua ecomendada Dente os pecentuais a segui, o que mais se apoxima do excesso em elação à altua ecomendada é: a) 5% b) 0% c) 5% d) 0% e) 5% C-H 04 Renato contatou um empéstimo de R$ 400,00 paa paga um mês depois, com juos de 5% ao mês Ao final do mês, não podendo paga o total, deu po conta apenas R$ 750,00 e, paa o estante, fimou um novo contato nas mesmas bases do anteio, o qual foi pago integalmente um mês depois O valo do último pagamento foi: a) R$ 889,00 b) R$ 99,00 c) R$ 989,00 d) R$ 009,00 e) R$ 99,00 Fique de Olho INflaÇÃo Em Economia, inflação é a queda do valo de mecado ou pode de compa do dinheio Poém, é populamente usada paa se efei ao aumento geal dos peços Inflação é o oposto de deflação Índices de peços dento de uma faixa ente e 4,5% ao ano é uma situação chamada de estabilidade de peços Inflação zeo não é o que se deseja, pois pode esta denunciando a ocoência de uma estagnação da economia, momento em que a enda e, consequentemente, a demanda, estão muito baixas, significando alto desempego e cise Os índices de inflação no Basil são medidos de divesas maneias Duas fomas de medi a inflação ao consumi são o INPC, aplicado a famílias de baixa enda (aquelas que tenham enda de um a seis saláios mínimos) e o IPCA, aplicado paa famílias que ecebem um montante de até quaenta saláios mínimos Até 994, a economia basileia sofeu com inflação alta, entando num pocesso de hipeinflação, na década de 80 Esse pocesso só foi inteompido em 994, com a ciação do Plano Real e a mudança da moeda paa o eal (R$), atual moeda do país Atualmente, a inflação é contolada pelo Banco Cental atavés da política monetáia que segue o egime de metas de inflação Objeto do Conhecimento Volumes e suas aplicações Evidentemente, em muitas cicunstâncias de nossas vidas, depaamos com situações em que se faz necessáio faze estimativas de medições elacionadas com os conceitos de supefície e espaço O conhecimento das fomas e popiedades geométicas dos pincipais sólidos, incluindo a deteminação de volumes mais complexos a pati de sólidos mais simples, agiliza e facilita os cálculos ineentes à poposta do Exame Nacional do Ensino Médio, além de popociona um domínio satisfatóio do assunto Capacidade e Volume O volume de um objeto é a quantidade de espaço que ele ocupa, onde a unidade pincipal é o meto cúbico (m ), e a capacidade é a quantidade de espaço disponível paa amazena, onde a unidade pincipal é o lito (l) Quando se deseja ealiza uma medição, é necessáio escolhe uma unidade de medida apopiada a medição, e os instumentos que pemitam alcança a pecisão exigida É impotante compeende que todos os objetos têm um volume, uma vez que todos ocupam um luga no espaço Alguns objetos têm uma foma que pemite coloca líquidos, esses objetos são chamados de ecipientes Desse modo, uma piscina vazia tem um volume, pois ocupa um luga no espaço, poém, sendo um ecipiente, ainda possui a capacidade de conte algum volume em seu inteio No entanto, uma peda, que é um objeto maciço, pemite-nos apenas medi o seu volume, já que não é um ecipiente Em algumas situações páticas, o volume a se medido pode se encontado sem utiliza as fómulas que abodaemos em beve paa o cálculo de volumes Vejamos um exemplo: um ecipiente na foma de um cone eto invetido está peenchido com água e óleo, em duas camadas que não se mistuam A altua, medida na vetical, da 50

11 camada de óleo é metade da altua da pate de água, como ilustado ao lado Se o volume do ecipiente é 54 cm, o volume da camada de óleo, nesse caso, pode se facilmente calculado exploando as noções de semelhança, discutidas no fascículo 4, acompanhe: V 54-V V: Volume da camada de óleo A semelhança ente os cones da figua acima, pemite-nos esceve a seguinte popoção: h 54 V = (A azão ente os volumes é igual ao h V cubo da azão ente os compimentos homólogos) Resolvendo, encontamos: h 8 54 V = V = 8 cm 7 V Potanto, 8 cm é o volume associado à camada de óleo Teoema de Cavaliei Se dois sólidos estão situados ente dois planos paalelos (têm a mesma altua) e qualque outo plano, paalelo a eles, cota os dois sólidos deteminando secções de mesma áea, então os sólidos são equivalentes, isto é, têm o mesmo volume Paa compeende melho as ideias de Cavaliei (matemático italiano que viveu na Itália, no século XVII), acompanhe o exemplo a segui Imagine uma pilha fomada com 0 moedas iguais de 5 centavos Obseve que podemos foma pilhas de váias fomas, com a mesma base e a mesma altua Escolhendo qualque uma das pilhas, iemos conclui natualmente que o volume de uma pilha é a soma dos volumes das moedas e, como as moedas são as mesmas, as pilhas têm o mesmo volume, apesa de teem fomas difeentes Potanto, se dois sólidos foem constituídos po camadas iguais, de mesma áea e de mesma espessua, então seus volumes são iguais Volumes dos sólidos mais comuns Paalelepípedo eto-etângulo (otoedo) É um pisma eto cujas faces são todas etangulaes h h h Medidas no otoedo Áea total do otoedo = (ab + ac + bc) Diagonal do otoedo = a + b + c Volume do otoedo = (áea da base) x (altua) = abc Uma caixa abeta, na foma de um paalelepípedo etângulo, seá fomada cotando quato quadados conguentes nos cantos de uma folha etangula de papelão e dobando ao longo das dieções dos lados dos quadados, como ilustado ao lado Se a altua da caixa teá medida cm, o volume da caixa seá de 88 cm e o peímeto da folha de papelão mede 64 cm, qual a medida da áea da folha de papelão? Solução: Vejamos uma nova ilustação de acodo com o enunciado: y y x x x x y y y + 6 x + 6 I Volume (caixa) = x y = 88 x y = 96 II Peímeto (folha) = (x y + 6) = 64 x + y = 0 III Resolvendo o sisteminha abaixo, com x > y (figua): { x + y = 0 x = e y = 8 x y = 96 IV Potanto: Folha oiginal 8 Áea = 4 8 = 5 cm 4 Assim, a áea (medida da supefície) da folha seá 5 cm Cubo (hexaedo egula) Um cubo é um pisma egula fomado po seis faces quadadas D c a D a d b d a a Univesidade Abeta do Nodeste 5

12 Medidas no hexaedo egula Áea da supefície total do cubo = (a a + a a + a a) = 6a Diagonal do cubo = D = a + a + a = a Volume do cubo = (áea da base) (altua) = a a a = a Obsevações: Pelo Pincípio de Cavaliei, podemos gaanti que dois pismas que têm mesma áea da base e mesma altua, têm volumes iguais Pisma eto: é um pisma cujas aestas lateais são pependiculaes às bases Pisma egula: é um pisma eto cujas bases são polígonos egulaes Vejamos um exemplo: dois blocos de alumínio em foma de cubo, com aestas medindo 0 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paalelepípedo etângulo de aestas medindo 8 cm, 8 cm e x cm O cálculo que devemos faze paa enconta a teceia medida (x) tona-se tivial quando pensamos na equivalência de volumes que deve ocoe Condição do poblema: Volume 0 cm Então: = x = x 64 x = 9 cm 0 cm + 0 cm 6 cm 6 cm 6 cm = Volume x cm 8 cm 8 cm Cilindo Quando o númeo de faces lateais de um pisma de base egula tende ao infinito, este tansfoma-se em um cilindo cicula Se as aestas lateais são pependiculaes às bases, dizemos que o cilindo cicula é eto As aestas lateais são denominadas geatizes do cilindo; Suas bases são cicunfeências que estão g = contidas h em planos paalelos; A altua do cilindo é a distância dos planos das bases g = h Planificação do cilindo eto Planificação do cilindo eto π Supefície lateal do cilindo eto g = h Medidas no cilindo eto Áea da supefície lateal do cilindo eto = ph Áea da supefície total do cilindo eto = ph + p Volume do cilindo eto = (áea da base) (altua) = p h Vejamos um exemplo: Davi deseja substitui quato tubos cilíndicos, todos de mesmo compimento e diâmeto de 0 cm, po um único tubo, também cilíndico e de mesmo compimento que os anteioes O diâmeto do novo tubo, paa que ele compote o mesmo númeo de litos d água que os outos quato juntos, pode se encontado facilmente a pati de uma equivalência ente os tubos Podemos esceve: volume (4 tubos cilíndicos) = volume (novo tubo cilíndico) 4 (p 5 c) = p c, onde c é o compimento comum e é o aio do novo cubo Resolvendo a sentença obtida, encontamos = 0 cm Potanto, o diâmeto do novo tubo é igual a 0 cm Piâmides Chama-se piâmide ao conjunto de pontos do espaço V limitados po um ângulo poliédico e po um plano que, não passando pelo vétice, cote todas as aestas do D h ângulo poliédico A secção C E plana do ângulo poliédico chama-se base da piâmide B A (ABCDE) e as poções das faces do ângulo poliédico limitadas po essa base chamamse faces da piâmide O vétice do ângulo poliédico chama-se vétice da piâmide (V) Uma ápida justificativa paa o volume da piâmide: Abaixo, temos a decomposição de um pisma tiangula em tês piâmides tiangulaes A D C A B = F E D (I) (II) B (III) B C + + A B F F D E F Veja que: I as piâmides I e II têm volumes iguais, pois os tiângulos ABD e BDE têm a mesma áea e a distância de F ao plano ABED é única, isto é, as duas piâmides têm a mesma altua; II as piâmides II e III têm volumes iguais, pois os tiângulos BEF e BCF têm a mesma áea e a distância da aesta AD ao plano BCFE é única, pois AD / / PL(BCFE), então as duas piâmides têm a mesma altua Potanto, o volume de cada uma dessas piâmides é igual a um teço do volume do pisma 5 π Supefície lateal do cilindo eto g = h

13 V Obsevações: Pelo Pincípio de Cavaliei, podemos gaanti que duas piâmides que têm mesma áea da base e mesma altua, têm volumes iguais Piâmide eta: é a piâmide cujo pé de sua altua coincide com o cento de sua base Piâmide egula: é a piâmide eta de base egula dam 40 dam 0 dam Paa calculamos o volume apoximado de um icebeg, podemos compaá-lo com sólidos geométicos conhecidos O sólido da figua, fomado po um tonco de piâmide egula de base quadada e um paalelepípedo eto-etângulo, justapostos pela base, epesenta apoximadamente um icebeg no momento em que se despendeu da calota pola da Tea As aestas das bases maio e meno do tonco de piâmide medem, espectivamente, 40 dam e 0 dam, e a altua mede dam Passado algum tempo do despendimento do icebeg, o seu volume ea de 00 dam, o que coespondia a /4 do volume inicial Detemine a altua H, em dam, do sólido que epesenta o icebeg no momento em que se despendeu Solução: O desenho ao lado facilitaá a visualização e compeensão dos cálculos que iemos faze objetivando a obtenção da altua H x 0 I = (semelhança) x = 6 dam x + 40 maio II V = V V meno tonco piâmide piâmide V tonco = = 4800 dam III Consideando a edução de volume após o despendimento, temos: = z z = 0 dam bloco tonco etan gula Potanto, a altua solicitada é igual a H = dam Cone Quando o númeo de vétices da base de uma piâmide de base egula tende ao infinito, este tansfoma-se em um cone cicula Se a piâmide fo eta, dizemos que o cone cicula é eto z x H H g As aestas lateais da piâmide são h as geatizes do cone; Sua base é uma cicunfeência; O A altua do cone é a distância do R vétice ao plano da base Planificação do cone eto h O V Planificação do cone eto R g g q Um ecipiente cônico de vido, de altua igual ao aio da base cicula, completamente g fechado, está apoiado com R πr Supefície lateal do cone eto R Medidas no cone eto Áea da supefície lateal do cone eto = pg Áea da supefície total do cone eto = pg + p πr (áea da base) (altua) π h Volume do cone eto = = Supefície lateal do cone eto sua base cicula sobe a mesa, como na figua, de foma que o líquido em seu inteio atinge a metade da pofundidade do ecipiente Se viamos o ecipiente, como na figua, de foma que a base cicula fique paalela à mesa, qual seá a pofundidade do líquido em seu inteio, com o ecipiente nessa nova posição? H H/ Figua Figua Solução: Como a supefície do líquido é paalela ao plano da base do cone nas figuas e, então a popocionalidade pesente é evidente, o que nos pemite esceve: I { V = volume de líquido no cone II III V = volume que coesponde ao espaço vazio H H V V V V Figua Figua V V V V Figua Figua H X H/ H X H/ g V = 7 V x V = x 7 V x 7 = = H V + V H 8V H q g? IV Logo, a altua do líquido, na figua, seá igual a: x = H 7 uc Univesidade Abeta do Nodeste 5

14 Esfea A esfea é um sólido limitado po uma supefície que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto inteio chamado cento Uma ápida justificativa paa o volume da esfea: Devemos te: 4 n (p ) = (6) π, n é o nº de despejos Simplificando, vem: R R α d d α R d R R plano hoizontal De acodo com a ilustação acima, temos: I um cilindo eto cuja base é um cículo de aio R e cuja altua tem medida R; II uma esfea de aio R epousando sobe o plano hoizontal que contém a base do cilindo; III evidentemente, a = 45º (as diagonais de um quadado são bissetizes); IV a secção que apaece na esfea obtida a pati de um plano hoizontal que dista d do cento é um cículo cuja áea mede p = p(r d ); V o mesmo plano detemina, ente as paedes lateais do cone e do cilindo, à dieita, uma cooa cicula cuja áea também mede p(r d ); VI pelo Pincípio de Cavaliei, podemos gaanti que o volume da esfea é igual à difeença ente o volume do cilindo e o volume ocupado pelos dois cones De acodo com agumentação acima, encontamos: V esfea = Volume (cilindo) Volume (cone) V esfea = pr R Deseja-se enche de água um esevatóio em foma de hemisféio, utilizando-se um outo ecipiente meno de foma cilíndica cicula eta, confome as figuas abaixo A pati de suas medidas intenas, constatou-se que a azão ente os seus aios é e que a altua do ecipiente meno 6 é o tiplo do seu aio Sendo assim, paa que o esevatóio fique completamente cheio, quantas vezes o ecipiente meno deve também se completamente enchido e deamado no maio? R n = 48 Potanto, seão necessáios 48 despejos paa enche o esevatóio Questão Comentada C-H8 Um paciente ecebe, po via intavenosa, um 4 cm medicamento à taxa constante de,5 ml/min O fasco do medicamento é fomado po uma pate cilíndica e uma pate cônica, cujas medidas 9 cm são dadas na figua, e estava cheio quando se iniciou a medicação Após 4 h de administação contínua, a medicação cm (figua foa de escala) foi inteompida Dado que cm = ml e usando a apoximação p =, o volume, em ml, do medicamento estante no fasco após a inteupção da medicação é, apoximadamente: a) 0 b) 50 c) 60 d) 40 e) 60 Solução comentada: I Se V ml é o volume inicial do fasco do medicamento, então: V = V (cilindo) + V(cone) V = p V = 480 cm = 480 ml II Po conseguinte, seja V cm o volume de medicamento ecebido pelo paciente em 4 h: Rega de tês (dieta),5 ml min V ml 40 min = 4 h Resolvendo, encontamos V = 60 ml III Potanto, o volume que coesponde a soba de medicamento é igual a (480 60) ml = 0 ml Resposta coeta: a Paa Fixa R Solução: De acodo com o exposto, temos: 6 6 h C-H8 05 Lucas é um apaz viciado em bebe efigeante diet Um dia, voltando do tabalho, ele passou em fente a uma companhia de gás, onde viu um enome esevatóio cilíndico de metos de altua, com uma base de metos de diâmeto, e pensou: Em quanto tempo eu bebeia aquele esevatóio inteio, se ele estivesse cheio de efigeante diet? Consideando p =,4 e sabendo que Lucas bebe litos de efigeante diet po dia, pode-se afima que ele consumiá todo o líquido do esevatóio em um peíodo de: a) 86 dias b) 86 meses c) 8,6 anos d) 860 meses e) 86 anos 54

15 C-H8 06 Um engenheio da pefeitua, com,8 metos de altua, inspecionava a constução de um novo esevatóio de água, de foma esféica Sua cabeça tocava o 5,4 tanque exatamente quando ele estava a 5,4 metos do ponto onde o esevatóio encontava o chão Sabendo que a cidade consome 5000 m de água po hoa, o tempo necessáio paa a cidade consumi o tanque cheio, é apoximadamente igual a: a) 7 minutos b) minutos c) 7 minutos d) minutos e) 7 minutos Fique de Olho ToNco de piâmide de BasEs paalelas Consideemos uma piâmide cuja base tem áea B e cuja secção, paalela à base, à distância h t da base, tem áea b Chamando de h a distância da secção ao vétice da piâmide, o volume do tonco, V t, é dado po: h Então: II Volume(tonco) = Volume(piâmide maio) Volume(piâmide meno) Então: h + h t h t B: áea da base maio b: áea da base meno h t : altua do tonco h: altua da piâmide meno h + h t : altua da piâmide maio Sendo a piâmide de altua h +h t semelhante à piâmide de altua h, temos: I as áeas dessas bases estão ente si como os quadados das altuas das piâmides Assim sendo, o cálculo do volume de um ecipiente com a foma de um tonco de cone, sabendo que sua altua mede m e que suas bases têm aios iguais a m e m, pode se facilitado usando o esultado encontado Veja: Logo: h t V tonco = (B + b + Bb) 4π V T = ( π + π + π π ) = m Execitando paa o Enem C-H 0 Considee a sucessão de figuas apesentadas a segui Obseve que cada figua é fomada po um conjunto de palitos de fósfoo A quantidade de fósfoos necessáios paa que seja possível exibi, concomitantemente, todas as pimeias 50 figuas é: a) 7000 b) 8500 c) 0000 d) 500 e) 000 Figua Figua Figua C5-H9 0 Em uma baaca de futas, um feiante empilhou as laanjas fomando uma piâmide de base quadada A base ea fomada po 0 fileias de 0 laanjas, cada uma, e cada laanja tangenciava as vizinhas Acima da base, vinha a segunda camada de laanjas e cada uma delas tangenciava quato laanjas da camada infeio, confome a figua O mesmo ocoia nas demais camadas, até a última, que ea fomada po uma única laanja Consideando a base como ª camada, o númeo de laanjas da camada de númeo n dessa pilha ea: a) n² b) (0 n)² c) (9 + n)² d) (9 n)² e) ( n)² C-H, H 0 Ao obseva poblemas de tansmissão de dados via linha telefônica, o matemático Benoit Mandelbot associou a distibuição dos eos de tansmissão com o conjunto de Canto Paa constui o conjunto de Canto a pati de um segmento de compimento m, utiliza-se o seguinte pocesso: No º passo, divide-se o segmento em tês pates iguais e etia-se a pate cental; no º passo, cada segmento estante do º passo é dividido em tês pates iguais, etiando-se a pate cental de cada um deles; e assim sucessivamente, como mosta a figua a segui Segmento de compimento m o passo o passo o passo 4 o passo Univesidade Abeta do Nodeste 55

16 Repetindo-se esse pocesso indefinidamente, obtém-se o conjunto de Canto Com base nesse pocesso, calcule a soma dos tamanhos de todos os segmentos estantes no 0º passo a) m b) d) 0 m e) m c) 0 m m C-H 04 Hélio compou, em uma loja, uma máquina de lava oupas, no seguinte plano de pagamento: 0 pacelas, sendo a pimeia de R$ 56,00, e o valo de cada pacela, a pati da segunda, coespondendo a 50% do valo da anteio Hélio pagou pela máquina de lava o valo total de: a) R$ 5,75 b) R$ 5,50 c) R$ 5,00 d) R$ 50,50 e) R$ 50,00 C5-H0 05 Paulo empestou R$ 5000,00 a um amigo a uma taxa de % ao mês (juo simples) Po se tata de um amigo, Paulo combinou que só passaia a coba juos a pati do 4º mês Considee x o númeo de meses do empéstimo e M(x) o montante a se devolvido paa Paulo no final de x meses Nessas condições, a melho epesentação gáfica paa M(x) é: a) b) M(x) M(x) 5000 c) 5000 e) 550 M(x) x M(x) x x 5000 d) 5000 x M(x) C-H 06 Em um peíodo em que os peços subiam 8%, os saláios de ceta categoia aumentaam apenas 0% Paa que os saláios ecupeem o pode de compa, eles devem se aumentados em: a) 40% b) 46% c) 5% d) 58% e) 64% x C-H 07 Máio tomou um empéstimo de R$ 8000,00 a juos de 5% ao mês Dois meses depois, Máio pagou R$ 5000,00 do empéstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito O valo do último pagamento foi de: a) R$ 05,00 b) R$ 80,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 550,00 C-H8 08 O esevatóio de água esquematizado na figua é constituído de um cilindo de m de aio e m de altua e de um tonco de cone, de m de altua e cujo aio da base maio é igual a m A capacidade, em litos, desse esevatóio, quando cheio, é apoximadamente: Dado: p =, a) 766 L b) 4766 L c) 7766 L d) 0766 L e) 766 L C-H9 09 Um ecipiente cúbico medindo m de aesta está totalmente cheio de água Se, no seu inteio, são lançados 00 cubinhos de aço medindo 4 cm de aesta, a quantidade de água, em litos, tansbodante, causada pela imesão dos cubinhos, é: a),8 litos b),7 litos c),6 litos d),5 litos e),4 litos C-H8 0 Em uma caixa de papelão, são colocados copos, como mosta a figua a segui Ente um copo e outo, existe uma divisóia de papelão compimento com cm de espessua Cada copo tem o fomato de um cilindo cicula eto, com altua de 4 cm e volume de 6p cm Com base nesses dados, pode-se dize que o compimento inteno da caixa de papelão, em cm, seá igual a: (use p =,4) a) b) 7 c) 4 d) 6 e) 48 Paa Fixa e a d c c e Execitando paa o Enem c e e b c a c e a c lagua altua Atenção!! Insceva-se já e tenha acesso a outos mateiais sobe o Enem no wwwfdcomb/enem0 Expediente Pesidente: Luciana Dumma Coodenação da Univesidade Abeta do Nodeste: Ségio Falcão Coodenação do Cuso: Fenanda Denadin e Macelo Pena Coodenação Editoial: Saa Rebeca Aguia Coodenação Acadêmico-Administativa: Ana Paula Costa Salmin Coodenação de Design Gáfico: Deglaucy Joge Teixeia ISBN Pojeto Gáfico: Dhaa Sena e Suzana Paz Capa: Suzana Paz Editoação Eletônica: Antônio Nailton Ilustações: Aldeni Babosa, Caio Menescal e João Lima Revisão: Maia Sávia e Saa Rebeca Aguia Apoio Paceia Realização Pomoção