DISCUSSÃO DOS RETORNOS À ESCALA NOS CONTEXTOS DAS FUNÇÕES DE PRODUÇÃO E DE CUSTO 1

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1 Elseu Alves ISSN DISCUSSÃO DOS RETORNOS À ESCALA NOS CONTEXTOS DAS FUNÇÕES DE PRODUÇÃO E DE CUSTO 1 Elseu Alves 2 Resumo O objetvo deste artgo fo expor a teora de custo de produção de forma rgorosa, mas num nível de matemátca correspondente ao uso de dervadas, evtando-se a demonstração de teoremas que tomam muto espaço. O artgo justfca a exstênca da função custo, apresenta suas propredades e mostra como ela se relacona com a função de produção, no sentdo de que uma é a dual da outra. Elastcdades parcas e de escala são dscutdas nos contextos da função de produção e da função custo. No equlíbro, demonstra-se que uma é a recíproca da outra. Indca-se que a curva do custo médo não tem forma defnda, no sentdo de que a forma possa ser deduzda dos axomas que embasam a teora da produção, mas salenta-se a plausbldade da forma em um U aberto. Aduz-se que demanda condconada a um nível especfcado de produção somente exste se a solução do problema de mnmzação for únca. Quando sso ocorre, ndcase como obter a função demanda da função custo. Demonstra-se que retorno constante à escala é ncompatível com mercados compettvos e que, se prevalecerem, a renda líquda é nula, depos de remunerados todos os fatores de produção. Estende-se a defnção da função custo para város produtos. Enfatza-se que as planlhas de custo buscam estmar o custo médo mínmo, mas que somente por pura sorte sso ocorre. O artgo ntroduz o letor em textos mas avançados, alguns deles ctados no correr da exposção, e é útl para trabalhos econométrcos com a função custo. Palavras-chave: propredades da função custo, tpos de retorno à escala, função de produção, renda líquda, custo médo. 1 O autor agradece as sugestões de Aloíso Texera Gomes, que melhoraram a apresentação do texto. Recebdo em: 17/04/2007 Aceto em: 27/06/ Pesqusador da Embrapa. E-mal: elseu.alves@embrapa.br 163

2 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 1. Introdução Fxe-se o nível de produção e magne-se um expermento em que seja possível ter cem valores dferentes para o preço de cada nsumo. Em seguda, calcule-se o custo por undade de produto e geram-se cem valores dferentes de dspêndos, nformalmente de custos de produção. Como o número de nformações é fnto, gual a cem, sempre exstrá o dspêndo mínmo, e ele aproxma o custo de produção para o valor de produção fxado. Entretanto, se for repetdo o expermento, muto provavelmente encontrar-se-á outro dspêndo mínmo, e assm sucessvamente, e, desse modo, é possível verfcar para qual valor a seqüênca converge. Este valor representa o custo mínmo. Na prátca, esse procedmento é muto dspendoso, pos assm o é a cada coleta de dados junto aos produtores. O exemplo presta-se, contudo, para ressaltar que o custo de produção é o menor dspêndo, o qual só por pura sorte pode ser obtdo numa únca tomada de dados, por ntermédo de uma planlha. Então, como obter o custo de produção? Uma das saídas é tentar estmar uma função que se ajuste aos dados coletados de agrcultores ou dados de sére temporal. Assm, dspõe-se de um conjunto de observações sobre y e w, sendo w o vetor preço dos nsumos como, por exemplo, fertlzante, mão-de-obra, aluguel de terra e de máqunas e equpamentos e y a produção. Desse modo, cada varação dos preços dos nsumos e de y corresponde a um dspêndo. Em geral, pressupõe-se uma forma amena às técncas econométrcas, a qual lga o dspêndo a (w,y). No entanto, sem conhecer as propredades da função, não há como especfcar os snas dos coefcentes e crtcar a forma postulada. É pertnente até duvdar que a função custo exsta. Portanto, é mportante desenvolver a teora da função custo para, corretamente, saber lgar dspêndo a (w, y). Outra saída para se determnar o custo é a planlha de custo; mesmo assm, a teora da função custo ajuda a ndcar como deve ser organzada. Entretanto, nfelzmente, somente uma nformação de dspêndo é obtda para cada observação. 164

3 Elseu Alves Embora a teora da função custo seja complexa, a exposção dela no texto é elementar, e é de nteresse do letor que quer se aprofundar na teora de produção ou estmar a função custo. 2. Teora da função custo: custo total A construção da teora da função custo postula o segunte: (a) o mercado é compettvo e, por sso, os agrcultores seguem, não porque gostem, a regra de comportamento que mplca mnmzar o custo, ou seja, produzr y com o menor gasto; e (b) conhece a função de produção, y=f(x), e os preços dos nsumos. Não exste, portanto, ncerteza. Com essas hpóteses, é possível soluconar o problema de mnmzação do produtor? Anda não. É necessáro admtr que os preços dos nsumos sejam maores que zero e que a função y=f(x) seja semcontínua superor, que é uma propredade menos restrtva que a contnudade. Ela sempre se verfca num conjunto fnto de dados. A defnção é técnca. É, apenas, enuncada. A função f(x) é semcontínua superor se o conjunto Ar () = { x: f() x r} for fechado para qualquer número real r. E f(x) é semcontínua nferor se o conjunto Ar () = { x: f() x r} for fechado para qualquer número real r. Uma função é contínua se for, smultaneamente, semcontínua superor e nferor. Admte-se, anda, que f(x) satsfaça as seguntes propredades: f(0)=0; se x y, então f( x) f( y), ou seja, é função crescente 3 ; se uma componente de x tender para o nfnto f(x), tende para o nfnto, portanto, levanta vôo e contínua subndo. Como é possível ter nsumo com preço nulo, será necessáro estender a função custo desenvolvda, de modo que comporte também preços nulos. Do ponto de vsta da matemátca, essa é a parte mas delcada. 3 E x y sgnfca que cada componente de x é maor ou gual à componente correspondente de y. 165

4 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 O problema de mnmzação pode ser formulado da segunte forma: mn n x = 1 Cwy (, ) = { w* x} Sujeto a: y = f( x) w > 0, = 1,..., n x 0, = 1,..., n. O smbolsmo quer dzer o segunte: fxados w e y, procura-se o vetor x que dá o menor dspêndo, ou seja, a menor soma n = 1 w * x. Se as possbldades de escolha de x fossem poucas, obter-se-a o valor da soma para cada uma delas e se escolhera a menor soma. Mas, como formulado, as possbldades de escolha dos nsumos são muto grandes, nfntas. Por sso, há que se recorrer a métodos mas complexos. A escolha dos nsumos não é lvre. O vetor escolhdo tem que produzr y e não contém componente negatva. Desgna-se a solução, se ela for únca para todo (w,y), por x(w,y). Assm, y= f( xwy (, )) ecwy (, ) = w* xwy (, ). Note-se que x(w,y) não precsa ser únco 4. Sejam x' e x '' duas soluções. Ora, ambos têm que produzr y, portanto, a solução corresponde a dos pontos da mesma soquanta e sobre a mesma lnha de socusto, ou seja, w* x'( w, y) = w* x''( w, y). Logo, mesmo no caso de soluções múltplas, Cwy (, ) é bem defnda, embora x(w,y) não o seja. Desta forma, a cada (w,y) corresponde somente um valor de C(w,y), e é esta condção que qualfca C(w,y) como função. Qual é o sgnfcado de 4 Neste caso, X( w, y ) é uma correspondênca. A cada (w, y) corresponde um conjunto de pontos. Essa possbldade ocorre, por exemplo, quando a soquanta tem dos pontos lgados por um segmento de reta da mesma nclnação da lnha de socusto. 166

5 Elseu Alves x(w,y), no caso de solução únca? É a demanda de nsumos para produzr y, portanto, a demanda condconal, condconada por y. Conhecda a função custo e sendo a solução únca, como se obtém x(w,y)? Se a função custo tem dervadas parcas em relação a y, então, à dervada em relação ao preço do nsumo corresponde a demanda condconada do nsumo. Formalmente, Cwy (, )/ w= x( wy, ). O gráfco a segur lustra o procedmento. Nele está a soquanta y, ou seja, todas combnações dos nsumos xex 1 2 que produzem a mesma quantdade y, e a lnha de socusto, sto é, todas as combnações de x 1 e x 2 que custam a mesma cosa, no caso, k. Para dos nsumos: k = w * x + w * x

6 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 Na solução do problema de mnmzação, entre as combnações de nsumos que produzem y portanto, se qualfcam para a solução, uma delas (ou váras delas) tem o menor custo. Quando k aumenta a lnha de socusto, desloca para cma e paralelamente a s mesma. O menor custo é no ponto de tangênca da lnha de socusto com a soquanta. Imagne-se, por um momento, que seja quando a lnha de socusto corta a soquanta. O letor pode verfcar que uma lnha abaxo da que corta a soquanta há menor custo, e sempre haverá uma delas, a não ser no caso da tangente. A lnha de socusto abaxo da tangente não tem uma combnação de nsumos que produza y. Assm, o mínmo ocorre no ponto de tangênca da lnha de socusto com a soquanta, o ponto c do gráfco. É possível ter uma soquanta patológca quando a lnha de socusto corta a soquanta num ponto e a tangenca noutro. As hpóteses sobre f(x) vsam elmnar as patologas e garantr a exstênca do mínmo. Todava, as hpóteses não elmnam a possbldade de a lnha de socusto tangencar a soquanta em mas de um ponto e, mesmo, num número nfnto de pontos. Em todos eles, obvamente, o custo é o mesmo, e mínmo. Contudo, a função x(w, y), a demanda de nsumos, não exstrá. Se a função de produção, y = f( x), for estrtamente semcôncava, x(w,y) será únco. 3. Propredades da função custo Dedca-se mas espaço às propredades que têm relevânca econômca e menos para as de nteresse matemátco. 1. Cw (,0) = 0 ecwy (, ) > 0 sey> 0.Quando nada se produz, nada se gasta; para se produzr alguma cosa, ncorre-se em gasto. 2. Para t, número real qualquer, Ctwy (, ) = tcwy (, ), ou seja, se os preços dos nsumos dobrarem, o custo dobrará também: C(w,y) é lnearmente homogênea em w. Seja Cwy (, ) = a* w1+ b* w2 + c* y. Então, Cwy (, ) não se qualfca como uma função custo. No caso, se os 168

7 Elseu Alves dos preços de nsumos, wew, 1 2 forem multplcados por dos, o custo não dobrará, porque y não fca multplcado por dos. Assm, uma função custo lnear não pode ter o termo y, ou seja, o custo não depende do nível de produção, o que não faz sentdo. A função lnear não pode ser escolhda para se estmar a função custo. Mas, a função Cobb-Douglas, a b Cwy (, ) = Awwy 1 2, em que a, b e A são constantes, se qualfca como uma função custo, se a+ b= 1. Caso contráro, não. A função Cwy (, ) = Aww y, quando a+ b= 1, é lnearmente homogênea. a b 1 2 É um exemplo de função custo homotétca, que será, posterormente, dscutda. 3. Se os preços de todos ou alguns os nsumos aumentarem, e não precsa ser pela mesma quantdade, a função custo não varará ou crescerá. Formalmente, se w w, então Cw (, y) Cw (, y). Ela é crescente em w. 4. Se y z, então Cwy (, ) Cwz (, ). Para se produzr mas, não se pode gastar menos. Quando sso ocorrer, é porque não se mnmzou custo, ou então houve mudança de tecnologa. A propredade 4 tem sdo usada para defnr raconaldade e é básca nos métodos que se propõem a estudar a efcênca do agrcultor (Varan, 1985; Färe, 1994). Consderem-se, fnalmente, as propredades de nteresse matemátco. 5. Se y crescer sem lmte, então Cwy (, ) tenderá para o nfnto. 6. C(w,y) é função côncava em w. Esta propredade mplca ser a matrz hessana de C(w,y), em relação a w, negatva semdefnda C(w,y) é semcontínua nferor em y. 5 Sejam w e h dos vetores preços e 0 t 1, então Ct (* w+ (1 thy ), ) t* Cwy (, ) + (1 t)* Chy (, ). 169

8 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 As propredades 1 a 7 podem ser demonstradas sem apelo às dervadas. A uncdade da solução exge restrção adconal sobre f(x). Uma restrção que funcona é ser f(x) semcôncava estrta. A função f(x) é semcôncava se o conjunto Ar () = { x: f() x r}, r um número real qualquer, for convexo 6. E é semcôncava estrta se Ar () = { x: f() x > r} for um conjunto convexo. Exemplos: a curva na forma de um sno, a curva normal e a lnha reta. Toda função côncava é semcôncava. A recíproca não é verdadera. Quando a função de produção é semcôncava estrta, as dervadas parcas em relação a w exstem, se y > Dualdade Qual é o sgnfcado da palavra dualdade? Verfca-se que, quando a função de produção é semcontínua, é possível obter a função custo como solução do problema de mnmzação proposto anterormente. Obtda a função custo, Cwy (, ), com as propredades anterores, é possível recuperar a função de produção que lhe deu orgem? A resposta é postva, mas exge bastante trabalho, que foge ao nível do texto. Mas, se o problema de mnmzação tver uma únca solução x(w, y) e Cwy (, ) for dervável em relação às componentes de w, a solução é mas smples. Já é conhecdo que, neste caso, obtém-se Cwy (, ) / dw = x( wy, ), = 1, 2... n. Tem-se, assm, um sstema de n equações em y, w e x, sendo y fxo 7. Em seguda, busca-se explctar y em função de x. A função obtda é a função de produção. Seja a b Cwy (, ) = Awwyea+ b= 1, então: Neste caso, a soquanta, além de ser convexa, não contém nenhum segmento. 7 L(w,y)=w 1 *x 1 +w 2 *x w n* x n +q(y-f(x)). Dervando-se a função de Lagrange, ao lado, em relação w, obtém-se a dervada de Cwy (, ) em relação w. A função de Lagrange refere-se ao problema de mnmzação. 170

9 Elseu Alves = a1 1 b aaw w y x baw w y = x a b Elmnando w1 e w 2, explcta-se y em função de x1 e x 2 e obtém-se uma função de produção do tpo Cobb-Douglas. Resposta, a b a a 1 y = f( x) = Ax1x2 e A= a (1 a). Quando a função custo e a função de produção têm a mesma forma, são recprocamente duas: é o caso da função Cobb-Douglas. Um exemplo em que dualdade recíproca não ocorre. Para se produzr y são requerdos n nsumos e se verfca a segunte gualdade (função de produção de Leontef): x = a y = 1,2,..., n. Então, função custo corresponde a n Cwy (, ) = ( w* a)* y. Portanto, a função custo tem forma dferente = 1 da função de produção. 5. Função de produção lnear homogênea No caso da função de produção Cobb-Douglas, a função custo é o produto de duas funções, uma em w e a outra em y. É sso verdade para toda função de produção lnear homogênea? A resposta é afrmatva, ou seja, sendo a função de produção lnear homogênea, então Cwy (, ) = hw ( )* y. E h(w) é lnear homogênea e côncava em w, como é exgdo pelas propredades 2, e a recíproca é verdadera. 171

10 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 Quando a função de produção é lnear homogênea, qual é a nclnação da tangente no ponto em que um rao a partr da orgem corta a soquanta? É a mesma para cada soquanta. Assm, quando a função é homogênea lnear, as soquantas são paralelas. Seja a função de produção f(x), em dos nsumos (para smplfcar) e lnear homogênea. Então, f( x, x ) = x f ( x, x ) + x f ( x, x ). Ao longo da mesma soquanta, portanto f( x1, x2) constante, f1( x1, x2) dx1+ f2( x1, x2) dx2 = 0. Logo, f1( x1, x2) f ( x, x ) ( )/ ( ) = d x2 d x1. Ao longo de um rao que passa pela orgem e por ( x1, x 2), tem-se x 1 / x 2 = K e K constante. Dervando x1/ x2 = K, obtém-se d( x )/ d( x ) 2 1 x 1 =. Daí se segue que: x2 f ( x, x ) = d( x )/ d( x ) = x f x x x ( 1, 2) 2 Vê-se, desse modo, que, quando se multplca x= ( x1, x2) por t, t 0, a nclnação da tangente à soquanta não muda Função de produção homotétca Exste uma função de produção mas geral que a lnear homogênea e que tenha esta propredade? A resposta é afrmatva. Trata-se da função de produção homotétca. A função de produção é homotétca se for a composção de duas funções. Uma defnda nos números reas e monótona crescente estrta e a outra defnda no espaço dos nsumos e lnear homogênea. f( x) = r( g( x)). A função r(.) é defnda no conjunto dos 8 São f 1 ( x) e f 2 ( x ) homogêneas de grau zero. Ao se multplcar x por t, as duas dervadas permanecem constantes. 172

11 Elseu Alves números reas. Quando ela for dervável, exge-se r'( t ) > 0. Fazendo f( x1, x 2) = K, Ter-se-á: rg1( x1, x2) dx1+ rg2( x1, x2) dx2 = 0, e dx2 / dx1 = g1( x1, x2)/ g2( x1, x2). Ao longo do rao que passa pela orgem e por ( x1, x 2), ( tx1, tx2), t > 0, dx / x 2 2 dx1 =, como já se vu. Substtundo-se, ocorrerá que: x1 g1( x) x2 = dx2/ dx1 =. Ou seja, se x for multplcado por t, a g2( x) x1 nclnação da tangente é a mesma. A pergunta relevante é: qual a forma da função custo quando é homotétca a função de produção? ( ) 1 Cwy Ry hw ery r y (, ) = ( )* ( ) ( ) = 9 Novamente, C(w,y) desdobra-se em dos fatores: r(y), monótona crescente estrta em y, e h(w), lnear homogênea e côncava em w. a b Exemplos de função homotétca: Cwy (, ) = Aww 1 2 ye a função translog. Desenvolvê-la é muto trabalhoso (ver Alves, 1996, p ). Um ponto mportante: se a função de produção é homotétca, a função custo se decompõe em dos fatores, como ndcado. A recíproca é verdadera: a decomposção ndcada da função custo mplca ser homotétca a função de produção. E vale o mesmo para a função de produção lnear homogênea. O que ocorre com a demanda condconada de nsumos quando a função de produção é homotétca? Decompõe-se no produto de dos fatores: x( w, y) = r( y)* h( w)/ w. Se houver esta decomposção da demanda condconada de nsumo, a função de produção é homotétca. 9 R(y) = r 1 ( y) é função nversa de r(y). 173

12 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 Quando a função de produção é lnear homogênea, então x ( w, y) = y* h( w)/ w. Nos logartmos, log( x) = log( y) + log( h( w) / dw). Escolhendo-se uma fórmula para h(w), é possível estmar a equação ao lado. Se ela sobrever ao teste estatístco, não se rejetará a hpótese de que os dados são compatíves com a função de produção lnear homogênea. O grã fco abaxo contém quatro soquantas e três raos (1, 2,3), a partr da orgem. Cada rao ntercepta as quatro soquantas em quatro pontos. Seja o rao 1. Quando a função de produção é homotétca, as quatro tangentes às soquantas, nos pontos de ntercessão com o rao 1, são retas paralelas. O mesmo precsa ocorrer com os dos outros raos e qualquer outro rao a partr da orgem. Pelo gráfco, vsualmente, a função de produção que deu orgem a este mesmo é homotétca A função de produção lnear homogênea é um caso especal de função homotétca. Basta, na defnção de função homotétca, f( x) r( g( x)), = tomar r(.)=1. Ou seja, a função r (.) sempre assume o valor um. 174

13 Elseu Alves 7. Produção ótma: curva da oferta Em Cwy (, ), w é mantdo constante. Dexa-se varar y para se obter a produção ótma, ou seja, aquela que maxmza a renda líquda. A renda líquda é dada por Rwpy (,, ) = p* y Cwy (, ), e w e p são constantes, sendo w vetor preço dos nsumos e p o preço do produto. Se o máxmo de R(w,p,y), em relação a y, exstr e o ponto ótmo for tal que o y > 0, então p = C'( w, y). Portanto, o preço do produto é gual ao custo margnal, a dervada do custo C(w,y) em relação a y, mantendo-se w fxo. A condção de segunda ordem para um máxmo requer que o o o R''( y ) < 0. Portanto, C''( w, y ) > 0., ou seja, C''( w, y ) é estrtamente convexa em y, no ponto ótmo. O ponto ótmo depende de w e p. É representado por y(w,p), que é a curva de oferta. Descreve como y vara em relação a p, sendo w fxo. Note-se que é admtdo ser únca a solução. Seja R(w,p) a renda líquda ótma. Em ywp (, ), w contrbu para deslocar a curva de oferta para esquerda ou para dreta. Que dreconamento há? O ncremento do preço de um nsumo tanto pode aumentar, dexar nalterada ou aumentar a produção ótma, sto é, deslocar para a dreta, não deslocar ou deslocar para a esquerda a curva da oferta. U m fator de produção dz-se normal se x ( w, y)/ y > 0, e dz-se nferor se x ( w, y)/ y< 0. Assm, aumentando-se y, em torno do ótmo, aumenta-se a demanda do fator normal e reduz-se a do nferor. Portanto, a defnção está de acordo com a ntução. Se o fator produção for normal, o aumento de seu preço reduz a produção, ou seja, a oferta, e o oposto ocorre com o fator nferor. Novamente, de acordo com a ntução. 175

14 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 Mantendo w fxo e varando p, produz-se deslocamento ao longo da curva de oferta. Que ocorre com a oferta se p crescer? Sabe-se que, no ponto de equlíbro, p = C'( w, y( w, p)). Dervando esta gualdade em relação p, ter-se-á C''( w, y( w, p)* y( w, p)/ p= 1. O prmero termo do produto à dreta é postvo, pela condção de segunda ordem para a maxmzação da renda líquda. Logo, segue-se que ywp (, )/ p> 0. Assm, o aumento do preço do produto mplca o aumento da produção. E a redução do preço do produto mplca o nverso. 8. A curva do custo médo A curva do custo médo é dada por CM(w,y)=C(w,y)/y, w fxo e y>0 e varável. É usual pressupor-se que tenha a forma de um U e, no caso, a curva do custo margnal a corte no ponto mínmo. As hpóteses fetas não garantem nem a forma em U nem a exstênca de um únco mínmo. A forma de um U é justfcada por fora, portanto, não é deduzda das hpóteses já fetas. Ou seja, supondo-se que, ncalmente, haja recursos ocosos, enquanto estes exstrem, o custo médo é decrescente: é o ramo decrescente da curva do custo médo. Exaurdos os recursos ocosos, para produzr mas é precso gastar mas por undade de produto. Assm, no ponto de exaustão dos recursos ocosos, o mínmo ocorre e a curva do custo médo começa crescer: é o ramo ascendente. Adcona-se, desse modo, a hpótese dos recursos ocosos e como nfluencam a curva de custo médo, mas sem o rgor necessáro. Note-se que esta hpótese tem a ver com a função de produção. Ela, por exemplo, rejeta a função de produção tpo Cobb-Douglas, a não ser que esta seja dvdda em três ramos: à esquerda do mínmo, com retorno crescente à escala, portanto, maor que um; no mínmo, lnear homogênea (retorno à escala gual a um); e à dreta, com retorno decrescente, menor que um. Em trabalhos econométrcos é estmado um únco ramo: o da dreta, usualmente. 176

15 Elseu Alves No gráfco a segur estão os três ramos do custo médo: à esquerda do ponto e, o ramo decrescente, que corresponde à elastcdade de escala da função de produção maor que um; o ponto e, o mínmo do custo médo, equvale à elastcdade de escala gual a um; e, fnalmente, à dreta de e está o ramo crescente, que equvale à elastcdade de escala menor que um, da função de produção. Anda cabe aduzr que, em y=0, o custo margnal e o custo médo são guas. Até o ponto e, o custo margnal é menor que o médo; gualam-se novamente em e; e, à dreta de e, o custo margnal é maor que o custo médo 11. Se a função de produção for lnear homogênea, C(w, y) = y*h(w). Logo, o custo médo e o margnal são guas a h(w), que é côncava e lnear homogênea, em w. Neste caso, a forma em U do custo médo não se verfca. Ele é uma lnha reta paralela ao exo y, de altura h(w). A lnha do custo margnal se justapõe à do custo médo. E a escala de produção não é determnada. Será zero se o preço do produto for menor que h(w) e nfnta se maor ou gual. 11 Pela regra de L Hosptal, concdem. lm( Cwy (, )/ y) C'( wy, ). x = Por sso, em y = 0, as duas curvas

16 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 Há duas proposções mportantes sobre o mpacto do aumento do preço de um nsumo na curva de custo médo e na produção: (a) o aumento do preço do nsumo x desloca a curva do custo médo para cma; (b) o ncremento do preço do nsumo x,, tudo mas constante, dmnu o nível de produção se e somente se ( x ( w, y)/ y)*( y/ x ) > 1. Ou seja, ywy (, )/ w > 0 se e somente se a desgualdade ao lado se verfcar (Alves, 1966, p. 43). 9. Elastcdades Na exposção, restrnge-se a dos nsumos, porque não há nenhuma dfculdade de se generalzar para n nsumos. Há dos tpos de elastcdade de produção: parcal e total. a. Elastcdade parcal: função de produção Seja y = f( x1, x2). A elastcdade parcal em relação ao nsumo x ndca a porcentagem que a produção crescerá quando se aumenta em 1% a 178

17 Elseu Alves dy / y quantdade do nsumo. Formalmente, e = f( x1, x2)* x / y, 1,2. dx / x = = Note-se que se fxou ( x1, x 2) e, portanto, a elastcdade depende dos níves de ( x1, x 2). No equlíbro, em que ( x1, x 2) correspondem aos valores obtdos pela maxmzação da renda líquda, tem-se que p* f ( x, x ) = w = 1,2. Substtundo, obtém-se e = wx / p* y= s = 1, Ou, generalzando, e = wx / p* y= s = 1,2,..., n. Note-se que s é a partcpação do gasto com o nsumo no valor da produção. Reafrmase que essa relação somente é válda no ponto de equlíbro, que corresponde a p e w. b. Elastcdade de escala: função de produção A elastcdade de escala responde a questão de quanto vara a produção, quando se expandem os nsumos, ao longo de um rao que passa pela orgem. Ou seja, para t 0, ( tx1, tx2) é o rao a partr da orgem e passando por ( x1, x 2), quando t = 1. Por defnção, a elastcdade de y/ y escala é dada por: e =, dexando-se t tender para zero e fazendo- t/ t dy se t = 1, ter-se-á e= *(1/ y(1)) 12. Dervando f( tx1, tx2) em dt dy relação e para t = 1, obtém-se f1( x1, x2) x1 f2( x1, x2) x2 dt = +. Dvdndo ambos os membros da equação por y > 0 e consderando a defnção de elastcdade parcal, tem-se: e = e e Note-se que, para y(1) = f( x, x )

18 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 cada nível de nsumos, ( x1, x2), ao longo do rao que passa pela orgem e por ( x1, x2), tem-se um valor de e. Generalzando-se para n nsumos, n e= e. Na função Cobb-Douglas, os expoentes são as elastcdades = 1 parcas, e a elastcdade de escala, pela fórmula acma, é a soma deles. Note-se que, neste caso, as elastcdades parcas e de escala ndependem de x. Por sso, a função Cobb-Douglas tem elastcdade constante, ou seja, as elastcdades parcas e de escala não dependem de x. Como n e = e, e e = s, no ponto de equlíbro, logo, = 1 ótmo de renda. n e= s, no nível = 1 Seja a função de produção lnear nos dos nsumos xex: 1 2 y = a+ b* x1 + c* x2,. Então, e 1 = b* x 1 / y; e 2 = c* x 2 / y. Portanto, a elastcdade de escala, e, em x=( x 1, x 2 ), é dada por e= e1+ e2. Completando a defnção de retorno à escala, se, em x, e > 1, há retorno crescente à escala; se e < 1, o retorno à escala é decrescente; e, fnalmente, se e = 1, o retorno à escala é constante. 10. Retorno à escala: função custo A elastcdade de escala é defnda da segunte forma: Cwy (, ) Cwy (, ) Cwy (, ) y E = = * y y Cwy (, ) y 180

19 Elseu Alves É usual dexar y tender para zero; e levando-se em conta que dc( w, y)/ dy = C '( w, y), tem-se que E= C'( wy, )*( y/ Cwy (, )). Para entender o sgnfcado de retorno à escala, no contexto da função custo, convém estudar, rapdamente, a função custo médo, CMwy (, ) = Cwy (, )/ y. Dervando CM em relação a y e consderando a defnção de E, obtém-se: ( yc'( wy, ) Cwy (, ) Cwy (, ) y Cwy (, ) CM '( w, y) = = ( )*[ C '( w, y)* 1] = ( )( E 1) (*) y y C(, wy) y É usual admtr ter a curva do custo médo a forma de um U aberto, com um ponto mínmo. À esquerda do ponto mínmo a curva do custo médo é decrescente; logo, CM '( w, y ) < 0, o que mplca, pelo últmo membro à dreta de (*), que E < 1. Neste ramo da curva do custo médo predomna o retorno crescente à escala, porque se produz mas com custo decrescente. Quando E = 1, a curva do custo médo passa por um mínmo (verfque a condção de segunda ordem), tem-se retorno constante à escala. À dreta do mínmo, a curva do custo médo é crescente; logo, CM '( w, y ) > 0, o que mplca ter-se E > 1. Neste ramo, produz-se mas com custo crescente. É pertnente reescrever o segundo membro de (*) da segunte forma: C'( wy, ) Cwy (, ) / y) CM '( w, y) = (**) y À dreta do ponto mínmo o custo médo é decrescente, portanto, CM '( w, y ) < 0, assm, C'( wy, ) < Cwy (, ) / y. Desse modo, a curva do custo margnal está abaxo da do custo médo. No ponto de custo médo mínmo elas se cruzam. À dreta deste ponto, a curva do custo margnal fca acma da curva do custo médo. 181

20 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº Elastcdades parcas pela função custo Pode-se valer de x(w, y), a demanda condconada, para defnr as elastcdades parcas: dx( w, y)/ x( w, y) E = = ( x( w, y)/ y)*( y/ x( w, y)). dy / y Note-se que as elastcdades parcas dependem do nível em que y é n fxado. Ora, Cwy (, ) = w* x( wy, ). Tendo-se em conta esta = 1 equação e, por defnção, a elastcdade de escala em y, é gual a dcwy (, )/ Cwy (, ) E =, vem, depos de manpulações smples, dy / y n E = S* E. Ora, S = w * x ( w, y)/ C( w, y). Ou seja, S mede a = 1 partcpação do dspêndo no nsumo x no dspêndo total, C(w, y). 12. Relação das elastcdades nas ótcas das funções de produção e de custo No ponto ótmo,, o e= ( wx + w x )/ py = C( w, y )/ py. No y ponto ótmo, tem-se C'( w, y0) = p. Como E= C'( wy, )*( y/ Cwy (, )), no ponto ótmo, o, 0 0 y E= py / (, ), 0 Cwy comparando E e e, conclu-se que no ponto de renda líquda máxma, y, tem-se 0 E = 1/ e. No caso da função Cobb- Douglas, ambas as elastcdades ndependem do ponto ótmo, verfque se esta relação ocorre. Óbvo, não? o o 182

21 Elseu Alves 13. Renda líquda e retorno constante Na condção de retorno constante, a renda líquda é nula. Lembre-se que, neste caso, as curvas de custo médo e custo margnal concdem, numa lnha paralela ao exo das quantdades. Se o preço estver abaxo desta lnha, não haverá produção. Se estver acma, a renda líquda é postva, mas o crescmento da produção, que vrá em conseqüênca, fará, com o passar do tempo, que o preço do produto volte para o nível em que a lnha referda corta a ordenada. Logo, p= Cwy (, )/ y, y> 0, ou então, py = C( w, y), e a renda líquda é nula 13. Como trl = t( pf ( x) w* x) t > 0, no caso de retorno constante, se RL > 0 para algum x, RL, renda líquda, crescerá para o nfnto, dexando t crescer ndefndamente, o que não faz sentdo. Assm, na condção de retorno constante, qualquer nível de produção produz a mesma renda líquda, a qual é zero. O equlíbro é, portanto, ndefndo. Assm, a frma podera expandr a produção sem lmtes, tornando-se a únca frma produtora, com o domíno total do mercado. Neste caso, a hpótese que fundamentou o exercíco de que o mercado é compettvo dexara de ser verdadera. Anda, no mundo da agrcultura sso não exste. Logo, a hpótese de retorno constante não pode prevalecer no longo prazo. 14. Produção múltpla O sstema de produção pode dar orgem a dos ou mas produtos, sem que exsta uma função de produção separada para cada produto. No caso de exstr uma função de produção para cada produto, volta-se ao caso anteror, e há uma função custo para cada produto. A produção de lete, por exemplo, produz três produtos: lete, vacas que serão descartadas e bezerros; assm, a produção não se separa em três funções de produção. Por sso, é necessáro substtur a função de produção pelo conjunto de 13 Note-se que, quando a curva do custo médo admte o valor mínmo, no ponto mínmo a renda líquda é nula. 183

22 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 produção V(y) e V ( y) = { x : x produz y}, e V(y) é um conjunto fechado. O problema de mnmzação é formulado da segunte manera: mn n xε V( y) = 1 Cwy (, ) = { w* x} Sujeto a: w > 0, = 1,..., n x 0, = 1,..., n. As propredades de Cwy (, ) são bascamente as mesmas; as dervadas, quando exstrem, dzem respeto às componentes dos vetores w e y. A dscussão sobre dualdade é bem mas complcada. A função custo médo exste tão-somente para cada componente do vetor y. É possível defnr elastcdade de escala, mas ela perde a nterpretação dada, e Cwy (, ) pode ser usada em trabalhos econométrcos, consderando-se as componentes de w e y. No equlíbro, o custo margnal em relação a cada componente do vetor y se guala ao respectvo preço. Dervando RL( y) = p * y C( w, y) em relação a cada componente de y e gualando-se a zero, depos de verfcar-se a condção de segunda ordem, y vrá: p = C ( w, y0), = 1,2,..., n, em que y 0 é o valor de y correspondente ao ótmo e tem n componentes. 15. Conclusões Procurou-se mostrar as propredades da função custo e como ela se relacona com a função de produção que lhe deu orgem. O texto é uma ntrodução ao capítulo 1 da monografa nttulada Função Custo (Alves, 1966). A apresentação é rgorosa, embora o nível de matemátca seja elementar. O texto ajuda o letor a entender melhor o sgnfcado das 184

23 Elseu Alves planlhas de custo e mostra a mplausbldade da exstênca de retorno à escala em mercados compettvos. Se estes exstssem, o tamanho do negóco fcara ndefndo: qualquer tamanho redundara na mesma renda líquda, sempre nula. Mutos justfcam a reforma agrára, fundamentados na exstênca de retorno constante à escala. Contudo, o texto mostrou que a proposção não subsste quando o mercado é compettvo. A função custo expressa a decsão de mnmzar os dspêndos para cada nível de produção. Assm, espera-se que os dados refltam esta decsão nos modelos econométrcos. Outra lnha de ataque, que não fo estudada no texto, é verfcar se os dados refletem a decsão de mnmzar dspêndos (Alves, 2004). Referêncas ALVES, Elseu. A função custo. Brasíla DF: Embrapa, Raconaldade dos agrcultores: que dzem os dados? Revsta de Economa e Agronegóco, v. 1, n. 4, p , out./dez 2003, CHAMBERS, Robert G. Appled producton analyss: a dual approach. New York: Cambrdge Unversty Press, FÄRE, Rolf; GROSSKOPF, Shawna; LOVEL, C. A. Producton fronters. New York: Cambrdge Unversty Press, VARIAN, Hall R. Non-parametrc analyss of optmzng behavor wth measurement error. Journal of Econometrcs, v. 30, p ,

24 REVISTA DE ECONOMIA E AGRONEGÓCIO, VOL.5, Nº 2 Abstract -The artcle deals wth the cost functon at a mathematcal level that only requres knowledge of dfferentals, but except for that, t keeps rgor at a hgh level. It only states theorems that requre long proofs. The artcle justfes the exstence of the cost functon, ponts out ts propertes, and shows how t relates wth the producton functon n the sense that one s the dual to the other. The artcle dscusses partal and scale elastctes, both n the context of producton and cost functons. Whenever proft s maxmzed, one s the recprocal of the other. The cost functon has not a defned form n the sense that t can be deduced from the axoms of producton theory. But the artcles ponts out the plausblty of the form that resembles an open U. The exstence of the demand functon for a gven level of producton requres the uncty of the soluton of the mnmzaton problem. Whenever the soluton s unque, one ndcates how to obtan the demand from the cost functon. Constant return to scale s not compatble wth a compettve economy, and f t prevals net proft s zero, after all factor of producton gets ts share. The paper extends the cost functon to several products, and emphaszes that only by pure luck the mnmum average cost shows up f just one observaton s surveyed. The artcle prepares the reader for a more advanced exposton of the cost functon, and the text references some of them, and also s useful for econometrc research. Keywords: cost functon, producton functon, return to scale, average cost, proft. 186