EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA. Jaime Fonseca. Daniel Torres. Vol. 2. 2ª Edição Revista e Corrigida EDIÇÕES SÍLABO

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Natan Penha Correia
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1 RCÍCIOS D STATÍSTICA Jame Foseca Dael Torres Vol. ª ção Revsta e Corrga DIÇÕS SÍABO

3 RCÍCIOS D STATÍSTICA JAIM FONSCA DANI TORRS DIÇÕS SÍABO

4 É eressamete robo rerouzr, o too ou em arte, sob qualquer forma ou meo, NOMADAMNT FOTOCÓPIA, esta obra. As trasgressões serão assíves as ealzações revstas a legslação em vgor. Vste a Sílabo a ree tor: Mauel Robalo FICHA TÉCNICA: Título: ercícos e statístca Vol. Autores: Jame Foseca e Dael Torres ções Sílabo, a. Caa: Pero Mota ª ção sboa, Juho e ª ção sboa, Outubro e 4 Imressão e acabametos: uroress, a. Deósto egal: 888/4 ISBN: DIÇÕS SÍABO, DA. R. Cae e Machester, 7- sboa Telfs.: 845 Fa: e-mal: slabo@slabo.t

t tor: Mauel Robalo FICHA TÉCNICA: Título: ercícos e statístca Vol. Autores: Jame Foseca e Dael Torres ções Sílabo, a.

5 Íce PRFÁCIO 7 Caítulo 6 STIMAÇÃO PONTUA 9 Caítulo 7 STIMAÇÃO RGIONA 65 Caítulo 8 TSTS D HIPÓTSS 97 Caítulo 9 RGRSSÃO INAR 7 Caítulo ANÁIS D VARIÂNCIA BIBIOGRAFIA 95

7 Prefáco Na sequêca o volume I surge agora o volume II e ercícos e statístca, ecessaramete mas vrao ara a Iferêca statístca. A statístca retee fuametalmete coclur sobre a oulação ou oulações em estuo, em asectos varaos como sejam, a título e eemlo: Š etermação e estmatvas (otuas ou regoas) e arâmetros escohecos; Š estabelecer relações e orem etre arâmetros escohecos e uas ou mas oulações; Š fazer Prevsões ara uma etermaa varável. ste volume II teta acomahar tas esígos. Usao uma ersectva traçaa o volume I, estamos seguros e que oe ser uma boa cotrbução ara o omío esses asectos. Os autores

(otuas ou regoas) e arâmetros escohecos; Š estabelecer relações e orem etre arâmetros escohecos e uas ou mas oulações; Š fazer Prevsões ara uma

9 Caítulo 6 (67,$ 78$/

11 ercíco Sabeo que certa oulação tem strbução Bomal, com arâmetro escoheco, obteha o estmaor e máma verosmlhaça e, com base uma amostra aleatóra e mesão, (,...,, ), ela obta. Procea à aálse o estmaor. Resolução: Poe alcar-se o métoo e máma verosmlhaça ao tratar-se e uma fução regular seguo Cramer-Rao (é ulamete ferecável e os lmtes e varação ão eeem o arâmetro a estmar).. Obteção o estmaor () f > ~ : µ ; σ ogartmzao a fução e verosmlhaça, tem-se: )] ( [

Resolução: Poe alcar-se o métoo e máma verosmlhaça ao tratar-se e uma fução regular seguo Cramer-Rao (é ulamete

12 Dervao em orem ao arâmetro, )] ( [ Igualao a zero, tem-se, aós elmar eomaores, ˆ (estmatva). Aálse o estmaor ˆ ) Não evesameto Um estmaor z-se ão evesao ou cetrao, ese que [ θˆ ] θ. Cosequetemete, ˆ] [ ] [ Assm, oe zer-se que θˆ é um estmaor ão evesao ara.

13 ) Coerêca ou cosstêca Var [ ˆ ] Var Var Var 4 4 Var [ ] ( ) ( ) 4 4 ( ). Seo lm Var [ ˆ ] lm ( ), Por ser ão evesao e or verfcar a coção ateror, z-se que é um estmaor coerete ara. ercíco a) Obteha, através o métoo e máma verosmlhaça, com base a formação cota a amostra (4,,,,, ), uma estmatva o arâmetro escoheco a strbução Posso. b) Dessa oulação etrau-se uma amostra aleatóra (,,..., 5). scolha, etre os os estmaores segutes, o mas aequao ara estmar a méa ( µ ) a oulação. Justfque aequaamete a sua oção. Resolução: T ; T ( 4 5) 6 a) ~ > P : f e ;,,,

ercíco a) Obteha, através o métoo e máma verosmlhaça, com base a formação cota a amostra (4,,,,, ), uma estmatva o arâmetro escoheco a

14 4 Como a fução é regular o seto e Cramer-Rao (é ulamete ferecável e os lmtes e varação ão eeem o arâmetro a estmar) oe alcar-se o métoo e máma verosmlhaça. Assm, e e ˆ (estmatva) ˆ (estmaor) Cálculo o valor a estmatva,8 6 4 ˆ b) stmaores Cosstetes? ) Aálse o evesameto. Caso e T Para que seja um estmaor ão evesao everá ter-se ] [ˆ. Seo ˆ ] [ [ ] T costtu assm um estmaor cetrao ou ão evesao ara µ

Assm, e e ˆ (estmatva) ˆ (estmaor) Cálculo o valor a estmatva,8 6 4 ˆ b) stmaores Cosstetes?

15 . Caso e T Ietcamete, everá ter-se [ T ] µ. Porque [ T ( ) ] ( [ ] [ ] [ 4] [ 5] ) 6 6 (µ µ µ µ ) 6µ 6 µ T costtu assm um estmaor cetrao ou ão evesao ara µ ) Aálse a cosstêca. Caso e T Para que seja cosstete ou coerete, everá ter-se lm V [ˆ ], ese que o estmaor seja ão evesao. Ora V [ T ] V [ˆ ] V V V [ ] Seo que lm e or se tratar e um estmaor cetrao oemos afrmar que o estmaor é cosstete.. Caso e T Var [ T Var ( ) 4 6 ] 5 ( 4Var [ ] Var [ ] 9Var [ 4] 4Var [ 5] ) 6 8 ( 4 9 4) 6 6 5

Aálse a cosstêca. Caso e T Para que seja cosstete ou coerete, everá ter-se lm V [ˆ ], ese que o estmaor seja ão evesao.

16 Porque lm, oe coclur-se que o estmaor T ão é cosstete. m coclusão, face a estes resultaos, oer-se-ía coclur esta fase que o melhor estmaor ara a méa a oulação é T. ercíco Obteha através o métoo e máma verosmlhaça e a amostra que se segue, uma estmatva o arâmetro a strbução eoecal. Resolução: 4; ; ; ; ; Obteha-se em rmero lugar a fução e verosmlhaça com base o routo as fuções esae eoecal. Fução esae a varável com strbução eoecal: f () e ; ; < f e e Dao tratar-se e uma fução regular o seto e Cramer-Rao, oe alcarse o métoo e máma verosmlhaça. Alque-se a fução artmo à fução e verosmlhaça ara facltar osterormete a ervaa. e e 6

ercíco Obteha através o métoo e máma verosmlhaça e a amostra que se segue, uma estmatva o arâmetro a strbução eoecal.

17 7 Derve-se agora em orem a e guale-se a ervaa a zero. ˆ ogo com base a amostra aa tem-se o segute valor ara a estmatva o arâmetro:, ˆ ercíco 4 Seja...,,, uma amostra aleatóra etraía e uma oulação com fução esae a forma: () > >.. ;, ; / c c e f a) Ietfque o estmaor e máma verosmlhaça o arâmetro escoheco, com base a amostra aleatóra. b) Classfque o estmaor, ao ível e evesameto e cosstêca.

Seja...,,, uma amostra aleatóra etraía e uma oulação com fução esae a forma: () > >.

18 8 Resolução: a) Obteha-se em rmero lugar a fução e verosmlhaça com base o routo as fuções esae. / / e e f Tratao-se e uma fução regular seguo Cramer-Rao, alque-se a fução artmo à fução e verosmlhaça ara facltar osterormete a ervaa. / e ) ( Derve-se agora em orem a e guale-se a ervaa a zero. ˆ (estmatva) ˆ (estmaor) b) m fução o resultao ateror fcamos a saber que o estmaor corresoete é ˆ.

verosmlhaça ara facltar osterormete a ervaa.

19 . vesameto ( ), uma vez que [], tratao-se e uma strbução Ga (, ). Assm, ( ˆ), ou seja, ˆ costtu um estmaor ão evesao ou cetrao ara.. Cosstêca Ateeo a que V [], lm V (ˆ) lm V 9 V lm 9. Coclu-se assm que ˆ é um estmaor cosstete ara. ercíco 5 Cosere a varável aleatóra com a segute fução esae f () ;, α > stme com base uma amostra aleatóra e tamaho, através o métoo e máma verosmlhaça o arâmetro. Resolução: Como a fução é regular o seto e Cramer-Rao oe alcar-se o métoo e máma verosmlhaça. 9

Coclu-se assm que ˆ é um estmaor cosstete ara.

20 () f () () () ˆ ˆ (estmatva) e ˆ (estmaor)

21 46 DANI FRNANDS TORRS é lcecao em cooma (Uversae usíaa, 99) e mestre em Matemátca Alcaa à cooma e à Gestão (Isttuto Sueror e cooma e Gestão Uversae Técca e sboa, 997). Possu uma ós-grauação em -Busess (Isttuto Sueror e cooma e Gestão, ). Obteve o DA ( Dloma e stuos Avazaos) o rograma e Doutorameto em Socea e la Iformacó y el Coocmeto ela UPSAM (Uversae Potfíca e Salamaca-Pólo e Mar, 5). É Técco Ofcal e Cotas e membro efectvo a Orem os coomstas. Dese 99 tem eerco ocêca em váras uversaes, etre as quas, Uversae usíaa, Uversae Iteracoal, Isttuto Sueror e Gestão Bacára, Uversae Autóoma e sboa e Uversae Aberta. Para além a ocêca, o íco a sua carrera rofssoal estagou e trabalhou como técco o eartameto facero e uma emresa e factorg e um gruo bacáro, teo vo ao o a últma écaa a esevolver, ao ível a gestão, actvae como amstraor e gerete e emresas e ao ível cotablístco-facero, actvae como rector amstratvo-facero e como Técco Ofcal e Cotas e váras emresas. JAIM RAÚ SIAS FONSCA é lcecao em gehara lectrotécca (Faculae e gehara Uversae o Porto, 977) e mestre em Probablaes e statístca Comutacoal e Aálse e Daos (Faculae e Cêcas Uversae e sboa, 988). eccoou em uversaes úblcas e rvaas, etre as quas, Uversae Nova, Isttuto Sueror Técco Uversae Técca e sboa, Uversae usíaa, Uversae Moera e Uversae Iteracoal. Paralelamete eerceu fuções o Isttuto Português a Qualae. Actualmete é ocete o Isttuto Sueror e Cêcas Socas e Polítcas Uversae Técca e sboa. Baseao a a eerêca os autores o eso a estatístca os mas versos cursos e escolas, esta obra areseta um vasto cojuto e eercícos rátcos resolvos que ermtrão aos aluos testar e valar os cohecmetos teórcos aquros. Os estuates e estatístca ecotrarão aqu as mas varaas alcações, oeo seleccoá-las e etre os temas trataos, cosoate a área e eso e a rofuae a aboragem feta à matéra. ISBN

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