Aulas Particulares on-line

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1 Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, MTEMÁTI PÉ-VESTIBUL LIVO DO POFESSO

2 IESDE Basil S.. É poibida a epodução, mesmo pacial, po qualque pocesso, sem autoização po escito dos autoes e do detento dos dieitos autoais. I9 IESDE Basil S.. / Pé-vestibula / IESDE Basil S.. uitiba : IESDE Basil S.., 009. [Livo do Pofesso] 660 p. ISBN: Pé-vestibula.. Educação.. Estudo e Ensino. I. Título. DD 70.7 Disciplinas Língua Potuguesa Liteatua Matemática Física Química Biologia Históia Geogafia Podução utoes Fancis Madeia da S. Sales Mácio F. Santiago alixto ita de Fátima Bezea Fábio D Ávila Danton Pedo dos Santos Fees Faes Haoldo osta Silva Filho Jayme ndade Neto enato aldas Madeia odigo Piacicaba osta lebe ibeio Maco ntonio Noonha Vito M. Saquette Edson osta P. da uz Fenanda Babosa Fenando Pimentel Hélio postolo ogéio Fenandes Jeffeson dos Santos da Silva Macelo Piccinini afael F. de Menezes ogéio de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duate.. Vieia Enilson F. Venâncio Felipe Silveia de Souza Fenando Mousque Pojeto e Desenvolvimento Pedagógico Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/,

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5 Sólidos de evolução ilindo hama-se de cilindo a eunião de todos os segmentos paalelos e conguentes a um segmento de eta, que tem uma das extemidades contidas num cículo petencente a um plano, de foma que todos os segmentos estejam num mesmo semiespaço. (ssim, as bases seão cículos paalelos). cículos de centos O e O bases ' geatiz OO ' eixo BB seção meidiana h altua ilindo cicula eto É todo cilindo fomado pela otação completa de um etângulo em tono de um eixo que contém um dos lados. O g h h π ( α) B O g = h B ( α) Fómulas Elementos Áea lateal (Sl) Sl = πh B O Áea total (S T ) h S T = π( + h) EM_V_MT_00 B O Volume (V) V = π. h Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/,

6 aso paticula ilindo equiláteo É o cilindo eto cuja altua é igual ao diâmeto da base, assim a seção meidiana é um quadado. one cicula eto É todo cone fomado pela otação completa de um tiângulo etângulo em tono de um eixo que contém um dos seus catetos. h g h g h = one Planificação Dada uma cicunfeência contida em um plano, se de um ponto V foa do plano taçamos segmentos que ligam V a pontos da cicunfeência, o sólido fomado seá um cone. g V ( α) ( α) Elementos V h g g = h + h O B Fómulas cículo de cento O base V geatiz (g), se o cone fo eto VO eixo VB seção meidiana h altua O aio da base Áea lateal (Sl) Sl =. g Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

7 Áea total (S T ) S T = ( + g) Definição do volume da esfea Volume (V). π h V = β α esfea O d s anticlépsida s d d Q P s d h h h h = + + one equiláteo P S Q É todo cone eto cuja geatiz é igual ao diâmeto da base; assim, a seção meidiana é um tiângulo equiláteo. SPQ é isósceles: SP = d PQ = d g = planificação da supefície lateal é um semicículo. Esfea esfea é o sólido geado pela otação completa de um cículo em tono do seu diâmeto. g Áea da seção na esfea (cículo) s = ( d ) Áeas da seção na anticlépsida (cooa cicula) d = ( d ) Áeas iguais Volumes iguais (Pincípios de avaliei) Então: V esfea = V anticlépsida = V cilindo V cone = π. π. V esfea = 4 Dedução de áea da esfea x + x x EM_V_MT_00 Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/,

8 V V =. x = x 4 4 V = π ( + x) π 4 V = π ( + x) 4 V = π x + x + x V 4 = π x + x + x x Paa x = 0 4 = π + Fómulas = 4π unha esféica a Volume da cunha a 4p V =. 60 ( em gaus) Áea da esfea S = 4π Volume da esfea Seção de uma esfea d 4π V = Pates da esfea Fuso esféico = aio da esfea = aio da seção d = distância do cento à seção d alota esféica = d + h a Áea do fuso α SF =.4π α em gaus 60 O plano divide a esfea em dois segmentos esféicos e a supefície esféica em duas calotas esféicas. Áea da calota 4 S =. h Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

9 Segmento esféico Volume do segmento V = π.h ( h) Teoema de Guldin. `` Um cilindo eto com diâmeto da base igual a 6cm é seccionado po um plano oblíquo a ela, que detemina, no cilindo, altuas ente cm e 8cm, como indicado na figua. O volume esultante é: Solução: áea da supefície geada pela otação completa de uma linha de compimento l em tono de um eixo é dada po: eixo 8cm 8cm cm 8cm cm 6cm cm l 6cm x cm S = p. l. x cm onde x cm é a distância do cento de massa da linha ao eixo. O volume do sólido geado pela otação completa de uma figua plana (supefície) de áea S em tono de um eixo é dada po: S x cm eixo. ``. `` Vcil VF V F = π.. 0 V F = 45πcm Pedo e João petendem descobi qual o copo cilíndico que possui mais volume: o copo com cm de aio e 6cm de altua ou o copo com 6cm de aio e cm de altua. Qual o copo que eles achaam com o maio volume? Justifique. Solução: opo : V = π.. 6 = 54πcm opo : V = π. 6. = 08πcm Logo, o copo possui o maio volume. alcule o volume do sólido fomado pela otação de um tiângulo de catetos 5cm e 0cm em tono da hipotenusa. Solução: 5 x y V = p. S. x cm 0 EM_V_MT_00 onde x cm é a distância do cento geomético (ou de mass da supefície ao eixo de otação. y = y = 5 5. x = 5. 0 x = Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, 5

10 h `` Solução: h 5 O h 4. V V V F F F π. x. h π. x. h π. x = + VF = ( h + h ) π. x π. =. y VF =. 5 = 00πcm odigo foi à feia e obsevou que o caldo-de-cana estava sendo vendido em copos cilíndicos com aio da base e altua h po $,00, e em copos cônicos com aio da base e altua h po $0,50. Qual tipo de copo é mais vantajoso paa odigo toma o caldo? Justifique. = 44 = 44 = cm = 5 + = 5 + = 69 = cm `` 5. Solução: opo cilíndico: V =π. h π. h opo cônico: V = opo cilíndico = copos cônicos; assim é mais vantajoso toma o caldo em um copo cilíndico. Uma esfea maciça de aio foi dividida em pates iguais como na figua. alcule a áea total de uma dessas pates. h + 5 = h + 5 = h = 8 S =. h S =.. 8 S = 08 cm 7. João cotou uma laanja de fomato esféico e com 0cm de diâmeto, fomando uma egião cicula com 6 cm. Qual a distância dessa egião ao cento da laanja? 6 `` 6. Solução: áea total seá a áea do fuso mais a áea lateal (dois semicículos). S S S fuso lateal total S = esfea π =. = S fuso 4π = + S = π lateal π = π = + π 4π Stotal = alcule a áea da meno calota fomada po um plano que secciona uma esfea distando 5cm do cento e fomando uma egião de áea igual a 44 cm. `` Solução: = 0 = 5 = 6 = 4 5 = 4 + x x = cm Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, x O 4 5 EM_V_MT_00

11 . (Unificado) Um ecipiente com a foma de um cilindo eto, cujo diâmeto da base mede 40cm e altua 00 π cm, amazena um ceto líquido que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse ecipiente é, em litos, apoximadamente igual a: d) umentando-se em 6 unidades o aio de um cilindo, o seu volume aumenta Y unidades. Se tivéssemos aumentado em 6 unidades a altua do cilindo inicial, o seu volume teia aumentado igualmente Y unidades. Se a altua oiginal é, o aio oiginal é: 4 6 d) 6π e) 8 áea total do pisma tiangula egula inscito num cilindo eto de 0cm de altua e de 5πcm de base é: e) 40. (Uniio) onsidee um cilindo equiláteo de aio. Os pontos e B são pontos da secção meidiana do cilindo, sendo o ponto médio da geatiz. B 75 cm 75 cm 00 cm d) 75 cm Se amaamos um babante esticado do ponto ao ponto B, sua medida deveá se: 5 6. e) 675 cm áea lateal de um cilindo de evolução é metade da áea da base. +π + π F d) 4+π EM_V_MT_00. e) (ual) Um caminhão pipa caega 9,4 mil litos d água. Paa enche uma cistena cilíndica com metos de diâmeto e metos de altua são necessáios, no mínimo: d) e) 0 caminhões. 00 caminhões. caminhão. caminhões. 4 caminhões. Se o peímeto de sua secção meidiana é 8m, o volume vale: 8pm 0pm pm d) 6pm e) 0pm Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, 7

12 7. Um cilindo eto, com diâmeto de base igual a 6cm, é seccionado po um plano oblíquo a ela, que detemina, no cilindo, altuas ente cm e 8cm, como indicado na figua.. (F..HGS) Dois ecipientes cilíndicos têm altua de 40cm e aios da base medindo 0cm e 5cm. O maio deles contém água até /5 de sua capacidade. cm 8cm h 6cm O volume esultante, em cm, é: d) 7 π 0π 8 π 45π e) 0 π (Mackenzie) azão ente a áea total e a áea lateal de um cilindo equiláteo é: d) e) (UFP) Qual é a azão ente os volumes de um cilindo de um cubo nele inscito? d) π π π π 8 π e) 4 0. (UF) O aio de um cilindo cicula eto é aumentado de 0% e sua altua é diminuída de 5%. O volume desse cilindo sofeá aumento de: % 4% 6% d) 8% Essa água é despejada no ecipiente meno, alcançando a altua h, de: cm 4cm 6cm d) cm e) 0cm. (esganio) Um bloco cilíndico de volume V defomase quando submetido a uma tação T, confome indicado esquematicamente na figua. O bloco defomado, ainda cilíndico, está indicado po linhas tacejadas. Nesse pocesso, a áea da secção eta diminui 0% e o compimento aumenta 0%. T O volume do bloco defomado é: 0,90V V,08V d),0v e),80v. (PU) Um copo cilíndico tem 8cm de altua, aio da base de cm e metade do seu volume ocupado po bebida. oloca-se no copo uma peda de gelo que tem a foma de um cubo de cm de aesta. Se o gelo fica completamente submeso, o nível de bebida subiá, apoximadamente: 0,cm 0,6cm,cm d),8cm e),0cm Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, T EM_V_MT_00

13 4. (UEJ) Um ecipiente cilíndico de 60cm de altua e base com 0cm de aio sobe uma supefície plana hoizontal, contém água até a altua de 40cm, confome indicado na figua. 8. (Unificado) No desenho abaixo, dois esevatóios de altua h e aio, um cilíndico e outo cônico, estão totalmente vazios e cada um sendo alimentado po uma toneia, ambas de mesma vazão. 60cm { } 0cm 40cm H H EM_V_MT_00 Imegindo-se totalmente um bloco cúbico no ecipiente, o nível da água sobe 5%. onsideando p igual a, a medida, em cm, da aesta do cubo colocado na água é igual a: d) 0 5. (F) Um cone cicula eto tem altua de 8cm e aio da base medindo 6cm. Qual é, em cm, sua áea lateal? 0p 0p 40p d) 50p e) 60p 6. (Unificado) é um ponto não petencente a um plano P. O númeo de etas que contém e fazem um ângulo de 45º com P é igual a: 0 d) 4 e) infinito. 7. (Unificado) pati de um tiângulo etângulo são ciados dois cones de evolução, sepaadamente, giandose o tiângulo ao edo de cada cateto. Sabendo-se que a hipotenusa mede 5cm e que o volume de um dos cones é o dobo do volume do outo, calcule o cateto maio. Se o esevatóio cilíndico leva hoas e meia paa fica completamente cheio, o tempo necessáio paa que isso ocoa com o esevatóio cônico seá de: h h 0 h d) 50min e) 0min 9. (PU) Um tiângulo equiláteo B, de lado igual a cm, efetua uma evolução em tono da eta que contém o vétice e é paalela ao lado B. O volume assim geado é de: 4pcm 6pcm π cm d) 4π cm e) 0π cm 0. Planificando-se a supefície lateal de um cone eto, obtém-se um seto cicula de 88 e aio de 0cm, confome a figua. O volume desse cone é: 56pcm 8pcm Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, 0 o

14 0 64pcm d) 0pcm e) pcm. (UFP) Um cone equiláteo tem áea de base 4pcm. Qual sua áea lateal? pcm 4pcm 8pcm d) 6pcm e) pcm. (Fate Suponham-se dois cones etos, de modo que a altua do pimeio é quato vezes a altua do segundo e o aio da base do pimeio é a metade do aio da base do segundo. Se V e V são, espectivamente, os volumes do pimeio e do segundo cone: V = V V = V V = V d) V = V e) V = V. (F) Num cone eto, o aio da base tem a mesma medida da altua e a áea da base é 6π cm. O volume desse cone, em centímetos cúbicos, é: 7p 56p 48p d) 4p e) 6p 4. (F) Um pedaço de catolina é fomado po um semicículo de aio 0cm. om essa catolina, um menino constói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobe uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? 0 cm 0cm 0 d) 0cm e) 0cm 5. (Uniio) Uma tulipa de chopp tem a foma cônica, como mosta a figua a segui. Sabendo-se que sua capacidade é de 00πml, a altua h é igual a: 0cm 0cm 6cm cm d) 8cm e) 4cm 6. (Unificado) azão ente os volumes de uma esfea de aio e um cilindo equiláteo de aio é: /4 / / d) /6 e) / 7. Os aios de uma semiesfea e de um cilindo de evolução são iguais à altua desse cilindo, como mosta a figua: Se a áea lateal do cilindo mede πcm, então a áea total da semiesfea, em cm, é igual a: 4p 0p 8p d) 6p e) p 8. (UFF) Na figua, estão epesentados tês sólidos de mesma altua h um cilindo, uma semiesfea e um pisma cujos volumes são V, V e V, espectivamente. Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, h h EM_V_MT_00

15 elação ente V, V e V é: V < V < V V < V < V V < V < V d) V < V < V e) V < V < V 9. (UEJ) Uma esfea maciça de metal foi colocada dento de uma caixa cúbica de plástico, sem folgas (fig. ) e o espaço vazio peenchido com água. Uma outa caixa, igual à pimeia, foi peenchida po 64 esfeas conguentes maciças e do mesmo metal, sem folga (fig. B), e no espaço vazio colocou-se água. d) π e) π. Detemine a áea do fuso e o volume da cunha de 0º de uma esfea cujo cículo máximo tem 6πcm de áea.. (esganio) Uma laanja pode se consideada uma esfea de aio, composta po gomos exatamente iguais. VIST FONTL 0. Fig. Fig. Fig. B Sejam V e V B, espectivamente, os volumes de metal contidos nos cubos coespondentes às figuas e B. Sobe os volumes V e V B e as suas espectivas supefícies de contato com a água, S e S B, pode-se conclui que: V > V e S > S B B V < V e S < S B B V = V e S = S B B d) V = V e S < S B B Uma esfea de aio 8 é seccionada po um plano, distante 5 do seu cento. O aio da secção é: 9 d) 47. egião da figua está limitada po tês semicículos: y supefície total de cada gomo mede: 4 π 4 d) 4 e) π 4. (PU) Uma esfea de aio, um cilindo cicula eto com o aio da base igual a e com altua e um cone eto de base cicula com o aio e altua têm todos o mesmo volume. Vale, então, que: d) = = = = = = = = e) = = 5. (UFF) O ebite é obtido pela otação, em tono do eixo E, da egião do plano fomado po acos de cicunfeência centados em O e O e um etângulo, confome a figua abaixo: 0mm 50mm 0mm EM_V_MT_ x Se efetua uma volta completa em tono do eixo x, ela gea um sólido de volume: π 8π 4π 0mm Detemine o volume do ebite. Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, ` 0mm eixo E

16 6. alcule a áea do sólido geado pela evolução do tiângulo equiláteo () (B) (), de 4m de lado, em tono da paalela ao lado (B) (), taçada po (). 7. Um hexágono egula de 6 m de áea sofe uma otação completa em tono de uma eta de seu plano que não o atavessa, passando po um de seus vétices e fomando ângulos iguais com os dois lados que fomam esse vétice. alcula a áea do sólido geado. 8. alcula a áea do sólido geado pela evolução de um hexágono egula de m de lado em tono de uma eta de seu plano, paalela a um de seus lados e distante 4 m de seu cento. 9. Um quadado de m de lado sofe evolução em tono de uma eta de seu plano, petencente a um de seus vétices e pependicula à diagonal que chega a esse vétice. alcula a áea do sólido geado. 40. alcula o volume geado pela evolução de um semihexágono egula () (B) () (D) em tono da diagonal () (D), sabendo que a áea do sólido geado é igual a 8π m. 4. alcula a áea total e o volume do sólido geado pela evolução de um cículo de dm de aio, em tono de uma tangente. 4. alcula a áea e o volume do sólido geado pela evolução de um etângulo de m de base e 4m de altua, em tono de uma eta de seu plano que passa po um de seus vétices e que é pependicula à diagonal que chega a esse vétice.. (ssociado) Na figua abaixo, sobe a supefície lateal de um cilindo eto de altua igual a 0m e aio da base igual a m, estica-se um babante de até B cm F 60 O T = O poblema é que a fomiga tem, no máximo, 5s paa chega ao toão, caso contáio ele fica com uma mosca. Qual deve se, então, a velocidade média mínima da fomiga paa que ela não peca o seu doce? (UEJ) Um paaquedista está no ponto situado a 800m do solo e, devido a condições técnicas, é obigado a segui uma tajetóia que está sempe na supefície lateal do cilindo de evolução, cujo aio da base é igual a 00 m. π x 800m solo O 8 π B (0, 400,0) π Detemine o compimento do meno caminho pecoido pelo paaquedista paa atingi o ponto de pouso B 400 (0; ;0). π Um cilindo com eixo hoizontal de 5m de compimento e diâmeto inteno de 8m contém álcool. supefície live do álcool detemina um etângulo de áea 90m. Qual o desnível ente essa supefície e a geatiz de apoio do cilindo? cm y Sup. do álcool B. F E Sabe-se que D e B são diâmetos paalelos, que E é o ponto médio do aco ED e que o segmento FE é pependicula à base do cilindo. Pede-se a áea EF limitada pelo babante, pelo aco E e pelo segmento FE. O caminho mais cuto ente uma fomiga (F) e um toão de açúca (T) sobe a supefície de um copo cilíndico, já está taçado. Veja a figua. D 5. 6m 7 m ( 4 7) ( 4 7) ( 4 7) m d) m e) m ou ( 4+ 7)m alcule o volume do sólido localizado ente os planos da figua, sabendo que é pate de um cilindo cicula eto e a base desse cilindo é o ciculo contido em a. Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

17 cm 45 cm G D F E 6. Um cilindo cicula eto de aio e altua h = é cotado po um plano paalelo ao seu eixo. B O volume desse hanga, em m, é: 0 +π EM_V_MT_ X / X X Sendo a distância do eixo ao plano secante, calcule o volume do meno segmento cilíndico esultante dessa secção. 6π Uma chaminé cilíndica de volume m seá evestida 5 po tijolos de dimensões, em cm, 0 x 0 x 5. X 0cm 0cm onsideando a figua como a chaminé vista de cima, cujo evestimento nos dá ideia de foma hexagonal, pode-se afima que a quantidade apoximada de tijolos necessáia paa evesti-la seá de: d) e) 000 (Fafi-BH) Um hanga da aeonáutica tem a foma da figua a segui. onsidee o polígono BEF como um quadado de lado 4m, B = 0m e EGF um semicículo de diâmeto EF. 9. d) 6π + 0 ( ) π 80π ( ) e) π (Fuvest) uma caixa d água de foma cúbica, com meto de lado, está acoplado um cano cilíndico com 4cm de diâmeto e 50m de compimento. Num ceto instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio. Solta-se água pelo cano até que fique cheio. Qual o valo apoximado da altua da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio? 90cm 9cm 94cm d) 96cm e) 98cm 0. (esganio) Estamos pintando uma caixa d água cilíndica, cuja altua é igual ao diâmeto da base. Sabemos que foam necessáios 6 litos de tinta paa pinta a tampa (consideada como um disco com o mesmo diâmeto da base da caix. Paa completa a pintua intena, o númeo de litos de tinta a se ainda gasto seá de: d) 80 e) 96. (Fuem P) figua a segui mosta um pisma de base hexagonal egula de altua 0cm; o cilindo inteio também tem altua 0cm e aio = cm. O hexágono tem lado de 4cm. Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/,

18 4 Qual o volume exteio ao cilindo e inteio ao pisma? ( 60 40π) cm 0π cm 80π cm d) ( 70 40π) cm e) ( 40 40π) cm. Seccionando-se dois cilindos ciculaes etos de mesmo aio po um plano a 45, montamos um sólido com a foma de um joelho, como se mosta na figua. Seu volume é: d) 5π 0 π π 4π e) 6π. Um cilindo equiláteo, de aio cm, está inscito num pisma tiangula eto cujas aestas da base estão em pogessão aitmética de azão s, s > 0. Sabendo-se que a azão ente os volumes do cilindo e do pisma é π, podemos afima que a áea lateal do pisma vale: 4 44cm πcm 4cm π d) da áea lateal do cilindo. 5 5 e) da áea lateal do cilindo. 4. (UFJ) Máio e Paulo possuem piscinas em suas casas. mbas têm a mesma pofundidade e bases com o mesmo peímeto. piscina de Máio é um cilindo cicula eto e a de Paulo é um pisma eto de base quadada. companhia de água da cidade coba $,00 po meto cúbico de água consumida. Detemine qual dos dois pagaá mais paa enche de água a sua piscina. tendendo a um pedido da família, Máio esolve duplica o peímeto da base e a pofundidade de sua piscina, mantendo, poém, a foma cicula. Detemine quanto Máio pagaá pela água paa en- che a nova piscina, sabendo-se que anteiomente gastava $50, (Unificado) Um salame tem a foma de um cilindo eto com 40cm de altua e pesa kg. Tentando sevi um feguês que queia meio quilo de salame, João cotou um pedaço, obliquamente, de modo que a altua do pedaço vaiava ente cm e 6cm. O peso do pedaço é de: 600g 60g 60g d) 60g e) 640g 6. Um copo cilíndico tem 6cm de altua e uma cicunfeência da base medindo 6cm. Um inseto está do lado de foa do copo, a cm do topo, enquanto, do lado de dento, a 5cm do topo, está uma gota de mel. gota e o inseto encontam-se em geatizes do cilindo, que são siméticas em elações ao eixo do cilindo. meno distância que o inseto deve anda paa atingi a gota de mel é: 0cm 4cm ( ) cm d) ( 89 + ) cm e) 4 5cm 7. (Fate fim de que não haja despedício de ação e seus animais estejam sempe bem nutidos, um fazendeio constuiu um ecipiente com uma pequena abetua Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

19 na pate infeio, que pemite a eposição automática da alimentação, confome mosta a figua abaixo. m ilindo 4m one 6m capacidade total de amazenagem do ecipiente, em metos cúbicos, é: d) 40 8π + π 4π 8π 48π e) impossível de se deteminada, pois faltam info- mações. 8. (UFMG) Um tanque de água tem a foma de um cone cicula eto, com seu vétice apontado paa baixo. O aio do topo é igual a 9m e a altua do tanque é de 7m. Explicite o domínio da função. 0. geatiz de um cone cicula eto foma, com o eixo desse cone, um ângulo de 45. Sabendo-se que o peímeto de sua secção meidiana mede cm, podemos afima que a áea total desse cone vale: ( ) π cm ( ) π cm ( ) π cm ( ) d) π cm ( ) e) π 5 cm. O desenvolvimento da supefície lateal de um cone eto é um seto cicula de aio a e ângulo cental igual a 60. O volume desse cone é: EM_V_MT_00 Pode-se afima que o volume V da água no tanque, como função da altua h da água, é: V = πh 7 V = πh 9 V = πh d) V = πh e) V = 9πh 9. (PU) onsidee um cilindo cicula eto inscito em um cone cicula eto com 0cm de aio e 4cm de altua. Expesse o volume desse cilindo como uma função do aio da base do cilindo. h d) a 6 π π 5 a πa π a 6 e) π a 5 6. s figuas abaixo epesentam um cone de evolução, seus elementos e a planificação de sua supefície lateal. O V V h α Expesse b em função de a. Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, O g β 5

20 . Sejam M e N pontos situados nas geatizes VM e VNB de um cone equiláteo, cuja secção meidiana é o tiângulo VB, como se vê na figua abaixo. M 8 V 6 N V V V Lembando que a supefície lateal do cone é planificável e supondo que VM = 8 e VN = 6, então o meno caminho de M até N mede: 0 d) 4 9 e) 7 4. onsidee o tiângulo B, etângulo em. Sejam V, a V b, e V c os volumes dos sólidos de evolução geados pelo tiângulo ao gia em tono das etas B, e B, espectivamente. Pove que: B = + V a Vb V c ( ) ( ) ( ) 5. O volume geado pela evolução de um hexágono egula de lado a em tono de um de seus lados é igual a: 9π a 7π a 5ρ a π d) a e) πa 6. (UFF) figua epesenta um cone de volume 6πcm, contendo cilindos cujos volumes V, V e V estão, nessa odem, em pogessão geomética de azão /7. Sabe-se que cada um dos cilindos tem a altua igual ao aio de sua base. Detemine o aio da base do cone. 7. (UEJ) Uma linha poligonal fechada de tês lados limita um tiângulo de peímeto. Se ela gia em tono de um dos seus lados, gea uma supefície de áea S igual ao poduto de pelo compimento da cicunfeência descita pelo baicento G da poligonal. figua abaixo mosta a linha (B) que dá uma volta em tono de B. 4cm G e cm Esboce a figua geada e indique o cálculo da áea de sua supefície. alcule a distância do baicento G dessa linha ao eixo de otação. 8. (UFJ) Dois cones ciculaes etos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mosta a figua. Sabese que ambos têm o mesmo volume e que a eta que supota uma das geatizes de um passa pelo vétice do outo. s 6 Sendo o meno dente os aios das bases, s o maio e x =, detemine x. s Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

21 9. alcula o volume de um cone, conhecendo a áea lateal S e distância d do cento da base a uma geatiz. 0. (UFJ) Uma ceta quantidade de mateial adioativo é compactado, tomando a foma de um cubo de aesta igual a uma unidade. Petende-se evesti-lo com uma camada isolante, de espessua e fomato tais que cada ponto da supefície extena do sólido a se obtido diste exatamente uma unidade do cubo adioativo. Detemine o volume ocupado pelo isolante.. (UFJ) Ping Oin ecolheu 4,5m de neve paa constui um gande boneco de m de altua, em comemoação à chegada do veão no Polo Sul. O boneco seá composto po uma cabeça e um copo, ambos em foma de esfea, tangentes, sendo o copo maio que a cabeça, confome mosta a figua a segui. Paa calcula o aio de cada uma das esfeas, Ping Oin apoximou π po. 4. Na figua abaixo, há um cículo de aio e uma eta (e) que contém o seu cento ambos do mesmo plano. Fez-se uma otação de uma volta desse cículo ao edo da eta (e). O meno aco B nele assinalado desceveu a supefície de uma calota esféica, cuja áea pode se calculada mediante a fómula πm, sendo m a pojeção otogonal do aco B sobe a eta (e). e B O c m (medida da pojeção otogonal de B sobe e) alcule o compimento da coda B, do cículo oi- ginal, em função de e m. Demonste que a áea da calota esféica, geada pelo aco B, é equivalente à áea plana, limitada po uma cicunfeência de cículo cujo aio tem a mesma medida da coda B. 5. Uma esfea de aio e um cone de aio e altua estão sobe o mesmo plano α. alcule a distância de α, a que se deve passa um plano β // α, de modo que se obtenham secções equivalentes no cone e na esfea. EM_V_MT_00. alcule, usando a apoximação consideada, os aios das duas esfeas. supefície de uma esfea pode se calculada po meio da fómula: 4. π., onde é o aio da esfea. Sabe-se que 4 da supefície do planeta Tea são cobetos po água e da supefície estante é cobeto po desetos. onsidee o planeta Tea esféico, com seu aio de 6 400km e use π igual a. áea dos desetos, em milhões de quilômetos quadados, é igual a:,88 8,9 6,44 d) 40,96. Uma pessoa esolveu joga boliche numa pista de gelo. Em ceta jogada, devido ao peso, a bola afundou pacialmente. o etiá-la, o jogado veificou que ela havia deixado um buaco com cm de diâmeto e cm de pofundidade. Qual o volume da bola? 5 d) 5 6. Uma esfea é cotada po dois planos paalelos, afastados de 9cm. s intesecções dos planos com a esfea são cículos de aios iguais a 6cm e 9cm. supefície da esfea, em cm, é: 60π 70π 40π d) 80π e) 90π 7. Tês esfeas de aio se tangenciam e tangenciam um plano α. Uma quata esfea de mesmo aio é colocada sobe as outas tês, tangenciando-as extenamente. distância do cento dessa quata esfea ao plano α é: 6 Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, 7

22 8 d) ( 6 + ) ( 6 + ) ( + ) e) 8. Que fação da áea da Tea pode se vista po um obsevado situado a 0km do solo? Suponha a Tea esféica com aio 6 00km. d) e) Uma calota esféica de 5m de altua é equivalente a um fuso de 45º, petencente a mesma esfea. alcula o volume da esfea. 40. Um copinho de sovete, em foma de cone, tem 0cm de pofundidade e 4cm de diâmeto no topo. São colocadas no copinho duas conchas semiesféicas de sovete. ada concha tem 4cm de diâmeto. dmita que o sovete deeta paa dento do copinho. Podemos, assim, afima que: o sovete tansboda. o sovete não tansboda. os dados são insuficientes. d) os dados são incompatíveis. 4. Em uma piâmide de base quadada, as faces lateais são tiângulos equiláteos e todas as oito aestas são iguais a. alcule a altua e o volume da piâmide. Moste que a esfea centada no cento da base da piâmide e que tangencia as aestas da base, também tangencia as aestas lateais. alcule o aio do cículo intesecção da esfea com cada face lateal da piâmide. 4. Um tapézio etângulo de altua h tem bases espectivamente iguais a h e h. alcula o volume e a áea do sólido geado pela evolução do tapézio em tono do lado oblíquo às bases. 4. alcula o volume e a áea do sólido geado pela evolução de um tiângulo de lados espectivamente iguais a 0m, 7m e m, em tono do seu maio lado. 44. De um ponto (M) exteio a um cículo de 4,5m de aio, taça-se uma tangente M de compimento igual ao dobo da distância de (M) à cicunfeência do cículo. alcula a áea e o volume do sólido geado pela evolução do tiângulo: MO (O) é o cento do cículo dado em tono do segmento MO. 45. Um paalelogamo () (B) () (D), de áea S, sofe otação completa em tono de uma eta de seu plano, que dista x de seu vétice () e y de seu vétice (). alcula o volume do sólido geado nessa evolução. 46. Um quadado de m de lado, sofe uma otação pacial em tono de uma eta de seu plano, distante 5m de seu cento, geando um sólido de 40m de volume. Detemina a amplitude da otação desenvolvida pelo quadado. 47. que distância de um dos lados de um quadado de 4m de lado se deve taça uma eta coplana com o quadado paa que o volume do sólido geado pela evolução do quadado em tono da eta seja igual a 8pm. 48. alcula o volume geado pela evolução da figua inteio a um quadado de 8cm de áea, e exteio ao cículo inscito no quadado, em tono da eta petencente a um dos vétices do quadado e paalela à diagonal que não contém esse vétice. 49. Dado um quadado BD de 8cm de áea, considee os quato tiângulos equiláteos, exteioes ao quadado e constuídos sobe seus lados, e calcule o volume do sólido geado pela evolução da figua em tono da eta fomada pelos vétices e S dos tiângulos equiláteos B e BS, consideados. 50. Maia queia sabe o volume de seu bambolê. Enolou um babante e viu que o diâmeto da cicunfeência fomada ea de cm. Se a distância do cento da cicun- Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

23 feência fomada pelo babante ao cento do bambolê é de 48,5cm, qual o valo encontado po Maia? 5. São dados um tiângulo equiláteo B, de 8 cm de peímeto, o cículo a ele cinscunscito e a tangente ao cículo, tendo po contato com o cículo o ponto, diametalmente oposto ao vétice. alcule as áeas S e S das áeas geadas na evolução do cículo em tono da tangente, espectivamente, pelos acos B e B. EM_V_MT_00 Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, 9

24 6. E 7. 6cm B B D D D B D E D B E E E D B. πcm e 4πcm Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/,. E EM_V_MT_00

25 πmm 4. Demonstação π m π m 96π m cm 9. 6π m πm St = 6π dm ; V = 6π dm S= 70πm ; V = 60πm 5 4 EM_V_MT_00. 5π m. m/s m E πcm 4π B 8. E D. E. D. 4. Máio $400, B 8. V = π 9. ( 0 ) cm B E b= πsena { } Dom (V) = /0 0 4 S = π. l.x cm = π.(5 + 4). = 6πcm 4 cm 5 8. x = Sd 9. V = 0. π + 6 un. de volume. E = 0,5m D 4 000πm B = m B = m. S = π(m) D S = πm.. S = πb = que m é a áea do cículo cujo aio mede B.= m π m 40. B 4. H =, V= Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, 6

26 Basta mosta que à distância do cento às aestas lateais é igual à distância do cento às aestas da base, isto é, igual à metade da aesta da piâmide V = πh ; S= 4πh 6 V = 488πm ; S= 6πm 89π 6π S= m ; V = m 5 5 πs( x+ y) ad m 8π( 4 π) cm π( + ) cm 87π cm 4 S = 4π( π ) cm S = 4π( 4π+ ) cm Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00

27 EM_V_MT_00 Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/,

28 4 Esse mateial é pate integante do ulas Paticulaes on-line do IESDE BSIL S/, EM_V_MT_00