Robótica Industrial. Modelação Cinemática e Dinâmica de. Manipuladores de Estrutura em Série. Textos. Elaborados por: António Mendes Lopes

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1 Mestro em utomção, Istrumetção e otrolo obótc Iustrl Tetos Moelção emátc e Dâmc e Mulores e Estrutur em ére Elboros or: tóo Mees Loes /

2 MODELÇÃO INEMÁTI E DINÂMI DE MNIPULDOE DE ETUTU EM ÉIE tóo Mees Loes, FEUP DEMEI, INTODUÇÃO Ns últms écs tem-se sssto um crescete teresse els áres utomção ustrl e robótc, motvo, omemete, or reocuções relcos com o umeto routve, reução e horáros e segurç o trblho. Esse teresse tem levo verss etes úblcs e rvs, ts como uverses, gêcs govermets e emress, efectur vestgção, esevolvmeto e lcções esss áres. O íco er utomção ustrl remot o século XVIII, um ltur em que s máqus ecs começvm fer rte o rocesso routvo s ústrs. O esevolvmeto s téccs e roução veo crr ovs ecesses só ossíves e stsfer com máqus rogrmáves e fleíves, o orgem os rmeros robôs ustrs (Klfter et l., 989). Fo o fl os os sesset, com bse eerêc etão estete o cmo os telemulores e s máqus ferrmets e como umérco, que eorge Devol costruu o rmero robô ustrl. rtr ess t robótc tem vo frmr-se como um cêc utóom, e crácter multsclr, eetro em áres trcolmete lgs às egehrs mecâc,

3 electrotécc, e comutores e outrs, revelo mortâc crescete em áres tão stts como elorção escl, elorção subquátc, mec ou ústr. É lás ústr que tem so vesto o mor esforço, seo ústr utomóvel um bom eemlo sso; robôs e tur e e solur fem hoje rte tegrte su forç lborl. eercmete, um robô mulor, eeetemete su otecl lcção, é meccmete cocebo r oscor e oretr o esço o seu órgão terml: um grr ou um ferrmet. su estrutur oe vrr ms, ormlmete, é ossível etfcr os segutes elemetos fucos rcs (Klfter et l., 989) (Fgur.): mulor: cojuto e coros lgos or juts, formo ces cemátcs que efem um estrutur mecâc. No mulor cluem-se os ctuores, que gem sobre estrutur mecâc, mofco su cofgurção, e trsmssão, que lg os ctuores à estrutur mecâc. Os termos mulor e robô são muts vees usos com mesm fle, embor, formlmete, tl ão estej correcto; sesores: sostvos usos r recolher e roorcor o cotrolor formção sobre o esto o mulor e o mbete. Os sesores teros forecem formção sobre o esto o mulor (or eemlo, osção, veloce ou celerção). Os sesores eteros forecem formção sobre o mbete (or eemlo, sesores e forç/mometo ou câmrs e víeo r etecção e obstáculos); cotrolor: sostvo, tcmete bseo em mcrocomutor, que cotrol o movmeto o mulor. Us os moelos o mulor e o mbete e formção forec elo oeror e elos sesores, efectu s oerções lgébrcs e cálculo ecessárs e ev os ss e cotrolo os ctuores. Poerá efectur trefs como o regsto e os em memór e gestão s comucções com o oeror ou

4 com outros sostvos que cooerem com o robô eecução tref; ue e otêc: sostvo que tem or objectvo roorcor eerg os ctuores. Num sstem ctuo electrcmete trt-se e um cojuto e mlfcores e otêc. Iformção sobre o esto o mulor esores teros Estrutur mecâc Trsmssão ctuores omo Ue e otêc omo Moelo o mulor Moelo o mbete lgortmo e cotrolo Mulor Potêc eror e trjectórs Itercção Protocolos e comucção otrolor mbete esores eteros Iformção sobre o mbete Lgugem e rogrmção Descrção tref Fgur. eresetção esquemátc estrutur gerl e um robô mulor tegro o seu mbete. Em rtculr, um robô ustrl ossu um estrutur ms smles (Fgur.); tercção com o mbete é rtcmete estete e rogrmção o robô bse-se um escrção mutável quer tref quer o mbete. O mulor é ormlmete costtuío or um cojuto e coros rígos lgos em sére or terméo e juts rottvs ou rsmátcs, formo um ce cemátc bert. Um s etremes o mulor ecotr-se rgmete lg um bse, equto que etreme oost suort o órgão terml,

5 oeo mover-se lvremete o esço. Tcmete, o mulor ossu grus e lbere (gl) e é comosto elo brço e elo uho. O brço tem, em gerl, gl, efectuo o oscometo o uho. Este, ormlmete, é comosto or juts rottvs, que utl r oretr o órgão terml ( gl). Note-se que c jut, rottv ou rsmátc, cofere o mulor um gru e movmeto (gm). Em teor, o mulor oerá ter um fe e gm. O órgão terml oe ossur um mámo e gl: gl em oscometo e gl em oretção o esço D. O úmero e gl o órgão terml é semre feror ou gul o úmero e gm o mulor. e os város gm estverem equmete strbuíos o logo estrutur mecâc, o úmero e gl o órgão terml será gul o úmero e gm o mulor (té o lmte e ). Quo o úmero e gm é sueror o úmero e gl -se que o mulor é reute. Muts vees utl-se eressão gru e lbere quo ever utlrse gru e movmeto. Trt-se e um buso e lgugem que eve ser evto meos que ão hj rsco e cofusão (Fgur.). gm / gl gm / gl gm gl gm gl Fgur. rus e lbere vs grus e movmeto.

6 Iformção sobre o esto o mulor esores teros Estrutur mecâc Trsmssão ctuores Mulor omo Potêc Ue e otêc omo Moelo o mulor lgortmo e cotrolo eror e trjectórs Protocolos e comucção otrolor Lgugem e rogrmção Descrção tref Fgur. eresetção esquemátc estrutur gerl e um robô ustrl. O subsstem cotrolor e um robô ustrl utl, em gerl, es lgortmos e cotrolo e osção. Trt-se, ormlmete, e cotrolores escetrlos, e ghos fos, em que c jut ossu o seu róro servosstem e cotrolo. erlmete, ts cotrolores resetm um esemeho stsftóro grçs às trsmssões mecâcs emregues, com fctores e reução orem os :. utlção e ts reuções lev que s vrções ercs (cuss or lterções cofgurção estrutur ou crg mul), quo refers os motores, surjm vs elo quro o fctor e reução. O efeto ess vrção é, ssm, esreável. colmetos âmcos e vrções ercs são trtos como erturbções (Fgur.) (Mees Loes, ).

7 Trjectór esej o esço crteso eror e trjectórs o esço s juts (cemátc) otrolor jut otrolor jut.. otrolor jut Mulor Posção/Veloce jut Posção/Veloce jut.. Posção/Veloce jut esores jut.. esores jut esores jut Fgur. Dgrm reresettvo o subsstem e cotrolo e osção e um robô ustrl. MODELÇÃO INEMÁTI No que reset à estrutur mecâc, um mulor robótco é um sstem formo or um cojuto e coros lgos or terméo e juts ctvs e ssvs. s juts ctvs são os otos e etr e eerg cotrol o sstem. Ests ermtem o como estrutur, feo- segur um trjectór o esço oercol (crteso), com um veloce e celerção, e, em certos csos, tergr com o meo mbete, eerceo s forçs e cotcto esejs. s trsformções e coores etre o esço s juts e o esço oercol revestem-se e mortâc fumetl o cotrolo e mulores. De fcto, mor os csos os robôs são cotrolos o esço s juts, 7

8 equto que o lemeto e efção s trjectórs são, ormlmete, efectuos o esço oercol. ssm, métoos efcetes e trsformção etre os os esços ssumem um el relevte oe, os últmos os, tem so lev cbo mut vestgção (Pul, 98; Vukobrtovc e Krcsk, 98; Fu et l., 987). Neste coteto, é essecl o cohecmeto os moelos cemátcos e osção e ferecl. O rmero é truo mtemtcmete or um cojuto e equções lgébrcs ão leres, ermto etermr s relções estetes etre osção s juts ctvs e osção geerl o órgão terml. O seguo é truo mtemtcmete or um sstem e equções leres que ermte relcor s resectvs veloces. lém sso, trvés e coserções que evolvem os cocetos e trblho e e eerg, ermte tmbém etermr o moelo estátco o mulor (relção etre s forçs lcs s juts e s forçs lcs o órgão terml). Em qulquer os csos o roblem evolve semre etermção e um jcobo. elcoos com cemátc oem stgur-se os roblems: cemátc rect e cemátc vers. cemátc rect evolve etermção osção (ou veloce) geerl o órgão terml rtr osção (ou veloce) s juts ctvs. Pr mulores e estrutur em sére é, mor os csos, um roblem smles, com solução úc. cemátc vers evolve etermção osção (ou veloce) s juts ctvs rtr osção (ou veloce) geerl o órgão terml. Normlmete, r os mulores e estrutur em sére é um roblem fícl, r o qul em semre é ossível ecotrr solução ltcmete. lém sso, ormlmete, solução ão é úc. 8

9 . INEMÁTI DE POIÇÃO DIET Nest secção (e resectvs sub-secções) reset-se o formlsmo e Devt-Hrteberg e, com bse ele, um lgortmo sstemátco r obteção o moelo cemátco e osção e um mulor e estrutur em sére. omo eemlo efectu-se moelção cemátc o robô ustrl TI E... MTIZ DE OTÇÃO Fgur. eresetção e um referecl fo, OXYZ, e e um referecl móvel, OUVW. osere-se Fgur.. Os referecs crtesos OXYZ e OUVW têm mesm orgem o oto O. O referecl OXYZ ecotr-se fo, equto que o referecl OUVW oe ror reltvmete OXYZ. Fscmete oe coserr-se OUVW como esto soláro com um coro rígo, or eemlo, com um elo e um robô mulor. Trt-se e um robot ustrl, com ccometo or motores e correte cotíu, esevolvo el Tes Istrumets, Ic. em 98. 9

10 ejm (, j, k ) e ( u, j v, k ) os vectores utáros seguo, resectvmete, os eos e OXYZ e OUVW. Um oto o esço oe ser rereseto els sus coores, eresss quer em OXYZ quer em OUVW. Por smlce, ssum-se que está fo em relção OUVW. ssm, oe ser rereseto or uv [ ] T (Eq..) u v em OUVW, e [ ] T (Eq..b) em OXYZ. Pretee-se etermr trsformção mtrcl uv que coverte s coores e eresss em relção OUVW, uv, s coores e eresss em relção OXYZ,, eos o coro soláro com o referecl OUVW ter sofro um rotção. Isto é, uv (Eq..) ecoro efção e comoetes e um vector, tem-se uv u u v j v k (Eq..) oe u, v, reresetm, resectvmete, s comoetes (ou s rojecções) e seguo os eos OU, OV e OW. Etão, uso efção e routo esclr e equção (Eq..), tem-se (roree strbutv o routo esclr) u u j v v k j j u u j j v v j k (Eq..) k k u u k j v v k k ou, form mtrcl,

11 v u v u v u v u k k j k k k j j j j k j (Eq..) Uso est otção, mtr equção (Eq..) é or v u v u v u k k j k k k j j j j k j (Eq..) Note-se que s colus mtr reresetm s coores os eos rcs o referecl OUVW em relção o referecl OXYZ, sto é, reresetm os coseos rectores os eos o referecl OUVW em relção o referecl OXYZ. mtr rereset, ssm, oretção o referecl OUVW em relção o referecl OXYZ. De moo semelhte oem ser obts s coores e uv rtr s coores e trvés equção mtrcl uv Q (Eq..7) ou v v v u u u v u k k j k k k j j j j k j (Eq..8) Do que o routo esclr é comuttvo, oe mostrr-se rtr s equções (Eq..) (Eq..8) que Q T (Eq..9) e Q T I (Eq..)

12 oe I rereset mtr ete e mesão. s mtres e Q são ortogos. eo os vectores (, j, k ) e ( u, j v, k ) utáros, s trsformções reresets els equções (Eq..) e (Eq..7) são chms trsformções ortoorms. rtr qu oem ser eterms s trsformções que reresetm s rotções o referecl OUVW em relção os eos o referecl OXYZ. e o referecl OUVW sofrer um rotção e um âgulo seguo o eo OX, etão o oto uv e coores [ ] T u v em relção OUVW, terá feretes coores [ ] T em relção OXYZ. trsformção, chm-se mtr e rotção seguo OX e um âgulo e oerá ser eu rtr os cocetos esevolvos terormete. ssm, vem, uv (Eq..) com u e u jv k, j u j jv j k cos se (Eq..) k se cos u k jv k k De moo semelhte oem ser obts s mtres e rotção seguo OY e um âgulo e e rotção seguo OZ e um âgulo (Fgur.):

13 Fgur. otção o coro rígo Fgur. e um âgulo seguo o eo OX. Fgur.b otção o coro rígo Fgur. e um âgulo seguo o eo OY.

14 Fgur.c otção o coro rígo Fgur. e um âgulo seguo o eo OZ., cos se se cos cos se, se cos (Eq..) s mtres,,, e, são chms mtres e rotção báscs ou elemetres. omo se verá, rotções ms comles oem ser trts à cust ests trsformções elemetres... OMPOIÇÃO DE MTIZE DE OTÇÃO Vu-se secção teror como reresetr mtemtcmete rotção e um referecl OUVW seguo c um os eos e um referecl fo OXYZ. e, em ve e um rotção smles em toro e um os eos e OXYZ, o referecl OUVW, clmete lho com OXYZ, sofrer um sequêc ft e rotções em toro esses mesmos eos, etão ess sequêc oe ser rereset trvés o routo e várs mtres e rotção báscs. Por eemlo, mtr que rereset rotção e OUVW e um âgulo seguo o eo OX, segu rotção e um âgulo seguo OZ e, or últmo, rotção e um âgulo seguo OY é

15 ,,, (Eq..) oe cos, se, cos, se, cos e se. Um ve que o routo e mtres em gerl ão é comuttvo é mortte orem el qul são efectus s rotções. ssm, mtr e rotção teror é ferete mtr corresoete à rotção e um âgulo seguo OY, segu rotção e um âgulo seguo OZ e segu rotção e um âgulo seguo OX. Pr est sequêc mtr e rotção vem,,, (Eq..) Poerá hver teresse em reresetr rotções e OUVW em toro os seus róros eos, OU, OV e OW. ssm, em gerl, mtr e rotção resultte e um sequêc ft e rotções elemetres oe ser obt trvés s segutes regrs (Fu et l., 987): clmete mbos os referecs estão cocetes, elo que mtr e rotção é mtr ete I ; se OUVW ror e um etermo âgulo em toro e um os eos e OXYZ, eve-se ré-multlcr mtr e rotção, clcul té esse mometo, el mtr e rotção básc ror: (Eq..) e (Eq..);

16 se OUVW ror e um etermo âgulo em toro e um os seus róros eos, eve-se ós-multlcr mtr e rotção, clcul té esse mometo, el mtr e rotção básc ror: (Eq..) e (Eq..)... MTIZ DE OTÇÃO EUNDO UM VETO BITÁIO Em ve e um sequêc e rotções seguo os eos rcs e OXYZ e/ou OUVW, o referecl OUVW oe tmbém ror e um âgulo em toro e um vector rbtráro r e comoetes r, r e r e sso el orgem O. Pr etermr mtr e rotção r,, em rmero lugr, f-se um sequêc e rotções seguo os eos rcs e OXYZ, e moo lhr o vector r com o eo OZ. De segu f-se rotção o âgulo em toro e r e or últmo f-se um sequêc e rotções seguo os eos e OXYZ, r colocr o vector r su stução cl. Observe-se Fgur.. O lhmeto e OZ com r oe ser feto trvés rotção e um âgulo em toro e OX (r fc o lo XZ), segu rotção e um âgulo β em toro e OY (r fc lho com OZ). Fgur. otção em toro e um vector rbtráro r.

17 7 Deos rotção o âgulo em toro e OZ (e e r) verte-se orem s rotções efectus, com âgulos smétrcos os terores. mtr e rotção r, resultte vem β β β β β β β β β β r,,,,,, (Eq..) Teo em cot Fgur. tem-se se r r r cos r r r (Eq..7) se β r cos r r β (Eq..7b) ubsttuo equção (Eq..) vem V r r r V r r r V r r r V r V r r V r r r r V r r V r r V r r, (Eq..8) oe V vers cos... EPEENTÇÃO D MTIZ DE OTÇÃO (OIENTÇÃO) UNDO ÂNULO DE EULE omo mesão e um mtr e rotção é, est reresetção ão utl um cojuto mímo e râmetros () r escrever oretção e um coro rígo em relção um referecl fo. Por esse motvo são muts vees uss outrs reresetções, como é o cso os âgulos e Euler ( âgulos).

18 Fgur. eresetção oretção em termos e âgulos e Euler. Estem cojutos sttos e âgulos e Euler (que eeem sequêc e rotções escolh) (cvcco e clo, 99). Um s ossbles corresoe à segute sequêc (Fgur.) (Vukobrtovc e Krcsk, 98): rotção e um âgulo ψ seguo o eo OZ (,ψ ); rotção e um âgulo seguo o eo roo OV, sto é, OV ( v, ); rotção e um âgulo seguo o eo roo OU, sto é, OU ( u, ). Do o vector e âgulos e Euler, ξ [ ψ ϕ] T, mtr resultte é 8

19 9 ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ s s s u v,,,,, (Eq..9) Est mtr oe tmbém ser ef em termos e um sequêc e rotções em toro os eos rcs o referecl fo OXYZ: um rotção e um âgulo em toro e OX, segu rotção e um âgulo em toro e OY e e um rotção e um âgulo ψ em toro e OZ. rtr mtr e rotção oem ser etermos os âgulos e Euler (roblem verso). ssm, equção (Eq..9) vem cos ψ cos (Eq..) se ψ cos (Eq..) se (Eq..) s cos ψ se se se ψ cos (Eq..) s se ψ se se cos ψ cos (Eq..) s cos se (Eq..) cos ψ se cos se ψ se (Eq..) se ψ se cos cos ψ se (Eq..7) cos cos (Eq..8)

20 O âgulo ψ oe ser obto multlco mbos os membros equção (Eq..) or se ψ, multlco mbos os membros equção (Eq..) or cos ψ e subtro s us equções, resulto se ψ cosψ (Eq..9) e ψ rct kπ (Eq..) O âgulo oe ser clculo multlco equção (Eq..) or cos ψ, multlco equção (Eq..) or se ψ e somo s us, sto é cos ψ se ψ cos (Eq..) ombo equção (Eq..) com equção (Eq..) vem rct kπ cosψ seψ (Eq..) Quto o âgulo, este oe ser obto multlco equção (Eq..) or se ψ, multlco equção (Eq..7) or cos ψ e subtro s equções: se ψ cos ψ se (Eq..) Por outro lo, multlco equção (Eq..) or se ψ, multlco equção (Eq..) or cos ψ e somo s us equções result s se ψ s cos ψ cos (Eq..) ombo s equções terores vem seψ cosψ rct kπ (Eq..) s seψ s cosψ

21 oe k é um úmero tero... POPIEDDE D MTIZE DE OTÇÃO e rotção: Em resumo são resets e segu lgums rorees s mtres s colus mtr e rotção reresetm os eos o referecl móvel (vectores utáros) eressos o referecl fo; s lhs mtr e rotção reresetm os eos o referecl fo (vectores utáros) eressos o referecl móvel; o que c lh (ou c colu) mtr e rotção é um vector utáro, o seu móulo é gul um; o etermte e um mtr e rotção é gul ; o routo tero e qusquer us lhs, bem como o routo tero e qusquer us colus é gul ero; vers e um mtr e rotção é gul à su trsost... TNFOMÇÕE HOMOÉNE O coceto e trsformção homogée é útl o esevolvmeto e trsformções que clum formção sobre rotção, trslção, fctor e escl e efeto e ersectv. e um o vector [ ] T, o esço D, é crescet um qurt comoete, e moo ser trsformo em [ ] T ˆ, -se que ˆ vem eresso em coores homogées. Nest secção será uso o símbolo ^ r reresetr um vector trvés e coores homogées. Posterormete, cso ão est ergo e cofusão, este símbolo será omto.

22 Em gerl, reresetção e um vector N - mesol or um vector (N) - mesol, -se e reresetção homogée. Iversmete, o vector N - mesol obtém-se su reresetção em coores homogées vo s coores o vector (N) - mesol el comoete e orem (N). ssm, o esço D, um vector [ ] T vector umeto [ ] T é rereseto elo ˆ verfco-se s relções (Eq..) homogées. Não este um reresetção úc r um vector em coores ˆ ssm, [ ] T ou [ ] T ˆ oem ser cosers reresetções váls r o vector [ ] T. Poe ver-se este moo que qurt comoete,, fuco como um fctor e escl. e o fctor e escl, etão s comoetes físcs o vector são gus às comoetes em coores homogées. N cemátc e robôs o fctor e escl é cosero semre utáro. Um mtr homogée oe ser coser como cossto em qutro submtres mtr vector rotção osção T (Eq..7) f efeto e fctor ersectv escl submtr rereset mtr e rotção (. e., oretção o referecl móvel em relção o referecl fo), submtr rereset o vector osção orgem o referecl móvel em relção o referecl fo, submtr f rereset o efeto e ersectv e o qurto elemeto gol rcl rereset o fctor e escl.

23 mtr e rotção oe ser umet r, trsformo-se ssm um mtr homogée, T rot, rereseto es oerção e rotção. Deste moo, s mtres e rotção (Eq..) e (Eq..) eresss em termos e mtres homogées fcm cos se T, se cos (Eq..8) cos se T, se cos (Eq..b) cos se se cos T, (Eq..c) Ests mtres e rotção, são chms e mtres e rotção homogées báscs ou elemetres. Por outro lo, os três rmeros elemetos qurt colu mtr e trsformção homogée reresetm trslção o referecl OUVW em relção o referecl OXYZ. ssm, OUVW tem eos rlelos o referecl OXYZ, ms su orgem ecotr-se esloc e (,, ) este referecl T tr (Eq..9) Est mtr é chm e mtr homogée e trslção básc ou elemetr.

24 Em resumo, um trsformção homogée, coverte um vector eresso em coores homogées em relção um referecl OUVW, um vector eresso em coores homogées em relção um referecl OXYZ (Fgur.). Isto é, com, ˆ Tˆ (Eq..) uv e T s s s s (Eq..) k O j v O u uv uv k O j P Fgur. Oerções reresets or um trsformção homogée...7 POPIEDDE D TNFOMÇÕE HOMOÉNE D um mtr homogée T, os vectores colu submtr e rotção, reresetm os eos e OUVW em relção OXYZ. qurt colu mtr e trsformção homogée rereset osção orgem o referecl OUVW em relção o referecl OXYZ. Por outrs lvrs, um mtr homogée rereset

25 stução ou osção geerl (osção e oretção) e um referecl móvel em relção um referecl fo. Equto que vers e um mtr e rotção é gul à su trsost, o mesmo ão se ss com um mtr homogée. osção orgem o referecl OXYZ em relção o referecl OUVW só oe ser eterm eos e ser eterm vers mtr homogée. Em gerl, vers e um mtr homogée é or T s s s T T s T T T T s T (Eq..) D equção (Eq..) vê-se que s colus vers mtr homogée reresetm os eos rcs o referecl OXYZ, em relção o referecl OUVW, e que qurt colu rereset orgem o referecl OXYZ em relção o referecl OUVW...8 OMPOIÇÃO DE TNFOMÇÕE HOMOÉNE Pr reresetr um sequêc ft e trsformções, s trsformções homogées báscs oem ser multlcs sucessvmete, e moo obter mtr e trsformção globl. omo multlcção e mtres em gerl ão é comuttv, há que ter em cot orem el qul se fem s trsformções báscs. s regrs que se seguem são útes r ecotrr mtr e trsformção globl. clmete mbos os referecs estão cocetes, logo mtr homogée será mtr ete (e mesão ) I ; se o referecl OUVW sofrer um rotção/trslção seguo um os eos rcs e OXYZ, etão eve-se ré-multlcr mtr

26 clcul té esse mometo el mtr homogée básc ror: (Eq..8) e (Eq..9); se o referecl OUVW sofrer um rotção/trslção seguo um os seus eos rcs, etão eve-se ós-multlcr mtr clcul té esse mometo el mtr homogée básc ror: (Eq..8) e (Eq..9)...9 DEI INEMÁTI Um mulor cosste um sequêc e elos lgos etre s or juts. Esss juts são ccos or ctuores (motores eléctrcos, hráulcos, etc.) que lhes mrmem movmetos gulres ou leres (Fgur.). r jut-elo costtu um gm. ssm, um robô mulor com gm terá que ossur res jut-elo. O elo (ão cosero rte o robô mulor) está fo um bse e suorte, oe ormlmete é estbeleco um referecl ercl, e o últmo elo está ssoc um ferrmet e trblho. Fgur. Um robô mulor PUM mostro juts e elos.

27 s juts e os elos são umeros rtr bse. ssm, jut ssegurrá lgção etre bse e suorte e o elo. Em gerl, os elos estão lgos trvés e um úc jut. oserem-se ses tos e juts feretes: rottv, rsmátc, clírc, esférc, rfuso e lr, reresets Fgur.7. Dests, es s rottvs e s rsmátcs são comus em robôs mulores. Um reresetção esquemátc estes os tos e juts oe ser vst Fgur.8. Fgur.7 Város tos e juts. Fgur.8 eresetção esquemátc e juts rottvs e e juts rsmátcs. 7

28 .. EPEENTÇÃO DE DENVIT-HTENBE (D-H) Fgur.9 Prâmetros e D-H. Pr escrever s relções e trslção e e rotção etre c os elos jcetes, Devt e Hrteberg rouserm um métoo sstemátco r trbução e um referecl c elo ce cemátc. O métoo e D-H cou um reresetção bse em trsformções homogées, que ermem c referecl (ssoco c elo) em relção o referecl teror. ssm, trvés e um sequêc e trsformções, osção geerl o órgão terml o robô mulor (ou melhor, o resectvo referecl) oe ser eresso em relção o sstem e eos bse, o qul oe costtur o referecl ercl o sstem. lgortmo. (D-H) (Fgur.9) D. Estbelecmeto o referecl bse. Fr um referecl ortoormo (,, ) bse e suorte, com o eo coco com o eo jut. Os eos e oem ser coveetemete 8

29 estbelecos (e coro com regr mão ret ) e são ereculres. D. Iíco. Pr c,,...,, eecutr os ssos D D. D. Estbelecmeto os eos s juts. Fer cocr com o eo jut. D. Estbelecmeto orgem o referecl. olocr orgem o referecl tersecção os eos e ou tersecção ereculr comum os eos e e o eo. D. Estbelecmeto o eo. Estbelecer ± ( ) ou ( ) seguo ereculr comum etre e, quo estes são rlelos (e r ). D. Estbelecmeto o eo. Fer ( ) e moo ( ) comletr o referecl e coro com regr mão ret. D7. Estbelecmeto o referecl o órgão terml. Estbelecer e moo sej ereculr. e últm jut for rottv, lhr com. olocr e moo comletr o referecl e coro com regr mão ret. D8. Determção os râmetros. Pr c,,...,, eecutr os ssos D9 D. D9. Determr. O râmetro é stâc orgem o referecl té à tersecção e com seguo. É vrável se jut é rsmátc. D. Determr. O râmetro é stâc ese tersecção e com, à orgem o referecl, seguo. D. Determr. O râmetro é o âgulo etre e, seguo É vrável se é rottv. 9

30 D. Determr. O râmetro é o âgulo etre e, seguo. Ds ests regrs, escolh orgem o referecl, colocr bse e suorte, é lvre, ese que o eo coc com o eo rmer jut. O últmo referecl oe tmbém ser coloco em qulquer oto o órgão terml, ese que o eo sej ereculr o eo (se o órgão terml cosstr um ç, o últmo referecl é ormlmete coloco o seu cetro). Um ve lco o lgortmo. hverá que etermr um trsformção homogée que relcoe o referecl com o referecl. osero Fgur.9, oe ver-se que o referecl sofreu s segutes trsformções reltvmete o referecl : rotção em toro e e um âgulo, r lhr o eo com o eo (o eo é rlelo, oto o mesmo seto); trslção seguo, stâc, e moo colocr cocetes os eos e ; trslção seguo, stâc, r colocr cocetes s orges e os eos ; rotção seguo e um âgulo, r torr os os referecs cocetes. um s qutro trsformções refers cm oe ser escrt or um mtr homogée básc e o seu routo á orgem um mtr homogée, cohec or mtr e D-H r os referecs e. ssm, vem

31 cos se se cos se cos cos se cos se se se cos cos cos se se cos cos se se cos,,,, T T T T (Eq..) Uso equção (Eq..), vers est mtr é [ ] cos cos cos se se se se se cos cos se cos se cos (Eq..) oe, r um jut rottv,, e são costtes, equto que é vrável. Pr um jut rsmátc, vrável é, equto que, e são costtes. Uso mtr oe relcor-se um oto, fo um elo, e eresso em coores homogées em relção um referecl, com um referecl estbeleco um elo. Isto é (Eq..) oe [ ] T e [ ] T.

32 .. EQUÇÕE D INEMÁTI mtr homogée T, que esecfc loclção o referecl em relção o referecl bse, oe ser ecotr feo o routo s sucessvs trsformções :, j j j,...,, r T K (Eq..) oe [,, ] mtr e oretção o referecl, estbeleco o elo, em relção à bse. É um mtr com mesão ; vector e osção que ot orgem o referecl bse, r orgem o referecl. É um vector com mesão. Pr o cso em que, vem T, qul esecfc osção e oretção o órgão terml o robô em relção à bse. Est mtr, e gre mortâc r cemátc, é chm mtr o robô mulor e oe ser coser como teo segute estrutur: s s s s T (Eq..7) oe (Fgur.), orml. Vector ereculr o órgão terml. ssumo um órgão terml como Fgur., é ereculr os eos ;

33 s eslmeto. ot recção o movmeto os eos quo o ç bre e fech; romção. ot recção ereculr à lm mão ; Vector osção mão. ot orgem o referecl bse r orgem o referecl o órgão terml, qul está ormlmete locl o seu cetro. Fgur. Puho esférco: referecl o órgão terml e os vectores [, s, ]. e o referecl bse o robô mulor estver relcoo com um referecl eteror (referecl ercl) el trsformção B e tver um ferrmet relco com o últmo referecl el trsformção H, etão o oto terml ferrmet oe ser relcoo com o sstem e coores e referêc trvés trsformção: ref Tferr B T H (Eq..8) Notr que H ferr e B ref. solução s equções cemátc rect e um robô mulor com gl resume-se o cálculo mtr T, que é coseguo multlco s ses

34 mtres,,...,. De otr que mtr T é úc, r um o sstem e referecs estbelecos com bse o lgortmo e D-H e r um o vector e coores o esço s juts, q [q q q q q q ] T, oe q r um jut rottv e q r um jut rsmátc. Um ve obts s mtres, como muts é ecessáro clculr mtr T em temo-rel, há que ecotrr um métoo comutcolmete efcete r o efeto (Vukobrtovc e Krcsk, 98)... INEMÁTI DIET DE LUN MNIPULDOE... MNIPULDO DE TNFOD Trt-se e um mulor com gl costtuío or um brço esférco e or um uho tmbém esférco. Fgur. Estbelecmeto e referecs r o robô mulor tfor.

35 Os râmetros e D-H são resetos Tbel.. Tbel. Prâmetros e D-H r o mulor e tfor. Jut (º) (º) s trsformções homogées são: (Eq..9) (Eq..) (Eq..)

36 ... MNIPULDO PUM Trt-se e um mulor com gl costtuío or um brço troomórfco e or um uho esférco. Fgur. Estbelecmeto e referecs r o robô mulor Pum. Os râmetros e D-H são resetos Tbel.. Tbel. Prâmetros e D-H r o mulor Pum. Jut (º) (º) s trsformções homogées são:

37 7 (Eq..) (Eq..) (Eq..)... MNIPULDO TI E Trt-se e um mulor com gl, costtuío or um brço troomórfco e or um uho esférco (semelhte o PUM). Fgur. Estbelecmeto e referecs r o robô mulor TI E. O râmetros e D-H são resetos Tbel..

38 8 Tbel. Prâmetros e D-H r o mulor TI E. Jut (º) (º) (mm) (mm) Itervlo e vrção (º) 9 9 [, ].8.98 [., 7.] 9 9 [, ] 9.8 [.,.] 9 [, ] 8.7 [7, 7] s trsformções homogées são: (Eq..) (Eq..) (Eq..7) Etão, mtr T o robô mulor TI E vem

39 9 s s s T (Eq..8) oe [ ] ) ( ) ( (Eq..9) [ ] ) ( ) ( (Eq..) ) ( (Eq..) [ ] ) ( ) ( s (Eq..) [ ] ) ( ) ( s (Eq..) ) ( s (Eq..) ) ( (Eq..) ) ( (Eq..) (Eq..7) [ ] ) ( ) ( (Eq..8) [ ] ) ( ) ( (Eq..9) ) ( (Eq..7). INEMÁTI DIFEENIL DIET Outro roblem mortte reseto às relções estetes etre s veloces (ler e gulr) o órgão terml e s veloces s juts. O cohecmeto ests relções é essecl r mlemetção e certos lgortmos

40 e cotrolo, bem como r lgus lgortmos e cálculo cemátc e osção vers. Nest secção (e resectvs sub-secções) são estus s relções ferecs, ou sej, s relções etre s veloces ler e gulr o órgão terml e s veloces s juts... JOBINO INEMÁTIO Pr um mulor com gl cemátc e osção rect oe ser rereset el fução T (Eq..7) Pretee-se gor etermr relção etre s veloces ler e gulr o órgão terml, v e referecl bse, e s veloces s juts, q, em relção o referecl bse e eresss o v J J P O q (Eq..7) em que J P e J O são mtres e mesão, rereseto s cotrbuções s veloces s juts r, resectvmete, veloce ler o órgão terml e veloce gulr o órgão terml. De form ms comct oe escrever-se v J( q)q (Eq..7) com

41 J P J (Eq..7) J O um mtr e mesão. Pelo métoo o trblho vrtul, s e lote (98) mostrm que s forçs s juts, τ, oem ser relcos com forç geerl (forç e mometo) lc o órgão terml o robô e eress o referecl bse, trvés equção f, τ J T f (Eq..7)... DEIVD DE UM VETO DEFINIDO EM ELÇÃO UM EFEENIL QUE PODE OD osere-se um referecl fo,, e um referecl móvel, B, com movmeto e trslção e e rotção em relção. ej o vector osção o P oto P em relção, eresso em ; B o vector osção o oto P em P B relção B, eresso em B; e o vector osção o oto B em relção, B eresso em (Fgur.). B B B P B P P Fgur. Posção e um oto P em relção um referecl fo,, e um referecl móvel, B. D Fgur. fclmete se coclu que

42 P B B B (Eq..7) P B P B (Eq..77) B P veloce e P em relção o referecl, eress em, será P B (Eq..78) B P eo B um vector efo o referecl B, é sbo, mecâc P clássc, que su erv temorl é B B B P P B P (Eq..79) rot oe B rereset erv o vector P rot B o referecl que está ror, P o sso que B é su erv o referecl fo (semre que ão hj rsco e P cofusão o símbolo () rot oerá ser omto). ssm, B B P B P B P (Eq..8) rot B P B B P B B rot B ( ) (Eq..8) B P B Em gerl, erv temorl e um vector em relção um referecl fo é gul à erv o vector em relção o referecl que está ror ms o routo vectorl veloce gulr o referecl que está ror elo róro vector: t t () () () rot (Eq..8) Note-se que, equção (Eq..7), tmbém se oe escrever B B P B B P B B P (Eq..8) rot B

43 ou sej, B B B B B B P B B B P B B B B P B B B P B B (Eq..8)... VELOIDDE LINE E NUL DE UM ELO D ETUTU ejm e os vectores osção s orges os referecs, resectvmete, - e, eressos o referecl (Fgur.). Fgur. elção etre os referecs - e. ej o vector osção o referecl, em relção o referecl -, eresso o referecl -. O vector oe ser rereseto or (Eq..8) ou sej v (Eq..8)

44 que rereset veloce ler o elo em fução s veloces ler e gulr o elo -. Notr que v rereset veloce orgem o referecl em relção o referecl -, eress o referecl bse. Quto à veloce gulr tem-se (Eq..87) O que rereset veloce gulr o referecl, em fução s veloces gulres os referecs - e em relção o referecl -. s eressões (Eq..8) e (Eq..87) ssumem stts forms, cosote se trte e juts rsmátcs ou rottvs. Pr um jut rsmátc, o que oretção o referecl em relção o referecl - se mtém costte, tem-se v (Eq..88) oe - é o vector utáro seguo o eo jut. s veloces ler e gulr são v v (Eq..89) Pr um jut rottv, evo à rotção o referecl em relção o referecl - cus elo movmeto jut, tem-se

45 (Eq..9) v s veloces ler e gulr são (Eq..9) v v... DETEMINÇÃO DO JOBINO osere-se que o jcobo é rereseto or J J J P O J L J P O (Eq..9) em que J P e J O são vectores e mesão. eressão q J reresetrá cotrbução jut r veloce P ler o órgão terml, equto que q J reresetrá cotrbução mesm O jut r veloce gulr. e se trtr e um jut rsmátc (q ) tem-se q J J O O (Eq..9) q J J P P (Eq..9) e se trtr e um jut rottv (q ) tem-se J q J O O (Eq..9)

46 P P q J J (Eq..9) Pr um mulor com gl tem-se [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t q q J q J q J q q J v K (Eq..97) oe J(q) é um mtr e mesão cuj colu e orem J (q) é el equção segute rsmátc é jut se rottv é jut se ) ( q J (Eq..98) [ ] ) ( ) ( ) ( t q t q t K q é um vector que rereset veloce s juts, é o vector osção que corresoe à qurt colu s mtres T eresso o referecl bse e é o vector utáro efo seguo o eo jut e eresso o referecl bse. Pr um robô o to o jcobo vem J L L (Eq..99) Em lgus csos oe ser referível ermr veloce geerl o órgão terml o referecl lgo o róro órgão terml. Deste moo, o jcobo cemátco, J, é o or

47 J J (Eq..).. JOBINO DE ÂNULO DE EULE O sgfco físco o vector veloce gulr,, é ms tutvo que ξ o o vector e ervs e âgulos e Euler, [ ψ ϕ] T. O vector rereset s comoetes e veloce gulr o referecl, em relção o referecl bse, e eresss o referecl bse. s comoetes o vector [ ψ ϕ] T ξ ão são ortogos, seo que reresetm um veloce gulr ef em relção um referecl vrável. ξ ψ ϕ oerá Por outro lo, equto que o tegrl o vector [ ] T reresetr oretção o órgão terml o mulor, o tegrl o vector ão mte um clro sgfco físco. osere-se, or eemlo, um coro rígo o qul se cohece osção o stte t. ssum-se que su veloce gulr oe ser um s esecfcs bo: T T [ π ], t ; [ π ], t (Eq..) T T [ π ], t ; [ π ], t (Eq..) em qulquer os csos o tegrl e result o mesmo vlor. Porém, oretção fl o coro é ferete os os csos (Fgur.). 7

48 Fgur. Oretção fl e um coro, obt or tegrção o vector veloce gulr. oheceo s equções cemátc e um vector e coores o esço s juts, oe etermr-se corresoete osção e oretção o órgão terml resolveo equção f(q) (Eq..) oe é um vector e coores o esço oercol e mesão m, q é um vector e coores o esço s juts e mesão ( úmero e gm) e f é um lcção ão ler cotíu e ferecável r too q ertecete o esço s juts, form f: m. Dfereco equção (Eq..) em orem o temo vem f( q) q (Eq..) t q t ou 8

49 9 q J E (Eq..) oe, q q J ) f( E m é um jcobo. eo m (coores crtess e âgulos e Euler), J E é o chmo jcobo e âgulos e Euler. Notr que J E tmbém oerá ser obto rtr e J. De fcto, relção etre veloce gulr,, e rmer erv temorl os âgulos e Euler, [ ] T ϕ ψ ξ, é bem cohec cemátc, seo (Vukobrtovc e Krcsk, 98) ϕ ψ J (Eq..) em que ψ ψ ψ ψ J (Eq..7) escreveo q q J v como q q J J J J v (Eq..8) e substtuo or ξ J vem

50 v ξ J J J J J J q q (Eq..9) efr-se que, quo 9º, evo à etermção trou el reresetção e âgulos e Euler, trsformção J é sgulr ( et { J } ). Isto mlc que J E oe ser sgulr, esr ess sgulre ão corresoer ehum cofgurção sgulr o mulor. omo será fácl e comreeer, eve semre otr-se um sstem e âgulos e Euler tl que sgulre or ele trou fque for o esço e trblho o mulor. Mtemtcmete, um oto sgulr corresoe um vector e coores o esço s juts que tor ulo o etermte o jcobo (se J é sgulr J E tmbém é sgulr). Fscmete, um cofgurção sgulr, o mulor ere um ou ms gl, ão oeo mover-se um ou várs recções o esço. gfc tmbém que ess cofgurção, seguo eterms recções, o mulor reset-se como ftmete rígo o mbete; um forç eter é comletmete bsorv el estrutur. De otr que toos os otos froter o esço e trblho são otos sgulres.. INEMÁTI DE POIÇÃO INVE Quo se retee etermr o vector e coores oercos (or eemlo, coores crtess e âgulos e Euler) que corresoe um etermo vector o esço s juts (roblem cemátc rect), verfcse fclmete que s comoetes reltvs à osção oem ser ls rectmete mtr T o robô mulor (qurt colu). s comoetes reltvs à oretção (âgulos e Euler) ão são e letur met, um ve que oretção vem em termos e um mtr e rotção e mesão. No etto, rtr mtr e rotção ão é fícl chegr os âgulos e Euler, os é bem cohec relção etre mbos.

51 Pelo cotráro, o roblem cemátc e osção vers, sto é, etermção o vector e coores o esço s juts que corresoe um o vector e coores oercos, evolve cálculos bem ms comleos: s equções resolver são, em gerl, ão leres, elo que em semre é ossível um resolução lítc; oem estr soluções múltls. Em gerl, o úmero e soluções umet com o úmero e râmetros e D-H ão ulos. Pr um mulor com gl estem o mámo soluções; oe estr um fe e soluções (reuâc, sgulres); oe ão estr solução ( osção geerl esecfc está for o esço e trblho). Em gerl, o roblem oe ser boro e us forms stts: trvés utlção e métoos lítcos; trvés utlção e métoos umércos tertvos. Os métoos lítcos ermtem obteção e tos s soluções, r um o vector e coores o esço oercol. Porém, ts métoos ão são gers, oeo ser lcos somete mulores smles, com mutos râmetros e D-H ulos (que é o cso mor os mulores ustrs). Detro os métoos lítcos oem ser segus us estrtégs: s que elorm s relções geométrcs estrutur ou s que utlm s mtres homogées que relcom os referecs ssocos os elos. Em qulquer cso é quse semre ecessár lgum ose e tução r resolver o roblem. Os métoos umércos tertvos são gers. Pr um o vector e coores o esço oercol ermtem ecotrr es um s ossíves soluções, seo que oem resetr séros roblems e covergêc.

52 Está rovo que r mulores e estrutur em sére com gl, o roblem cemátc e osção vers mte solução lítc quo: os eos e três juts rottvs cosecutvs se tersectm um oto; os eos e três juts rottvs cosecutvs são rlelos... INEMÁTI DE POIÇÃO INVE DE MNIPULDOE OM DL E PUNHO EFÉIO No cso rtculr e mulores com gl e uho esférco é ossível escolr o roblem em os: um subroblem e oscometo e um subroblem e oretção. De fcto, osção o uho es eee s coores s três rmers juts, equto que s últms três juts es fectm oretção. O subroblem e oscometo cosste etermção solução r s três rmers juts rtr osção o uho (oto e tersecção os eos s três últms juts). O subroblem e oretção cosste etermção solução r s três últms juts rtr oretção o uho e solução o subroblem e oscometo. O rocemeto é o segute: etermr osção o uho, osção e oretção o órgão terml: [ ] T resolver o roblem cemátc vers r o brço; clculr mtr e oretção ( q, q, q ) ; T clculr mtr ( q q, q ) ( q, q, q ) ( ψ,, ), ; ;

53 resolver o roblem cemátc vers r o uho. Pr resolução o roblem cemátc vers o brço hverá que usr um qulquer métoo lítco, seo útl mulção s mtres homogées e/ou elorção s relções geométrcs o ível o brço (lgus eemlos serão mostros te). Pr resolução o roblem cemátc vers o uho oerá ser segu um metoolog em tuo gul à reset secção..... INEMÁTI INVE DE LUN MNIPULDOE... BÇO EFÉIO (MNIPULDO DE TNFOD) D osção e oretção o órgão terml o mulor, mtr T, oe etermr-se e meto osção o uho:. Neste cso, osção o uho coce com orgem o referecl, seo que oe ser l rectmete mtr (qurt colu): M M M (Eq..) ssm, vem (Eq..) Multlco mbos os membros equção teror or vem

54 (Eq..) Feo t t tem-se, t t t t (Eq..) ubsttuo os terceros elemetos equção (Eq..) result segute equção e segu orem t t (Eq..) t ± (Eq..) ±, t (Eq..) Estem us soluções r rmer jut, ese que o scrmte r qur sej ostvo. lro que se for egtvo ão este solução. Dos os rmeros elemetos equção (Eq..) result (Eq..7), t (Eq..8) Elevo o quro e somo s us rmers comoetes equção (Eq..) tem-se (só teress solução > ), (Eq..9)

55 ... BÇO NTOPOMÓFIO (MNIPULDO TI E OM OU PUM OM E ) Pr fcltr álse coserem-se os râmetros e D-H e, reltvmete o mulor PUM e, reltvmete o TI E. ssm, mbos os mulores serão êtcos. D osção e oretção o órgão terml o mulor (mtr T), oe etermr-se e meto osção o uho:. Neste cso, osção o uho coce com orgem o referecl, elo que oe ser l rectmete mtr (qurt colu): M M M (Eq..) ssm, vem (Eq..) Por um questão e geometr é fácl verfcr que ou π (, ) (, ) t (Eq..) t, ese que sse vler π - (Fgur.7). Elevo o quro e somo os elemetos equção (Eq..) e uso s relções trgoométrcs e vem

56 (Eq..) (Eq..) (Eq..) ± (Eq..), t (Eq..7) Elevo o quro e somo os os os rmeros elemetos equção (Eq..) result equção (Eq..8) esolveo o sstem e equções comosto el equção (Eq..8) e el equção que result gule etre os terceros elemetos equção (Eq..) obtémse solução r jut : (Eq..9) (Eq..) (Eq..), t (Eq..) omo se oe ver estem qutro soluções r o brço, s qus corresoem às segutes cofgurções (Fgur.7):

57 brço à ret e r cm; brço à esquer e r cm; brço à ret e r bo; brço à esquer e r bo; Fgur.7 Dferetes cofgurções r o brço troomórfco... DIFIULDDE DO MÉTODO NLÍTIO Os métoos lítcos resetm lgus roblems cuj resolução requer um estuo cuoso: como os métoos lítcos forecem vrs soluções, tor-se ecessáro escolher que eve ser us; como solução r c jut result, em últm álse, o cálculo e um fução t(, ), surge o roblem os âgulos obtos vrem semre restrgos o tervlo [8, 8 ]. Este fcto oe levtr roblems, cso o tervlo e vrção os âgulos s juts ão estej coto esse tervlo. 7

58 ... POBLEM D EOLH D OLUÇÃO Deos e clculs tos s ossíves soluções, como o tervlo e vrção juts é coheco, o rmero sso everá ser elmr qusquer soluções que ão estejm etro esses tervlos. Poem etão ocorrer três stuções: tos s soluções estão etro os lmtes e vrção mostos às juts. mesão o roblem ão é reu; es lgums s soluções ão volm os lmtes e vrção mostos às juts. mesão o roblem fo reu; tos s soluções volm os lmtes e vrção mostos às juts. Não este solução. Isto sgfc que se retee mover o mulor r um oto for o seu esço e trblho. e se verfcr um os os rmeros csos há que ecotrr um crtéro que um ve lco ermt escolher solução.... Fução custo Um rocemeto ossível r seleccor solução é escolher quel que mm um eterm fução custo. Por eemlo, escolher solução que mm o erro qurátco méo etre o vector e coores o esço s juts ctul e o vector e coores o esço s juts cto róm solução. É mortte otr que este cso se tet fer com que s trjectórs, o esço s juts, sejm cotíus o temo. Um outr ossble cosste em escolher solução que mm o erro qurátco méo etre o vector e coores o esço s juts cto róm solução e o vector e coores o esço s juts cujs comoetes são os otos méos os tervlos e vrção mostos às juts. Neste cso, tet-se mter s juts o ms fsto ossível os seus lmtes. 8

59 Mmção o erro qurátco méo etre o últmo vector clculo e o vector cto solução osere-se o vector q ct e coores o esço s juts corresoete à stução ctul, ct, o órgão terml. Do o vector q seg, e coores o esço s juts, cto solução r o vector seg, e coores oercos segute, fução mmr é m c ( q, ct q, seg ) (Eq..) em que, c > (,...,). Estes râmetros formm um cojuto e esos que oe ser justo or smulção e moo obter solução ms equ. ssm, é ecessáro clculr o vlor equção (Eq..) r c um os vectores ctos solução e escolher quele que mm. Mmção o erro qurátco méo etre vector cto solução e o vector formo elos otos méos os tervlos e vrção s juts Do o vector q me, que corresoe os otos méos os tervlos e vrção s juts, e o vector q seg e coores o esço s juts cto solução r o vector seg e coores oercos segute, fução mmr é m c ( q, me q, seg ) (Eq..) em que c > (,...,). solução é escolh tl como o cso teror.... Escolh fução custo (cso o mulor TI E ) escolh fução custo equ oe requerer lgum smulção. ssm, cosere-se que o stte e temo t seg. osção geerl o 9

60 mulor é (,,,,, ) T (osção eress em mlímetros e oretção eress em grus) e que s corresoetes coores s juts são q (.,.8,.,.8,.,.) T (em grus). Pretee-se que o órgão terml o robô escrev um quro o lo YZ (lo vertcl) emoro seg r ercorrer c lo. Pr tl efe-se um trjectór esecfco os resttes três vértces o quro, e : (,,,,, ) T, (,,,,, ) T e (,,,,, ) T (Fgur.8). Eo Z (mm) Eo Y (mm) Fgur.8 Trjectór o lo YZ esej r o órgão terml. N Fgur.9 oem observr-se s trjectórs gers or um métoo lítco, r us fuções custo: fução custo () mmção o erro qurátco méo etre o vector cto róm solução e o vector solução teror, e fução custo () mmção o erro qurátco méo etre o vector cto róm solução e o vector cujs comoetes são os otos méos os tervlos e vrção s juts. Em mbs s fuções custo o vector e esos é c (,,,,, ) T. Notr que fução custo () cou à gerção e trjectórs o esço s juts escotíus o temo (que mlcm muçs e cofgurção o mulor). s corresoetes trjectórs o esço oercol são cocetes (.e., o mulor cosegue eecutr mesm trjectór o esço oercol e várs forms feretes (Fgur.)). Etee-se que se eve r mor eso às juts o brço um ve que, tcmete, ests têm meor cce e celerção que s o uho. ssm, á-se mor mortâc às escotues s trjectórs ests juts.

61 8 Jut Jut - - Pos. jut (grus) Temo (seguos) Pos. jut (grus) Temo (seguos) Jut Jut Jut Jut Pos. jut (grus) Pos. jut (grus) Temo (seguos) Temo (seguos) Jut Jut 8 Jut Jut Pos. jut (grus) Pos. jut (grus) Temo (seguos) Temo (seguos) Jut Jut Fgur.9 Trjectórs s juts gers or um métoo lítco com feretes fuções custo. Fução custo (); --- Fução custo ().

62 Eo Z (mm) Eo Y (mm) Fgur. Trjectórs o esço oercol (lo YZ) gers or um métoo lítco com feretes fuções custo. Fução custo (); --- Fução custo ().... POBLEM D ETIÇÃO DO ÂNULO O INTEVLO [8, 8 ] O fcto s soluções r s juts resultrem lcção e um fução t(, ) f com que os âgulos vehm restrgos o tervlo [π, π]. e os tervlos e vrção mostos às juts ão estverem cotos etro este tervlo, mõe-se correcção solução obt. Um rocemeto ossível cosstrá comrção solução roost com solução teror. so se verfque um versão e sl, hverá que fer ev correcção à solução... MÉTODO NUMÉIO ITETIVO... MÉTODO BEDO NO JOBINO ej q um vector efo o esço s juts e um vector efo o esço oercol: f ( q) ; q f, seo f um fução ão ler. osere-se q (ou q) um vector e cremetos ftesms (ou muto equeos) em q e (ou ) um vector e cremetos ftesms (ou muto equeos) em.

63 be-se s relções ferecs que J E q ( J E q) (Eq..) ou q J E ( q J E ) (Eq..) lgortmo. D. eleccor o vector cl cto solução qk q ; D. Determr e verter o jcobo e âgulos e Euler J D. Determr o vector erro o esço oercol [ f ] D. Fer q J [ f ( q )] D. Fer qk qk qk k E ; { } > ε D. e mvl f ( q ) k k ; voltr o sso D. ; q k q E k ; J E ( q) q q f ( q) Fgur. Dgrm e blocos o lgortmo e cálculo cemátc vers. re e covergêc o lgortmo eee fortemete romção cl q. No segumeto e um trjectór eve-se usr solução ecotr o stte T r romção cl à solução rocur r o stte T T.

64 ... EXEMPLO: MNIPULDO TI E osere-se que se sõe e um métoo efc e gerr um trjectór o esço oercol, sto é, e gerr otos muto rómos elos qus o órgão terml o mulor eve ssr. Pr o mulor TI E o lgortmo. revel-se equo o segumeto e um trjectór. Note-se que solução r c oto é clcul um úc ssgem,.e., sem ecesse e terr. lgortmo. P. Fer. P. Ler stução cl (vector q ). Ler os sesores e osção s juts. Este sso só ecesst e ser eecuto um ve. P. Eecutr os ssos P P8 té. P. lculr o vector que corresoe o vector q. Este sso é eecuto e um moo smles, os corresoe à resolução o roblem cemátc rect. P. lculr. O cálculo e é efectuo or um métoo e gerção e trjectórs. P. lculr. Fer. P. lculr q. Fer q J E. P7 lculr q. Fer q q q. P8. Fer.... PLIÇÃO MNIPULDOE OM PUNHO EFÉIO eguo offet (98), ese que se verfque que os três últmos eos o robô mulor se tersectm o mesmo oto, é ossível serr o roblem globl (que mlc mulção e mtres e mesão ) em os

65 subroblems eeetes: um e oscometo e outro e oretção (que requerem es mulção e mtres e mesão ). osere-se que o vector e coores o esço oercol (e mesão ) e o vector e coores o esço s juts q (e mesão ) oem ser reresetos segute form: o ; q q q (Eq..7) em que (mesão ) rereset osção o órgão terml em coores crtess e o (mesão ) rereset oretção em termos e âgulos e Euler. Por outro lo, q e q são vectores (e mesão ) que reresetm s osções gulres, resectvmete, s três rmers e s três últms juts. osere-se o jcobo, J t, relcoo veloce ler e s ervs os âgulos e Euler o uho (oto e tersecção os eos s três últms juts), com s veloces s juts. Verfc-se que este oe ser obto rtr e J E feo o râmetro, oeo ser rereseto form J t J J J (Eq..8) oe J, J e J são mtres e mesão e rereset mtr ul e mesão. O vector t que rereset osção o oto e tersecção os três últmos eos em relção o referecl bse oe ser clculo el equção t (Eq..9) em que rereset osção o órgão terml em relção o referecl bse.

66 Etão o lgortmo vem: lgortmo. P. Fer. P. Ler stução cl (vector q ). Ler os sesores e osção s juts. P. Eecutr os ssos P P, té. P. lculr o vector que corresoe o vector q. Este sso corresoe à resolução o roblem cemátc rect. P. Determr t t que corresoe. Fer t t., o, o,, P. lculr. O cálculo e é efectuo or um métoo e gerção e trjectórs. P. Determr t t que corresoe. Fer t t, o, o. P7. lculr t. Fer P8. lculr q. Fer q t t t. P9 lculr q. Fer q q q. P. Fer.,, t t t J o e q J [ JJ o ].. LIMITÇÕE DO MÉTODO NUMÉIO ITETIVO sber: Poem ser ots lgums fcules eretes os métoos umércos, couem um solução rom (embor, teorcmete, oss ser muto bo se forem otos cremetos sufcetemete

67 equeos,. e., se for seleccoo um tervlo e mostrgem roro). omo se verá trvés e resultos obtos or smulção, o erro resultte lerção oe ser esreo se se trblhr frequêcs e mostrgem tícs etre os H e os H; equeos cremetos o vector e coores o esço oercol ão grtem, à rt, cremetos q equeos o vector e coores o esço s juts, rclmete rómo e otos sgulres. No etto, estem téccs que oem ser uss r mmr este roblem (Nkmur e Hfus, 98)... OMPÇÃO DO DOI MÉTODO... EVOLUÇÃO TEMPOL D TJETÓI ED O métoo lítco oe cour trjectórs escotíus o temo e como tl s sus us rmers ervs temors são fts. Fscmete, sgfc que r serem eecuts são requers às juts veloces e celerções fts. Por outro lo, frequêc e mostrgem fect, o cotráro o que cotece o métoo lítco, evolução temorl s trjectórs gers elo métoo umérco tertvo (Fgur. e Fgur., r trjectór ef terormete). 7 Jut Jut - Pos. jut (grus) Pos. jut (grus) Temo (seguos) Temo (seguos) Jut Jut 7

68 Jut - Jut Pos. jut (grus) Temo (seguos) Pos. jut (grus) Temo (seguos) Jut Jut 7 Jut Jut Pos. jut (grus) Pos. jut (grus) Temo (seguos) Temo (seguos) Jut Jut Fgur. Trjectórs s juts gers or um métoo umérco tertvo r feretes frequêcs e mostrgem. Frequêc e mostrgem e H; --- Frequêc e mostrgem e H. Eo Z (mm) Eo Y (mm) Fgur. Trjectórs o esço oercol (lo YZ) gers or um métoo umérco tertvo r feretes frequêcs e mostrgem. Frequêc e mostrgem e H; --- Frequêc e mostrgem e H. 8

69 ... PEO OMPUTIONL No cotrolo e mulores é muts vees ecessáro clculr em temorel solução o roblem cemátc vers. ssm, o eso comutcol oe ser um mortte crtéro e comrção os lgortmos resetos. Neste secto, r o mulor TI E e r um frequêc e H, o métoo umérco revel-se cerc e. vees ms ráo que o métoo lítco.. INEMÁTI DIFEENIL INVE cemátc ferecl vers oe resumr-se à etermção o jcobo cemátco verso, J. Pr mulores com gl, o cálculo lítco e tl mtr revel-se muts vees robtvo fce o seu elevo eso comutcol. Em ltertv, versão umérc e J oe ser efectu com um lgortmo clássco e versão e mtres. No etto, s verss geerls grtem um sueror robuste fce o evetul mu cocometo mtr verter. Um vers geerl e J é qulquer mtr que stsfç relção J J J. esr e estr um fe e verss geerls (offet, 98), seuovers e o lgortmo e cálculo e revlle (offet, 98) revelm-se rtculrmete teresstes. e mtr J for ão-sgulr, vers, J, e seuo-vers, J, são gus. e J for sgulr, seuo-vers á orgem o vector solução e meor orm eucl. O lgortmo e revlle ermte clculr J sem ter que verter qulquer mtr. 9

70 MODELÇÃO DINÂMI O moelo âmco e um sstem mecâco ermte relcor evolução temorl su cofgurção (omemete, osção, veloce e celerção) com s forçs e mometos que ele ctum. moelção âmc e mulores e estrutur em sére é ctulmete um ssuto bem estbeleco. omo tl, os últmos os, rcl reocução tem so torr os moelos comutcolmete ms efcetes, sobretuo ersectv su clusão em lgortmos e cotrolo e temo-rel. O moelo âmco e um mulor sére oero em esço lvre oe ser rereseto mtemtcmete or um sstem e equções ferecs ão leres que, form mtrcl, oe ser o or em que I ( q) e V ( q q ) ( q) q V( q q ) q ( q) τ I, (Eq..), reresetm, resectvmete, s mtres e érc e e orols e cetríetos, ( q) rereset o vector e termos grvítcos, q é um vector efo o esço s juts e τ é o vector e forçs / mometos lcos s juts. ecesse e melhor cohecer o comortmeto âmco e um mulor umet com comlee e com s egêcs s trefs robotr. O moelo âmco ssume um mortâc ctl smulção e o cotrolo o sstem: r cotrolo é ecessáro cohecer s forçs e como lcr elos ctuores, τ, r que o órgão terml cumr trjectór 7

71 rete (são cohecs osção e veloce corretes, q eq, seo esecfc celerção esej, q ): âmc vers (Fgur.); r smulção é mortte sber como v regr o mecsmo quo sujeto um eterm forç e como, ou sej, teress sber vrção osção, veloce e celerção o órgão terml, em fução o vector e forçs lcs elos ctuores (são cohecs osção e veloce corretes, q e q, é esecfc forç e cotrolo, τ, e ctulção veloce e osção é obt or tegrção celerção): âmc rect (Fgur.). q I( q) τ Mulor q q V ( q, q ) ( q) Fgur. Dgrm e blocos o moelo âmco verso e um mulor. 7

72 τ ( q) I q q q V ( q, q ) ( q) Fgur. Dgrm e blocos o moelo âmco recto e um mulor. Tcmete, moelção âmc e mulores sére bse-se ou o métoo e Neto-Euler ou o métoo e Lgrge. O métoo e Neto-Euler escreve o comortmeto e um sstem mecâco trvés s forçs e mometos lcos os coros que o costtuem. âmc e um coro rígo é rereset or us equções: equção e Neto, que escreve trslção o cetro e mss o coro, e equção e Euler, que escreve rotção o coro em relção o seu cetro e mss. O métoo e Lgrge escreve âmc e um sstem mecâco rtr os cocetos e trblho e eerg. Ms recsmete, equção e Lgrge é fução e um qute esclr - o lgrgeo - (fereç etre s eergs cétc e otecl), etermo em fução e um qulquer cojuto e coores geerls. O métoo e Lgrge ermte obter e form sstemátc s equções e movmeto e qulquer sstem mecâco.. MODELÇÃO DINÂMI PELO MÉTODO DE NEWTON- EULE Nest secção reset-se o métoo e Neto-Euler r moelção âmc e mulores e estrutur em sére. 7